Exactly solvable flow stability problems
The method of separation of variables is applied to the problem of determining exactly solvable models of hydrodynamic stability. From a mathematical point of view, the problem of determining the stability of a flow is the solving of a system of equations derived from Navier-Stokes equations by line...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/369 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552866505293824 |
|---|---|
| author | Zhalij, A. Burde, G. Жалій, О. Бурде, Г. |
| author_facet | Zhalij, A. Burde, G. Жалій, О. Бурде, Г. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Жалій",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "Г. Бурде",
"institution": "Ben-Gurion University of the Negev"
}
] |
| author_sort | Zhalij, A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T08:52:53Z |
| description | The method of separation of variables is applied to the problem of determining exactly solvable models of hydrodynamic stability. From a mathematical point of view, the problem of determining the stability of a flow is the solving of a system of equations derived from Navier-Stokes equations by linearization along the main flows and finding a set of all possible solutions that allow splitting of perturbations into normal modes. The case of cylindrical coordinates is completely considered. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2019, ò. 16, � 1, 78�83
ÓÄÊ 517.9
Òî÷íî-ðîçâ'ÿçíi ìîäåëi
ãiäðîäèíàìi÷íî¨ ñòiéêîñòi
Î.Þ. Æàëié †, Ã.I. Áóðäå ‡
† Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â, Óêðà¨íà
E-mail: zhaliy@imath.kiev.ua
‡ Óíiâåðñèòåò iì. Áåí-Ãóðiîíà, Áååð-Øåâà, Içðà¨ëü
E-mail: georg@bgu.ac.il
Ìåòîä âiäîêðåìëåííÿ çìiííèõ çàñòîñîâàíî äî çàäà÷i âèçíà÷åííÿ òî÷íî-
ðîçâ'ÿçíèõ ìîäåëåé ãiäðîäèíàìi÷íî¨ ñòiéêîñòi. Ç ìàòåìàòè÷íî¨ òî÷êè
çîðó ïðîáëåìà âèçíà÷åííÿ ñòiéêîñòi äàíî¨ òå÷i¨ ïðåäñòàâëÿ¹ ñîáîþ
ðîçâ'ÿçóâàííÿ ñèñòåìè ðiâíÿíü, ùî îòðèìàíi ç ðiâíÿíü Íàâ'¹�Ñòîêñà
ëiíåàðiçàöi¹þ çà îñíîâíèìè òå÷iÿìè òà çíàõîäæåííÿ ìíîæèíè âñiõ ¨¨
ìîæëèâèõ ðîçâ'ÿçêiâ, ÿêi äîçâîëÿþòü ðîçùåïëåííÿ çáóðåíü íà íîð-
ìàëüíi ìîäè. Ïîâíiñòþ ðîçãëÿíóòî âèïàäîê öèëiíäðè÷íèõ êîîðäèíàò.
The method of separation of variables is applied to the problem of determi-
ning exactly solvable models of hydrodynamic stability. From a mathemati-
cal point of view, the problem of determining the stability of a �ow is the
solving of a system of equations derived from Navier�Stokes equations by
linearization along the main �ows and �nding a set of all possible soluti-
ons that allow splitting of perturbations into normal modes. The case of
cylindrical coordinates is completely considered.
