A cubic spline of tri-monotone approximation
For any 3-monotone on $[????,????]$ function $????$ (its third divided differences are nonnegative for all choices of four distinct points, or equivalently, $????$ has a convex derivative on $(????,????)$) we construct a cubic 3-monotone (like $????$) spline $????$ with $???? \in N$ ”almost” equidis...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/34 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552557280231424 |
|---|---|
| author | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. A. Дзюбенко, Г. A. |
| author_facet | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. A. Дзюбенко, Г. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. A. Дзюбенко",
"institution": "Мiжнародний математичний центр iм. Ю.О. Митропольського НАН України"
}
] |
| author_sort | Dzyubenko, G. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:57:10Z |
| description | For any 3-monotone on $[????,????]$ function $????$ (its third divided differences are nonnegative for all choices of four distinct points, or equivalently, $????$ has a convex derivative on $(????,????)$) we construct a cubic 3-monotone (like $????$) spline $????$ with $???? \in N$ ”almost” equidistant knots $????_????$ such that${‖???? - ????‖}_{[????_????, ????_{????-1}]} ≤ ???? ω_4 (????, (???? - ????) / ????, [????_{????+4}, ????_{????-5}] \cap [????, ????]), ???? = 1,...,????,$where $????$ is an absolute constant, $????_4 (????,????,[\cdot,\cdot])$ is the 4-th modulus of smoothness of $????$, and ${|| \cdot ||}_{[\cdot, \cdot]}$ is the max-norm. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2016, т. 13, № 3, 85–98
УДК 517.5
Кубiчний сплайн три-монотонного
наближення
Г.А. Дзюбенко
Мiжнародний математичний центр iм. Ю.О. Митропольського
НАН України, Київ; dzyuben@imath.kiev.ua
For any 3-monotone on [𝑎, 𝑏] function 𝑓 (its third divided differences are
nonnegative for all choices of four distinct points, or equivalently, 𝑓 has a
convex derivative on (𝑎, 𝑏)) we construct a cubic 3-monotone (like 𝑓) spline
𝑠 with 𝑛 ∈ ℕ ”almost” equidistant knots 𝑎𝑗 such that
‖𝑓 − 𝑠‖[𝑎𝑗 ,𝑎𝑗−1]
≤ 𝑐 𝜔4 (𝑓, (𝑏− 𝑎)/𝑛, [𝑎𝑗+4, 𝑎𝑗−5] ∩ [𝑎, 𝑏]) , 𝑗 = 1, ..., 𝑛,
where 𝑐 is an absolute constant, 𝜔4 (𝑓, 𝑡, [·, ·]) is the 4-th modulus of smooth-
ness of 𝑓 , and || · ||[·,·] is the max-norm.
Для любой 3-монотонной на [𝑎, 𝑏] функции 𝑓 (ее третья разделенная
разность неотрицательна для всех наборов из четырех разных точек
или, эквивалентно, 𝑓 имеет выпуклую на (𝑎, 𝑏) производную) построен
кубический 3-монотонный (как 𝑓) сплайн 𝑠 с 𝑛 ∈ ℕ "почти" равноуда-
ленными узлами 𝑎𝑗 такой, что
‖𝑓 − 𝑠‖[𝑎𝑗 ,𝑎𝑗−1]
≤ 𝑐 𝜔4 (𝑓, (𝑏− 𝑎)/𝑛, [𝑎𝑗+4, 𝑎𝑗−5] ∩ [𝑎, 𝑏]) , 𝑗 = 1, ..., 𝑛,
где 𝑐 – абсолютная постоянная, 𝜔4 (𝑓, 𝑡, [·, ·]) – 4-й модуль гладкости 𝑓
и || · ||[·,·] – равномерная норма.
1 Вступ
Нехай 𝐶 := 𝐶[𝑎, 𝑏] – простiр неперервних на [𝑎, 𝑏] функцiй 𝑓 : [𝑎, 𝑏] →
ℝ з рiвномiрною нормою ‖𝑓‖ := ‖𝑓‖[𝑎,𝑏] := max
𝑥∈[𝑎,𝑏]
|𝑓(𝑥)|, 𝐶𝑞 := {𝑓 :
𝑓 (𝑞) ∈ 𝐶}, 𝑞 ∈ ℕ, i нехай Δ3 := Δ3[𝑎, 𝑏] – множина функцiй 𝑓 ∈ 𝐶, що
мають невiд’ємну третю роздiлену рiзницю в усiх наборах з чотирьох
рiзних точок. Зауважимо, що якщо 𝑓 ∈ Δ3, то 𝑓 ∈ 𝐶1 i 𝑓 ′ опукла
на (𝑎, 𝑏). Функцiї з Δ3 називаються 3-монотонними. Також, якщо
c○ Дзюбенко Г.А., 2016
86 Дзюбенко Г.А.
𝑓 ∈ 𝐶 є тричi неперервно диференцiйованою на (𝑎, 𝑏), то 𝑓 ∈ Δ3 тодi
i тiльки тодi, коли 𝑓 ′′′(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
У статтi йдеться про наближення 𝑓 ∈ Δ3 кубiчним сплайном, який
теж з Δ3. А саме, ми доводимо теорему.
Теорема 1.1. Нехай {𝑎𝑗}𝑛𝑗=0 − набiр рiвновiддалених точок вiдрiзку
[𝑎, 𝑏], а саме 𝑎 = 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛−1 < ... < 𝑎0 = 𝑏, := (𝑏 − 𝑎)/𝑛. Якщо
функцiя 𝑓 ∈ Δ3, то iснують набiр {𝑏𝑗}𝑛𝑗=0 точок [𝑎, 𝑏] такий, що
|𝑎𝑗 − 𝑏𝑗 | ≤ 3/2, |𝑏𝑗 − 𝑏𝑗−1| ≥ /2,
i кубiчний сплайн 𝑠 ∈ 𝐶1 з вузлами у точках 𝑏𝑗 такий, що
𝑠 ∈ Δ3, (1)
‖𝑓 − 𝑠‖[𝑎𝑗 ,𝑎𝑗−1]
≤ 𝑐 𝜔4 (𝑓, , [𝑎𝑗+4, 𝑎𝑗−5] ∩ [𝑎, 𝑏]) , 𝑗 = 1, ..., 𝑛, (2)
а отже,
‖𝑓 − 𝑠‖ ≤ 𝑐 𝜔4 (𝑓, , [𝑎, 𝑏]) , (3)
де 𝜔4 (𝑓, 𝑡, [·, ·]) – 4-й модуль гладкостi 𝑓, 𝑎𝜈 = 𝑎, 𝜈 > 𝑛, та 𝑎𝜈 =
𝑏, 𝜈 < 0.
Тут i надалi 𝑐 позначають додатнi абсолютнi сталi, що можуть
бути рiзними, навiть якщо вони стоять у одному рядку.
Теорема 1.1 є частинним випадком [1], де, зокрема, побудовано i
сплайн для оцiнки з модулем гладкостi Дiтцiана-Тотiка 4-го порядку.
В статтi пропонується простiша, нiж у [1], конструкцiя сплайна. Вiн,
на вiдмiну вiд [1], представлений сумою усiчених степеневих функцiй,
а отже, може бути використаний для побудови 3-монотонного много-
члена, що наближатиме функцiю, як у (3).
