Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow
The problem of an optimal transfer of a space vehicle with the maximalpayload between nearby nonconplanar circular orbits in the spherical gravi-tation field is solved. The space vehicle is equipped with a constant powersolar electric propulsion and an energy storage. The payload increase due tothe...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/38 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552562456002560 |
|---|---|
| author | Ткаченко, Я. В. Ткаченко, Я. В. |
| author_facet | Ткаченко, Я. В. Ткаченко, Я. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. В. Ткаченко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Ткаченко, Я. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | The problem of an optimal transfer of a space vehicle with the maximalpayload between nearby nonconplanar circular orbits in the spherical gravi-tation field is solved. The space vehicle is equipped with a constant powersolar electric propulsion and an energy storage. The payload increase due tothe energy storage is evaluated. It is shown that the storage usage increasesthe effectiveness when the shadow phases of the trajectory exist. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 191–202
УДК 629.7.076.6
Оптимальнi перельоти мiж
близькими круговими орбiтами з
врахуванням тiнi
Я.В. Ткаченко
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ;
yaroslavvt@ukr.net
The problem of an optimal transfer of a space vehicle with the maximal
payload between nearby nonconplanar circular orbits in the spherical gravi-
tation field is solved. The space vehicle is equipped with a constant power
solar electric propulsion and an energy storage. The payload increase due to
the energy storage is evaluated. It is shown that the storage usage increases
the effectiveness when the shadow phases of the trajectory exist.
Решена задача о переходе космического аппарата с максимальной мас-
сой полезной нагрузки с фиксированной круговой орбиты на заданную
некомпланарную, близкую к ней круговую орбиту в сферическом гра-
витационном поле. Космический аппарат оснащен солнечной электро-
реактивной двигательной системой постоянной мощности с накопите-
лем энергии. Проведена оценка увеличения массы полезной нагрузки
за счет использования накопителя энергии в двигательной системе. По-
казано, что при наличии теневых участков траектории эффективность
использования накопителя энергии возрастает.
1. Вступ
Через високу вартiсть виведення одиницi маси на низьку монтажну
орбiту задача збiльшення маси корисного навантаження в початко-
вiй масi космiчного апарату (причому таким чином, щоб перелiт мiж
заданими орбiтами був здiйсненним) була, є та залишиться актуаль-
ною найближчим часом. Цей факт приводить до необхiдностi сумi-
сної оптимiзацiї траєкторiй та параметрiв рушiйної системи мiжорбi-
тального транспортного апарату. Використання електрореактивних
c© Я.В. Ткаченко, 2015
192 Я. В. Ткаченко
двигунiв дозволяє суттєво збiльшити масу корисного навантажен-
ня. Класична електрореактивна рушiйна система включає в себе два
основних компоненти: джерело потужностi для живлення рушiя i,
власне, рушiй, який генерує реактивну тягу. Включення акумулятора
енергiї до складу електрореактивної рушiйної системи з метою пере-
розподiлу енергiї, яка генерується джерелом, у вiдповiдностi до не-
обхiдного рiвня реактивного прискорення може дозволити збiльшити
масу корисного навантаження у порiвняннi з класичною електроре-
активною рушiйною системою. Така iдея вперше була сформульована
в 60-х роках минулого сторiччя [1]. Подальшi роботи [2–7] пiдтверди-
ли доцiльнiсть проведення дослiджень у цьому напрямку. У вказаних
роботах розглянуто оптимiзацiю руху космiчних апаратiв (КА) з ав-
тономним джерелом енергiї.
При мiжорбiтальних перельотах у навколоземному просторi для
забезпечення космiчного апарату енергiєю широко використовуються
сонячнi батареї. В цьому випадку при входженнi КА в тiнь Землi
джерело енергiї перестає функцiонувати. В рядi робiт [8,9] проаналi-
зовано вплив цього негативного фактору для КА з класичними еле-
ктрореативними рушiйними системами. В деяких роботах пропону-
ється включати акумулятор енергiї до апаратного складу КА для
накопичення енергiї на сонячних частинах траєкторiї з подальшим
її використанням на тiньових частинах, з метою зменшення негатив-
ного впливу тiнi [10, 11]. Однак, наукових публiкацiй, де дослiджує-
ться оптимiзацiя мiжорбiтальних перельотiв КА, в яких акумулятор
включений до складу електрореактивної рушiйної системи з метою
збiльшення маси корисного навантаження та враховано наявнiсть тi-
нi, автору даної публiкацiї знайти не вдалося.
