Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks
Nonlinear resonant sloshing of an ideal incompressible liquid in a rigidtruncated conical tank due to a horizontal harmonic excitation is studied.The excitation frequency is close to the lowest natural liquid frequency.Using a asymptotic modal system with Moiseev-Narimanov detuning [9],the steady-st...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/36 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552558726217728 |
|---|---|
| author | Солодун, О. В. Солодун, О. В. |
| author_facet | Солодун, О. В. Солодун, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Солодун, О. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | Nonlinear resonant sloshing of an ideal incompressible liquid in a rigidtruncated conical tank due to a horizontal harmonic excitation is studied.The excitation frequency is close to the lowest natural liquid frequency.Using a asymptotic modal system with Moiseev-Narimanov detuning [9],the steady-stare resonance sloshing is analysed. An asymptotic periodicsolution describing the so-called planar and swirling waves is derived. Util-ising the method of slowly varying amplitudes makes it possible to studythe solution stability. Hydrodynamic loads are estimated. The results arecompared with experimental data. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 160–180
УДК 532.595
Анализ резонансных колебаний
жидкости в срезанных конических
баках ∗
А.В. Солодун
Институт математики НАН Украины, Киев;
solodun@imath.kiev.ua
Nonlinear resonant sloshing of an ideal incompressible liquid in a rigid
truncated conical tank due to a horizontal harmonic excitation is studied.
The excitation frequency is close to the lowest natural liquid frequency.
Using a asymptotic modal system with Moiseev-Narimanov detuning [9],
the steady-stare resonance sloshing is analysed. An asymptotic periodic
solution describing the so-called planar and swirling waves is derived. Util-
ising the method of slowly varying amplitudes makes it possible to study
the solution stability. Hydrodynamic loads are estimated. The results are
compared with experimental data.
Вивчаються нелiнiйнi резонанснi коливання iдеальної нестисливої рi-
дини в жорсткому зрiзаному конiчному баку, що перебуває пiд дiєю
горизонтальних гармонiчних збурень з частотою, близькою до основ-
ної власної частоти коливань рiдини. За допомогою асимптотичної мо-
дальної системи з настройками Моiсеєва-Нарiманова [9] проаналiзова-
но усталенi резонанснi рухи рiдини. Побудовано асимптотичнi перiо-
дичнi за часом розв’язки, що описують плоскi та круговi хвилi. Ви-
користовуючи метод повiльно змiнних амплiтуд, дослiджено стiйкiсть
перiодичних розв’язкiв системи. Оцiнено силовий вплив рiдини на стiн-
ки баку та проведено порiвняння з експериментом.
∗ Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0112U001015.
c© А. В. Солодун, 2015
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 161
1. Введение
Наличие жидкости со свободной поверхностью в инженерных кон-
струкциях может приводить к возникновению целого комплекса про-
блем, в первую очередь связанных с их безопасной эксплуатаци-
ей. Основной среди них является проблема силового взаимодействия
между стенками бака и жидкостью. Исследования динамического по-
ведения конструкций при воздействии на них различных внешних
возмущающих факторов (вибрационного, сейсмического, ветрового
и прочего происхождения) диктуется необходимостью их надежного
функционирования.
В последнее время мультимодальный метод стал, пожалуй, са-
мым широко применимым аналитически-ориентированным методом,
используемым для описания нелинейных колебаний жидкости в по-
движных баках. Он обладает рядом существенных преимуществ,
таких, как аналитичность, робастность, численная эффективность
(можно рассчитать плескания жидкости в реальном времени с учетом
сложных переходных процессов).
При теоретических предположениях, что потенциальные течения
идеальной несжимаемой жидкости безвихревые и нет опрокидывания
гребня волны, мультимодальные методы обеспечивают подходящее
с инженерной точки зрения приближения основных “интегральных”
гидродинамических характеристик, включая результирующие силы
и моменты. Кроме того, рассмотрение нелинейных модальных урав-
нений и их решений позволяет получить представление о поведении
жидкости, например, анализируя передачу энергии между модами
колебаний, бифуркации областей стационарных решений. Мультимо-
дальные методы позволяют изучать всевозможные сценарии возму-
щений гидродинамически неустойчивых режимов плесканий жидко-
сти без больших вычислительных затрат. Асимптотические модаль-
ные уравнения помогают избежать физически нереалистичных пове-
дений решений, описывающих колебания жидкости при учете выс-
ших гармоник, которые могут давать заметный вклад в отклик жид-
кости.
Благодаря теоретическим трудам Нариманова, Моисеева, Рабино-
вича, Луковского, Майлса, Тимохи [1, 3, 7–9, 14, 20], а также многих
других, нелинейный модальный метод был хорошо развит для задач
о колебаниях жидкости. Соответствующие модальные системы мож-
но относительно легко импортировать в общие уравнения динамики
162 А. В. Солодун
конструкции за счет модальных формул Луковского для результиру-
ющих гидродинамических сил и моментов.
Поначалу основное внимание было уделено вертикальным цилин-
дрическим резервуарам кругового поперечного сечения, для которых
существуют точные аналитические решения базовых спектральных
задач колебаний. Однако в случае резервуаров с невертикальными
стенками нужны были иные аналитические решения, такие, кото-
рые бы точно удовлетворяли базовые спектральные задачи на этих
стенках. Используя технику неконформных отображений Луковского
(см. [2]), были построены такие решения для баков с невертикальны-
ми стенками (коническими, усеченными коническими, сферически-
ми) [6, 11, 15, 16, 18]. Основы мультимодальных методов изложены в
работах [3, 14, 19] и, в некоторых деталях, для прямоугольных [13],
конических [2, 6, 18], срезанных конических [17] и сферических ба-
ков [15].
В работе [9] впервые было построено нелинейную асимптотиче-
скую модальную систему для срезанного конического бака кругового
сечения, которая базируется на асимптотике Моисеева-Нариманова и
связывает, кроме двух доминантных форм, все теоретически необхо-
димые (бесконечный набор) собственные формы второго и третьего
порядков. Такая система является полной, ее невозможно обобщить
(улучшить) в рамках асимптотики Моисеева-Нариманова третьего
порядка. Большим преимуществом перед численноориентированны-
ми алгоритмами вывода модальных систем является то, что удается
определить все нулевые коэффициенты такой модальной системы, а
также получить аналитические выражения для ненулевых гидроди-
намических коэффициентов.
В данной работе получены периодические решения построенной
ранее бесконечномерной модальной системы [9], описывающей резо-
нансные колебания жидкости в срезанных конических полостях. Ос-
новные исследования нелинейных движений жидкости в баках про-
ведены для случая резонансных гармонических возмущений с ча-
стотой, близкой к первой наинизшей собственной частоте колебаний
жидкости. Это связывается с тем, что именно такие возмущения по-
рождают максимальные гидродинамические нагрузки на стенки ба-
ка и поэтому являются важнейшими при исследованиях совместных
движений бака и жидкости. Рассматриваются области устойчивости-
неустойчивости полученных решений в случае гармонических гори-
зонтальных колебаний бака с малой амплитудой. А также выводят-
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 163
ся формулы для расчета резонансных гидродинамических нагрузок
на стенки бака и сравниваются полученные данные с эксперимен-
том [12].
