Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients
The model of a controlled object in the form of a system with per-turbed skew-symmetric non-degenerate coefficient matrix is investigated.An adaptive identification algorithm is developed for identifying unknownparameters of the system.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/330 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552837939986432 |
|---|---|
| author | Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. |
| author_facet | Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. П. Коломiйчук",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. В. Новицький",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Коломiйчук, О. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | The model of a controlled object in the form of a system with per-turbed skew-symmetric non-degenerate coefficient matrix is investigated.An adaptive identification algorithm is developed for identifying unknownparameters of the system. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 25–31
УДК 531:383-62:50
Адаптивна iдентифiкацiя керованої
системи зi збуреною
кососиметричною матрицею
коефiцiєнтiв ∗
О.П. Коломiйчук 1, В. В. Новицький 2
1 Iнститут математики НАН України, Київ;
kolomithyk@imath.kiev.ua;
2 Iнститут математики НАН України, Київ; Novyc@imath.kiev.ua
The model of a controlled object in the form of a system with per-
turbed skew-symmetric non-degenerate coefficient matrix is investigated.
An adaptive identification algorithm is developed for identifying unknown
parameters of the system.
Дослiджено модель керованого об’єкта у виглядi системи зi збуре-
ною кососиметричною невиродженою матрицею коефiцiєнтiв. Розви-
нуто алгоритм адаптивної iдентифiкацiї для визначення невiдомих па-
раметрiв системи.
1 Вступ
Розглянемо повнiстю керовану систему, яка описується наступним
рiвнянням:
ẋ = (A0 + εA1)x +Bu, (1)
де x = [x1, · · · , x2n]T — 2n-вимiрний вектор стану, u = [u1, · · · , um]T —
m-вимiрний вектор керувань, A0 = −AT0 ∈ ℜ2n×2n — кососиметрична
невироджена матриця, A1 ∈ ℜ2n×2n, B ∈ ℜ2n×m, ε — вiдомий малий
параметр, а матрицi A0, A1 та B невiдомi.
∗Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077
c© Коломiйчук О.П., Новицький В.В., 2017
26 Коломiйчук О. П., Новицький В. В.
У виглядi (1) описується деякий клас реальних керованих об’єктiв,
зокрема, гiроскопiчнi системи. У роботi [1] матрицi коефiцiєнтiв си-
стеми вважаються вiдомими. Для такої системи розроблено алгоритм
побудови оптимального керування, який ґрунтується на другому ме-
тодi Ляпунова. Щоб побудувати адаптивне керування [2] для системи
(1) з невiдомими параметрами i застосувати iснуючий алгоритм, не-
обхiдно вiдновити матрицi A0, A1 та B.
2 Iдентифiкацiя системи з кососиметричною неви-
родженою матрицею коефiцiєнтiв методом ква-
зiлiнеаризацiї
Вiдновимо матрицi A0, A1 та B за допомогою методу квазiлiнеариза-
цiї [3]. Нехай p̃ — 4n-вимiрний вектор параметрiв
p̃ = [a1, ...a2n, b1, ..., b2n]
T , (2)
де ai — рядки матрицi A = A0 + εA1, а bi — рядки матрицi B.
Записавши вектор p̃ у виглядi (2), для (1), стає зрозумiлим, що
деякi його компоненти можуть бути нульовими. У зв’язку з цим утво-
римо з (2) r-вимiрний вектор параметрiв
p = [p1, p2, . . . , pr]
T , (3)
де p1, p2, . . . , pr — ненульовi компоненти p̃.
Компоненти p невiдомi i пiдлягають iдентифiкацiї, тодi як вектори
x та u вимiрюються. Система рiвнянь (1) пiдпорядкована (2n+r) гра-
ничним умовам, якi задаються (2n+r) вiдомими функцiями xj(ti), що
вимiрюються для рiзних станiв xj у рiзнi моменти часу ti. Вважаючи
компоненти вектора p сталими, доповнимо (1) наступним рiвнянням:
ṗ = 0. (4)
Поєднавши рiвняння (1) та (4), отримаємо
ż = Ãz + B̃u, (5)
де
z = [x1, · · · , x2n, p1, · · · , pr]T Ã =
[
A0 + εA1 0
0 0
]
, B̃ =
[
B
0
]
, (6)
Адаптивна iдентифiкацiя керованої системи зi збуреною . . . 27
à ∈ ℜ2n+r×2n+1, B̃ ∈ ℜ2n+r×m.