В данiй роботi розглянуто застосування акумулятора енергiї у
складi рушiйної системи з метою пiдвищення маси корисного наван-
таження КА при перельотах мiж близькими круговими орбiтами з
врахуванням тiнi, що симетрично розташована вiдносно центру трає-
кторiї, за час, який вiдповiдає повному оберту навколо гравiтацiйного
центру. Такий динамiчний маневр КА без врахування тiнi детально
розглянутий в роботах [4,6]. Показано, що, принаймнi для вказаного
вище розташування тiнi, ефективнiсть включення акумулятора енер-
гiї до складу рушiйної системи КА вища порiвняно з безтiньовою тра-
єкторiєю. Також виявлено, що зi збiльшенням iнтервалу тiнi область
значень масово-енергетичних характеристик рушiйної системи КА,
в якiй зберiгається доцiльнiсть включення акумулятора енергiї, стає
Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами . . . 193
ширшою.
2. Постановка задачi
Рух КА моделюємо рухом матерiальної точки змiнної маси, початко-
ва маса M0 якої складається з маси рушiя Mν , маси джерела енергiї
Mγ , маси акумулятора енерiї Me, маси робочої речовини Mf , необхi-
дної для виконання заданого маневру, та маси корисного навантаже-
ння Mπ. Як i в роботах [4–6], вважаємо
Mν = αN0, Mγ = γ NγN0, Me = β E0, (1)
деN0 — максимальна потужнiсть джерела енергiї,Nγ — безрозмiрний
коефiцiєнт, що показує наскiльки потужнiсть рушiя вiдрiзняється вiд
потужностi джерела, E0 — енергоємнiсть акумулятора, α, γ та β —
питомi маси джерела енергiї, рушiя та акумулятора енергiї. Рушiй-
ну систему вважаємо рушiйною системою сталої потужностi, тобто
потужнiсть рушiя незмiнна в часi.
У подальшому всi спiввiдношення записанi у безрозмiрнiй формi:
лiнiйний розмiр вiднесено до деякої вiдстанi до гравiтацiйного центру
r∗, час t вiднесено до T ∗ — перiоду обертання по круговiй орбiтi радi-
усом r∗, роздiленому на 2π, прискорення — до прискорення вiльного
падiння на вiдстанi r∗ вiд гравiтацiйного центру, потужностi рушiя
та джерела енергiї електрореактивної рушiйної системи — до макси-
мальної потужностi джерела N0, поточний запас енергiї акумулятора
— до його енергоємностi E0, швидкостi — до величини r∗/T ∗, а маси
КА в цiлому та його складових — до початкової маси КА. Безрозмiрнi
маси позначимо маленькими буквами.
У випадку рушiя сталої потужностi рiвняння змiни накопиченої в
акумуляторi енергiї має вигляд [3, 4]:
ėa = −η(Nγδ − 1)/ξB, ea ∈ [0; 1]. (2)
Тут обмеження на величину ea зумовленi тим, що запас енергiї в
акумуляторi не може бути вiд’ємним та не може перевищувати його
енергоємнiсть, а η = βT ∗/α. В роботi [12] показано, що максимум
маси корисного навантаження досягається при русi по траєкторiї, яка
вiдповiдає мiнiмуму функцiонала
Je = (ε+ (1 + ξB)/Nγ)
T∫
0
(W 2
1e +W 2
2e +W 2
3e)δdt, (3)
194 Я. В. Ткаченко
де W1e,W2e,W3e — компоненти вектора реактивного прискорення,
ε = γ/α, ξB = me/mν , δ — керуюча функцiя, яка дорiвнює 1 на актив-
них частинах траєкторiї (рушiй працює, акумулятор розряджається,
енергiя джерела та акумулятора спрямованi в рушiй) та 0 — на пасив-
них частинах (рушiй вимкнений, енергiя джерела використовується
для зарядки акумулятора). При цьому маси джерела енергiї, рушiя,
акумулятора енергiї, робочої речовини та корисного навантаження
обчислюються за формулами
mνe =
√
Φe − Φe
1 + ξB + εNγ
,mγe =
εNγ(
√
Φe − Φe)
1 + ξB + εNγ
,
me =
ξB(
√
Φe − Φe)
1 + ξB + εNγ
, (4)
mfe =
√
Φe,mπe
= (
√
Φe − 1)2,Φe =
αr∗2
2T ∗3Je.
