Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness
An algorithm of finding the eigen frequencies and modes of a cylindrical shell with a variable thickness is proposed. An approximate solution of the corresponding spectral problem is constructed by employing a variational method. The solutions are analysed and compared with existing ones, which were...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Author Affiliations: |
|
| Keywords: | keywords |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/341 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552850798673920 |
|---|---|
| author | Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. |
| author_facet | Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. В. Троценко",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Trotsenko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T11:53:50Z |
| description | An algorithm of finding the eigen frequencies and modes of a cylindrical shell with a variable thickness is proposed. An approximate solution of the corresponding spectral problem is constructed by employing a variational method. The solutions are analysed and compared with existing ones, which were obtained by a direct numerical integration. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:05:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2017, т. 14, №2, 163–171
УДК 539.3
Свободные колебания
цилиндрической оболочки
переменной толщины
Ю.В. Троценко ∗
Институт математики НАН Украины, Киев; trots@imath.kiev.ua
An algorithm of finding the eigen frequencies and modes of a cylindrical
shell with a variable thickness is proposed. An approximate solution of the
corresponding spectral problem is constructed by employing a variational
method. The solutions are analysed and compared with existing ones,
which were obtained by a direct numerical integration.
Запропоновано алгоритм визначення частот i форм власних коливань
цилiндричної оболонки змiнної товщини. Наближений розв’язок вiд-
повiдної спектральної задачi будується на основi варiацiйного методу.
Проведено аналiз розв’язкiв та їх порiвняння з iснуючими розв’язками,
якi отриманi шляхом чисельного iнтегрування вихiдних рiвнянь.
Введение
В настоящей работе рассматривается задача о собственных колебани-
ях тонкостенной круговой цилиндрической оболочки длиной l, ради-
усом R0 и толщиной h(s), непрерывно изменяющейся по образующей.
Изменения толщины оболочки в окружном направлении не происхо-
дят.
Для решения подобных спектральных задач в литературе нашли
широкое применение различного рода численные методы [1], [2]. Так
в работе [2] предлагается разбить интервал интегрирования исходных
уравнений на конечное число подинтервалов. При этом зависимость
h = h(s) заменяется кусочно-постоянной функцией. Решение исход-
ной задачи сводится к построению общих решений уравнений для
каждого участка с постоянной толщиной оболочки и подстановкой
∗Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0117U004077
c© Троценко Ю.В., 2017
164 Троценко Ю. В.
этих решений в граничные условия на торцах оболочки и в условия
сопряжения решений на смежных границах введенных подобластей.
Условия сопряжения обеспечивают непрерывность геометрических и
силовых факторов. В результате этого решение спектральной зада-
чи сводится к решению системы алгебраических уравнений, порядок
которой зависит от числа разбиений интервала интегрирования ис-
ходных уравнений. Основной трудностью при таком подходе явля-
ется построение общих интегралов в подобластях, структура кото-
рых зависит от корней соответствующего характеристического урав-
нения, меняющихся при изменении параметров оболочки и частоты
собственных колебаний.
Эффективность применения вариационного метода к решению спек-
тральных задач теории оболочек постоянной толщины продемонстри-
рована в работах [3], [4]. В данной работе применяется метод Ритца
к решению задачи для цилиндрической оболочки переменной толщи-
ны.
1 Постановка задачи
В дальнейшем изучаются установившиеся гармонические поперечные
колебания оболочки с частотой ω. В этом случае компоненты вектора
перемещений оболочки {u(s, ϕ, t), v(s, ϕ, t), w(s, ϕ, t)} представляются
в виде
u(s, ϕ, t) = u(s) cosnϕ sinωt,
v(s, ϕ, t) = v(s) sinnϕ sinωt,
w(s, ϕ, t) = w(s) cosnϕ sinωt,
(1)
где n – число волн в окружном направлении; s, ϕ – координаты точки
на срединной поверхности оболочки; t – время.
В рамках технической теории оболочек система уравнений в без-
размерных величинах для определения частот и форм колебаний тон-
кой оболочки имеет вид [5]
− d
ds
{
h
[
du
ds
+ ν(nv + w)
]}
− (1− ν)
2
h
(
n
dv
ds
− n2u
)
− λ2hu = 0;
− (1 − ν)
2
d
ds
[
h
(
dv
ds
− nu
)]
+ h
(
n2v + nw + νn
du
ds
)
− λ2hv = 0;
− h
(
nv + w + ν
du
ds
)
+
1
12
d2
ds2
[
h3
(
νn2w − d2w
ds2
)]
+
n2(1− ν)
6
×
Свободные колебания цилиндрической оболочки переменной . . . 165
× d
ds
(
h3
dw
ds
)
− 1
12
h3
(
n4w − νn2 d
2w
ds2
)
− λ2hw = 0;
λ2 =
ρR2
0(1− ν2)ω2
E
,
(2)
где E, ν, ρ – соответственно модуль упругости, коэффициент Пуас-
сона и плотность материала оболочки.
