On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies
Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find some specific features of motions of an infinitesimal particle. In particular, we establish that the particle can perform oscillatory motions relative to the rotational plane of the two remaining massive particles.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/340 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552850409652224 |
|---|---|
| author | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, C. П. Сосницький, C. П. |
| author_facet | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, C. П. Сосницький, C. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "C. П. Сосницький",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Sosnitsky, S. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find some specific features of motions of an infinitesimal particle. In particular, we establish that the particle can perform oscillatory motions relative to the rotational plane of the two remaining massive particles. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 150–162
УДК 531.36;531.01
Про деякi якiснi аспекти руху в
елiптичнiй обмеженiй задачi трьох
тiл ∗
C.П. Сосницький
Iнститут математики НАН України, Київ; sosn@imath.kiev.ua
Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find
some specific features of motions of an infinitesimal particle. In particular,
we establish that the particle can perform oscillatory motions relative to
the rotational plane of the two remaining massive particles.
У рамках елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми виявляємо деякi
специфiчнi особливостi руху нескiнченно малої частки. Зокрема, вста-
новлюємо можливiсть коливного характеру руху нескiнченно малої
частки вiдносно площини обертання двох масивних тiл.
В рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел мы обнаружи-
ваем некоторые специфические особенности движения бесконечно ма-
лой частицы. В частности, устанавливаем возможность колебательного
характера движения бесконечно малой частицы относительно плоско-
сти вращения двух массивных тел.
Вступ
Обмежена задача трьох тiл (матерiальних точок), хоча i є доволi
спрощеною моделлю руху трьох тiл [1, 2], що бере свiй початок вiд
Ейлера, однак зберiгає свою актуальнiсть i нинi, оскiльки знаходить
багато цiкавих застосувань [1, 3–7].
Вiдомо, що коли обмежена задача є круговою, то, як показав Яко-
бi, iснує перший iнтеграл. У цьому випадку Хiллу [8] вдалося довести
iснування обмежених рухiв малої частки за умови, що стала рiвня h
iнтеграла Якобi негативна i |h| перевищує деяку критичну величи-
ну h∗ > 0. Далi цю умову називатимемо умовою Хiлла. Коли вико-
нується умова Хiлла, то область можливих рухiв нескiнченно малої
∗Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077.
c© Сосницький C.П., 2017
Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi . . . 151
частки можна вважати об’єднанням областi ωH обмежених рухiв за
координатами (областi Хiлла) i областi ωnc обмежених рухiв за швид-
костями, тобто Ω = ωH
⋃
ωnc, причому ωH
⋂
ωnc = Ø. Рухи, якi на-
лежать областi Хiлла (ωH), зазвичай називають стiйкими за Хiллом.
Все значно ускладнюється, коли обмежена задача стає елiпти-
чною, тобто, коли масивнi тiла рухаються по елiптичних орбiтах.
Тодi iнтеграл Якобi перестає iснувати i ми втрачаємо важливий iн-
струмент для дослiдження якiсних характеристик руху, що вимагає
нових пiдходiв для успiшного розв’язання проблем руху, якi поста-
ють. Одним з таких пiдходiв є пошук iнварiантних спiввiдношень, якi
можуть бути корисними при дослiдженнi якiсних деталей руху.
1 Рiвняння руху для обмеженої задачi трьох тiл
Отже розглянемо випадок обмеженої задачi трьох тiл, коли вектори
r1 i r2, як розв’язки задачi двох тiл, можуть вiдповiдати як круго-
вим, так i елiптичним орбiтам матерiальних точок з масами m1 i m2.
Переходячи далi до вiдносних довжин векторiв i розглядаючи рiвня-
ння обмеженої задачi як частинний випадок загальної задачi трьох
тiл [11], отримуємо
ρ1
′′ = µ
ρ12
|ρ12|3
,
ρ2
′′ = −(1− µ)
ρ12
|ρ12|3
,
ρ3
′′ = −(1− µ)
ρ13
|ρ13|3
− µ
ρ23
|ρ23|3
.