Система (1) має особливу форму (структуру). Ця форма впливає
на структуру векторiв p та z. Цей факт призводить до певних спро-
щень при вiдновленнi невiдомих параметрiв системи (1), а саме: до
зменшення розмiру системи, яку треба буде розв’язувати для вiднов-
лення вектора p.
У випадку, коли система (5) нелiнiйна, слiд враховувати у розкладi
у ряд Тейлора тiльки члени першого порядку [3], для отримання (µ+
1) оцiнки ż з µ, оцiнки у виглядi
ˆ̇zµ+1 = ψ̂µ+1 = ψ̂µ +
∂ψ̂µ
∂z
(ẑµ+1 − ẑµ), (7)
де
ψ =
(A0 + εA1)x+Bu
0
...
0
. (8)
У (8) кiлькiсть нулiв дорiвнює r та виконується наступне:
∂ψ̂µ
∂z
=
∂ψ̂
∂z
∣∣∣∣∣
z=ẑµ
. (9)
Рiвняння (7) — лiнiйне вiдносно ẑµ+1. Тому
ˆ̇zµ+1(t) = µ · ẑµ+1(t) + V̂µ, (10)
де
V̂µ = ψ̂µ − ∂ψ̂µ
∂z
ẑµ = ψ̂µ − Âẑµ, (11)
 =
∂ψ̂µ
∂z
. (12)
Рiвняння (10) має загальний розв’язок
ẑµ+1(t) = φ̂(t, t0)ẑµ+1(t0) + q̂µ+1(t), (13)
де
ˆ̇
φµ+1(t, t0) =
∂ψ̂µ(t)
∂z
)φ̂µ+1(t, t0), (14)
28 Коломiйчук О. П., Новицький В. В.
φ̂µ+1(t, t0) = I, ∀µ,
а q̂µ+1(t) — частковий розв’язок:
ˆ̇qµ+1(t) = ψ̂µ(ẑ, t)−
∂ψ̂µ(t)
∂z
zµ(t) +
∂ψ̂µ(t)
∂z
q̂µ+1(t), (15)
за умови
q̂µ+1(t0) = 0.
Вектор початкових умов ẑµ+1(t0), ∀µ, будується таким чином, що
задовольняє багатоточкову граничну умову, яка задається (2n + r)
величинами, або функцiями xj(ti), якi вимiрюються i якi є вимiрами
стану xj у момент часу ti.
Для (13) маємо
xj(ti) = φ̂j,µ+1(ti, t0)ẑµ+1(t0) + qj,µ+1(ti), (16)
де φj,µ+1 — j-й рядок φµ+1, а xj(ti) — j-а змiнна стану в момент часу
t = ti. Граничнi умови дають 2n+ r рiвнянь вигляду (16) для 2n+ r
рiзних xj(ti). Маємо 2n+ r лiнiйних рiвнянь для ẑµ(t0), звiдки є мо-
жливiсть знайти 2n + r компонент ẑµ(t0). З (16) випливає, що має
бути початкова оцiнка для x̂0(t0). Ця оцiнка використовується разом
з попередньо прийнятою оцiнкою p̂ для того, щоб отримати поча-
ткову оцiнку розв’язку в часi рiвняння (1) з моменту часу t = 0 до
моменту часу ti у (16). Цей розв’язок має вигляд (13). За допомогою
останнього визначаємо початковi оцiнки φ та q у (16). Для отримання
наступних µ = 1, 2, · · · оцiнок x(t0) та p оцiнка x з моменту t = 0 до
останнього момента ti повторюється у наведеному порядку. У зв’яз-
ку з цим обчислювальнi затрати на iдентифiкацiю методом квазiлi-
неаризацiї можуть бути значнi та застосування методу у загальному
випадку обмежується. Доцiльно застосовувати наведений пiдхiд у ви-
падках, коли є можливiсть вимiрювати тiльки деякi (необов’язково
однаковi) стани у рiзнi моменти часу. Для об’єктiв реального свiту,
якi описуються за допомогою (1), застосування описаного методу у
певних ситуацiях буде доцiльним.
Розв’язуючи систему (16), отримуємо елементи невiдомих матриць
для (1). Пiсля чого будується оптимальне керування, вже для вiднов-
леної системи. Останнiй алгоритм [1] ґрунтується на другому методi
Ляпунова. Запропонований пiдхiд дає можливiсть аналiтично отри-
мувати необхiдне керування для системи з моделлю (1). Цей факт дає
можливiсть програмувати блок керування реального об’єкта i факти-
чно вирiшувати проблему керування на "борту".
