Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction

We study a model of discrete conﬂict dynamical system with attractive interaction, which describes the redistribution of the conﬂict space between two opponents. Existence of the equilibrium state of the dynamical systems is proved and explicit formulas for the limit distributions in terms of stocha...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Authors:	Satur, O. R., Сатур, О. Р.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2017
Online Access:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/338
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Download file:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552848950034432
author	Satur, O. R. Сатур, О. Р. Сатур, О. Р.
author_facet	Satur, O. R. Сатур, О. Р. Сатур, О. Р.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "О. Р. Сатур", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Satur, O. R.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-02-13T11:53:50Z
description	We study a model of discrete conﬂict dynamical system with attractive interaction, which describes the redistribution of the conﬂict space between two opponents. Existence of the equilibrium state of the dynamical systems is proved and explicit formulas for the limit distributions in terms of stochastic vectors are derived. The evolution of the redistribution of the conﬂict space is illustrated for a case.
first_indexed	2026-08-04T01:05:58Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 122–132 УДК 517.9 Граничнi стани дискретних динамiчних систем з притягальною взаємодiєю О.Р. Сатур Iнститут математики НАН України, Київ; kseniajasko@gmail.com We study a model of discrete conflict dynamical system with attractive in- teraction, which describes the redistribution of the conflict space between two opponents. Existence of the equilibrium state of the dynamical sys- tems is proved and explicit formulas for the limit distributions in terms of stochastic vectors are derived. The evolution of the redistribution of the conflict space is illustrated for a case. Дослiджується модель дискретної динамiчної системи конфлiкту з притягальною взаємодiєю, що описує перерозподiл конфлiктного про- стору мiж двома опонентами. Доведено iснування рiвноважного стану системи та отримано явнi формули для граничних розподiлiв динамi- чної системи у термiнах стохастичних векторiв. На конкретному при- кладi продемонстровано еволюцiю перерозподiлу конфлiктного про- стору. Исследуется модель дискретной динамической системы конфликта с притягательним взаимодействием, которая описывает перераспреде- ление конфликтного пространства между двумя оппонентами. Дока- зано существование равновесного состояния системы и получены яв- ные формулы для предельных распределений динамической системы в терминах стохастических векторов. На конкретном примере продемон- стрировано эволюцию перераспределения конфликтного пространства. Вступ У цiй роботi дослiджується динамiчна система, що описує модель поведiнки двох опонентiв. Ми спираємось, зокрема, на роботи [2,6–8], присвяченi теорiї динамiчних систем конфлiкту з притягальною та вiдштовхувальною взаємодiєю. Розглянемо фiзичну систему, яка складається з двох протидiючих сторiн. Цi сторони називаємо опонентами та позначимо через A та c© Сатур О.Р., 2017 Граничнi стани дискретних динамiчних систем з . . . 