(1)
Тут ρij = ρj − ρi (i, j = 1, 2, 3), ρi = ri/r0 (r0 – сталий параметр, що
має розмiрнiсть одиницi довжини), штрих означає диференцiювання
за безрозмiрним часом
τ =
√
G(m1 +m2)
|r12|03/2
t,
де G > 0 – гравiтацiйна стала, а
µ =
m2
m1 +m2
, 0 < µ ≤ 1
2
.
152 Сосницький C. П.
Системi (1) також можна надати форми
ρ12
′′ = − ρ12
|ρ12|3
,
ρ3
′′ = −(1− µ)
ρ13
|ρ13|3
− µ
ρ23
|ρ23|3
.
(2)
Характерною ознакою систем рiвнянь (1) i (2) є те, що вони вiд-
несенi до iнерцiйної системи вiдлiку з початком у центрi мас двох
масивних тiл. Зокрема, осi Oξ i Oη цiєї системи зручно помiстити у
площинi руху двох масивних тiл, а вiсь Oζ – перпендикулярно до цiєї
площини.
Вiдповiдно до вибору системи вiдлiку третє векторне рiвняння си-
стеми (1) можемо записати у виглядi
ξ′′ = −(1− µ)
ξ − ξ1
ρ313
− µ
ξ − ξ2
ρ323
,
η′′ = −(1− µ)
η − η1
ρ313
− µ
η − η2
ρ323
, (3)
ζ′′ = −(1− µ)
ζ
ρ313
− µ
ζ
ρ323
,
де
ρ213 = (ξ − ξ1)
2 + (η − η1)
2 + ζ2,
ρ223 = (ξ − ξ2)
2 + (η − η2)
2 + ζ2.
(4)
Тут (ξ1, η1, 0) i (ξ2, η2, 0) – вiдповiдно координати тiл з масами (1−µ)
i µ, а ξ, η, ζ – координати малої частки.
Оперуючи рiзними формами рiвнянь руху нескiнченно малої час-
тки, розраховуватимемо на отримання корисних спiввiдношень, що
можуть стати ефективними при подальшому аналiзi руху в обмеже-
нiй задачi.
2 Про деякi важливi рiвностi в елiптичнiй обме-
женiй задачi трьох тiл
У роботi [10] наведенi рiвностi, якi у рамках кругової обмеженої за-
дачi трьох тiл зв’язують квадрати взаємних вiдстаней з положенням
Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi . . . 153
нескiнченно малої частки у системi вiдлiку, яка обертається з оди-
ничною кутовою швидкiстю навколо осi, перпендикулярної до пло-
щини обертання двох масивних тiл. Виявляється, що аналоги цих
рiвностей мають мiсце i в елiптичнiй задачi трьох тiл, правда, у дещо
iншiй системi вiдлiку. Однак перш нiж їх отримати, здiйснимо деякi
допомiжнi операцiї.
Поряд з iнерцiйною системою координат розглянемо допомiжну
рухому систему координат з початком у центрi мас пари (1 − µ, µ),
двi осiOx,Oy якої зорiєнтуємо вздовж напрямiв векторiв −ρ12 i −ρ′
12,
що належать площинi обертання масивних тiл. Третю вiсь Oz вибе-
ремо перпендикулярною до цiєї площини, i таким чином осi Oζ i Oz
збiгаються.