Адаптивна iдентифiкацiя керованої системи зi збуреною . . . 29
Приклад 2.1. Розглянемо систему (1) другого порядку, де вектори
x та u вимiрюються, а матрицi
A0 =
[
0 ω
−ω 0
]
, A1 =
[
0 0
a21 a22
]
, B =
[
0
b
]
,
A = A0 + εA1 =
[
0 a
c d
]
=
[
0 ω
−ω 0
]
+ ε
[
0 0
a21 a22
]
,
(17)
необхiдно iдентифiкувати (вiдновити). Утворимо вектор z вiдповiдно
до (6):
z = [x, a1, a2, b̃]
T , (18)
де
x =
[
α
β
]
, a1 =
[
0
a
]
, a2 =
[
c
d
]
, b̃ =
[
0
b
]
.
Запишемо ψ та ∂ψ
∂z для нашого прикладу:
f = Ax+Bu, f =
[
f1
f2
]
=
[
aβ
cα+ dβ + bu
]
,
ψ =
f
0
0
0
,
∂ψ
∂z
=
∂f
∂x
∂f
∂a1
∂f
∂a2
∂f
∂b
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
де 0 ∈ ℜ1×2.
Ранiше було зауважено, що слiд враховувати структуру вектора
p̃. Тому для нашого прикладу z буде таким:
z = [α, β, a, c, d, b]T ,
ψ =
aβ
cα+ dβ + bu
0
0
0
0
,
∂ψ
∂z
=
0 a 0 0 0 0
c d 0 α β u
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
.
Оцiнка вектора z (µ+ 1)-го порядку згiдно з (7):
30 Коломiйчук О. П., Новицький В. В.
ˆ̇zµ+1 = ψ̂µ +
∂ψ̂µ
∂z
(ẑµ+1 − ẑµ) =
âβ̂
α̂ĉ+ β̂d̂+ b̂u
0
0
0
0
µ
+
+
0 â 0 0 0 0
ĉ d̂ 0 α̂ β̂ u
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
µ
α̂µ+1 − α̂µ
β̂µ+1 − β̂µ
âµ+1 − âµ
ĉµ+1 − ĉµ
d̂µ+1 − d̂µ
b̂µ+1 − b̂µ
.
Запишемо (10) для нашого прикладу:
ˆ̇zµ+1(t) = µ · ẑµ+1(t) + V̂µ =
=
0 â 0 0 0 0
ĉ d̂ 0 α̂ β̂ u
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
µ
α̂
β̂
â
ĉ
d̂
b̂
µ+1
+
âβ̂
α̂ĉ+ β̂d̂+ b̂u
0
0
0
0
µ
−
−
0 â 0 0 0 0
ĉ d̂ 0 α̂ β̂ u
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
µ
α̂
β̂
â
ĉ
d̂
b̂
µ
.
Вiдповiдно (14) матиме вигляд:
ˆ̇φµ+1(t, t0) =
0 â(t) 0 0 0 0
ĉ(t) d̂(t) 0 α̂(t) β̂(t) u(t)
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
µ
φ̂µ+1(ti, t0), (19)
Адаптивна iдентифiкацiя керованої системи зi збуреною . . . 31
де
φ̂µ+1(t0, t0) = I, ∀µ.
Вектор початкових умов ẑ(t0) у (13) будується за допомогою апрi-
орно заданих граничних значень x(t1), x(t2), . . ., x(t8) за допомогою
(16), наступним чином (враховуючи факт, що кiлькiсть граничних
значень має бути бiльше 6, вектора z):
x(t1) = φ̂11,µ+1(t1, t0)α̂µ+1(t0) + φ̂12,µ+1(t1, t0)β̂µ+1+
+φ̂13,µ+1(t1, t0)âµ+1 + φ̂14,µ+1(t1, t0)ĉµ+1 + φ̂15,µ+1(t1, t0)d̂µ+1+
+φ̂16,µ+1(t1, t0)b̂µ+1 + q1,µ+1(t1),
x(t2) = φ̂11,µ+1(t2, t0)α̂µ+1(t0) + φ̂12,µ+1(t2, t0)β̂µ+1+
+φ̂13,µ+1(t2, t0)âµ+1 + φ̂14,µ+1(t2, t0)ĉµ+1 + φ̂15,µ+1(t2, t0)d̂µ+1+
+φ̂16,µ+1(t2, t0)b̂µ+1 + q1,µ+1(t2),
· · ·
x(t8) = φ̂11,µ+1(t8, t0)α̂µ+1(t0) + φ̂12,µ+1(t8, t0)β̂µ+1+
+φ̂13,µ+1(t8, t0)âµ+1 + φ̂14,µ+1(t8, t0)ĉµ+1 + φ̂15,µ+1(t8, t0)d̂µ+1+
+φ̂16,µ+1(t8, t0)b̂µ+1 + q1,µ+1(t8).
