Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs
Necessary and sufficient conditions for the static output feedback stabilizability of linear discrete-time systems is derived. The conditions take the form of a matrix inequality. It is shown that an algorithm of stabilization, which follows from these condition, is applicable for a certain class of n...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/336 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552844714835968 |
|---|---|
| author | Mazko, A. G. Kusyi, S. M. Мазко, А. Г. Кусий, C. M. Мазко, О. Г. Кусiй, C. М. |
| author_facet | Mazko, A. G. Kusyi, S. M. Мазко, А. Г. Кусий, C. M. Мазко, О. Г. Кусiй, C. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Г. Мазко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "C. М. Кусiй",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Mazko, A. G. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | Necessary and sufficient conditions for the static output feedback stabilizability of linear discrete-time systems is derived. The conditions take the form of a matrix inequality. It is shown that an algorithm of stabilization, which follows from these condition, is applicable for a certain class of nonlinear discrete-time control systems. An algorithm for constructing the control laws providing a given estimate of the weighted damping level of input signals and initial perturbations and robust stability of the equilibrium state of the control system is proposed. The results are illustrate$d by an numerical example for a discrete-time stabilization system. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, № 2, 88–109
УДК 517.935;681.5
Динамiчнi регулятори у дискретних
системах з керованими i
спостережуваними виходами ∗
О. Г. Мазко 1, С.М. Кусiй 2
1 Iнститут математики НАН України, Київ;
mazko@imath.kiev.ua,
2 Iнститут математики НАН України, Київ;
sergii.kusii@gmail.com
Necessary and sufficient conditions for the static output feedback stabiliz-
ability of linear discrete-time systems is derived. The conditions take the
form of a matrix inequality. It is shown that an algorithm of stabiliza-
tion, which follows from these condition, is applicable for a certain class
of nonlinear discrete-time control systems. An algorithm for constructing
the control laws providing a given estimate of the weighted damping level
of input signals and initial perturbations and robust stability of the equi-
librium state of the control system is proposed. The results are illustrated
by an numerical example for a discrete-time stabilization system.
В термiнах матричних нерiвностей сформульовано необхiднi та доста-
тнi умови стабiлiзовностi по виходу лiнiйних дискретних систем ке-
рування. Показано, що алгоритм стабiлiзацiї, який випливає iз даних
умов, можна застосувати для деякого класу нелiнiйних дискретних си-
стем керування. Запропоновано алгоритм побудови законiв керування,
що забезпечують задану оцiнку зваженого рiвня гасiння вхiдних сигна-
лiв i початкових збурень, а також робастну стiйкiсть стану рiвноваги
керованої системи. Отриманi результати продемонстровано на чисель-
ному прикладi дискретної системи стабiлiзацiї.
∗Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077.
c© Мазко О. Г., Кусiй С.М., 2017
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 89
1 Вступ
Однiєю з основних проблем теорiї керування є необхiднiсть побудо-
ви статичних або динамiчних регуляторiв, що забезпечують робастну
стiйкiсть станiв рiвноваги та зниження впливу зовнiшнiх збурень на
динамiку керованих об’єктiв. Вказанi якостi системам керування на-
дають методи теорiї H∞-оптимiзацiї (див., наприклад, [1–7]), а також
методи iнварiантних елiпсоїдiв [8]. Задачi стабiлiзацiї навiть для кла-
сiв лiнiйних систем за умов неповної iнформацiї про їх стан недоста-
тньо вивченi i розв’язанi лише при додаткових обмеженнях [9].
При дослiдженнi складних динамiчних об’єктiв широко викори-
стовуються математичнi моделi руху та системи керування як з не-
перервним, так i з дискретним часом. На практицi дискретнi моделi
систем керування мають певнi переваги порiвняно з неперервними.
Зокрема, застосування рiзницевих рiвнянь руху не вимагає дослiдже-
ння математичних проблем iснування та єдиностi розв’язкiв. Рiзни-
цевi системи є досить придатними для їх безпосередньої реалiзацiї
програмними засобами на сучасних комп’ютерах.
Слiд зазначити, що практичне застосування багатьох методiв син-
тезу неперервних та дискретних систем керування базується на роз-
в’язуваннi лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН). Для цього ство-
ренi достатньо ефективнi засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи
Matlab [10].
У данiй роботi вивчаються класи дискретних лiнiйних та нелiнiй-
них систем з керованими i спостережуваними виходами. Продовжую-
чи дослiдження [12–14] з використанням систем ЛМН, розробляються
дискретнi аналоги алгоритмiв робастної стабiлiзацiї i забезпечення
заданої оцiнки деякого критерiю якостi, що характеризує зважений
рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. При цьому розгляда-
ються випадки наявностi обмежених збурень у рiвняннях динамiки
об’єкта, керованого i спостережуваного виходiв, а також шуканого
динамiчного регулятора.
Будемо використовувати такi позначення: In — одинична матриця
порядку n; 0n×m — нульова матриця розмiрiв n×m;X = XT > 0 (≥ 0)
— додатно (невiд’ємно) визначена матриця X ; i(X) = {i+, i−, i0} —
iнерцiя симетричної матрицi X , яку утворюють кiлькостi її додатних,
вiд’ємних i нульових власних значень, враховуючи кратностi; σ(A) —
спектр матрицi A;WA — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра
KerA матрицi A; ‖x‖ — евклiдова норма вектора x; ‖x‖Q — зважена
90 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
l2-норма векторної послiдовностi xt, t = 0, 1, . . . .
2 Допомiжнi твердження
При дослiдженнi блочно-матричних спiввiдношень використовують-
ся методи пониження розмiрностi, зокрема, формула Фробенiуса, ле-
ма Шура та iн. [11]. Наведемо вiдомi формули для iндексiв iнерцiї
симетричної блочної матрицi
M =
[
A BT
B C
]
.
Лема 2.1. Якщо detA 6= 0, то
i±(M) = i±(A) + i±(C −BA−1BT ). (1)
Аналогiчно, якщо detC 6= 0, то
i±(M) = i±(C) + i±(A−BTC−1B). (2)
Iз формул (1) та (2) випливають вiдповiднi критерiї додатної (не-
вiд’ємної) визначеностi блочної матрицi M (лема Шура):
M > 0 (≥ 0) ⇐⇒ A > 0, C −BA−1BT > 0 (≥ 0); (3)
M > 0 (≥ 0) ⇐⇒ C > 0, A−BTC−1B > 0 (≥ 0). (4)
Узагальнення даних формул на випадок вироджених дiагональних
блокiв матрицi M наведено у [5].