Розглянемо величини
x = −ρ3ρ12, (5)
y = −ρ3ρ
′
12. (6)
Як бачимо, вони мiстять вектори −ρ12 i −ρ′
12 як множники. Модулi
|ρ12| i |ρ′
12| цих векторiв обмеженi. Зауважимо також, що в елiпти-
чному випадку ρ12×ρ′
12 = C, де C – сталий вектор, причому |C| 6= 0,
i таким чином, хоч кут мiж плоскими осями нашої системи вiдлiку
змiнюється, проте напрями осей нiколи не збiгаються. Отже, правi
частини рiвностей (5) i (6) можемо розглядати як проекцiї у деякому
узагальненому сенсi вектора ρ3 на пару осей Ox i Oy вибраної нами
рухомої системи вiдлiку, якi належать площинi обертання масивних
тiл. Щоб переконатися у тому, що така iнтерпретацiя правих частин
рiвностей (5) i (6) має сенс, представимо рiвностi (5) i (6) у виглядi
x = − ρ12
|ρ12|
ρ3|ρ12|, y = − ρ′
12
|ρ′
12|
ρ3|ρ′
12|. (7)
Якщо виходити зi стандартного означення проекцiї, то x у запису (7)
означає проекцiю вектора ρ3|ρ12| на напрям вектора −ρ12, а y озна-
чає проекцiю вектора ρ3|ρ′
12| на напрям вектора −ρ′
12. Зауважуючи
однак, що вектори ρ3|ρ12| i ρ3|ρ′
12| мають один i той же напрям, а
значення |ρ12| i |ρ′
12| є обмеженими, можемо цiлком впевнено ствер-
джувати, що рiвностi (7) (а отже i (5), (6)) цiлком придатнi, щоб
описувати рух нескiнченно малої частки у проекцiї на площину обер-
тання масивних тiл.
154 Сосницький C. П.
Цiкаво зауважити, що у випадку кругової обмеженої задачi
|−ρ12| = 1 i |−ρ′
12| = 1, тобто вектори −ρ12 i −ρ′
12 є ортами. Бiльше
того, оскiльки ρ12 ⊥ ρ′
12, то розглянута вище рухома система вiдлiку
у круговiй задачi є ортогональною.
На пiдставi рiвностi (6) маємо
y = −(ρ3 − ρ1 + ρ1)ρ
′
12 = −ρ13ρ
′
12 − ρ1ρ
′
12. (8)
Аналогiчно
y = −(ρ3 − ρ2 + ρ2)ρ
′
12 = −ρ23ρ
′
12 − ρ2ρ
′
12. (9)
Зауважуючи, що
ρ1 = −µρ12, ρ2 = (1− µ)ρ12, (10)
а
ρ12 + ρ23 − ρ13 = 0, (11)
на пiдставi (8) i (9) приходимо до рiвностей
ρ23ρ
′
13 = −y + 1
2
ρ2
23
′ − 1− µ
2
ρ2
12
′
, (12)
ρ13ρ
′
23 = y +
1
2
ρ2
13
′ − µ
2
ρ2
12
′
. (13)
Згiдно з роботою [12] справедливе спiввiдношення
ρ12ρ3 =
1
2
[
(1− 2µ)ρ2
12 + ρ2
13 − ρ2
23
]
(14)
i, таким чином, на пiдставi (12) i (13) отримуємо
ρ23ρ
′
13 − ρ13ρ
′
23 = x′ − 2y. (15)
Цiкаво зауважити, що до аналогiчної рiвностi у випадку кругової
обмеженої задачi ми приходили бiльш складним шляхом.
Отримаємо ще декiлька важливих рiвностей, якi аналогiчнi вже
вiдомим у круговiй обмеженiй задачi трьох тiл.
З врахуванням рiвностi (5) перепишемо рiвнiсть (14) у виглядi
(ρ223 − ρ213) = 2x+ (1− 2µ)ρ212. (16)
Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi . . . 155
Використовуючи вiдому рiвнiсть
ρ23 = −µ1µ2ρ
2
12 + µ1(µ1 + µ2)ρ
2
13 + µ2(µ1 + µ2)ρ
2
23, (17)
яка виконується у загальному випадку задачi трьох тiл [9], i заува-
жуючи, що в умовах обмеженої задачi вона набуває вигляду
ρ23 = −(1− µ)µρ212 + (1− µ)ρ213 + µρ223, (18)
розв’яжемо рiвняння (16) i (18) вiдносно ρ213 i ρ223. У результатi отри-
маємо
ρ213 = −2µx+ µ2ρ212 + ρ23, (19)
ρ223 = 2(1− µ)x + (1− µ)2ρ212 + ρ23. (20)
Якщо покласти у (19) i (20) ρ212 = 1, то прийдемо до рiвностей, спра-
ведливих у круговiй обмеженiй задачi.
