Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation
Using Backlund autotransformations the chain of one-soliton solutions of sine-Gordon equation is obtained.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/379 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552879071428608 |
|---|---|
| author | Blazhko, L. Блажко, Л. |
| author_facet | Blazhko, L. Блажко, Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Л. Блажко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Blazhko, L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Using Backlund autotransformations the chain of one-soliton solutions of sine-Gordon equation is obtained. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 31–38
УДК 517.9
Нелокальнi формули розмноження
розв’язкiв рiвняння синус-Гордона
Л.М. БЛАЖКО
Полтавський нац. технiчний унiверситет iм. Юрiя Кондратюка
E-mail: lblazhko@ukr.net
Одержаний ланцюжок односолiтонних розв’язкiв рiвняння синус-
Гордона за допомогою автоперетворень Беклунда.
Using Bäcklund autotransformations the chain of one-soliton solutions of
sine-Gordon equation is obtained.
1. Вступ. Розглянемо нелiнiйне хвильове рiвняння
u00 − u11 + sinu = 0, (1)
де u = u(x0, x1), яке в лiтературi вiдоме як рiвняння синус-Гордона
(СГ). Дане рiвняння виникло в диференцiальнiй геометрiї при описi
поверхонь вiд’ємної кривизни [1]. Потiм його почали використовува-
ти у фiзицi [2,3]. Особливо iнтенсивно рiвняння СГ застосовується в
теорiї солiтонiв [4, 5].
Добре вiдомi симетрiйнi властивостi рiвняння СГ. Максимальною
алгеброю iнварiантостi рiвняння синус-Гордoна (1) є алгебра Пуан-
каре AP (1, 1), базиснi елементи якої мають вигляд:
∂0 =
∂
∂x0
, ∂1 =
∂
∂x1
, J01 = x1∂0 + x0∂1. (2)
Зауваження. Оператори (2) породжують скiнченнi перетворення
x′0 = αx+ θ0, x′1 = βx+ θ1, u′ = u, (3)
де αx = α0x0 − α1x1, α2 = α2
0 − α2
1, α2 = −β2 = 1, αβ = 0.
Крiм того рiвняння СГ (1) iнварiантне вiдносно так званних СРТ
перетворень
C : x0 → x0, x1 → x1, u→ −u,
32 Л.М. Блажко
P : x0 → x0, x1 → −x1, u→ u,
T : x0 → −x0, x1 → x1, u→ u, (4)
та перетворень
x0 → x0, x1 → x1, u→ u+ 2πn, n ∈ Z. (5)
Тому всi викладки в цiй статтi будемо проводити з точнiстю до пе-
ретворень (3)–(5).
2. Побудова нелокальних формул розмноження розв’яз-
кiв. Ще наприкiнцi ХIХ столiття Беклунд [4] запропонував нело-
кальнi перетворення вигляду:(
2
u+
1
u
2
)
y
=
1
λ
sin
2
u− 1
u
2
,
(
2
u− 1
u
2
)
z
= λ sin
2
u+
1
u
2
(6)
для рiвняння СГ (1) записаного в конусних змiнних
uyz = sinu, (7)
де
y =
x1 + x0
2
, z =
x1 − x0
2
, (8)
1
u,
2
u – два рiзнi розв’язки рiвняння (7), λ – довiльна стала, iндекс бiля
функцiї внизу означає диференцiювання по вiдповiдному аргументу.
Оскiльки перетворення (6) зв’язують мiж собою два рiзнi розв’язки
рiвняння СГ, то вони є автоперетворенням Беклунда (АПБ). Так як
перетворення (6) задають неявний зв’язок мiж двома розв’язками
1
u,
2
u рiвняння (7), то їх важко використовувати для побудови точних
розв’язкiв цього рiвняння.
За допомогою АПБ (6) в лiтературi побудованi деякi точнi роз-
в’язки рiвняння (7), якi одержали назву солiтонних розв’язкiв (див.,
наприклад, [6]). Односолiтоннi та двохсолiтоннi розв’язки вiдповiдно
мають вигляд
u = 4 arctan eθ1 ,
u = 4 arctan
(
λ2 + λ1
λ2 − λ1
eθ1 − eθ2
1 + eθ1+θ2
)
, (9)
де θi = λiz + 1
λi
y + ci, λi, ci = const, i = 1, 2.
Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв 33
Ми пропонуємо дещо iнший пiдхiд до знаходження розв’язкiв рiв-
няння СГ за допомогою АПБ (6). Нехай для простоти λ = 1. Введемо
функцiональний параметр τ = τ(y, z) за формулою:
τ = tan
2
u− 1
u
4
. (10)
Введення функцiонального параметру за формулою (10) дає можли-
вiсть записати зв’язок мiж розв’язками
1
u,
2
u рiвняння СГ в параме-
тричному виглядi. Сформулюємо це у виглядi наступної теореми.
Теорема 1. Якщо
1
u – розв’язок рiвняння (7), то його iнший роз-
в’язок
2
u знаходиться за формулою
2
u =
1
u+ 4 arctan τ, (11)
де τ = τ(y, z) – розв’язок системи диференцiальних рiвнянь
τy = − 1
2 (τ2 + 1)
1
uy + τ, τz = − 1
2 (τ2 − 1) sin
1
u+ τ cos
1
u. (12)
Таким чином, згiдно даної теореми, побудову розв’язкiв рiвнян-
ня СГ пропонується здiйснювати в два етапи. Спочатку по вiдомому
розв’язку
1
u потрiбно знайти функцiональний параметр τ = τ(y, z),
як розв’язок системи диференцiальних рiвнянь (12), а потiм за до-
помогою розв’язку
1
u i знайденому по ньому параметру τ за форму-
лою (11) знаходимо
2
u – новий розв’язок рiвняння СГ.
На перший погляд формули (11), (12) спрощують знаходження
розв’язку
2
u, але в той же час для знаходження параметра τ потрiбно
проiнтегрувати систему диференцiальних рiвнянь (12), яка є систе-
мою рiвнянь Рiккатi. Добре вiдомо, що немає загального методу роз-
в’язування рiвнянь Рiккатi. Тому по складностi формули (11), (12)
напевно не поступаються формулам (6). Але нам вдалося помiти-
ти одну закономiрнiсть, яка дозволяє знаходити частинний розв’я-
зок рiвнянь Рiккатi (12) (див. лему нижче). Як вiдомо, наявнiсть
частинного розв’язку рiвняння Рiккатi дозволяє звести його до рiв-
няння Бернуллi, яке iнтегрується в квадратурах.
Якщо для побудови розв’язкiв рiвняння СГ формули (11), (12)
використовувати послiдовно декiлька разiв, то, в результатi, отри-
муємо рекурентнi формули вигляду
n+1
u =
n
u+ 4 arctan
n+1
τ , (13)
34 Л.М. Блажко
n+1
τ y = − 1
2 ((
n+1
τ )2 + 1)
n
uy +
n+1
τ ,
n+1
τ z = − 1
2 ((
n+1
τ )2 − 1) sin
n
u+
n+1
τ cos
n
u, (14)
де
n
u – розв’язок рiвняння СГ на n-му кроцi,
n+1
u ,
n+1
τ – функцiї, якi
знайденi на (n + 1)-му кроцi. Ми помiтили зв’язок мiж розв’язками
системи рiвнянь Рiккатi (14) на рiзних кроках. Сформулюємо цей
зв’язок у виглядi наступного твердження.
Лема. Якщо в якостi початкового розв’язку в формулах (13), (14)
вибрати тривiальний розв’язок рiвняння синус-Гордона
0
u = 0, то
для системи (14) справедлива формула
n+1
τ 0(y, z) =
n
τ3(−y,−z),
де
n
τ3(y, z) – загальний розв’язок системи (14) на n-му кроцi,
n+1
τ 0(y, z) – частинний розв’язок системи (14) на (n + 1)-му кро-
цi, n = 1, 2, 3.
Опишемо знаходження точних розв’язкiв рiвняння (1).