К уравнениям (2) необходимо добавить еще соответствующие гра-
ничные условия, выражающие собой условия упругого закрепления
торцов оболочки.
2 Вариационная формулировка задачи
Для формулировки вариационной задачи воспользуемся принципом
возможных перемещений
δΠ− δA = 0, (3)
где δΠ – вариация потенциальной энергии оболочки, δA – работа
внешних сил на возможных перемещениях.
Общую потенциальную энергию деформации оболочки определя-
ем по формуле [6]
Π =
E
2(1− ν)
∫∫
Σ
[
(ε1 + ε2)
2 − 2(1− ν)
(
ε1ε2 −
ω2
4
)]
hdΣ+
+
Eν2
24(1− ν2)
∫∫
Σ
[(κ1 + κ2)
2 − 2(1− ν)(κ1κ2 − τ2)]h3dΣ.
(4)
Здесь Σ – срединная поверхность оболочки, ε1, ε2, ω, κ1, κ2 и τ –
компоненты деформации срединной поверхности оболочки.
Формула (4) справедлива для оболочки как с постоянной, так и с
переменной толщиной стенки.
В соответствии с принципом Д’Аламбера работа внешних сил на
возможных перемещениях имеет вид
δA = −ρ
∫∫
Σ
(
∂2u
∂t2
δu+
∂2v
∂t2
δv +
∂2w
∂t2
δw
)
hdΣ. (5)
166 Троценко Ю. В.
После отделения угловой координаты и перехода к безразмерным
величинам вариационное уравнение (3) можно представить в следу-
ющей форме:
1
2
δ
{ l∫
0
h
[
(ε1 + ε2)
2 − 2(1− ν)
(
ε1ε2 −
ω2
4
)]
ds+
+
1
12
l∫
0
h3[(κ1 + κ2)
2 − 2(1− ν)(κ1κ2 − τ2)]ds
}
−
− λ
l∫
0
h(uδu+ vδv + wδw)ds = 0,
(6)
где в рамках технической теории оболочек деформации срединной
поверхности оболочки определяются по формулам
ε1 =
du
ds
; ε2 = nv + w; ω = −nu+
dv
ds
;
κ1 = −d
2w
ds2
; κ2 = n2w; τ = n
dw
ds
.
3 Построение решений
Для решения вариационного уравнения (6) представим функции u(s),
v(s), w(s) в виде отрезков обобщенных рядов
u(s) =
N∑
j=1
xjUj(s), v(s) =
N∑
j=1
xj+NVj(s), w(s) =
N∑
j=1
xj+2NWj(s). (7)
Здесь xj (j = 1, 3N) – неопределенные постоянные, Uj, Vj и Wj –
системы координатных функций, которые подчинены лишь геомет-
рическим граничным условиям задачи. Силовые граничные условия
являются естественными граничными условиями для функционала
задачи, и поэтому нет необходимости их априорного выполнения.
В итоге решение исходной задачи сводится к решению спектраль-
ной алгебраической задачи
(A− λ2B) ~X = 0, ~X = (x1, x2, . . . , x3N ) (8)
Свободные колебания цилиндрической оболочки переменной . . . 167
с симметричными матрицами A и B. Симметричность матрицы A
следует из симметричности оператора задачи. Собственные значения
задачи (8) являются верхними границами для первых 3N собствен-
ных значений рассматриваемой спектральной задачи.
В дальнейшем будем предполагать, что оба края оболочки жестко
защемлены. Координатные функции Uj(s), Vj(s) и Wj(s) выберем в
форме:
Uj(s) = Vj(s) = s(l − s)Pj
(
2s
ls
− 1
)
;
Wj(s) = s2(l − s)2Pj
(
2s
ls
− 1
)
; (j = 1, N).
(9)
Здесь Pj(s) – смещенные на единицу по индексу j многочлены Ле-
жандра, вычисление которых и их первых двух производных можно
проводить с помощью рекуррентных соотношений
Pj+2(s) =
1
j + 1
[
(2j + 1)sPj+1(s)− jPj(s)
]
,
P
′
j+2(s) = sP
′
j+1(s) + (j + 1)Pj+1(s),
P
′′
j+2(s) = sP
′′
j+1(s) + (j + 2)P
′
j+1(s),
P1(s) = 1; P2(s) = s, (j = 1, N − 2).