123 B. Вважаємо, що опоненти A, B у початковий (доконфлiктний) мо- мент часу заданi стохастичними розподiлами їхньої присутностi на спiльному просторi iснування Ω. У загальному випадку опонентам A, B вiдповiдають ймовiрнiснi мiри µ, ν, визначенi на деякiй σ−алгебрi пiдмножин з простору Ω. Символом > позначаємо конфлiктну взає- модiю мiж опонентами. Задача полягає у побудовi та дослiдженнi моделi складної динамi- чної системи, яка описує поведiнку в часi фiзичної системи {A,B,>} iз конфлiктною взаємодiєю мiж A та B. Таку модель можна зобра- зити як динамiчну систему { A B } >,t−→ { At Bt } , t > 0. (1) Математично еволюцiя фiзичної системи {A,B,>} задається трає- кторiями динамiчної системи у термiнах мiр: { µ ν } >,t−→ { µt νt } , t > 0, (2) де >, t позначає конфлiктне перетворення на момент часу t. Динамi- чна система такого типу називається динамiчною системою конфлi- кту [5]. У загальному випадку простiр iснування Ω, на якому спiвiснують опоненти A та B, природним чином розкладається на обмежену кiль- кiсть регiонiв: Ω = n⋃ i=1 Ωi, 2 6 n <∞. Кожен окремий регiон Ωi (Ωi = ωi) називається позицiєю конфлiкту. Боротьба мiж опонентами вiдбувається за кожну спiрну позицiю. У роботах [1–3, 5, 7, 9] побудовано динамiчнi системи конфлiкту, що описують поведiнку складних систем з внутрiшньою конфлiктною взаємодiєю. Зокрема у роботах [1, 3] дослiджується динамiчна систе- ма конфлiкту в дискретному часi, задана у просторi стохастичних векторiв. Ця система описана наступним чином. Кожному опоненту вiдповiдає стохастичний вектор з евклiдового простору Rn, тобто розглядається пара векторiв p, r ∈ Rn, n > 1, p = (p1, p2, ...pn), r = (r1, r2, ...rn) ‖p‖1 = ‖r‖1 = 1 (тут ‖ · ‖1 позначає l1-норму на Rn, тобто ‖p‖1 = ∑n i=1 \|pi\|). Конфлiктна взаємодiя мiж 124 Сатур О. Р. опонентами задана рiзницевими рiвняннями виду pN+1 i = 1 zN pNi (1 − αrNi ), rN+1 i = 1 zN rNi (1 − αpNi ), (3) де N = 0, 1, ..., p0i = pi, r0i = ri — координати стартових векторiв, −1 ≥ α ≥ 1 (α 6= 0) позначає константу зв’язку. А нормувальний ко- ефiцiєнт zN вибирається таким чином, щоб нова пара векторiв за- лишалась стохастичною (‖pN+1‖1 = ‖rN+1‖1 = 1). Легко визначити, що zN = 1− α ∑n i=1 p N i r N i , при чому вважаємо, що α 6= 1∑ n i=1 p N i r N i . Зауважимо, що, залежно вiд знаку константи зв’язку α, рiвняння (3) описують систему з вiдштовхувальною (α > 0) або притягаль- ною (α < 0) взаємодiєю. Зокрема, дослiдження динамiчних систем з притягальною взаємодiєю описано у роботах [2, 7]. У роботах [6, 8] запропоновано побудову динамiчної системи кон- флiкту з вiдштовхувальною взаємодiєю в просторi мiр, яка у випадку стохастичних векторiв має такий вигляд: pN+1 i = 1 zN (pNi (1 + θN )− τNi ), rN+1 i = 1 zN (rNi (1 + θN )− τNi ), N = 0, 1, 2... (4) θN — показник глобальної еволюцiї (0 < θN ≤ 1), τNi — показник конфлiкту (τN ∈ R n, τNi ≥ 0). Доведено iснування нерухомих грани- чних точок (рiвноважних станiв) та дано їх опис у термiнах розкладу Гана-Жордана. У цiй роботi дослiджується динамiчна система конфлiкту з взає- модiєю притягання, тобто з коефiцiєнтом α = +1 перед показником захоплення τNi . 1 Iснування граничних координат Нехай Ω — деяка скiнченна множина, Ω = {ω1, ω2, ...ωn}, n > 1. Зафiксуємо пару ймовiрнiсних дискретних мiр µ, ν на Ω. Розподiли цих мiр визначають пару векторiв p, r: µ(ωi) = pi ≥ 0, ν(ωi) = ri ≥ 0, i = 1, 2, . . . n. Зрозумiло, що вектори p = (p1, p2, ...pn) та r = (r1, r2, ...rn) належать Rn+ i є стохастичними векторами, тобто pi ≥ 0, ‖p‖1 = n∑ i=1 pi = n∑ i=1 µ(ωi) = µ(Ω) = 1, Граничнi стани дискретних динамiчних систем з . . . 