Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions
The paper considers polуnomial solutions to a nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions. In particular, it is shown that the coefficients of leading monomials satisfy a strongly nonlinear dynamical system of Hamiltonian type. This system may have perio...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , , , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/372 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552868834181120 |
|---|---|
| author | Skurativskyi, S. Skurativska, I. Bukur, G. Maslova, O. Скуратівський, С. Скуратівська, І. Букур, Г. Маслова, О. |
| author_facet | Skurativskyi, S. Skurativska, I. Bukur, G. Maslova, O. Скуратівський, С. Скуратівська, І. Букур, Г. Маслова, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Скуратівський",
"institution": "Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України"
},
{
"author": "І. Скуратівська",
"institution": "Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України"
},
{
"author": "Г. Букур",
"institution": "Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України"
},
{
"author": "О. Маслова",
"institution": "Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України"
}
] |
| author_sort | Skurativskyi, S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T08:52:53Z |
| description | The paper considers polуnomial solutions to a nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions. In particular, it is shown that the coefficients of leading monomials satisfy a strongly nonlinear dynamical system of Hamiltonian type. This system may have periodic, quasiperiodic, and chaotic regimes when the model's control parameter is varied. The observed regimes were studied by means of analysis of Poincare sections and spectra of Lyapunov exponents. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2019, ò. 16, � 1, 155�163
ÓÄÊ 517.912:512.816
Ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi
íåëiíiéíîãî ñåðåäîâèùà
ç êîëèâíèìè âêëþ÷åííÿìè
Ñ.I. Ñêóðàòiâñüêèé, I.À. Ñêóðàòiâñüêà,
Ã.Â. Áóêóð, Î.Ì. Ìàñëîâà
Iíñòèòóò ãåîôiçèêè iì. Ñ.I. Ñóááîòiíà ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â
E-mail: skurserg@gmail.com, inna.skurativska@gmail.com
Ó ñòàòòi äîñëiäæóþòüñÿ ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè íåëiíiéíî¨ ñèñòåìè
ÄÐ×Ï, ÿêà îïèñó¹ äèíàìiêó ñêëàäíîãî ñåðåäîâèùà ç êîëèâíèìè âêëþ-
÷åííÿìè. Çîêðåìà ïîêàçàíî, ùî êîåôiöi¹íòè ðîçâ'ÿçêó ïðè ñòàðøèõ ìî-
íîìàõ çàäîâîëüíÿþòü ñóòò¹âî íåëiíiéíó äèíàìi÷íó ñèñòåìó ãàìiëüòî-
íîâîãî òèïó. Ó öié ñèñòåìi ïðè çìiíi êåðóþ÷îãî ïàðàìåòðó ìîäåëi iñíó-
þòü ïåðiîäè÷íi, êâàçiïåðiîäè÷íi òà õàîòè÷íi ðåæèìè, âèâ÷åííÿ ÿêèõ
çäiéñíþâàëîñü íà îñíîâi àíàëiçó ïåðåðiçiâ Ïóàíêàðå òà ñïåêòðó ëÿïó-
íîâñüêèõ ïîêàçíèêiâ.
The paper considers polónomial solutions to a nonlinear system of PDE
describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions. In
particular, it is shown that the coe�cients of leading monomials satisfy
a strongly nonlinear dynamical system of Hamiltonian type. This system
may have periodic, quasiperiodic, and chaotic regimes when the model's
control parameter is varied. The observed regimes were studied by means
of analysis of Poincar�e sections and spectra of Lyapunov exponents.
1. Âñòóï. Ç àíàëiçó åêñïåðèìåíòàëüíèõ äàíèõ ñòîñîâíî ïðîòiêàí-
íÿ ôiçè÷íèõ ïðîöåñiâ ó ãåòåðîãåííèõ ñåðåäîâèùàõ âèïëèâ๠íåîáõiä-
íiñòü óäîñêîíàëåííÿ êëàñè÷íèõ ìîäåëåé ìåõàíiêè ñóöiëüíîãî ñåðåäî-
âèùà øëÿõîì âðàõóâàííÿ âíóòðiøíiõ ÷àñîâî-ïðîñòîðîâèõ ìàñøòàáiâ
òà äîäàòêîâèõ ñòóïåíiâ ñâîáîäè. Òàêà ñèòóàöiÿ, çîêðåìà, ñêëàëàñÿ
ç îïèñîì ïîøèðåííÿ êîðîòêèõ àêóñòè÷íèõ õâèëü ó òâåðäèõ òiëàõ
òà òâåðäèõ ïîëiìåðàõ, ç îïèñîì ïîâåäiíêè ïîëiêðèñòàëi÷íèõ òië òà
ãðàíóëüîâàíèõ ñåðåäîâèù â óìîâàõ ñêëàäíîãî àáî òðèâàëîãî íàâàí-
òàæåííÿ, âèñîêèõ ãðàäi¹íòiâ òîùî [3, 9].