2. Постановка задачи
Рассмотрим поступательное движение твердого тела, которое содер-
жит полость (бак) в форме обратного вертикального срезанного кру-
гового конуса с углом полураствора θ0. Бак частично заполнен иде-
альной несжимаемой жидкостью плотности ρ и совершает поступа-
тельные перемещения со скоростью ~v0(t). Движение жидкости рас-
сматривается в связанной с баком системе координат Oxyz. Нача-
ло координат размещено в условной вершине конуса O. Ось Ox на-
правлена вдоль оси конуса в направлении, противоположном вектору
ускорения сил земного тяготения ~g в статическом (неподвижном) по-
ложении бака.
Для описания колебаний идеальной несжимаемой жидкости в
рамках потенциальных течений необходимо решить известную нели-
нейную краевую задачу со свободной границей (1) [9] относительно
двух неизвестных – мгновенной формы свободной поверхности и по-
тенциала скоростей. Согласно концепции мультимодальных методов
мгновенная форма свободной поверхности может быть представлена
в виде разложения в обобщенный ряд Фурье с неизвестными завися-
щими от времени коэффициентами βi(t) (обобщенными координата-
ми) в криволинейной системе координат (после применения техники
неконформных отображений Луковского [2, 9] xyz → x1x2x3)
f∗(x2, x3, t) = x10 + β0(t) +
∞∑
i=1
βi(t) fi(x2, x3), (1)
где fi(x2, x3) являются так называемыми собственными формами.
Аналогично и потенциал скоростей допускает подобное разложение
Φ∗(x1, x2, x3, t) = ~v0 · ~r +
∞∑
j=1
Rj(t)φj(x1, x2, x3), (2)
где φj(x1, x2, x3) являются собственными модами, а Rj(t) характери-
зуют возмущения потенциала скоростей.
164 А. В. Солодун
Такая процедура позволяет получить полные бесконечномерные
уравнения, в общем случае не пригодные для анализа. Соответствен-
но, такие системы необходимо редуцировать к некоторому мини-
мальному размеру, используя, к примеру, известные асимптотики
Моисеева-Нариманова третьего порядка, которые связывают две до-
минантные собственные формы, три собственные формы второго по-
рядка и четыре формы третьего порядка. В то же время, асимптотики
Моисеева-Нариманова для кругового сечения приводят к необходи-
мости учитывать, помимо двух доминантных форм, также бесконеч-
ный набор обобщенных координат второго и третьего порядка мало-
сти вследствие возможности возникновения внутренних резонансов
высшего порядка для некоторых глубин заполнения жидкости и уг-
лов полураствора конических полостей (см. анализ работы [5]). В
работе [9] были построены соответствующие нелинейные асимптоти-
ческие модальные системы, учитывающие полный набор обобщенных
координат второго и третьего порядка малости для срезанного кони-
ческого бака кругового сечения. При этом использовались следующие
асимптотики для обобщенных координат βi, которые были расщеп-
лены на симметричные pMi и антисимметричные rmi (M = 0, 1, 2, 3,
m = 1, 2, 3, i > 0, j > 1, а ǫ – безразмерная амплитуда внешнего
гармоничного возмущения ):
p11 ∼ r11 ∼ ǫ, p0i ∼ p2i ∼ r2i ∼ ǫ2, p1j ∼ r1j ∼ p3i ∼ r3i ∼ ǫ3. (3)
Здесь и далее будем придерживаться обозначений работы [9].
Подставляя переписанные в новых обозначениях представления
свободной поверхности в базовую задачу со свободной границей и
используя вариационную схему Луковского [3], была получена беско-
нечномерная модальная система относительно обобщенных коорди-
нат, описывающая резонансные колебания жидкости для данной кон-
фигурации полости. Учитывая асимптотики Моисеева-Нариманова,
она свелась к более компактной форме [9]. Коротко ее можно приве-
сти в следующем виде:
p̈Mi + σ2
MipMi + LpMi (p11, p11, {p0j}; {p2j}; {r2j}) + eiδm1η̈1 = 0,
r̈mi + σ2
mirmi + Lrmi (p11, p11, {p0j}; {p2j}; {r2j}) + eiδm1η̈2 = 0,
(4)
где выражения LpMi, L
r
mi являются нелинейными и зави-
сят сложным образом от обобщенных координат p11, p11,
{p0j}, {p2j}, {r2j}. При этом, в случае M,m = 1 выражения
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 165
LpMi (p11, p11, {p0j}, {p2j}, {r2j}) ∼ Lrmi (p11, p11, {p0j}, {p2j}, {r2j}) ∼
ǫ3 имеют третий порядок малости. При M,m = 0, 2 выраже-
ния LpMi (p11, r11)∼Lrmi (p11, r11) ∼ ǫ2 имеют второй порядок
малости и зависят только от основных обобщенных координат.
И в случае M,m = 3 выражения LpMi (p11, p11, {p2j}, {r2j}) ∼
Lrmi (p11, p11, {p2j}, {r2j}) ∼ ǫ3 также имеют третий порядок малости
относительно обобщенных координат.
3. Периодические решения
Рассмотрим вынужденные установившиеся резонансные колебания
жидкости при заданном внешнем гармоническом возмущении ба-
ка u(t) = η cosσt. Анализ установившихся вынужденных колебаний
жидкости связан с отысканием периодических решений системы (4)
(см. полную форму (20) [9]). Представим обобщенные координаты
r11(t) и p11(t) в виде отрезков ряда Фурье с неопределенными коэф-
фициентами [3]
pMi(t) =
∞∑
k=1
(Bm,2k−1 cos kσt+BM,2k sin kσt) ,
rmi(t) =
∞∑
k=1
(Am,2k−1 cos kσt+Am,2k sin kσt) ,
(5)
где, в соответствии с выбранной асимптотикой, доминантный вклад
дают основные гармоники, переписанные для удобства в следующем
виде:
p11(t) = Bc cosσt+Bs sinσt+ o (ǫ) ,
r11(t) = Ac cosσt+As sinσt+ o (ǫ) .