Зауважимо, що навiть питання про справджуванiсть поточкового
аналогу (3), тобто оцiнки
|𝑓(𝑥)− 𝑠(𝑥)| ≤ 𝑐 𝜔4
(︃
𝑓,
1
𝑛2
+
√
1− 𝑥2
𝑛
, [−1, 1]
)︃
, 𝑥 ∈ [−1, 1], (4)
є на сьогоднi вiдкритим для 3-монотонного наближення (здається,
що вiдповiдь тут буде негативною, а функцiя 𝑥2sign(𝑥) ∈ Δ3 буде
контрприкладом, хоча ми не придiляємо цьому уваги у статтi). Та-
кож зауважимо, що неможливо замiнити 𝜔4 на 𝜔𝑘, 𝑘 > 4, у (3) (див.
Кубiчний сплайн три-монотонного наближення 87
Шведов [2]). Бiльш того, вiдповiднi оцiнки для 3-монотонного набли-
ження у 𝐿𝑝 нормi з 𝑝 <∞, не є вiрними навiть з 𝜔3 замiсть 𝜔4 (див.
Коновалов, Левiатан [3] i Бондаренко, Примак [4, Зауваження 5]).
Що стосується 𝑞-монотонного наближення з 𝑞 > 3, то тут (3) не-
вiрне також, навiть з 𝜔3 замiсть 𝜔4 (див. [1, Теорема 7.4]), хоча для
1-монотонного i 2-монотонного наближень вiдповiднi оцiнки справ-
джуються. Таким чином, можна сказати, що оцiнка (3) є "грани-
чною" мiж позитивними i негативними випадками у формозберiга-
ючому наближеннi, що розглядається. Розгорнутий огляд тематики
див. у роботi Копотун, Левiатан, Примак, Шевчук [5].
Зауваження 1.1. Сплайн 𝑠, з Теореми 1.1, iнтерполює 𝑓 у 𝑎 i 𝑏, але,
взагалi кажучи, це не iнтерполяцiйний (у своїх вузлах) сплайн сте-
пеня 3. Грубо кажучи, лише "мала" частина його вузлiв залежить
вiд 𝑓, тодi як решта є точками розбиття 𝑎𝑗 . Крiм того, точки 𝑎𝑗
можуть бути "майже рiвновiддаленими", див. Зауваження 3.1 у
кiнцi статтi.
Iсторiя 3-монотонного наближення сплайнами є наступною. По-
значимо 𝐼 := [−1, 1], ‖ · ‖ := ‖ · ‖𝐼 ,
𝜔4 (𝑓, 𝑡) := 𝜔4 (𝑓, 𝑡, 𝐼) , 𝜌𝑛(𝑥) :=
1
𝑛2
+
√
1− 𝑥2
𝑛
.
Нехай [𝑎, 𝑏] = 𝐼. Для 𝑓 ∈ Δ3 ∩ 𝐶2, Коновалов i Левiатан [6] були
першими, хто побудував квадратичний сплайн 𝑠1 ∈ Δ3 з 𝑛 рiвномiр-
ними вузлами такий, що
‖𝑓 − 𝑠1‖ ≤ 𝑐 𝑛−2𝜔1 (𝑓
′′, 1/𝑛) .
Примак [7] для 𝑓 ∈ Δ3 побудував квадратичний сплайн 𝑠2 ∈ Δ3
з 𝑛 довiльними фiксованими вузлами такий, що, зокрема, для рiвно-
мiрних вузлiв
‖𝑓 − 𝑠2‖ ≤ 𝑐 𝜔3 (𝑓, 1/𝑛) .
З результатiв Шевчука [8], Левiатана i Примака [9, 10] випливає
iснування двох сплайнiв 𝑠3 i 𝑠4 з Δ3 ∩ 𝐶3, обидва степеня 4 з 𝑛 рiв-
номiрними вузлами, таких, що
‖𝑓 − 𝑠3‖ ≤ 𝑐 𝑛−3𝜔2 (𝑓
′′′, 1/𝑛) , 𝑛 > 4, 𝑓 ∈ Δ3 ∩ 𝐶3,
‖𝑓 − 𝑠4‖ ≤ 𝑐 𝑛−1𝜔4 (𝑓
′, 1/𝑛) , 𝑛 > 𝑁(𝑓), 𝑓 ∈ Δ3 (⊂ 𝐶1),
88 Дзюбенко Г.А.
де 𝑁(𝑓) є сталою, що залежить вiд 𝑓. Зазначимо, що остання нерiв-
нiсть є, взагалi кажучи, не вiрною для всiх 𝑛 > 4.
Нещодавно Бондаренко, Левiатан i Примак [11] довели першу (i,
мабуть, остаточну за порядком наближення) поточкову оцiнку
|𝑓(𝑥)− 𝑆(𝑥)| ≤ 𝑐 𝜔3 (𝑓, 𝜌𝑛(𝑥)) , 𝑥 ∈ 𝐼,
з 𝑆, що є 3-монотонним квадратичним сплайном по 𝑛-му чебишев-
ському розбиттi, i з 𝑆, що є 3-монотонним многочленом степеня ≤ 𝑛.
2 Допомiжнi факти
2.1. Нехай {𝑎𝑗}𝑛𝑗=0 є множиною з 𝑛 + 1 фiксованих точок 𝑎𝑗 : 𝑎 =
𝑎𝑛 < 𝑎𝑛−1 < ... < 𝑎1 < 𝑎0 = 𝑏, 𝑛 ∈ ℕ. Для кожного 𝑗 = 𝑞, ..., 𝑛, 𝑞 ∈
ℕ, 𝑞 ≤ 𝑛, нехай 𝐿𝑞(𝑥; 𝑎𝑗 ; 𝑔) := 𝐿(𝑥; 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑗−𝑞; 𝑔) позначає многочлен
Лагранжа степеня ≤ 𝑞, який iнтерполює 𝑔 ∈ 𝐶 у 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑗−𝑞.
Покладемо
𝑆𝑞 := 𝑆𝑞(𝑥) :=
{︃
𝐿(𝑥; 𝑎𝑞, ..., 𝑎0; 𝑔), 𝑥 ∈ [𝑎𝑞, 𝑏],
𝐿(𝑥; 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑗−𝑞; 𝑔), 𝑥 ∈ [𝑎𝑗 , 𝑎𝑗−1), 𝑗 = 𝑞 + 1, ..., 𝑛.
(5)
Для кожного 𝑗 = 𝑞, ..., 𝑛, позначимо
Ψ𝑞(𝑥, 𝑎𝑗) :=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
0, якщо 𝑥 ≤ 𝑎𝑗 ,
𝑗∏︁
𝑘=𝑗−𝑞+1
(𝑥− 𝑎𝑘), якщо 𝑥 > 𝑎𝑗 ,
Ψ𝑞(𝑥, 𝑎𝑞−1) :≡ 0.
Твердження [12]. Неперервний сплайн 𝑆𝑞 має на [𝑎, 𝑏] наспупне
представлення
𝑆𝑞(𝑥) = 𝐿𝑞(𝑥; 𝑎𝑛; 𝑔) +
𝑛−1∑︁
𝑗=𝑞
[𝑎𝑗+1, 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑗−𝑞; 𝑔](𝑎𝑗−𝑞 − 𝑎𝑗+1)Ψ𝑞(𝑥, 𝑎𝑗),
або еквiвалентно,
𝑆𝑞(𝑥) = 𝐿𝑞−1(𝑥; 𝑎𝑛; 𝑔)+
𝑛∑︁
𝑗=𝑞
[𝑎𝑗 , 𝑎𝑗−1, ..., 𝑎𝑗−𝑞; 𝑔] (Ψ𝑞(𝑥, 𝑎𝑗)−Ψ𝑞(𝑥, 𝑎𝑗−1)) ,
де квадратнi дужки позначають роздiленi рiзницi 𝑔.
