Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type
Let f be a non-monotonic singular function of the Cantor type defined interms of quinary representation of the numbers and let $X$ be a randomvariable whose digits of its quinary representation are independent of therandom variables. We study a Lebesgue structure of distribution of therandom variable...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/337 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552846692450304 |
|---|---|
| author | Pratsevityi, M. V. Svinchuk, O. V. Працевитый, М. В. Свинчук, О. В. Працьовитий, М. В. Свинчук, О. В. |
| author_facet | Pratsevityi, M. V. Svinchuk, O. V. Працевитый, М. В. Свинчук, О. В. Працьовитий, М. В. Свинчук, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М. В. Працьовитий",
"institution": "Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "О. В. Свинчук",
"institution": "Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М.П. Драгоманова"
}
] |
| author_sort | Pratsevityi, M. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | Let f be a non-monotonic singular function of the Cantor type defined interms of quinary representation of the numbers and let $X$ be a randomvariable whose digits of its quinary representation are independent of therandom variables. We study a Lebesgue structure of distribution of therandom variable $Y = f(X)$, topological, metric and fractal properties ofits spectrum. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 110–121
УДК 517.521
Розподiл значень однiєї сингулярної
немонотонної функцiї
канторiвського типу
М.В. Працьовитий, 1, О. В. Свинчук, 2
1 Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М.П. Драгоманова;
prats4444@gmail.com,
2 Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi М.П. Драгоманова;
7011990@ukr.net
Let f be a non-monotonic singular function of the Cantor type defined in
terms of quinary representation of the numbers and let X be a random
variable whose digits of its quinary representation are independent of the
random variables. We study a Lebesgue structure of distribution of the
random variable Y = f(X), topological, metric and fractal properties of
its spectrum.
Для немонотонної сингулярної функцiї канторiвського типу f , означе-
ної в термiнах п’ятiркового зображення чисел, i випадкової величини
X, цифри п’ятiркового зображення якої є незалежними випадковими
величинами, вивчається лебегiвська структура розподiлу випадкової
величини Y = f(X), тополого-метричнi i фрактальнi властивостi його
спектра.
Для немонотонной сингулярной функции канторовского типа f , опре-
деленной в терминах пятеричного изображения чисел, и случайной ве-
личины X, цифры пятеричного изображения которой являются неза-
висимыми случайными величинами, изучается лебеговская структура
распределения случайной величины Y = f(X), тополого-метрические
и фрактальные свойства её спектра.
1 Вступ
Розподiли випадкових величин, цифри зображення яких у тiй чи iн-
шiй системi кодування (зображення) є незалежними випадковими ве-
личинами, iнтенсивно вивчаються протягом кiлькох останнiх десяти-
лiть [1], [2], [7] [6], а саме: дослiджується їх лебегiвська структура,
c© Працьовитий М.В., Свинчук О.В., 2017
Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї . . . 111
тополого-метричнi i фрактальнi властивостi спектрiв та носiїв тощо.
Серед цих розподiлiв переважають сингулярнi (тобто такi, що зосере-
дженi на множинах нульової мiри Лебега), їх значну частину склада-
ють канторiвськi розподiли (тi, що зосередженi на досконалих нiде не
щiльних множинах нульової мiри Лебега). У кожного з них функцiя
розподiлу є неперервною, неспадною, а сумарна довжина вiдрiзкiв
сталостi функцiї є множиною повної мiри.
Нагадаємо, що неперервна функцiя, вiдмiнна вiд константи, нази-
вається сингулярною, якщо її похiдна дорiвнює нулю майже скрiзь
у розумiннi мiри Лебега. Неперервна функцiя називається сингуляр-
ною функцiєю канторiвського типу, якщо її множина несталостi є
нiде не щiльною множиною нульової мiри Лебега. Сингулярнi розпо-
дiли випадкових величин мають сингулярнi функцiї розподiлу, якi є
монотонними. Разом з цим серед сингулярних функцiй канторiвсько-
го типу значний пiдклас утворюють немонотоннi сингулярнi функцiї,
розподiли значень яких є самостiйним об’єктом дослiдження. Саме
такому об’єкту присвячена дана робота. У нiй дослiджується розпо-
дiл випадкової величини Y = f(X), де f — немонотонна сингулярна
функцiя канторiвського типу, властивостi якої частково вивчалися
в [4], [5], а X — випадкова величина, розподiл якої iндукується роз-
подiлами цифр її п’ятiркового зображення, що є незалежними випад-
ковими величинами. Нас цiкавить структура i властивостi розподiлу
випадкової величини Y .