156 Ñ.I. Ñêóðàòiâñüêèé òà ií.
Íàìàãàííÿ îïèñàòè ïîâåäiíêó ãðàíóëüîâàíèõ ñåðåäîâèù ó êîí-
òèíóàëüíîìó íàáëèæåííi ÷è ïðîöåñè ëîêàëiçàöi¨ äåôîðìàöi¨ ó ãåòå-
ðîãåííèõ ìàòåðiàëàõ ïîêàçàëè íåîáõiäíiñòü óçàãàëüíåííÿ êëàñè÷íèõ
ìîäåëåé ç ìåòîþ âðàõóâàííÿ ìiêðîñòðóêòóðè, äèíàìiêè ñòðóêòóðíèõ
åëåìåíòiâ òà âçà¹ìîäi¨ ìiæ íèìè. Ó öié ðîáîòi ðîçãëÿäàþòüñÿ ìîäåëi,
ÿêi âðàõîâóþòü êîëèâàëüíó äèíàìiêó ñòðóêòóðíèõ åëåìåíòiâ.
2. Âðàõóâàííÿ êîëèâíèõ ñòóïåíiâ ñâîáîäè â ìàòåìàòè÷-
íèõ ìîäåëÿõ ñòðóêòóðîâàíèõ ñåðåäîâèù. ßê çàçíà÷åíî ó ðî-
áîòàõ [9, 10], ñòðóêòóðíi åëåìåíòè ïðèðîäíèõ ãåîñåðåäîâèù ïåðåáó-
âàþòü ó ïîñòiéíîìó êîëèâàëüíîìó ðóñi. Äëÿ âðàõóâàííÿ êîëèâíî¨
äèíàìiêè ñòðóêòóðíèõ åëåìåíòiâ ãåîñåðåäîâèùà â ðàìêàõ òåîði¨ ñó-
öiëüíîãî ñåðåäîâèùà ìîæíà âèêîðèñòàòè óçàãàëüíåíi ðiâíÿííÿ ñòàíó
[14, 15, 16] àáî áåçïîñåðåäíüî îïèñàòè äèíàìiêó êîëèâàíü ó äîäàòêî-
âîìó ðiâíÿííi ðóõó. Äî îñòàííüîãî âèïàäêó íàëåæàòü ìîäåëi ó âè-
ãëÿäi âçà¹ìíî ïðîíèêàþ÷èõ êîíòèíóóìiâ [1, 2, 7, 11, 12, 15, 16, 17, 22]
∂2u
∂t2
=
∂σ
∂x
−m∂2w
∂t2
,
∂2w
∂t2
+ ω2(w − u) = 0,
σ =
E1
ρ
∂u
∂x
+
E2
ρ
(
∂u
∂x
)2
+
E3
ρ
(
∂u
∂x
)3
, (1)
äå u � çìiùåííÿ îñíîâíîãî ñåðåäîâèùà ãóñòèíè ρ, w � çìiùåííÿ
îñöèëþþ÷îãî âêëþ÷åííÿ ãóñòèíè mρ ç âëàñíîþ ÷àñòîòîþ ω.
Îñòàíí¹ ðiâíÿííÿ ¹ ðiâíÿííÿì ñòàíó íåñó÷îãî ñåðåäîâèùà. Âèêî-
íóþ÷è çíåðîçìiðåííÿ ìîäåëi (1) çãiäíî ç ôîðìóëàìè t = τt, x = c0τx,
u = c0u, w = c0w, ω = ωτ , çàïèøåìî ¨¨ ó òàêîìó âèãëÿäi
∂2u
∂t2
=
∂σ
∂x
−m∂2w
∂t2
,
∂2w
∂t2
+ ω2(w − u) = 0,
σ = e1
∂u
∂x
+ e2
(
∂u
∂x
)2
+ e3
(
∂u
∂x
)3
, (2)
äå e1 =
(
c
c0
)2
, e2 = E2
c20τρ
, e3 = E3
c20τ
2ρ
, c2 = E1
ρ .
Çàçíà÷èìî, ùî êóái÷íå ðiâíÿííÿ ñòàíó ¹ äîâîëi ïîøèðåíèì ñåðåä
ìîäåëåé ïðèðîäíèõ ìàòåðiàëiâ. Çîêðåìà, êîåôiöi¹íòè ei ïîâ'ÿçóþòü-
ñÿ ç îñîáëèâîñòÿìè ãðàôiêà ðiâíÿííÿ ñòàíó íàñòóïíèì ÷èíîì [20]:
σ = A1
∂u
∂x
+A2
(
∂u
∂x
)2
+A3
(
∂u
∂x
)3
,
Ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi íåëiíiéíîãî ñåðåäîâèùà 157
äå A1 = σ1
ε1
5−n
4 , A2 = σ1
ε21
1+n
2 , A3 = σ1
ε31
3+n
4 , n = σ2
σ1
< 0, ïàðàìåò-
ðè σ1 òà ε1 âèáèðàþòüñÿ iç óìîâè, ùî
∂σ
∂ε = 0 ó òî÷öi ç êîîðäèíàòàìè
(ε1, σ1). Äëÿ áàãàòüîõ ìàòåðiàëiâ |n| ≥ 1.