(10)
Для эффективного вычисления элементов матрицы A введем в
рассмотрение дифференциальные операторы следующего вида:
Ψ11(p, q) =
dp
dz
dq
dz
+ ν1n
2pq; Ψ12(p, q) = νnp
dq
dz
− ν1n
dp
dz
q;
Ψ13(p, q) = −νpdq
dz
; Ψ23(p, q) = npq; Ψ22(p, q) = n2pq + ν1
dp
dz
dq
dz
;
Ψ33(p, q) = pq + c2
[(
d2p
dz2
− νn2p
)
d2q
dz2
+
(
n4p− νn2 d
2p
dz2
)
q+
+ 2
(
1− ν
)
n2 dp
dz
dq
dz
]
, z = s, c2 =
h2(s)
12R2
0
,
где ν1 = (1− ν)/2; p и q – произвольные функции.
Элементы матриц A и B, которые расположены на главной диа-
168 Троценко Ю. В.
гонали и выше ее, будут вычисляться по следующим формулам:
ai,j =
l∫
0
hΨ11(Uj , Ui)rds, ai,j+N =
ls∫
0
hΨ12(Vj , Ui)rds,
ai,j+2N =
l∫
0
hΨ13(Wj , Ui)rds, ai+N,j+N =
l∫
0
hΨ22(Vj , Vi)rds,
ai+N,j+2N =
l∫
0
hΨ23(Wj , Vi)rds, ai+2N,j+2N =
l∫
0
hΨ33(Wj ,Wi)rds,
bi,j =
l∫
0
hUjUirds, bi,j+N = bi,j+2N = bi+N,j+2N = 0,
bi+N,j+N =
l∫
0
hVjVirds, bi+2N,j+2N =
l∫
0
hWjWirds.
4 Некоторые результаты расчетов
Приведем некоторые результаты расчета частот и форм собственных
колебаний цилиндрической оболочки по предложенному алгоритму,
полагая при этом, что толщина оболочки изменяется вдоль образую-
щей по следующему закону
h(s) = h0
(
1− a
s
l
)
,
где a – безразмерный параметр изменения толщины оболочки, h0 –
толщина оболочки при s = 0. Все вычисления проводились при ν =
0.3 и Ro/h0 = 100.
В таблице 1 представлены значения первых пяти частот колебаний
оболочки λi, полученных при l/R0 = 10, n = 2, a = 0.9 в зависимости
от числа членов N в разложениях (7). Приведенные результаты рас-
четов свидетельствуют о достаточно быстрой сходимости последова-
тельностей Ритца (7). При этом обеспечивается устойчивость вычис-
лительного процесса при удержании в разложениях до шестидесяти
Свободные колебания цилиндрической оболочки переменной . . . 169
N λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
10 .03931 .09761 .17204 .25268 .33613
12 .03917 .09731 .17134 .25199 .33446
14 .03909 .09714 .17098 .25164 .33392
16 .03904 .09704 .17078 .25146 .33365
18 .03901 .09698 .17066 .25136 .33350
20 .03899 .09694 .17059 .25130 .33343
22 .03897 .09692 .17055 .25127 .33339
24 .03896 .09690 .17053 .25125 .33336
26 .03895 .09689 .17052 .25124 .33335
28 .03895 .09688 .17051 .25123 .33334
30 .03895 .09688 .17050 .25122 .33334
32 .03894 .09687 .17049 .25122 .33333
34 .03894 .09687 .17049 .25122 .33333
Таблица 1. Значения первых пяти частот колебаний оболочки λi, полу-
ченных при l/R0 = 10, n = 2, a = 0.9 в зависимости от числа членов N в
разложениях (7).
координатных функций без потери точности решения алгебраической
системы (8). Это обстоятельство позволяет проводить расчеты частот
и форм собственных колебаний с высокой точностью для достаточно
широкого диапазона входных параметров оболочки. Используемая
подпрограмма для решения обобщенной алгебраической задачи (8)
обеспечивает контроль за точностью ее решения и получение всех ее
собственных значений и собственных векторв без каких-либо суще-
ственных затрат машинного времени.
n/S 4 6 7 8 ∗
8 .2215 .2182 .2170 .2168 .2147
9 .2164 .2127 .2115 .2112 .2089
10 .2213 .2170 .2158 .2153 .2127
Таблица 2. Значения частот λ первого тона колебаний оболочки для раз-
личных значений чисел n, полученных при l/R0 = 1, a = 0.9.