(6)
Коэффициенты разложений обобщенных координат p0h(t), r2h(t),
p2h(t), r3h(t), p3h(t), r1k(t) и p1k(t) являются функциями доминант-
ных амплитуд Ac, As, Bc и Bs представлений обобщенных координат
r11(t) и p11(t). Для них можно найти явные выражения из уравнений
LpMi
и Lrmi
системы (20) [9] (т. к. они линейны относительно p0h(t),
r2h(t), p2h(t), r3h(t), p3h(t), r1k(t), p1k(t)). Эти обобщенные координа-
ты приобретают следующий вид:
p0h(t) =
(
A2
c +A2
s +B2
c +B2
s
)
o0h0 + 2 (AcAs +BcBs)o0h2 sin 2σt+
+
(
A2
c −A2
s +B2
c −B2
s
)
o0h2 cos 2σt, (7a)
166 А. В. Солодун
p2h(t) =
(
−A2
c −A2
s +B2
c +B2
s
)
o2h0 +2 (BcBs −AcAs)o2h2 sin 2σt+
+
(
−A2
c +A2
s +B2
c −B2
s
)
o2h2 cos 2σt, (7b)
r2h(t) = 2 (AcBc +AsBs)o2h0 + 2 (AsBc +AcBs)o2h2 sin 2σt+
+ 2 (AcBc −AsBs)o2h2 cos 2σt, (7c)
p3h(t) =
((
3A2
c +A2
s −B2
c −B2
s
)
Bc + 2AcAsBs
)
o3h1 cosσt+
+
((
A2
c + 3A2
s −B2
c −B2
s
)
Bs + 2AcAsBc
)
o3h1 sinσt+
+
((
3A2
c − 3A2
s − 3B2
c +B2
s
)
Bs + 6AcAsBc
)
o3h3 sin 3σt+
+
((
3A2
c − 3A2
s − B2
c + 3B2
s
)
Bc − 6AcAsBs
)
o3h3 cos 3σt, (7d)
r3h(t) =
((
A2
c +A2
s − 3B2
c −B2
s
)
Ac − 2AsBcBs
)
o3h1 cosσt+
+
((
A2
c +A2
s −B2
c − 3B2
s
)
As − 2AcBcBs
)
o3h1 sinσt+
+
((
A2
c − 3A2
s − 3B2
c + 3B2
s
)
Ac + 6AsBcBs
)
o3h3 cos 3σt+
+
((
3A2
c −A2
s − 3B2
c + 3B2
s
)
As − 6AcBcBs
)
o3h3 sin 3σt, (7e)
p1k(t) =
( ((
−A2
c −B2
c −B2
s
)
o1k11 −A2
so1k12
)
Bc+
+AcAsBso1k13
)
cosσt+
( ((
−A2
s −B2
c −B2
s
)
o1k11−
−A2
co1k12
)
Bs +AcAsBco1k13
)
sinσt+
(
2AcAsBs+
+
(
−A2
c +A2
s −B2
c + 3B2
s
)
Bc
)
o1k3 cos 3σt+
(
− 2AcAsBc +
(
−A2
c +A2
s +B2
s − 3B2
c
)
Bs
)
o1k3 sin 3σt, (7f)
r1k(t) =
( ((
−A2
c −A2
s −B2
c
)
o1k11 −B2
so1k12
)
Ac+
+AsBcBso1k13
)
cosσt+
(( (
−A2
c −A2
s −B2
s
)
o1k11−
−B2
co1k12
)
As +AcBcBso1k13
)
sinσt+
(
2AsBcBs+
(
−A2
c + 3A2
s −B2
c +B2
s
)
Ac
)
o1k3 cos 3σt+
(
− 2AsBcBs +
(
−3A2
c + A2
s − B2
c +B2
s
)
As
)
o1k3 sin 3σt. (7g)
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 167
Тут omhk определяются по следующим формулам:
o0h0 =
d10,h − d8,h
2σ̄2
0h
− G0,h
2
, o0h2 =
d10,h + d8,h − G0,hσ̄
2
0h
2 (σ̄2
0h − 4)
,
o2h0 =
d9,h − d7,h
2σ̄2
2h
− G4,h
2
, o2h2 =
d9,h + d7,h − G4,hσ̄
2
2h
2 (σ̄2
2h − 4)
,
(8a)
o3h1 =
1
4 (σ̄2
3h − 1)
(
σ̄2
3h
(
3G6,h + 4S
G5,h
0 + 2S
G5,h
2
)
−4S
d13,h
0 −2S
d13,h
2 −
− 8S
d14,h
2 + 4S
d15,h
2 − 3d11,h + d12,h
)
, o3h3 =
1
4 (σ2
3h − 9)
(
− d11,h−
− d12,h − 2S
d13,h
2 − 8S
d14,h
2 − 4S
d15,h
2 + σ̄2
3h
(
G6,h + 2S
G5,h
2
))
, (8b)
a omk1i – по следующим формулам (o1k13 = o1k12 − o1k11):
o1k11 =
1
4(σ̄2
1k − 1)
(
− 4C
d23,k
0 − 2C
d23,k
2 − 8C
d24,k
2 + 4C
d25,k
2 −
− 4S
d20,k
0 − 2S
d20,k
2 − 8S
d21,k
2 + 4S
d22,k
2 − 4d19,k + 3d18,k − d16,k+
+ σ̄2
1,k
[
3G1,k + 4C
G3,k
0 + 2C
G3,k
2 + 4S
G2,k
0 + 2S
G2,k
2
] )
,
o1k12 =
1
4(σ̄2
1k − 1)
(
− 4C
d23,k
0 2C
d23,k
2 + 8C
d24,k
2 − 4C
d25,k
2 +
+ σ̄2
1k
[
G1k + 4C
G3,k
0 − 2C
G3,k
2 − 4S
G2,k
0 + 6S
G2,k
2
]
+ 4S
d20,k
0 −
− 6S
d20,k
2 − 24S
d21,k
2 + 12S
d22,k
2 − 4d19,k + 3d18,k − d16,k
)
,
o1k3 =
1
4(σ̄2
1k − 9)
(
− d16,k − d18,k − 2C
d23,k
2 − 8C
d24,k
2 − 4C
d25,k
2 −
− 2S
d20,k
2 − 8S
d21,k
2 − 4S
d22,k
2 + σ̄2
1k
[
G1k + 2C
G3,k
2 + 2S
G2,k
2
] )
, (8c)
здесь введены следующие обозначения:
σ̄2
mi =
σ2
mi
σ2
, C
dk,h
i =
∑
j
d jk,ho0ji, S
dk,h
i =
∑
j
d jk,ho2ji,
S
Gk,h
i =
∑
j
Gjk,ho2ji, C
Gk,h
i =
∑
j
Gjk,ho0ji.