Êëàñè÷íà òåîðiÿ ëiíiéíî¨ ñòiéêîñòi â'ÿçêèõ íåñòèñëèâèõ ïîòîêiâ
ïîâ'ÿçàíà ç ðîçâèòêîì ó ïðîñòîði òà ÷àñi íåñêií÷åííî ìàëèõ çáóðåíü
íàâêîëî çàäàíîãî îñíîâíîãî ïîòîêó [1, 2, 3]. Ñôîðìóëþ¹ìî çàäà÷ó
ãiäðîäèíàìi÷íî¨ ñòiéêîñòi, áàçóþ÷èñü íà ðiâíÿííi Íàâ'¹�Ñòîêñà â öè-
ëiíäðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ (r, ϕ, z). ßê öå çâè÷àéíî ðîáëÿòü ó òåîði¨
ñòiéêîñòi, ðîçùåïèìî ïîëÿ øâèäêîñòi i òèñêó (v̂r, v̂ϕ, v̂z, p̂) íà 2 ñêëà-
äîâi: îñíîâíî¨ òå÷i¨ (Vr, Vϕ, Vz, P ) i çáóðåíî¨ (vr, vϕ, vz, p),
v̂r = Vr + vr, v̂ϕ = Vϕ + vϕ, v̂z = Vz + vz, p̂ = P + p. (1)
Ïiäñòàâëÿþ÷è (1) â ðiâíÿííÿ Íàâ'¹�Ñòîêñà, çàïèñàíå â òåðìiíàõ çìií-
íèõ (v̂r, v̂ϕ, v̂z, p̂), i iãíîðóþ÷è âñi äîäàíêè, ùî ìiñòÿòü êâàäðàò çáó-
ðåíî¨ àìïëiòóäè, à òàêîæ íàêëàäàþ÷è óìîâó, ùîá çìiííi îñíîâíî¨
Òî÷íî-ðîçâ'ÿçíi ìîäåëi ãiäðîäèíàìi÷íî¨ ñòiéêîñòi 79
òå÷i¨ (Vr, Vϕ, Vz, P ) ñàìi çàäîâîëüíÿëè ðiâíÿííÿ Íàâ'¹�Ñòîêñà, ìè
îòðèìó¹ìî íàñòóïíó ñèñòåìó ëiíåàðèçîâàíèõ ðiâíÿíü ãiäðîäèíàìi÷-
íî¨ ñòiéêîñòi â öèëiíäðè÷íèõ êîîðäèíàòàõ:
∂vr
∂t
+ Vr
∂vr
∂r
+ vr
∂Vr
∂r
+
Vϕ
r
∂vr
∂ϕ
+
vϕ
r
∂Vr
∂ϕ
+ Vz
∂vr
∂z
+ vz
∂Vr
∂z
− 2
Vϕvϕ
r
= −1
ρ
∂p
∂r
+ ν
(
∂2vr
∂r2
+
1
r2
∂2vr
∂ϕ2
+
∂2vr
∂z2
+
1
r
∂vr
∂r
− 2
r2
∂vϕ
∂ϕ
− vr
r2
)
,
∂vϕ
∂t
+ Vr
∂vϕ
∂r
+ vr
∂Vϕ
∂r
+
Vϕ
r
∂vϕ
∂ϕ
+
vϕ
r
∂Vϕ
∂ϕ
+ Vz
∂vϕ
∂z
+ vz
∂Vϕ
∂z
+
Vrvϕ
r
+
vrVϕ
r
= − 1
ρr
∂p
∂ϕ
+ ν
(
∂2vϕ
∂r2
+
1
r2
∂2vϕ
∂ϕ2
+
∂2vϕ
∂z2
+
1
r
∂vϕ
∂r
+
2
r2
∂vr
∂ϕ
− vϕ
r2
)
,
∂vz
∂t
+ Vr
∂vz
∂r
+ vr
∂Vz
∂r
+
Vϕ
r
∂vz
∂ϕ
+
vϕ
r
∂Vz
∂ϕ
+ Vz
∂vz
∂z
+ vz
∂Vz
∂z
= −1
ρ
∂p
∂z
+ ν
(
∂2vz
∂r2
+
1
r2
∂2vz
∂ϕ2
+
∂2vz
∂z2
+
1
r
∂vz
∂r
)
,
∂vr
∂r
+
1
r
∂vϕ
∂ϕ
+
∂vz
∂z
+
vr
r
= 0. (2)
Ââåäåìî íîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò t, ξ = ξ(t, r), γ = γ(t, ϕ), η =
η(t, z).