Кубiчний сплайн три-монотонного наближення 89
Для спрощення i не зменшуючи загальностi, далi будемо розгля-
дати [𝑎, 𝑏] = 𝐼. Також, замiсть фiгуруючих вище довiльних фiксова-
них точок {𝑎𝑗}𝑛𝑗=0 i замiсть рiвновiддалених точок {𝑎𝑗}𝑛𝑗=0 у Теоремi
1.1, надалi вiзьмемо рiвновiддаленi або "майже рiвновiддаленi" точки
{𝑥𝑗}𝑛𝑗=0, 𝑛 ≥ 3, −1 = 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛−1 < ... < 𝑥0 = 1. Позначимо
𝐼𝑗 := 𝐼𝑗,𝑛 := [𝑥𝑗,𝑛, 𝑥𝑗−1,𝑛], 𝑗 := 𝑗,𝑛 := 𝑥𝑗−1,𝑛 − 𝑥𝑗,𝑛, 𝑗 = 1, ..., 𝑛.
Для 𝑎 ∈ 𝐼, покладемо
𝜒(𝑥, 𝑎) :=
{︃
0, якщо 𝑥 ≤ 𝑎,
1, якщо 𝑥 > 𝑎,
(𝑥− 𝑎)𝑟+ := (𝑥− 𝑎)𝑟 𝜒(𝑥, 𝑎), 𝑟 ∈ ℕ.
Будемо використовувати Твердження [12] тiльки для 𝑞 = 3 i {𝑥𝑗}𝑛𝑗=0.
Тобто Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗) = (𝑥− 𝑥𝑗)(𝑥− 𝑥𝑗−1)(𝑥− 𝑥𝑗−2)𝜒(𝑥, 𝑥𝑗) i 𝑆3(𝑥) =
𝐿3(𝑥;𝑥𝑛; 𝑔) +
𝑛−1∑︁
𝑗=3
[𝑥𝑗+1, 𝑥𝑗 , 𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗−2, 𝑥𝑗−3; 𝑔](𝑥𝑗−3 − 𝑥𝑗+1)Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗),
(6)
або еквiвалентно, 𝑆3(𝑥) =
𝐿2(𝑥;𝑥𝑛; 𝑔) +
𝑛∑︁
𝑗=3
[𝑥𝑗 , 𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗−2, 𝑥𝑗−3; 𝑔] (Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗)−Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗−1)) . (7)
Нагадаємо, якщо 𝑔 ∈ Δ3, то [𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑; 𝑔] ≥ 0 для будь-яких рiзних
𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑑. Зауважимо, що 𝑆3 /∈ Δ3 навiть якщо 𝑔 ∈ Δ3.
Будемо використовувати без спецiальних посилань нерiвнiсть Уi-
тнi ‖𝑔 − 𝑙3‖[𝑎,𝑏] ≤ 𝜔4 (𝑔, (𝑏− 𝑎)/4, [𝑎, 𝑏]) , 𝑎 < 𝑏, де 𝑙3 – многочлен Ла-
гранжа, що iнтерполює 𝑔 у 𝑎, 𝑎+ 𝑏−𝑎
3 , 𝑏− 𝑏−𝑎
3 i 𝑏. Зразу вiдзначимо,
що нерiвностi
‖𝑔 − 𝑆3‖𝐼𝑗 ≤ 𝑐 𝜔4 (𝑔, 𝑗 , [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗−3]) , 𝑗 = 1, ..., 𝑛, (8)
випливають з (5) (𝑥−1 := 𝑥−2 := 1).
2.2. Доведемо допомiжну Лему 2.1, яка складає i самостiйний iн-
терес, якщо розглядається функцiя 𝑓 з невiд’ємними роздiленими рi-
зницями порядку 𝑞, 𝑞 ≥ 3. Для спрощення сформулюємо i доведемо
Лему 2.1 для 𝑞 = 3. Позначимо
𝛿𝑗 := 𝛿𝑗(𝑓) := [𝑥𝑗+1, 𝑥𝑗 , 𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗−2, 𝑥𝑗−3; 𝑓 ], 𝑗 = 3, ..., 𝑛− 1.
90 Дзюбенко Г.А.
Δ𝑗 := Δ𝑗(𝑓) := [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗−2, 𝑥𝑗−3; 𝑓 ], 𝑗 = 3, ..., 𝑛.
Для спрощення позначень у Лемi 2.1 обмежимо 𝑗 значеннями {5, 4, 3},
i нехай 𝑥5 < 𝑥4 < ... < 𝑥0 – будь-якi фiксованi точки з {𝑥𝑗}𝑛𝑗=0.
Лема 2.1. Якщо 𝑓 ∈ Δ3, то
(𝑥1 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥3)Δ4 ≤ (𝑥2 − 𝑥5)(𝑥3 − 𝑥4)Δ5 + (𝑥0 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥2)Δ3+
+2
⃒⃒⃒√︀
(𝑥2 − 𝑥5)(𝑥2 − 𝑥4)Δ5(𝑥0 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥3)Δ3
⃒⃒⃒
=: 𝐴+ 2𝐵. (9)
Бiльш того, якщо Δ5 ≤ Δ4 ≥ Δ3, то
(𝑥1 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥3)Δ4 ≥
max
{︀
(𝑥0 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥2)Δ3 − (𝑥2 − 𝑥5)(𝑥2 − 𝑥4 + 𝑥2 − 𝑥3)Δ5,
(𝑥2 − 𝑥5)(𝑥3 − 𝑥4)Δ5 − (𝑥0 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥1 − 𝑥3)Δ3
}︀
=:
max{𝐶,𝐷} ≥ 𝐴− 2𝐵. (10)
Доведення. Використовуючи одне з представлень роздiлених рiзниць
[13] (див. також у [14, с. 14]), ми, для фiксованого 𝑦 ∈ (𝑥3, 𝑥2), запи-
шемо
Δ4(𝑓) = (𝑥2 − 𝑥4)[𝑥4, 𝑥3, 𝑦, 𝑥2; 𝑓 ]Δ4
(︀
(𝑥− 𝑥3)(𝑥− 𝑦)𝜒(𝑥, 𝑥3)
)︀
+
+ (𝑥1 − 𝑥3)[𝑥3, 𝑦, 𝑥2, 𝑥1; 𝑓 ]Δ4
(︀
(𝑥− 𝑦)(𝑥− 𝑥2)𝜒(𝑥, 𝑦)
)︀
=
=
𝑦 − 𝑥4
𝑥1 − 𝑥4
[𝑥4, 𝑥3, 𝑦, 𝑥2; 𝑓 ] +
𝑥1 − 𝑦
𝑥1 − 𝑥4
[𝑥3, 𝑦, 𝑥2, 𝑥1; 𝑓 ],
Δ5(𝑓) =
𝑦 − 𝑥5
𝑥2 − 𝑥5
[𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑦; 𝑓 ] +
𝑥2 − 𝑦
𝑥2 − 𝑥5
[𝑥4, 𝑥3, 𝑦, 𝑥2; 𝑓 ],
Δ3(𝑓) =
𝑦 − 𝑥3
𝑥0 − 𝑥3
[𝑥3, 𝑦, 𝑥2, 𝑥1; 𝑓 ] +
𝑥0 − 𝑦
𝑥0 − 𝑥3
[𝑦, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0; 𝑓 ].
