Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options
Using the classical Lie-Ovsyannikov method, a maximal invariance algebra was found for a equation thatfollows from the pricing equation of Asian options. Using the operators of that algebra symmetric reduction is carried out and invariant exact solutions are constructed for this equation, as well as...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2019
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/373 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552869802016768 |
|---|---|
| author | Spichak, S. Stognij, V. Kopas, I. Спічак, С. Стогній, В. Копась, І. |
| author_facet | Spichak, S. Stognij, V. Kopas, I. Спічак, С. Стогній, В. Копась, І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С. Спічак",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. Стогній",
"institution": "Національний технічний університет України \"\"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\"\""
},
{
"author": "І. Копась",
"institution": "Національний технічний університет України \"\"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\"\""
}
] |
| author_sort | Spichak, S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T08:52:53Z |
| description | Using the classical Lie-Ovsyannikov method, a maximal invariance algebra was found for a equation thatfollows from the pricing equation of Asian options. Using the operators of that algebra symmetric reduction is carried out and invariant exact solutions are constructed for this equation, as well as for the pricing equation of Asian options, respectively. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2019, ò. 16, � 1, 164�173
ÓÄÊ 517.912:512.816
Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi òà òî÷íi
ðîçâ'ÿçêè (2+1)-âèìiðíîãî ëiíiéíîãî
ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ àçiéñüêèõ
îïöiîíiâ
Ñ.Â. Ñïi÷àê †, Â.I. Ñòîãíié ‡, I.Ì. Êîïàñü ‡
† Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â
E-mail: spichak@imath.kiev.ua
‡ Êè¨âñüêèé ïîëiòåõíi÷íèé iíñòèòóò iìåíi Iãîðÿ Ñiêîðñüêîãî
E-mail: stogniyvaleriy@gmail.com, innak@net.ua
Âèêîðèñòîâóþ÷è êëàñè÷íèé ìåòîä Ëi�Îâñÿííiêîâà, çíàéäåíî ìàêñè-
ìàëüíó àëãåáðó iíâàðiàíòíîñòi ðiâíÿííÿ, ÿêå âèïëèâ๠ç ðiâíÿííÿ öi-
íîóòâîðåííÿ àçiéñüêèõ îïöiîíiâ. Çà äîïîìîãîþ îïåðàòîðiâ öi¹¨ àëãå-
áðè ïðîâåäåíî ñèìåòðiéíó ðåäóêöiþ é ïîáóäîâàíî iíâàðiàíòíi òî÷íi
ðîçâ'ÿçêè ÿê öüîãî ðiâíÿííÿ, òàê i, âiäïîâiäíî, ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ
àçiéñüêèõ îïöiîíiâ.
Using the classical Lie�Ovsyannikov method, a maximal invariance algebra
was found for a equation that follows from the pricing equation of Asian
options. Using the operators of that algebra symmetric reduction is carried
out and invariant exact solutions are constructed for this equation, as well
as for the pricing equation of Asian options, respectively.
1. Âñòóï. Òðàäèöiéíîþ ìîäåëëþ â òåîði¨ ôiíàíñîâèõ ðèíêiâ ¹
ìîäåëü Áëåêà�Øîóëçà, ÿêà îïèñó¹òüñÿ ëiíiéíèì äèôåðåíöiàëüíèì
ðiâíÿííÿì â ÷àñòèííèõ ïîõiäíèõ äðóãîãî ïîðÿäêó ç äâîìà íåçàëå-
æíèìè çìiííèìè [8]. Îäíàê ïðàêòè÷íi äîñëiäæåííÿ âêàçóþòü íà òå,
ùî öÿ ìîäåëü âiäïîâiäíî äî çðîáëåíèõ ïðèïóùåíü äàëåêà âiä àäåêâà-
òíîñòi ðåàëüíèì ïðîöåñàì, ÿêi âiäáóâàþòüñÿ íà ôiíàíñîâèõ ðèíêàõ.