(9)
168 А. В. Солодун
После подстановки выражений (6), а также найденных для p0h(t),
r2h(t), p2h(t), r3h(t) и p3h(t) решений (7) в уравнение Бубнова–
Галеркина для Lp11 (20d), Lr11(20e) [9]
2π
σ∫
0
Lβ11 cosσt dt = 0,
2π
σ∫
0
Lβ11 sinσt dt = 0, (10)
где β11 = {p11, r11}, получим систему четырех алгебраических урав-
нений, из которой определяются доминантные амплитуды Ai, Bi
(i = c, s) в представлении (6)
Ac
((
σ̄2
11 − 1
)
+
(
A2
c +A2
s +B2
c
)
m1 +B2
sm2
)
+AsBcBsm3 = e1η2a,
As
((
σ̄2
11 − 1
)
+
(
A2
c +A2
s +B2
s
)
m1 +B2
cm2
)
+AcBcBsm3 = 0,
Bc
((
σ̄2
11 − 1
)
+
(
A2
c +B2
c +B2
s
)
m1 +A2
sm2
)
+AcAsBsm3 = 0,
Bs
((
σ̄2
11 − 1
)
+
(
A2
s + B2
c +B2
s
)
m1 +A2
cm2
)
+AcAsBcm3 = 0, (11)
здесь коэффициенты m1,m2,m3 = (m1 −m2) определяются следую-
щим образом:
m1 = σ̄2
11
[
3
4
G1 + CG2
0 +
1
2
CG2
2 + SG3
0 +
1
2
SG3
2
]
−Cd50 +
1
2
Cd52 − 2Cd62 −
− Sd30 +
1
2
Sd32 + 2Sd42 − 1
2
d1, m2 =
1
2
d1 − 2d2 − Cd50 − 1
2
Cd52 + 2Cd62 +
+ Sd30 +
3
2
Sd32 − 6Sd42 + σ̄2
11
[
1
4
G1 + CG2
0 − 1
2
CG2
2 − SG3
0 +
3
2
SG3
2
]
, (12)
где введены следующие обозначения:
Cdki =
∑
j
d jko0ji, Sdki =
∑
j
d jko2ji,
CGk
i =
∑
j
Gjko0ji, SGk
i =
∑
j
Gjko2ji.
(13)
Анализ системы (11) при условии ненулевого действия внешних
возмущающих сил (η2a 6= 0) показывает, что As = Bc = 0, т. е. име-
ются лишь две ненулевые доминантные амплитуды, которые опреде-
ляются из системы двух алгебраических уравнений
Ac
(
(σ̄2
11 − 1) +A2
cm1 +B2
sm2
)
= e1η2a,
Bs
(
(σ̄2
11 − 1) +B2
sm1 +A2
cm2
)
= 0.
(14)
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 169
Система аналогична системе уравнений, полученной в работе [4], а
также прочих работах о изучении колебаний жидкости в фигурах
вращения, изучаемых подобным методом (таких, как круговой ци-
линдр, конус и сфера), и применима аналогичная схема анализа, раз-
ница состоит в отличии выражений коэффициентов этих уравнений.
Ее решения зависят от коэффициентов mi, которые являются функ-
циями геометрии бака r̄11, σ̄11(r̄11) и θ0 (mi = mi(σ̄11, r̄11, θ0)). С
физической точки зрения эти решения определяют два типа устано-
вившихся режимов. Одно из них (при условии Bs = 0) соответствует
плоским установившимся резонансным режимам колебания жидко-
сти, а другое (при Bs 6= 0) определяет так называемую круговую
волну. Такая классификация установившихся режимов аналогична
той, что хорошо известна для круговых вертикальных цилиндриче-
ских баков, а также для неусеченных конических баков [18].
Плоские установившиеся движения (Ac 6=0, As = Bc = Bs = 0)
определяются приближенным решением модальных уравнений вида
r11(t) = Ac cosσt, r1k(t) = −A3
c o1k11 cosσt−A3
c o1k3 cos 3σt,
p0h(t) = A2
c o0h0 +A2
c o0h2 cos 2σt, p2h(t) = −A2
c o2h0 −A2
c o2h2 cos 2σt,
r3h(t) = A3
c o3h1 cosσt+A3
c o3h3 cos 3σt, (15)
где значение амплитуды Ac определяется решениями кубического
уравнения
m1A
3
c + (σ̄2
11 − 1)Ac − e1η2a = 0, (16)
а остальные равны нулю p11(t) = p1k(t) = p3h(t) = r2h(t) = 0.
Установившаяся круговая волна (Ac 6=0, Bs 6=0, As = Bc = 0) при-
ближается решением
r11(t) = Ac cosσt, p11(t) = Bs sinσt, r2h(t) = 2AcBs o2h2 sin 2σt,
p2h(t) = −
(
A2
c −B2
s
)
o2h0 −
(
A2
c +B2
s
)
o2h2 cos 2σt,
r3h(t) =
((
A2
c −B2
s
)
Ac
)
o3h1 cosσt+
((
A2
c + 3B2
s
)
Ac
)
o3h3 cos 3σt,
p3h(t) =
((
A2
c −B2
s
)
Bs
)
o3h1 sinσt+
((
3A2
c +B2
s
)
Bs
)
o3h3 sin 3σt,
r1k(t) = −
(
A2
c o1k11 +B2
s o1k12
)
Ac cosσt−
(
A2
c −B2
s
)
Aco1k3 cos 3σt,
p1k(t) = −
(
A2
c o1k12 +B2
s o1k11
)
Bs sinσt−
(
A2
c − B2
s
)
Bso1k3 sin 3σt,
p0h(t) =
(
A2
c +B2
s
)
o0h0 +
(
A2
c −B2
s
)
o0h2 cos 2σt, (17)
170 А. В. Солодун
где значения амплитуд Ac и Bs находятся из системы кубических
уравнений
Ac
(
σ̄2
11 − 1 +A2
cm1 +B2
sm3
)
= e1η2a, B
2
sm1 + A2
cm3 = 1 − σ̄2
11. (18)
4. Исследование неустойчивости периодических
решений модальной системы (4)
С целью исследования устойчивости периодических решений беско-
нечномерной модальной системы используем подход, который бази-
руется на методе Ляпунова с использованием техники медленного
времени.
Введем в рассмотрение функцию медленного времени τ(t) =
ǫ2σt/2 и представим возмущения доминантных мод в виде
p11(t) = β̃(τ) cos σt+ (Bs + β(τ)) sin σt+O(ǫ),
r11(t) = (Ac + α(τ)) cos σt+ α̃(τ) sin σt+O(ǫ), (19)
здесь Ac, Bs – решения системы (18 ), а α, α̃, β, β̃ – соответству-
ющие возмущения, зависящие от τ . Подставляя выражения (19) в
найденные ранее уравнения Lp11 , Lr11 ((20d),(20e) [9]) и группируя
слагаемые по порядкам малости, линеаризируя по α, α̃, β, β̃ полу-
чим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
~c+ C~c = 0.
Эта задача использует ту же схему для изучения неустойчивости
плоской и круговой волны, что и в работе [14], где использовался
первый метод Ляпунова вместе с техникой мульти-синхронизации.