Отже,
Δ4(𝑓) =
(𝑦 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥5)
(𝑥2 − 𝑦)(𝑥1 − 𝑥4)
Δ5(𝑓)−
(𝑦 − 𝑥4)(𝑦 − 𝑥5)
(𝑥2 − 𝑦)(𝑥1 − 𝑥4)
[𝑥5, 𝑥4, 𝑥3, 𝑦; 𝑓 ]+
+
(𝑥1 − 𝑦)(𝑥0 − 𝑥3)
(𝑦 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)
Δ3(𝑓)−
(𝑥1 − 𝑦)(𝑥0 − 𝑦)
(𝑦 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)
[𝑦, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0; 𝑓 ].
(11)
Кубiчний сплайн три-монотонного наближення 91
Оскiльки 𝑦 ∈ (𝑥3, 𝑥2) i 𝑓 ∈ Δ3 ([𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑; 𝑓 ] ≥ 0), то маємо
Δ4 ≤ min
𝑥3<𝑦<𝑥2
{︂
(𝑦 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥5)
(𝑥2 − 𝑦)(𝑥1 − 𝑥4)
Δ5 +
(𝑥1 − 𝑦)(𝑥0 − 𝑥3)
(𝑦 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)
Δ3
}︂
.
Знайшовши цей мiнiмум, бачимо, що 𝑦min ∈ [𝑥3, 𝑥2] для будь-яких
Δ5,Δ3 ≥ 0, i тому ми пишемо (9), беручи до уваги збiжнiсть роздi-
лених рiзниць.
Доведемо першу нерiвнiсть у (10). Нехай max{𝐶,𝐷} = 𝐶. Припу-
стимо обернене, що
(𝑥1 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥3)Δ4 < 𝐶. (12)
З (11) маємо
(𝑥2 − 𝑦)(𝑥1 − 𝑥4)
(𝑦 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥5)
(︂
Δ4 −
(𝑥1 − 𝑦)(𝑥0 − 𝑥3)
(𝑦 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)
Δ3
)︂
≤ Δ5, 𝑦 ∈ (𝑥3, 𝑥2).
Разом з (12) це породжує 𝐸1Δ4 :=(︂
(𝑥1 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥3) + (𝑥2 − 𝑥4 + 𝑥2 − 𝑥3)
(𝑥2 − 𝑦)(𝑥1 − 𝑥4)
𝑦 − 𝑥4
)︂
Δ4 <(︂
(𝑥0 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥2) + (𝑥2 − 𝑥4 + 𝑥2 − 𝑥3)
(𝑥2 − 𝑦)(𝑥1 − 𝑦)(𝑥0 − 𝑥3)
(𝑦 − 𝑥4)(𝑦 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)
)︂
×
Δ3 = 𝐸2Δ3.
Оскiльки {𝑥𝑗}𝑛𝑗=0 є рiвновiддаленi, або "майже рiвновiддаленi" , тоб-
то такi, що iснує [𝑎, 𝑏] ⊂ (𝑥3, 𝑥2), для якого 𝐸1 ≥ 𝐸2 > 0 з 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏], то
остання нерiвнiсть протирiчить нерiвностi Δ4 ≥ Δ3 (зазначимо, що 𝑎
i 𝑏, як нулi деякої параболи, можуть бути розташованi дуже близь-
ко один до одного i у найгiршому випадку порушення рiвномiрностi
точок 𝑥𝑗 , 𝑎 = 𝑏). Випадок 𝐶 < 𝐷 доводиться аналогiчно.
Друга нерiвнiсть у (10) очевидна. Дiйсно, якщо 𝐶 ≥ 𝐷, то (𝑥0 −
𝑥3)(𝑥1 − 𝑥3)Δ3 ≥ (𝑥2 − 𝑥5)(𝑥2 − 𝑥4)Δ5 i тому 𝐴− 2𝐵 ≤
𝐴− 2|
√︀
((𝑥2 − 𝑥5)(𝑥2 − 𝑥4)Δ5)2| = 𝐶. Лему 2.1 доведено.
2.3. Зафiксуємо 𝑛 > 3, 𝑗 = 3, ..., 𝑛−1 i будь-якi 𝑎, 𝑐, 𝑏 ∈ [𝑥𝑗+3, 𝑥𝑗−5]∩
𝐼, 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. Позначимо̂︀1 := 𝑐− 𝑎, ̂︀2 := 𝑏− 𝑐, ̃︀1 := 𝑏− 𝑥𝑗 + 𝑏− 𝑥𝑗−1 + 𝑏− 𝑥𝑗−2,
92 Дзюбенко Г.А.
̃︀2 := (𝑏− 𝑥𝑗)(𝑏− 𝑥𝑗−1) + (𝑏− 𝑥𝑗)(𝑏− 𝑥𝑗−2) + (𝑏− 𝑥𝑗−1)(𝑏− 𝑥𝑗−2),
̃︀3 := (𝑏− 𝑥𝑗)(𝑏− 𝑥𝑗−1)(𝑏− 𝑥𝑗−2).
Означимо функцiю 𝜙𝑗 ∈ 𝐶1, спiвпадаючу з Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗) майже скрiзь,
𝜙𝑗 := 𝜙𝑗(𝑥) := 𝜙𝑗(𝑥, 𝑎, 𝑐, 𝑏) :=
𝛼𝑗(𝑥− 𝑎)3+ + 𝛽𝑗(𝑥− 𝑐)3+ + 𝛾𝑗(𝑥− 𝑐)2+ + (1− 𝛼𝑗 − 𝛽𝑗)(𝑥− 𝑏)3+,
де
𝛼𝑗 =
̃︀1̂︀22 − 2̃︀2̂︀2 + 3̃︀3
3̂︀21(̂︀1 + ̂︀2) ,
𝛽𝑗 =
̃︀1̂︀2(̂︀1 + ̂︀2)(2̂︀1 − ̂︀2)− ̃︀2(̂︀21 − 2̂︀22 + 2̂︀1̂︀2)− 3̃︀3(̂︀2 − ̂︀1)
3̂︀21̂︀22) ,
𝛾𝑗 := ̃︀1 − 3𝛼𝑗(̂︀1 + ̂︀2)− 3𝛽𝑗̂︀2.
Зауважимо, що
𝜙𝑗(𝑥) =
𝑥∫︁
−1
𝑡∫︁
−1
𝜙′′
𝑗 (𝑢)𝑑𝑢𝑑𝑡. (13)
Коментар. Числа 𝛼𝑗 i 𝛽𝑗 обранi з двох вiдповiдних умов так, щоб
мати (13) (перша робить рiвним нулю добуток всiх коефiцiєнтiв бi-
ля (𝑥 − ·)1 у представленнi Ψ3 сумою (𝑥 − ·)𝑟, 𝑟 = 0, 1, 2, 3, а друга
робить те саме з усiма вiльними коефiцiєнтами, включаючи той, що
утворюється першою умовою).