В таблице 2 сравниваются частоты, полученные с использовани-
ем численного метода [2] (Ю.Ю. Швейко) при разном количестве S
равных по длине участков разбиения оболочки и в настоящей работе
170 Троценко Ю. В.
(обозначены звездочкой). При этом считалось, что l/R0 = 1, a = 0.9,
а число волн в окружном направлении n варьировалось. Толщина
оболочки на каждом из участков считалась постоянной и равной по-
лусумме значений толщин на границах соответствующего участка.
Различие между приведенными данными составляет немногим бо-
лее 1% и обусловлено по-видимому недостаточным количеством участ-
ков разбиения.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s/l
W
a=0
0.9
0.5
Рис. 1. Поведение формы собственных колебаний w в зависимости
от параметра a при n = 9 и l/R0 = 1.
Поведение формы собственных колебаний w в зависимости от па-
раметра a при n = 9 и l/R0 = 1 показано на рис. 1. Значение a = 0 со-
ответствует оболочке с постоянной толщиной по ее образующей. Как
и следовало ожидать, при увеличении параметра a наблюдается сме-
щение координаты точки максимума формы в сторону уменьшения
толщины оболочки. Аналогичная картина наблюдается и для форм
колебаний u и v.
Зависимость частоты λ от параметра a и числа волн в окружном
направлении n при l/R0 = 1 представлена на рис. 2.
Таким образом, из приведенных результатов следует, что пред-
ложенный в настоящей работе метод расчета собственных частот и
форм колебаний цилиндрической оболочки с переменной толщиной
по ее образующей обеспечивает необходимую для практических рас-
четов точность вычислительного процесса. Сопоставление получен-
Свободные колебания цилиндрической оболочки переменной . . . 171
5 6 7 8 9 10
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
n
λ 0.5
0.9
a=0
Рис. 2. Зависимость частоты λ от параметра a и числа волн в
окружном направлении n при l/R0 = 1.
ных расчетных данных с данными, приведенными в работе [2] свиде-
тельствует о достоверности получаемых результатов.
[1] Григоренко Я. М., Беспалова Е. И., Китайгородский А. Б., Шин-
карь А. И. Свободные колебания элементов оболочечных конструк-
ций. — К.: Наук. думка, 1986. — 172 с.
[2] Швейко Ю. Ю., Брусиловский А. Д. О собственных колебаниях ци-
линдрических оболочек, подкрепленных поперечными ребрами жест-
кости // Расчеты на прочность. — 1971. — Вып. 15. — С. 312–327.
[3] Троценко В. А., Троценко Ю. В. Решение задачи о собственных коле-
баниях незамкнутой оболочки вращения в условиях ее сингулярного
возмущения // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 415–432.
[4] Троценко В. А., Троценко Ю. В. Равномерно сходящийся метод Ритца
в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме
купола // Акустичний вiсник. — 2008. — 11, № 2. — С. 45–57.
[5] Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. —
М.–Л.: Гостехиздат, 1949. — 784 с.
[6] Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судостроение,
1962. — 431 с.
1. Голуб А.П., Лисенко Л.О.
2. Кіфоренко Б.М., Ткаченко Я.В., Васильєв І.Ю.
Постановка задачі
Оптимальні керування
Результати розрахунків
3. Коломійчук О.П., Новицький В.В.
Вступ
Ідентифікація системи з кососиметричною невиродженою матрицею коефіцієнтів методом квазілінеаризації
4. Кононов Ю.Н., Джуха Ю.А.
Введение
Постановка задачи
Метод решения
Собственные частоты совместных колебаний упругой мембраны и жидкости
Устойчивость осесимметричных колебаний упругой мембраны при перегрузке
5. Константінов О.В., Новицький В.В.
Математична модель механічної системи ``резервуар – рідина з вільною поверхнею''
Побудова програмного керування та керування зі зворотним зв'язком
Результати чисельного моделювання
6. Лимарченко О.С., Нефьодов О.О.
Вступ
Математична модель системи
Результати чисельного моделювання
Висновки
7. Лимарченко В.О., Лимарченко О.С., Сапон М.М.
Вступ
Математична модель системи
Аналіз числових прикладів
Висновки
8. Луковський І.О.
Крайова задача теорії просторового руху резервуара, цілком заповненого ідеальною нестисливою рідиною
Варіаційний принцип у задачі про просторовий рух пружного резервуара, цілком заповненого рідиною
Визначення сил взаємодії між пружними стінками резервуара і рідиною
9. Мазко О.Г., Кусій С.М.