Òîìó â îñòàííi äåñÿòèëiòòÿ äîñëiäíèêè ïåðåéøëè äî áiëüø ñêëàäíèõ
ìîäåëåé äèíàìiêè ôiíàíñîâèõ ðèíêiâ, ÿêi îïèñóþòüñÿ ðiâíÿííÿìè ç
áiëüøîþ êiëüêiñòþ íåçàëåæíèõ çìiííèõ àáî íåëiíiéíèìè ðiâíÿííÿ-
ìè. Ìåòîäè äîñëiäæåííÿ òàêèõ ìîäåëåé äîñèòü ðiçíi, çîêðåìà ÷àñòî
Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ 165
âèêîðèñòîâóþòü ÷èñåëüíi ìåòîäè [10]. ßê çàâæäè, êîëè ìîâà éäå ïðî
ïðîöåñè, ùî ìîäåëþþòüñÿ äèôåðåíöiàëüíèìè ðiâíÿííÿìè, âàæëèâî
ìàòè òî÷íi ðîçâ'ÿçêè òàêèõ ðiâíÿíü. Îäíèì ç íàéáiëüø åôåêòèâíèõ
ìåòîäiâ, ùî äîçâîëÿþòü çäiéñíèòè ïîøóê ðîçâ'ÿçêiâ, ¹ ìåòîäè ãðóïî-
âîãî àíàëiçó [4, 5]. Ïåðøi äîñëiäæåííÿ ãðóïîâèõ âëàñòèâîñòåé ëiíié-
íîãî ðiâíÿííÿ Áëåêà�Øîóëçà áóëî ïðîâåäåíî â ðîáîòi [12].  îñòàííi
ðîêè ìåòîäàìè ñèìåòðiéíîãî àíàëiçó äîñëiäæóþòüñÿ ðiçíi ëiíiéíi òà
íåëiíiéíi ìîäèôiêàöi¨ ðiâíÿííÿ Áëåêà�Øîóëçà [1, 9, 11, 13, 14, 15].
Öÿ ðîáîòà ïðèñâÿ÷åíà ñèìåòðiéíîìó àíàëiçó òà ïîáóäîâi òî÷íèõ
ðîçâ'ÿçêiâ ëiíiéíîãî ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ àçiéñüêèõ îïöiîíiâ â íå-
ïåðåðâíîìó ÷àñi τ ∈ [0;T ] [7]:
∂V
∂τ
+
1
2
σ2S2 ∂
2V
∂S2
+ rS
∂V
∂S
+ S
∂V
∂A
− rV = 0, (1)
äå T � òåðìií äi¨ êîíòðàêòó; V = V (τ, S,A) � ôóíêöiÿ âàðòîñòi
îïöiîíó; S � âàðòiñòü áàçîâîãî àêòèâó; A � óñåðåäíåíå çíà÷åííÿ
âñiõ íàÿâíèõ öií áàçîâèõ àêòèâiâ S äî ìîìåíòó ÷àñó τ ; r i σ � ñòàëi,
ùî îïèñóþòü áåçðèçèêîâó âiäñîòêîâó ñòàâêó i âîëàòèëüíiñòü àêöi¨
âiäïîâiäíî. Ðiâíÿííÿ (1) çà äîïîìîãîþ çàìiíè
V (τ, S,A) = f(τ, S,A)u(t(τ, S,A), x(τ, S,A), y(τ, S,A)), (2)
äå ôóíêöiÿ f(τ, S,A) i íîâi íåçàëåæíi çìiííi t, x, y âèçíà÷àþòüñÿ,
âiäïîâiäíî, ôîðìóëàìè
f = s−me−
qσ2
2 (T−τ), t =
σ2
2
(T − τ), x = S,
y =
σ2
2
A, m =
r
σ2
, q = m2 +m, (3)
çâîäèòüñÿ äî ðiâíÿííÿ
∂u
∂t
= x2 ∂
2u
∂x2
+ x
∂u
∂y
, (4)
äå u = u(t, x, y).
2. Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi. Äëÿ äîñëiäæåííÿ ñèìåòðiéíèõ âëà-
ñòèâîñòåé ðiâíÿííÿ (4) âèêîðèñòà¹ìî êëàñè÷íèé ìåòîä Ëi�Îâñÿííi-
êîâà [4]. Ó ðåçóëüòàòi îòðèìà¹ìî:
166 Ñ.Â. Ñïi÷àê, Â.I. Ñòîãíié, I.Ì. Êîïàñü
Òåîðåìà 1. Ìàêñèìàëüíà àëãåáðà Ëi iíâàðiàíòíîñòi ðiâíÿííÿ (4)
ãåíåðó¹òüñÿ òàêèìè äèôåðåíöiàëüíèìè îïåðàòîðàìè:
〈X1 = ∂t, X2 = ∂y, X3 = u∂u, X4 = x∂x + y∂y,
X5 = xy∂x +
1
2
y2∂y +
1
2
xu∂u, X∞ = β(t, x, y)∂u〉, (5)
äå ôóíêöiÿ β(t, x, y) ¹ äîâiëüíèì ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ (4).
