Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid
Within the framework of hypothesises of the dynamics of relative motions of mechanical systems, the paper considers a generalised N. Joukowskii’ problem [1] stated here for reservoirs with deformable walls. A finite set of generalised coordinates is introduced, by using which necessary kinematic and...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/335 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552845979418624 |
|---|---|
| author | Lukovsky, I. A. Луковский, И. А. Луковський, І. О. |
| author_facet | Lukovsky, I. A. Луковский, И. А. Луковський, І. О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. О. Луковський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Lukovsky, I. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | Within the framework of hypothesises of the dynamics of relative motions of mechanical systems, the paper considers a generalised N. Joukowskii’ problem [1] stated here for reservoirs with deformable walls. A finite set of generalised coordinates is introduced, by using which necessary kinematic and dynamic parameters of the reservoirs-liquid mechanical system are defined. Derivations of the governing equations and the solving of basic boundary value problems with respect of the velocity potential are done by employing variational principles of the continuum mechanics. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 71–87
УДК 532.595
Просторовий рух пружного
резервуара, цiлком заповненого
iдеальною нестисливою рiдиною
I. О. Луковський
Iнститут математики НАН України, Київ; lukovsky@imath.kiev.ua
Within the framework of hypothesises of the dynamics of relative motions
of mechanical systems, the paper considers a generalised N. Joukowskii’
problem [1] stated here for reservoirs with deformable walls. A finite set of
generalised coordinates is introduced, by using which necessary kinematic
and dynamic parameters of the reservoirs-liquid mechanical system are
defined. Derivations of the governing equations and the solving of basic
boundary value problems with respect of the velocity potential are done
by employing variational principles of the continuum mechanics.
У розрiзi гiпотез динамiки вiдносного руху механiчних систем у роботi
розглядається узагальнення задачi М. Є. Жуковського [1], сформульо-
ваної тут для випадку резервуарiв з деформiвними стiнками. У роз-
гляд вводиться злiчена множина узагальнених координат, через якi
визначаються необхiднi кiнематичнi i динамiчнi величини механiчної
системи резервуар-рiдина. Вивiд рiвнянь руху механiчної системи та
розв’язування базових крайових задач для потенцiалу швидкостей рi-
дини здiйснюється на основi варiацiйних принципiв механiки та фор-
мулюваннях вiдповiдних варiацiйних проблем.
Вступ
При дослiдженнi руху матерiальної системи, яка складається iз "не-
сучого" твердого деформiвного тiла (резервуар) i обмеженого об’єму
рiдини Q(t) ("тiло" , що переноситься), передбачається двi постанов-
ки задач динамiки.
c© Луковський I. О., 2017
72 Луковський I. О.
У першiй задачi динамiки припускається рух "несучого" твердого
тiла заданим, а визначенню пiдлягає рух рiдини у резервуарi, а також
сил взаємодiї мiж рiдиною i пружними стiнками резервуара.
Друга, бiльш загальна задача динамiки, передбачає визначення
як руху самого резервуару, так i руху рiдини усерединi резервуару, а
також сил взаємодiї мiж рiдиною i резервуаром.
Положення всiєї системи у цьому випадку буде визначатися, вза-
галi кажучи, 6-ма проекцiями квазiшвидкостей i злiченою кiлькiстю
узагальнених координат qn(t), що характеризують вектор пружних
перемiщень стiнок резервуара.
Розгляд цього дослiдження зручно розпочати з постановки першої
задачi динамiки системи резервуар-рiдина.
1 Крайова задача теорiї просторового руху резер-
вуара, цiлком заповненого iдеальною нестисли-
вою рiдиною
Нехай резервуар з пружними стiнками, цiлком заповнений iдеальною
нестисливою рiдиною, здiйснює поступальний i обертальний рух iз
заданою поступальною швiдкiстю v0 i миттєвою кутовою швидкiстю
ω(t). Введему в розгляд абсолютну систему координат O′x′y′z′ i си-
стему координат Oxyz, незмiнно зв’язану з резервуаром з абсолютно
жорсткими стiнками.
Цей "твердий скелет" у розглядуванiй тут теорiї являє собою
несуче тiло. До тiл, що переносяться, вiдноситься обмежений об’єм
рiдини Q(t) i частинки пружної його поверхнi, якi здiйснюють ма-
лi рухи вiдносно тих положень, якi б вони займали при абсолютно
жорстких стiнках резервуара. Положення точок M скелета задамо
радiус-вектором ρ; через r′
0 позначимо радiус-вектор полюса O вiд-
носно нерухомих осей з початком у точцi O′.
Перемiщення частинки, яка знаходиться у точцi M , задамо векто-
ром u(x, y, z, t). При цьому припускається, що час входить в u через
параметри qα(t), якi у подальшому грають роль узагальнених коор-
динат. Вектор перемiщень u(x, y, z, t) у рамках методiв аналiтичної
механiки з скiнченним числом ступенiв вiльностi також вважатимемо
вiдомою функцiєю поряд з векторами v0(t) i ω(t).