2 Основний об’єкт
Нехай A5 ≡ {0, 1, 2, 3, 4} — алфавiт 5-ової системи числення, L ≡
A5 × . . .×A5 × . . .;
x =
∞∑
k=1
αk(x)
5k
≡ ∆5
α1α2...αk...
— 5-ове зображення числа x ∈ [0, 1], (αk) ∈ L.
Нехай (εn) — послiдовнiсть додатних дiйсних чисел, причому 0 ≤
εn ≤ 1; (gn) — послiдовнiсть векторiв, де gn = (g0n, g1n, g2n, g3n, g4n),
таких, що: g0n = g4n =
2 + εn
4
, g1n = g3n =
−εn
4
, g2n = 0.
112 Працьовитий М. В., Свинчук О. В.
Розглядається функцiя
f(x) = δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
≡ ∆G
α1α2...αk..., (1)
де δ0n = 0, δ1n =
2 + εn
4
, δ2n =
2
4
= δ3n, δ4n =
2− εn
4
, тобто δ[i+1]n =
δin + gin =
i∑
j=0
gjn, n ∈ N.
Властивостi функцiї f вивчались у роботi [5]. Нагадаємо деякi з
них.
Теорема 2.1. Функцiя f(x) є:
1) коректно означеною та неперервною на [0; 1];
2) сталою на кожному цилiндрi виду ∆5
c1c2...cm2 i крiм цього на
цилiндрах ∆5
c1c2...cn−11 i ∆5
c1c2...cn−13, якщо εn = 0;
3) монотонною (а точнiше: неспадною) — тодi i тiльки тодi,
коли εn = 0, n ∈ N ;
4) сингулярною функцiєю канторiвського типу, множиною не-
сталостi якої є множина канторiвського типу C[5; {0, 1, 3, 4}] =
{x : x ∈ [0, 1], αn(x) ∈ {0, 1, 3, 4}} з фрактальною розмiрнiстю Гаус-
дорфа-Безиковича log5 4.
Вона набуває всiх значень з вiдрiзка [0, 1], не має промiжкiв мо-
нотонностi, крiм промiжкiв сталостi, якщо нерiвнiсть εn 6= 0 ви-
конується для нескiнченної множини значень n, i має графiк, симе-
тричнй вiдносно точки C
(
1
2 ,
1
2
)
.
Теорема 2.2. Варiацiя функцiї f обчислюється за формулою
V 1
0 (f) =
∞∏
i=1
(1 + εi).
Функцiя f має обмежену варiацiю тодi i тiльки тодi, коли
∞∑
i=1
εi <∞. (2)
Наслiдок 2.1. Якщо 0 < ε0 ≤ εn або 0 < εn = const, то функцiя f
є функцiєю необмеженої варiацiї.
Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї . . . 113
3 Розподiл значень функцiї f(x) при заданому роз-
подiлi випадкового аргументу
Нехай (τk) — послiдовнiсть незалежних однаково розподiлених випад-
кових величин, якi набувають значення 0, 1, 2, 3, 4 з ймовiрностями
p0n, p1n, p2n, p3n, p4n, n ∈ N вiдповiдно, тобто
P{τn = i} = pin, i = 0, 4,
p0n + p1n + p2n + p3n + p4n = 1, ∀n ∈ N.
X = ∆5
τ1τ2τ3... — неперервна випадкова величина з незалежними
5-овими цифрами.
Розподiл випадкової величини X добре вивчений [3]. Його лебе-
гiвську структуру висвiтлює наступне твердження.
Теорема 3.1. [3] Випадкова величина X має розподiл чистого ле-
бегiвського типу, причому:
1) чисто дискретний тодi i тiльки тодi, коли
M ≡
∞∏
k=1
max
i
{pik} > 0;
2) чисто абсолютно неперервний тодi i тiльки тодi, коли
L ≡
∞∑
k=1
4∑
i=0
(1 − 5pik)
2 <∞;
3) чисто сингулярно неперервний тодi i тiльки, коли M = 0 i
L = ∞.