Лема 2.2. [7] Лiнiйна матрична нерiвнiсть
ATXB +BTXTA < C, (5)
де A, B i C — заданi матрицi вiдповiдних розмiрiв p × n, q × n i
n × n, має розв’язок X ∈ Rp×q тодi i лише тодi, коли виконується
одна iз таких умов: (a) rankA = n, rankB = n; (b) rankA < n,
rankB = n, WT
ACWA > 0; (c) rankB < n, rankA = n, WT
BCWB > 0
або (d) rankA < n, rankB < n, WT
ACWA > 0, WT
BCWB > 0, де WA
i WB — матрицi, стовпцi яких складають базиси вiдповiдних ядер
KerA i KerB.
У [12] за умов леми 2.2 наведено загальний розв’язок матричної
нерiвностi (5) у параметричнiй формi.
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 91
Лема 2.3. Для заданих матриць X > 0, Y > 0 i числа γ > 0 iсну-
ють матрицi X1 ∈ R
r×n, X2 ∈ R
r×r, Y1 ∈ R
r×n i Y2 ∈ R
r×r, що
задовольняють спiввiдношення
X̂ =
[
X XT
1
X1 X2
]
> 0, Ŷ =
[
Y Y T1
Y1 Y2
]
> 0, X̂Ŷ = γ2In+r , (6)
тодi i лише тодi, коли
W =
[
X γIn
γIn Y
]
≥ 0, rankW ≤ n+ r. (7)
Твердження леми 2.3 вiдоме у випадку γ = 1 [6, 13].
3 Динамiчний регулятор по вимiрюваному виходу
Розглянемо нелiнiйну систему керування
xt+1 = A(xt)xt +B(xt)ut, yt = C(xt)xt +D(xt)ut, (8)
де xt ∈ Rn, ut ∈ Rm i yt ∈ Rl — вектори вiдповiдно стану, керування i
вимiрюваного виходу системи, а A(xt), B(xt), C(xt) i D(xt) — матрицi
вiдповiдних розмiрiв, неперервно залежнi вiд xt у деякому околi S0 =
{x : ‖x‖ ≤ h} точки x = 0, t ∈ T = {0, 1, . . .}. Припустимо, що
rankB = m, rankC = l, i разом з (8) розглядаємо лiнiйну систему
xt+1 = Axt +But, yt = Cxt +Dut, (9)
де A = A(0), B = B(0), C = C(0), D = D(0) i t ∈ T . Позначимо
через B⊥ i C⊥ ортогональнi доповнення вiдповiдних матриць B i C,
якi визначаються спiввiдношеннями
BTB⊥ = 0, det
[
B,B⊥
]
6= 0, C⊥CT = 0, det
[
CT , C⊥T
]
6= 0.
Сформулюємо умови стабiлiзацiї нульового стану рiвноваги сис-
тем (8) i (9) за допомогою динамiчного регулятора
ξt+1 = Zξt + V yt, ut = Uξt +Kyt, (10)
де ξt ∈ R
r, а Z, V , U i K — невiдомi матрицi, r — порядок регулято-
ра, t ∈ T . Спiввiдношення (8) i (10) можна подати у виглядi системи
92 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
керування зi статичним регулятором у розширеному фазовому про-
сторi:
x̂t+1 = Â(x̂t)x̂t + B̂(x̂t)ût, ŷt = Ĉ(x̂t)x̂t + D̂(x̂t)ût, ût = K̂ŷt, (11)
де
x̂t =
[
xt
ξt
]
, ŷt =
[
yt
ξt
]
, ût =
[
ut
ξt+1
]
, K̂ =
[
K U
V Z
]
,
Â(x̂t) =
[
A(xt) 0n×r
0r×n 0r×r
]
, B̂(x̂t) =
[
B(xt) 0n×r
0r×m Ir
]
,
Ĉ(x̂t) =
[
C(xt) 0l×r
0r×n Ir
]
, D̂(x̂t) =
[
D(xt) 0l×r
0r×m 0r×r
]
.
Позначимо множину матриць KD = {K ∈ Rm×l : det(Im −KD) 6= 0}.
При умовi K ∈ KD замкнена лiнiйна система (9), (10) має вигляд
x̂t+1 = M̂ x̂t, M̂ = Â+ B̂D̂(K̂)Ĉ, (12)
де
D̂(K̂) =
[
D(K) (Im −KD)−1U
V (Il −DK)−1 Z + V D(Im −KD)−1U
]
,
 = Â(0), B̂ = B̂(0), Ĉ = Ĉ(0), D(K) = (Im −KD)−1K — нелiнiйний
оператор.
Означення 3.1. Систему (12) називаємо ρ-стiйкою, якщо її спектр
σ(M̂) розмiщений всерединi круга {λ : |λ| < ρ}, де 0 < ρ ≤ 1.
Спектральний запас стiйкостi ρ-стiйкої системи не менший, нiж
1− ρ.
Теорема 3.1. Наступнi твердження еквiвалентнi:
1) Iснує динамiчний регулятор (10) порядку r, що забезпечує ρ-
стiйкiсть замкненої системи (12).
2) Iснують матрицi X i X0, що задовольняють спiввiдношення
B⊥T (AXAT − ρ2X)B⊥ < 0, (13)
X ≥ X0 > 0, rank (X −X0) ≤ r, (14)
AX0A
T − ρ2X0 < AX0C
T (CX0C
T )−1CX0A
T . (15)
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 93
3) Iснують матрицi X = XT > 0 i Y = Y T > 0, що задовольня-
ють спiввiдношення (13) i
C⊥(ATY A− ρ2Y )C⊥T < 0. (16)
W =
[
X In
In Y
]
≥ 0, rankW ≤ n+ r. (17)
Доведення. За теоремою Ляпунова критерiєм досягнення ρ-стiйкостi
системи (11) є iснування матриць K̂0 i X̂ = X̂T > 0 таких, що
(Â+ B̂K̂0Ĉ)X̂(Â+ B̂K̂0Ĉ)T − ρ2X̂ < 0. (18)
Дана нерiвнiсть для деякої матрицi X̂ > 0 має розв’язок K̂0 лише то-
дi, коли виконується система спiввiдношень (див. доведення теореми
6.1.1 в [5] при ρ = 1)
B̂⊥T (ÂX̂ÂT − ρ2X̂) B̂⊥ < 0, (19)
ÂX̂ÂT − ρ2X̂ < ÂX̂ĈT (ĈX̂ĈT )−1ĈX̂ÂT . (20)
У даному випадку
B̂⊥ =
[
B⊥
0
]
, Ĉ⊥ =
[
C⊥, 0
]
, X̂ =
[
X XT
1
X1 X2
]
> 0,
i за формулою Фробенiуса [11]
(ĈX̂ĈT )−1 =
[
S−1 −S−1CXT
1 X
−1
2
−X−1
2 X1C
TS−1 X−1
2 +X−1
2 X1C
TS−1CXT
1 X
−1
2
]
,
де S = CX0C
T , X0 = X −XT
1 X
−1
2 X1. Використовуючи блочну стру-
ктуру наведених виразiв у (19) i (20) та лему Шура, приходимо до
еквiвалентних спiввiдношень (13)–(15), де rank (X −X0) = rankX1 ≤
r. Отже, твердження 1) i 2) еквiвалентнi.