125 ri ≥ 0, ‖r‖1 = n∑ i=1 ri = n∑ i=1 ν(ωi) = ν(Ω) = 1. Задамо нелiнiйне, некомутативне перетворення конфлiкту > мiж двома стохастичними векторами p, r: p1 = p> r, r1 = r> p, де нова пара векторiв p1, r1 визначається за правилом: p1i = pi(θ + 1) + τi z , r1i = ri(θ + 1) + τi z , де θ = ∑n i=1 √ piri, τi = min{pi, ri}, коефiцiєнт z = 1 + θ + W , де W = ∑n i=1 τi. Нормуючий коефiцiєнт z забезпечує стохастичнiсть векторiв p1 та r1, якi очевидно належать Rn+. Таким чином, для заданої пари векторiв p, r ∈ Rn+ перетворення > породжує траєкторiю динамiчної системи конфлiкту {pN , rN} >−→ {pN+1, rN+1}, N = 0, 1, . . . , (5) де p0 = p, r0 = r та pN+1 i = pNi (θN + 1) + τNi zN , rN+1 i = rNi (θN + 1) + τNi zN , (6) θN = 2∑ i=1 √ pNi r N i , τNi = min {pNi , rNi }, (7) zN = θN + 1 +WN , WN = n∑ i=1 τNi . Теорема 1.1. Кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (5) з довiльною початковою парою стохастичних векторiв p, r ∈ Rn+ (n > 1), збiгається до граничного стану {p∞, r∞}. Тобто для послi- довностей векторiв pN , rN , координати яких заданi формулами (6), iснують границi: p∞ = lim N→∞ pN , r∞ = lim N→∞ rN . 126 Сатур О. Р. Доведення. Зафiксуємо довiльний iндекс i ∈ {1, 2, . . . , n}. Роз- глянемо послiдовнiсть (τNi ) ∞ N=0. Оскiльки τNi = min {pNi , rNi }, причо- му 0 ≤ pNi , r N i ≤ 1, то 0 ≤ τNi ≤ 1, (8) тобто (τNi ) ∞ N=0 є обмеженою при N → ∞. Покажемо, що (τNi ) ∞ N=0 – монотонна. З рiвностi (6) та (7) випли- ває, що τN+1 i = τNi (θN + 1) + τNi zN = τNi (θN + 2) zN , τN+1 i = τNi · θN + 2 θN + 1 +WN . (9) Позначимо sN = θN+2 θN+1+WN , тодi τN+1 i = τNi · sN . Очевидно, що 0 ≤ θN ≤ 1. Оцiнимо WN = n∑ i=1 τNi . З (7) та умови нормованостi векторiв випливає, що WN ≤ 1. Звiдси sN ≥ 1, i тому τN+1 i ≥ τNi . (10) Отже, (τNi ) ∞ N=0 – монотонна. Оскiльки (τNi ) ∞ N=0 – монотонна обмежена послiдовнiсть, то для довiльного i = 1, n iснує lim N−→∞ τNi = τ∞i . У випадку рiвних початкових векторiв p, r, враховуючи умову (7), отримуємо pN = rN = τN , тобто pNi = rNi = τNi ∀ i = 1, n. З вищедо- веденого випливає iснування граничних векторiв p∞ та r∞, причому p∞ = r∞ = τ∞. Розглянемо випадок рiзних початкових векторiв, тобто p 6= r. Не- хай для деякого i мiж координатами pi, ri виконується нерiвнiсть pi > ri. Виконавши тотожнi перетворення даної нерiвностi, а саме: домноживши нерiвнiсть на (θ + 1), додавши до обох її частин τi та подiливши на z, отримаємо pi(θ + 1) + τi z > ri(θ + 1) + τi z , Граничнi стани дискретних динамiчних систем з . . . 127 тобто p1i > r1i . Аналогiчними мiркуваннями отримуємо нерiвнiсть для усiх N : pNi > rNi , N = 0, 1, . . . Оскiльки τNi = min {pNi , rNi }, то rNi = τNi . Вже доведено, що (τNi ) ∞ N=0 – монотонна обмежена послiдовнiсть, тому (rNi ) ∞ N=0 також монотонна обмежена послiдовнiсть, тобто iснує границя: lim N−→∞ rNi = r∞i = τ∞i . Безпосередньо встановлюємо, що для всiх координат τj , j = 1, n вектора τ виконуються спiввiдношення: τN+1 j τN+1 i = τNj · θN+2 θN+1+WN τNi · θN+2 θN+1+WN = τNj τNi τNj τNi = τN−1 j · θN−1+2 θN−1+1+WN−1 τN−1 i · θN−1+2 θN−1+1+WN−1 = τN−1 j τN−1 i · · · τ1j τ1i = τ0j · θ0+2 θ0+1+W 0 τ0i · θ0+2 θ0+1+W 0 = τ0j τ0i . Отже, вiдношення τNj τNi = τ0j τ0i (11) є незалежним вiд N . Розглянемо спiввiдношення τNi WN = τNi τN1 + · · ·+ τNi + · · ·+ τNn = 1 τN 1 τN i + · · ·+ 1 + · · ·+ τN n τN i . З рiвняння (11) випливає, що τNi WN = 1 τN 1 τN i + · · ·+ 1 + · · ·+ τN n τN i = 1 τ0 1 τ0 i + · · ·+ 1 + · · ·+ τ0 n τ0 i = τ0i W 0 . Тобто 128 Сатур О. Р. τ0i W 0 = τNi WN (12) для будь-якого N = 1, 2, ... Припустимо, що для деякого фiксованого i виконується нерiвнiсть pi < τi W . Домноживши цю нерiвнiсть на (θ + 1), додавши до обох її частин τi та подiливши на z, отримаємо pi(θ + 1) + τi z < τi W · θ + 1 +W z , тобто p1i < τi W · 1. Враховуючи вищедоведену рiвнiсть (12), можна стверджувати, що p1i < τ1 i W 1 . Отже, згiдно з принципом математичної iндукцiї, нерiвнiсть pNi < τNi WN (13) справедлива для довiльного N . Розглянемо рiзницю деякої фiксованої i−тої координати вектора p на N−му та (N + 1)−му кроках pN+1 i − pNi = pNi (θ N + 1) + τNi zN − pNi = = τNi − pNi ·WN zN = WN zN ( τNi WN − pNi ) . Очевидно, WN zN > 0. Тому, якщо для деякого фiксованого i вико- нується (13), то для довiльного N = 0, 1, . . . виконується нерiвнiсть pNi < τN i WN , тобто послiдовнiсть (pNi ) ∞ N=0 зростає. Аналогiчно послiдов- нiсть (pNi ) ∞ N=0 спадає при умовi pNi > τi W . З попереднiх мiркувань випливає, що (pNi ) ∞ N=0 — монотонна по N . За теоремою про монотонну обмежену послiдовнiсть отримуємо, що iснує lim N→∞ pNi = p∞i . Отже, iснують граничнi вектори p∞, r∞ з координатами p∞i = lim N→∞ pNi , r∞i = lim N→∞ rNi . Теорему доведено. Граничнi стани дискретних динамiчних систем з . . . 