Звернемо увагу на важливiсть рiвностей (5) i (6), наведених вище.
Саме цi рiвностi, коли врахувати, що
x′ = y − ρ12ρ
′
3, (21)
y′ = − x
ρ312
− ρ′
12ρ
′
3, (22)
дозволили нам довести обмеженiсть руху малої частки у проекцiї на
площину, у якiй обертаються два масивнi тiла [12]. Якщо взяти до
уваги справедливiсть рiвностi
ρ′2
3 = −µ(1− µ)ρ′2
12 + (1− µ)ρ′2
13 + µρ′2
23, (23)
то, використовуючи (22), приходимо до аналогiв рiвностей (19) i (20),
якi торкаються вже узагальнених швидкостей v2ij = ρ′2
ij i v23 = ρ′2
3 :
v213 = −2µ
(
y′ +
x
ρ312
)
+ µ2v212 + v23 , (24)
v223 = 2(1− µ)
(
y′ +
x
ρ312
)
+ (1− µ)2v212 + v23 . (25)
156 Сосницький C. П.
3 Про рух малої частки по координатi ζ
Як ми вже згадували вище, рух малої частки обмежений у проекцiї
на площину обертання двох масивних тiл [12], а отже обмежений вiд-
носно плоских координат ξ i η. Питання залишається вiдкритим щодо
координати ζ. З’ясуємо деякi деталi руху у цьому випадку.
Твердження 1. Нехай у рамках обмеженої елiптичної задачi
трьох тiл рух нескiнченно малої частки, що визначається рiвнян-
нями (1), задовольняє умову дистальностi:
ρi3(τ) ≥ c ∀τ ∈ R =]−∞,∞[, ∀i = 1, 2; 0 < c = const. (26)
Тодi всi критичнi точки (тобто точки, у яких ζ′(τ) = 0) функцiї
ζ(τ) є точками її локального максимуму, якщо
ζ(τ) ∈ [ζ0,∞), ζ0 > 0 (27)
i, навпаки, точками локального мiнiмуму, якщо
ζ(τ) ∈ [ζ0,−∞), ζ0 < 0. (28)
Доведення. Нехай iснує точка ζ∗ ∈ [ζ0,∞), у якiй ζ′(τ)
∣∣∣∣
ζ=ζ∗
= 0.
Тодi згiдно з третiм рiвнянням системи (3), враховуючи (4), маємо
ζ′′ < 0 ∀ζ(τ) ∈ [ζ0,∞) (29)
i, таким чином, точка ζ∗ вiдповiдає локальному максимуму функцiї
ζ(τ) в iнтервалi [ζ0,∞). Бiльше того, згiдно з (29) у цьому випадку
функцiя ζ(τ) є строго увiгнутою [13]. Отже, якщо в iнтервалi [ζ0,∞)
iснує критична точка, то це максимум i ця критична точка єдина
у розглядуваному iнтервалi. Досягнувши максимуму, функцiя ζ(τ)
зменшується, переходячи до значень в iнтервалi [ζ0,−∞).
Коли виконується умова (28), мiркуємо аналогiчно. Функцiя ζ(τ)
у цьому випадку, навпаки, є строго опуклою в iнтервалi [ζ0,−∞). ✷
Наслiдок 1. Якщо координата ζ(τ) задовольняє умову (27), то
∀ζ(τ) ∈ (ζ0,∞) можлива змiна знаку ζ′(τ) зi значення ζ′(τ) > 0 на
значення ζ′(τ) < 0 i, навпаки, перехiд ζ′(τ) зi значення ζ′(τ) < 0 на
значення ζ′(τ) > 0 неможливий.
Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi . . . 157
Аналогiчно, якщо координата ζ(τ) задовольняє умову (28), то
∀ζ(τ) ∈ (ζ0,−∞) можлива змiна знаку ζ′(τ) зi значення ζ′(τ) < 0 на
значення ζ′(τ) > 0 i, навпаки, перехiд ζ′(τ) зi значення ζ′(τ) > 0 на
значення ζ′(τ) < 0 неможливий.
Наслiдок 2. Координата ζ(τ) може як монотонно зростати
(спадати), так i здiйснювати коливний рух з амплiтудою, що може
бути як обмеженою, так i необмеженою.
Твердження 2. Нехай у рамках обмеженої елiптичної задачi
трьох тiл виконується умова дистальностi (26).
Тодi, якщо координата ζ(τ) є необмеженою, то iснує послiдов-
нiсть промiжкiв часу {Tn}(n = 1, 2, 3, . . . ) необмежено зростаючої
довжини, на яких функцiя ζ(τ) монотонно зростає (спадає).
Доведення. Отже припустимо, що координата ζ(τ) є необмеже-
ною. Тодi iснує така послiдовнiсть {τk} (k = 1, 2, 3, . . . ), що
lim
k→∞
τk = ∞ (30)
i виконується принаймнi одна з рiвностей
lim
k→∞
ζ(τk) = +∞, (31)
lim
k→∞
ζ(τk) = −∞. (32)
Вiдповiдно до твердження 1 всi локальнi максимуми функцiї ζ(τ),
пов’язанi з такими моментами часу τ , коли ζ ∈ [ζ0,∞), а локальнi
мiнiмуми – коли ζ ∈ [ζ0,−∞). Без обмеження загальностi розгля-
ду далi достатньо зупинитися на випадку, коли виконується рiвнiсть
(31) i, таким чином, всi локальнi максимуми функцiї ζ(τ), пов’язанi
з моментами часу τ , що вiдповiдають ζ ∈ [ζ0,∞).
Позначимо послiдовнiсть цих локальних максимумiв через
{ζmax
r (τr)}, де (r = 1, 2, 3, . . . ), а τr означає момент часу τ , що вiдпо-
вiдає ζ(τr) = ζmax
r . Зв’яжемо з кожним номером r промiжок часу Tr,
протягом якого функцiя ζ(τ) монотонно зростає у межах iнтервалу
(ζ0,∞). Послiдовнiсть таких промiжкiв вiдповiдно до рiвностей (30) i
(31) позначимо через {Tr}. На кожному з цих промiжкiв часу швид-
кiсть ζ′(τ) може бути рiзною, але оскiльки швидкiсть нескiнченно
малої частки обмежена, то необмежене збiльшення вiдстанi малої час-
тки вiд центра мас зумовлює необмежене зростання часу, необхiдного
158 Сосницький C. П.
для подолання цiєї вiдстанi. Таким чином, з послiдовностi {Tr} зав-
жди можна виокремити пiдпослiдовнiсть {Trl}, (r1 < r2 < r3 < . . .),
таку, що Tr1 < Tr2 < Tr3 < . . .. Отже, поклавши n = rl, робимо
висновок про справедливiсть твердження 2. ✷
Наслiдок 3. Якщо в умовах твердження 2 координата ζ моно-
тонно зростає (спадає) з плином часу τ , то послiдовнiсть {Tn}(n =
1, 2, 3, . . . ) вичерпується одним елементом.
Твердження 3. Нехай у рамках обмеженої елiптичної задачi
трьох тiл рух нескiнченно малої частки, що визначається рiвнян-
нями (1), задовольняє умову дистальностi (26), а координата ζ(τ) у
межах iнтервалу [ζ0,∞), ζ0 > 0 монотонно зрастає при τ ∈ [τ1, τ2],
де τ2 > τ1 > 0.