Покажемо, що матрицi X i X0 задовольняють спiввiдношення (13)
– (15) лише тодi, коли X i Y = X−1
0 задовольняють спiввiдношення
(13), (16) i (17). Очевидно, що формули (14) i (17) еквiвалентнi.
Застосовуючи лему 2.1 до блочних матриць
∆0 =
[
AX0A
T − ρ2X0 AX0C
T
CX0A
T CX0C
T
]
, Ω =
−ρ2X0 0 A
0 0 C
AT CT −X−1
0
,
94 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
маємо еквiвалентнiсть спiввiдношень (15) i
i(∆0) = i(∆1) = i(∆2) = {l, n, 0},
де
∆0 =
[
A
C
]
X0
[
AT , CT
]
− ρ2
[
In
0
]
X0
[
In, 0
]
,
∆1 =
[
0 C
CT −X−1
0
]
+
1
ρ2
[
0
AT
]
X−1
0
[
0, A
]
,
∆2 = ρ2G∆1G
T =
[
E 0
0 C⊥ZC⊥T
]
, Z = ATX−1
0 A− ρ2X−1
0 ,
E =
[
C+TZC+ ρ2Il
ρ2Il 0
]
, GT =
[
0 Il −ρ−2C+TZC⊥T
C+ 0 C⊥T
]
.
Неважко переконатися, що i(E) = {l, l, 0}. Оскiльки G — квадратна
невироджена матриця, а вираз другого дiагонального блока матрицi
∆2 спiвпадає з (16), то рiвнiсть i(∆0) = {l, n, 0} еквiвалентна матри-
чнiй нерiвностi (16).
Теорему доведено.
Наслiдок 3.1. Нехай виконується одне iз тверджень 2) або 3) те-
ореми 3.1 для лiнiйної системи (12) i K̂0 — розв’язок ЛМН
PT K̂0Q +QT K̂T
0 P < F, (21)
де
P =
[
− B̂T , 0m+r×n+r
]
, Q =
[
0l+r×n+r, ĈX̂
]
,
F =
[
ρ2X̂ ÂX̂
X̂ÂT X̂
]
, X̂ =
[
X XT
1
X1 X2
]
> 0, X−X0 = XT
1 X
−1
2 X1 ≥ 0,
K̂0 =
[
K0 U0
V0 Z0
]
, K0 ∈ KD, 0 < ρ ≤ 1.
Тодi динамiчний регулятор (10) з матрицями
K = (Im +K0D)−1K0, U = (Im +K0D)−1U0,
V = V0(Il +DK0)
−1, Z = Z0 − V0D(Im +K0D)−1U0,
(22)
забезпечує асимптотичну стiйкiсть нульового стану x̂ ≡ 0 та ква-
дратичну функцiю Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂−1x̂ замкненої нелiнiйної
системи (8), (10).
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 95
Останнє твердження випливає iз доведення теореми 3.1 i припу-
щень вiдносно матричних функцiй A(x), B(x), C(x) i D(x) (див. до-
ведення аналогiчного твердження для неперервних систем [15]) Спiв-
вiдношення (22) є наслiдком такої властивостi оператора D̂(K̂): якщо
D̂(K̂) = K̂0, то K̂ = −D̂(−K̂0).
На основi наслiдку 3.1 сформулюємо алгоритм побудови динамi-
чного регулятора (10), що забезпечує ρ-стiйкiсть системи (12), а та-
кож асимптотичну стiйкiсть нульового стану замкненої нелiнiйної си-
стеми (8), (10).
Алгоритм 3.1. 1) Знаходження матриць X i X0, що задовольняють
спiввiдношення (13)–(15).
2) Побудова розкладу Холецького невiд’ємно визначеної матрицi
X −X0 = XT
1 X1, де X1 ∈ Rr×n, rankX1 ≤ r.
3) Розв’язування ЛМН (21) вiдносно K̂0 при умовах X2 = Ir i
det (Im +K0D) 6= 0.
4) Обчислення матриць регулятора (10) за формулами (22).
В п. 2) даного алгоритму замiсть розкладу Холецького невiд’ємно
визначеної матрицi можна використати її спектральний розклад
X − X0 =
r∑
i=1
αihih
T
i , де αi > 0 — власнi значення даної матрицi,
якi вiдповiдають власним векторам hi. Тодi X−1
2 = diag {α1, . . . , αr},
XT
1 =
[
h1, . . . , hr
]
. Зазначимо, що у випадку r ≥ n завжди виконую-
ться ранговi обмеження у (14) i (17).
4 Зважений рiвень гасiння обмежених збурень.
Розглянемо динамiчну систему без керування
xt+1 = A(xt)xt +B(xt)wt, yt = C(xt)xt +D(xt)wt, (23)
яка функцiонує у деякiй областi фазового простору S0, що мiстить
точку x = 0. Тут xt ∈ Rn, wt ∈ Rm i yt ∈ Rl — вектори вiдповiдно
стану, зовнiшнiх збурень i виходу системи, A(xt), B(xt), C(xt) i D(xt)
— матрицi вiдповiдних розмiрiв, xt ∈ S0, t ∈ T .
Введемо критерiй якостi системи (23) вiдносно її вектора виходу:
J = sup
0<‖w‖2
P+xT
0 X0x0<∞
ϕ(w, x0), (24)
96 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
де
ϕ(w, x0) =
‖y‖Q√
‖w‖2P + xT0X0x0
, ‖y‖2Q =
∞∑
t=0
yTt Qyt, ‖w‖2P =
∞∑
t=0
wTt Pwt,
Q = QT > 0, P = PT > 0 i X0 = XT
0 > 0 — заданi матрицi. Вва-
жаємо, що вектор зовнiшнiх збурень w обмежений по нормi ‖w‖P ,
а x0 — невiдомий початковий вектор. Вираз (24) при фiксованому
початковому векторi x0 = 0 позначимо через J0, при цьому J0 ≤ J .