129 2 Нерухомi точки динамiчної системи конфлiкту з притягальною взаємодiєю Наведемо теорему, яка описує iнварiантнi граничнi мiри µ∞, ν∞ у термiнах граничних значень координат p∞i , r ∞ i стохастичних векторiв p∞, r∞. Теорема 2.1. Нехай траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (5), породжена парою стохастичних векторiв p, r ∈ Rn+, збiгається до граничного стану {p∞, r∞}. Тодi граничний стан {p∞, r∞} є не- рухомою точкою, тобто p∞ = p∞ ∗ r∞, r∞ = r∞ ∗ p∞. Причому, якщо p = r, то p∞ = p, r∞ = r. Якщо p 6= r, то p∞ = r∞ i p∞i = r∞i = τi W , де τi = min {pi, ri},W = n∑ i=1 τi. Для доведення теореми 2.1 використаємо наступне твердження. Твердження 2.1. Для довiльного i = 1, n при N → ∞ виконується pNi − rNi → 0. Доведення. Розглянемо рiзницю i-тих координат векторiв pN+1 та rN+1. Позначимо dN+1 i = pN+1 i − rN+1 i , dN+1 i = pN (θN + 1) + τNi zN − rN (θN + 1) + τNi zN = (pNi − rNi ) θN + 1 zN . Тодi dN+1 i = dNi · kN , (14) де kN = θN + 1 θN + 1 +WN . Припустимо супротивне. Нехай для довiльного i = 1, n при N → ∞ dNi 9 0. 130 Сатур О. Р. Розглянемо рiвнiсть (14) при N → ∞. За теоремою 1.1, iснують гра- ницi limN→∞p N i = p∞i та limN→∞r N i = r∞i . Отже, iснують границi limN→∞d N i = d∞i , limN→∞θ N = θ∞ ≥ 0, limN→∞W N = W∞ > 0. Таким чином отримаємо рiвнiсть d∞i = θ∞+1 θ∞+1+W∞ · d∞i . Ця рiвнiсть можлива лише у випадку d∞i = 0. Отримали суперечнiсть. Отже, припущення невiрне, тобто для довiльного i = 1, n d∞i → 0. Доведення теореми 2.1. З твердження 2.1 випливає рiвнiсть граничних векторiв. Враховуючи (7), отримуємо рiвнiсть p∞ = r∞ = = τ∞. Якщо початковi вектори рiвнi, то ∀ i pi = ri = τi i W = 1. Вико- ристовуючи формулу (6), отримуємо p1i = pi = ri = r1i . Аналогiчно pNi = pi = ri = rNi . Тому при N → ∞ p∞ = p = r = r∞. Доведемо теорему для випадку рiзних початкових векторiв. Зна- йдемо значення τ∞i . Використавши формули (9) для деякої i-тої ко- ординати вектора τ та враховуючи рiвнiсть (12), отримаємо τN+1 i = τNi · θN + 2 θN + 1 +WN = τNi WN · θN + 2 θN+1 WN + 1 = τi W · θN + 2 θN+1 WN + 1 . Оскiльки p∞ = r∞ = τ∞, то n∑ i=1 p∞i = n∑ i=1 r∞i = n∑ i=1 τ∞i = 1, тобто limN→∞WN = 1. Тодi τ∞i = lim N→∞ τN+1 i = lim N→∞ ( τi W · θN + 2 θN+1 WN + 1 ) = τi W lim N→∞ ( θN + 2 θN+1 WN + 1 ) = τi W . Отже, при N → ∞ p∞i = r∞i = τi W . Теорему доведено. Твердження 2.2. Граничнi вектори p∞, r∞ є нестабiльними. Граничнi стани дискретних динамiчних систем з . . . 131 Доведення. Довiльне ε-збурення граничних точок p∞ → p∞ + ε = {p∞i + εi}, r∞ → r∞ + ε‘ = {r∞i + ε‘i}, де ∑ i εi = 0, ∑ i ε‘i = 0 змiнює τi та W . Тому iснують новi значен- ня границь, вiдмiннi вiд p∞ = limN→∞ pN , r∞ = limN→∞ rN . А це означає, що вектори p∞, r∞ є нестабiльними. Розглянемо приклад. Нехай маємо вектори p, r ∈ R3 + з координа- тами: p = (0.58; 0.06; 0.36), r = (0.43; 0.3; 0.27). На рис. 1 зображено траєкторiю динамiчної системи конфлiкту (5) з векторами pN , rN , координати яких визначаються за формулами (6). Рис. 1 Це типовий варiант динамiки з трьома спiрними позицiями. У цьому випадку граничному стану системи, згiдно з теоремою 2.1, 132 Сатур О. Р. вiдповiдають вектори p∞ = r∞ = (0.5733; 0.08; 0.3476). За побудовою граничний стан такої системи є нерухомою точкою. Цей приклад демонструє твердження теореми 2.1 для конкретної моделi динамiчної системи конфлiкту, еволюцiя у часi векторiв pN та rN якої задається формулами (6). [1] Боднарчук М.