Äàëi íå âðàõîâóâàòèìåìî îïåðàòîð ñèìåòði¨ X∞ = β(t, x, y)∂u,
ÿêèé ïðèòàìàííèé ëiíiéíèì ðiâíÿííÿì i îáóìîâëþ¹ ïðèíöèï ñóïåð-
ïîçèöi¨. Çàäà÷à îïèñó òàêèõ îïåðàòîðiâ åêâiâàëåíòíà ïîøóêó çàãàëü-
íîãî ðîç'âÿçêó òàêèõ ðiâíÿíü. Çàçíà÷èìî, ùî äèôåðåíöiàëüíi îïåðà-
òîðè ñèìåòði¨ (5) Xi, i = 1, . . . , 5 óòâîðþþòü áàçèñ 5-âèìiðíî¨ àëãåáðè
Ëi L5, ÿêà ¹ ïðÿìîþ ñóìîþ àëãåáð Ëi 〈X1〉, 〈X3〉 i 〈X2, X4, X5〉, òîáòî
L5 = X1 ⊕X3 ⊕ 〈X2, X4, X5〉.
Àëãåáðà L5 içîìîðôíà àëãåáði
A5 = 〈e1, e2, e3, e4, e5〉 = 〈e1, e2, e3〉 ⊕ 〈e4, e5〉 = sl(2,R)⊕ 2A1,
ÿêà ¹ ïðÿìîþ ñóìîþ ïiäàëãåáð 〈e1, e2, e3〉 = sl(2,R) òà 〈e4, e5〉 = 2A1.
Içîìîðôiçì ìiæ àëãåáðàìè L5 i A5 âñòàíîâëþ¹òüñÿ ëiíiéíèìè ïå-
ðåòâîðåííÿìè:
e1 = 2X4 = 2x∂x + 2y∂y,
e2 = −2X5 = −2xy∂x − y2∂y − xu∂u,
e3 = X2 = ∂y, e4 = X1 = ∂t, e5 = X3 = u∂u.
3. Ñèìåòðiéíà ðåäóêöiÿ. Îäíèì iç çàñòîñóâàíü ñèìåòðiéíèõ
âëàñòèâîñòåé äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè ¹
ñèìåòðiéíà ðåäóêöiÿ ðiâíÿíü ç íåòðèâiàëüíîþ ñèìåòði¹þ äî ðiâíÿíü
ç ìåíøîþ êiëüêiñòþ íåçàëåæíèõ çìiííèõ. Ìåòîä ðåäóêöi¨ çà îïòè-
ìàëüíîþ ñèñòåìîþ ïiäàëãåáð ìàêñèìàëüíî¨ àëãåáðè Ëi iíâàðiàíòíî-
ñòi äîáðå âiäîìèé i äîñòàòíüî àëãîðèòìi÷íèé (äèâ., íàïð., [3, 4, 5]).
Äëÿ òîãî, ùîá âèêîðèñòàòè ìîæëèâi ðåäóêöi¨ ðiâíÿííÿ (4), íåîá-
õiäíî çíàéòè íååêâiâàëåíòíi ïiäàëãåáðè àëãåáðè A5. Çîêðåìà, îäíî-
âèìiðíèì ïiäàëãåáðàì áóäå âiäïîâiäàòè ðåäóêöiÿ ðiâíÿííÿ (4) äî ðiâ-
íÿííÿ ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè âiä äâîõ íåçàëåæíèõ çìiííèõ. Ñèìåò-
ðiéíà ðåäóêöiÿ ðiâíÿííÿ (4) äî çâè÷àéíèõ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü
ïåðåäáà÷๠íàÿâíiñòü ñïèñêó äâîâèìiðíèõ ïiäàëãåáð àëãåáðè A5.
Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ 167
Ó ðîáîòi [5] íàâåäåíî ìåòîä êëàñèôiêàöi¨ ïiäàëãåáð äiéñíèõ àë-
ãåáð Ëi ç òî÷íiñòþ äî ïåðåòâîðåíü, ÿêi âèçíà÷àþòü ãðóïè âíóòðiøíiõ
àâòîìîðôiçìiâ öèõ àëãåáð Ëi. Çãiäíî ç öèì ìåòîäîì îäíîâèìiðíi ïiä-
àëãåáðè àëãåáðè A5 âè÷åðïóþòüñÿ àëãåáðàìè
〈e4 + αe5〉, 〈e5〉, 〈e1 + αe4 + βe5〉,
〈e2 + αe4 + βe5〉, 〈e2 − e3 + αe4 + βe5〉, (6)
à äâîâèìiðíi ïiäàëãåáðè � òàêèìè àëãåáðàìè:
〈e4, e5〉, 〈e1 + αe5, e4 + βe5〉, 〈e2 + αe5, e4 + βe5〉,
〈e1 + αe4 + βe5, e2〉, 〈e2 − e3 + αe4, e5〉, 〈e2 + αe4, e5〉,
〈e2 − e3 + αe5, e4 + βe5〉, 〈e1 + αe4, e5〉, α, β ∈ R. (7)
Âèêîðèñòà¹ìî îïåðàòîðè (6) i (7) äëÿ ïîáóäîâè òî÷íèõ ðîçâ'ÿçêiâ
ðiâíÿííÿ (4). Îäíîâèìiðíèì ïiäàëãåáðàì (6) áóäå âiäïîâiäàòè ðå-
äóêöiÿ ðiâíÿííÿ (4) äî ðiâíÿííÿ ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè âiä äâîõ
íåçàëåæíèõ çìiííèõ. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåëiê îäíîâèìiðíèõ ïiäàë-
ãåáð (6), íàñàìïåðåä âiäáèðà¹ìî òi ïiäàëãåáðè, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü
íåîáõiäíó óìîâó iñíóâàííÿ ðåäóêöi¨ [3]. Îòæå, òàêèìè ïiäàëãåáðàìè
áóäóòü
〈e4 + αe5〉, 〈e1 + αe4 + βe5〉,
〈e2 + αe4 + βe5〉, 〈e2 − e3 + αe4 + βe5〉. (8)
Äëÿ êîæíî¨ ç îäíîâèìiðíèõ ïiäàëãåáð (8) ïîäàíî, âiäïîâiäíî, àí-
çàö òà ðåäóêîâàíå ðiâíÿííÿ:
1) 〈e4 + αe5〉 : u = eαtf(ω1, ω2), ω1 = x, ω2 = y,
ω2
1fω1ω1
+ ω1fω2
− αf = 0;
2) 〈e1 + αe4 + βe5〉 : ÿêùî α 6= 0, òî u = exp
(
βt
α
)
f(ω1, ω2),
ω1 =
x
y
, ω2 = y exp
(
−2t
α
)
,
ω2
1fω1ω1
+ ω2
(
2
α
+ ω1
)
fω2
− ω2
1fω1
− β
α
f = 0;
ÿêùî α = 0, òî u = yβ/2f(ω1, ω2), ω1 = t, ω2 =
x
y
,
168 Ñ.Â. Ñïi÷àê, Â.I. Ñòîãíié, I.Ì. Êîïàñü
ω2
2fω2ω2 − ω2
2fω2 − fω1 +
β
2
ω2f = 0;
3) 〈e2 + αe4 + βe5〉 :
u = exp
(
β + x
y
)
f(ω1, ω2), ω1 = t− α
y
, ω2 =
x
y2
,
ω2
2fω2ω2
+ (αω2 − 1)fω1
− βω2f = 0;
4) 〈e2 − e3 + αe4 + βe5〉 :
u = exp
(
−β arctg y +
xy
y2 + 1
)
f(ω1, ω2),
ω1 = t+ α arctg y, ω2 =
x
y2 + 1
,
ω2
2fω2ω2 + (αω2 − 1)fω1 + (ω2 − β)ω2f = 0.
Âèêîðèñòîâóþ÷è iíâàðiàíòè îïåðàòîðiâ ñèìåòðié ðiâíÿííÿ (4), ÿêi
âiäïîâiäàþòü çíàéäåíèì äâîâèìiðíèì ïiäàëãåáðàì, ìîæíà ïðîâåñòè
ðåäóêöiþ öüîãî ðiâíÿííÿ äî çâè÷àéíèõ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü.