Êàçàòèìåìî, ùî ñèñòåìà (2) äîïóñê๠âiäîêðåìëåííÿ çìiííèõ â
íåñòàöiîíàðíié öèëiíäðè÷íié ñèñòåìi êîîðäèíàò ξ, γ, η, ÿêùî àíçàö
vr = T (t) exp(aη +mγ + sS(t))f(ξ),
vϕ = T (t) exp(aη +mγ + sS(t))g(ξ),
vz = T (t) exp(aη +mγ + sS(t))h(ξ),
p = T1(t) exp(aη +mγ + sS(t))π(ξ) (3)
çâîäèòü ñèñòåìó ðiâíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè (2) äî ñèñòåìè 3-õ
çâè÷àéíèõ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü äðóãîãî ïîðÿäêó é îäíîãî çâè-
÷àéíîãî äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó äëÿ 4-õ ôóíê-
öié f(ξ), g(ξ), h(ξ), π(ξ) íàñòóïíîãî âèãëÿäó:
h′′(ξ) = U11g
′(ξ) + U12h
′(ξ) + U13π
′(ξ)
80 Î.Þ. Æàëié, Ã.I. Áóðäå
+ U14f(ξ) + U15g(ξ) + U16h(ξ) + U17π(ξ),
f ′′(ξ) = U21g
′(ξ) + U22h
′(ξ) + U23π
′(ξ)
+ U24f(ξ) + U25g(ξ) + U26h(ξ) + U27π(ξ),
g′′(ξ) = U31g
′(ξ) + U32h
′(ξ) + U33π
′(ξ)
+ U34f(ξ) + U35g(ξ) + U36h(ξ) + U37π(ξ),
f ′(ξ) = U41f(ξ) + U42g(ξ) + U43h(ξ) + U44π(ξ). (4)
Òóò Uij � öå ïîëiíîìè äðóãîãî ïîðÿäêó âiäíîñíî ñïåêòðàëüíèõ ïà-
ðàìåòðiâ a, s, m ç êîåôiöi¹íòàìè, ÿêi ñàìi ¹ ãëàäêèìè ôóíêöiÿìè
âiä ξ.
Îñíîâíi êðîêè ïðîöåäóðè âiäîêðåìëåííÿ çìiííèõ â ñèñòåìi (2) ¹
íàñòóïíèìè:
1. Ïiäñòàâëÿ¹ìî àíçàö (3) â ðiâíÿííÿ (2) i çàïèñó¹ìî ïîõiäíi f ′′(ξ),
g′′(ξ), h′′(ξ), f ′(ξ) â òåðìiíàõ ôóíêöié g′(ξ), h′(ξ), π′(ξ), f(ξ),
g(ξ), h(ξ), π(ξ), âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ (4).
2. Äàëi ðîçãëÿäà¹ìî g′(ξ), h′(ξ), π′(ξ), f(ξ), g(ξ), h(ξ), π(ξ) ÿê íîâi
íåçàëåæíi çìiííi. Îñêiëüêè ôóíêöi¨ ξ(t, r), γ(t, ϕ), η(t, z), T (t),
T1(t), S(t), îñíîâíi òå÷i¨ Vr, Vϕ, Vz i êîåôiöi¹íòè Uij (ÿêi ñà-
ìi ¹ ãëàäêèìè ôóíêöiÿìè âiä ξ) ¹ íåçàëåæíèìè âiäíîñíî öèõ
çìiííèõ, ìè âèìàãàòèìåìî, ùîá îòðèìàíà ðiâíèñòü ïåðåòâîðþ-
âàëàñü ó òîòîæíiñòü ïðè äîâiëüíèõ g′(ξ), h′(ξ), π′(ξ), f(ξ), g(ξ),
h(ξ), π(ξ). Iíøèìè ñëîâàìè, ìè ìà¹ìî ðîçùåïèòè öþ ðiâíiñòü
âiäíîñíî öèõ çìiííèõ. Ïiñëÿ ðîçùåïëåííÿ ìè îòðèìà¹ìî ïå-
ðåâèçíà÷åíó ñèñòåìó íåëiíiéíèõ ðiâíÿíü â ÷àñòèííèõ ïîõiäíèõ
äëÿ íåâiäîìèõ ôóíêöié ξ(t, r), γ(t, ϕ), η(t, z), T (t), T1(t), S(t),
îñíîâíèõ òå÷ié Vr, Vϕ, Vz i êîåôiöi¹íòiâ ïîëiíîìiâ Uij .