Тодi має мiсце iнварiантне спiввiдношення (квазiнтеграл):
1
2
ζ′2
∣∣∣∣
τ2
τ1
= Ψ(τ̂)
1
ζ
∣∣∣∣
τ2
τ1
, (33)
де τ̂ ∈ [τ1, τ2], а
Ψ(τ̂) =
(1− µ)
[
(ξ−ξ1)2+(η−η1)2
ζ2 + 1
] 3
2
+
µ
[
(ξ−ξ2)2+(η−η2)2
ζ2 + 1
] 3
2
∣∣∣∣∣
τ=τ̂
.
(34)
Доведення. Помножимо обидвi частини третього рiвняння систе-
ми (3) на ζ′ i проiнтегруємо. У результатi отримаємо
1
2
ζ′2
∣∣∣∣
τ2
τ1
= −(1− µ)
τ2∫
τ1
ζ′ζ
ρ313
dτ − µ
τ2∫
τ1
ζ′ζ
ρ323
dτ, (35)
де τ2 > τ1 > 0. Проведемо деякi перетворення у правiй частинi рiв-
ностi (35). Для цього перш за все зобразимо рiвностi (4) у формi
ρ213 = ζ2
[
(ξ − ξ1)
2 + (η − η1)
2
ζ2
+ 1
]
,
ρ223 = ζ2
[
(ξ − ξ2)
2 + (η − η2)
2
ζ2
+ 1
]
,
(36)
Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi . . . 159
пiсля чого рiвнiсть (35) записуємо у виглядi
1
2
ζ′2
∣∣∣∣
τ2
τ1
= −
τ2∫
τ1
ψ(τ)
ζ′
ζ2
dτ, (37)
де
Ψ(τ) =
(1− µ)
[
(ξ−ξ1)2+(η−η1)2
ζ2 + 1
] 3
2
+
µ
[
(ξ−ξ2)2+(η−η2)2
ζ2 + 1
] 3
2
. (38)
Оскiльки у правiй частинi рiвностi (37) функцiя ζ′ невiд’ємна, то
ми можемо застосувати теорему про середнє [13], у результатi чого
приходимо до рiвностi
1
2
ζ′2
∣∣∣∣
τ2
τ1
= −Ψ(τ̂)
τ2∫
τ1
ζ′
ζ2
dτ, (39)
де τ̂ ∈ [τ1, τ2].
На пiдставi (39) отримуємо (33). ✷
Наслiдок 4. Якщо в умовах твердження 3 координата ζ мо-
нотонно зростає за часом τ до нескiнченностi, то це зростання є
строгим.
Доведення. Скористаємося iнварiантним спiввiдношенням (33),
яке перепишемо у виглядi
1
2
ζ′2(τ) −Ψ(τ̂)
1
ζ(τ)
=
1
2
ζ′2(τ0)−Ψ(τ̂)
1
ζ(τ0)
, (40)
де τ̂ ∈ [τ1, τ ], ζ(τ1) ∈ [ζ0,∞), ζ0 > 0, τ > τ1 > 0 i у вiдповiдностi з (38)
функцiя Ψ(τ̂ ) обмежена i додатна. Згiдно з припущенням про моно-
тонне зростання координати ζ права частина рiвностi (40) невiд’ємна
i таким чином
1
2
ζ′2(τ) ≥ Ψ(τ̂ )
1
ζ(τ)
, (41)
звiдки, враховуючи нерiвнiсть
1
ζ(τ)
> 0,
160 Сосницький C. П.