Нестабильность возникает, когда собственные значения 4x4-матрица
с ненулевыми элементами
c12 = −
(
σ̄2
11 − 1 +m1A
2
c +m1B
2
s
)
, c14 = (−m1 +m2)AcBs,
c21 = σ̄2
11 − 1 + 3m1A
2
c +m2B
2
s , c34 = σ̄2
11 − 1 +m1A
2
c +m1B
2
s ,
c23 = 2m2AcBs, c32 = (m1 −m2)AcBs, c41 = −2m2AcBs,
c43 = −
(
σ̄2
11 − 1 +m2A
2
c + 3m1B
2
s
)
, (20)
имеют ненулевую положительную действительную часть, то есть ста-
ционарное решение устойчиво, когда характеристический многочлен
det(λE + C) = 0 равен нулю, т. е.
λ4 + c1λ
2 + c0 = 0, (21)
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 171
где c0 – определитель матрицы C, а c1 = c34(c21 − c43)− 2c23c32.
При условиях устойчивости системы имеем
c0 > 0, c1 > 0, c21 − 4c0 > 0. (22)
Равенства нулю выражений c0 = 0 и c21 − 4c0 = 0 дают возможность
найти точки бифуркации Пуанкаре и Гамильтона соответственно.
5. Амплитудно-частотные характеристики
Амплитудно-частотные характеристики нелинейных установивших-
ся колебаний жидкости, с точностью до членов более высокого по-
рядка малости, можно характеризовать зависимостями между до-
минантными амплитудами и частотой возбуждения. На рис. 1 по-
строены такие зависимости, используя формулы (17), к примеру, для
фиксированной геометрии полости (угол раствора, глубина и т. п.),
которые возникают в приложениях. Сплошной линией изображены
устойчивые установившиеся колебания, а пунктирной – неустойчи-
вые. Из рисунков видно, что амплитудно-частотные характеристики
остаются подобными тем, которые известны из работ Луковского для
случая кругового вертикального цилиндра с конечной глубиной за-
полнения и почти идентичны характеристикам семимерной системы
для срезанных конических баков. Как и в этом случае, плоский уста-
новивший режим (ветви K1K2 и M1M2) является неустойчивым в
окрестности основного резонанса σ/σ11 ≈ 1 между точками K и M .
При этом точка K – точка возврата, а точка M – точка бифурка-
ции Пуанкаре, из которой возникает ветвь MM3, соответствующая
неустойчивой резонансной круговой волне. Вторая ветвь N2N1, со-
ответствующая круговой волне, разделяется на устойчивую NN1 и
неустойчивую NN2 части точкой бифуркации Хопфа N . Учитывая
расположение устойчивых веток для плоской и круговой волн, мож-
но выделить диапазоны устойчивости и неустойчивости. Они также
аналогичны случаю вертикального кругового бака. Так устойчивые
плоские волны ожидаются для частот левее точки K. Правее точ-
ки M могут реализоваться как плоская, так и круговая волны. На
отрезке безразмерных частот между точками N и M имеются лишь
устойчивые круговые волны, а в диапазоне междуK иN отсутствуют
любые устойчивые установившиеся движения, поэтому могут возни-
кать иррегулярные движения.
172 А. В. Солодун
0.9 0.95 1 1.05 1.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
σ/σ11
|Ac|
K
K1
K2
M
M1
M2 M3
N
N1
N2
0.9 0.95 1 1.05 1.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
σ/σ11
|Bs|
M
N2 M3
N
N1
Рис. 1. Амплитудно-частотные кривые «плоской» и «круговой» волны для
бака с геометрией θ0 = 30◦, r0 = 1 и r1 = 0.7427 при внешнем возмущении
η2a = 0.00125 для продольных Ac и поперечных Bs амплитуд.
Сравнение амплитудно-частотных характеристик. Для иссле-
дования влияния высших форм на амплитудно-частотные характе-
ристики будем увеличивать количество вторичных собственных ко-
ординат в представлении свободной поверхности и оценивать разницу
изменения амплитуды. За базовую модель возьмем семимодовую мо-
дель работы [4], где учитывались только первые моды всех порядков
p01, p11, r11, p21, r21, p31, r31.
Добавление по паре вторичных мод второго порядка p02, p03, p22,
r22, p23, r23 существенно не изменяет значение амплитуд плоского
движения Ac. Разница между исходной 7-модовой моделью и моде-
лью с несколькими вторичными модами составляет не более одного
процента. Однако возникают соответственно несколько узких резо-
нансных диапазонов в области KN , где исходная система предусмат-
ривала только хаотические движения.
Аналогичная ситуация наблюдается и для устойчивой простран-
ственной (круговой) волны – на амплитудах это почти не отражается,
появляются только узкие резонансные диапазоны в области хаотиче-
ских движений.
В следующем параграфе мы рассмотрим экспериментальные ре-
зультаты из работы [12], где будут сравниваться теоретические и
экспериментальные величины установившихся амплитуд продольных
сил. Теоретические амплитудно-частотные характеристики для этого
экспериментального случая приводятся на рис. 1.
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 173