У випадку класичної електрореактивної рушiйної системи (без аку-
мулятора енергiї) функцiонал (3) та формули (4) приймають вигляд
J = (1 + ε)
T∫
0
(W 2
1 +W 2
2 +W 2
3 )dt,
mν =
√
Φ− Φ
1 + ε
,mγ =
εNγ(
√
Φe − Φe)
1 + ε
, (5)
mf =
√
Φ,mπ = (
√
Φ− 1)2,Φ =
αr∗2
2T ∗3J.
Ставимо наступну задачу: доставити максимум корисного наван-
таження за допомогою КА з сонячним джерелом енергiї з початкової
кругової орбiти на близьку до неї кругову орбiту за час, що вiдпо-
вiдає одному оберту навколо гравiтацiйного центру, причому части-
на траєкторiї знаходиться в тiнi. За характерний лiнiйний розмiр r∗
приймемо радiус початкової орбiти. Враховуючи лiнеаризованi рiв-
няння руху з вiдповiдними початковими та кiнцевими умовами, якi
наведено в [12], та функцiонал J з формул (5), запишемо математи-
чну постановку даної задачi для КА з класичною електрореактивною
рушiйною системою
J = (1 + ε)
2π∫
0
(W 2
1 +W 2
2 +W 2
3 )δshdt→ min,
Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами . . . 195
ẏ1 = y2, y1(0) = 0,
ẏ2 = y3, y2(0) = 0, y2(2π) = ∆r,
ẏ3 =W1δsh + 2y4, y3(0) = 0, y3(2π) = 2∆r/2, (6)
ẏ4 =W2δsh + 3y2 − 2y3, y4(0) = 0, y4(2π) = 0,
ẏ5 = y6 y5(0) = 0,
ẏ6 =W3δsh − y5, y6(0) = 0, y25(2π) + y26(2π) = ∆I ,
де y1 — кутове вiдхилення апарату вiд положення при кеплеровому
русi по початковiй орбiтi, y2 – радiальне вiдхилення вiд початкової
орбiти, y3 — кутове вiдхилення вiд площини початкової орбiти, ∆r —
заданний прирiст радiуса початкової орбiти (радiус кiнцевої орбiти
дорiвнює 1 + ∆r), ∆I — заданий кут нахилу кiнцевої орбiти вiдно-
сно початкової орбiти, δsh — функцiя, яка дорiвнює 1 на освiтлених
частинах траєкторiї та 0 на тiньових. Якщо до складу рушiйної си-
стеми КА включений акумулятор енергiї, то математична постановка
задачi дещо вiдрiзняється вiд (6)
Je = (ε+ (1 + ξB)/Nγ)
2π∫
0
(W 2
1e +W 2
2e +W 2
3e)δdt → min,
ẏ1 = y2, y1(0) = 0,
ẏ2 = y3, y2(0) = 0, y2(2π) = ∆r,
ẏ3 =W1eδ + 2y4, y3(0) = 0, y3(2π) = 2∆r/2, (7)
ẏ4 =W2eδ + 3y2 − 2y3, y4(0) = 0, y4(2π) = 0,
ẏ5 = y6 y5(0) = 0,
ẏ6 =W3eδ − y5, y6(0) = 0, y25(2π) + y26(2π) = ∆I ,
ẏ7 = −η(Nγδ − δsh)/ξB, y7(0) = 0.5, y7(2π) = 0.5, 0 ≤ y7 ≤ 1.
Тут y7 = ea (див. (2)) — змiнна, яка дорiвнює поточному запасу
енергiї акумулятора. Незважаючи на схожiсть постановок, задача (7)
суттєво вiдрiзняється вiд задачi (6). По-перше, розподiл активних та
пасивних дуг траєкторiї визначається не вiдомим зовнiшнiм факто-
ром (положення тiнi на траєкторiї руху, яке задається функцiєю δsh),
а керуванням δ, яке забезпечує мiнiмiзацiю функцiонала задачi. По-
друге, це задача з фазовими обмеженнями (див. останнє рiвняння
196 Я. В. Ткаченко
в (7)), якi мають цiлком зрозумiлий фiзичний змiст: запас енергiї
акумулятора не може бути вiд‘ємним та не може перевищувати його
енергоємнiсть. По-третє, необхiдно знайти оптимальнi значення па-
раметрiв Nγ та ξB.