Таким чином,
𝜙𝑗(𝑥, 𝑎, 𝑐, 𝑏) = Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗), 𝑥 ∈ 𝐼 ∖ [min{𝑎, 𝑥𝑗}, 𝑏] =: 𝐼 ∖ ̂︀𝐼𝑗 , (14)
i якщо 𝑗 ≤ ̂︀1 < 10𝑗 i 𝑗 ≤ ̂︀2 < 10𝑗 , то
‖Ψ3(·, 𝑥𝑗)− 𝜙𝑗‖ = ‖Ψ3(·, 𝑥𝑗)− 𝜙𝑗‖̂︀𝐼𝑗 ≤ 𝑐 3𝑗 . (15)
Кубiчний сплайн три-монотонного наближення 93
3 Доведення Теореми 1.1
Конструкцiя кубiчного три-монотонного сплайну
3.1. Скрiзь надалi 𝑓 ∈ Δ3. Нехай 𝑛 > 4. Для кожного 𝑗 = 4, ..., 𝑛− 1
позначимо Λ𝑗 := (𝑥𝑗−3 − 𝑥𝑗)Δ𝑗 , i якщо
Δ𝑗+1 ≤ Δ𝑗 > Δ𝑗−1, (16)
то будемо писати 𝑗 ∈𝑊. Для кожного 𝑗 ∈𝑊 позначимо точку
𝑑𝑗 :=
(𝑥𝑗 + 𝑥𝑗−1)Λ𝑗+1 + (𝑥𝑗−1 + 𝑥𝑗−2)Λ𝑗 + (𝑥𝑗−2 + 𝑥𝑗−3)Λ𝑗−1
2(Λ𝑗+1 + Λ𝑗 + Λ𝑗−1)
,
що є центром параболи
𝑃𝑗(𝑥) := Λ𝑗+1(𝑥− 𝑥𝑗)(𝑥− 𝑥𝑗−1) + Λ𝑗(𝑥− 𝑥𝑗−1)(𝑥− 𝑥𝑗−2)+
Λ𝑗−1(𝑥− 𝑥𝑗−2)(𝑥− 𝑥𝑗−3) =
(︀
Λ𝑗+1 + Λ𝑗 + Λ𝑗−1
)︀
(𝑥− 𝑑𝑗)
2 +𝐻𝑗 ,
де 𝐻𝑗 := Λ𝑗+1(𝑑𝑗−𝑥𝑗)(𝑑𝑗−𝑥𝑗−1)+Λ𝑗(𝑑𝑗−𝑥𝑗−1)(𝑑𝑗−𝑥𝑗−2)+Λ𝑗−1(𝑑𝑗−
𝑥𝑗−2)(𝑑𝑗−𝑥𝑗−3). Беручи до уваги першу нерiвнiсть у (10), нехай "май-
же рiвновiддаленi" 𝑥𝑗 є такi, що
𝑑𝑗 ∈ 𝐼𝑗−1, 𝑗 ∈𝑊 (17)
(для рiвновiддалених 𝑥𝑗 таке включення гарантоване). Введемо
𝑍 := {𝑗 − 1, 𝑗 − 2 : 𝑗 ∈𝑊}
(тобто, всi пари iндексiв, що вiдповiдають кiнцям промiжку у (17)).
Використовуючи (9) i (10), легко перевiрити, що
𝐻𝑗 ≥ 𝐻𝑗 ≥ 0, 𝑗 ∈𝑊, (18)
де𝐻𝑗 є найбiльшим значенням𝐻𝑗 , коли Λ𝑗(𝑥𝑗−2−𝑥𝑗−1) = Λ𝑗+1(𝑥𝑗−1−
𝑥𝑗)+Λ𝑗−1(𝑥𝑗−3−𝑥𝑗−2). Аналогiчно, якщо у (9) ми маємо рiвнiсть, то
𝐻𝑗 = 0.
Нехай
𝐷 := {𝑑𝑗 : 𝑗 ∈𝑊} .
Вiдзначимо, що точки з 𝐷 розташованi на розбиттi 𝑥𝑗 принаймнi че-
рез один iнтервал. Iншими словами, для будь-якого 𝑗 ∈ 𝑊, iндекси
94 Дзюбенко Г.А.
𝑗 ± 1, що вiдповiдають розбиттю 𝑥𝑗 , не належать 𝑊 (у гiршому ви-
падку тiльки 𝑗±2 можуть бути у 𝑊 ). Зокрема, беручи до уваги (17),
зауважимо, що якщо будь-яке
𝑗 ∈ {3, 4, ..., 𝑛− 1} =: 𝐽
є таким, що Δ𝑗+1 ≤ Δ𝑗 , то завжди (𝑥𝑗 , 𝑥𝑗−1) ∩ 𝐷 = ∅, а якщо воно
таке, що Δ𝑗+1 > Δ𝑗 , то завжди (𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗−2) ∩ 𝐷 = ∅. Останнi два
зауваження будуть використовуватися без спецiальних посилань.
Позначимо
𝑉 := 𝐽 ∖
(︀
𝑊 ∪ {𝑗 − 1 : 𝑗 ∈𝑊}
)︀
.
Зазначимо, що 𝑉 = {𝑗 : 𝑗 − 1 ∈ 𝐽 ∖ 𝑍} .
Введемо
𝑌 := {𝑦𝑖}𝑘𝑖=0 := {𝑥𝑗 : 𝑗 ∈ (𝐽 ∪ {1, 2}) ∖ 𝑍} ∪𝐷 ∪ {−1, 1},
де точки 𝑦𝑖 перенумеровано у зворотньому порядку i 𝑛− [𝑛/3]− 1 ≤
𝑘 ≤ 𝑛.
Далi, для кожного 𝑗 ∈ 𝐽, введемо нову функцiю Ψ𝑗 = Ψ𝑗(𝑥) ∈ 𝐶1.
Для кожного 𝑗 ∈ 𝑉, через 𝑖(𝑗) позначимо такий iндекс 𝑖, при якому
𝑦𝑖 = 𝑥𝑗−1, i покладемо
Ψ𝑗(𝑥) :=
{︃
𝜙𝑗(𝑥, 𝑦𝑖(𝑗), 𝑦𝑖(𝑗)−1, 𝑦𝑖(𝑗)−2), якщо Δ𝑗+1 ≤ Δ𝑗 , (19)
𝜙𝑗(𝑥, 𝑦𝑖(𝑗)+2, 𝑦𝑖(𝑗)+1, 𝑦𝑖(𝑗)), iнакше. (20)
Для кожного 𝑗 ∈𝑊, через 𝑖*(𝑗) позначимо такий iндекс 𝑖, при якому
𝑦𝑖 = 𝑑𝑗 , i покладемо
Ψ𝑗(𝑥) := 𝜙𝑗(𝑥, 𝑦𝑖*(𝑗)+1, 𝑦𝑖*(𝑗), 𝑦𝑖*(𝑗)−1), (21)
Ψ𝑗−1(𝑥) := 𝜙𝑗−1(𝑥, 𝑦𝑖*(𝑗)+1, 𝑦𝑖*(𝑗), 𝑦𝑖*(𝑗)−1). (22)
Означення Ψ𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽, завершено. Покладемо Ψ2(𝑥) := Ψ3(𝑥, 𝑥2) = 0,
Ψ𝑛(𝑥) := Ψ3(𝑥, 𝑥𝑛) = (𝑥− 𝑥𝑛)(𝑥− 𝑥𝑛−1)(𝑥− 𝑥𝑛−2).