6. Гидродинамические силы
Для подсчета результирующей гидродинамической силы можно вос-
пользоваться известной формулой Луковского [3], в соответствии с
которой в случае поступательного движения бака компоненты гид-
родинамической силы определяются по формулам
Px = −mg − l̈1, Py = −l̈2, Pz = −mü− l̈3, (23)
где m – масса жидкости, u – внешнее гармоническое возмущение и
li(t)/m – координаты центра массы жидкости. Координаты вектора ~l
~l = ρ
∫
Q(t)
~rdQ, (24)
в криволинейной системе координат (см. приложение (A.4) [9]) с уче-
том основного порядка малости, когда все обобщенные координаты
βN = {pMi, rmi} имеют первый порядок малости pMi ∼ rmi ∼ ǫ
l1 =
∑
MNLijk
l
xppp
Mi,Nj,LkpMipNjpLk +
∑
Mnlijk
l
xprr
Mi,nj,lkpMirnjrlk+
+
∑
MNij
l
xpp
Mi,NjpMipNj +
∑
mnij
lxrrmi,njrmirnj + lx, l2 =
∑
Mi
l̂
yp
MipMi+
+
∑
MNij
l̂
ypp
Mi,NjpMipNj +
∑
mnij
l̂
yrr
mi,njrmirnj +
∑
MNLijk
l̂
yppp
Mi,Nj,LkpMipNjpLk+
+
∑
Mnlijk
l̂
yprr
Mi,nj,lkpMirnjrlk, l3 =
∑
mi
l̂
zp
mirmi +
∑
Mnij
l̂
zpr
Mi,njpMirnj+
+
∑
MNlijk
l̂
zppr
Mi,Nj,lkpMipNjrlk +
∑
mnlijk
l̂zrrrmi,nj,lkrmirnjrlk, (25)
где фигурирующие здесь коэффициенты l̂
rβ
Mi, l̂
rββ
Mi,Nj , l̂
rβββ
Mi,Nj,Lk опре-
деляются следующими выражениями (через ht и hb обозначены вы-
соты от вершины невозмущенной свободной поверхности и дна жид-
кости соответственно, βppMi,Nj коэффициенты компоненты β0 (1), а
δij = {1, i = j; 0, i 6=j}):
174 А. В. Солодун
lx =
π
4
(
h4t − h4b
)
x220, l
xpp
Mi,Nj =
h2t
2
δMN δijΛ
cc
MNλMi,Nj ,
lxrrmi,nj =
h2t
2
δmnδijΛ
ss
mnλmi,nj , l
xppp
Mi,Nj,Lk =
2
3
htΛ
ccc
MNLλMi,Nj,Lk,
l
xprr
Mi,nj,lk = 2htΛ
css
MnlλMi,nj,lk, l̂
yp
Mi = h3t δ1,MΛcc1M λ̂Mi,
l̂
yppp
Mi,Nj,Lk = htΛ
cccc
1MNLλ̂Mi,Nj,Lk + 3h2t δ1MΛcc1M λ̂MiδNLδjkβ
pp
Nj,Lk,
l̂
ypp
Mi,Nj =
3
2
h2tΛ
ccc
1MN λ̂Mi,Nj , l̂
yrr
mi,nj =
3
2
h2tΛ
css
1mnλ̂mi,nj ,
l̂
yprr
Mi,nj,lk = 3htΛ
ccss
1Mnlλ̂Mi,nj,lk + 3h2t δ1MΛcc1M λ̂Miδnlδjkβ
rr
nj,lk,
l̂
zp
mi = h3t δ1mΛssm1λ̂mi, l̂
zpr
Mi,nj = 3h2tΛ
css
Mn1λ̂Mi,nj ,
l̂
zppr
Mi,Nj,lk = 3htΛ
ccss
MNl1λ̂Mi,Nj,lk + 3h2tδ1lΛ
ss
l1 λ̂lkδMNδijβ
pp
Mi,Nj ,
l̂zrrrmi,nj,lk = htΛ
ssss
mnl1λ̂mi,nj,lk + 3h2tδ1lΛ
ss
l1 λ̂lkδmnδijβ
rr
mi,nj . (26)
Здесь введены следующие общие обозначения для тригонометриче-
ских составляющих
Λ
K1︷︸︸︷
c...c
K2︷︸︸︷
s...s
i..j︸︷︷︸
K1
k...l︸︷︷︸
K2
=
π∫
−π
cos (ix3)·. . .·cos (jx3)︸ ︷︷ ︸
K1
·sin (kx3)·. . .·sin (lx3)︸ ︷︷ ︸
K2
dx3 (27)
и интегральных компонент радиальных составляющих
λMi, . . . , Nj︸ ︷︷ ︸
K
=
∫ x20
0
x2 fMi (x2) · . . . · fNj (x2)︸ ︷︷ ︸
K
dx2,
λ̂Mi, . . . , Nj︸ ︷︷ ︸
K
=
∫ x20
0
x22 fMi (x2) · . . . · fNj (x2)︸ ︷︷ ︸
K
dx2. (28)
Вводя асимптотики Моисеева-Нариманова (3) в (25), останутся
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 175
только следующие компоненты до третьего порядка включительно
l1 = lx + l
xpp
11,11p
2
11 + lxrr11,11r
2
11 + l
xprr
11,11,11p11r
2
11 + l
xppp
11,11,11p
3
11,
l2 = l̂
ypp
11,11p
2
11 + l̂
yrr
11,11r
2
11 + l̂
yprr
11,11,11p11r
2
11 + l̂
yppp
11,11,11p
3
11 +
∑
i
l̂
yp
1i p1i+
+
∑
i
(
l̂
ypp
0i,11 + l̂
ypp
11,0i
)
p11p0i +
∑
i
(
l̂
ypp
2i,11 + l̂
ypp
11,2i
)
p11p2i+
+
∑
i
(
l̂
yrr
2i,11+ l̂
yrr
11,2i
)
r11r2i, l3 = l̂
zpr
11,11p11r11+ l̂zrrr11,11,11r
3
11+ l̂
zppr
11,11,11p
2
11r11
+
∑
i
l̂
zp
1i r1i +
∑
i
l̂
zpr
0i,11r11p0i +
∑
i
l̂
zpr
11,2ip11r2i +
∑
i
l̂
zpr
2i,11r11p2i. (29)
Для установившихся периодических режимов движения (15), (17)
вторая производная от времени для горизонтальных компонент век-
тора ~l имеет вид
l̈2 = Bs
(
λsy1 +A2
cλ
ccs
y1 +B2
sλ
sss
y1
)
σ2 sinσt+Bs
(
A2
c −B2
s
)
λsssy3 σ
2 sin 3σt,
l̈3 = Ac
(
λcz1 +A2
cλ
ccc
z1 + B2
sλ
css
z1
)
σ2 cosσt+Ac
(
A2
c −B2
s
)
λcccz3 σ
2 cos 3σt,
(30)
где коэффициенты λijk определяются следующими формулами:
λsy1 = λcz1 = −πh3t λ̂11, λ̂111 =
x220λ̂11,11,11 − 4λ̂11λ11,11
4htx220
,
λsssy1 = λsssyo1 + λsssyn1, λ
ccs
y1 = λccsyo1 + λccsyn1, λ
sss
y3 = λsssyo3 + λsssyn3,
λcccz1 = λccczo1 + λccczn1, λ
css
z1 = λcsszo1 + λcsszn1, λ
ccc
z3 = λccczo3 + λccczn3,
λsssyo1 = λccczo1 = −3πh2t
(
3λ̂111 + 2 (2o010 + o012) λ̂01,11+
+2 (o210 + o212) λ̂21,11
)
/4, λccsyo1 = λcsszo1 = −3πh2t
(
λ̂111+
+2 (2o010 − o012) λ̂01,11 + (−2o210 + 3o212) λ̂21,11
)
/4,
λsssyo3 = λcccz3 = −27πh2t
(
λ̂111 + 2o012λ̂01,11 + o212λ̂21,11
)
/4,
λcccyn1 = πh2t
(
2htG
λ̂1
11 − 3
(
2Cλ̂01
0 + Cλ̂01
2 + Sλ̂21
0 + Sλ̂21
2 /2
))
/2,
λcssyn1 = πh2t
(
2htG
λ̂1
12 − 3
(
2Cλ̂01
0 + Cλ̂01
2 + Sλ̂21
0 − 3Sλ̂21
2 /2
))
/2,
λcccyn3 = 9πh2t
(
2htG
λ̂1
3 − 3Cλ̂01
2 − 3Sλ̂21
2 /2
)
/2,
(31)
176 А. В. Солодун
где
Cλ̂k1
j =
∞∑
i=2
λ̂ki11o0ij , Sλ̂k1
j =
∞∑
i=2
λ̂ki11o2ij ,
Gλ̂1
3 =
∞∑
i=2
λ̂1io1i3, Gλ̂1
jk =
∞∑
i=2
λ̂1io1ijk.