Рух резервуара з рiдиною розглядатимемо у потенцiальному си-
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 73
ловому полi, для якого потенцiал сил тяжiння має вигляд
U = −g · r′ = −g · (r′0 + r), (1)
де r′ — радiус-вектор точки системи резервуар-рiдина вiдносно то-
чки O′; r′
0 — радiус-вектор точки O вiдносно нерухомої точки O′; r
— радiус-вектор якої-небудь точки системи вiдносно точки O; g —
вектор прискорення сил тяжiння.
Далi будемо припускати, що у початковий момент часу рiдина
знаходиться у станi спокою, або у станi безвихрового руху. Для iде-
альної нестисливої рiдини це означає, що на основi вiдомої теореми
Лагранжа її подальший рух у потенцiальному силовому полi буде та-
кож безвихровий. Вектор швидкостей частинок рiдини у нерухомiй
системi координат O′x′y′z′, задовольняє умову
rotv = 0, (2)
i у розгляд можна ввести однозначний потенцiал швидкостей — гар-
монiчну функцiю Φ1(x
′, y′, z′) координат частинок рiдини, градiєнт
якої дорiвнює вектору абсолютної швидкостi va частинки.
За допомогою формул перетворення координат потенцiал швидко-
стей Φ1 у рухомiй системi координат можна представити як функцiю,
гармонiчну за координатами x, y, z, в яку тепер увiйде i час t:
Φ1(x
′, y′, z′) = Φ(x, y, z, t).
Тепер абсолютна швидкiсть va у рухомiй системi координат пред-
ставляється як
va = gradΦ, (3)
причому Φ залишається гармонiчною функцiєю за змiнними x, y, z.
Позначивши через r{x(t), y(t), z(t)} радiус-вектор частинки рiди-
ни у зв’язанiй системi координат Oxyz, а через r{ẋ(t), ẏ(t), ż(t)} ї ї
вiдносну швидкiсть, на основi теореми про розподiл швидкостей у
складному русi механiчної системи, маємо:
va = ∇Φ = vo + ω × r +
∗
r . (4)
Тут i у подальшому зiрочкою позначенi вектори, проекцiї яких на
осi зв’язаної системи координат Oxyz дорiвнюють похiдним за часом
вiд проекцiй на них вiдповiдних векторiв [2].
74 Луковський I. О.
Для потенцiалу швидкостей Φ(x, y, z, t), який описує абсолютний
рух рiдини у рухомiй системi координат, на основi зазначеного вище
можна сформулювати наступну крайову задачу:
∇2Φ = 0, r ∈ Q(t), (5)
∂Φ
∂ν
= v0 · ν + ω · (r × ν) +
∂uν
∂t
, r ∈ S(t), (6)
де ν — орт зовнiшньої нормалi до поверхнi S(t) обмеженого об’єму
рiдини Q(t); uν — проекцiя пружного перемiщення u(x, y, z, t) на на-
прям зовнiшньої нормалi до поверхнi S(t).
Формулювання крайової умови (6) задачi (5)–(6) одержано шля-
хом прирiвнювання нормальних складових абсолютної швидкостi стi-
нок резервуара i частинок рiдини об’єму Q(t). У випадку абсолютно
жорстких стiнок резервуара ∂uν
∂t
= 0.
Тиск в iдеальнiй рiдинi у випадку потенцiальних рухiв визначає-
ться, як вiдомо, iз iнтеграла Лагранжа–Кошi, який у зв’язанiй систе-
мi координат приймає вигляд
∂Φ
∂t
+
1
2
(∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r) + U +
p
ρ
= 0, (7)
де ρ — масова густина рiдини; U — потенцiал сил тяжiння (1).
Зауважимо, що похiдна за часом ∂Φ
∂t
у (7) обчислюється у рухо-
мiй системi координат, тобто для точки M , яка незмiнно зв’язана з
рухомою системою координат i має вiдносно неї координати x, y, z.
Умови розв’язностi крайової задачi (5)-(6) має вигляд
∫
S(t)
FdS = 0, (8)
де функцiя F приймає на S(t) значення у вiдповiдностi з (6).
2 Варiацiйний принцип у задачi про просторовий
рух пружного резервуара, цiлком заповненого
рiдиною
Покажемо, що крайова задача (5)–(6) випливає iз варiацiйного прин-
ципу Гамiльтона–Остроградського, в якому роль функцiї Лагранжа
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 75
вiдiграє вираз
L =
∫
Q(t)
p dQ = −ρ
∫
Q(t)
[
∂Φ
∂t
+
1
2
(∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r) + U
]
dQ,
(9)
де ρ — масова густина; Q(t) — об’єм рiдини, обмежений пружними
стiнками резервуара S(t).