Таким чином, неперервно диференцiйовний на 𝐼 кубiчний сплайн
𝑠(𝑥) := 𝐿3(𝑥;𝑥𝑛; 𝑓) +
𝑛−1∑︁
𝑗=3
𝛿𝑗(𝑓) (𝑥𝑗−3 − 𝑥𝑗+1)Ψ𝑗(𝑥), (23)
Кубiчний сплайн три-монотонного наближення 95
або еквiвалентно,
𝑠(𝑥) := 𝐿2(𝑥;𝑥𝑛; 𝑓) +
𝑛∑︁
𝑗=3
Δ𝑗(𝑓) (Ψ𝑗(𝑥)−Ψ𝑗−1(𝑥)) , (24)
має свої вузли лише в 𝑌 .
3.2. Доведем (3). Оскiльки
𝑗* ≤ |𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1| < 4𝑗* , 𝑗 = 1, ..., 𝑘, (25)
де 𝑗* є довжина будь-якого найближчого до 𝑦𝑖 промiжку 𝐼𝑗 (з двох
можливих), то оцiнка (3) випливає з (8), (6), (23), (14), (15) i оцiнки
|𝛿𝑗 | ≤ 𝑐
𝜔4(𝑓, 𝑗)
4𝑗
, 𝑗 = 3, ..., 𝑛− 1,
див., наприклад, [14, с.54]. А саме, якщо 𝑥 ∈ 𝐼𝑗* , то
|𝑓(𝑥)− 𝑠(𝑥)| ≤ |𝑓(𝑥)− 𝑆3(𝑥)|+ |𝑆3(𝑥)− 𝑠(𝑥)| ≤
≤ 𝑐 𝜔4(𝑓, 1/𝑛) +
𝑛−1∑︁
𝑗=3
|𝛿𝑗 |(𝑥𝑗−3 − 𝑥𝑗+1) |Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗)−Ψ𝑗(𝑥)| =
= 𝑐 𝜔4(𝑓, 1/𝑛) +
min{𝑛−1,𝑗*+4}∑︁
𝑗=max{3,𝑗*−5}
|𝛿𝑗 |(𝑥𝑗−3 − 𝑥𝑗+1) |Ψ3(𝑥, 𝑥𝑗)−Ψ𝑗(𝑥)| ≤
𝑐 𝜔4(𝑓, 1/𝑛).
Отже, оцiнку (3) доведено з одночасним доведенням (2).
Покажемо (1), тобто перевiримо, що 𝑠′′(𝑥) не спадає на 𝐼. Заува-
жимо, що в усiх Ψ𝑗 ,
sign𝛾𝑗 =
{︃
1, якщо Δ𝑗+1 ≤ Δ𝑗 ,
−1, iнакше,
𝑗 ∈ 𝐽. (26)
Це буде зручно побачити разом з наступним. Нехай 𝑗 ∈ 𝑉 + (𝑉 −),
якщо справджується (19) ((20)), вiдповiдно, тобто 𝑉 = 𝑉 + ∪ 𝑉 −.
Беручи до уваги (25), зазначимо, що у Ψ𝑗 з 𝑗 ∈ 𝑉 +, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 ≥ 0
завдяки рiвновiддаленому, або "майже рiвновiддаленому" розбиттю
𝑥𝑗 , тодi як 𝛼𝑗 ≥ 0 завжди (для всiх 𝑥𝑗). Обидва числа (тобто, 𝛼𝑗 +𝛽𝑗
i 𝛼𝑗) ≤ 1. Аналогiчно, якщо 𝑗 ∈ 𝑉 −, то 𝛼𝑗 ≤ 1 завдяки 𝑥𝑗 , тодi як
𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 ≤ 1 завжди. Обидва числа ≥ 0. Будемо використовувати цi
чотири зауваження зi спецiальним посиланням (*).
96 Дзюбенко Г.А.
Зауваження 3.1. Саме цi симетричнi умови, разом з (17) i Ле-
мою 2.1, накладають обмеження на розбиття 𝑥𝑗 . Для рiвновiдда-
лених точок вони гарантовано виконуються, на вiдмiну, скажiмо,
вiд чебишевського розбиття бiля кiнцiв iнтервалу (у центральнiй
частинi чебишевського розбиття теж все добре).
Стосовно чисел 𝛼𝑗 i 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 у (21), а також 𝛼𝑗−1 i 𝛼𝑗−1 + 𝛽𝑗−1 у (22),
зауважимо, що вони суттєво залежать тiльки вiд розташування цен-
трального вузла 𝑦𝑖*(𝑗) = 𝑑𝑗 . А саме, якщо 𝑑𝑗 знаходиться бiля правого
кiнця 𝐼𝑗−1 (див. (17)), то 𝛼𝑗 i 𝛼𝑗 +𝛽𝑗 "хорошi" , тобто задовольняють
(*) з 𝑗 ∈ 𝑉 +, тодi як 1 ≤ 𝛼𝑗−1 + 𝛽𝑗−1 < 1.5 "поганi" (тобто не за-
довольняють (*)) i 0 ≤ 𝛼𝑗−1 < 0.5, iнакше (якщо бiля лiвого кiнця)
𝛼𝑗−1 i 𝛼𝑗−1+𝛽𝑗−1 "хорошi" , тодi як −0.5 < 𝛼𝑗 ≤ 0 i 1 ≤ 𝛼𝑗 +𝛽𝑗 < 1.5
"поганi". (Фактично, 1.5 i −0.5 це грубi числа.) Будемо посилатись
на "поганi" властивостi через (**).
Таким чином, з (24) i (26) зразу помiтимо, що
𝑠′′(𝑦𝑖−) ≤ 𝑠′′(𝑦𝑖+), 𝑦𝑖 ∈ 𝑌. (27)
Далi зазначимо, що суму у (24) зручно розглядати у спадному
порядку, тобто вiд 𝑛 до 3, як i дивитися на неспаднiсть 𝑠′′ а не на
невiд’ємнiсть 𝑠′′′ на кожному (𝑦𝑖, 𝑦𝑖−1). Переконаємося, що
𝑠′′(𝑥) ↗, 𝑥 ∈ (𝑦𝑖, 𝑦𝑖−1), 𝑖 = 1, ..., 𝑘. (28)
Нехай 𝑎𝑗 (𝑏𝑗) позначає найменший (найбiльший) вузол з трьох вузлiв
кожної Ψ𝑗 , вiдповiдно. Зауважимо, що
Ψ′′
𝑗 (𝑥)−Ψ′′
𝑗−1(𝑥) =
{︃
0, якщо 𝑥 ∈ (−∞, 𝑎𝑗 ],
2(𝑥𝑗−3 − 𝑥𝑗), якщо 𝑥 ∈ [𝑏𝑗−1,+∞),
𝑗 = 4, ..., 𝑛.