Äëÿ êîæíî¨ iç äâîâèìiðíèõ ïiäàëãåáð (7), ÿêi çàäîâîëüíÿþòü íå-
îáõiäíié óìîâi iñíóâàííÿ ðåäóêöi¨, ïîäàíî, âiäïîâiäíî, àíçàö òà ðå-
äóêîâàíå ðiâíÿííÿ:
1) 〈e1 + αe5, e4 + βe5〉 : u = yα/2eβtf(ω), ω =
x
y
,
ω2f̈ − ω2ḟ +
(α
2
ω − β
)
f = 0;
2) 〈e2 + αe5, e4 + βe5〉 : u = exp
(
βt+
α+ x
y
)
f(ω), ω =
√
x
y
,
ω2f̈ − ωḟ − 4(αω2 + β)f = 0;
3) 〈e1 + αe4 + βe5, e2〉 :
ÿêùî α 6= 0, òî u = exp
(
βt
α
+
x
y
)
f(ω),
ω =
x
y2
exp
(
2t
α
)
, αω2f̈ − 2ωḟ − βf = 0;
ÿêùî α = 0, òî u =
(
y√
x
)β
exp
(
x
y
)
f(ω), ω = t,
ḟ −
(
β2 + 2β
2
)
f = 0;
Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ 169
4) 〈e2 − e3 + αe5, e4 + βe5〉 :
u = exp
(
βt− α arctg y +
xy
y2 + 1
)
f(ω), ω =
x
y2 + 1
,
ω2f̈ + (ω2 − αω − β)f = 0,
äå êðàïêà âèçíà÷๠äèôåðåíöiþâàííÿ ôóíêöi¨ f çà çìiííîþ ω.
4. Òî÷íi ðîçâ'ÿçêè ëiíiéíîãî ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ àçié-
ñüêèõ îïöiîíiâ. Ïîáóäó¹ìî iíâàðiàíòíi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (4). Ðîç-
ãëÿíåìî îäíîâèìiðíó ïiäàëãåáðó 〈e2 +αe4 +βe5〉, ÿêié âiäïîâiä๠ðå-
äóêîâàíå ðiâíÿííÿ
ω2
2fω2ω2
+ (αω2 − 1)fω1
− βω2f = 0.
ßêùî α = β = 0, ðiâíÿííÿ ì๠âèãëÿä
ω2
2fω2ω2 − fω1 = 0,
÷àñòèííèìè ðîçâ'ÿçêàìè ÿêîãî áóäóòü ôóíêöi¨ [6]
f(ω1, ω2) = (C1 lnω2 + C2)
√
ω2 exp
(
−ω1
4
)
,
f(ω1, ω2) =
(
2ω1 + ln2 ω2
)√
ω2 exp
(
−ω1
4
)
,
f(ω1, ω2) = ωµ2 exp
((
µ2 − µ
)
ω1
)
,
äå C1, C2, µ ∈ R.
Ïiäñòàâëÿþ÷è öi ôóíêöi¨ ó âiäïîâiäíèé àíçàö äëÿ çàëåæíî¨ çìií-
íî¨ u, îòðèìà¹ìî ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (4):
u =
(
C1 ln
x
y2
+ C2
) √
x
y
exp
(
x
y
− t
4
)
,
u =
(
2t+ ln2 x
y2
) √
x
y
exp
(
x
y
− t
4
)
, (9)
u =
(
x
y2
)µ
exp
(
x
y
+ (µ2 − µ)t
)
.
Âèêîðèñòîâóþ÷è çàìiíó çìiííèõ (2), (3) äëÿ ôóíêöié (9) îòðèìà-
¹ìî òî÷íi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (1):
V (τ, S,A) =
(
C1 ln
4S
σ4A2
+ C2
)
2S−rσ
−2√
S
σ2A
170 Ñ.Â. Ñïi÷àê, Â.I. Ñòîãíié, I.Ì. Êîïàñü
× exp
(
2S
σ2A
− σ2(T − τ)
8
+
(
r2σ−2 + r
) (τ − T )
2
)
,
V (τ, S,A) =
(
σ2(T − τ) + ln2 4S
σ4A2
)
2S−rσ
−2√
S
σ2A
× exp
(
2S
σ2A
− σ2(T − τ)
8
+
(
r2σ−2 + r
) (τ − T )
2
)
,
V (τ, S,A) = S−rσ
−2
(
4S
σ4A2
)µ
exp
(
2S
σ2A
+
(
µ2 − µ
)σ2(T − τ)
2
+ (r2σ−2 + r)
(τ − T )
2
)
.