У вiдповiдностi з цим принципом для дiйсних рухiв рiдини у си-
ловому полi (1), викликаних нормальними пружними перемiщеннями
uν(x, y, z, t), iнтеграл
W =
t2∫
t1
Ldt (10)
приймає стацiонарнi значення, тобто
δW = δ
t2∫
t1
Ldt = 0. (11)
При цьому вважається, що дiйснi рухи i всi рухи порiвняння почи-
наються одночасно у момент часу t1 i закiнчуються також одночасно
у момент часу t2. Початкове i кiнцеве положення системи повиннi
бути одними i тими ж для дiйсних рухiв i рухiв порiвняння.
Вiдповiдна цьому принципу варiацiйна задача формулюється так:
iз всiх функцiй Φ(x, y, z, t), неперервних разом з похiдними першо-
го порядку за просторовими змiнними i часом t, знайти таку, яка
доставляє iнтегралу W стацiонарне значення. Дiйснi рухи тут визна-
чаються функцiєю Φ(x, y, z, t), рухи порiвняння — функцiями Φ+δΦ,
причому
δΦ(x, y, z, t1) = 0, δΦ(x, y, z, t2) = 0. (12)
Першу варiацiю δW обчислимо, прийнявши до уваги вираз
ρ
∫
Q(t)
UdQ = −ρ
∫
Q(t)
g · r′ dQ = −m1g · r′1C , (13)
де
r′
1C = r′
0 + r1C ; (14)
76 Луковський I. О.
r′
1C — радiус-вектор центра мас об’єму рiдини Q(t) вiдносно точки
O′; r1C — радiус-вектор центра мас рiдини вiдносно точки O; m1 —
маса рiдини.
Для "функцiї Лагранжа" (9) спочатку одержимо вираз
L = −ρ
∫
Q(t)
[
∂Φ
∂t
+
1
2
(∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r)
]
dQ+m1g · r′
1C , (15)
пiсля чого у вiдповiдностi з (11) знайдемо
δW = −ρ
t2∫
t1
∫
Q(t)
{[δΦt +∇Φ · ∇(δΦ)− v0 · ∇(δΦ) −
− (ω × r) · ∇(δΦ)] dQ} dt+m1
t2∫
t1
g · δr′1Cdt = 0. (16)
Iнтеграли
∫
Q(t)
∇Φ · ∇(δΦ) dQ,
∫
Q(t)
v0 · ∇(δΦ) dQ i
∫
Q(t)
(ω × r) · ∇(δΦ) dQ
перетворимо, застосувавши теорему Грiна
∫
Q(t)
∇ϕ · ∇ψdQ =
∫
S(t)
ψ
∂ϕ
∂ν
dS −
∫
Q(t)
ψ∇2ϕdQ. (17)
Поклавши у (17) ∇ϕ = ω × r = i1(ω2z − ω3y) + i2(ω3x − ω1z) +
i3(ω1y − ω2x) i прийнявши до уваги, що ∇(v0 · r) = v0, одержимо
∫
Q(t)
∇Φ · ∇(δΦ)dQ =
∫
S(t)
δΦ
∂Φ
∂ν
dS −
∫
Q(t)
δΦ∇2ΦdQ,
∫
Q(t)
v0 · ∇(δΦ)dQ =
∫
Q(t)
∇(v0 · r) · ∇(δΦ)dQ =
∫
S(t)
δΦv0 · νdS, (18)
∫
Q(t)
(ω × r) · ∇(δΦ)dQ =
∫
S(t)
δΦ(ω × r) · νdQ.
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 77
У силу того, що час не варiюється, то
∫
Q(t)
δΦtdQ =
∫
Q(t)
∂
∂t
(δΦ)dQ. (19)
Застосовуючи до цього виразу формулу
d
dt
∫
Q(t)
fdQ =
∫
Q(t)
∂f
∂t
dQ +
∫
S(t)
fvνdS, (20)
справедливу для довiльної функцiї f(x, y, z, t) у випадку, коли
область Q(t) залежить вiд часу, одержимо
∫
Q(t)
∂
∂t
(δΦ)dQ =
d
dt
∫
Q(t)
δΦdQ−
∫
S(t)
δΦvνdS, (21)
де vν означає нормальну швидкiсть границi областi Q(t).
Останнiй вираз у (16) перетворимо з врахуванням формули для
вiртуального (можливого) перемiщення довiльної точки Mi розгля-
дуваної механiчної системи
δri = δr′0 + δθ × ri + δ1ri, (22)
де δr′
0 — вiртуальне перемiщення полюса O рухомої системи коор-
динат Oxyz; δθ — вектор нескiнченно малого повороту резервуара
вiдносно точки O; δ1 означає варiацiю при фiксованих ортах зв’яза-
ної системи is.
