Method of iterpolatory type functions in Banach spaces

We study the problem on how to reuse previously calculated values ofapproximated function in the scheme of iteratively refining sequence ofapproximations provided by the interpolatory type formulas. The proposedmethod is based upon a collocation of the current–step’s interpolant tothe given function...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Ситник, O., Ситник, Д. О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2015
Online Access:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/35
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Download file:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552559290351616
author	Ситник, O. Ситник, Д. О.
author_facet	Ситник, O. Ситник, Д. О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Д. О. Ситник", "institution": "Iнститут математики НАН України" } ]
author_sort	Ситник, O.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-23T12:01:13Z
description	We study the problem on how to reuse previously calculated values ofapproximated function in the scheme of iteratively refining sequence ofapproximations provided by the interpolatory type formulas. The proposedmethod is based upon a collocation of the current–step’s interpolant tothe given function on the set of points where the function values werealready evaluated during the calcualtion of previous-step’s approximations.Theoretical considerations are supported by several numerical examples.
first_indexed	2026-08-04T01:01:21Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 140–159 УДК 517.518.[8+34+85]:517.982.22 Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням iнтерполянтiв у банахових просторах Д.О. Ситник Iнститут математики НАН України, Київ; sytnik@imath.kiev.ua We study the problem on how to reuse previously calculated values of approximated function in the scheme of iteratively refining sequence of approximations provided by the interpolatory type formulas. The proposed method is based upon a collocation of the current–step’s interpolant to the given function on the set of points where the function values were already evaluated during the calcualtion of previous-step’s approximations. Theoretical considerations are supported by several numerical examples. В статье изучается проблема повторного использования ранее вычис- ленных значений аппроксимируемой функции для нахождения ее бо- лее точных приближений в схеме итеративно уточняющейся последо- вательности аппроксимаций интерполяционного типа. Предложен ме- тод решения этой проблемы, который основан на принципе коллокации текущего интерполянта заданой функции в точках, где значения этой функции уже были вичислены во время построения аппроксимаций на предыдущих шагах. Теоретические выкладки подтверждены числен- ными экспериментами. Вступ У бiльшостi прикладних задач, де використовується апроксимацiя функцiй, доводиться мати справу iз ситуацiєю, коли немає можливо- стi точно апрiорно оцiнити похибку тiєї чи iншої апроксимацiйної схе- ми. Єдиною альтернативою у такiй ситуацiї є використання апостерi- орних методiв оцiнки похибки. Апостерiорнi методи оцiнки похибки, c© Д. О. Ситник, 2015 Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 141 як правило, спираються на обчислення декiлькох апроксимацiйних наближень функцiї, що вiдповiдають рiзним значенням параметра дискретизацiї. Якщо отримана апостерiорна оцiнка похибки переви- щує задану, то вибирається бiльш оптимальний в сенсi точностi на- бiр значень параметра дискретизацiї i отримується нова апостерiорна оцiнка. Подiбний процес iтерацiйно продовжується до моменту, поки не буде досягнено необхiдної точностi. Наочним прикладом змальо- ваного пiдходу з апостерiорними оцiнками є застосування квадрату- ри для обчислення визначеного iнтегралу з деякою наперед заданою точнiстю. На практицi такий пiдхiд призводить до того, що деяка кiлькiсть точних значень функцiї, обчислених на промiжних кроках iтерацiйного алгоритму, має суто допомiжний характер i нiяк не ви- користовується при побудовi фiнального наближення. Ми пропонуємо схему, яка дозволяє бiльш ефективно використо- вувати попередньо обчисленi наближення функцiї пiд час обчислен- ня її бiльш точних апроксимацiйних наближень. Це дає можливiсть вiдчутно зменшити кiлькiсть операцiй прямого обчислення значень функцiї у iтерацiйних алгоритмах, подiбних до описаного вище, i та- ким чином призводить до приросту швидкодiї у випадку, коли такi операцiї є "коштовними"в обчислювальному сенсi. Запропонована нами схема iстотно використовує той факт, що ви- браний апроксимант – це iнтерполяцiйний полiном побудований по деякiй лiнiйно незалежнiй системi функцiй, визначених на I ⊆ R, та- кий, що: 1) наявна теоретична оцiнка похибки апроксимацiї має гло- бальний характер; 2) послiдовнiсть iнтерполяцiйних полiномiв реалi- зує апроксимацiйну властивiсть у заданому просторi функцiй. Запро- понований у роботi пiдхiд — досить загальний, вiн може бути застосо- ваний до рiзних апроксимацiйних формул, серед яких полiномiальна iнтерполяцiя, Sinc–апроксимацiя, тригонометричнi наближення та iн. 1. Постановка задачi Нехай