(29)
Видiлимо з (24) три доданки
Δ𝑗+1
(︀
Ψ′′
𝑗+1(𝑥)−Ψ′′
𝑗 (𝑥)
)︀
+Δ𝑗
(︀
Ψ′′
𝑗 (𝑥)−Ψ′′
𝑗−1(𝑥)
)︀
+
Δ𝑗−1
(︀
Ψ′′
𝑗−1(𝑥)−Ψ′′
𝑗−2(𝑥)
)︀
=: 𝑃
′′
𝑗 (𝑥), (30)
i розглянемо
𝑥 ∈ (𝑦𝑖(𝑗)+1, 𝑦𝑖(𝑗)) ∪ (𝑦𝑖(𝑗), 𝑦𝑖(𝑗)−1) =: ̃︀𝐼𝑖(𝑗)+1 ∪ ̃︀𝐼𝑖(𝑗) =: 𝐼𝑖(𝑗). (31)
Кубiчний сплайн три-монотонного наближення 97
Маємо три принципових ситуацiї: 1) якщо 𝑗 + 1 ∈ 𝑉 −, то 𝑗 ∈ 𝑉 ; 2)
якщо 𝑗 + 1 ∈ 𝑉 +, то 𝑗 ∈ 𝑉 + (i нiколи до 𝑉 −); 3) 𝑗 + 1 ∈ 𝑉 ∪ {𝜈 − 1 :
𝜈 ∈ 𝑊}, 𝑗 ∈ 𝑊, 𝑗 − 2 ∈ 𝑉 ∪𝑊. Першi два випадки є подiбнi, тому
перевiримо тiльки другий. Зауважимо, що Ψ𝑗+1 i Ψ𝑗 мають тiльки два
спiльних вузли 𝑦𝑖(𝑗) i 𝑦𝑖(𝑗)−1. Беручи до уваги (30) i (19), запишемо
𝑠′′(𝑥) = 𝐴(𝑥− 𝑦𝑖(𝑗)) +𝐵 = 𝐴(𝑥− 𝑥𝑗−1) +𝐵 ↗, 𝑥 ∈ ̃︀𝐼𝑖(𝑗),
де 𝐴 ≥ (Δ𝑗+1−Δ𝑗+2)(𝛼𝑗+1+𝛽𝑗+1)+(Δ𝑗−Δ𝑗+1)𝛼𝑗 ≥ 0 завдяки тому,
що Δ𝑗+2 ≤ Δ𝑗+1 ≤ Δ𝑗 разом з (*), а 𝐵 є невiд’ємна стала, оскiльки є
(29).
Для отримання (28), у складному випадку 3), скористаємося тим,
що "хорошi" властивостi (*) у сумi з "поганими" (**) завжди разом
дадуть (28). Бiльш точно, беручи до уваги (14) i (15), розглянемо для
(31) три головнi спiввiдношення (13), (18) i (25). Нагадаємо, у цьому
випадку 𝑦𝑖(𝑗) = 𝑦𝑖*(𝑗) = 𝑑𝑗 . Завдяки (13) маємо
𝑥∫︁
−1
𝑡∫︁
−1
𝑃
′′
𝑗 (𝑢)𝑑𝑢𝑑𝑡 = 𝑃𝑗(𝑥)𝜒(𝑥, 𝑑𝑗), 𝑥 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼𝑖*(𝑗), (32)
i бiльш того,
𝑥∫︁
−1
𝑃
′′
𝑗 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑃 ′
𝑗(𝑥)𝜒(𝑥, 𝑑𝑗), 𝑥 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼𝑖*(𝑗). (33)
Оскiльки 𝑃
′′
𝑗 (𝑥) має тiльки три вузли i, бiльш того, центральний − це
𝑑𝑗 (тобто, центр 𝑃𝑗), то рiвностi (33) i (32) з 𝐻𝑗 ≥ 0 не можуть бути
вiрними обидвi разом одночасно без (28), див. також (27). Як дода-
ткове зауваження, скажемо, що нерiвнiсть (25) дає достатнi вiдстанi
мiж цими трьома вузлами, щоб сформувати досить гарно обмежене
число 𝐻𝑗 (див. (18)) у (32) без того, щоб зруйнувати (28) на 𝐼𝑖*(𝑗).
Твердження (28), а отже i (1), доведено. Теорему 1.1 доведено.
[1] Dzyubenko G. A., Kopotun K. A., Prymak A. V. Three-monotone spline
approximation // J. Approx. Theory.— 2010.— Vol. 162.— P. 2168–2183.
[2] Шведов А. С. Порядки коприближений функций алгебраическими
многочленами // Мат. заметки. — 1981. — Т. 29, № 1. — С. 117–130.
98 Дзюбенко Г.А.
[3] Konovalov V. N., Leviatan D. Shape preserving widths of Sobolev-type
classes of s-monotone functions on a finite interval // Israel J. Math.—
2003.— Vol. 133.— P. 239–268.
[4] Бондаренко А. В., Примак А. В. Отрицательные результаты в формо-
сохраняющем приближении высших порядков // Матем. заметки. —
2004. — Т. 76, № 6. — С. 812-–823.
[5] Kopotun K. A., Leviatan D., Prymak A. V., Shevchuk I. A. Uniform and
Pointwise Shape Preserving Approximation by Algebraic Polynomials //
Surveys in Approximation Theory.— 2011.— Vol. 6.— P. 24–74.
[6] Konovalov V. N., Leviatan D. Estimates on the approximation of 3-
monotone function by 3-monotone quadratic splines // East J. Approx.—
2001.— Vol. 7.— P. 333–349.
[7] Prymak A. V. Three-convex approximation by quadratic spline with arbi-
trary fixed knots // East J. Approx.— 2002.— Vol. 8, no. 2.— P. 185–196.
[8] Shevchuk I. A. One construction of cubic convex spline // Proceedings of
ICAOR.— 1997.— Vol. 1.— P. 357–368.
[9] Leviatan D., Prymak A. V. On 3-monotone approximation by piecewise
polynomials // J. Approx. Theory.— 2005.— Vol. 133.— P. 147–172.
[10] Примак А. В. Згладжування зi збереженням форми 3-опуклих сплай-
нiв 4-го степеня // Укр. мат. журн. — 2005. — Т. 57, № 2. — С. 277–283.
[11] Bondarenko A. V., Leviatan D., Prymak A. V. Pointwise Estimates for
3-monotone Approximation // J. Approx. Theory.— 2012.— Vol. 164.—
P. 1205–1232.
[12] Dzyubenko G. A., Gilewicz J. Nearly coconvex pointwise approximation //
East Jour. on Approx.— 2000.— Vol. 6.— P. 357–383.
[13] Popoviciu T. Sur quelques proprietes des fonctiones d’une ou de deux
variables.— Roclloa Mathematica, 1934.— 85 p.
[14] Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на
отрезке функций. — К., Наукова думка, 1992. — 224 с. 111
1. Луковський І.О., Гаврилюк І.О., Василик В.Б., Ситник Д.О.
2. Біленко В. І., Божонок К. В., Дзядик С. Ю., Стеля О. Б.
Інтегро–апроксимаційний алгоритм
Вступ
Постановка задачі
Алгоритм
Похибка алгоритму
Застосування a–методу для алгебраїчно–нелінійних рівнянь гіперболічного типу
Задача Дирихле для алгебраїчно–нелінійних рівнянь еліптичного типу на прямокутнику
Наближений розв'язок початкової задачі для алгебраїчно–нелінійних рівнянь параболічного типу на прямокутнику
Сплайн–алгоритм
Монотонна схема для рівняння конвекції–дифузії
Висновки
3. Василик В.Б., Макаров В.Л., Ситник Д.О.
Вступ
Регуляризація та явне зображення розв'язку
Вибір контуру інтегрування
Чисельний метод
4. Веселовська Г.М.
5. Грушковская В.В.
Введение
Построение модельной системы
Условия устойчивости
Оценка скорости убывания решений
Пример: оценка скорости затухания колебаний маятниковой системы с частичной диссипацией
Выводы
6. Дзюбенко Г.А.