З врахуванням (22) одержимо
m1
t2∫
t1
g · δr′
1Cdt =
t2∫
t1
[m1g · δr′
0 + (m1r1C × g)δθ +m1δr1C ]dt. (23)
У силу того, що рух резервуара вважається вiдомим, то δr′0 = 0 i
δθ = 0 , а значить
m1
t2∫
t1
g · δr′
1Cdt = m1
t2∫
t1
g · δr1Cdt = 0, (24)
78 Луковський I. О.
де m1r1C = ρ
∫
Q(t)
rdQ.
При обчисленнi варiацiї δr1C приймалося до уваги, що змо-
чувана поверхня резервуара здiйснює наперед заданi перемiщення
u(x, y, z, t).
Пiдставляючи спiввiдношення (18), (21) i (24) у (16), одержимо
δW = ρ
t2∫
t1
∫
S(t)
[
∂Φ
∂ν
− v0 · ν − (ω × r) · ν − ∂uν
∂t
]
δΦdS −
−
∫
Q(t)
∇2ΦδΦdQ+
d
dt
∫
Q(t)
δΦdQ
dt = 0. (25)
Останнiй доданок у цьому рiвняннi обертається у нуль у вiдповiдностi
з умовами (12).
У силу незалежностi варiацiй δΦ iз (25) випливає крайова задача
(5)-(6).
Варiацiйне формулювання крайової задачi (5)-(6) можна вико-
ристати для побудови наближених методiв визначення потенцiалу
швидкостей Φ(x, y, z, t), а разом з цим i виводу рiвнянь руху роз-
глядуваної механiчної системи у цiлому.
Кiнематична крайова умова задачi (6) дозволяє подати потенцiал
швидкостей Φ(x, y, z, t) у виглядi
Φ(x, y, z, t) = v0 · V + ω ·Ω+ ϕ, (26)
де V (x, y, z) i Ω(x, y, z) — гармонiчнi вектори, тобто вектори, проекцiї
яких V1, V2, V3 i Ω1,Ω2,Ω3 на осi Oxyz є гармонiчними функцiями, що
задовольняють крайовi умови:
∂V1
∂ν
∣∣∣
S(t)
= ν1,
∂V2
∂ν
∣∣∣
S(t)
= ν2,
∂V3
∂ν
∣∣∣
S(t)
= ν3; (27)
∂Ω1
∂ν
∣∣∣
S(t)
= yν3 − zν2,
∂Ω2
∂ν
∣∣∣
S(t)
= zν1 − xν3,
∂Ω3
∂ν
∣∣∣
S(t)
= xν2 − yν1. (28)
Тут ν1, ν2, ν3 — проекцiї орта ν на вiсi системи Oxyz. Гармонi-
чна функцiя ϕ(x, y, z), яка входить у представлення (26), задовольняє
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 79
крайову задачу
∇2ϕ = 0, r ∈ Q(t),
∂ϕ
∂ν
∣∣∣
S0
=
∂uν
∂t
. (29)
Потенцiал швидкостей рiдини ϕ виникає за рахунок пружних ко-
ливань стiнок резервуара, обумовлених пружними перемiщеннями
u(x, y, z, t).
У вiдповiдностi зi змiстом п. 1 частинки пружної поверхнi резер-
вуара здiйснюють малi рухи вiдносно тих положень, якi б вони за-
ймали при абсолютно жорстких стiнках резервуара. Цим обумовлена
функцiональна залежнiсть вектора пружних перемiщень u(x, y, z, t)
як вiд координат x, y, z точок несучого тiла, так i вiд узагальнених
координат qk(t), в якостi яких ми виберемо узагальненi коефiцiєнти
Фур’є у розвиненнi
u(x, y, z, t) =
n∑
k
qk(t)ϕ
∗
k(x, y, z), (30)
де ϕ∗
k — повна ортогональна разом з константою система функцiй,
задана на поверхнi резервуара S0 у його натуральному станi.
Таку повну систему функцiй пов’яжемо з розв’язками розглянутої
ранiше автором наступної задачi на власнi значення з параметром κ∗
у граничнiй умовi на недеформованiй поверхнi резервуара [3], [4]:
∇2ϕ∗ = 0, r ∈ Q;
∂ϕ∗
∂ν
∣∣∣
S0
= κ
∗ϕ∗. (31)
На абсолютно жорстких частинах змочуваної поверхнi резервуара
формулюється умова ∂ϕ∗
∂ν = 0.
Варiацiйним методом встановленi дискретнiсть спектра та повнота
систем власних функцiй спектральних задач типу (31) у роботах [4],
[5] та iнших.
Розв’язки крайових задач (27) з точнiстю до довiльної функцiї
часу мають вигляд
V1 = x, V2 = y, V3 = z, (32)
так що V = r.
Розв’язки крайових задач для Ωi з умовами (28) єдинi при умовi
∫
S(t)
∂Ωi
∂ν
dS = 0, (33)
80 Луковський I. О.