V ≡ V (T,X) – лiнiйний простiр функцiй x(t), t ∈ T зi зна- ченнями у банаховому просторi (X, ‖ · ‖X) такий що вiдображення φ : t→ ‖x(t)‖X належить до банахового простору V (T,R). Припустимо, також, що ∀x ∈ V та будь-якого фiксованого дода- тного ε ∈ R+ iснує скiнченний базис ( φ1, φ2, . . . , φn(ε) ) ∈ V (T,R), 142 Д. О. Ситник n(ε) ∈ N та пов’язаний з ним iнтерполянт C〈φ1,φ2,...,φn〉x = n∑ k=1 x (tk)φk (t) (1) де ti ∈ Λ (φ1, φ2, . . . , φn), для якого E〈φ1,φ2,...,φn〉(x) ≡ ∥∥x− C〈φ1,φ2,...,φn〉x ∥∥ V < ε. (2) Тут ‖·‖V — це норма у просторi V , визначена наступним чином ‖x‖V = ‖‖x(t)‖X‖ , де ‖ · ‖ — норма V (T,R). Множину Λ (φ1, φ2, . . . , φn) вузлiв ti, i = 1, n називатимемо iнтерполяцiйною сiткою для базису φ1, φ2, . . . , φn. Простiр V , обладнаний щойно введеною нормою ‖·‖V , є банаховим. На додачу до поелементної похибки (2) зручно також мати позначення для глобальної оцiнки похибки E〈φ1,φ2,...,φn〉 ≡ sup x∈V { E〈φ1,φ2,...,φn〉(x) } . Припустивши, що нам вiдомо, як по заданiй похибцi ε > 0 з (2) побудувати в просторi V iнтерполянт (1), сформулюємо задачу, яка дослiджуватиметься далi в роботi: За заданою спадною послiдовнiстю похибок {εi}Ni=1, побудувати послiдовнiсть наближень (1) — (2) таких, що для побудови кожно- го потрiбно не бiльше ni = n (εi) рiзних значень x(t) i при цьому за- гальна кiлькiсть S(N) обчислених значень функцiї x(t) є мiнiмаль- ною. Подiбна задача оптимiзацiї стає актуальною у випадку, коли об- числювальна складнiсть процедури знаходження значень x(t) пере- важає сукупну обчислювальну складнiсть iнших операцiй при по- будовi наближення (1). В такому випадку загальна обчислювальна складнiсть i, як наслiдок, ефективнiсть знаходження N послiдовних наближень прямо залежить вiд S(N). Залишаючись в рамках запро- понованого вище iнструментарiю, легко бачити, що для довiльного розв’язку сформульованої задачi S(N) ≤ S(N) ≤ S(N). Максимальне значення S(N) = N∑ i=1 ni досягатиметься коли у сiток пов’язаних iнтер- полянтами (1) всi вузли рiзнi . Мiнiмальне значення S(N) = nN до- сягатиметься, коли сiтки Λi = Λ (φi1, φi2, . . . , φimi ) вкладаються одна в одну Λ1 ⊆ Λ2 ⊆ . . . ⊆ ΛN , (3) Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 143 i, при цьому, спадання послiдовностi εi узгоджене з властивостями апроксимант так, щоб розмiрнiсть вiдповiдних iнтерполяцiйних ба- зисiв була оптимальною mi = ni для всiх i = 1, N . Якщо правило побудови базису по заданому εi однотипне, то вкла- дення Λi ⊂ Λi+1 досягається при mi+1 = qimi, qi ∈ N≥2. Внаслiдок того, що на кожному кроцi кiлькiсть вузлiв mi як мiнiмум подвою- ється, послiдовнiсть похибок Ei (див. формулу (2)) завжди матиме строго визначену у сенсi швидкостi спадання поведiнку. Це спостере- ження дає чiтке розумiння того, яку асимптотику потрiбно вимагати вiд εi для того, щоб S(N) = S(N). Так для випадку Sinc–апроксимацiї на R [15] або полiномiальної iнтерполяцiї по чебишевських вузлах на [a, b] ⊂ R виконання (3) еквiвалентно нерiвностi εi ≤ ce−bpi . Сталi c, b ∈ R>0 залежать вiд характеристик простору V , а числа pi ∈ N залежать вiд qi ≥ 2. Подiбнi обмеження можна отримати i для iн- ших вiдомих схем, що вкладаються у (1) – (2), прямим застосуван- ням вiдповiдних апрiорних оцiнок. Вiдомий спосiб обходу проблеми зi швидкiстю спадання εi, який полягає у використаннi рiзних апрокси- мацiйних схем у залежностi вiд спiввiдношення мiж εi та εi+1 був за- пропонований Кронродом [12] i розвинений в роботах Петерсона [19]. Iдея пiдходу полягає у специфiчному виборi послiдовностi вкладених сiток так, щоб кожна Λi була iнтерполяцiйною сiткою, асоцiйованою з деяким класичним полiномiальним iнтерполянтом. Рiзнi сiтки вiд- повiдають полiномiальним iнтерполянтам рiзних типiв, якi, взагалi кажучи мають рiзну (iнколи навiть за порядком) оцiнку похибки. Подiбно до схем, згаданих вище, такi умови на вузли iнтерполяцiї, на жаль, строго обмежують порядок зростання послiдовностi ni, яка у цьому випадку [19] знову зростає не повiльнiше, нiж c2qi , qi ∈ N≥2. То- му такий пiдхiд тiльки частково вирiшує сформульовану вище задачу пiдбору оптимальної в сенсi величини S(N) послiдовностi наближень при заданiй послiдовностi {εi}Ni=1. У застосуваннях до чисельного розв’язування еволюцiйних задач для диференцiальних рiвнянь часто виникає ситуацiя, коли викори- стовуються рiзнi у сенсi порядку спадання похибок методи набли- ження по часовiй та просторовiй компонентi. Наближення просторо- вої компоненти розв’язку за допомогою методу скiнченних елементiв (МСЕ), наприклад, зазвичай є менш ефективним у сенсi похибки i, водночас, має набагато вищу обчислювальну складнiсть у порiвняннi доступними методами [9] наближення по часу. Тому метод наближе- ння часової компоненти вибирається оптимальним у сенсi швидко- 144 Д. О. Ситник стi спадання похибки для мiнiмiзацiї загальної кiлькостi обчислень. У такiй ситуацiї перехiд вiд εi до εi+1 у послiдовностi похибок, яка (при використанi МСЕ динамiчно) визначається чисельним методом по просторовiй компонентi, може бути, вiдповiдно до апрiорної оцiн- ки, наприклад, забезпеченим незначним збiльшенням параметру дис- кретизацiї ni методу наближення часової компоненти. При цьому для мiнiмiзацiї S(N) бажано повторно використати ранiше обчисленi зна- чення просторової компоненти наближення. За умови їх правильного застосування згаданi тут методи дозволяють повторно використати тiльки частину ранiше обчислених значень. Для того, щоб знайти близький до оптимального розв’язок сфор- мульованої задачi у наступнiй главi ми дослiдимо метод побудови деякого наближення до iнтерполянту C〈φ1,φ2,...,φn〉(t)x. Воно отриму- ється за допомогою колокацiї цього iнтерполянту у точках, де зна- чення функцiї x(t) — вiдомi. Розташування цих точок не залежить вiд сiтки Λ (φ1, φ2, . . . , φn) i може бути вибрано так, щоб спiвпадало з ранiше обчисленими значеннями x(t). 