Âàðòî òàêîæ çàçíà÷èòè, ùî ïîäiáíi ìîäåëi âèíèêàþòü ÿê êîíòè-
íóàëüíi íàáëèæåííÿ äèñêðåòíèõ ëàíöþãiâ ÷àñòèíîê, çâ'ÿçàíèõ ïåâ-
íèìè ñèëàìè âçà¹ìîäi¨ [8, 13]. Òàêîæ òàêi ìîäåëi ó äîâãîõâèëüîâîìó
íàáëèæåííi îïèñóþòü ðîçïîâñþäæåííÿ çáóðåíü ó ñåðåäîâèùàõ ç ïó-
õèðöÿìè ãàçó, ùî íå ðîç÷èíÿ¹òüñÿ [6].
3. Ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi âçà¹ìíî ïðîíèêàþ÷èõ
êîíòèíóóìiâ. Çàçíà÷èìî, ùî ó ðîáîòàõ [2, 11, 15, 16, 17, 22] äåòàëü-
íî âèâ÷åíî õâèëüîâi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi (1), ÿêi îïèñóþòüñÿ íåëiíié-
íèìè àâòîíîìíèìè çâè÷àéíèìè äèôåðåíöiàëüíèìè ðiâíÿííÿìè, ùî
äîçâîëÿ¹ âèêîðèñòàòè ñó÷àñíi äîñÿãíåííÿ â ãàëóçi ÷èñëîâîãî òà ÿêiñ-
íîãî àíàëiçó äèíàìi÷íèõ ñèñòåì. Íàòîìiñòü, iíøi ðîçâ'ÿçêè âêàçàíî¨
ìîäåëi ðåòåëüíî íå äîñëiäæóâàëèñü.
Íàðàçi ðîçãëÿíåìî ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi (2). Ó öüîìó
âèïàäêó ðîçâ'ÿçîê ñèñòåìè (2) áóäåìî øóêàòè ó íàñòóïíîìó âèãëÿ-
äi [18]
u = a1 + a2x+ a3x
2, w = b1 + b2x+ b3x
2, (3)
äå êîåôiöi¹íòè ai = ai(t) òà bi = bi(t) ¹ ôóíêöiÿìè òiëüêè ÷àñó.
Ïiäñòàâèìî (3) â (2) òà âèïèøåìî êîåôiöi¹íòè ïðè ìîíîìàõ xk.
Ïðè x0:
−2a3e1 − 4a2a3e2 − 6a2
2a3e3 +
d2a1
dt2
+m
d2b1
dt2
= 0,
d2b1
dt2
+ ω2 (b1 − a1) = 0.
Ïðè x1:
−8a2
3e2 − 24a2a
2
3e3 +
d2a2
dt2
+m
d2b2
dt2
= 0,
d2b2
dt2
+ ω2(b2 − a2) = 0.
Ïðè x2:
−24a3
3e3 +
d2a3
dt2
+m
d2b3
dt2
= 0,
d2b3
dt2
+ ω2(b3 − a3) = 0. (4)
158 Ñ.I. Ñêóðàòiâñüêèé òà ií.
Äëÿ ñïðîùåííÿ ñèñòåìè (4) ïðèéìåìî, ùî 24e3 = −µ < 0, a3 = x,
b3 = y, òà âèêîíà¹ìî íàñòóïíi ìàñøòàáíi ïåðåòâîðåííÿ
t = τ t̄, x =
x̄
q
, y =
ȳ
q
.
ßêùî ïàðàìåòðè τ = 1
ω , q =
√
µ
ω , òî ïðèéäåìî äî òàêî¨ ñèñòåìè
ðiâíÿíü (íåõòóþ÷è ðèñêàìè íàä çìiííèìè):
d2x
dt2
+ x3 = m (y − x) ,
d2y
dt2
+ (y − x) = 0,
ÿêà çàëåæèòü ëèøå âiä îäíîãî ïàðàìåòðó çâ'ÿçêó m.
Ëåãêî ïîêàçàòè, ùî îòðèìàíà ñèñòåìà ¹ ãàìiëüòîíîâîþ. Äiéñíî,
çà äîäàòêîâî¨ çàìiíè çìiííî¨ y = y√
m
ìîæíà îòðèìàòè ñèñòåìó
d2x
dt2
+ x3 = m
(
y√
m
− x
)
,
d2y
dt2
+
√
m
(
y√
m
− x
)
= 0,
ÿêà ì๠ïðåäñòàâëåííÿ âèäó
d2x
dt2
= −∂V
∂x
,
d2y
dt2
= −∂V
∂y
,
äå ïîòåíöiàë V = x4
4 + m
2
(
y√
m
− x
)2
, ùî äîçâîëÿ¹ çàïèñàòè ôóíêöiþ
Ãàìiëüòîíà ó âèãëÿäi
H = 1
2p
2
x + 1
2p
2
y + V (x, y), px =
dx
dt
, py =
dy
dt
, (5)
ÿêà íà òðà¹êòîðiÿõ ñèñòåìè íàáóâ๠ñòàëèõ çíà÷åíü, òîáòî dH
dt = 0,
à îòæå, H = h = const.
Ðîçãëÿíåìî ñòðóêòóðó ôàçîâîãî ïðîñòîðó ñèñòåìè òà ¨¨ çìiíó ïðè
âàðiþâàííÿ ïàðàìåòðiâ ñèñòåìè. Äëÿ öüîãî âèêîðèñòà¹ìî òåõíiêó ïå-
ðåðiçiâ Ïóàíêàðå, à ó ÿêîñòi êåðóþ÷îãî ïàðàìåòðó âèáåðåìî ïàðà-
ìåòð h � åíåðãiÿ ñèñòåìè. Ïî÷àòêîâi óìîâè äëÿ iíòåãðóâàííÿ ñèñòå-
ìè âèáåðåìî òàêèì ÷èíîì ùîá âîíè çàäîâîëüíÿëè ãàìiëüòîíiàí H.
Ðiâíÿííÿ H = h = const ÿâëÿ¹ ñîáîþ ãiïåðïîâåðõíþ â 4-âèìið-
íîìó ôàçîâîìó ïðîñòîði äèíàìi÷íî¨ ñèñòåìè, íà ÿêié iíòåãðàëüíà
òðà¹êòîðiÿ ëèøà¹òüñÿ óâåñü íàñòóïíèé ÷àñ. Öÿ òðà¹êòîðiÿ ôîðìó¹
òðèâèìiðíèé ôàçîâèé ïîðòðåò, ÿêèé ìîæíà âèâ÷àòè çà äîïîìîãîþ
Ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi íåëiíiéíîãî ñåðåäîâèùà 159
ïåðåðiçiâ Ïóàíêàðå, íàïðèêëàä, ïëîùèíîþ x = 0. Òîäi ó öié ïëîùèíi
òî÷êè ïåðåòèíó òðà¹êòîði¨ ç ñi÷íîþ ïëîùèíîþ ôîðìóþòü ïåðåðiç
Ïóàíêàðå.
Çàôiêñó¹ìî çíà÷åííÿ ïàðàìåòðó m = 0,01 òà çíà÷åííÿ çìiííî¨ x
ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó x(0) = x0 = 0,45. Iíøi ïî÷àòêîâi óìîâè
âèáåðåìî ó ôîðìi y(0) = dy
dt (0) = 0 òà dx
dt (0) =
√
2h−mx2
0 − x4
0/2.
Ó ÿêîñòi êåðóþ÷îãî ïàðàìåòðà âèáåðåìî h. Ïðè ìàëèõ h êîëèâàí-
íÿ áëèçüêi äî ãàðìîíi÷íèõ, àëå ïðè çðîñòàííi h ¨õ ôîðìà ïî÷èí๠óñå
áiëüøå âiäðiçíÿòèñü âiä ãàðìîíi÷íèõ ïiä âïëèâîì íåëiíiéíîñòi. Òèïî-
âèé ïåðåðiç Ïóàíêàðå, ÿêèé âiäïîâiä๠êâàçiïåðiîäè÷íié òðà¹êòîði¨,
çîáðàæåíî íà ðèñ. 1a. Ïîäàëüøå çðîñòàííÿ h ñïðè÷èíÿ¹ óñêëàäíåííÿ
ãåîìåòðè÷íî¨ ñòðóêòóðè ïåðåðiçiâ, ùî ñóïðîâîäæó¹òüñÿ ðîçäiëåííÿì
çàìêíóòî¨ êðèâî¨ íà ôðàãìåíòè, óòâîðåííÿ íà ìiñöi öèõ ôðàãìåíòiâ
íîâèõ çàìêíóòèõ êðèâèõ i, íàðåøòi, ïîÿâîþ îáëàñòåé ç õàîòè÷íî çà-
ïîâíåíèìè òî÷êàìè. Çîêðåìà, íà ðèñ. 1á ïðåäñòàâëåíî òàêèé ïåðåðiç
Ïóàíêàðå ç õàîòè÷íîþ îáëàñòþ, ïîáóäîâàíèé ïðè h = 0,79.
(a) (á)
Ðèñ. 1. Ïåðåðiç Ïóàíêàðå ïðè h = 0,705 (à) òà h = 0,79 (á).
4. Àëãîðèòì îá÷èñëåííÿ ÑËÏ. Äëÿ âñòàíîâëåííÿ õàðàêòåðó
âèÿâëåíèõ ðåæèìiâ âèêîðèñòà¹ìî ëÿïóíîâñüêi ïîêàçíèêè [5], ÿêi ¹
óçàãàëüíåííÿì âëàñíèõ çíà÷åíü ñòàöiîíàðíèõ òî÷îê äèíàìi÷íî¨ ñèñ-
òåìè òà ìóëüòèïëiêàòîðiâ ãðàíè÷íèõ öèêëiâ íà âèïàäîê áiëüø çà-
ãàëüíèõ òðà¹êòîðié. Âîíè õàðàêòåðèçóþòü ñòiéêiñòü öi¹¨ òðà¹êòîði¨,
òîáòî ñòðóêòóðó ôàçîâîãî ïðîñòîðó ïîáëèçó âèäiëåíî¨ òðà¹êòîði¨.
Òîìó àíàëiç öi¹¨ ÷àñòèíè ôàçîâîãî ïðîñòîðó ìîæíà ðîáèòè ó ëiíié-
íîìó íàáëèæåííi, ÿêå çàäîâîëüíÿ¹ âàðiàöiéíå ðiâíÿííÿ dΦ
dt = DFΦ.
160 Ñ.I. Ñêóðàòiâñüêèé òà ií.
Çîêðåìà, äëÿ ñòàöiîíàðíî¨ òî÷êè, êîëè òðà¹êòîði¹þ ¹ ñòàëèé ðîç-
â'ÿçîê, ðiâíÿííÿ ó âàðiàöiÿõ ¹ ñèñòåìîþ iç ñòàëèìè êîåôiöi¹íòàìè
ç ðîçâ'ÿçêîì, ùî ¹ ñóïåðïîçèöi¹þ ÷àñòèííèõ ðîçâ'ÿçêiâ mi=exp(λit),
äå λi � âëàñíi çíà÷åííÿ ìàòðèöi ëiíåàðèçàöi¨.
Òîäi ëÿïóíîâñüêèé ïîêàçíèê λi = lim
t→∞
1
t ln(|mi|). Â iíøèõ âèïàä-
êàõ mi(t) íå ¹ ñòðîãî åêñïîíåíöiéíîþ ôóíêöi¹þ, àëå çàâäÿêè îñåðåä-
íåííþ çà âåëèêèé ïðîìiæîê ÷àñó öÿ âåëè÷èíà çáiãà¹òüñÿ äî åêñïî-
íåíöiéíî¨ ìàéæå çàâæäè (äëÿ ìàéæå âñiõ ïî÷àòêîâèõ óìîâ).
Çàçíà÷èìî, ùî âèçíà÷åííÿ ïîêàçíèêiâ Ëÿïóíîâà çiøòîâõó¹òüñÿ
iç ïðîáëåìàìè ÷èñëîâîãî õàðàêòåðó [21], îñêiëüêè íå çáåðiãà¹òüñÿ ëi-
íiéíà íåçàëåæíiñòü ïðè ÷èñëîâîìó iíòåãðóâàííi. Äëÿ âèðiøåííÿ öi¹¨
ïðîáëåìè âèêîðèñòîâóþòü ïðîöåäóðó îðòîãîíàëiçàöi¨ Ãðàìà�Øìiä-
òà [21]. Ó ÿêîñòi ïåðåâiðêè ïðàâèëüíîñòi îá÷èñëåííÿ ïîêàçíèêiâ âè-
êîðèñòà¹ìî òîé ôàêò, ùî ñóìà ïîêàçíèêiâ äîðiâíþ¹ ñåðåäíüîìó çà
÷àñîì çíà÷åííþ ñëiäó ìàòðèöi ëiíåàðèçàöi¨.
Çîêðåìà, âèáåðåìî çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà h = 0,705 òà ïî÷àòêîâó
òî÷êó {0,45; 0; 1,1779; 0} íà ïðîôiëi äîñëiäæóâàíî¨ òðà¹êòîði¨, ôàçî-
âèé ïîðòðåò ÿêî¨ çîáðàæåíî íà ðèñ. 1(à). Ó ðåçóëüòàòi ðîáîòè ïðî-
ãðàìè îòðèìà¹ìî ñïåêòð λ =
{
±3 · 10−4;±5 · 10−4
}
.
Îñêiëüêè ñèñòåìà ãàìiëüòîíîâà, òî ñóìà ïîêàçíèêiâ ïîâèííà áóòè
íóëüîâîþ, ùî äëÿ öi¹¨ ñèñòåìè çàáåçïå÷ó¹òüñÿ ç òî÷íiñòþ ∼10−6.
Äëÿ òðà¹êòîði¨ ðèñ. 1(á), ïîáóäîâàíî¨ ïðè çíà÷åííi ïàðàìåòðà
h = 0,79 ç ïî÷àòêîâî¨ òî÷êè {0,45; 0; 1,2479; 0}, ñïåêòð ïîêàçíèêiâ
Ëÿïóíîâà λ =
{
±0,0176;±7 · 10−4
}
. Íàÿâíiñòü äîäàòíîãî ïîêàçíèêà
âêàçó¹ íà íåñòiéêiñòü òðà¹êòîði¨, ùî ñóïðîâîäæó¹òüñÿ ïîÿâîþ õàî-
òè÷íîãî ïåðåðiçó Ïóàíêàðå.
5. Âèïàäîê ñëàáêî çâ'ÿçàíî¨ ñèñòåìè. Ðîçãëÿíåìî äåòàëüíî
âèïàäîê ñèñòåìè, êîëè ïàðàìåòð m = εm� 1 ìàëèé i ñèñòåìó
d2x
dt2
+ x3 = mε(y − x),
d2y
dt2
+ (y − x) = 0 (6)
ìîæíà ââàæàòè ñëàáêî çâ'ÿçàíîþ.
Äëÿ äîñëiäæåííÿ ðîçâ'ÿçêiâ òàêî¨ ñèñòåìè âèêîðèñòà¹ìî ðåçóëü-
òàòè ðîáiò [19, 23]. Âèêîíà¹ìî ó ñèñòåìi (6) íàñòóïíó çàìiíó çìiííèõ
ψ1 = ẋ+ ix, ψ2 = ẏ + iy,
ψ?1 = ẋ− ix, ψ?2 = ẏ − iy, i =
√
−1.
Ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi íåëiíiéíîãî ñåðåäîâèùà 161
Ó íîâèõ çìiííèõ ñèñòåìà íàáóäå âèãëÿäó
ψ̇1 − i
2 (ψ1 + ψ?1) + i
8 (ψ1 − ψ?1)
3
+mε i
2 (ψ2 − ψ?2 − ψ1 + ψ?1) = 0,
ψ̇2 − iψ2 + i
2 (ψ1 − ψ?1) = 0.
Íàáëèæåíèé ðîçâ'ÿçîê îòðèìàíî¨ ñèñòåìè øóêàòèìåìî ó âèãëÿäi
ψ1 = ϕ1eit, ψ2 = ϕ2eit,
ÿêèé îïèñó¹ ðåçîíàíñíèé âèïàäîê êîëèâàíü ïîáëèçó âiäïîâiäíî¨ ÷àñ-
òîòè. Ó ðåçóëüòàòi îñåðåäíåííÿ çà øâèäêîþ çìiííîþ îòðèìà¹ìî àì-
ïëiòóäíå ðiâíÿííÿ
ϕ̇1 + i
2 (1−mε)ϕ1 − 3i
8 |ϕ1|2ϕ1 + i
2mεϕ2 = 0,
ϕ̇?1 − i
2 (1−mε)ϕ?1 + 3i
8 |ϕ1|2ϕ?1 − i
2mεϕ
?
2 = 0,
ϕ̇2 + i
2ϕ1 = 0, ϕ̇?2 − i
2ϕ
?
1 = 0. (7)
Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî îòðèìàíà ñèñòåìà ì๠ïåðøèé iíòåãðàë
|ϕ1|2 +mε|ϕ2|2 = N = const.
Öå äîçâîëÿ¹ ââåñòè íîâi çìiííi çãiäíî iç ñïiââiäíîøåííÿìè
ϕ1 = N sin θeiδ1 , ϕ2 =
N√
mε
sin θeiδ2 ,
ïiäñòàíîâêà ÿêèõ ó (7) ïðèâîäèòü äî ñèñòåìè âiäíîñíî θ òà δ:
θ̇ + 1
2 (1−mε)− 3
8N
2 sin2 θ +
√
mε ctg 2θ cos δ = 0,
δ̇ + 1
2
√
mε sin δ = 0. (8)
Îòðèìàíà ñèñòåìà ì๠ñòàöiîíàðíi òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè δ = 0 òà θ,
ùî çàäîâîëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ
G(θ) ≡ 1
2 (1−mε)− 3
8N
2 sin2 θ +
√
mε ctg 2θ = 0.
Àíàëiçóþ÷è ãðàôiêè ôóíêöi¨ G(θ) (ðèñ. 2) ïðîòÿãîì ¨¨ ïåðiîäó π
ìîæíà ïåðåêîíàòèñü, ùî êiëüêiñòü ñòàöiîíàðíèõ òî÷îê i ¨õ òèï çà-
ëåæàòü âiä âåëè÷èíè N . Äiéñíî, ïðè N = 1,1 ôóíêöiÿ G(θ) ìà¹
äâà êîðåíi, ÿêi ¹ öåíòðàìè, îòî÷åíèìè çàìêíóòèìè òðà¹êòîðiÿìè
162 Ñ.I. Ñêóðàòiâñüêèé òà ií.
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
G( )
Ðèñ. 2. Ãðàôiêè ôóíêöi¨ G(θ) ïðè N = 1,1 (ïóíêòèðíà ëiíiÿ) òà
N = 1,5 (ñóöiëüíà êðèâà).