у чому можна пересвiдчитися, застосувавши формулу Гауса–
Остроградського для перетворення поверхневого iнтеграла в об’єм-
ний ∫
S(t)
Fν1dS =
∫
Q(t)
∂F
∂x
dQ,
∫
S(t)
Fν2dS =
∫
Q(t)
∂F
∂y
dQ,
∫
S(t)
Fν3dS =
∫
Q(t)
∂F
∂z
dQ, (34)
де F — неперервна функцiя разом з частинними похiдними в областi
Q(t) i на її границi.
Наприклад, для функцiї Ω1 маємо
∫
S(t)
∂Ω1
∂ν
dS =
∫
S(t)
(yν3 − zν2)dS =
∫
Q(t)
(
∂y
∂z
− ∂z
∂y
)
dQ ≡ 0. (35)
Для складової потенцiалу швидкостей ϕ(x, y, z, t) умовою розв’я-
зностi крайової задачi (29) є
∫
S0
∂ϕ
∂ν
dS =
∫
S0
∂uν
∂t
dS = 0. (36)
Таким чином, у випадку заданого руху резервуара з пружними
стiнками рух рiдини можна вважати вiдомим, якщо знайденi розв’яз-
ки крайових задач Неймана для функцiй Ωi i ϕ.
3 Визначення сил взаємодiї мiж пружними стiн-
ками резервуара i рiдиною
Абсолютний рух рiдини, що цiлком заповнює резервуар з пружними
стiнками S(t), у потенцiальному полi сил тяжiння описується кра-
йовою задачею (5)-(6). У рухомiй системi координат Oxyz, незмiн-
но зв’язанiй з резервуаром з абсолютно жорсткими стiнками, тиск
у рiдинi визначається iз iнтеграла Лагранжа–Кошi (7). При цьо-
му перемiщення частинки, яка знаходилася у точцi M "жорстко-
го скелету" , задається, як зазначалося вище, вектором перемiщень
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 81
u(x, y, z, t). Таким чином, вважається вiдомою (заданою) функцiо-
нальна залежнiсть вектора u як вiд координат x, y, z точки у неде-
формованому станi резервуара, так вiд узагальнених координат qk(t):
u = u(x, y, z; q1, q2, ..., qn). (37)
За означенням головний вектор P i головний момент N сил тиску,
якi дiють з боку рiдини на рухомий резервуар, дорiвнюють
P =
∫
S
pν dS, N =
∫
S
r × pν dS. (38)
Пiдставивши p iз (7) у вирази (38), одержимо
P = −ρ
∫
S
[
∂Φ
∂t
+
1
2
(∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r) + U
]
ν dS, (39)
N = −ρ
∫
S
r ×
[
∂Φ
∂t
+
1
2
(∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r) + U
]
ν dS. (40)
Вирази для головного вектора P (39) i головного момента N (40)
сил тиску перетворимо, застосувавши вiдповiднi iнтегральнi теореми
теорiї поля. Передусiм наведемо формулу
d
dt
∫
Q
fdQ =
∫
Q
∂f
∂t
dQ+
∫
S
fvνdS, (41)
справедливу для довiльної функцiї f(x, y, z, t) у випадку, коли
область Q залежить вiд часу t, де vν означає нормальну швидкiсть
границi областiQ, яка приймається позитивною в напрямi зовнiшньої
нормалi до границi.
Поверхневi iнтеграли, якi фiгурують у виразах (39) i (40), перетво-
римо в об’ємнi, застосувавши теорему Гауса–Остроградського. Спо-
чатку отримаємо
ρ
∫
S
∂Φ
∂t
ν dS = ρ
∫
Q
∇
(
∂Φ
∂t
)
dQ = ρ
∫
Q
∂
∂t
(∇Φ)dQ, (42)
82 Луковський I. О.
ρ
∫
S
(
r × ∂Φ
∂t
ν
)
dS = ρ
∫
Q
(
r ×∇∂Φ
∂t
)
dQ = ρ
∫
Q
[
r × ∂
∂t
(∇Φ)
]
dQ =
= ρ
∫
Q
∂
∂t
(r ×∇Φ)dQ − ρ
∫
Q
(vr ×∇Φ)dQ. (43)
Далi, на основi формули (41) одержимо:
ρ
∫
Q
∂
∂t
(∇Φ)dQ =
∗
K −ρ
∫
S
∇ΦvνdS, (44)
ρ
∫
Q
∂
∂t
(r ×∇Φ)dQ − ρ
∫
Q
(vr ×∇Φ)dQ =
=
∗
G−ρ
∫
S
(r ×∇Φ)vνdS − ρ
∫
Q
(vr ×∇Φ)dQ, (45)
де vr — вiдносна швидкiсть руху рiдини,
∗
K = ρ
∫
Q
∇ΦdQ — кiлькiсть
руху об’єму рiдини Q,
∗
G = ρ
∫
Q
r × ∇ΦdQ — момент кiлькостi руху
об’єму рiдини вiдносно точки O.