2. Iнтерполяцiя функцiї за її значеннями поза iн- терполяцiйною сiткою Задача наближення функцiї за її значеннями заданими на деякiй сi- тцi вiдмiннiй вiд тiєї, що асоцiйована з iнтерполянтом часто виникає у цифровiй обробцi сигналiв та у прикладних сферах, що пов’язанi з обробкою та розпiзнаванням зображень. Одразу зазначимо, що у згаданих застосуваннях та теоретичних дослiдженнях, з ними пов’я- заних, прийнято вживати термiн “вiдновлення”, на вiдмiну вiд вжи- ваного вище термiну “наближення” (апроксимацiя). Рiзниця полягає у тому, що вiдновлення передбачає можливiсть представлення шука- ної функцiї у виглядi розкладу в ряд по зчисленному базису. Такi вимоги не вiдповiдають припущенням глави 1, тому ми розрiзняємо поняття “вiдновлення” (точне або неточне) та поняття “наближення” яке є бiльш загальним. Першi згадки стосуються проблеми вiдновлення функцiї з обме- женим частотним спектром за її значеннями на нерiвномiрнiй сi- тцi, використовуючи для цього нерiвномiрний аналог розкладу в ряд Фур’є [5]. Бiльшiсть наступних робiт присвячених данiй тематицi сто- сується точного вiдновлення функцiї f ∈ Vj ⊂ Lp по її значеннях, що заданi на деякiй нерiвномiрнiй сiтцi (див., наприклад, [2,3,13,18] та бi- Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 145 блiографiю в цих джерелах). Термiн “нерiвномiрна сiтка”, який також часто використовується у роботах по вiдновленню, тут означатиме: сiтка, яка для заданого C(t) з (1) не спiвпадає з iнтерполяцiйною. Велика кiлькiсть бiльш сучасних робiт присвячена задачам нето- чного (чисельного) вiдновлення функцiї [1, 4, 6, 7, 20, 23, 24]. Об’єдну- ючою рисою згаданих робiт є те, що всi вони базуються на iдеологiї сформульованiй у [5]. Ця iдеологiя полягає у побудовi та дослiджен- нi нових апроксимацiйних операторiв пов’язаних iз заданою нерiв- номiрною сiткою Λ′. Подальше чисельне вiдновлення f(t) здiйсню- ється використовуючи iтерацiйне рiвняння пов’язане з побудованим iнтерполянтом. Альтернативна технiка вiдновлення невiдомих зна- чень функцiї f ∈ L2 за вiдомими значеннями деяких заданих лiнiй- них функцiоналiв вiд цiєї функцiї була запропонована у роботi [18]. Подiбно до iнших робiт тут автор розглядає задачу точного вiдновле- ння функцiї f (умови точного вiдновлення для бiльш широкого класу функцiй дослiджуються у [3]), використовуючи для цього пiдхiд по- дiбний до колокацiї. Далi ми запропонуємо метод наближення функцiї за її значення- ми на нерiвномiрнiй сiтцi та знайдемо оцiнку похибки такого методу, використовуючи iнструментарiй визначений у главi 1. Лема 2.1. Припустимо, що для будь-якого x ∈ V iснує iнтер- полянт C (t)x = C〈φ1,φ2,...,φn〉 (t)x визначений за допомогою (1) на сiтцi Λ = {t1, t2, . . . , tn} та такий, що похибка En(x) ≡ ‖x− Cx‖V цього iнтерполянту задовольняє нерiвнiсть En(x) ≤ ε ‖x‖V , (4) з деяким додатнiм ε < 1. Нехай для деякого заданого x ∈ V на мно- жинi T визначена ще одна сiтка Λ′ = {t′1, t′2, . . . , t′n}, причому iснує y(t) ∈ V таке, що x(t′i) = y(ti), для всiх i = 1, 2, . . . n. Тодi iснує елемент x′ ∈ V, для якого виконуються рiвностi C (t′i)x ′ = x(t′i), i = 1, n та такий, що ‖x′‖V ≤ 1 1− ε ‖y‖V (5) Доведення. Зрозумiло, що твердження леми є тривiальним для випадку коли Λ′ = Λ, тому далi вважатимемо, що сiтки Λ та Λ′ не спiвпадають. 146 Д. О. Ситник Згiдно з умовою леми iснує функцiя y(t) ∈ V така, що y(ti) = x(t′i) = bi, i = 1, n, а отже норма функцiї y1(t) ≡ (I − C(t))y ‖y1‖V = ‖(I − C)y‖V ≤ ε‖y‖V , причому y1(t) ∈ V . Нехай y2(t) ≡ (I − C(t))y1, ця функцiя також належить до V , оскiльки оператор C перетворює згаданий простiр "в себе". Тому ‖y2‖V = ∥∥(I − C)2y ∥∥ V ≤ ε2‖y‖V . Продовжуючи цей процес, отримаємо аналогiчнi нерiвностi для норм степенiв (I − C)ky, k ∈ N . Сукупнiсть отриманих нерiвностей, той факт, що y ∈ V , а також банаховiсть V гарантують сильну збiжнiсть ряду з yi до деякого x′, що належить V x′(t) = ∞∑ k=0 (I − C(t))ky, (6) причому ‖x′‖V ≤ ∞∑ k=0 εk ‖y‖V = 1 1− ε ‖y‖V . Для того щоб переконатись у виконаннi C (t′i)x ′ = x(t′i) достатньо просумувати (6) ∞∑ k=0 (I − C(t))ky = (I − (I − C(t)))−1y = C−1(t)y. Розклад (6) має невелику практичну цiннiсть з точки зору набли- ження функцiї x(t) за її значеннями на Λ′, оскiльки цей розклад за- лежить вiд невiдомої y(t) i тому не пiдходить для побудови згаданого наближення. Маючи на метi отримання дискретного аналогу (6), введемо до розгляду оператор D (Λ′) : Xn → Xn, який ставить у вiдповiднiсть впорядкованому набору елементiв zi ∈ X, i = 1, n вiдповiдний набiр значень iнтерполянта C на сiтцi Λ′ за правилом D (Λ′) z = Φz, Φ =   φ1(t ′ 1) φ2(t ′ 1) · · · φn(t ′ 1) φ1(t ′ 2) φ2(t ′ 2) · · · φn(t ′ 3) ... ... . . . ... φ1(t ′ n) φ2(t ′ n) · · · φn(t ′ n)   , z =   z1 z2 ... zn   . Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 147 Нехай x = (x(t1), . . . , x(tn)) T та x′ = (x′(t1), . . . x′(tn)) T — невiдомi вектори значеннь x(t) та x′(t) на Λ, а b = (x(t′1), . . . , x(t ′ n)) T — вiдомий вектор значень x(t) на Λ′. Лема 2.2. Якщо для деяких заданих C(t), x(t) ∈ V з (1) та Λ′ n виконуються всi умови леми 2.1, то похибка наближення x′ x′ = ∞∑ k=0 (I− Φ)kb, (7) значень функцiї x(t) на сiтцi Λn за її значеннями b на Λ′ n задоволь- няє нерiвнiсть ‖x− x′‖n ‖x‖n ≤ K ε 1− ε , (8) де K — константа, що залежить вiд C(t), Λ′ та узгодженостi норми ‖ · ‖n простору Xn з нормою V. Доведення. Шуканий вектор x′ задовольняє рiвняння D (Λ′)x′ = b, яке є фактично колокацiєю невiдомої функцiї x′(t) на Λ за її значен- нями на Λ′. Розв’язок рiвняння може бути представлений у виглядi x′ = D−1 (Λ′)b =(I− (I−D (Λ′))) −1 b = = ∞∑ k=0 (I− Φ)kb. Збiжнiсть ряду є наслiдком поточкової збiжностi ряду (6), а отже цей ряд збiгається для всiх b для яких збiгається (6). Нехай b′ = (C(t′1)x, . . . C(t ′ n)x) T , тодi за означенням D (Λ′) Φx = b′, а, використовуючи результати леми 2.1, Φx′ = b. Звiдки, вiднявши рiвностi почленно, отримуємо Φ (x− x′) = b′ − b, x− x′ = Φ−1 (b′ − b) . 148 Д. О. Ситник Перейшовши до норм, матимемо ‖x− x′‖n = ∥∥Φ−1 (b′ − b) ∥∥ n = ∥∥∥∥∥ ∞∑ k=0 (I− Φ)k (b′ − b) ∥∥∥∥∥ n ≤ K ε ‖x‖n 1− ε . Теорема 2.1. Припустимо, що для будь-якого x ∈ V iснує iн- терполянт C (t)x, визначений за допомогою (1) на сiтцi Λ = {t1, t2, . . . , tn} та такий, що похибка En(x) ≡ ‖x− Cx‖V цього iн- терполянта задовольняє нерiвнiсть En(x) ≤ ε ‖x‖V , (9) з деяким додатнiм ε < 1. Нехай на заданiй сiтцi Λ′ = {t′1, t′2, . . . , t′n}, вiдомi значення x ∈ V, причому ∃ y(t) ∈ V таке, що x(t′i) = y(ti) i = 1, 2, . . . n. (10) Тодi iснує апроксимант C′ (t)x ≡ n∑ k=1 x′kφk (t) , (11) що побудований на основi наближених значень x′k = x′(tk) функцiї x(t) обчислених з рiвняння Φx′ = b, (12) де x′ = (x′1, . . . x ′ n) T , b = (x(t′1), . . . , x(t ′ n)) T . Похибка E ′(x) наближе- ння C′(t)x задовольняє нерiвнiсть E ′(x) ≡ ‖x− C′x‖V < ε ( 1 + K1L 1− ε ) ‖x‖V , (13) де L — деяка, залежна вiд базису φk, стала, а K1 – стала залежна вiд C(t), Λ′ та норм просторiв Xn, V. Доведення. Згiдно з лемою 2.1 iснує x′ ∈ V , значення якого на сiтцi Λ задовольняють рiвняння (12). Разом з тим лема 2.2 гарантує Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 149 iснування розв’язку (12) як суми ряду (7), який є наближенням x(t) на Λ. Лишилось довести виконання нерiвностi (13): ‖x− C′x‖V = ‖x− Cx+ Cx− C′x‖V ≤ ‖x− Cx‖V + ‖Cx− C′x‖V ≤ En(x)+ n∑ k=1 ‖φk (t) (x(tk)− x′(tk))‖V = En(x)+ n∑ k=1 ‖φk (t)‖ ‖xk − x′k‖X ≤ ε ‖x‖V +K1L ε ‖x‖V 1− ε = ε ( 1 + K1L 1− ε ) ‖x‖V . Доведення теореми спирається на леми 2.1 та 2.2, а тi використо- вують умову (10). Вона є аналогом умов приналежностi елементу x до простору iнварiантних вiдносно зсуву у абстрактнiй теорiї нерiв- номiрного вiдновлення [8, 10]. Умови такого роду залежать вiд сiтки Λ′, характеристик простору V та конкретної реалiзацiї iнтерполянта C(t)x. Для випадку Sinc–апроксимацiї такi умови встановлюються теоремою 3.1.6 [21, с. 140], їх застосування до схеми запропонованої в данiй главi дослiджується у статтi [16]. Поклавши T = L2, X = C та надiливши утворений векторний простiр стандартною L2 нормою, отримаємо V = V (L2,C). Бiльшiсть статей присвячених вiдновленню функцiї за її вiдомими значеннями на нерiвномiрнiй сiтцi Λ′ має справу саме з таким V , розглядаючи в якостi базису для iнтерполянта C(t) базис, який спирається виклю- чно на вузли Λ′. В якостi базисних функцiй використовуються Sinc– функцiї [2, 7], сплайни [4, 11] або класична система Фур’є [1]. Умо- ва (9) гарантує, що базис {φk} — фрейм [5] з асоцiйованим фрейм– оператором для якого iснує обмежений спряжений оператор (див. [2] для огляду по теорiї фреймiв). Тому, для того, щоб побачити ана- логiю зi згаданими вище роботами по нерiвномiрному вiдновленню, достатньо для x ∈ V (L2,R) додатково вимагати x(t) = ∞∑ k=1 ckφk (t), де φk ∈ L2, {ck} ∈ l2(Z). При такому x(t) умова (10) гарантовано викону- ється, а отже вiдновлення x(t) за допомогою колокацiї (11)–(12) стає еквiвалентним вiдновленню з використанням базису побудованого на Λ′ (у деяких випадках перетворення реалiзуюче таку еквiвалентнiсть може бути виписане явно, див., наприклад, [7, Lemma 4]). Ключовою з точки зору цiєї роботи характеристикою пiдходу, ви- кладеного вище, є можливiсть його застосування до просторiв де зчи- 150 Д. О. Ситник сленний базис ϕk не є точним. До таких належать простори Хар- дi H1(Dd), пов’язанi з експоненцiально-збiжними Sinc методами [21]. Iншою важливою перевагою в порiвняннi з iснуючими методами не- рiвномiрного вiдновлення є те, що сформульований пiдхiд побудови C′(t)x використовує тiльки базис асоцiйований з iнтерполянтом C(t), апроксимацiйнi властивостi якого вiдомi i не залежать вiд вибору Λ′. Це поширює сферу застосування подiбних методiв