Значення J характеризує зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i по-
чаткових збурень у системi (23). Даний критерiй якостi у випадку
вагових матриць P = Is, Q = Ik i X0 = βIn вiдомий [13,14].
Означення 4.1. [5] Система (23) називається неекспансивною, якщо
її вектор виходу при довiльному ν > 0 задовольняє нерiвнiсть
ν∑
t=0
yTt Qyt ≤
ν∑
t=0
wTt Pwt + xT0X0x0.
Очевидно, що для характеристики (24) неекспансивної системи
виконується нерiвнiсть J ≤ 1.
Лема 4.1. Нехай iснує матриця X = XT > 0 така, що
Φ(x) =
[
Φ1(x) ΦT2 (x)
Φ2(x) Φ3(x)
]
< 0, x ∈ S0, (25)
де Φ1(x) = AT (x)XA(x) −X + CT (x)QC(x), Φ2(x) = BT (x)XA(x) +
DT (x)QC(x), Φ3(x) = BT (x)XB(x) +DT (x)QD(x) − γ2P . Тодi вико-
нується оцiнка J0 ≤ γ. Якщо до того ж 0 < X ≤ γ2X0, то J ≤ γ.
Доведення. Для першої рiзницi функцiї Ляпунова v(x) = xTXx у
силу системи (23) виконуються спiввiдношення
v(xt+1)− v(xt) + yTt Qyt − γ2wTt Pwt =
[
xTt , w
T
t
]
Φ(xt)
[
xt
wt
]
, t ∈ T ,
v(xν+1)− v(x0) +
ν∑
t=0
yTt Qyt − γ2
ν∑
t=0
wTt Pwt ≤ 0.
Звiдси при ν → ∞ маємо
‖y‖2Q ≤ γ2(‖w‖2P + xT0X0x0), ϕ(w, x0) ≤ γ,
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 97
що означає J ≤ γ. Зокрема, J0 ≤ γ при x0 = 0.
Лему доведено.
Зауваження 4.1. При умовi (25) леми 4.1 нульовий стан xt = 0
системи (23) з невизначенiстю
wt = γ−1Θyt, ΘTPΘ ≤ Q, t ∈ T , (26)
асимптотично стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x) = xTXx.
Цей факт є наслiдком леми 4.1 i теореми 6.2.1 iз [5].
Розглянемо клас лiнiйних систем типу (23)
xt+1 = Axt +Bwt, yt = Cxt +Dwt, t ∈ T . (27)
Лема 4.2. Для лiнiйної системи (27) виконується оцiнка J0 < γ
тодi i лише тодi, коли ЛМН
Φγ =
[
ATXA−X + CTQC ATXB + CTQD
BTXA+DTQC BTXB +DTQD − γ2P
]
< 0 (28)
має розв’язок X = XT > 0. Бiльше того, J < γ тодi i лише тодi,
коли сумiсна система ЛМН (28) i
0 < X < γ2X0. (29)
Твердження достатностi леми 4.2 є наслiдком леми 4.1. Тверджен-
ня необхiдностi можна встановити шляхом представлення J0 i J ана-
логiчними виразами з одиничними ваговими матрицями (див. дове-
дення леми 2.3 у [15], а також [14]).
Iз леми 4.2, зокрема, випливає, що критерiї якостi J0 i J систе-
ми (27) можна обчислити як розв’язки вiдповiдних оптимiзацiйних
задач:
J0 = inf
{
γ : Φγ < 0, X > 0
}
, (30)
J = inf
{
γ : Φγ < 0, 0 < X < γ2X0
}
. (31)
5 Динамiчний регулятор зi збуреннями
Розглянемо системи керування (8) i (9) з динамiчним регулятором
ξt+1 = Zξt + V yt, ut = Uξt +Kyt + wt, ξ0 = 0, (32)
98 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
де ξt ∈ Rr i wt ∈ Rm — вектори вiдповiдно стану регулятора та вхiд-
них сигналiв (зовнiшнiх збурень), Z, V , U i K — невiдомi сталi матри-
цi. При умовi K ∈ KD замкнена лiнiйна система (9), (32) має вигляд
x̂t+1 = M̂x̂t + N̂wt, yt = F̂ x̂t + Ĝwt, (33)
де
x̂t =
[
xt
ξt
]
, M̂ =
[
A+BK0C BU0
V0C Z0
]
= Â+B̂K̂0Ĉ, K̂0 =
[
K0 U0
V0 Z0
]
,
 =
[
A 0
0 0
]
, B̂ =
[
B 0
0 Ir
]
, Ĉ =
[
C 0
0 Ir
]
,
N̂ =
[
B +BK0D
V0D
]
= B̂1 + B̂K̂0D̂1, B̂1 =
[
B
0
]
, D̂1 =
[
D
0
]
,
F̂ =
[
C +DK0C, DU0
]
= Ĉ1 + D̂2K̂0Ĉ, Ĉ1 =
[
C, 0
]
, D̂2 =
[
D, 0
]
,
Ĝ = D +DK0D = D + D̂2K̂0D̂1, K0 = D(K),
U0 = (Im−KD)−1U, V0 = V (Il−DK)−1, Z0 = Z+V D(Im−KD)−1U.
Для даної системи задамо критерiї якостi J0 i Ĵ типу (24) з ваго-
вими матрицями P , Q i X̂0. Оскiльки ξ0 = 0, то значення Ĵ залежить
лише вiд першого дiагонального блока X0 матрицi X̂0, тобто Ĵ = J .
Нас цiкавлять регулятори, якi мiнiмiзують введенi критерiї якостi
та забезпечують умови неекспансивностi вiдповiдної замкненої систе-
ми. Закони керування, якi забезпечують мiнiмальне значення J для
замкненої системи, будемо називати J-оптимальними. Алгоритми
пошуку J-оптимальних i J0-оптимальних регуляторiв можна реалi-
зувати на основi побудови вiдповiдних верхнiх оцiнок для J i J0.