3. Метод розв’язання
Для розв’язування задач (6) та (7) використаємо принцип максимуму
Понтрягiна та його розповсюдження на задачi з фазовими обмеже-
ннями — метод Гамкрелiдзе [13]. Складаємо гамiльтонiани H — для
задачi (6) та He — для задачi (7)
H = −(1 + ε)(W 2
1 +W 2
2 +W 2
3 )δsh + ψ1y3 + ψ2y4+
+ψ3(W1δsh + 2y4) + ψ4(W2δsh + 3y2 − 2y3)+
+ψ5y6 + ψ6(W3δsh − y5),
(8)
He = −b(W 2
1e +W 2
2e +W 2
3e)δ + ψ1ey3 + ψ2ey4+
+ψ3e(W1eδ + 2y4) + ψ4e(W2eδ + 3y2 − 2y3) + ψ5ey6+
+ψ6e(W3eδ − y5)− ψ7eη(Nγδ − δsh)/ξB,
b = (ε+ (1 + ξB)/Nγ).
(9)
З умови максимуму функцiїH по керуванняхWi та з системи рiвнянь
для приєднаних функцiй ψ̇i = − ∂H
∂yi
знаходимо
ψ1 = c1, ψ2 = −6(c1t− c2 cos t+ c3 sin t+ c4),
ψ3 = 3c1t− 4c2 cos t+ 4c3 sin t+ 3c4,
ψ4 = 2(c1 + c2 sin t+ c3 cos t),
ψ5 = 2(c5 cos t+ c6 sin t), ψ6 = 2(c5 sin t− c6 cos t)
W1 = ψ3/(2(1 + ε)), W2 = ψ4/(2(1 + ε)), W3 = ψ6/(2(1 + ε)).
(10)
Аналогiчно отримаємо вирази для оптимальних керувань для задачi
(7) з гамiльтонiаном (9)
ψ1e = c1e, ψ2e = −6(c1et− c2e cos t+ c3e sin t+ c4e),
ψ3e = 3c1et− 4c2e cos t+ 4c3e sin t+ 3c4e,
ψ4e = 2(c1e + c2e sin t+ c3e cos t),
ψ5e = 2(c5e cos t+ c6e sin t),
Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами . . . 197
ψ6e = 2(c5e sin t− c6e cos t), ψ7e = c7e,
W1e = ψ3e/2b, W2e = ψ4e/2b, W3e = ψ6e/2b,
δ = 0,∆ < 0,
δ = 1,∆ > 0,
∆ =
ψ2
3e + ψ2
4e + ψ2
6e
2b
− ψ7eη/ξB.
(11)
У випадку класичної рушiйної системи, пiдставивши керування
Wi, що визначенi згiдно з (10), в рiвняння руху з (6), з кiнцевих умов
та умов трансверсальностi ψ1 = 0,
ψ2
5(2π)
y25(2π)
=
ψ2
6(2π)
y26(2π)
= ∆2
I , отримаємо
систему алгебраїчних рiвнянь для визначення невiдомих сталих ci.
Отже, поставлена задача розв’язана. У випадку ж рушiйної системи
з акумулятором енергiї ситуацiя значно складнiша. Згiдно з методом
Гамкрелiдзе, в точках виходу на фазовi обмеження y7 = 0, y7 = 1
вiдповiдна приєднана функцiя матиме стрибки, величини яких невi-
домi та мають визначатися з умови мiнiмуму функцiоналу Je. Через
те, що заранi кiлькiсть цих стрибкiв невiдома, неможливо тiльки зi
спiввiдношень (11) визначити значення керуючої функцiї δ, або, що
те саме, розподiл активних та пасивних дуг вздовж траєкторiї.
Розглянемо випадок, коли КА перебуває в тiнi протягом iнтервалу
часу t ∈ [π − τsh, π + τsh], тобто
δsh = 1, t ∈ [0, π − τsh] ∪ [π + τsh, 2π],
δsh = 0, t ∈ [π − τsh, π + τsh].