нерiвномiрного на- ближення (яке, строго кажучи, вже не являється вiдновленням) на апроксимацiю за допомогою класичних iнтерполяцiйних полiномiв. Вiдмова вiд застосування Λ′ на користь iнтерполяцiї по Λ є вирi- шальним кроком при використаннi класичних полiномiальних iнтер- полянтiв [14]. Збiжнiсть ряду (6), звiсно, залежить вiд Λ′, але алгоритм обчисле- ння x′ з використанням iншого наближення розв’язку (12), зокрема усiченого ряду (6) залишатиметься стiйким по Λ′ якщо ε з (9) — до- сить мале (для порiвняння див. властивостi збiжностi подiбного ряду в [6, 7]). Наступнi наслiдки характеризують вклад похибок вiдомих значень x(t) на Λ′ та похибки розв’язування колокацiйної системи (12) у фiнальну похибку методу. Наслiдок 2.1. Нехай для деякого xδ ∈ V, що задовольняє нерiв- нiсть ‖x− xδ‖V ≤ δ ‖x‖V , виконуються всi умови теореми 2.1. Тодi апроксимант C′(t)xδ буде наближенням x(t), похибка якого задо- вольняє оцiнку ‖x− C′xδ‖V ‖x‖V ≤ ε ( 1 + K1L 1− ε ) + δmin { 1, K1L 1− ε } Доведення. З одного боку, ‖x− C′xδ‖V = ‖x− Cx+ Cx − C′xδ‖V ≤ ‖x− Cx‖V+‖Cx− C′xδ‖V , ≤ ε ‖x‖V +K1L ε+ δ 1− ε ‖x‖V , а з iншого — ‖x− C′xδ‖V = ‖x− xδ + xδ − C′xδ‖V ≤ ‖x− xδ‖V + ‖C′xδ − xδ‖V ≤ (δ + ε) ‖x‖V +K1L ε ‖x‖V 1− ε . Об’єднавши щойно виведенi нерiвностi в одну, отримаємо шукану оцiнку. Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 151 Похибка застосування скiнченного аналогу (6) характеризується наступним чином. Наслiдок 2.2. Замiна точного розв’язку (6) рiвняння (12) його наближенням x′′(m) ≡ (x′1(m), . . . x′n(m)) T x′′(m) = m∑ k=0 (I− Φ)kb, (14) призводить до того, що похибка E ′′ m(x) апроксиманту C′′(t)x, який визначається замiною у (11) x′k на x′′k(m) набуває вигляду E ′′ m(x) ≡ ‖x− C′′x‖V ≤ ε 1− ε (K ‖x‖V + εm ‖b‖n) . (15) Доведення. Позначимо Φm = ( m∑ k=0 (I− Φ)k )−1 i, подiбно до леми 2.2, запишемо рiвностi, якi виконуються для векторiв x та x′′ Φx = b′, Φmx′′ = b. Матрицi Φ,Φm — невиродженi, а тому x− x′′ = Φ−1b′ − Φ−1 m b = Φ−1 (b′ − b) + Φ−1b− Φ−1 m b = Φ−1 (b′ − b) + ∞∑ k=m+1 (I− Φ)kb. Перейшовши до норм, матимемо ‖x− x′′‖n ≤ ∥∥Φ−1 (b′ − b) ∥∥ n + ∥∥∥∥∥ ∞∑ k=m+1 (I− Φ)kb ∥∥∥∥∥ n ≤Kε ‖x‖V 1− ε + εm+1 1− ε ‖b‖n . З точки зору обчислювальної складностi представлення розв’язку рiвняння (12) рядом (14) не обов’язково буде найоптимальнiшим. Для досить малих n (для яких ε близький до 1) цей ряд збiгатиметься по- вiльно. В таких випадках пряме обернення Φ буде бiльш ефективним у сенсi кiлькостi обчислювальних операцiй. 152 Д. О. Ситник 3. Алгоритм методу У главi 2 ми показали, як, маючи досить точну в сенсi (9) iнтер- поляцiйну формулу, побудувати наближення до деякої функцiї x(t), використовуючи її значення на нерiвномiрнiй по вiдношенню до iн- терполянта сiтцi. Розроблений метод дає можливiсть побудувати по- слiдовнiсть апроксимантiв C′ i(t), i = 1, N , якi є розв’язком задачi cформулюваної у главi 1. Метод побудови C′ i(t) не накладає обмежень на структуру сiтки Λ′ i, але вибiр сiтки впливає на точнiсть наближе- ння C′ i(t) через величину K1 з теореми 2.1. Ця константа залежить вiд кiлькостi вузлiв ni та вiдстанi мiж вузлами Λ′ i й вiдповiдними їм Λi. Тому нову сiтку Λ′ i+1 можна побудувати на основi iснуючої Λ′ i додаванням ni+1 − ni вузлiв. Такий спосiб побудови послiдовно- стi сiток та апроксимантiв C′ i(t), наближаючих x(t), буде близьким до оптимального (для якого S(N) = S(N) ≡ ∑N i=1 ni), оскiльки всi попередньо обчисленi значення x(t) будуть повторно використовува- тись у подальших наближеннях. Перед тим, як формулювати алго- ритм, що використовуватиме такий пiдхiд до побудови послiдовностi C′ i(t), з’ясуємо характер залежностi кiлькостi вузлiв сiтки вiд фiналь- ної похибки наближення з використанням C′(t), яку позначатимемо ε′ ∈ [0; 1). Похибка апроксиманту C′(t) повинна задовольняти нерiвнiсть E ′(ε) ≡ ε ( 1 + K1L 1− ε ) ‖x‖V < ε′. (16) Перейшовши до рiвностi та спростивши, отримаємо квадратне рiвня- ння вiдносно ε: ε2 − (K1L+ 1 + ε′)ε+ τ = 0, τ ≡ ε′/ ‖x‖V . Менший розв’язок τc цього рiвняння матиме вигляд τc = K1L+ τ + 1− √ (K1L+ τ + 1) 2 − 4τ 2 . Звiдки випливає оцiнка для розв’язку (16) вiдносно ε: ε ≤ τ K1L+ 1 + τ ≤ τc. (17) Формула (17) дає вiдповiдь на питання скiльки додаткових по вiдно- шенню до оптимальної кiлькостi S(N) явних обчислень x(t) потрiбно Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 153 для побудови послiдовностi C′ i(t), так, щоб похибки ε′i апроксимантiв C′ i(t) пiдпорядковувались членам {εi}Ni=1. У ситуацiї коли необхiднi значення x(t) обчислюються з похибкою, що розглянута у наслiдку 2.1, аналогiчна оцiнка матиме вигляд ε ≤ τ−δ K1L+1+τ−δ , якщо добуток K1L такий, що K1L/ (1− ε) > 1 для будь-якого ε > 0. Дещо скла- днiшою є ситуацiя, коли розв’язок рiвняння (12) наближається скiн- ченним рядом (14) (див. наслiдок 2.2). Для довiльного m функцiя похибки (15) може бути обернена за допомогою теореми Лагранжа про обернення рядiв. У частковому випадку m = 1, матимемо ε ≤ √ (τ +K) 2 + 4τ ‖b‖n − (τ +K) 2 ‖b‖n . (18) Алгоритм 1: Iтеративна апроксимацiя Data: x(t), послiдовнiсть похибок {εi}Ni=1, а також апрiорнi оцiнки En(x), E(n) ≡ sup x∈V En(x) Result: Послiдовнiсть апроксиматнiв x′i(t) = C′ i(t)x begin // Vec(M) — вектор