Теорема 3.2. Множина всiх рiвнiв функцiї f , якi мiстять вiдрiзки
сталостi, є злiченою множиною, причому:
1) рiвень y0 = f
(
∆5
(2)
)
= 1
2 мiстить лише один вiдрiзок стало-
стi;
2) кожен з рiвнiв виду
y0 = f
(
∆5
c1c2...cm0(2)
)
= f
(
∆5
c1c2...cm3(2)
)
,
y0 = f
(
∆5
c1c2...cm1(2)
)
= f
(
∆5
c1c2...cm4(2)
)
мiстить два вiдрiзки сталостi;
3) рiвень функцiї бiльше двох вiдрiзкiв мiстити не може.
114 Працьовитий М. В., Свинчук О. В.
Доведення. Очевидно, що промiжки сталостi функцiї вичерпуються
цилiндрами: ∆2, ∆02, ∆12, ∆32, ∆42 i т. д., загальний вигляд яких
∆c1c2...cm(2), де ci 6= 2, i = 1,m, m ∈ N , тобто рiвнi, якi мiстять про-
мiжки, мають вигляд f−1
(
f
(
∆5
c1c2...cm(2)
))
. Оскiльки f(∆5
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
m
(2)
) 6=
f(∆5
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
k
(2)
) при m 6= k, то таких рiвнiв злiченна кiлькiсть.
1. Доведемо, що рiвень y0 = 1
2 = f
(
∆5
(2)
)
мiстить лише один вiд-
рiзок сталостi. Припустимо, що знайдеться такий цилiндр, для якого
виконується рiвнiсть f
(
∆5
c1c2...cm(2)
)
= 1
2 . Тодi
δc1 + δc2gc1 + . . .+ δcm
m−1∏
j=1
gcj +
1
2
m∏
j=1
gcj =
1
2
.
Значення функцiї у внутрiшнiх точках цилiндра ∆5
1 бiльшi за 1
2 ,
а на ∆5
3 — меншi за 1
2 . Тому далi досить провести аналiз лише на
цилiндрах ∆5
0 i ∆5
4. Оскiльки графiк функцiї f симетричний вiдносно
точки C
(
1
2 ,
1
2
)
, то зосередимось на дослiдженнi цилiндра ∆5
0. Отже,
3
4
δc2 + δc3gc2 + . . .+ δcm
m−2∏
j=2
gcj +
1
2
m−1∏
j=2
gcj
=
1
2
,
3
δc2 + δc3gc2 + . . .+ δcm
m−2∏
j=2
gcj +
1
2
m−1∏
j=2
gcj
= 2.
Оскiльки добуток
m−1∏
j=2
gcj є правильним звичайним дробом зi зна-
менником 4m−2, а δci — зi знаменником 4, то, домноживши останню
рiвнiсть на 4m, отримаємо
3 ·
4mδc2 + 4mδc3gc2 + . . .+ 4mδcm
m−2∏
j=2
gcj + 4m
1
2
m−1∏
j=2
gcj
= 2 · 4m.
Звiдси бачимо, що лiва частина рiвностi дiлиться на 3, а права —
нi. Отримане протирiччя доводить, що рiвень 1
2 мiстить лише один
вiдрiзок сталостi.
Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї . . . 115
2. Доведемо, що всi iншi рiвнi мiстять два вiдрiзки сталостi. Нехай
A ≡ δc1 +
m∑
k=2
(
δck
k−1∏
j=1
gcj
)
. Розглянемо рiзницю значень функцiї:
f(∆5
c1c2...cm0(2))− f(∆5
c1c2...cm3(2)) =
= A+ g0
m∏
j=1
gcj
1
2
−A− δ3
m∏
j=1
gcj
1
2
− g3
m∏
j=1
gcj
1
2
=
=
3
8
m∏
j=1
gcj −
1
2
m∏
j=1
gcj +
1
8
m∏
j=1
gcj = 0,
f(∆5
c1c2...cm1(2))− f(∆5
c1c2...cm4(2)) =
= A+ δ1
m∏
j=1
gcj + g1
m∏
j=1
gcj
1
2
−A− δ4
m∏
j=1
gcj − g4
m∏
j=1
gcj
1
2
=
=
3
4
m∏
j=1
gcj −
1
8
m∏
j=1
gcj −
1
4
m∏
j=1
gcj −
3
8
m∏
j=1
gcj = 0.