(12)
Використаємо пiдхiд, який детально описаний у роботах [4–6]. Вва-
жаємо, що активнi дуги на освiтленiй частинi траєкторiї тривалiстю τ
розташованi на початку та в кiнцi маневру, а в околi точки t = π роз-
ташована тiньова активна дуга дещо меншою тривалiстю τ1. τ1 < τ
через те, що в тiнi джерело енергiї не функцiонує i живлення рушiя
вiдбувається тiльки за рахунок енергiї акумулятора, що, в свою чергу,
збiльшує швидкiсть його розрядки. Отже, в залежностi вiд значень
τsh та τ1 можливi два сценарiї роботи акумулятора енергiї протягом
здiйснення маневру, якi зображенi на рис. 1 та 2.
Позначимо: ∆eact(t1, t2) змiну запасу енергiї акумулятора, якщо
iнтервал часу [t1, t2] вiдповiдає освiтленiй активнiй частинi трає-
кторiї; ∆eshact(t1, t2), якщо iнтервал часу [t1, t2] вiдповiдає тiньовiй
активнiй частинi траєкторiї; ∆epas(t1, t2), якщо iнтервал часу [t1, t2]
вiдповiдає пасивнiй частинi траєкторiї. В нашому випадку пасивнi
198 Я. В. Ткаченко
t p-t
1
p+t
1
p-t
sh
e
a
t
1
0.5
2p-t 2p
p+t
sh
p t
p-t
1
p+t
1
p-t
sh
e
a
t
1
0.5
2p-t 2pp+t
shp
Рис. 1. Сценарiй 1, τ1 > τsh. Рис. 2. Сценарiй 2, τ1 < τsh.
частини траєкторiї є освiтленими. З рiвняння, що описує поточний
запас енергiї в акумуляторi (останнє рiвняння в (7)), випливає
∆eact(t1, t2) = − η
ξB
(Nγ − 1)(t2 − t1),
∆eshact(t1, t2) = − η
ξB
Nγ(t2 − t1),
∆epas(t1, t2) =
η
ξB
(t2 − t1).
Тодi, приймаючи до уваги програми змiни запасу енергiї акумулятора
(див. рис. 1, 2), складемо рiвняння для визначення Nγ , ξB та τ1 через
τ та η. Для сценарiю 1 маємо систему рiвнянь
∆eact(0, τ) = −0.5,
∆epas(τ, π − τ1) = 1,
∆eact(π − τ1, π − τsh) + ∆eshact(π − τsh, π) = −0.5,
(13)
яка має розв’язок
N (1)
γ =
(
π + 2τ +
√
(π − τ)2 + 8ττsh
)
/4τ,
ξ
(1)
B = η
(
π − 2τ +
√
(π − τ)2 + 8ττsh
)
/2,
τ
(1)
1 =
(
π −
√
(π − τ)2 + 8ττsh
)
/2.
(14)
Для сценарiю 2 система рiвнянь аналогiчна (13) має вигляд
∆eact(0, τ) = −0.5,
∆epas(τ, π − τsh) = 1,
∆eshact(π − τsh, π) = −0.5.
(15)
Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами . . . 199
Розв‘язавши систему (13), знаходимо
N (2)
γ = (π + τ − τsh) /4τ,
ξ
(2)
B = η (π − τ − τsh) /2,
τ
(2)
1 =
(
τ − 2τ2/(π + τ − τsh)
)
/2.
(16)
Нерiвностi τ (1)1 − τsh > 0 та τ (2)1 − τsh > 0 мають однаковий розв’язок
τ ∈ [
1
2
(π−2τsh−
√
π2 − 8πτsh + 8τ2sh);
1
2
(π−2τsh+
√
π2 − 8πτsh + 8τ2sh)].
Завдяки цьому при заданому τ формули (14) та (16) дозволяють
однозначно визначити сценарiй розподiлу дуг траєкторiї та вiдповiднi
значення Nγ i ξB. Тепер вкажемо послiдовнiсть дiй для розв’язання
задачi (7). Задаємо значення параметрiв ε, η та τsh. Задаємось τ . Ви-
користовуючи формули (14) та (16), знаходимо сценарiй розподiлу
дуг траєкторiї та вiдповiднi значення Nγ i ξB . Пiдставляємо знайденi
Nγ i ξB в (11) та iнтегруємо у вiдповiдностi до вибраного сценарiю
рiвняння руху зi спiввiдношень (7). З кiнцевих умов та наведених ви-
ще умов трансверсальностi знаходимо сталi в часi cie(τ), i = 1, 2, ..., 6
у виглядi функцiй вiд τ . Отже, тепер функцiонал Je зведений до фун-
кцiї вiд змiнної τ , яку дослiджуємо на мiнiмум за допомогою чисель-
них методiв.