який складається з елементiв послiдовностi M // V , ∆ — послiдовностi обчислених значень x(tj) та вузлiв tj . S := 0; V := {}; ∆ := {} ; // V , ∆ — пустi на початку. for i := 1 . . .N do 1 ni := ⌊ E−1 ( εi K1L+1+εi/‖x‖V )⌋ + 1; ∆′ i := Λi dist r ∆ ; // Сiтка для точного обчислення x(tk). // Обчислюємо потрiбнi x(tk) та нерiвномiрну сiтку Λ′ i ≡ ∆ V ′ i := x (∆′ i); V := {V, V ′ i }; ∆ := {∆,∆′ i}; // Формуємо праву частину та матрицю рiвняння (12). b := Vec(Vi); Φ := [φip (∆)]ni p=1; 2 x′ := Φ−1b; 3 C′ i(t)x = ni∑ k=1 x′kφik (t); Si := #∆′ i; S := S + Si ; // #∆i — кiлькiсть елементiв ∆i end end 154 Д. О. Ситник У наведеному алгоритмi використовується операцiя A dist r B, яка для будь яких A,B ∈ T означає наступне. Для кожного елемента з множини B знайти єдиний найближчий до нього в сенсi вiдстанi в T елемент з множини A i вилучити його. Для щойно введеної операцiї виконується умова #(A dist r B) = max {#A−#B, 0}. Замiнивши у алгоритмi 1 рядки 1, 2, 3 на 1′ ni := ⌊ E−1 (√ (ε′/‖x‖V+K)2+4ε′‖b‖ n /‖x‖V−(ε′/‖x‖V+K) 2‖b‖ n /‖x‖V )⌋ + 1; 2′ x′ := Φ−1b; 3′ C′′ i (t)x = ni∑ k=1 x′′kφik (t); отримаємо модифiкацiю, яка замiсть точного розв’язку (12) викори- стовує наближення (14) з m = 1. Таку модифiкацiю називатимемо Алгоритм 1′′. Щоб проiлюструвати використання наведеного алгоритму розгля- немо наступний приклад., Приклад 3.1. У цьому прикладi розглянемо iтеративну Sinc– апроксимацiю експоненцiйно спадної функцiї x(t) ∈ Lc2(Dd) ∩ Hp (Dd) = V (R,R) [21, с. 136], що аналiтична у смузi Dd ∈ C (з ши- риною 2d навколо дiйсної осi R), x(t) = R 1 + cosh2 t , t ∈ R, для декiлькох значень сталої R = 10, 100. Наша мета — побудува- ти послiдовностi апроксимантiв C′ i(t)x використовуючи алгоритм 1. Для того, щоб експериментально дослiдити поведiнку апостерiорних похибок Erri ≡ max t∈Λex \|x(t) − C′ i(t)x\|, при вiдрiзняючихся по порядку швидкостях спадання послiдовностi цiльових похибок {εi} та апрiор- них похибок E i, визначимо {εi}10i=1 = { 1 16 , 1 81 , 1 256 , 1 625 , 1 1296 , 1 2401 , 1 4096 , 1 6561 , 1 10000 , 1 14641 } . Загальний член цiєї послiдовностi εi = 1/(i+ 1)4, i = 1, 2, . . . 10 пово- дить себе, як похибка деякого методу з алгебраїчним порядком збi- жностi 4. Тому, такий вибiр {εi} моделює ситуацiю з узгодженням похибок чисельних методiв по просторовiй та часовiй компонентiв, Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 155 про яку йшла мова у главi 1. Функцiя обернена до апрiорної оцiнки похибки Sinc–апроксимацiї E(N) визначається формулою [15] E−1 (ε) = 1 c22 W2 ( −c2 c1 ε ) , (19) де W(z) означає нижню гiлку функцiї Ламберта LambertW(−1, z) [17]. Формула (19), також залежить вiд двох сталих c1, c2, якi входять у функцiю апрiорної оцiнки похибки E(N) = c1 √ Ne−c2 √ N . (20) Для використання (19) у оцiнцi (16) спочатку за допомогою (20) на- ближено знаходяться сталi c1, c2, а потiм за формулою (19) обчи- слюється значення N . Зазначимо, що параметр дискретизацiї N у формулах (19) та (20) вiдрiзняється вiд n, застосованого у цiй роботi оскiльки iндекс сумування k з (1) у формулах Sinc–методiв пробiгає дiапазон −N, . . . , N , а отже n = 2N + 1. Для отримання початкових оцiнок на c1, c2 використаємо апостерiорну схему, що базується на визначеннi невiдомих сталих з системи рiвнянь складених на основi обчислених значень функцiї x(t) та трьох Sinc–iнтерполяцiйних на- ближень Ci(t)x, i = −2,−1, 0, для яких N = 2, 4, 8. У якостi дискре- тної норми x використовуватимемо ‖x‖n = max k=1,n \|xk\|, а неперервну норму N2(x,Dd), яка є стандартною для Sinc–методiв [21, с. 131], апо- стерiорно оцiнюватимемо за допомогою sup–норми ‖x‖ = sup t∈R \|x(t)\|. Для того, щоб використовувати формулу знаходження потрiбної кiлькостi вузлiв нерiвномiрної Sinc–апроксимацiї (17) нам також не- обхiдно оцiнити значення добутку K1L в залежностi вiд кiлькостi вузлiв Sinc–iнтерполянта ni = 2Ni + 1 та величини ‖xi − x′ i‖ni . K1L ≤ Liαi Li ≡ 2 π logni + 2 π (γ + log 2) + O(1/n2 i ) — стала Лебега для Sinc– iнтерполянта [22], αi — деяка стала, залежна вiд взаєморозташування сiток Λ′ i та Λi: Λi ≡ { khi ∣∣ k = −Ni, Ni } , hi = √ πd/N. Результати застосування алгоритму 1 для наближеного обчисле- ння функцiї x(t) наведено у таблицях 1 та 2. В обох чисельних екс- 156 Д. О. Ситник Таблиця 1. Iтеративна апроксимацiя функцiї x(t) (R = 10) з використа- нням алгоритму 1 та набору цiльових похибок {εi} 10 i=1. Експериментально обчисленi параметри оцiнки похибки (20): c1 = 20.22011, c2 = 2.9012. i εi Ni Si Ki Erri 1 6.2500E-02 9 8 6.73568 2.0423E-02 2 1.2346E-02 13 8 13.4654 2.3091E-02 3 3.9063E-03 16 6 6.57451 4.3386E-03 4 1.6000E-03 19 8 20.5581 2.1440E-03 5 7.7161E-04 22 10 15.6779 1.0975E-03 6 4.1649E-04 24 8 22.1277 4.9996E-04 7 2.4414E-04 26 2 30.007 2.9549E-04 8 1.5242E-04 27 4 25.6275 1.8419E-04 9 1.0000E-04 29 6 23.6221 1.1672E-04 10 6.8301E-05 31 2 14.744 9.2679E-05 периментах спочатку застосовувалась описана вище схема оцiнки па- раметрiв c1, c2, а потiм безпосередньо алгоритм 1. Обчисленi, у хо- дi застосування схеми для оцiнки c1, c2, значення використовувались повторно. Тому побудова першого наближення (i = 1) потребувала обчислення лише 9 (у випадку R = 