Вiдповiднi значення збiгаються. Отже, данi рiвнi мiстять два вiд-
рiзки.
3. Тепер доведемо, що такi рiвнi мiстять не бiльше двох вiдрiзкiв.
Розглянемо випадки.
1) Припустимо, що знайдеться такий цилiндр, для якого викону-
ється рiвнiсть
f(∆5
c1c2...cm0(2)) = f(∆5
c1c2...cm...cm+k(2)
)
або
f(∆5
c1c2...cm−k...cm0(2)) = f(∆5
c1c2...cm−k(2)
), k ∈ N, k < m.
1.1.
f(∆5
c1c2...cm0(2)) = f(∆5
c1c2...cmcm+1...cm+k(2)
).
3
8
m∏
j=1
gcj =
m∏
j=1
gcj
δcm+1 + . . .+ δcm+k
m+k−1∏
j=m+1
gcj +
1
2
m+k∏
j=m+1
gcj
,
116 Працьовитий М. В., Свинчук О. В.
3
8
= δcm+1 + . . .+ δcm+k
m+k−1∏
j=m+1
gcj +
1
2
m+k∏
j=m+1
gcj ,
3 = 8
δcm+1 + . . .+ δcm+k
m+k−1∏
j=m+1
gcj +
1
2
m+k∏
j=m+1
gcj
.
Оскiльки добуток
m+k∏
j=m+1
gcj є правильним звичайним дробом iз
знаменником 4k−1, а δci — зi знаменником 4, то, домноживши останню
рiвнiсть на 4k, отримаємо
3 · 4k = 8
4kδcm+1 + . . .+ 4kδcm+k
m+k−1∏
j=m+1
gcj + 4k
1
2
m+k∏
j=m+1
gcj
.
Звiдси бачимо, що лiва частина рiвностi дiлиться на 3, а права —
нi. Прийшли до суперечностi.
1.2.
f(∆5
c1c2...cm−kcm−k+1...cm0(2)) = f(∆5
c1c2...cm−k(2)
).
m−k∏
j=1
gcj
δcm−k+1
+ . . .+ δ0
m∏
j=m−k+1
gcj +
3
8
m+1∏
j=m−k+1
gcj
=
1
2
m−k∏
j=1
gcj ,
δcm−k+1
+ δcm−k+2
gcm−k+1
. . .+
3
8
m+1∏
j=m−k+1
gcj =
1
2
,
2δcm−k+1
+ 2δcm−k+2
gcm−k+1
. . .+ 3
m+1∏
j=m−k+1
gcj = 1.
Оскiльки добуток
m+1∏
j=m−k+1
gcj є звичайним правильним дробом iз
знаменником 4k, а δci — зi знаменником 4, то, домноживши останню
рiвнiсть на 4k, отримаємо
2 · 4kδcm−k+1
+ 2 · 4kδcm−k+2
gcm−k+1
. . .+ 3 · 4k
m+1∏
j=m−k+1
gcj = 4k.
Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї . . . 117
Звiдси бачимо, що права частина рiвностi дiлиться на 2, а лiва —
нi, оскiльки останнiй доданок виразу не дiлиться на 2. Прийшли до
суперечностi.
2) Припустимо, що знайдеться такий цилiндр, для якого викону-
ється рiвнiсть
f(∆5
c1c2...cm4(2)) = f(∆5
c1c2...cm...cm+k(2)
)
або
f(∆5
c1c2...cm4(2)) = f(∆5
c1c2...cm−k(2)
).
2.1.
f(∆5
c1c2...cm4(2)) = f(∆5
c1c2...cmcm+1...cm+k(2)
).
5
8
m∏
j=1
gcj =
m∏
j=1
gcj
δcm+1 + . . .+ δcm+k
m+k−1∏
j=m+1
gcj +
1
2
m+k∏
j=m+1
gcj
.
Проводимо аналогiчнi мiркування i отримуємо
5 · 4k = 8
4kδcm+1 + . . .+ 4kδcm+k
m+k−1∏
j=m+1
gcj + 4k
1
2
m+k∏
j=m+1
gcj
.
Лiва частина рiвностi дiлиться на 5, а права — нi. Прийшли до
суперечностi.
2.2.
f(∆5
c1c2...cm−kcm−k+1...cm4(2)) = f(∆5
c1c2...cm−k(2)
).
m−k∏
j=1
gcj
δcm−k+1
+ . . .+ δ0
m∏
j=m−k+1
gcj +
5
8
m+1∏
j=m−k+1
gcj
=
1
2
m−k∏
j=1
gcj ,
Проводимо аналогiчнi мiркування i отримуємо
2 · 4kδcm−k+1
+ 2 · 4kδcm−k+2
gcm−k+1
. . .+ 5 · 4k
m+1∏
j=m−k+1
gcj = 4k.
Права частина рiвностi дiлиться на 2, а лiва — нi, оскiльки остан-
нiй доданок виразу не дiлиться на 2. Прийшли до суперечностi.
Отже, рiвень функцiї f бiльше двох вiдрiзкiв мiстити не може.
118 Працьовитий М. В., Свинчук О. В.
Лема 3.1. Образом п’ятiркового цилiндра при вiдображеннi f є G
— цилiндр або точка, причому точкою є тодi тiльки тодi, коли в
основi цилiндра є принаймнi одна 2.
Доведення. Якщо в основi цилiндра ∆5
c1...cm є принаймнi одна двiйка,
тобто ci = 2 (1 ≤ i ≤ m), то очевидно, що f(∆5
c1c2...cm) = ∆G
c1c2...ci−12(0)
,
де ∆G
c1c2...ci−12(0)
є точкою.
Тепер доведемо, що образом цилiндра ∆5
c1c2...cm , ci 6= 2 , 1 ≤ i ≤ m
є цилiндр.
Нехай x ∈ ∆5
c1c2...cm , тобто x = ∆5
c1c2...cmαm+1...αm+k...
, i
f(∆5
c1c2...cm(0)) = ∆G
c1c2...cm(0) = a,
f(∆5
c1c2...cm(4)) = ∆G
c1c2...cm(4) = b.
Тодi за властивiстю цилiндрiв, а саме, що функцiя на ∆G
c1c2...cm на-
буває найбiльшого i найменшого значення на його кiнцях, випливає,
що
f(∆5
c1c2...cm) ⊂ [A,B],
де A = min{a, b}, B = max{a, b}.
Оскiльки f(x) — неперервна на вiдрiзку ∆5
c1c2...cm функцiя, то вона
набуває всiх промiжних значень мiж A i B, тобто
f(∆5
c1c2...cm) = [A,B].
Теорема 3.3. Якщо X = ∆5
τ1τ2...τn... — неперервна випадкова вели-
чина, цифри τn п’ятiркового зображення якої є незалежними ви-
падковими величинами, що мають розподiли
P{τn = i} = pin, i ∈ A5, n ∈ N,
то розподiл випадкової величини Y = f(X) є чисто дискретним,
якщо
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(1− p2k)
]
= 1,
i є нетривiальною сумiшшю дискретного i неперервного розподiлiв,
коли
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(1− p2k)
]
< 1.
Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї . . . 119
Доведення. Як вiдомо з теореми 3.2, множина рiвнiв функцiї f , якi
мiстять вiдрiзки, є злiченною. Бiльше того, рiвень не може мiстити
бiльше двох вiдрiзкiв. Тому подiя
P{Y = f(∆5
c1...cm2) = ∆G
c1...cm2(0)}
рiвносильна подiї
X ∈ ∆5
c1...cm2,
якщо рiвень y0 = ∆G
c1...cm2(0) мiстить один вiдрiзок, або ж
X ∈ ∆5
c1...cm2
⋃
∆5
c′1...c
′
m2,
де f(∆5
c1...cm2(0)) = f(∆5
c′1...c
′
m2(0)), якщо рiвень мiстить два вiдрiзки.
У першому випадку, в силу незалежностi цифр випадкової вели-
чини X , маємо
P{Y = f(∆5
c1...cm2(0))} = P{X ∈ ∆5
c1...cm2} ≡
(
m∏
i=1
pcii
)
p2,m+1.
У другому випадку вважатимемо, що число y = f(∆5
c1...cm2(0)) має
двi ”складовi” y i y∗, якi є формально рiзними числами.
Тому y = f(∆5
c1...cm2(0)) є атомом розподiлу тодi i тiльки тодi, коли
pcii 6= 0 ∀i ∈ {1, 2, . . . ,m} i p2,m+1 6= 0.
Сумарна маса атомiв розподiлу Y обчислюється за формулою
S =
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(p0k + p1k + p3k + p4k)
]
=
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(1− p2k)
]
.
Очевидно, що остання сума є скiнченним числом, причому вона
мiстить скiнченну кiлькiсть доданкiв, якщо iснує p2k = 1, i нескiн-
ченну — в протилежному випадку.
Якщо p0n = p1n = p2n = p3n = p4n для всiх n ∈ N , то S = 1 i
розподiл є чисто атомарний (дискретний). Якщо ж всi pin рiзнi i S <
1, то, враховуючи теорему Лебега про структуру ймовiрнiсної мiри,
робимо висновок, що розподiл Y , маючи атоми, має i нетривiальну
неперервну компоненту.
Зауважимо, що S 6= 0, що є наслiдком неперервного розподiлу
X .
120 Працьовитий М. В., Свинчук О. В.
Наслiдок 3.1. Якщо X — випадкова величина, рiвномiрно розподi-
лена на [0, 1], то випадкова величина Y має чисто дискретний роз-
подiл.
Теорема 3.4. Якщо X = ∆5
τ1τ2...τn... — неперервна випадкова величи-
на, цифри τn п’ятiркового зображення якої є незалежними випадко-
вими величинами i є однаково розподiленими, то випадкова величина
Y = f(X) має:
1) чисто дискретний розподiл, якщо p2 6= 0;
2) сингулярний розподiл канторiвського типу, якщо p2 = 0.
Доведення. 1. Очевидно, що для ci 6= 2 (i = 1,m)
P{Y = f
(
∆5
c1...cm−12(0)
)
} ≥ P{X ∈ ∆5
c1...cm−12} = p2
m−1∏
j=1
pcj .
Але
∞∑
m=1
∑
(c1,...,cm−1)
26=ci∈A5
p2
m−1∏
j=1
pcj
= p2 + p2(p0 + p1 + p3 + p4) + . . .+
+p2(p0 + p1 + p3 + p4)
n + . . . =
p2
1− (p0 + p1 + p3 + p4)
= 1.
Тому для злiченної множини
A = {y : y = f(∆5
c1...cm−12(0)
)}, ci ∈ A5 \ {2}, m ∈ N
маємо P{Y ∈ A} = 1, тобто Y має чисто дискретний розподiл.
2. Якщо p2 = 0, то P{X ∈ ∆5
c1...cm−12} = 0. Разом з цим P{X =
x} = 0 для будь - якого x ∈ [0, 1] у силу неперервностi розподiлу
випадкової величини X .
Враховуючи, що функцiя y = f(x) континуальних рiвнiв не має
(крiм тих, що мiстять вiдрiзки), робимо висновок про неперервнiсть
розподiлу випадкової величини Y . Разом з цим вiн зосереджений на
множинi нульової мiри Лебега:
C = C[5, V ], де V = {v : pvn 6= 0}.
Тому розподiл випадкової величини Y є сингулярним розподiлом
канторiвського типу.
Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї . . . 121
[1] Працевитый Н.В. Случайные величины с независимыми Q2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохастиче-
ских моделей. — К.: Ин–т математики АН УССР, 1987. — С. 92–102.
[2] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции,
распределения. — К.: Наук. думка, 1992. — 208 с.
[3] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. — К.: Вид-во НПУ iм. М. П. Драгоманова, 1998. — 296 с.
[4] Працьовитий М.В., Свинчук О.В. Один клас неперервних нiде не
монотонних функцiй з автомодельними властивостями // Науковий
часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi на-
уки. — К.: НПУ iм. М. П. Драгоманова, 2014. — 16 (2). — С. 81–93.
[5] Працьовитий М.В., Свинчук О.В. Про одну сiм’ю неперервних немо-
нотонних сингулярних функцiй канторiвського типу з фрактальними
властивостями // Науковий часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Се-
рiя 1. Фiзико-математичнi науки. — К.: НПУ iм. М.П. Драгоманова,
2015. — 17. — С. 37–48.
[6] Працьовитий М.В., Ратушняк С.П. Розподiл значень однiєї фра-
ктальної функцiї вiд випадкового аргумента // Науковий часопис
НПУ iм. М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. —
К.: НПУ iм. М. П. Драгоманова, 2014. — 16 (2). — С. 150–160.