В., Кошманенко В.Д., Харченко Н.В. Властивостi гра- ничних станiв динамiчної системи конфлiкту // Нелiнiйнi коливання. — 2004. — 7, 4. — С. 446–461. [2] Боднарчук М.В., Кошманенко В.Д., Самойленко I. В. Динамiка вза- ємодiї конфлiкту мiж системами з внутрiшньою структурою // Нелi- нiйнi коливання. — 2006. — 9, 4. — C. 435–450. [3] Кошманенко В.Д. Теорема про конфликт для пары стохастических векторов // Укр. матем. журн. — 2003. — 55, 4. — C. 555–560. [4] Кошманенко В.Д., Харченко Н.В. Iнварiантнi точки динамiчної си- стеми конфлiкту в просторi кусково-рiвномiрно розподiлених мiр // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, 7. — C. 927–938. [5] Кошманенко В.Д. Спектральна теорiя динамiчних систем конфлiкту. — К.: Наук. думка, 2016. — 287 с. [6] Кошманенко В.Д., Петренко С.М. Розклад Гана-Жордана як рiвно- важний стан системи конфлiкту // Укр. мат. журн. — 2016. — 67, 1. — С. 64–77. [7] Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of Discrete Conflict Interactions Between Non-annihilating Opponent // Methods of Functional Analysis and Topology. — 2005. — 11, 4. — P. 309–319. [8] Koshmanenko V. Existence theorems of the ω-limit states for conflict dynamical systems // Methods Funct. Anal. Topology. — 2014. — 20, 4. — P. 379–390. [9] Koshmanenko V., Kharchenko N. Fixed points of complex system with attarachtive interaction / V. Koshmanenko, N. Kharchenko // Methods of Functional Analysis and Topology. — 2017. — 23, 2. — P. 164–176. 1. Голуб А.П., Лисенко Л.О. 2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю. Постановка задачі Оптимальні керування Результати розрахунків 3. Коломійчук О.П., Новицький В.В. Вступ Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації 4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А. Введение Постановка задачи Метод решения Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке 5. Константінов О.В., Новицький В.В. Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею'' Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком Результати чисельного моделювання 6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О. Вступ Математична модель системи Результати чисельного моделювання Висновки 7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М. Вступ Математична модель системи Аналіз числових прикладів Висновки 8. Луковський І.О. Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною 9. Мазко О.Г., Кусій С.М. Вступ Допоміжні твердження Динамічний регулятор по вимірюваному виходу Зважений рівень гасіння обмежених збурень. Динамічний регулятор зі збуреннями Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами Приклад. Двомасова механічна система Висновок 10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В. Вступ Основний об'єкт Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу 11. Сатур О.Р. Існування граничних координат Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією 12. Солодун А.В. Постановка задачи Нелинейные модальные системы Модальные представления и Кинематические и динамические уравнения Нелинейная форма модальных уравнений Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка Асимптотика Моисеева-Нариманова Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения 13. Сосницький C.П. Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл Про рух малої частки по координаті 14. Троценко Ю.В. Постановка задачи Вариационная формулировка задачи Построение решений Некоторые результаты расчетов 15. Тугай Г.В. Попередні відомості Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором Висновки 16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N. Introduction Statement of the problem Linear damping coefficients Steady-state resonant solution Response curves in the (/11,A,B) space Conclusions 17. Timokha A.N. Statement Almost steady-state asymptotic solution Conclusion