(32)
Причем коэффициенты λijk разбиты на две составляющие: первая
соответствует случаю семимодовой модальной системы λcccroi, исследо-
ванной ранее в работе [4]; вторая – расширенной (бесконечномерной)
модальной системе предыдущей работы [9]. Такое представление поз-
воляет осуществить сравнительный анализ от добавления вторичных
мод более высокого порядка. В итоге мы получаем следующее выра-
жение для нахождения амплитуд сил:
Py = −
(
Bsλ
s
y1 +A2
cBsλ
ccs
y1 +B3
sλ
sss
y1
)
σ2 sinσt−
−Bs
(
A2
c −B2
s
)
λsssy3 σ
2 sin 3σt, (33a)
Pz = −
(
mH +Acλ
c
z1 +A3
cλ
ccc
z1 +AcB
2
sλ
css
z1
)
σ2 cosσt−
−Ac
(
A2
c −B2
s
)
λcccz3 σ
2 cos 3σt. (33b)
7. Численные результаты
Формула (33b) дает возможность оценить силовой отклик жидкости
в случае, когда имеется внешнее гармоническое возбуждение и вклад,
который вносится в горизонтальную проекцию суммарной гидроди-
намической силы инерционными силами
|P ifz | = 1
3
πρη2aσ
2
(
r
3
0
− r
3
1
)
cot θ0 (34)
и волновыми движениями на свободной поверхности жидкости
|P vmz | = max
∣∣∣
(
Acλ
c
z1 +A3
cλ
ccc
z1
)
σ2 cosσt+A3
cλ
ccc
z3 σ
2 cos 3σt
∣∣∣. (35)
Теоретический и экспериментальный силовой отклик жидкости
можно сравнить, пользуясь результатами экспериментальных иссле-
дований Кашиати и др. [12]. В их работе экспериментальная уста-
новка состоит из жесткого конического бака с датчиками нагрузок,
прикрепленного к платформе. Бак характеризуется геометрическими
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 177
входными параметрами θ0 = π/6 и r1 = 0.1 м, он частично заполнен
жидкостью с различными глубинами. Экспериментальная установка
размещена на вибростенде, который движется гармонически в гори-
зонтальной плоскости. Этот силовой отклик системы тело-жидкость
представляет собой сумму сил инерции жесткого бака и платформы,
а также стационарных гидродинамических сил, связанных с коле-
баниями жидкости. Экспериментальные результаты представлены в
безразмерной форме, выступающими в качестве передаточной функ-
ции |Pz |/(mη2aσ2) для амплитуды силы Pz . Используя третью фор-
мулу (23), с учетом того, что фигурирующая здесь масса m равна
сумме масс жидкости ml и массы бака с платформой mc, а также
представление обобщенных координат p0h(t), r11(t), p2h(t), r1k(t) и
r3h(t) (15), для стационарной гидродинамической силы получим вы-
ражение Pz = −(mc +ml)ü− l̈3. Тогда безразмерная сила (33b) при-
обретет вид
∣∣∣∣
Pz
mlη2aσ2
∣∣∣∣ = max
∣∣∣∣−
(
1 +
mc
ml
+
λcccz1 Ac
mlη2a
+
λcccz1 A
3
c
mlη2a
)
cosσt
−λ
ccc
z3 A
3
c
mlη2a
cos 3σt
∣∣∣∣ , (36)
где ml = ρVl – масса жидкости, Vl – объем жидкости, mc – общая
масса платформы и жесткого бака (mc = 10.5 кг в модели испытаний
Кашиати и др.). На рис. 2 построен график безразмерного силового
отклика, полученный при помощи формулы (36), и приведены экс-
периментальные данные работы [12] для случая глубины h = 6 см
(радиус дна r1 = 10 см, радиус невозмущенной свободной поверх-
ности r0 = 13.46 см) и при внешнем возмущении η2a = 1.25 мм для
плоских колебаний. Амплитудно-частотные характеристики для дан-
ного случая приведены на рис. 1.
Сравнение силового гидродинамического отклика. Проведем здесь
процедуру, аналогичную исследованию влияния высших форм на си-
ловой отклик жидкости путем увеличения количества вторичных
собственных координат в представлении свободной поверхности и
оценим разницу изменения силового отклика. За базовую модель
возьмем все ту же семимодовую модель работы [4]. Добавление по
паре вторичных мод второго порядка p02, p03, p22, r22, p23, r23 суще-
ственно не изменяет значение величин силового отклика устойчивого
плоского движения. Разница между исходной 7-модовой моделью и
178 А. В. Солодун
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0
5
10
15
20
25
30
σ/σ11
|Pz |/(mη2aσ2 )
Рис. 2. Силовой отклик колебаний жидкости. Сплошной линией обозна-
чены устойчивые плоские кривые, пунктирной – неустойчивые круговые
ветви. Точки, соответствующие точкам K, M и N из рис. 1 находятся за
пределами диапазона.
моделью с несколькими вторичными модами составляет не более од-
ного процента и на графике почти не видна. Добавление еще более
высших форм дает еще меньший вклад. Аналогичная ситуация на-
блюдается и для устойчивой пространственной (круговой) волны.
8. Выводы
Развивая метод неконформных отображений Луковского [3] для по-
лостей конической формы, в работе [9] была построена бесконеч-
номодовая модальная система, описывающая резонансные нелиней-
ные колебания жидкости в V -образных усеченных конических баках.
Эта система базируется на асимптотике третьего порядка Моисеева-
Нариманова, которая предполагает, что бак совершает близкие к гар-
моническим колебания с частотой, близкой к первой собственной ча-
стоте колебаний жидкости. При этом в работе [9], в отличии от преды-
дущих работ, учитывались кроме двух доминантных обобщенных ко-
ординат, соответствующих возмущениям двух первых доминантных
мод, также еще три бесконечных набора основных обобщенных коор-
динат второго порядка, а также четыре бесконечных набора обобщен-
ных координат третьего порядка малости. Как было отмечено ранее,
оставляя только первые из мод второго и третьего порядка, можно
получить эквивалентную (с точностью до переопределения коэффи-
Анализ резонансных колебаний жидкости . . . 179
циентов) модальную систему, аналогичную работе [4], построенной
для случая усеченного конуса.
Здесь проведен анализ резонансных колебаний жидкости для ис-
следуемой геометрии полости. Основное внимание было уделено ана-
лизу установившегося движения жидкости при строгом гармониче-
ском резонансном возбуждении бака. Как и в случае кругового ци-
линдрического, конического и срезанного конического бака, постро-
енные ранее нелинейные модальные уравнения позволяют выделить
плоские и круговые волновые установившиеся резонансные движе-
ния свободной поверхности и определить диапазоны их неустойчиво-
сти. Уточнены амплитудно-частотные характеристики, хотя по фор-
ме они остаются подобные тем, что были ранее в семимодовой моде-
ли. Уточнены результаты о силовом резонансном отклике жидкости.