4. Результати чисельних розрахункiв
Проведемо оцiнку ефективностi використання акумулятора енергiї у
складi сонячної електрореактивної рушiйної системи на прикладi ма-
невру збiльшення радiуса та повороту площини початкової орбiти на
величини ∆r = 0.01 та ∆I = 0.01. Мiнiмiзуючи функцiонал Je по τ ,
можемо визначити оптимальнi функцiональнi залежностi τ(η), ξB(η),
Nγ(η) (див. рис. 3–5), якi зв’язують мiж собою параметри, що ха-
рактеризують масово-енергетичнi характеристики рушiйної системи.
Максимальне значення параметру η при побудовi кривих вибране з
умови доцiльностi застосування акумулятора енергiї у складi рушiй-
ної системи, яка математично записується Je/J < 1. Пояснимо, чому
це так.
З формул (4) та (5) випливає, що для здiйсненних маневрiв зна-
чення функцiоналiв Φ та Φe знаходяться в iнтервалi вiд 0 до 1, тому
200 Я. В. Ткаченко
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.7
0.8
0.9
1
1
2
3
4
η
τ
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
η
ξ
B
1
2
3
4
Рис. 3. Залежнiсть, τ (η). Рис. 4. Залежнiсть, ξB(η).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
Nγ
η
1
2
4
3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
J
e
/J
1
2
η
3
4
Рис. 5. Залежнiсть, Nγ(η). Рис. 6. Залежнiсть, Je(η)/J .
що вони бiльшi 0 за означенням, а при перевищеннi 1 маси елемен-
тiв рушiйної системи стають вiд’ємними, що неможливо. Тому маса
корисного навантаження тим бiльша, чим менше Φ або Φe. Отже,
застосування акумулятора енергiї доцiльне у випадку, коли Φe < Φ
або, як випливає з (4) та (5), Je/J < 1, тобто, коли маса корисного
навантаження бiльша, нiж у випадку класичної електрореактивної
рушiйної системи. Кривi залежностей Je(η)/J для ряду тривалостей
тiньових дiлянок траєкторiї зображено на рис. 6. На рис. 3–6 кривi 1
побудованi для iнтервалу тiнi 2τsh = 2π/7, кривi 2 — для iнтервалу
тiнi 2τsh = 2π/5, кривi 3 — для iнтервалу тiнi 2τsh = 2π/4, кривi 4
— для iнтервалу тiнi 2τsh = 2π/3. Стрибки на кривих 1 пояснюються
Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами . . . 201
тим, що при вiдповiднiй тривалостi тiньової дiлянки траєкторiї при
певному значеннi параметру η вiдбувається перехiд вiд сценарiю 1 до
сценарiю 2 (див. рис. 1, 5). При тривалостях тiньових дiлянок трає-
кторiї, якi вiдповiдають кривим 2—4, рух вiдбувається за сценарiєм
2. Як бачимо, зi збiльшенням тривалостi тiньової дiлянки траєкторiї
ефективнiсть використання акумулятора енергiї у складi рушiйної
системи космiчного апарату зростає.
5. Висновки
При виконаннi космiчним апаратом з сонячною електрореактивною
рушiйною системою перельотiв мiж близькими некомпланарними
круговими орбiтами за наявностi тiньових дiлянок траєкторiї, вклю-
чення акумулятора енергiї до складу рушiйної системи дозволяє зна-
чно покращити якiсть виконання таких маневрiв. Цей факт дозво-
ляє очiкувати позитивних результатiв вiд застосування акумулятора
енергiї у сонячнiй електрореактивнiй системi космiчного апарату i
при виконаннi бiльш складних динамiчних маневрiв.
[1] Camac M. Use of energy storage in low thrust spaceflight // ARS J. —
1960. — 30, 1. — P. 32—41.
[2] Кифоренко Б.Н. К выбору оптимальных параметров двигательной
установки с ограниченной мощностью и накопителем энергии // Инж.
журн. механ. тв. тела. — 1966. — № 3. — С. 53–58.