яка має мiсце при ζ(τ) ∈ [ζ0,∞) i τ ∈ [τ0,∞), робимо висновок про
справедливiсть наслiдку. ✷
Зв’яжемо з кожним промiжком часу Tn з послiдовностi {Tn}, про
яку йшлося у твердженнi 2, точку (ζ∗, τn), де ζ∗ ∈ [ζ0,∞), τn ∈ Tn,
причому τn вiдповiдає такому моменту часу, що ζ(τn) = ζ∗. Таким
чином, точка ζ∗ є спiльною для всiх n пар (ζ∗, τn). Вважатимемо, що
вибiр точки ζ∗ здiйснено таким чином, що виконується умова
Ψ(τ)
∣∣∣∣
ζ=ζ∗
= 1 + γ(τ), γ(τ) < ε, (42)
де τ > τn, а ε – достатньо мале додатне число. Це не обмежує за-
гальностi розгляду, оскiльки згiдно з (38) функцiя Ψ(τ) прямує до
одиницi, якщо ζ прямує до нескiнченностi. Тому, якщо припустити,
що ця умова для послiдовностi {Tn} не виконується, то ми завжди
можемо виокремити з {Tn} пiдпослiдовнiсть, яка вже задовольняє
потрiбну вимогу.
Скористаємося тепер рiвнiстю (33), у якiй замiсть τ1 i τ2 пiдстави-
мо значення τn i τ̃n (τn < τ̃n, [τn, τ̃n] ⊂ Tn), де останнє з них означає
такий момент часу, що ζ(τ̃n) є максимумом функцiї ζ(τ) у межах
iнтервалу [ζ0,∞). У результатi отримуємо
1
2
ζ′2
∣∣∣∣
τ̃n
τn
= Ψ(τ̂n)
1
ζ
∣∣∣∣
τ̃n
τn
, τ̂n ∈ [τn, τ̃n] (43)
або
1
2
[
ζ′2(τ̃n)− ζ′2(τn)
]
= [1 + γ(τ̂n)]
[
1
ζ(τ̃n)
− 1
ζ∗
]
, (44)
де з врахуванням (42) γ(τ̂n) < ε.
У зв’язку з (44) справедливе наступне
Твердження 4. У рамках обмеженої елiптичної задачi трьох
тiл, коли виконується умова дистальностi (26), справедлива рiв-
нiсть
lim
n→∞
ζ′2(τn) = [1 + γ(τ̂∗n)]
2
ζ∗
τ̂∗n ∈ [τn,∞). (45)
Доведення. Зобразимо рiвнiсть (44) у виглядi
1
2
ζ′2(τ̃n)− [1 + γ(τ̂n)]
1
ζ(τ̃n)
=
1
2
ζ′2(τn)− [1 + γ(τ̂n)]
1
ζ∗
. (46)
Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi . . . 161
Оскiльки ζ(τ̃n) = ζmax
n , то у вiдповiдностi з рiвнiстю (46) маємо
−[1 + γ(τ̂n)]
1
ζ(τ̃n)
=
1
2
ζ′2(τn)− [1 + γ(τ̂n)]
1
ζ∗
. (47)
Згiдно з (30), (31) справедлива рiвнiсть
lim
n→∞
1
ζ(τ̃n)
= 0,
на пiдставi якої при n, прямуючому до нескiнченностi, з (47) випливає
(45). ✷
На завершення зазначимо, що, не отримавши повної вiдповiдi на
питання щодо обмеженостi руху нескiнченно малої частки вiдносно
координати ζ, ми виявили деякi характернi риси руху, властивi елi-
птичнiй обмеженiй задачi, якi можуть бути корисними для подаль-
шого дослiдження. У цьому зв’язку цiкавим є факт iснування iнварi-
антного спiввiдношення (33), яке за своєю структурою досить схоже
на iнтеграл енергiї у задачi двох тiл.
[1] Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел.— М.: Наука,
1982.— 656 с.
[2] Рой А.Е. Движение по орбитам.— М.: Наука, 1981.— 544 с.
[3] Qi Y., Xu S.J. Lunar capture in the planar restricted three-body prob-
lem // Celestial Mech. Dyn. Astron. –– 2014. –– 120. –– P. 401–422.