Они были сравнены с известными из литературы экспериментальны-
ми данными [12]. Теоретические значения достаточно близки к экс-
периментальным.
[1] Луковский И.А. Вариационный метод в нелинейных задачах дина-
мики ограниченного объёма жидкости со свободной поверхностью //
Колебания упругих конструкций с жидкостью. — M.: Волна., 1976. —
C. 260–264.
[2] Луковський I.О. До розв’язування спектральних задачах лiнiйної тео-
рiї коливання рiдини в конiчних баках // Доповiдi НАН України. —
2002. — № 5. — C. 53–58.
[3] Луковский И.А. Математические модели нелинейной динамики твер-
дых тел с жидкостью. — К.: Наук. думка., 2010. — 407 c.
[4] Луковский И.А., Солодун A.В., Тимоxа А.Н. Нелинейная асимпто-
тическая модальная теория резонансных колебаний жидкости в сре-
занных конических баках // Акустичний вiсник. — 2011. — 14, 4. —
С. 37–64.
[5] Луковский И.А., Солодун A.В., Тимоxа А.Н. О внутренних резонан-
сах колебания жидкости в конических баках // Прикладна гiдроме-
ханiка. — 2013. — 15, 2. — С. 72–84.
[6] Луковский И.А., Тимоxа А.Н. Модальное моделирование нелиней-
ных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Мето-
дика неконформных отображений // Прикладная гидромеханика. —
2000. — 2 (74), 4. — C. 32–47.
[7] Моисеев Н.Н. К теории нелинейных колебаний ограниченного объёма
жидкости // Прикладная математика и механика. — 1958. — 22. —
C. 612–621.
180 А. В. Солодун
[8] Нариманов Г. С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная дина-
мика летательного аппарата с жидкостью. — М.: Машиностроение.,
1977. — 203 c.
[9] Солодун А.В. Нелинейные модальные модели третьего порядка мало-
сти, описывающие колебание жидкости в усеченных конических ре-
зервуарах // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2014. —
11, 4. — C. 280–307.
[10] Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И. Докучаев Л.В. Ме-
тоды определения присоединённыx масс жидкости в подвижныx по-
лостяx. — К.: Наук. думка., 1969. — 250 c.
[11] Barnyak M., Gavrilyuk I., Hermann M., Timokha A. Analytical velocity
potentials in cells with a rigid spherical wall // ZAMM. — 2011. — 91,
1. — P. 38–45.
[12] Casciati F., De Stefano A., Matta E. Simulating a conical tuned liquid
damper // Simulation Modelling Practice and Theory 11. — 2003. — 11. —
P. 353 —370.
[13] Faltinsen O.M., Rognebakke O. F., Lukovsky I.A., Timokha A.N.
Multidimensional modal analysis of nonlinear sloshing in a rectangular
tank with finite water depth // Journal of Fluid Mechanics. — 2000. —
407. — P. 201–234.
[14] Faltinsen O.M., Timokha A.N. Sloshing Cambridge. Cambridge
University Press. — 2009. — 608 p.
[15] Faltinsen O.M., Timokha A.N. Multimodal analysis of weakly nonlinear
sloshing in a spherical tank // Journal of Fluid Mechanics. — 2013. —
719. — P. 129–164.
[16] Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun A., Timokha A. Natural
sloshing frequency in rigid truncated conical tank // Jour. Engeneering
Computations. — 2008. — 25, 6. — P. 518–540.
[17] Gavrilyuk I. P., Hermann M., Lukovsky I.A., Solodun O.V.,
Timokha A.N Weakly nonlinear sloshing in a truncated circular
conical tank // Fluid Dyn. Res. — 45. — 2013. Paper ID 055512, —
P. 1–30.
[18] Gavrilyuk I., Lukovsky I., Timokha A. Linear and nonlinear sloshing in a
circular conical tank // Jour. Fluid Dynamic Research. — 2005. — 35. —
P. 399–429.
[19] Lukovsky I., Timokha A. Combining Narimanov-Moiseev and Lukovsky-
Miles schemes for nonlinear liquid sloshing // Jour. of Numeriacal and
Applied Mathematics. — 2011. — № 2 (105). — P. 69–82.
[20] Miles J.W. Nonlinear surface waves in closed basins // J. Fluid Mech.. —
1976. — 75. — P. 419–448.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-36 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:21Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/9b/47530cfee656c6fa7aec0c89b1f19e9b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-362018-01-23T12:01:13Z Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks Анализ резонансных колебаний жидкости в срезанных конических баках Аналіз резонансних коливань рідини у зрізаних конічних баках Солодун, О. В. Солодун, О. В. Nonlinear resonant sloshing of an ideal incompressible liquid in a rigidtruncated conical tank due to a horizontal harmonic excitation is studied.The excitation frequency is close to the lowest natural liquid frequency.Using a asymptotic modal system with Moiseev-Narimanov detuning [9],the steady-stare resonance sloshing is analysed. An asymptotic periodicsolution describing the so-called planar and swirling waves is derived. Util-ising the method of slowly varying amplitudes makes it possible to studythe solution stability. Hydrodynamic loads are estimated. The results arecompared with experimental data. Вивчаються нелiнiйнi резонанснi коливання iдеальної нестисливої рi-дини в жорсткому зрiзаному конiчному баку, що перебуває пiд дiєюгоризонтальних гармонiчних збурень з частотою, близькою до основ-ної власної частоти коливань рiдини. За допомогою асимптотичної мо-дальної системи з настройками Моiсеєва-Нарiманова [9] проаналiзова-но усталенi резонанснi рухи рiдини. Побудовано асимптотичнi перiо-дичнi за часом розв’язки, що описують плоскi та круговi хвилi. Ви-користовуючи метод повiльно змiнних амплiтуд, дослiджено стiйкiстьперiодичних розв’язкiв системи. Оцiнено силовий вплив рiдини на стiн-ки баку та проведено порiвняння з експериментом. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/36 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 160-180 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 160-180 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 160-180 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/36/20 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Солодун, О. В. Солодун, О. В. Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| title | Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| title_alt | Анализ резонансных колебаний жидкости в срезанных конических баках Аналіз резонансних коливань рідини у зрізаних конічних баках |
| title_full | Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| title_fullStr | Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| title_full_unstemmed | Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| title_short | Analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| title_sort | analysis of resonant sloshing in tapered conical tanks |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/36 |
| work_keys_str_mv | AT solodunov analysisofresonantsloshingintaperedconicaltanks AT solodunov analysisofresonantsloshingintaperedconicaltanks AT solodunov analizrezonansnyhkolebanijžidkostivsrezannyhkoničeskihbakah AT solodunov analizrezonansnyhkolebanijžidkostivsrezannyhkoničeskihbakah AT solodunov analízrezonansnihkolivanʹrídiniuzrízanihkoníčnihbakah AT solodunov analízrezonansnihkolivanʹrídiniuzrízanihkoníčnihbakah |