[3] Кифоренко Б.Н. О движении по орбитам, близким к круговым, при
использовании двигательных систем с накопителем энергии и двига-
телем постоянной мощности // Инж. журн. механ. тв. тела. — 1967.
— № 3. — С. 152–157.
[4] Ткаченко Я.В. Оптимальные околокруговые движения космических
аппаратов с накопителем энергии // Прикладная механика. — 1999. —
35, 10. — С. 93–100.
[5] Tkachenko Ya.V. Using energy storage in low thrust constant power
thruster for optimal interorbital transfers // Stability and control. Theory
and application. International J. — 2003. — 5, 1. — P. 22–40.
[6] Ткаченко Я.В. Оптимизация работы электрических ракетных двига-
телей с постоянной и регулируемой тягами // Прикладная механика.
— 2010. — 46, 3. — С. 114–123.
202 Я. В. Ткаченко
[7] Кифоренко Б.Н., Ткаченко Я.В. Оптимизация перелетов космическо-
го аппарата с электрореактивной двигательной системой постоянной
мощности и накопителем энергии между отдаленными эллиптически-
ми орбитами // Прикладная механика. — 2010. — 46, 11. — С. 117–125.
[8] Kluever Craig A. Using Edelbaum’s Method to Compute Low-Thrust
Transfers with Earth-Shadow Eclipses // J. of guidance, control, and
dynamics. — 2011. — 34, 1. — P. 300–303.
[9] Ferrier Ch., Epenoy R. Optimal Control for Engines with Electro-Ionic
Propulsion Under Constraint of Eclipse // Acta Astronautica. — 2001. —
48. — P. 181–192.
[10] Marasch Mark W., Hall Christopher D. Application of Energy Storage to
Solar Electric Propulsion Orbital Transfer // J. of spacecraft and rockets.
— 2000. — 37, 5. — P. 645–652.
[11] Храмов А.А. Анализ и оптимизация перелётов космических аппара-
тов между низкими околоземными орбитами с двигательными уста-
новками с накоплением энергии // Диссертация на соискание учёной
степени кандидата технических наук. — Самара, 2014. — 142 с.
[12] Гpодзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В. В. Механика космическо-
го полета с малой тягой. — М.: Наука, 1966. — 679 с.
[13] Иванов В.А., Фалдин Н.В Теория оптимальных систем автоматиче-
ского управления. — М.: Наука, 1981. — 336 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-38 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:24Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/3b/b85cac9e5f591dc1acbcddc114f5623b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-382018-01-23T12:01:13Z Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами з врахуванням тiнi Ткаченко, Я. В. Ткаченко, Я. В. The problem of an optimal transfer of a space vehicle with the maximalpayload between nearby nonconplanar circular orbits in the spherical gravi-tation field is solved. The space vehicle is equipped with a constant powersolar electric propulsion and an energy storage. The payload increase due tothe energy storage is evaluated. It is shown that the storage usage increasesthe effectiveness when the shadow phases of the trajectory exist. Решена задача о переходе космического аппарата с максимальной мас-сой полезной нагрузки с фиксированной круговой орбиты на заданнуюнекомпланарную, близкую к ней круговую орбиту в сферическом гра-витационном поле. Космический аппарат оснащен солнечной электро-реактивной двигательной системой постоянной мощности с накопите-лем энергии. Проведена оценка увеличения массы полезной нагрузкиза счет использования накопителя энергии в двигательной системе. По-казано, что при наличии теневых участков траектории эффективностьиспользования накопителя энергии возрастает. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/38 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 191-202 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 191-202 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 191-202 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/38/22 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Ткаченко, Я. В. Ткаченко, Я. В. Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| title | Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| title_alt | Оптимальнi перельоти мiж близькими круговими орбiтами з врахуванням тiнi |
| title_full | Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| title_fullStr | Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| title_full_unstemmed | Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| title_short | Optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| title_sort | optimal flights with close circular orbits when accounting for the shadow |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/38 |
| work_keys_str_mv | AT tkačenkoâv optimalflightswithclosecircularorbitswhenaccountingfortheshadow AT tkačenkoâv optimalflightswithclosecircularorbitswhenaccountingfortheshadow AT tkačenkoâv optimalʹniperelʹotimižblizʹkimikrugovimiorbitamizvrahuvannâmtini AT tkačenkoâv optimalʹniperelʹotimižblizʹkimikrugovimiorbitamizvrahuvannâmtini |