Подальшi перетворення пов’язанi iз застосуванням формули
1
2
∫
S
[νa2 − 2(ν · a)a]dS =
∫
Q
[a(∇ · a)− a× (∇× a)]dQ, (46)
яка є наслiдком теореми Гауса–Остроградського i наступних спiввiд-
ношень векторної алгебри:
∇(a · b) = a× (∇× b) + (a · ∇)b+ b× (∇× b) + (b · ∇)a,
(∇ · b)a = a(∇ · b) + (b · ∇)a.
Поклавши у (46) a = ∇Φ, знайдемо
1
2
ρ
∫
S
(∇Φ)2νdS = ρ
∫
S
∇Φ
∂Φ
∂ν
dS. (47)
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 83
За аналогєю з (46) має мiсце спiввiдношення
1
2
∫
S
r× [νa2− 2(ν ·a)a]dS =
∫
Q
r× [a× (∇·a)−a× (∇×a)]dQ, (48)
iз якого при a = ∇Φ випливає
1
2
ρ
∫
S
[r × (∇Φ)2ν]dS = ρ
∫
S
(
r ×∇Φ
∂Φ
∂ν
)
dS. (49)
За теоремою Гауса–Остроградського можна встановити спiввiдно-
шення ∫
S
[ν(a · b)− (ν · b)a]dS =
=
∫
Q
[a× (∇× b) + (a · ∇)b+ b× (∇× a)− a(∇ · b)]dQ,
iз якого при a = ∇Φ i b = v0 + ω × r випливає
ρ
∫
S
[∇Φ · (v0 + ω × r)]νdS = ρ
∫
S
∇Φ
∂Φ
∂ν
dS − ρ
∫
Q
(ω ×∇Φ)dQ, (50)
ρ
∫
S
r × [∇Φ · (v0 + ω × r)]νdS =
= ρ
∫
S
r ×∇Φ
∂Φ
∂ν
dS − ρ
∫
Q
r × (ω × ∂Φ)dQ− ρ
∫
S
(r ×∇Φ)vνdS. (51)
Перетворимо тепер у виразах (39) i (40) для головного вектора i
головного моменту сил тиску рiдини поверхневi iнтеграли, якi зале-
жать вiд силової функцiї U . Одержимо
ρ
∫
S
UνdS = −ρ
∫
S
[g · (r′
0 + r)]νdS = −ρ
∫
Q
∇(g · r)dQ = −m1g, (52)
ρ
∫
S
r × UνdS = −ρ
∫
S
r × [g · (r′
0 + r)]νdS =
84 Луковський I. О.
= −ρ
∫
Q
r ×∇(g · r)dQ = −m1r1C × g. (53)
Пiдставивши вирази (44), (47) (50) i (52) у формулу для головного
вектора P (39), а вирази (45), (49) (51) i (53) у формулу для головного
момента N (40), одержимо:
P = m1g −
∗
K −ω ×K, (54)
N = m1r1C × g −
∗
G−ω ×G− v0 ×K. (55)
При цьому було прийнято до уваги, що
vr ×∇Φ = −v0 ×∇Φ− (ω × r)×∇Φ,
ω × (r ×∇Φ) = r × (ω ×∇Φ)−∇Φ× (ω × r).
Рiвностi (54) та (55) являють собою математичне формулювання
т е о р е ми про змiну кiлькостi руху i т е о р е ми про змiну момен-
ту кiлькостi руху вiдносно точки O механiчної системи резервуар-
рiдина.
Конкретизуємо тепер рiвностi (54) та (55), вибравши розв’язок
крайової задачi (5)-(6) для потенцiалу швидкостейΦ(x, y, z, t) у формi
(26).
Спочатку для векторiв кiлькостi руху K i моменту кiлькостi руху
G одержимо вирази:
K = ρ
∫
Q
∇ΦdQ = m1v0 + ρ
∫
Q
∇(ω ·Ω)dQ + ρ
∫
Q
∇ϕdQ, (56)
G = ρ
∫
Q
r×∇ΦdQ = ρ
∫
Q
r×v0dQ+ρ
∫
Q
r×∇(ω·Ω)dQ+ρ
∫
Q
r×∇ϕdQ =
= m1r1C × v0 + ρ
∫
S
(ω ·Ω)(r × ν)dS + ρ
∫
S
(r × ν)ϕdS. (57)
З врахуванням крайових умов (27) i (28) вирази (56) i (57) можна
подати у наступному виглядi:
K = m1(v0 + ω × r1C +
∗
r1C), (58)
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 85
G = m1r1C × v0 + ω · J1 + ρ
∫
S
Ω
∂ϕ
∂ν
dS = m1r1C × v0 + ω · J1+
+ ρ
d
dt
∫
Q
ΩdQ− ρ
∫
Q
∂Ω
∂t
dQ = m1r1C × v0 + ω · J1 +
∗
lω − lωt, (59)
де J1
ij = ρ
∫
S
∂Ωi
∂ν
ΩjdS — компоненти тензора iнерцiї об’єму рiдини
Q(t) вiдносно полюса O; r1C — радiус-вектор центру мас об’єму рi-
дини Q(t) вiдносно точки O; lω = ρ
∫
Q
ΩdQ; lωt = ρ
∫
Q
∂Ω
∂t
dQ.