Теорема 5.1. Для лiнiйної системи (9) iснує динамiчний регуля-
тор (32), що забезпечує критерiй якостi J < γ тодi i лише тодi,
коли для деяких матриць X = XT > 0 i Y = Y T > 0 виконується
система спiввiдношень (7), (29), i
WT
R
[
ATXA−X + CTQC ATXB + CTQD
BTXA+DTQC BTXB +DTQD − γ2P
]
WR < 0, (34)
WT
L
[
AY AT − Y +BP−1BT AY CT +BP−1DT
CY AT +DP−1BT CY CT +DP−1DT − γ2Q−1
]
WL < 0,
(35)
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 99
де R =
[
C, D
]
, L =
[
BT , DT
]
. При цьому нульовий стан x̂t ≡ 0
замкненої системи (33) з невизначенiстю (26) робастно стiйкий.
Доведення. За лемою 4.2 оцiнка J < γ для системи (33) виконується
лише тодi, коли сумiсна система спiввiдношень
[
M̂T X̂M̂ − X̂ + F̂TQF̂ M̂T X̂N̂ + F̂TQĜ
N̂T X̂M̂ + ĜTQF̂ N̂T X̂N̂ + ĜTQĜ− γ2P
]
< 0, (36)
0 < X̂ =
[
X XT
1
X1 X2
]
< γ2X̂0 = γ2
[
X0 XT
10
X10 X20
]
. (37)
Матричну нерiвнiсть (36) на основi леми Шура можна подати у ви-
глядi ЛМН вiдносно K̂0:
−X̂ 0 M̂T F̂T
0 −γ2P N̂T ĜT
M̂ N̂ −X̂−1 0
F̂ Ĝ 0 −Q−1
= L̂T K̂0R̂+ R̂T K̂T
0 L̂+ Ω̂ < 0, (38)
де
R̂ =
[
Ĉ, D̂1, 0, 0
]
= R̂1E1, L̂ =
[
0, 0, B̂T , D̂T
2
]
= L̂1E2,
R̂1 =
[
C D 0 0
0 0 Ir 0
]
, L̂1 =
[
0 0 BT DT
0 Ir 0 0
]
,
E1 =
In 0 0 0
0 0 Im 0
0 Ir 0 0
0 0 0 In+r+l
, E2 =
In+r+m 0 0 0
0 0 Ir 0
0 In 0 0
0 0 0 Il
,
Ω̂ =
−X̂ 0 ÂT ĈT1
0 −γ2P B̂T1 DT
 B̂1 −γ−2Ŷ 0
Ĉ1 D 0 −Q−1
, Ŷ =
[
Y Y T1
Y1 Y2
]
= γ2X̂−1.
При цьому iз (37) випливає (29).
Враховуючи вирази WR̂ = ET1 WR̂1
i WL̂ = ET2 WL̂1
, де
WR̂1
=
WR 0
0 0
0 In+r+l
, WL̂1
=
In+r+m 0
0 0
0 WL
,
100 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
та застосовуючи лему 2.2 до ЛМН (38), а також лему 2.3 для блочних
матриць (6), отримаємо критерiй iснування розв’язку K̂0 даної нерiв-
ностi у виглядi спiввiдношень (7), (34) i (35). При цьому нульовий стан
̂̂xt ≡ 0 замкненої системи (33) з невизначенiстю (26) робастно стiйкий
зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂x̂ (див. зауваження 4.1).
Отриманi спiввiдношення залежать лише вiд перших дiагональних
блокiв X i Y матриць (6).
Теорему доведено.
Зауваження 5.1. Можна встановити, що критерiєм iснування ста-
тичного регулятора по виходу ut = Kyt + wt, що забезпечує оцiнку
J < γ для замкненої системи, є сумiснiсть системи спiввiдношень
(34), (35) i
0 < X < γ2X0, XY = γ2In. (39)
Данi спiввiдношення у випадку статичного регулятора по стану (C =
In, D = 0) зводяться до системи ЛМН вiдносно Y :
[
P BT
B Y
]
> 0,
[
X0 In
In Y
]
> 0,
[
B⊥T (AY AT − Y )B⊥ B⊥TAY
Y ATB⊥ Y − γ2Q−1
]
< 0.
Зауваження 5.2. ЯкщоK ∈ KD, то det
[
Im−KD(x)
]
6= 0 при x ∈ S0,
де S0 — деякий окiл точки x = 0, i замкнена нелiнiйна система (8),
(32) має вигляд
x̂t+1 = M̂(xt)x̂t + N̂(xt)wt, yt = F̂ (xt)x̂t + Ĝ(xt)wt, (40)
де всi матричнi коефiцiєнти є неперервними функцiями у S0. Дина-
мiчний регулятор (32) у теоремi 5.1 забезпечує робастну стiйкiсть
нульового стану системи (40) з невизначенiстю (26) i спiльну фун-
кцiю Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂x̂, а лема 4.1 може бути використана для
оцiнки критерiїв якостi J0 i J даної системи.
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 101
6 Дискретнi системи з керованими i спостережу-
ваними виходами
Розглянемо систему керування
xt+1 = A(xt)xt + B1(xt)wt +B2(xt)ut,
zt = C1(xt)xt +D11(xt)wt +D12(xt)ut,
yt = C2(xt)xt +D21(xt)wt +D22(xt)ut,
(41)
де xt ∈ Rn, ut ∈ Rm, wt ∈ Rs, zt ∈ Rk i yt ∈ Rl — вектори вiдповiдно
стану, керування, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережуваного
виходiв, t ∈ T . Введемо критерiй якостi типу (23) для даної системи
вiдносно вектора керованого виходу:
J = sup
0<‖w‖2
P
+xT
0 X0x0<∞
‖z‖Q√
‖w‖2P + xT0X0x0
. (42)
Значення J у випадку нульового початкового вектора x0 = 0 позначи-
мо через J0. Ставиться задача побудови J- та J0-оптимальних регуля-
торiв, якi забезпечують робастну стiйкiсть нульового стану замкненої
системи та мiнiмiзують вiдповiднi критерiї якостi J i J0.