1-крок. n = 1:
0
u = 0, тодi
1
u = 4 arctan
1
τ ,
де функцiональний параметр
1
τ є розв’язком наступної системи ди-
ференцiальних рiвнянь iз вiдокремлюваними змiнними
1
τy =
1
τ ,
1
τz =
1
τ ,
розв’язавши яку, одержимо
1
τ = ey+z+c1 . (15)
Тодi
1
u = 4 arctan ey+z+c1 , (16)
c1 – стала iнтегрування. Цей розв’язок в лiтературi вiдомий як од-
носолiтонний розв’язок рiвняння СГ.
Враховуючи перетворення (3), сталу iнтегрування c1 у формулах
(15), (16) можна опустити. Отже,
1
τ = ey+z,
1
u = 4 arctan ey+z.
Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв 35
2-крок. n = 2:
1
u = 4 arctan ey+z, (17)
2
u =
1
u+ 4 arctan
2
τ , (18)
де параметр
2
τ є розв’язком системи рiвнянь Рiккатi наступного ви-
гляду:
2
τy = M((
2
τ)2 + 1) +
2
τ ,
2
τz = N((
2
τ)2 − 1) + L
2
τ , (19)
де
M = − 1
cosh(y + z)
, N =
sinh(y + z)
cosh2(y + z)
, L = 2 tanh2(y + z)− 1.
Використавши лему, маємо
2
τ0(y, z) =
1
τ3(−y,−z) = e−(y+z).
Зробивши замiну
2
τ = w + e−(y+z),
де w = w(y, z) – нова невiдома функцiя, систему (19) зводимо до
системи рiвнянь Бернуллi
cosh(y + z)wy = (sin(y + z)− 1)w − w2,
cosh2(y + z)wz = (sin2(y + z)− 1)w + sinh(y + z)w2. (20)
Загальний розв’язок системи (20) має вигляд
w =
2 cosh2(y + z)
ey+z(y − z + c2)− cosh(y + z)
. (21)
Отже, використавши (21), одержуємо, що
2
τ =
(y − z + c2)e−(y+z) + cosh(y + z)
y − z + c2 − e−(y+z) cosh(y + z)
, (22)
36 Л.М. Блажко
де c2 – стала iнтегрування. Пiдставивши
2
τ ,
1
u, що заданi формулами
(22), (17) вiдповiдно, у формулу (18), одержуємо
2
u = 4 arctan
−(y − z + c2)
cosh(y + z)
.
Аналогiчно, як i у формулах (15), (16), врахувавши перетворення (3),
можна вважати c2 = 0. Отже,
2
τ =
(y − z)e−(y+z) + cosh(y + z)
y − z − e−(y+z) cosh(y + z)
,
2
u = 4 arctan
−(y − z)
cosh(y + z)
. (23)
Зауважимо, що розв’язок (23) одержаний в [7] iз двохсолiтонного
розв’язку (9), якщо в ньому перейти до границi при λ2 −→ λ1.
3-крок. n = 3:
2
u = 4 arctan
−(y − z)
cosh(y + z)
, тодi
3
u =
2
u+ 4 arctan
3
τ .
Система рiвнянь Рiккатi для знаходження
3
τ має вигляд
3
τy = −2((y − z) sinh(y + z)− cosh(y + z))
B
((
3
τ)2 + 1) +
3
τ ,
3
τz =
2(y − z) cosh(y + z)A
B2
((
3
τ)2 − 1) +
+
A2 − 4(y − z)2 cosh2(y + z)
B2
3
τ , (24)
де
A = cosh2(y + z)− (y − z)2, B = cosh2(y + z) + (y − z)2.
Використавши лему, маємо
3
τ0(y, z) =
2
τ3(−y,−z) =
(y − z)ey+z − cosh(y + z)
y − z + ey+z cosh(y + z)
.
Зробивши замiну
3
τ = w +
(y − z)ey+z − cosh(y + z)
y − z + ey+z cosh(y + z)
,
Нелокальнi формули розмноження розв’язкiв 37
де w = w(y, z) – нова невiдома функцiя, систему (24) зводимо до
системи рiвнянь Бернуллi
wy =
βB − 4αC
βB
w − 2C
B
w2,
wz =
4(y − z)αA cosh(y + z) + β(A2− 4(y − z)2) cosh2(y + z)
βB2
w+
+
2(y − z)A cosh(y + z)
B2
w2, (25)
де
α = (y − z)ey+z − cosh(y + z), β = y − z + ey+z cosh(y + z),
C = (y − z) sinh(y + z)− cosh(y + z).