3. Ïiñëÿ ðîçâ'ÿçàííÿ âèùåîòðèìàíî¨ ñèñòåìè ìè îòðèìà¹ìî âè-
÷åðïíèé îïèñ êîîðäèíàòíèõ ñèñòåì, â ÿêèõ ñèñòåìà ðiâíÿíü (2)
äîïóñê๠âiäîêðåìëåííÿ çìiííèõ â ðàìêàõ íàøîãî îçíà÷åííÿ.
Îòæå, ïðîáëåìà âiäîêðåìëåííÿ çìiííèõ â ñèñòåìi ðiâíÿíü (2) çâî-
äèòüñÿ äî iíòåãðóâàííÿ ïåðåâèçíà÷åíî¨ ñèñòåìè ðiâíÿíü ç ÷àñòèí-
íèìè ïîõiäíèìè äëÿ íåâiäîìèõ ôóíêöié ξ(t, r), γ(t, ϕ), η(t, z), T (t),
T1(t), S(t), îñíîâíèõ òå÷ié Vr, Vϕ, Vz i êîåôiöi¹íòiâ ïîëiíîìiâ Uij .
Íèæ÷å íàâîäèìî ðåçóëüòàòè. Äëÿ íàÿâíîñòi ôiçè÷íîãî çìiñòó ìè
íàêëàëè äîäàòêîâó óìîâó, ùîá îñíîâíi òå÷i¨ ñàìi òî÷íî çàäîâîëüíÿëè
ðiâíÿííÿ Íàâ'¹�Ñòîêñà.
Òî÷íî-ðîçâ'ÿçíi ìîäåëi ãiäðîäèíàìi÷íî¨ ñòiéêîñòi 81
Òðèâèìiðíi çáóðåííÿ. Çàãàëüíà ôîðìà çáóðåíü vr, vϕ, vz i p ¹
òàêîþ:
vr = T (t) exp
(
aη +mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
f(ξ),
vϕ = T (t) exp
(
aη +mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
g(ξ),
vz = T (t) exp
(
aη +mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
h(ξ),
p = ρT (t)2 exp
(
aη +mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
π(ξ), (5)
äå
ξ = T (t)r, η = T (t)z + c(t).
Öèì çáóðåííÿì âiäïîâiäàþòü äâà êëàñè îñíîâíèõ òå÷ié, ùî çàäî-
âîëüíÿþòü ðiâíÿííÿ Íàâ'¹�Ñòîêñà. Ïîëÿ øâèäêîñòåé äëÿ îáîõ êëàñiâ
âèçíà÷åíî íàñòóïíèì ÷èíîì:
Vz = A(ξ)T (t)− zT ′(t)
T (t)
− β(t), β(t) =
c′(t)
T (t)
,
Vr = B(ξ)T (t)− rT
′(t)
T (t)
, Vϕ = C(ξ)T (t),
äå ôóíêöi¨ T (t) i B(ξ) âèçíà÷àþòüñÿ ðiçíèì ÷èíîì äëÿ êîæíîãî ç
öèõ äâîõ êëàñiâ:
Class I : T (t) =
1√
t
, B(ξ) = −3ξ
4
+
k
ξ
,
äå ôóíêöi¨ A(ξ) i C(ξ) çàäîâîëüíÿþòü ðiâíÿííÿ
(4k + 3ξ2− 4ν)A′(ξ) + ξ(−4k + 3ξ2+ 4ν)A′′(ξ) + 4ξ2νA′′′(ξ) = 0,
−4νk0ξ + (−4k + 3ξ2 − 4ν)C(ξ)
+ ξ(−4k + 3ξ2 + 4ν)C ′(ξ) + 4νξ2C ′′(ξ) = 0 (6)
i ðîçïîäië òèñêiâ äàíî íàñòóïíèì ÷èíîì:
P
ρ
=
νk0ϕ
t
+
x2
8t2
82 Î.Þ. Æàëié, Ã.I. Áóðäå
+ x
[
β′(t) +
β(t)
2t
+ t−3/2
(
νA′′(ξ)− 4k − 3ξ2 − 4ν
4ξ
A′(ξ)
)]
+
1
t
∫
16k2 − 5ξ2 + 16ξ2C2(ξ)
16ξ3
dξ + p0(t).