Сформулюємо аналог теореми 5.1 для лiнiйної системи з керова-
ними i спостережуваними виходами
xt+1 = Axt +B1wt +B2ut,
zt = C1xt +D11wt +D12ut,
yt = C2xt +D21wt +D22u,
(43)
використовуючи динамiчний регулятор (10) з початковим вектором
ξ0 = 0. При умовi K ∈ KD22 замкнена система (10), (43) має вигляд
x̂t+1 = M̂x̂t + N̂wt, zt = F̂ x̂t + Ĝwt, (44)
де
x̂t =
[
xt
ξt
]
, M̂ =
[
A+B2K0C2 B2U0
V0C2 Z0
]
= Â+ B̂2K̂0Ĉ2,
N̂ =
[
B1 +B2K0D21
V0D21
]
= B̂1 + B̂2K̂0D̂21,
F̂ =
[
C1 +D12K0C2, D12U0
]
= Ĉ1 + D̂12K̂0Ĉ2,
102 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
Ĝ = D11 +D12K0D21 = D11 + D̂12K̂0D̂21,
 =
[
A 0n×r
0r×n 0r×r
]
, B̂2 =
[
B2 0n×r
0r×m Ir
]
, Ĉ2 =
[
C2 0l×r
0r×n Ir
]
,
K̂0 =
[
K0 U0
V0 Z0
]
, B̂1 =
[
B1
0r×s
]
, D̂21 =
[
D21
0r×s
]
,
Ĉ1 =
[
C1, 0k×r
]
, D̂12 =
[
D12, 0k×r
]
.
Тут невiдомими є блоки матрицi K̂0
K0 = (Im −KD22)
−1K, U0 = (Im −KD22)
−1U,
V0 = V (Il −D22K)−1, Z0 = Z + V D22(Im −KD22)
−1U,
якi однозначно визначають шуканi матрицi регулятора (32):
K = (Im +K0D22)
−1K0, U = (Im +K0D22)
−1U0,
V = V0(Il +D22K0)
−1, Z = Z0 − V0D22(Im +K0D22)
−1U0.
(45)
Перепишемо спiввiдношення (36) для системи (44) у виглядi ЛМН
(38) вiдносно K̂0 з такими матрицями:
R̂ =
[
Ĉ2, D̂21, 0, 0
]
=
[
C2 D21 0 0
0 0 Ir 0
]
In 0 0 0
0 0 Is 0
0 Ir 0 0
0 0 0 In+r+k
,
Ω̂ =
−X̂ 0 ÂT ĈT1
0 −γ2P B̂T1 DT
11
 B̂1 −X̂−1 0
Ĉ1 D11 0 −Q−1
, (46)
L̂ =
[
0, 0, B̂T2 , D̂
T
12
]
=
[
0 0 BT2 DT
12
0 Ir 0 0
]
In+r+s 0 0 0
0 0 Ir 0
0 In 0 0
0 0 0 Ik
.
Вираховуючи матрицi WR̂, WL̂ i застосовуючи леми 2.2, 2.3 i 4.2
(див. доведення теореми 5.1), отримаємо наступний результат.
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 103
Теорема 6.1. Для лiнiйної системи (42) iснує динамiчний регуля-
тор (10) з нульовим початковим вектором, що забезпечує критерiй
якостi J < γ замкненої системи, тодi i лише тодi, коли для деяких
матриць X = XT > 0 i Y = Y T > 0 виконується система спiввiд-
ношень (7), (29) i
WT
R
[
ATXA−X + CT1 QC1 ATXB1 + CT1 QD11
BT1 XA+DT
11QC1 BT1 XB1 +DT
11QD11 − γ2P
]
WR < 0,
(47)
WT
L
[
AY AT − Y +B1P
−1BT1 AY CT1 +B1P
−1DT
11
C1Y A
T +D11P
−1BT1 C1Y C
T
1 +D11P
−1DT
11−γ2Q−1
]
WL < 0,
(48)
де R =
[
C2, D21
]
, L =
[
BT2 , D
T
12
]
. При цьому стан x̂t ≡ 0 замкненої
системи (44) з невизначенiстю
wt = γ−1Θzt, ΘTPΘ ≤ Q, (49)
робастно стiйкий.
Зауваження 6.1. При застосуваннi динамiчного регулятора (10) по-
рядку r ≥ n рангове обмеження у (7) виконується автоматично i оцiн-
ка J < γ у теоремах 5.1 i 6.1 описується у виглядi вiдповiдних систем
ЛМН вiдносно X i Y .
Наведемо алгоритм побудови динамiчного регулятора (10), який
забезпечує оцiнку J < γ у теоремi 6.1.
Алгоритм 6.1. 1) Обчислення матриць WR i WL, де R =
[
C2, D21
]
,
L =
[
BT2 , D
T
12
]
;
2) знаходження матриць X = XT > 0 i Y = Y T > 0, якi задоволь-
няють систему спiввiдношень (7), (29), (47) i (48);
3) побудова розкладу Холецького Z = Y − γ2X−1 = STS, де
S ∈ Rr×n, kerS = kerZ, i формування блочної матрицi
X̂ =
[
X γ−1XST
γ−1SX γ−2SXST + Ir
]
;
4) розв’язання ЛМН (38) з матрицями (46) вiдносно K̂0 при обме-
женнi det(Im −KD22) 6= 0;
5) обчислення матриць регулятора (10) за формулами (45).
104 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
Зауваження 6.2. Iз леми Шура випливає еквiвалентне представ-
лення матричних нерiвностей (47) i (48):
[
WT
R 0
0 Ik
]
ATXA−X ATXB1 CT1
BT1 XA BT1 XB1 − γ2P DT
11
C1 D11 −Q−1
[
WR 0
0 Ik
]
< 0,
(50)
[
WT
L 0
0 Is
]
AY AT − Y AY CT1 B1
C1Y A
T C1Y C
T
1 − γ2Q−1 D11
BT1 DT
11 −P
[
WL 0
0 Is
]
< 0.
(51)
Спiввiдношення (50) i (51) є ЛМН вiдносно X , Y , P i Q1 = Q−1. Тому
застосування даних спiввiдношень замiсть (47) i (48) у наведеному
алгоритмi дає можливiсть разом з X i Y знаходити ваговi матрицi P
i Q критерiю якостi J .
Зауваження 6.3. Можна встановити, що критерiєм iснування ста-
тичного регулятора по виходу ut = Kyt, що забезпечує оцiнку J < γ
у теоремi 6.1, є сумiснiсть системи спiввiдношень (39), (47) i (48). Да-
нi спiввiдношення у випадку регулятора по стану (C2 = In, D21 = 0,
D22 = 0) зводяться до системи ЛМН вiдносно Y , яка включає нерiв-
ностi (48) i
[
X0 In
In Y
]
> 0,
[
P − γ−2DT
11QD11 BT1
B1 Y
]
> 0.
Зауваження 6.4. Якщо K ∈ KD22 , то det
[
Im − KD22(x)
]
6= 0 при
x ∈ S0, де S0 — деякий окiл точки x = 0. Тодi нелiнiйна замкнена
система (10), (41) набуває вигляду
x̂t+1 = M̂(xt)x̂t + N̂(xt)wt, zt = F̂ (xt)x̂t + Ĝ(xt)wt, (52)
де всi матричнi коефiцiєнти є неперервними функцiями в S0. Дина-
мiчний регулятор (10) у теоремi 6.1 забезпечує робастну стiйкiсть
нульового стану системи (52) з невизначенiстю (49) i спiльну фун-
кцiю Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂x̂, а лема 4.1 може бути використана для
оцiнки критерiїв якостi J0 i J даної системи.
7 Приклад. Двомасова механiчна система
Проiлюструємо викладену методику синтезу системи керування на
прикладi двомасової механiчної системи. Ця система складається iз
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 105
двох твердих тiл з масами m1 i m2, якi з’єднанi пружиною з коефi-
цiєнтом жорсткостi k i ковзають без тертя вздовж нерухомої гори-
зонтальної поверхнi (рис. 1). Неперервна модель збурених коливань
системи описується рiвняннями
Рис. 1. Двомасова механiчна система.
ẋ = Ãx+ B̃1w + B̃2u, x(0) = x0,
z = C1x+D11w +D12u,
y = C2x+D21w +D22u,
(53)
де
x =
x1
x2
ẋ1
ẋ2
, y =
[
x1 + w3
x2
]
, z =
[
u
x2
]
, w =
w1
w2
w3
,
à =
0 0 1 0
0 0 0 1
− k
m1
k
m1
0 0
k
m2
− k
m2
0 0
, B̃1 =
0 0 0
0 0 0
1
m1
0 0
0
1
m2
0
, B̃2 =
0
0
1
m1
0
,
C1 =
[
0 0 0 0
0 1 0 0
]
, C2 =
[
1 0 0 0
0 1 0 0
]
, D12 =
[
1
0
]
,
D21 =
[
0 0 1
0 0 0
]
, D11 = 02×3, D22 = 02×1.
Керування u прикладене до тiла з масою m1 з метою стабiлiзацiї
системи i мiнiмiзацiї впливу зовнiшнiх i початкових збурень. Ком-
поненти w1 i w2 вектора збурень дiють вiдповiдно на перше i друге
106 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
тiло, а компонента w3 характеризує неточнiсть вимiрюваного вихо-
ду y. Вектор керованого виходу складають керування u i змiщення
другого тiла x2.
0
1
2
0,61,1
3
4
5
1 0,50,9
0,40,8
Рис. 2. Залежнiсть J вiд m1 i m2.
0
0,8
0,5
1
0,8
1,5
0,6
2
0,6
2,5
0,40,4 0,20,2
Рис. 3. Залежнiсть J вiд q1 i q2.
1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
J
J
0
Рис. 4. Залежностi J i J0 вiд k.
0 20 40 60 80 100
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1
t
2
t
3
t
4
t
Рис. 5. Поведiнка динамiчного
регулятора.
Дискретний аналог системи керування (53) має вигляд (43), де
A = edà ≈ I4+dÃ+
d2
2
Ã2+
d3
6
Ã3, B1 =
∫ d
0
eτÃB̃1dτ, B2 =
∫ d
0
eτÃB̃2dτ,
d = 0, 1 — крок дискретизацiї, а значення iнших матричних коефiцi-
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 107
0 20 40 60 80 100
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
x
1
t
x
2
t
x
3
t
x
4
t
Рис. 6. Поведiнка системи без
керування.
0 20 40 60 80 100
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
1
t
x
2
t
x
3
t
x
4
t
Рис. 7. Поведiнка керованої систе-
ми.
єнтiв наведено у (53). Дана система без керування нестiйка.
Поклавши
m1= 0, 5,m2=1, k =2, P = diag
{
p1, p2, p3
}
, Q = diag
{
q1, q2
}
, X0= 4I4,
де p1 = p2 = 2, p3 = 0, 5 i q1 = q2 = 0, 1, за допомогою алгоритму
6.1 проводилась мiнiмiзацiя параметра γ, при якому виконувались
система спiввiдношень (7), (47) i (48) у теоремi 6.1. У результатi при
γ = 0, 984 наближено отримано J-оптимальний динамiчний регуля-
тор (10) повного порядку r = 4 з матрицями
K =
[
−0, 55838 −2, 48726
]
, V =
0, 00045 0, 00512
−0, 11062 0, 19995
0, 07103 0, 06702
−0, 04030 −0, 05621
,
U =
[
−0, 03419 2, 16121 3, 17227 0, 03458
]
,
Z =
−0, 00001 −0, 00449 −0, 00483 −0, 00144
0, 00309 0, 67937 −0, 01313 −0, 24402
0, 00134 −0, 04211 0, 79986 0, 06285
−0, 00186 0, 26189 0, 01718 0, 95941
,
який забезпечує неекспансивнiсть i ρ-стiйкiсть замкненої системи,
при цьому ρ = 0, 98609, J0 = 0, 74219 i J = 0, 98389.
108 Мазко О. Г., Кусiй С. М.
Дослiджено залежнiсть характеристик J0 i J вiд механiчних па-
раметрiв m0, m1 i k, а також вагових коефiцiєнтiв q1 i q2 (див. рис. 2
– 4). Значення J характеризує рiвень погашення коливань у системi,
що залежать вiд зовнiшнiх збурень i початкового вектора. Дана ха-
рактеристика збiльшується при збiльшеннi маси m1 i зменшеннi маси
m2 у розглянутих межах (рис. 2).
На рис. 6 i 7 показана поведiнка компонент фазового вектора xt
вiдповiдно системи без керування i замкненої системи при наведених
значеннях параметрiв i початкового вектора x0 =
[
1 −1 2 −2
]
,
а на рис. 5 — поведiнка динамiчного регулятора з нульовим початко-
вим вектором. При цьому вектор збурення взято у виглядi (49), де
Θ =
√
P
−1
E
√
Q i E =
[
I2 02×1
]T
, причому ΘTPΘ = Q.
8 Висновок
Для деяких класiв лiнiйних та нелiнiйних систем керування з дис-
кретним часом отримано умови iснування та методи побудови стабi-
лiзуючих динамiчних регуляторiв по вимiрюваному виходу. Для дис-
кретних систем з керованими i спостережуваними виходами запро-
поновано метод побудови динамiчних регуляторiв, якi забезпечують
оцiнку та мiнiмiзацiю зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i початкових
збурень, а також робастну стiйкiсть стану рiвноваги вiдносно деякої
множини невизначеностей. Вiдповiдний алгоритм синтезу керування
з використанням динамiчного регулятора повного порядку або ста-
тичного регулятора по стану зводяться до розв’язування системи лi-
нiйних матричних нерiвностей. Використовуючи засоби комп’ютерної
системи Matlab, проведена чисельна реалiзацiя даного алгоритму на
прикладi двомасової механiчної системи.