Вступ
Допоміжні факти
Доведення Теореми ??
7. Діденко Ю.Ф., Денисенко В.І.
8. Елишевич М.А.
Постановка задачи
Полученный результат
Пример
9. Константинов А.В., Лимарченко О.С., Кинебас К.В., Паранькина О.Ю.
Введение
Объект исследования и математическая модель
Результаты вычислительных экспериментов
Выводы
10. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Лінійні системи з керованими і спостережуваними виходами
Статичний регулятор по вимірюваному виходу
Динамічний регулятор
Алгоритм побудови динамічного регулятора
Приклад. Гасіння коливань лінійного осцилятора.
Висновок
11. Працьовитий М. В., Маслова Ю. П.
Вступ
Функція Радемахера і ряди Уолша
Узагальнення функцій Радемахера
Узагальнення функцій Уолша
12. Працьовитий М.В., Чуйков А.С.
Вступ
Оператори лівостороннього та правостороннього зсуву елементів ланцюгового дробу
Інші функції, пов'язані з оператором T(x)
13. Новицький В.В., Зінчук М.О., Коломійчук О.П., Тетерятник О.В.
Вступ
Оптимальне керування лінійними неперервними майже консервативними системами
Оптимальне керування лінійними дискретними майже консервативними системами
14. Осауленко Р. Ю.
Вступ
Перетворення, які зберігають хвости Qs–зображення чисел
Група перетворень, які зберігають частоти цифр Qs–зображення числа
Приклад функції, яка зберігає частоти, але не зберігає хвости зображення Qs-ірраціональних чисел
15. Слинько В.І., Кравчук С.В.
Постановка задачі.
Основний результат.
Умови стійкості
16. Солодун А. В.
Постановка задачи
Численные результаты
17. Ситник Д.О.
Вступ
Sinc–апроксимація
Sinc-апроксимація функції за її значеннями поза інтерполяційною сіткою
18. Сосницький С.П.
Вступ
Про рівняння збуреного руху в околі стаціонарних лагранжевих трикутників
Теорема про орбітальну нестійкість лагранжевих стаціонарних рухів у задачі трьох тіл
Висновок
19. Сосницький С.П.
Вступ
Про достатні умови відсутності осцилюючих симетричних рухів
20. Чернецька Л.О.
21. Timokha A.N.
Statement
Asymptotic steady-state solutions of (??)–(??)
The reciprocating excitation type
The axisymmetric elliptic excitation type
The oblique elliptic excitation type
Conclusions
22. Shlepakov L.N.
Main relationships for a non-inflated system
Construction of enlarged systems
Defining the task mathematical programming
Case of multiple channels with same probability characteristics in the same system of channels.
23. Shidlich A.L.
Approximative characteristics
Main results
Order estimates for some functionals and their applications
Proof of Theorems ?? and ??.
24. Луковський І.О., Стороженко В.О.
25. Луковський І.О., Пустовойтов М.О.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-34 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:19Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/13/631bc2eae5228f92661536892984ba13.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-342018-02-13T11:57:10Z A cubic spline of tri-monotone approximation Кубический сплайн для три-монотонного приближения Кубiчний сплайн три-монотонного наближення Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. A. Дзюбенко, Г. A. For any 3-monotone on $[????,????]$ function $????$ (its third divided differences are nonnegative for all choices of four distinct points, or equivalently, $????$ has a convex derivative on $(????,????)$) we construct a cubic 3-monotone (like $????$) spline $????$ with $???? \in N$ ”almost” equidistant knots $????_????$ such that${‖???? - ????‖}_{[????_????, ????_{????-1}]} ≤ ???? ω_4 (????, (???? - ????) / ????, [????_{????+4}, ????_{????-5}] \cap [????, ????]), ???? = 1,...,????,$where $????$ is an absolute constant, $????_4 (????,????,[\cdot,\cdot])$ is the 4-th modulus of smoothness of $????$, and ${|| \cdot ||}_{[\cdot, \cdot]}$ is the max-norm. Для любой 3-монотонной на $[????,????]$ функции $????$ (ее третья разделенная разность неотрицательна для всех наборов из четырех разных точек или, эквивалентно, $????$ имеет выпуклую на $(????,????)$ производную) построен кубический 3-монотонный (как $????$) сплайн $????$ с $???? \in N$ "почти" равноудаленными узлами $????_????$ такой, что${‖???? - ????‖}_{[????_????, ????_{????-1}]} ≤ ???? ω_4 (????, (???? - ????) / ????, [????_{????+4}, ????_{????-5}] \cap [????, ????]), ???? = 1 , ..]), ???? = 1,...,????,$где $????$ – абсолютная постоянная, $????_4 (????,????,[\cdot,\cdot]) – 4-й модуль гладкости $????$ и ${|| \cdot ||}_{[\cdot, \cdot]}$ – равномерная норма. Для будь-яка 3-монотонної на $[????, ????]$ функції $????$ (її третя розділена різниця неотрицательна для всіх наборів з чотирьох різних точок або, еквівалентно, $????$ має опуклу на $(????, ????)$ похідну) побудований кубічний 3-монотонний (як $????$) сплайн $????$ з $???? \in N$ "майже" рівновіддаленими вузлами $????_????$ такий, що${‖???? - ????‖}_{[????_????, ????_{????-1}]} ≤ ???? ω_4 (????, (???? - ????) / ????, [????_{????+4}, ????_{????-5}] \cap [????, ????]), ???? = 1 , ..., ????,$де $????$ - абсолютна постійна, $ω_4$ $(????, ????, [\cdot, \cdot])$ - 4-й модуль гладкості $????$ і ${|| \cdot ||}_{[\cdot, \cdot]}$ - рівномірна норма. Інститут математики НАН України 2017-12-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/34 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 3 (2016): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 85-98 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 85-98 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 3 (2016): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 85-98 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/34/40 Авторське право (c) 2016 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Dzyubenko, G. A. Дзюбенко, Г. A. Дзюбенко, Г. A. A cubic spline of tri-monotone approximation |
| title | A cubic spline of tri-monotone approximation |
| title_alt | Кубический сплайн для три-монотонного приближения Кубiчний сплайн три-монотонного наближення |
| title_full | A cubic spline of tri-monotone approximation |
| title_fullStr | A cubic spline of tri-monotone approximation |
| title_full_unstemmed | A cubic spline of tri-monotone approximation |
| title_short | A cubic spline of tri-monotone approximation |
| title_sort | cubic spline of tri-monotone approximation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/34 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubenkoga acubicsplineoftrimonotoneapproximation AT dzûbenkoga acubicsplineoftrimonotoneapproximation AT dzûbenkoga acubicsplineoftrimonotoneapproximation AT dzyubenkoga kubičeskijsplajndlâtrimonotonnogopribliženiâ AT dzûbenkoga kubičeskijsplajndlâtrimonotonnogopribliženiâ AT dzûbenkoga kubičeskijsplajndlâtrimonotonnogopribliženiâ AT dzyubenkoga kubičnijsplajntrimonotonnogonabližennâ AT dzûbenkoga kubičnijsplajntrimonotonnogonabližennâ AT dzûbenkoga kubičnijsplajntrimonotonnogonabližennâ AT dzyubenkoga cubicsplineoftrimonotoneapproximation AT dzûbenkoga cubicsplineoftrimonotoneapproximation AT dzûbenkoga cubicsplineoftrimonotoneapproximation |