[4] Makó Z. and Szenkovits F. Capture in the circular and elliptic restricted
three-body problem // Celestial Mech. Dyn. Astron. –– 2014. –– 90. ––
P. 51–58.
[5] Makó Z. and Szenkovits F. About the Hill stability of extrasolar planets in
stellar binary systems // Celestial Mech. Dyn. Astron. –– 2008. –– 101. ––
P. 273–287.
[6] Georgakarakos N. Stability criteria for hierarchical triple systems // Ce-
lestial Mech. Dyn. Astron. –– 2008. –– 100. –– P. 151–168.
[7] Gong S. and Li J. Analytical criteria of Hill stability in the ellip-
tic restricted three-body problem // Astrophys. Space Sci. –– 2008. ––
358,(37). –– P. 1–10.
[8] Hill G.W. Researches in the Lunar Theory // Am. J. Math. –– 1878. ––
1. –– P. 5–26.
[9] Сосницький С.П. Про стiйкiсть руху за Лагранжем у задачi трьох
тiл // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 8. — C. 1137–1143.
162 Сосницький C. П.
[10] Sosnitskii S.P. On the stability of triangular Lagrangian points in the
restricted three-body problem // Astron. J. –– 2008. –– 135. –– P. 187–
195.
[11] Sosnitskii S.P. On the orbital stability of triangular Lagrangian motions
in the three-body problem // Astron. J. –– 2008. –– 136. –– P. 2533–2540.
[12] Sosnitskii S.P. On the Lagrange stability of motion in the planar restricted
three-body problem // Adv. Space Res. –– 2017. –– 59. –– P. 2459–2465.
[13] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчи-
сления // М.: Наука, 1970.— Т. 1, 607 с., Т. 2, 800 с.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-340 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:59Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/26/15cd25da8bdf6e42a7c9a8e20edd8926.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3402018-02-13T11:53:50Z On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies О некоторых качественных аспектах движения в эллиптической ограниченной задаче трех тел Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Sosnitsky, S. P. Сосницкий, C. П. Сосницький, C. П. Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find some specific features of motions of an infinitesimal particle. In particular, we establish that the particle can perform oscillatory motions relative to the rotational plane of the two remaining massive particles. В рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел мы обнаруживаем некоторые специфические особенности движения бесконечно малой частицы. В частности, устанавливаем возможность колебательного характера движения бесконечно малой частицы относительно плоскости вращения двух массивных тел. У рамках елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми виявляємо деякi специфiчнi особливостi руху нескiнченно малої частки. Зокрема, встановлюємо можливiсть коливного характеру руху нескiнченно малої частки вiдносно площини обертання двох масивних тiл. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/340 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 150-162 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 150-162 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 150-162 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/340/351 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Sosnitsky, S. P. Сосницкий, C. П. Сосницький, C. П. On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| title | On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| title_alt | О некоторых качественных аспектах движения в эллиптической ограниченной задаче трех тел Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл |
| title_full | On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| title_fullStr | On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| title_full_unstemmed | On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| title_short | On some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| title_sort | on some qualitative aspects in an elliptic bounded problem on three bodies |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/340 |
| work_keys_str_mv | AT sosnitskysp onsomequalitativeaspectsinanellipticboundedproblemonthreebodies AT sosnickijcp onsomequalitativeaspectsinanellipticboundedproblemonthreebodies AT sosnicʹkijcp onsomequalitativeaspectsinanellipticboundedproblemonthreebodies AT sosnitskysp onekotoryhkačestvennyhaspektahdviženiâvélliptičeskojograničennojzadačetrehtel AT sosnickijcp onekotoryhkačestvennyhaspektahdviženiâvélliptičeskojograničennojzadačetrehtel AT sosnicʹkijcp onekotoryhkačestvennyhaspektahdviženiâvélliptičeskojograničennojzadačetrehtel AT sosnitskysp prodeâkiâkisniaspektiruhuveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnickijcp prodeâkiâkisniaspektiruhuveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnicʹkijcp prodeâkiâkisniaspektiruhuveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil |