The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank
A frequency equation of axisymmetric oscillations of a circular membraneon the free surface of an ideal incompressible fluid in an upright circularcylindrical tank is derived. The frequency equation is simplified and one isshown that it can be represented in a unified invariant form with respectto the...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/331 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552838556549120 |
|---|---|
| author | Kononov, Yu. N. Juha, Yu. A. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. |
| author_facet | Kononov, Yu. N. Juha, Yu. A. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. Н. Кононов",
"institution": "Донецкий национальный университет имени Васыля Стуса, Винница"
},
{
"author": "Ю. А. Джуха",
"institution": "Донецкий национальный университет имени Васыля Стуса, Винница"
}
] |
| author_sort | Kononov, Yu. N. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | A frequency equation of axisymmetric oscillations of a circular membraneon the free surface of an ideal incompressible fluid in an upright circularcylindrical tank is derived. The frequency equation is simplified and one isshown that it can be represented in a unified invariant form with respectto the frequency which is looked for. Accounting for two terms in a seriesfrom the frequency equation, an approximate condition for the stabilityof the coupled axisymmetric fluid-membrane vibrations is derived. Thecondition is independent of the membrane mass of and the fluid depth. Itis shown that instability can only be associated with a negative overload.An algorithm leading to an exact stability condition is proposed. A noteis that taking two terms in series provides a sufficient practical accuracy. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 32–41
УДК 533.6.013.42
Влияние перегрузки на
осесимметричные колебания
круговой мембраны, расположенной
на свободной поверхности жидкости
в цилиндрическом резервуаре∗
Ю.Н. Кононов, Ю.А. Джуха
Донецкий национальный университет имени Васыля Стуса,
Винница; kononov.yuriy.nikitovich@gmail.com
A frequency equation of axisymmetric oscillations of a circular membrane
on the free surface of an ideal incompressible fluid in an upright circular
cylindrical tank is derived. The frequency equation is simplified and one is
shown that it can be represented in a unified invariant form with respect
to the frequency which is looked for. Accounting for two terms in a series
from the frequency equation, an approximate condition for the stability
of the coupled axisymmetric fluid-membrane vibrations is derived. The
condition is independent of the membrane mass of and the fluid depth. It
is shown that instability can only be associated with a negative overload.
An algorithm leading to an exact stability condition is proposed. A note
is that taking two terms in series provides a sufficient practical accuracy.
Виведене частотне рiвняння осесиметричних коливань кругової мем-
брани, розташованої на вiльнiй поверхнi iдеальної нестисливої рiдини,
що знаходиться у прямому круговому цилiндричному резервуарi. Про-
ведене спрощення частотного рiвняння i показано, що воно може бути
представлене в єдинiй формi незалежно вiд розшукуваної частоти. Iз
урахуванням двох членiв у рядi частотного рiвняння отримана набли-
жена умова стiйкостi сумiсних осесиметричних коливань мембрани i
рiдини. Ця умова не залежить вiд маси мембрани i глибини запов-
нення рiдини. Показано, що нестiйкiсть може виникнути тiльки при
вiд’ємному перевантаженнi. Запропонований алгоритм, що дозволяє
отримати точну умову стiйкостi. Вiдзначається, що урахування двох
членiв ряду дає достатню для практики точнiсть.
∗Исследования проведены в рамках программы фундаментальных исследова-
ний Министерства образования и науки Украины (проект № 0116U002522) и при
грантовой поддержке ДФФД (проект № Ф71/47-2017).
c© Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А., 2017
Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой . . . 33
1 Введение
В настоящее время имеется достаточное число работ, в которых про-
ведены исследования несимметричных колебаний круговой мембра-
ны или пластины, расположенной на свободной поверхности идеаль-
ной жидкости в круговом цилиндре [1–5]. В одной из первых ста-
тей [1] было исследовано влияние перегрузки на основную частоту
несимметричных собственных колебаний жидкости в жестком цилин-
дрическом баке с безинерционной круговой мембраной на свободной
поверхности. В работе показано, что потеря устойчивости может на-
ступить только при отрицательной перегрузке. Также в этой работе
отмечается хорошее совпадение экспериментальных данных с теори-
ей. Наиболее общие исследования несимметричных колебаний резер-
вуара с жидкостью, на свободной поверхности которой расположена
пластина или мембрана, были проведены в статье [2], а более полное
приведено в монографии [3]. В [3] отмечается, что в случае неде-
формируемости стенок полости и несжимаемости жидкости пласти-
на может иметь только антисимметричные формы, ортогональные к
постоянной. Однако для мембраны, при интегральном условии сохра-
нения массы жидкости, это ограничение может быть снято. Поэтому
при рассмотрении частотного уравнения (5.50) ([3], с.180) для случая
осесимметричных колебаний необходимо учесть условие сохранения
массы жидкости. Условия устойчивости осесимметричных колебаний
круговой мембраны также не следуют из работ [6, 7].
В статье [8] проведены исследования собственных осесимметрич-
ных колебаний двухслойной жидкости со свободной поверхностью в
жестком круговом цилиндрическом резервуаре с упругим дном в ви-
де круговой пластинки, а в [9] – осесимметричных колебаний упругих
оснований в виде кольцевых пластин и идеальной жидкости в жест-
ком коаксиальном цилиндрическом резервуаре. Рассмотрены различ-
ные предельные случаи вырождения кольцевых пластин в круговые,
в мембраны, в абсолютно жесткие и различные случаи закрепления
пластин. В статьях [10–12] исследуются осесимметричные колебани-
ях упругой мембраны, разделяющей двухплотностную жидкость в
жестком круговом цилиндрическом резервуаре применительно к со-
временным капиллярным системам отбора жидкости (КСОЖ).
34 Кононов Ю. Н., Джуха Ю. А.
2 Постановка задачи
Рассмотрим осесимметричные колебания закрепленной упругой кру-
говой мембраны, расположенной на свободной поверхности идеаль-
ной несжимаемой жидкости плотности ρ в круговом цилиндре ради-
уса a. Мембрана подвержена растягивающим усилиям интенсивности
T в срединной поверхности. Жидкость заполняет цилиндр до глуби-
ны h.
Систему координат Oxyz расположим так, чтобы плоскость Oxy
находилась на невозмущённой срединной поверхности мембраны, а
ось Oz была направлена вдоль оси цилиндра противоположно век-
тору ускорения силы тяжести −→g . Колебания мембраны и жидкости
будем рассматривать в линейной постановке, считая совместные ко-
лебания пластины и жидкости безотрывными, а движение жидкости
– потенциальным.
Уравнения осесимметричных колебаний мембраны и жидкости име-
ют вид [6, 9]:
k0
∂2W
∂t2
− T∆2W + ρgW = ρ
(
Q− ∂Φ
∂t
∣∣∣∣
z=0
)
− P0 = 0, (1)
∆Φ = 0, (2)
с граничными условиями:
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
z=−h
= 0, (3)
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
z=0
=
∂W
∂t
, (4)
W |r=a = 0, (5)
∫
S
WdS = 0, (6)
W (0, t) <∞. (7)
Здесь k0 = ρ0δ0; W , ρ0 и δ0 – соответственно прогиб, плотность и
толщина мембраны; Φ – потенциал скоростей жидкости; Q – про-
извольная функция времени; ∆2 = ∂2
∂r2 + 1
r
∂
∂r и ∆ = ∆2 + ∂2
∂z2 –
соответственно двухмерный и трехмерный операторы Лапласа для
осесимметричного случая; P0 – внешнее давление на мембрану; S –
сечение кругового цилиндра.
Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой . . . 35
3 Метод решения
Представим функцию Φ(r, z, t) в виде обобщенного ряда Фурье по
собственным функциям ψn (r):
Φ(r, z, t) =
∞∑
n=1
[
An(t)e
knz +Bn(t)e
−knz
]
ψn(r), (8)
где cобственные функции ψn(r) и соответствующие им собственные
числа kn находятся из решения следующей краевой задачи:
∆2ψn + k2nψn = 0 на [0, a] ,
dψn
dr
∣∣∣∣
r=a
= 0 (9)
и вместе с произвольной константой образуют на [0, a] полную и ор-
тогональную систему функций. Из-за осевой симметрии эти функции
имеют вид ψn(r) = J0 (knr), а собственные числа kn находятся из
уравнения J1 (ξn) = 0 (ξn = kna, J0 и J1 – функции Бесселя первого
рода).
Подставив выражения (9) в граничные условия (4) – (5), получим:
An =
Ẇne
κn
2kn sinhκn
, Bn =
Ẇne
−κn
2kn sinhκn
(κn = knh).
Здесь
Wn =
1
N2
n
a∫
0
rWψndr, (10)
N2
n =
a∫
0
rψ2
ndr =
a2
2
J2
0 (ξn) .
С учетом соотношений (9) – (10) уравнение (1) примет вид:
k0
∂2W
∂t2
− T∆2W + ρgW = −
∞∑
n=1
anẄn
kn
ψn + ρQ− P0, (11)
где an = ρ cothκn.
Таким образом, совместные колебания упругой мембраны и жид-
кости находятся из системы интегро-дифференциальных уравнений
(10) – (11), граничных условий (6), условий сохранения объема несжи-
маемой жидкости (7), ограниченности прогиба в нуле (8) и заданных
начальных условий.
36 Кононов Ю. Н., Джуха Ю. А.
4 Собственные частоты совместных колебаний упру-
гой мембраны и жидкости
Для нахождения собственных частот совместных колебаний упругой
мембраны и жидкости положим:
W (r, t) = w (r) eiωt, ρQ = C0e
iωt, P0 = 0. (12)
Подставив (12) в (10)–(11), (6)–(8), получим:
∆2w + qw = −ω
2
T
∞∑
n=1
anwn
kn
ψn + C, (13)
wn =
1
N2
n
a∫
0
rwψndr, (14)
w|r=a = 0, (15)
a∫
0
rwdr = 0, (16)
w (0) <∞. (17)
Здесь q =
(
k0ω
2 − gρ
)/
T , C = −C0/T .
Общее решение уравнения (13) будем искать в виде общего реше-
ния однородного уравнения и частного решения неоднородного [3].
Из-за условия (17) будем иметь:
w = A0w0 +
∞∑
n=1
C̃nψn + w0, (18)
где A0, C̃n и w0 – неизвестные константы, а ограниченное решение
w0 находится из однородного уравнения ∆2w
0 + qw0 = 0.
Подставив (18) в уравнение (13), и воспользовавшись соотноше-
нием ∆2ψn = −k2nψn из (9), получим:
C̃n =
ω2an
kndn
wn, C = qw0, (19)
где dn = Tk2n + gρ− k0ω
2.
Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой . . . 37
Подставив (18) в (14), и принимая во внимание (19), найдем вы-
ражение для wn через неизвестную константу A0:
wn =
kndn
kndn − ω2an
A0E0
n. (20)
Здесь
E0
n =
1
N2
n
a∫
0
rw0ψndr. (21)
С учетом (16), (19) и (20) окончательное выражение для формы
прогиба мембраны w примет вид:
w =
(
w0 − w̃0 − ω2
∞∑
n=1
an
ω2ãn − knd̃n
E0
nψn
)
A0, (22)
где w̃0 = 2
a2
a∫
0
rw0dr , ãn = an + knk0, d̃n = Tk2n + gρ .
Из граничных условий закрепления мембраны (15) следует ча-
стотное уравнение собственных совместных колебаний упругой мем-
браны и жидкости:
w0
∣∣
r=a
− w̃0 − ω2
∞∑
n=1
αnE
0
nJ0(ξn) = 0. (23)
Здесь αn = an
/(
ω2an − kndn
)
= an
/(
ω2ãn − knd̃n
)
.
Воспользовавшись разложением функции w0 в ряд по полной и
ортогональной системе функций ψn, условием
a∫
0
rψndr = 0 и обозна-
чением (21), уравнение (23) можно переписать так:
∞∑
n=1
βnE
0
nJ0(ξn) = 0, (24)
Здесь βn = 1− ω2αn = −kndn
/(
ω2ãn − knd̃n
)
.
Таким образом, рассматриваемая задача имеет бесконечный дис-
кретный спектр собственных значений ω2
l , являющихся корнями ха-
рактеристических уравнений (23) и (24), а соответствующие им соб-
ственные функции wl (r) образуют полную ортогональную систему
38 Кононов Ю. Н., Джуха Ю. А.
функций на отрезке [0, a]. Однако, следует отметить, что при опреде-
ленных соотношениях параметров механической системы частотные
уравнения могут не иметь положительных корней, т.е. плоская фор-
ма равновесия упругой мембраны может быть неустойчивой. Как,
например, при отрицательной перегрузке [1, 6-7].
Решения однородного уравнения w0 и значения коэффициента E0
n
зависят от знака величины q.
При q < 0 будем иметь
w0 = I0(pr), E
0
1n =
2p1I1(p1)
a2 (p2 + k2n) J0(ξn)
и частотное уравнение (24) запишется так:
2p1I1(p1)T
a2
∞∑
n=1
β̃n = 0. (25)
Здесь p2 = −q, p1 = pa, β̃n = kn
/(
ω2ãn − knd̃n
)
.
При q > 0 получим
w0 = J0(p̃r), E
0
1n =
2p̃1J1(p̃1)
a2 (p̃2 − k2n)J0(ξn)
и частотное уравнение (24) примет вид
2p̃1J1(p̃1)T
a2
∞∑
n=1
β̃n = 0, (26)
где p̃2 = q, p̃1 = pa.
Так как I1(p1) 6= 0 и J1(p̃1) 6= 0, то из вида уравнений (25) и (26)
следует, что частотное уравнение (24) не зависит от условий k0ω
2 −
−g∆ρ > 0 или k0ω2−g∆ρ < 0 и может быть записано в единой форме
∞∑
n=1
β̃n = 0 или
∞∑
n=1
kn
ω2ãn − knd̃n
= 0. (27)
Несложно показать, что нули знаменателя левой части уравнения
(27) описывают частоты колебаний незакрепленной мембраны.
Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой . . . 39
Следует отметить, что такого упрощения удалось достигнуть за
счет разложения функции w0 в ряд по полной и ортогональной си-
стеме собственных функций ψn и рассмотрении уравнения (24). При
численных расчетах уравнение (23) имеет лучшую сходимость, чем
уравнение (27). Однако, для аналитических исследований удобнее ис-
пользовать уравнение (27).
Левая часть уравнения (27) является монотонно возрастающей
функцией параметра ω2 на интервале
(
knd̃n
/
ãn, kn+1d̃n+1
/
ãn+1
)
(n = 1, 2, ...), принимающая на нем значения от −∞ до ∞. Следова-
тельно, между двумя последовательными значениями knd̃n
/
ãn ле-
жит только один корень уравнения (27). Этим заранее определяются
интервалы, в которых находятся собственные частоты.
Таким образом, рассматриваемая задача имеет бесконечный дис-
кретный спектр собственных значений ω2
l , являющихся корнями ха-
рактеристических уравнений (23) и (27), а соответствующие им соб-
ственные функции wl (r) образуют полную ортогональную систему
функций на отрезке [0, a].
5 Устойчивость осесимметричных колебаний упру-
гой мембраны при перегрузке
Пусть g = g0nx, где nx – величина перегрузки. Если в ряде уравнения
(27) удержать два члена, то из неравенства ω2 > 0 следует условие
устойчивости плоской формы равновесия мембраны d̃1 + d̃2 > 0 или
T̃ > 0.03130ñx. (28)
Здесь безразмерная величина T̃ = T
/
g0ρa
2, ñx = −nx.
Из неравенства (28) следует, что при неотрицательной перегрузке
(nx > 0) осесимметричные колебания всегда устойчивые. Неустойчи-
вость может возникнуть только при отрицательной перегрузке. Усло-
вие устойчивости (28) не зависит от глубины заполнения жидкости и
массы мембраны. Неравенство (28) можно уточнить с учетом трех и
более членов ряда, но при этом придется воспользоваться условиями
положительности корней полиномов n - ой степени, что значительно
усложнит аналитические исследования.
Для уточнения условия устойчивости (28) при nx < 0 поступим
следующим образом: в частотном уравнении (27) положим ω2 = 0.
40 Кононов Ю. Н., Джуха Ю. А.
Оно примет вид
∞∑
n=1
1
ξ2n − α2
= 0, (29)
где α2 = ñx
/
T̃ > 0.
Числовой ряд
∞∑
n=1
1
/(
ξ2n − α2
)
может быть представлен следую-
щим образом [13]:
∞∑
n=1
1
ξ2n − α2
= − J0(α)
2αJ1(α)
. (30)
Первый положительный корень уравнения (29), с учетом (30), имеет
вид α = 5.520078110, который даст следующее точное условие устой-
чивости:
T̃ > 0.03282ñx. (31)
Следует отметить близость приближенного значения и точного,
т.е. учет двух членов ряда дает достаточную для практики точность.
Проведенные численные расчеты частотных уравнений (23) и (27)
подтвердили достоверность полученных условий устойчивости.
[1] Самодаев В. Е. Влияние перегрузки на частоты собственных колеба-
ний жидкости в жестком цилиндрическом баке с мембраной на сво-
бодной поверхности // Труды семинара «Динамика упругих и твердых
тел, взаимодействующих с жидкостью». — 1972. — С. 180–186.
[2] Докучаев Л. В. О колебании резервуара с жидкостью, на свободной
поверхности которой расположена мембрана // Строительная меха-
ника и расчет сооружений. — 1972. — № 1. — С. 49–54.
[3] Докучаев Л. В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с де-
формируемыми элементами. — М.: Машиностроение, 1987. — 232 с.
[4] Троценко В. А., Богун Р. И. Колебания жидкости в осесимметричном
резервуаре с мембраной на свободной поверхности // Аналiтична ме-
ханiка та її застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2008. — 5, № 2. — С. 304–343.
[5] Троценко В. А., Богун Р. I. Вимушенi коливання рiдини в руховому
резервуарi з мембраною на її вiльнiй поверхнiю // Аналiтична меха-
нiка та її застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2010. — 7, № 3. — С. 62–77.
Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой . . . 41
[6] Кононов Ю. Н., Федорчук А. И. Влияние перегрузки на собственные
колебания кольцевой невесомой мембраны, расположенной на свобод-
ной поверхности жидкости // Вiсн. Донецького ун-ту. Сер. А. При-
родничi науки. — 2015. — № 1-2. — С. 109–115.
[7] Кононов Ю. М., Федорчук О. I. Вплив перевантаження на вiль-
нi коливання кiльцевої мембрани, розмiщеної на вiльнiй по-
верхнi рiдини // Конференцiя молодих учених «Пiдстригачiв-
ськi читання - 2016» [Електронний ресурс] . — Режим доступу:
http://iapmm.lviv.ua/chyt2016/theses/Fedorchuk.pdf (дата обращения:
19.02.2014).
[8] Кононов Ю. Н., Джуха Ю. А. Осесимметричные колебания двухслой-
ной жидкости со свободной поверхностью в жестком круговом цилин-
дрическом резервуаре с упругим дном // Вiсн. Донецького ун-ту. Сер.
А. Природничi науки. — 2015. — 7, № 1-2. — С. 116–125.
[9] Кононов Ю. Н., Джуха Ю. А. Осесимметричные колебания двухслой-
ной жидкости со свободной поверхностью в жестком круговом цилин-
дрическом резервуаре с упругим дном // Вiсн. Запорiзького нацiо-
нального ун-ту. Сер. Физ.-мат. наук. — 2016. — № 1. — С. 103–115.
[10] Гончаров Д. А. Осесимметричные колебания двухплотностной жидко-
сти в цилиндрическом баке — Электронное научно-техническое изда-
ние: Наука и образование [Электронный ресурс], 2012. — № 4. — Ре-
жим доступу: http://technomag.bmstu.ru/doc/362856.html (дата обра-
щения: 19.02.2014).
[11] Гончаров Д. А. Динамика двухслойной жидкости, разделенной
упругой перегородкой с учетом сил поверхностного натяже-
ния — Электронное научно-техническое издание: Наука и обра-
зование [Электронный ресурс], 2013. — № 11. — Режим досту-
пу: http://technomag.bmstu.ru/doc/619258.html (дата обращения:
19.02.2014).
[12] Пожалостин А. А., Гончаров Д. А. Свободные осесимметричные ко-
лебания двухслойной жидкости с упругим разделителем между сло-
ями при наличии сил поверхностного натяжения — // Инженерный
журнал: наука и инновации. [Электронный ресурс], 2013. — № 12. —
Режим доступу: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormach/1147.html
(дата обращения: 19.02.2014).
[13] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции
Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные много-
члены. — М: Наука, 1966. — 296 с.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-331 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:48Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/1c/8563791fab06fe7cfe4117cfaa30ec1c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3312018-02-13T11:53:50Z The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой мембраны, расположенной на свободной поверхности жидкости в цилиндрическом резервуаре Вплив перевантаження на осесиметричні коливання кругової мембрани, розташованої на вільної поверхні рідини в циліндричному резервуарі Kononov, Yu. N. Juha, Yu. A. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. A frequency equation of axisymmetric oscillations of a circular membraneon the free surface of an ideal incompressible fluid in an upright circularcylindrical tank is derived. The frequency equation is simplified and one isshown that it can be represented in a unified invariant form with respectto the frequency which is looked for. Accounting for two terms in a seriesfrom the frequency equation, an approximate condition for the stabilityof the coupled axisymmetric fluid-membrane vibrations is derived. Thecondition is independent of the membrane mass of and the fluid depth. Itis shown that instability can only be associated with a negative overload.An algorithm leading to an exact stability condition is proposed. A noteis that taking two terms in series provides a sufficient practical accuracy. Выведено частотное уравнение осесимметричных колебаний круговой мембраны, расположенной на свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в прямом круговом цилиндрическом резервуаре. Проведено упрощение частотного уравнения и показано, что оно может быть представлено в единственной форме независимо от разыскиваемой частоты. С учетом двух членов в ряде частотного уравнения получено приближенное условие устойчивости совместимых осесимметричных колебаний мембраны и жидкости. Это условие не зависит от массы мембраны и глубины заполнения жидкости. Показано, что неустойчивость может возникнуть только при отрицательной перегрузке. Предложен алгоритм, позволяющий получить точное условие устойчивости. Отмечается, что учет двух членов ряда дает достаточную для практики точность. Виведене частотне рiвняння осесиметричних коливань кругової мембрани, розташованої на вiльнiй поверхнi iдеальної нестисливої рiдини, що знаходиться у прямому круговому цилiндричному резервуарi. Проведене спрощення частотного рiвняння i показано, що воно може бути представлене в єдинiй формi незалежно вiд розшукуваної частоти. Iз урахуванням двох членiв у рядi частотного і отримана наближена умова стiйкостi сумiсних осесиметричних коливань мембрани i рiдини. Ця умова не залежить вiд маси мембрани i глибини заповнення рiдини. Показано, що нестiйкiсть може виникнути тiльки при і’ємному перевантаженнi. Запропонований алгоритм, що дозволяє отримати точну умову стiйкостi. Вiдзначається, що урахування двох членiв ряду дає достатню для практики точнiсть. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/331 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 32-41 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 32-41 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 32-41 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/331/342 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Kononov, Yu. N. Juha, Yu. A. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. Кононов, Ю. Н. Джуха, Ю. А. The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| title | The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| title_alt | Влияние перегрузки на осесимметричные колебания круговой мембраны, расположенной на свободной поверхности жидкости в цилиндрическом резервуаре Вплив перевантаження на осесиметричні коливання кругової мембрани, розташованої на вільної поверхні рідини в циліндричному резервуарі |
| title_full | The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| title_fullStr | The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| title_full_unstemmed | The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| title_short | The effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| title_sort | effect of overload on the axisymmetric oscillations of a circular diaphragm located on a free surface of a liquid in a cylindrical tank |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/331 |
| work_keys_str_mv | AT kononovyun theeffectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT juhayua theeffectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT kononovûn theeffectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT džuhaûa theeffectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT kononovûn theeffectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT džuhaûa theeffectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT kononovyun vliânieperegruzkinaosesimmetričnyekolebaniâkrugovojmembranyraspoložennojnasvobodnojpoverhnostižidkostivcilindričeskomrezervuare AT juhayua vliânieperegruzkinaosesimmetričnyekolebaniâkrugovojmembranyraspoložennojnasvobodnojpoverhnostižidkostivcilindričeskomrezervuare AT kononovûn vliânieperegruzkinaosesimmetričnyekolebaniâkrugovojmembranyraspoložennojnasvobodnojpoverhnostižidkostivcilindričeskomrezervuare AT džuhaûa vliânieperegruzkinaosesimmetričnyekolebaniâkrugovojmembranyraspoložennojnasvobodnojpoverhnostižidkostivcilindričeskomrezervuare AT kononovûn vliânieperegruzkinaosesimmetričnyekolebaniâkrugovojmembranyraspoložennojnasvobodnojpoverhnostižidkostivcilindričeskomrezervuare AT džuhaûa vliânieperegruzkinaosesimmetričnyekolebaniâkrugovojmembranyraspoložennojnasvobodnojpoverhnostižidkostivcilindričeskomrezervuare AT kononovyun vplivperevantažennânaosesimetričníkolivannâkrugovoímembraniroztašovanoínavílʹnoípoverhnírídinivcilíndričnomurezervuarí AT juhayua vplivperevantažennânaosesimetričníkolivannâkrugovoímembraniroztašovanoínavílʹnoípoverhnírídinivcilíndričnomurezervuarí AT kononovûn vplivperevantažennânaosesimetričníkolivannâkrugovoímembraniroztašovanoínavílʹnoípoverhnírídinivcilíndričnomurezervuarí AT džuhaûa vplivperevantažennânaosesimetričníkolivannâkrugovoímembraniroztašovanoínavílʹnoípoverhnírídinivcilíndričnomurezervuarí AT kononovûn vplivperevantažennânaosesimetričníkolivannâkrugovoímembraniroztašovanoínavílʹnoípoverhnírídinivcilíndričnomurezervuarí AT džuhaûa vplivperevantažennânaosesimetričníkolivannâkrugovoímembraniroztašovanoínavílʹnoípoverhnírídinivcilíndričnomurezervuarí AT kononovyun effectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT juhayua effectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT kononovûn effectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT džuhaûa effectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT kononovûn effectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank AT džuhaûa effectofoverloadontheaxisymmetricoscillationsofacirculardiaphragmlocatedonafreesurfaceofaliquidinacylindricaltank |