(20)
Параметри φ̂1j,µ+1(t, t0) залежать вiд похiдних ∂ψ̂
∂z |µ вiдповiдно з (14)
i не залежать вiд x̂µ+1(t0). Аналогiчно ˆ̇qµ+1(ti) обчислюється за допо-
могою (15) i також не залежать вiд x̂µ+1(t0). Таким чином, визначити
ẑµ+1 можливо за допомогою регресiї з (20), коли маємо початковi на-
ближення для координат z. Безпосереднє (нерегресiйне) визначення
невiдомих координат вектора z з (20) можливе тiльки коли маємо 6
граничних значень для x, а вимiри не мають шумiв.
[1] Новицкий В.В., Хуан Чэнь. Оптимальное управление почти консе-
рвативными системами // Зб. праць Iн-ту математики НАН України:
Технiчнi науки. — 2004. — № 2. — С. 152–157.
[2] Тертичний-Даури В.Ю. Адаптивная механика — М.: Наука, 1998. —
480 с.
[3] Гроп Д. Методы идентификации систем. — Пер. с англ. — М.: Мир,
1979. — 302 с.
[4] Меркин Д. Р. Гироскопические системы. — М.: Наука, 1974. — 344 с.
[5] Квакернак Х. Линейные оптимальные системы управления. — М.:
Мир, 1977. — 650 с.
[6] Ларин В.Б. О слабом управлении слабодемпфированными системами
// ПММ: Технiчнi науки. — 1978. — № 6. — С. 1000–1005.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-330 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:47Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/22/d369a4ad9515b32e580b6648c8626922.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3302018-02-13T11:53:50Z Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients Адаптивна iдентифiкацiя керованої системи зi збуреною кососиметричною матрицею коефiцiєнтiв Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. The model of a controlled object in the form of a system with per-turbed skew-symmetric non-degenerate coefficient matrix is investigated.An adaptive identification algorithm is developed for identifying unknownparameters of the system. Дослiджено модель керованого об’єкта у виглядi системи зi збуре-ною кососиметричною невиродженою матрицею коефiцiєнтiв. Розви-нуто алгоритм адаптивної iдентифiкацiї для визначення невiдомих па-раметрiв системи. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/330 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 25-31 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 25-31 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 25-31 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/330/341 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. Коломiйчук, О. П. Новицький, В. В. Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| title | Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| title_alt | Адаптивна iдентифiкацiя керованої системи зi збуреною кососиметричною матрицею коефiцiєнтiв |
| title_full | Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| title_fullStr | Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| title_full_unstemmed | Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| title_short | Adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| title_sort | adaptive identification of a controllable system with a perturbed symmetric matrix of coefficients |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/330 |
| work_keys_str_mv | AT kolomijčukop adaptiveidentificationofacontrollablesystemwithaperturbedsymmetricmatrixofcoefficients AT novicʹkijvv adaptiveidentificationofacontrollablesystemwithaperturbedsymmetricmatrixofcoefficients AT kolomijčukop adaptiveidentificationofacontrollablesystemwithaperturbedsymmetricmatrixofcoefficients AT novicʹkijvv adaptiveidentificationofacontrollablesystemwithaperturbedsymmetricmatrixofcoefficients AT kolomijčukop adaptivnaidentifikaciâkerovanoísistemizizburenoûkososimetričnoûmatriceûkoeficiêntiv AT novicʹkijvv adaptivnaidentifikaciâkerovanoísistemizizburenoûkososimetričnoûmatriceûkoeficiêntiv AT kolomijčukop adaptivnaidentifikaciâkerovanoísistemizizburenoûkososimetričnoûmatriceûkoeficiêntiv AT novicʹkijvv adaptivnaidentifikaciâkerovanoísistemizizburenoûkososimetričnoûmatriceûkoeficiêntiv |