За означенням вектор центру мас r1C визначається формулою
m1r1C = ρ
∫
Q(t)
rdQ, (60)
у вiдповiдностi з якою по (35)
m1
∗
r1C = ρ
∫
S
rvνdS = ρ
∫
S
r
∂ϕ
∂ν
dS = ρ
∫
S0
r
∂uν
∂t
dS. (61)
З врахуванням (58) i (59) формули (54) i (55) для головного ве-
ктора i головного моменту сил тиску рiдини приймуть наступний
вигляд:
P = m1g −m1[
∗
v0 + ω × v0 + ω × (ω × r1C)+
+ ω̇ × r1C + 2ω × ∗
r1C +
∗∗
r 1C ], (62)
N = m1r1C × (g − ω × v0 −
∗
v0)− J1 · ω̇−
−
∗
J1 · ω − ω × (J1 · ω)−
∗∗
l ω +
∗
lωt − ω × (
∗
lω − lωt). (63)
Зауважимо, що ω̇ = ω × ω +
∗
ω =
∗
ω, оскiльки система координат
Oxyz зв’язана з несучим тiлом.
У формулi для головного вектора (62) група членiв
we =
∗
v0 + ω × v0 + ω̇ × r1C + (ω × r1C)× ω (64)
86 Луковський I. О.
визначає переносне прискорення, яке складається iз прискорення по-
люса w0, центробiжного прискорення wc i обертального прискорення
wrot:
w0 =
∗
v0 + ω × v0, w
c = ω × (ω × r1C), w
rot = ω̇ × r1C . (65)
Доданки
wCor = 2ω × ∗
r1C i wr =
∗∗
r 1C (66)
є вiдповiдно прискоренням Корiолiса i вiдносним прискоренням.
Формули (54) i (55) є типовими для динамiки вiдносного руху
складних механiчних систем. Для механiчних систем, до складу яких
входять обмеженi об’єми рiдини Q(t), характерними є подання векто-
рiв K i G у виглядi (56) i (57). При цьому iз спiввiдношення (57) часто
буває доцiльним виокремити складову
G0
r = ρ
∫
Q
r ×∇ϕdQ =
∗
lω − lωt, (67)
яка являє собою момент вiдносної кiлькостi руху об’єму рiдини Q
вiдносно полюса O.
Головний момент N тодi набуває вигляду
N = m1r1C×(g−ω×v0−
∗
v0)−J1 ·ω̇−ω×(J1 ·ω)−
∗
J1×ω−
∗
G0
r−ω×G0
r.
(68)
Групу членiв (−
∗
J ·ω −ω ×G0
r) у (68) трактують звичайно в ана-
лiтичнiй механiцi як момент корiолiсових сил iнерцiї
mCor
0 = −
∗
J1 · ω̇ − ω ×G0
r . (69)
Вiн прикладений до резервуара i виникає внаслiдок рухомостi рi-
дини у резервуарi через пружнiсть його стiнок.
У випадку просторового руху абсолютно жорсткого резервуара,
цiлком заповненого рiдиною, перетiкання рiдини по резервуару не
змiнює положення центру iнерцiї об’єму рiдини, тобто
∗
r1C = 0 i
∗∗
r 1C = 0.
Головний вектор i головний момент сил тиску рiдини, прикладе-
них до резервуара, у цьому випадку визначаються за формулами:
P = m1[g − ∗
v0 + ω × v0 − ω̇ × r1C − ω × (ω × r1C)], (70)
Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого . . . 87
N = m1r1C × (g − ω × v0 −
∗
v0)− J1 · ω̇ − ω × (J1 · ω). (71)
Формули (63)-(64) одержанi М. Є. Жуковським у 1885 р. у роботi
[1].
Наведенi вище результати можуть бути використаннi у першу чер-
гу при виводi рiвнянь руху гiдропружних систем пiд дiєю заданих,
прикладених до пружного резервуара зовнiшнiх сил.
Виписуючи рiвняння руху лише резервуара, до правих частин цих
рiвнянь окрiм головного вектора i головного момента зовнiшнiх сил
потрiбно включити головний вектор i головний момент сил тиску у
вiдповiдностi з виразами (62), (63). Окрiм цього, для конкретизацiї
вектора пружних перемiщень u(x, y, z, t) до розгляду потрiбно долу-
чити вiдповiднi рiвняння динамiки тонкостiнних стержнiв, або теорiї
оболонок [6].