10) та 18 (R = 100) додаткових значень x(t), якi в таблицях та алгоритмi позначенi як Si. Апрiорна оцiнка сталої αi невiдома на теперiшнiй момент i при обчисленнях покладалася рiвною одиницi. Це обумовлює вiдхилення експериментально отриманих похибок Erri вiд цiльових εi. З резуль- татiв приведених в таблицях 1, 2 чiтко видно, що рiст αi дещо ком- пенсується спаданням похибки E(Ni), яка, очевидно, має домiнуючий характер. Стала αi зростає зi зростанням норми x(t) i прямопропор- цiйно залежить вiд Ni. Найбiльше значення αi ≈ Erri/εi спостерiга- ється при Ni = 42, R = 100 (останнiй рядок таблицi 2). Ефективнiсть можливого застосування модифiкацiй алгоритму 1 можна оцiнити по швидкостi росту чисел обумовленостi Ki = ‖Φ−1‖‖Φ‖ матрицi Φ. Iх нормована величина Ki/rank (Φ) коливається в залежностi вiд того наскiльки близькими є сiтки Λi та Λ′ i. Не зважаючи на те що з’ясування залежностей мiж Ni та αi по- требує бiльш детальних дослiджень (див. [16]), наведенi результати iлюструють ефективнiсть розробленого пiдходу. При R = 100, загаль- на кiлькiсть обчислених у ходi алгоритму 1 значень S = 94, в той час, як використання класичних Sinc–iнтерполянтiв для побудову послi- Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 157 Таблиця 2. Iтеративна апроксимацiя функцiї x(t) (R = 100) з використа- нням алгоритму 1 та набору цiльових похибок {εi} 10 i=1. Експериментально обчисленi параметри оцiнки похибки (20): c1 = 202.2012, c2 = 2.9012 i εi Ni Si Ki Erri 1 6.2500E-02 15 18 9.64828 9.7075E-02 2 1.2346E-02 20 10 9.63946 1.3510E-02 3 3.9063E-03 24 12 12.7103 5.1351E-03 4 1.6000E-03 27 10 15.3045 1.9426E-03 5 7.7161E-04 30 6 24.0762 8.4617E-04 6 4.1649E-04 33 8 26.3483 7.9528E-04 7 2.4414E-04 35 8 20.7726 6.4150E-04 8 1.5242E-04 37 8 18.369 5.9258E-04 9 1.0000E-04 39 6 23.2181 8.6622E-04 10 6.8301E-05 41 6 23.8631 5.7157E-04 довностi наближень по заданiй ε10i=1 потребувало б обчислення 261 значень x(t). [1] Adcock B., Gataric M., Hansen A. On stable reconstructions from nonuni- form fourier measurements // SIAM Journal on Imaging Sciences. –– 2014. –– 7, 3. –– P. 1690–1723. –– http://dx.doi.org/10.1137/130943431. [2] Benedetto J. J. Irregular sampling and frames // Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications / Ed. by Charles K. Chui. –– San Diego, CA, USA : Academic Press Professional, Inc., 1992. –– P. 445–507. –– URL: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=160964.159455. [3] Clark J., Palmer M., Lawrence P. A transformation method for the re- construction of functions from nonuniformly spaced samples // Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on. –– 1985. –– Oct. –– 33, 5. –– P. 1151–1165. [4] Condat L. Reconstruction from non-uniform samples: A direct, variational approach in shift-invariant spaces // Digital Signal Processing. –– 2013. –– 23, 4. –– P. 1277 – 1287. –– URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1051200413000341. [5] Duffin R. J., Schaeffer A. C. A class of nonharmonic fourier series // Transactions of the American Mathematical Society. –– 1952. –– 72, 2. –– P. 341–366. –– URL: http://www.jstor.org/stable/1990760. 158 Д. О. Ситник [6] Feichtinger H. G., Gröchenig K. Theory and practice of irregular sam- pling // Wavelets, Mathematics and Applications / Ed. by J. J. Benedetto, M. W. Frazier. –– CRC Press, 1994. –– P. 305–363. [7] Feichtinger H. G., Gröchenig K., Strohmer T. Efficient numerical methods in non-uniform sampling theory // Numer. Math. –– 1995. –– feb. –– 69, 4. –– P. 423–440. –– URL: http://dx.doi.org/10.1007/s002110050101. [8] Fornasier M., Gori L. Sampling theorems on bounded do- mains // Journal of Computational and Applied Mathemat- ics. –– 2008. –– 221, 2. –– P. 376–385. –– Special Issue: Re- cent Progress in Spline and Wavelet Approximation. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042707005699. [9] Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially convergent algo- rithms for abstract differential equations. Frontiers in Mathematics. –– Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011. –– P. viii+180. –– ISBN: 978- 3-0348-0118-8. –– URL: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-0119-5. [10] Gröchenig K. Localization of frames, banach frames, and the invertibility of the frame operator // Journal of Fourier Analysis and Applications. –– 2004. –– 10, 2. –– P. 105–132. –– URL: http://dx.doi.org/10.1007/s00041- 004-8007-1. [11] Gröchenig K., Schwab H. Fast local reconstruction methods for nonuni- form sampling in shift-invariant spaces // SIAM Journal on Ma- trix Analysis and Applications. –– 2003. –– 24, 4. –– P. 899–913. –– http://dx.doi.org/10.1137/S0895479802409067. [12] Kronrod A. S. Nodes and weights of quadrature formulas. Sixteen-place tables. Authorized translation from the Russian. –– Consultants Bureau, New York, 1965. –– P. vii+143. [13] Marks R. J. Advanced topics in Shannon sampling and interpolation the- ory. –– 1993. –– Vol. 1. –– P. 360. [14] Mastroianni G., Milovanović G. V. Interpolation processes : basic theory and applications. –– Berlin : Springer, 2008. –– P. 458. [15] Ситник Д. О. Ефективне використання попередньо обчислених да- них у схемi iтеративної sinc–апроксимацiї // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. — 2014. — 11, 4. — С. 266–279. [16] Ситник Д. О., Мединський М. С. Нерiвномiрна Sinc–апроксимацiя функцiй. — 2016. — У друцi в “Вiсник Донецького Нацiонального Унi- верситету. Сер. А: Природничi науки”. [17] On the LambertW function / R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare et al. // Advances in Computational Mathematics. –– 1996. –– 5, 1. –– P. 329–359. –– URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02124750. Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням . . . 159 [18] Papoulis A. Generalized sampling expansion // Circuits and Systems, IEEE Transactions on. –– 1977. –– Nov. –– 24, 11. –– P. 652–654. [19] Patterson T. N. L. The optimum addition of points to quadrature formu- lae // Math. Comp. 22 (1968), 847–856; addendum, ibid. –– 1968. –– 22, 104, loose microfiche supp. –– P. C1–C11. [20] Scherzer O., Strohmer T. A multi-level algorithm for the so- lution of moment problems // Numerical Functional Analy- sis and Optimization. –– 1998. –– 19, 3-4. –– P. 353–375. –– http://dx.doi.org/10.1080/01630569808816833. [21] Stenger F. Numerical methods based on Sinc and analytic functions. –– Springer, New York, 1993. –– P. 580. [22] Stenger F., El-Sharkawy H., Baumann G. The lebesgue constant for sinc approximations // New Perspectives on Approximation and Sampling Theory / Ed. by Ahmed I. Zayed, Gerhard Schmeisser. –– Springer Interna- tional Publishing, 2014. –– Applied and Numerical Harmonic Analysis. –– P. 319–335. –– URL: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-08801-3 13. [23] Strohmer T. A levinson–galerkin algorithm for regularized trigonometric approximation // SIAM Journal on Scientific Computing. –– 2000. –– 22, 4. –– P. 1160–1183. –– http://dx.doi.org/10.1137/S1064827597329254. [24] Strohmer T. Numerical analysis of the non-uniform sampling prob- lem // Journal of Computational and Applied Mathematics. –– 2000. –– 122, 1–2. –– P. 297 – 316. –– Numerical Analysis in the 20th Century Vol. II: Interpolation and Extrapolation. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042700003617.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-35
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:01:21Z
publishDate	2015
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/b9/50e10370f4c847ebf814b4caaf5f3cb9.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-352018-01-23T12:01:13Z Method of iterpolatory type functions in Banach spaces Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням iнтерполянтiв у банахових просторах Ситник, O. Ситник, Д. О. We study the problem on how to reuse previously calculated values ofapproximated function in the scheme of iteratively refining sequence ofapproximations provided by the interpolatory type formulas. The proposedmethod is based upon a collocation of the current–step’s interpolant tothe given function on the set of points where the function values werealready evaluated during the calcualtion of previous-step’s approximations.Theoretical considerations are supported by several numerical examples. В статье изучается проблема повторного использования ранее вычис-ленных значений аппроксимируемой функции для нахождения ее бо-лее точных приближений в схеме итеративно уточняющейся последо-вательности аппроксимаций интерполяционного типа. Предложен ме-тод решения этой проблемы, который основан на принципе коллокациитекущего интерполянта заданой функции в точках, где значения этойфункции уже были вичислены во время построения аппроксимаций напредыдущих шагах. Теоретические выкладки подтверждены числен-ными экспериментами. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/35 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 140-159 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 140-159 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 140-159 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/35/23 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України
spellingShingle	Ситник, O. Ситник, Д. О. Method of iterpolatory type functions in Banach spaces
title	Method of iterpolatory type functions in Banach spaces
title_alt	Метод iтеративної апроксимацiї функцiй з використанням iнтерполянтiв у банахових просторах
title_full	Method of iterpolatory type functions in Banach spaces
title_fullStr	Method of iterpolatory type functions in Banach spaces
title_full_unstemmed	Method of iterpolatory type functions in Banach spaces
title_short	Method of iterpolatory type functions in Banach spaces
title_sort	method of iterpolatory type functions in banach spaces
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/35
work_keys_str_mv	AT sitniko methodofiterpolatorytypefunctionsinbanachspaces AT sitnikdo methodofiterpolatorytypefunctionsinbanachspaces AT sitniko metoditerativnoíaproksimaciífunkcijzvikoristannâminterpolântivubanahovihprostorah AT sitnikdo metoditerativnoíaproksimaciífunkcijzvikoristannâminterpolântivubanahovihprostorah

Method of iterpolatory type functions in Banach spaces

Institution

Similar Items