Розв’язавши (25), одержуємо
3
τ =
−2B2 + αK
βK
,
3
u = 4 arctan e−(y+z)P +B
P −B
,
де
K = (y − z + ey+z cosh(y + z))((y − z)2e−(y+z) −
− 2(y − z) cosh(y + z) + f)− 4ey+z cosh4(y + z),
f = cosh(y + z)(e2(y+z) + 2) + (y + z + c)e−(y+z),
P = c+ y + z + cosh(y + z) · sinh(y + z).
Bраховуючи зв’язок (8) мiж змiнними y, z та x0, x1, випишемо
одержаний нами ланцюжок розв’язкiв рiвняння СГ (1):
0→ 4 arctan ex1 → 4 arctan
−x0
coshx1
→
→ 4 arctan
(
e−x1
c+ x1 + coshx1 sinhx1 + cosh2 x1 + x2
0
c+ x1 + coshx1 sinhx1 − cosh2 x1 − x2
0
)
.
Оскiльки графiки розв’язкiв
2
u,
3
u зберiгають форму єдиної хвилi
з ростом часової змiнної x0, то можна припустити, що цi розв’язки,
як i
1
u, є односолiтонними розв’язками рiвняння синус-Гордона.
3. Висновки. Таким чином, нами побудований алгоритм зна-
ходження розв’язкiв рiвняння синус-Гордона та за його допомогою
одержаний ланцюжок односолiтонних розв’язкiв даногo рiвняння.
38 Л.М. Блажко
[1] Eisenhart L.P. A treatise on the differential geometry of curves and surfaces. –
New York: Dover, 1960. – 247 p.
[2] Френкель Я., Конторова Т. О теории пластической деформации и двойни-
кования // Физ. жур. – 1939. – № 1. – C. 137.
[3] Perring J.K., Skyrme T.H.R. A model unified theory // Nucl. Phys. – 1961. –
31. – P. 550–555.
[4] Bäcklund A.V. Om ytor med konstant negativ krökning // Lund Universitets
Arsskrift. – 1883. – № 19. – P. 24–38.
[5] Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and
the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240–243.
[6] Новокшенов В.Ю. Математические модели в естествознании. – Уфа: УГАТ
ун-тa, 1999. – 98 с.
[7] Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория соли-
тонов. Метод обратной задачи. – Москва: Наука, 1980. – 324 c.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-379 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:26Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/4d/f04a154d13db0a153113ea01de545a4d.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3792020-08-13T10:42:30Z Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation Нелокальні формули розмноження розв'язків рівняння синус-Гордона Blazhko, L. Блажко, Л. Using Backlund autotransformations the chain of one-soliton solutions of sine-Gordon equation is obtained. Одержаний ланцюжок односолітонних розв'язків рівняння синус-Гордона за допомогою автоперетворень Беклунда. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/379 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 31-38 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 31-38 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 31-38 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/379/473 Авторське право (c) 2006 Л. Блажко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Blazhko, L. Блажко, Л. Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation |
| title | Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation |
| title_alt | Нелокальні формули розмноження розв'язків рівняння синус-Гордона |
| title_full | Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation |
| title_fullStr | Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation |
| title_full_unstemmed | Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation |
| title_short | Nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-Gordon equation |
| title_sort | nonlocal multiplication formulas for solutions of the sine-gordon equation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/379 |
| work_keys_str_mv | AT blazhkol nonlocalmultiplicationformulasforsolutionsofthesinegordonequation AT blažkol nonlocalmultiplicationformulasforsolutionsofthesinegordonequation AT blazhkol nelokalʹníformulirozmnožennârozv039âzkívrívnânnâsinusgordona AT blažkol nelokalʹníformulirozmnožennârozv039âzkívrívnânnâsinusgordona |