[1] Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, на-
полненные однородной капельной жидкостью // Жуковский Н. Е.
Собр. соч. — Т. 2. — В. 1. М.–Л.: ГНТИ, 1931.
[2] Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с.
[3] Луковский И. А. Применение метода разложения по собственным
функциям к решению краевых задач теории возмущенного движения
твердого тела с жидкостью // Труды Первой республ. матем. конф.
молодых исследов. — К.: Наук. думка, 1965. — 407 с.
[4] Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В.
Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных
полостях. — К.: Наук. думка, 1969. — 250 с.
[5] Комаренко А. Н., Луковский И. А., Фещенко С. Ф. К задаче о соб-
ственных значениях с параметром в краевых условиях // Укр. матем.
журн. — 1965. — 17, 6. — С. 22–30.
[6] Троценко В. А., Троценко Ю. В. Неосесимметричные колебания обо-
лочки вращения, частично заполненной жидкостью // Нелiнiйнi ко-
ливання. — 2015. — 18, 3. — С. 394–412.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-335 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:55Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/12/4d8c6fe0dd67b10040e1325726b64412.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3352018-02-13T11:53:50Z Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid Пространственные движения упругого резервуара, полностью заполненного идеальной несжимаемой жидкостью Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого iдеальною нестисливою рiдиною Lukovsky, I. A. Луковский, И. А. Луковський, І. О. Within the framework of hypothesises of the dynamics of relative motions of mechanical systems, the paper considers a generalised N. Joukowskii’ problem [1] stated here for reservoirs with deformable walls. A finite set of generalised coordinates is introduced, by using which necessary kinematic and dynamic parameters of the reservoirs-liquid mechanical system are defined. Derivations of the governing equations and the solving of basic boundary value problems with respect of the velocity potential are done by employing variational principles of the continuum mechanics. В разрезе гипотез динамики относительного движения механических систем в работе рассматривается обобщение задачи М. Е.Жуковского [1], сформулированной здесь для случая резервуаров с деформируемого стенками. В рассмотрение вводится счетное множество обобщенных координат, через которые определяются необходимые кинематические и динамические величины механической системы резервуар-жидкость. Вывод уравнений движения механической системы и решения базовых краевых задач для потенциала скоростей жидкости осуществляется на основе вариационного принципа механики и формулировках соответствующих вариационных проблем. У розрiзi гiпотез динамiки вiдносного руху механiчних систем у роботi розглядається узагальнення задачi М. Є.Жуковського [1], сформульованої тут для випадку резервуарiв з деформiвними стiнками. У розгляд вводиться злiчена множина узагальнених координат, через якi визначаються необхiднi кiнематичнi i динамiчнi величини механiчної системи резервуар-рiдина. Вивiд рiвнянь руху механiчної системи та розв’язування базових крайових задач для потенцiалу швидкостей рiдини здiйснюється на основi варiацiйних принципiв механiки та формулюваннях вiдповiдних варiацiйних проблем. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/335 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 71-87 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 71-87 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 71-87 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/335/346 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Lukovsky, I. A. Луковский, И. А. Луковський, І. О. Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| title | Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| title_alt | Пространственные движения упругого резервуара, полностью заполненного идеальной несжимаемой жидкостью Просторовий рух пружного резервуара, цiлком заповненого iдеальною нестисливою рiдиною |
| title_full | Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| title_fullStr | Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| title_full_unstemmed | Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| title_short | Spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| title_sort | spatial motion of an elastic reservoir fully filled with an inviscid incompressible liquid |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/335 |
| work_keys_str_mv | AT lukovskyia spatialmotionofanelasticreservoirfullyfilledwithaninviscidincompressibleliquid AT lukovskijia spatialmotionofanelasticreservoirfullyfilledwithaninviscidincompressibleliquid AT lukovsʹkijío spatialmotionofanelasticreservoirfullyfilledwithaninviscidincompressibleliquid AT lukovskyia prostranstvennyedviženiâuprugogorezervuarapolnostʹûzapolnennogoidealʹnojnesžimaemojžidkostʹû AT lukovskijia prostranstvennyedviženiâuprugogorezervuarapolnostʹûzapolnennogoidealʹnojnesžimaemojžidkostʹû AT lukovsʹkijío prostranstvennyedviženiâuprugogorezervuarapolnostʹûzapolnennogoidealʹnojnesžimaemojžidkostʹû AT lukovskyia prostorovijruhpružnogorezervuaracilkomzapovnenogoidealʹnoûnestislivoûridinoû AT lukovskijia prostorovijruhpružnogorezervuaracilkomzapovnenogoidealʹnoûnestislivoûridinoû AT lukovsʹkijío prostorovijruhpružnogorezervuaracilkomzapovnenogoidealʹnoûnestislivoûridinoû |