ñèñòåìè (8). Ïðè çðîñòàííi N ñïîñòåðiãà¹òüñÿ äåôîðìóâàííÿ ãðà-
ôiêà, ùî ñïðè÷èíþ¹ ïîÿâó äîäàòêîâèõ äâîõ êîðåíiâ. Êîðiíü, â ÿêî-
ìó ïîõiäíà G′θ(θ) > 0, âiäïîâiä๠ñiäëîâié ñòàöiîíàðíié òî÷öi, ÷åðåç
ÿêó ïðîõîäÿòü ¨¨ ñåïàðàòðèñè. Íàÿâíiñòü ó ôàçîâîìó ïðîñòîði ñèñòå-
ìè (8) ñiäëîâî¨ òî÷êè ñëóæèòü îçíàêîþ òîãî, ùî â ñèñòåìi (6) ìîæóòü
ðåàëiçóâàòèñü õàîòè÷íi ðåæèìè, ùî âèíèêàþòü óíàñëiäîê óòâîðåííÿ
ñòîõàñòè÷íîãî øàðó [4].
6. Âèñíîâêè. Òàêèì ÷èíîì, ó ðîáîòi ïîêàçàíî, ùî ìîäåëü ñêëà-
äíîãî ñåðåäîâèùà ì๠ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè, ïîâåäiíêà ÿêèõ ó ÷à-
ñi ìîæå áóòè ÿê ïåðiîäè÷íîþ, êâiçiïåðiîäè÷íîþ òàê i õàîòè÷íîþ.
Õàîòè÷íi ðåæèìè ïîâ'ÿçàíi ç óòâîðåííÿì ñòîõàñòè÷íîãî øàðó â îêî-
ëi ñåïàðàòðèñíèõ êîíòóðiâ ñiäëîâèõ òî÷îê ñèñòåìè.
[1] Äàíèëåíêî Â.À., Ñêóðàòiâñüêèé Ñ.I., Ðåçîíàíñíi ðåæèìè ïîøèðåííÿ íåëi-
íiéíèõ õâèëüîâèõ ïîëiâ ó ñåðåäîâèùàõ ç êîëèâíèìè âêëþ÷åííÿìè, Äîï.
ÍÀÍ Óêðà¨íè (2008), no. 11, 108�112.
[2] Äàíèëåíêî Â.À., Ñêóðàòiâñüêèé Ñ.I., Õâèëüîâi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi ñåðåäîâèùà
ç îñöèëÿòîðàìè Âàí äåð Ïîëÿ, Äèíàì. ñèñòåìû 2 (2012), 227�239.
[3] Åðîôååâ Â.È., Âîëíîâûå ïðîöåññû â òâåðäûõ òåëàõ ñ ìèêðîñòðóêòóðîé,
Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, Ìîñêâà 1999.
[4] Çàñëàâñêèé Ã.Ì., Ñàãäååâ Ð.Ç., Ââåäåíèå â íåëèíåéíóþ ôèçèêó. Îò ìàÿòíè-
êà äî òóðáóëåíòíîñòè è õàîñà, Íàóêà, Ìîñêâà 1988.
[5] Êóçíåöîâ Ñ.Ï., Äèíàìè÷åñêèé õàîñ (êóðñ ëåêöèé), Èçä-âî Ôèç.-ìàò. ëèò.,
Ìîñêâà 2001.
[6] Íèãìàòóëèí Ð.È., Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä, ×. 2, Íàóêà, Ìîñêâà, 1987.
[7] Ïàëüìîâ Â.À., Îá îäíîé ìîäåëè ñðåäû ñëîæíîé ñòðóêòóðû, Ïðèêëàä. ìà-
òåì. ìåõ. 33 (1969), 768�773.
Ïîëiíîìiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ìîäåëi íåëiíiéíîãî ñåðåäîâèùà 163
[8] Ïîòàïîâ À.È., Âîëíû äåôîðìàöèè â ñåðåäå ñ âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé, Íåëè-
íåéíûå âîëíû '2004, Îòâ. ðåä. À.Â. Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ, Â.È. Íåêîðêèí, ÈÏÔ
ÐÀÍ, Íèæíèé Íîâãîðîä, 2005, 125�140.
[9] Ðîäèîíîâ Â.Í., Î÷åðê ãåîìåõàíèêè, Íàó÷. ìèð, Ìîñêâà, 1996.
[10] Ñàäîâñêèé Ì.À. Àâòîìîäåëüíîñòü ãåîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, Âåñòí. ÀÍ
ÑÑÑÐ (1986), no. 8, 3�11.
[11] Ñêóðàòîâñêèé Ñ.È., Ñêóðàòîâñêàÿ È.À., Ëîêàëèçîâàííûå àâòîâîëíîâûå ðå-
øåíèÿ íåëèíåéíîé ìîäåëè ñëîæíîé ñðåäû, Òåõí. àêóñòèêà 2010 (2010), 6,
9 c.
[12] Ñëåïÿí Ë.È., Âîëíà äåôîðìàöèé â ñòåðæíå ñ àìîðòèçèðîâàííûìè ìàññàìè,
Ìåõ. òâåðä. òåëà (1967), no. 5, 34�40.