Вступ
Допоміжні твердження
Динамічний регулятор по вимірюваному виходу
Зважений рівень гасіння обмежених збурень.
Динамічний регулятор зі збуреннями
Дискретні системи з керованими і спостережуваними виходами
Приклад. Двомасова механічна система
Висновок
10. Працьовитий М.В., Свинчук О.В.
Вступ
Основний об'єкт
Розподіл значень функції f(x) при заданому розподілі випадкового аргументу
11. Сатур О.Р.
Існування граничних координат
Нерухомі точки динамічної системи конфлікту з притягальною взаємодією
12. Солодун А.В.
Постановка задачи
Нелинейные модальные системы
Модальные представления и
Кинематические и динамические уравнения
Нелинейная форма модальных уравнений
Бесконечномерная система нелинейных асимптотических модальных уравнений третьего порядка
Асимптотика Моисеева-Нариманова
Общие бесконечномерные нелинейные асимптотические модальные уравнения
13. Сосницький C.П.
Рівняння руху для обмеженої задачі трьох тіл
Про деякі важливі рівності в еліптичній обмеженій задачі трьох тіл
Про рух малої частки по координаті
14. Троценко Ю.В.
Постановка задачи
Вариационная формулировка задачи
Построение решений
Некоторые результаты расчетов
15. Тугай Г.В.
Попередні відомості
Побудова матриці Якобі, асоційованої з сингулярно збуреним оператором
Висновки
16. Raynovskyy I.A., Timokha A.N.
Introduction
Statement of the problem
Linear damping coefficients
Steady-state resonant solution
Response curves in the (/11,A,B) space
Conclusions
17. Timokha A.N.
Statement
Almost steady-state asymptotic solution
Conclusion
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-341 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:05:59Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/02/dc4daa205311b23256abb12befb74402.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3412018-02-13T11:53:50Z Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness Свободные колебания цилиндрической оболочки переменной толщины Вільні коливання циліндричної оболонки змінної товщини Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. An algorithm of finding the eigen frequencies and modes of a cylindrical shell with a variable thickness is proposed. An approximate solution of the corresponding spectral problem is constructed by employing a variational method. The solutions are analysed and compared with existing ones, which were obtained by a direct numerical integration. Предложен алгоритм определения частот и форм собственных колебаний цилиндрической оболочки переменной толщины. Приближенное решение соответствующей спектральной задачи строится на основе вариационного метода. Проведен анализ решений и их сравнение с существующими решениями, которые получены путем численного интегрирования исходных уравнений. Запропоновано алгоритм визначення частот i форм власних коливань цилiндричної оболонки змiнної товщини. Наближений розв’язок вiдповiдної спектральної задачi будується на основi варiацiйного методу. Проведено аналiз розв’язкiв та їх порiвняння з iснуючими розв’язками, якi отриманi шляхом чисельного iнтегрування вихiдних рiвнянь. Інститут математики НАН України 2017-10-31 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/341 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 2 (2017): Mathematic problems of mechanics and computational mathematics; 163-171 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 2 (2017): Математические проблемы механики и вычислительной математики; 163-171 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 2 (2017): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 163-171 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/341/352 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Trotsenko, Yu. V. Троценко, Ю. В. Троценко, Ю. В. Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| title | Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| title_alt | Свободные колебания цилиндрической оболочки переменной толщины Вільні коливання циліндричної оболонки змінної товщини |
| title_full | Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| title_fullStr | Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| title_full_unstemmed | Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| title_short | Free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| title_sort | free oscillations of a cylindrical shell of the variable thickness |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/341 |
| work_keys_str_mv | AT trotsenkoyuv freeoscillationsofacylindricalshellofthevariablethickness AT trocenkoûv freeoscillationsofacylindricalshellofthevariablethickness AT trocenkoûv freeoscillationsofacylindricalshellofthevariablethickness AT trotsenkoyuv svobodnyekolebaniâcilindričeskojoboločkiperemennojtolŝiny AT trocenkoûv svobodnyekolebaniâcilindričeskojoboločkiperemennojtolŝiny AT trocenkoûv svobodnyekolebaniâcilindričeskojoboločkiperemennojtolŝiny AT trotsenkoyuv vílʹníkolivannâcilíndričnoíobolonkizmínnoítovŝini AT trocenkoûv vílʹníkolivannâcilíndričnoíobolonkizmínnoítovŝini AT trocenkoûv vílʹníkolivannâcilíndričnoíobolonkizmínnoítovŝini |