ÇÄÐ (6) ìîæóòü áóòè ÿâíèì ÷èíîì ðîçâ'ÿçàíi â òåðìiíàõ íåïîâíèõ
ãàììà-ôóíêöié.
Class II : T (t) = 1, B(ξ) =
k
ξ
,
äå A(ξ) i C(ξ) çàäîâîëüíÿþòü ðiâíÿííÿ
(k − ν)A′(ξ) + ξ(ν − k)A′′(ξ) + ξ2νA′′′(ξ) = 0,
νk0ξ + (k + ν)C(ξ) + ξ(k − ν)C ′(ξ)− ξ2νC ′′(ξ) = 0 (7)
i âiäïîâiäíèé ðîçïîäië òèñêiâ äàíî íàñòóïíèì ÷èíîì:
P
ρ
= νk0ϕ+ x
(
β′(t) + νA′′(ξ) +
ν − k
ξ
A′(ξ)
)
+
∫
k2 + ξ2C2(ξ)
ξ3
dξ + p0(t).
ÇÄÐ (7) ìîæóòü áóòè ÿâíèì ÷èíîì ðîçâ'ÿçàíi â åëåìåíòàðíèõ ôóíê-
öiÿõ.
Ðiâíÿííÿ ç âiäîêðåìëåíèìè çìiííèìè ìîæóòü áóòè çàïèñàíi äëÿ
îáîõ êëàñiâ òàêèì ÷èíîì:
f(ξ)
(
ξ2s+ ν −m2ν − a2ξ2ν + aξ2A(ξ) +mξC(ξ) + ξ2B′(ξ)
)
+ 2(mν − ξC(ξ))g(ξ) + ξ((−ν + ξB(ξ))f ′(ξ)
+ ξ(π′(ξ)− νf ′′(ξ))) = 0,(
ξ2s+ ν −m2ν − a2ξ2ν + aξ2A(ξ) + ξB(ξ) +mξC(ξ)
)
g(ξ)
+ f(ξ)
(
−2mν + ξC(ξ) + ξ2C ′(ξ)
)
+ ξ(mπ(ξ) + (−ν + ξB(ξ))g′(ξ)− ξνg′′(ξ)) = 0,(
ξ2s−m2ν − a2ξ2ν + aξ2A(ξ) +mξC(ξ)
)
h(ξ)
+ ξ(aξπ(ξ) + ξf(ξ)A′(ξ)− νh′(ξ) + ξB(ξ)h′(ξ)− ξνh′′(ξ)) = 0,
f(ξ) +mg(ξ) + ξ(ah(ξ) + f ′(ξ)) = 0.
Òî÷íî-ðîçâ'ÿçíi ìîäåëi ãiäðîäèíàìi÷íî¨ ñòiéêîñòi 83
Äâîâèìiðíi çáóðåííÿ. Çàãàëüíà ôîðìà çáóðåíü ¹ òàêîþ:
vr = T (t) exp
(
mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
f(ξ),
vϕ = T (t) exp
(
mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
g(ξ), vz = 0,
p = ρT (t)2 exp
(
mϕ+ s
∫
T (t)2 dt
)
π(ξ), ξ = T (t)r,
ÿêà ¹ ÷àñòèííèì âèïàäêîì (5) äëÿ a = 0.