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-338
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:05:58Z
publishDate	2017
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/38/1bdf773e86c9717e5fcea2e86fe6ce38.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-3382018-02-13T11:53:50Z Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction Предельные состояния дискретных динамических систем с привлекательным взаимодействием Граничнi стани дискретних динамiчних систем з притягальною взаємодiєю Satur, O. R. Сатур, О. Р. Сатур, О. Р. We study a model of discrete conﬂict dynamical system with attractive interaction, which describes the redistribution of the conﬂict space between two opponents. Existence of the equilibrium state of the dynamical systems is proved and explicit formulas for the limit distributions in terms of stochastic vectors are derived. The evolution of the redistribution of the conﬂict space is illustrated for a case. Исследуется модель дискретной динамической системы конфликта с притягательним взаимодействием, которая описывает перераспределение конфликтного пространства между двумя оппонентами. Доказано существование равновесного состояния системы и получены явные формулы для предельных распределений динамической системы в терминах стохастических векторов. На конкретном примере продемонстрировано эволюцию перераспределения конфликтного пространства. Дослiджується модель дискретної динамiчної системи конфлiкту з притягальною взаємодiєю, що описує перерозподiл конфлiктного простору мiж двома опонентами. Доведено iснування рiвноважного стану системи та отримано явнi формули для граничних розподiлiв динамiчної системи у термiнах стохастичних векторiв. На конкретному прикладi продемонстровано еволюцiю перерозподiлу конфлiктного простору. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/338 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 122-132 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 122-132 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 122-132 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/338/349 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України
spellingShingle	Satur, O. R. Сатур, О. Р. Сатур, О. Р. Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
title	Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
title_alt	Предельные состояния дискретных динамических систем с привлекательным взаимодействием Граничнi стани дискретних динамiчних систем з притягальною взаємодiєю
title_full	Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
title_fullStr	Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
title_full_unstemmed	Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
title_short	Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
title_sort	limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/338
work_keys_str_mv	AT saturor limitstatesofdiscretedynamicsystemswithanattractiveinteraction AT saturor limitstatesofdiscretedynamicsystemswithanattractiveinteraction AT saturor limitstatesofdiscretedynamicsystemswithanattractiveinteraction AT saturor predelʹnyesostoâniâdiskretnyhdinamičeskihsistemsprivlekatelʹnymvzaimodejstviem AT saturor predelʹnyesostoâniâdiskretnyhdinamičeskihsistemsprivlekatelʹnymvzaimodejstviem AT saturor predelʹnyesostoâniâdiskretnyhdinamičeskihsistemsprivlekatelʹnymvzaimodejstviem AT saturor graničnistanidiskretnihdinamičnihsistemzpritâgalʹnoûvzaêmodiêû AT saturor graničnistanidiskretnihdinamičnihsistemzpritâgalʹnoûvzaêmodiêû AT saturor graničnistanidiskretnihdinamičnihsistemzpritâgalʹnoûvzaêmodiêû

Limit states of discrete dynamic systems with an attractive interaction

Institution

Similar Items