[13] Akhatov I.Sh., Baikov V.A., Khusnutdinova K.R., Nonlinear dynamics of
coupled chains of particles, J. Appl. Math. Mech. 59 (1995), 353�361.
[14] Danylenko V.A., Danevych T.B., Makarenko O.S., Skurativskyi S.I., Vladimi-
rov V.A., Self-organization in nonlocal non-equilibrium media, Subbotin Insti-
tute of Geophysics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2011.
[15] Danylenko V.A., Skurativskyi S.I., Peculiarities of wave �elds in nonlocal media,
Nonlinear Dyn. Syst. Theory 16 (2016), 165�178.
[16] Danylenko V.A., Skurativskyi S.I., Peculiarities of wave dynamics in media with
oscillating inclusions, Int. J. Non-Linear Mech. 84 (2016), 31�38.
[17] Danylenko V.A., Skurativskyi S.I., Dynamics of waves in the cubically nonlinear
model for mutually penetrating continua, Discontinuity Nonlinearity Complexi-
ty 6 (2017), 425�433.
[18] Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R., Exact solutions and invariant subspaces
of nonlinear partial di�erential equations in mechanics and physics, Chapman
& Hall/CRC, Taylor & Francis Group, Boca Raton, 2007.
[19] Gendelman O., Manevitch L.I., Vakakis A.F., M'Closkey R., Energy pumping in
nonlinear mechanical oscillators: part i-dynamics of the underlying hamiltonian
systems, J. Appl. Mech. 68 (2000), 34�41.
[20] Ponomarev B.V., Flexure of rectangular plates for nonlinear elastic materials of
asymmetric behavior in tension and compression, Appl. Mech. 4 (1968), 20�27.
[21] Ramasubramanian K., Sriram M.S., A comparative study of computation of
Lyapunov spectra with di�erent algorithms, Phys. D 139 (2000), 72�86.
[22] Skurativskyi S.I., Chaotic wave solutions in a nonlocal model for media with
vibrating inclusions, J. Math. Sci. 198 (2014), 54�61.
[23] Vakakis A.F., Rand R.H., Non-linear dynamics of a system of coupled oscillators
with essential sti�ness non-linearities, Int. J. Non-Linear Mech. 39 (2004),
1079�1091.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-372 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:17Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f8/31c277c05e1920d9e9a29dc003088cf8.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3722020-08-13T08:52:53Z Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions Поліноміальні розв'язки моделі нелінійного середовища з коливними включеннями Skurativskyi, S. Skurativska, I. Bukur, G. Maslova, O. Скуратівський, С. Скуратівська, І. Букур, Г. Маслова, О. The paper considers polуnomial solutions to a nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions. In particular, it is shown that the coefficients of leading monomials satisfy a strongly nonlinear dynamical system of Hamiltonian type. This system may have periodic, quasiperiodic, and chaotic regimes when the model's control parameter is varied. The observed regimes were studied by means of analysis of Poincare sections and spectra of Lyapunov exponents. У статті досліджуються поліноміальні розв'язки нелінійної системи ДРЧП, яка описує динаміку складного середовища з коливними включеннями. Зокрема показано, що коефіцієнти розв'язку при старших мономах задовольняють суттєво нелінійну динамічну систему гамільтонового типу. У цій системі при зміні керуючого параметру моделі існують періодичні, квазіперіодичні та хаотичні режими, вивчення яких здійснювалось на основі аналізу перерізів Пуанкаре та спектру ляпуновських показників. Інститут математики НАН України 2019-09-03 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/372 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 1 (2019): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics; 155-163 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 155-163 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 155-163 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/372/369 Авторське право (c) 2019 С. Скуратівський, І. Скуратівська, Г. Букур, О. Маслова |
| spellingShingle | Skurativskyi, S. Skurativska, I. Bukur, G. Maslova, O. Скуратівський, С. Скуратівська, І. Букур, Г. Маслова, О. Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| title | Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| title_alt | Поліноміальні розв'язки моделі нелінійного середовища з коливними включеннями |
| title_full | Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| title_fullStr | Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| title_full_unstemmed | Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| title_short | Polуnomial solutions of nonlinear system of PDE describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| title_sort | polуnomial solutions of nonlinear system of pde describing dynamics of complex medium with oscillating inclusions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/372 |
| work_keys_str_mv | AT skurativskyis polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT skurativskai polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT bukurg polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT maslovao polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT skuratívsʹkijs polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT skuratívsʹkaí polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT bukurg polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT maslovao polunomialsolutionsofnonlinearsystemofpdedescribingdynamicsofcomplexmediumwithoscillatinginclusions AT skurativskyis polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT skurativskai polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT bukurg polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT maslovao polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT skuratívsʹkijs polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT skuratívsʹkaí polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT bukurg polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi AT maslovao polínomíalʹnírozv039âzkimodelínelíníjnogoseredoviŝazkolivnimivklûčennâmi |