[1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. —
М.: Наука, 2002. — 303 с.
[2] Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гаранти-
рованные результаты в задачах управления и идентификации. — К.:
Наук. думка, 2006. — 264 с.
[3] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе
линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с.
[4] Ларин В.Б., Туник А.А. О компенсации внешних возмущений дина-
мической обратной связью по выходной переменной // Прикладная
механика. — 2006. — 42, 5. — С. 132–144.
Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i . . . 109
[5] Мазко А.Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических си-
стем. Методы матричных и конусных неравенств // Працi Iнституту
математики НАН України, 2016. — 102. — 332 с.
[6] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A
Convex Approach. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — 419 p.
[7] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to H∞
Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. —
P. 421 – 448.
[8] Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных
внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов
// Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 3. — С. 106–125.
[9] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории
управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и
телемеханика.— 2005. — № 5. — С. 7–46.
[10] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control
Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. — Natick, MA: The
MathWorks, Inc., 1995. — 138 p.
[11] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
[12] Баландин Д.В., Коган М.М. Применение линейных матричных не-
равенств в синтезе законов управления. — Нижний Новгород: ННГУ,
2010. — 93 с.
[13] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H∞-оптимальное управ-
ление как компромисс между H∞-оптимальным и γ-оптимальным
управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 6. — С.
20–38.
[14] Баландин Д.В., Коган М.М, Кривдина Л.Н., Федюков А.А. Синтез
обобщенного H∞-оптимального управления в дискретном времени на
конечном и бесконечном интервалах // Автоматика и телемеханика.
— 2014. — № 1. — С. 3–22.
[15] Мазко О. Г., Кусiй С.М. Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень
в системах керування // Математичнi проблеми механiки та обчи-
слювальної математики: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2015. — 12, 5. — С. 90–108.
[16] Мазко А. Г., Кусий С.Н. Стабилизация по измеряемому выходу и
оценка уровня гашения возмущений в системах управления // Нелi-
нiйнi коливання. — 2015. — 18, 3. — С. 373–387.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-336 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:54Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/81/a54893de239444788fff96b3a6610181.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3362018-02-13T11:53:50Z Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs Динамические регуляторы в дискретных системах с управляемыми и наблюдаемыми выходами Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i спостережуваними виходами Mazko, A. G. Kusyi, S. M. Мазко, А. Г. Кусий, C. M. Мазко, О. Г. Кусiй, C. М. Necessary and sufficient conditions for the static output feedback stabilizability of linear discrete-time systems is derived. The conditions take the form of a matrix inequality. It is shown that an algorithm of stabilization, which follows from these condition, is applicable for a certain class of nonlinear discrete-time control systems. An algorithm for constructing the control laws providing a given estimate of the weighted damping level of input signals and initial perturbations and robust stability of the equilibrium state of the control system is proposed. The results are illustrate$d by an numerical example for a discrete-time stabilization system. В терминах матричных неравенств сформулировано необходимые и достаточные условия стабилизированости по выходу линейных дискретных систем управления. Показано, что алгоритм стабилизации, который вытекает из данных условий, можно применить для некоторого класса нелинейных дискретных систем управления. Предложен алгоритм построения законов управления, обеспечивающих заданную оценку взвешенного уровня гашения входных сигналов и начальных возмущений, а также Робастные устойчивость состояния равновесия управляемой системы. Полученные результаты продемонстрированы на численном примере дискретной системы стабилизации. В термiнах матричних нерiвностей сформульовано необхiднi та достатнi умови стабiлiзовностi по виходу лiнiйних дискретних систем керування. Показано, що алгоритм стабiлiзацiї, який випливає iз даних умов, можна застосувати для деякого класу нелiнiйних дискретних систем керування. Запропоновано алгоритм побудови законiв керування, що забезпечують задану оцiнку зваженого рiвня гасiння вхiдних сигналiв i початкових збурень, а також робастну стiйкiсть стану рiвноваги керованої системи. Отриманi результати продемонстровано на чисельному прикладi дискретної системи стабiлiзацiї. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/336 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 88-109 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 88-109 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 88-109 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/336/347 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Mazko, A. G. Kusyi, S. M. Мазко, А. Г. Кусий, C. M. Мазко, О. Г. Кусiй, C. М. Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| title | Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| title_alt | Динамические регуляторы в дискретных системах с управляемыми и наблюдаемыми выходами Динамiчнi регулятори у дискретних системах з керованими i спостережуваними виходами |
| title_full | Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| title_fullStr | Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| title_full_unstemmed | Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| title_short | Dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| title_sort | dynamic regulators in discrete systems with controllable and observable outputs |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/336 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoag dynamicregulatorsindiscretesystemswithcontrollableandobservableoutputs AT kusyism dynamicregulatorsindiscretesystemswithcontrollableandobservableoutputs AT mazkoag dynamicregulatorsindiscretesystemswithcontrollableandobservableoutputs AT kusijcm dynamicregulatorsindiscretesystemswithcontrollableandobservableoutputs AT mazkoog dynamicregulatorsindiscretesystemswithcontrollableandobservableoutputs AT kusijcm dynamicregulatorsindiscretesystemswithcontrollableandobservableoutputs AT mazkoag dinamičeskieregulâtoryvdiskretnyhsistemahsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT kusyism dinamičeskieregulâtoryvdiskretnyhsistemahsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT mazkoag dinamičeskieregulâtoryvdiskretnyhsistemahsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT kusijcm dinamičeskieregulâtoryvdiskretnyhsistemahsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT mazkoog dinamičeskieregulâtoryvdiskretnyhsistemahsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT kusijcm dinamičeskieregulâtoryvdiskretnyhsistemahsupravlâemymiinablûdaemymivyhodami AT mazkoag dinamičniregulâtoriudiskretnihsistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT kusyism dinamičniregulâtoriudiskretnihsistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT mazkoag dinamičniregulâtoriudiskretnihsistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT kusijcm dinamičniregulâtoriudiskretnihsistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT mazkoog dinamičniregulâtoriudiskretnihsistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami AT kusijcm dinamičniregulâtoriudiskretnihsistemahzkerovanimiisposterežuvanimivihodami |