Äàëi, ðîçãëÿíåìî äâîâèìiðíó ïiäàëãåáðó 〈e1 + αe4 + βe5, e2〉.
Ó âèïàäêó α = 0 ðåäóêîâàíå ðiâíÿííÿ ì๠âèãëÿä ḟ −
(
β2+2β
2
)
f =
0. Ïiäñòàâëÿþ÷è ðîçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ ó àíçàö äëÿ çàëåæíî¨ çìií-
íî¨, îòðèìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (4):
u = C
(
y√
x
)β
exp
(
x
y
+
β2 + 2β
2
t
)
, (10)
äå C � äîâiëüíà ñòàëà. Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè (10) â (2) îòðèìà¹ìî òî÷íi
ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (1):
V (τ, S,A) = CS−rσ
−2
(
σ2A
2
√
S
)β
× exp
(
2S
σ2A
+
(
(β2 + β)σ2
4
− r2
σ2
− r
)
(T − τ)
)
.
ßêùî α 6= 0, òîäi äâîâèìiðíié ïiäàëãåáði âiäïîâiä๠ðåäóêîâàíå
ðiâíÿííÿ
ω2f̈ − 2ω
α
ḟ − β
α
f = 0. (11)
Ðiâíÿííÿ (11) ¹ ðiâíÿííÿì Åéëåðà i âîíî ì๠òàêi ðîçâ'ÿçêè [2]:
a) ÿêùî
(
1 +
2
α
)2
> −4β
α
, òî
f(ω) = ω(α+2)/2α
(
C1ω
µ + C2ω
−µ);
Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ 171
b) ÿêùî
(
1 +
2
α
)2
= −4β
α
, òî
f(ω) = ω(α+2)/2α(C1 + C2 lnω);
c) ÿêùî
(
1 +
2
α
)2
< −4β
α
, òî
f(ω) = ω(α+2)/2α(C1 sin(µ lnω) + C2 cos(µ lnω)),
äå µ = 1
2
√∣∣∣(1 + 2
α
)2
+ 4β
α
∣∣∣; C1 i C2 � äîâiëüíi ñòàëi.
Íàâåäåìî ÷àñòèíi òî÷íi ðîçâ'ÿçêi, ÿêi âiäïîâiäàþòü âèïàäêàì à),
b), c).
ßêùî α = β = −2 (âèïàäîê à)), ìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê
f(ω) = C1ω + C2ω
−1.
Ïiäñòàâëÿþ÷è öþ ôóíêöiþ ó âiäïîâiäíèé àíçàö äëÿ çàëåæíî¨ çìií-
íî¨, îòðèìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (4):
u =
(
C1
x
y2et
+ C2
y2et
x
)
exp
(
x
y
+ t
)
. (12)
Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè (12) â (2) îòðèìà¹ìî òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿí-
íÿ (1):
V (τ, S,A) = exp
(
2S
σ2A
+
σ2(T − τ)
2
+
(
r2σ−2 + r
)τ − T
2
)
×
(
4C1S
−rσ−2+1σ−4A−2 exp
(
σ2(τ − T )
2
)
+
C2
4
S−rσ
−2−1σ4A2 exp
(
σ2(T − τ)
2
))
,
äå C1 i C2 � äîâiëüíi ñòàëi.
ßêùî α = 2, β = −2 (âèïàäîê b)), ìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê
f(ω) = ω(C1 + C2 lnω).
Ïiäñòàâëÿþ÷è öþ ôóíêöiþ ó âiäïîâiäíèé àíçàö äëÿ çàëåæíî¨ çìií-
íî¨, îòðèìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (4):
u =
(
C1 + C2
(
ln
x
y2
+ t
))
x
y2
exp
(
x
y
)
. (13)
172 Ñ.Â. Ñïi÷àê, Â.I. Ñòîãíié, I.Ì. Êîïàñü
Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè (13) â (2) îòðèìà¹ìî òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿí-
íÿ (1):
V (τ, S,A) = 4σ−4A−2S1−rσ−2
exp
(
2S
σ2A
+
(
r2σ−2 + r
)τ − T
2
)
×
(
C1 + C2 ln
(
4Sσ−4A−2 exp
(
σ2(T − τ)
2
)))
,
äå C1 i C2 � äîâiëüíi ñòàëi.
ßêùî α = −2, β = 2 (âèïàäîê c)), ìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê
f(ω) = C1 sin(lnω) + C2 cos(lnω).
Ïiäñòàâëÿþ÷è öþ ôóíêöiþ ó âiäïîâiäíèé àíçàö äëÿ çàëåæíî¨ çìií-
íî¨, îòðèìà¹ìî ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (4):
u =
(
C1 sin
(
ln
x
y2
− t
)
+ C2 cos
(
ln
x
y2
− t
))
exp
(
x
y
− t
)
. (14)
Ïiñëÿ ïiäñòàíîâêè (14) â (2) îòðèìà¹ìî òî÷íèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿí-
íÿ (1):
V (τ, S,A) = S−rσ
−2 (
C1 sin
(
ln
(
4Sσ−4A−2
)
+ σ2(τ − T )/2
)
+ C2 cos
(
ln
(
4Sσ−4A−2
)
+ σ2(τ − T )/2
))
× exp
(
2S
σ2A
− σ2(T − τ)
2
+ (r2σ−2 + r)
τ − T
2
)
,
äå C1 i C2 � äîâiëüíi ñòàëi.
Âèñíîâêè. Ó ðîáîòi ëiíiéíå ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ àçiéñüêèõ
îïöiîíiâ çà äîïîìîãîþ çàìiíè çìiííèõ áóëî çâåäåíî äî ðiâíÿííÿ, ÿêå ¹
ïðîñòiøèì ó âèêîðèñòàííi. Äîñëiäæåíî ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi îòðè-
ìàíîãî ðiâíÿííÿ. Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi âèêîðèñòàíi äëÿ ïîáóäîâè
iíâàðiàíòíèõ àíçàöiâ, ÿêi ðåäóêóþòü ðiâíÿííÿ äî äèôåðåíöiàëüíèõ
ðiâíÿíü âiäíîñíî ìåíøî¨ êiëüêîñòi íåçàëåæíèõ çìiííèõ. Ó ðåçóëü-
òàòi ðîçâ'ÿçóâàííÿ äåÿêèõ ðåäóêîâàíèõ ðiâíÿíü ïîáóäîâàíî òî÷íi
ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ. Âèêîíóþ÷è çâîðîòíó çàìiíó çìiííèõ, îòðèìàíi
òî÷íi ðîçâ'ÿçêè ëiíiéíîãî ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ àçiéñüêèõ îïöiî-
íiâ. Ó ìàéáóòíüîìó ïëàíó¹òüñÿ áiëüø äåòàëüíî äîñëiäèòè âëàñòè-
âîñòi îòðèìàíèõ ðîçâ'ÿçêiâ ùîäî ¨õ ìîæëèâîãî çàñòîñóâàííÿ.
Ñèìåòðiéíi âëàñòèâîñòi ðiâíÿííÿ öiíîóòâîðåííÿ 173
[1] Äûøàåâ Ì.Ì., Ô¼äîðîâ Â.Å., Ñèììåòðèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ îäíîãî íåëè-
íåéíîãî óðàâíåíèÿ öåíîîáðàçîâàíèÿ îïöèîíîâ, Óôèìñê. ìàòåì. æóðí. 9
(2017), 29�41.
[2] Çàéöåâ Â.Ô., Ïîëÿíèí À.Ä., Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöè-
àëüíûì óðàâíåíèÿì, Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà, 2001.
[3] Ëàãíî Â.I., Ñïi÷àê Ñ.Â., Ñòîãíié Â.I., Ñèìåòðiéíèé àíàëiç ðiâíÿíü åâîëþ-
öiéíîãî òèïó, Iíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â, 2002.
[4] Îâñÿííèêîâ Ë.Â., Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, Íàóêà,
Ìîñêâà, 1978.
[5] Îëâåð Ï., Ïðèëîæåíèÿ ãðóïï Ëè ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, Ìèð,
Ìîñêâà, 1989.
[6] Ïîëÿíèí À.Ä., Ñïðàâî÷íèê ïî ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôè-
çèêè, Ôèçìàòëèò, Ìîñêâà, 2001.
[7] Barucci E., Polidoro S., Vespri V., Some results on partial di�erential equations
and Asian options, Math. Models Methods Appl. Sci. 11 (2001), 475�497.
[8] Black F., Scholes M., The pricing of options and corporate liabilities, J. Polit.
Econ. 81 (1973), 637�659.
[9] Bordag L.A., Chmakova A.Y., Explicit solutions for a nonlinear model of �-
nancial derivatives, Int. J. Theor. Appl. Finance 10 (2007), 1�21.