Öèì çáóðåííÿì âiäïîâiäà¹, çîêðåìà, òàêà îñíîâíà òå÷iÿ:
Vz = −kz + β(t), Vr = kr/2 + q/r, Vϕ = νB(ξ)T (t),
P
ρ
= −1
2
k2x2 + x (kβ(t)− β′(t))− 4q2 + k2r4
8r2
+ T 2(t)
(
ν2
∫
B2(ξ)
ξ
dξ − 1
2
νk0ϕ
)
+ p0(t),
äå ôóíêöi¨ T (t) i B(ξ) çàäîâîëüíÿþòü ñèñòåìó ðiâíÿíü
T ′(t)− 1
2
(
QT 3(t)− kT (t)
)
= 0,
k0ξ −
(
2q + 2ν +Qξ2
)
B(ξ)− ξ
(
2q − 2ν +Qξ2
)
B′(ξ)
+ 2νξ2B′′(ξ) = 0,
ÿêà ïðèâîäèòü äî íàñòóïíèõ âèïàäêiâ
T (t) =
1√
ekt + 1
(
Q
k
= 1
)
, T (t) =
1√
ekt − 1
(
Q
k
= −1
)
,
T (t) = 1
(
Q
k
= 1
)
, T (t) = e−kt/2 (Q = 0) .
[1] Drazin P.G., Reid W.H., Hydrodynamic stability, Cambridge University Press,
1995.
[2] Reed H.L., Saric W.S., Linear stability theory applied to boundary layers, Annu.
Rev. Fluid Mech. 28 (1996), 389-428.
[3] Saric W.S., Reid H.L., White E.B., Stability and transition of three-dimensional
boundary layers, Ann. Rev. Fluid. Mech. 35 (2003), 413-440.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-369 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c8/2863fdcbe3aa201f47dd52021bdf52c8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3692020-08-13T08:52:53Z Exactly solvable flow stability problems Точно-розв'язні моделі гідродинамічної стійкості Zhalij, A. Burde, G. Жалій, О. Бурде, Г. The method of separation of variables is applied to the problem of determining exactly solvable models of hydrodynamic stability. From a mathematical point of view, the problem of determining the stability of a flow is the solving of a system of equations derived from Navier-Stokes equations by linearization along the main flows and finding a set of all possible solutions that allow splitting of perturbations into normal modes. The case of cylindrical coordinates is completely considered. Метод відокремлення змінних застосовано до задачі визначення точно-розв'язних моделей гідродинамічної стійкості. З математичної точки зору проблема визначення стійкості даної течії представляє собою розв'язування системи рівнянь, що отримані з рівнянь Нав'є-Стокса лінеарізацією за основними течіями та знаходження множини всіх її можливих розв'язків, які дозволяють розщеплення збурень на нормальні моди. Повністю розглянуто випадок циліндричних координат. Інститут математики НАН України 2019-09-03 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/369 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 1 (2019): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics; 78-83 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 78-83 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 78-83 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/369/364 Авторське право (c) 2019 О. Жалій, Г. Бурде |
| spellingShingle | Zhalij, A. Burde, G. Жалій, О. Бурде, Г. Exactly solvable flow stability problems |
| title | Exactly solvable flow stability problems |
| title_alt | Точно-розв'язні моделі гідродинамічної стійкості |
| title_full | Exactly solvable flow stability problems |
| title_fullStr | Exactly solvable flow stability problems |
| title_full_unstemmed | Exactly solvable flow stability problems |
| title_short | Exactly solvable flow stability problems |
| title_sort | exactly solvable flow stability problems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/369 |
| work_keys_str_mv | AT zhalija exactlysolvableflowstabilityproblems AT burdeg exactlysolvableflowstabilityproblems AT žalíjo exactlysolvableflowstabilityproblems AT burdeg exactlysolvableflowstabilityproblems AT zhalija točnorozv039âznímodelígídrodinamíčnoístíjkostí AT burdeg točnorozv039âznímodelígídrodinamíčnoístíjkostí AT žalíjo točnorozv039âznímodelígídrodinamíčnoístíjkostí AT burdeg točnorozv039âznímodelígídrodinamíčnoístíjkostí |