[7] Працьовитий М.В., Торбiн Г.М., Гончаренко Я.В. Сучаснi задачi та
проблеми сингулярних розподiлiв ймовiрностей // Науковi записки:
Зб. наук. статей НПУ iм. М.П. Драгоманова. — К.: НПУ, 2001. —
Вип. 42. — С. 18–20.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-337 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:55Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/53/d8f92b43939b9ddd28693545ed03d353.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3372018-02-13T11:53:50Z Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type Распределение значений сингулярной немонотонной функции канторовского типа Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї канторiвського типу Pratsevityi, M. V. Svinchuk, O. V. Працевитый, М. В. Свинчук, О. В. Працьовитий, М. В. Свинчук, О. В. Let f be a non-monotonic singular function of the Cantor type defined interms of quinary representation of the numbers and let $X$ be a randomvariable whose digits of its quinary representation are independent of therandom variables. We study a Lebesgue structure of distribution of therandom variable $Y = f(X)$, topological, metric and fractal properties ofits spectrum. Для немонотонной сингулярной функции канторовского типа $f$, определенной в терминах пятеричного изображения чисел, и случайной величины $X$, цифры пятеричного изображения которой являются независимыми случайными величинами, изучается лебеговская структурараспределения случайной величины $Y = f(X)$, тополого-метрические и фрактальные свойства её спектра. Для немонотонної сингулярної функцiї канторiвського типу $f$, означеної в термiнах п’ятiркового зображення чисел, i випадкової величини $X$, цифри п’ятiркового зображення якої є незалежними випадковими величинами, вивчається лебегiвська структура розподiлу випадкової величини $Y = f(X)$, тополого-метричнi i фрактальнi властивостi його спектра. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/337 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 110-121 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 110-121 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 110-121 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/337/348 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Pratsevityi, M. V. Svinchuk, O. V. Працевитый, М. В. Свинчук, О. В. Працьовитий, М. В. Свинчук, О. В. Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type |
| title | Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type |
| title_alt | Распределение значений сингулярной немонотонной функции канторовского типа Розподiл значень однiєї сингулярної немонотонної функцiї канторiвського типу |
| title_full | Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type |
| title_fullStr | Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type |
| title_full_unstemmed | Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type |
| title_short | Distribution of values of a singular non-monotonic function of the Cantor type |
| title_sort | distribution of values of a singular non-monotonic function of the cantor type |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/337 |
| work_keys_str_mv | AT pratsevityimv distributionofvaluesofasingularnonmonotonicfunctionofthecantortype AT svinchukov distributionofvaluesofasingularnonmonotonicfunctionofthecantortype AT pracevityjmv distributionofvaluesofasingularnonmonotonicfunctionofthecantortype AT svinčukov distributionofvaluesofasingularnonmonotonicfunctionofthecantortype AT pracʹovitijmv distributionofvaluesofasingularnonmonotonicfunctionofthecantortype AT svinčukov distributionofvaluesofasingularnonmonotonicfunctionofthecantortype AT pratsevityimv raspredelenieznačenijsingulârnojnemonotonnojfunkciikantorovskogotipa AT svinchukov raspredelenieznačenijsingulârnojnemonotonnojfunkciikantorovskogotipa AT pracevityjmv raspredelenieznačenijsingulârnojnemonotonnojfunkciikantorovskogotipa AT svinčukov raspredelenieznačenijsingulârnojnemonotonnojfunkciikantorovskogotipa AT pracʹovitijmv raspredelenieznačenijsingulârnojnemonotonnojfunkciikantorovskogotipa AT svinčukov raspredelenieznačenijsingulârnojnemonotonnojfunkciikantorovskogotipa AT pratsevityimv rozpodilznačenʹodniêísingulârnoínemonotonnoífunkciíkantorivsʹkogotipu AT svinchukov rozpodilznačenʹodniêísingulârnoínemonotonnoífunkciíkantorivsʹkogotipu AT pracevityjmv rozpodilznačenʹodniêísingulârnoínemonotonnoífunkciíkantorivsʹkogotipu AT svinčukov rozpodilznačenʹodniêísingulârnoínemonotonnoífunkciíkantorivsʹkogotipu AT pracʹovitijmv rozpodilznačenʹodniêísingulârnoínemonotonnoífunkciíkantorivsʹkogotipu AT svinčukov rozpodilznačenʹodniêísingulârnoínemonotonnoífunkciíkantorivsʹkogotipu |