[10] Brandimarte P., Numerical methods in �nance and economics. A MATLABr-
based introduction, Wiley-Interscience, Hoboken, NJ, 2006.
[11] Caister N.C., Govinder K.S., O'Hara J.G., Optimal system of Lie group invari-
ant solutions for the Asian option PDE, Math. Methods Appl. Sci. 34 (2011),
1353�1365.
[12] Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Lie symmetry analysis of di�erential equations
in �nance, Nonlinear Dynam. 17 (1998), 387�407.
[13] Leach P.G.L., Andriopoulos K., Nonlocal symmetries past, present and future,
Appl. Anal. Discrete Math. 1 (2007), 150�171.
[14] Patsiuk O., Kovalenko S., Symmetry reduction and exact solutions of the non-
linear Black�Scholes equation, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 62
(2018), 164�173.
[15] Taylor S.M., Glasgow S.A., A novel reduction of the simple asian option and
Lie-group invariant solutions, Int. J. Theor. Appl. Finance 12 (2009), 1197�
1212.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-373 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:18Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3a/35fb8d2eb06b69fed84272df1ffc8c3a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3732020-08-13T08:52:53Z Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options Симетрійні властивості та точні розв'язки (2+1)-вимірного лінійного рівняння ціноутворення азійських опціонів Spichak, S. Stognij, V. Kopas, I. Спічак, С. Стогній, В. Копась, І. Using the classical Lie-Ovsyannikov method, a maximal invariance algebra was found for a equation thatfollows from the pricing equation of Asian options. Using the operators of that algebra symmetric reduction is carried out and invariant exact solutions are constructed for this equation, as well as for the pricing equation of Asian options, respectively. Використовуючи класичний метод Лі-Овсяннікова, знайдено максимальну алгебру інваріантності рівняння, яке випливає з рівняння ціноутворення азійських опціонів. За допомогою операторів цієї алгебри проведено симетрійну редукцію й побудовано інваріантні точні розв'язки як цього рівняння, так і, відповідно, рівняння ціноутворення азійських опціонів. Інститут математики НАН України 2019-09-03 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/373 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 1 (2019): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics; 164-173 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 164-173 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 1 (2019): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики; 164-173 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/373/370 Авторське право (c) 2019 С. Спічак, В. Стогній, І. Копась |
| spellingShingle | Spichak, S. Stognij, V. Kopas, I. Спічак, С. Стогній, В. Копась, І. Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options |
| title | Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options |
| title_alt | Симетрійні властивості та точні розв'язки (2+1)-вимірного лінійного рівняння ціноутворення азійських опціонів |
| title_full | Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options |
| title_fullStr | Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options |
| title_full_unstemmed | Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options |
| title_short | Symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of Asian options |
| title_sort | symmetry properties and exact solutions of the pricing equation of asian options |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/373 |
| work_keys_str_mv | AT spichaks symmetrypropertiesandexactsolutionsofthepricingequationofasianoptions AT stognijv symmetrypropertiesandexactsolutionsofthepricingequationofasianoptions AT kopasi symmetrypropertiesandexactsolutionsofthepricingequationofasianoptions AT spíčaks symmetrypropertiesandexactsolutionsofthepricingequationofasianoptions AT stogníjv symmetrypropertiesandexactsolutionsofthepricingequationofasianoptions AT kopasʹí symmetrypropertiesandexactsolutionsofthepricingequationofasianoptions AT spichaks simetríjnívlastivostítatočnírozv039âzki21vimírnogolíníjnogorívnânnâcínoutvorennâazíjsʹkihopcíonív AT stognijv simetríjnívlastivostítatočnírozv039âzki21vimírnogolíníjnogorívnânnâcínoutvorennâazíjsʹkihopcíonív AT kopasi simetríjnívlastivostítatočnírozv039âzki21vimírnogolíníjnogorívnânnâcínoutvorennâazíjsʹkihopcíonív AT spíčaks simetríjnívlastivostítatočnírozv039âzki21vimírnogolíníjnogorívnânnâcínoutvorennâazíjsʹkihopcíonív AT stogníjv simetríjnívlastivostítatočnírozv039âzki21vimírnogolíníjnogorívnânnâcínoutvorennâazíjsʹkihopcíonív AT kopasʹí simetríjnívlastivostítatočnírozv039âzki21vimírnogolíníjnogorívnânnâcínoutvorennâazíjsʹkihopcíonív |