Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity
Group classification of variable coefficient reaction-diffusion equations \mbox{with} quadratic nonlinearity is carried out. Usual and generalized extended equivalence groups are also found. These allow to simplify results of classification and further applications of them. The obtained Lie symmetri...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/381 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552880284631040 |
|---|---|
| author | Vaneeva, O. Ванєєва, О. |
| author_facet | Vaneeva, O. Ванєєва, О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Ванєєва",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Vaneeva, O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Group classification of variable coefficient reaction-diffusion equations \mbox{with} quadratic nonlinearity is carried out. Usual and generalized extended equivalence groups are also found. These allow to simplify results of classification and further applications of them. The obtained Lie symmetries are used to construct exact solutions of equations for the class under consideration. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 49–62
УДК 517.912:512.816
Групова класифiкацiя рiвнянь
реакцiї-дифузiї зi змiнними
коефiцiєнтами та квадратичною
нелiнiйнiстю
О.О. ВАНЄЄВА
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: vaneeva@imath.kiev.ua
Виконано групову класифiкацiю рiвнянь реакцiї-дифузiї зi змiнними
коефiцiєнтами та квадратичною нелiнiйнiстю. Знайдено звичайну та
узагальнену розширену групи еквiвалентностi, що дозволяє спростити
результати класифiкацiї та подальшi їх застосування. Отриманi лiїв-
ськi симетрiї використано для вiдшукання точних розв’язкiв дослiджу-
ваного рiвняння.
Group classification of variable coefficient reaction-diffusion equations with
quadratic nonlinearity is carried out. Usual and generalized extended equi-
valence groups are also found. These allow to simplify results of classificati-
on and further applications of them. The obtained Lie symmetries are used
to construct exact solutions of equations for the class under consideration.
1. Вступ. Починаючи з роботи Л.В. Овсяннiкова [1], де було запро-
поновано метод розв’язування задачi групової класифiкацiї та за-
стосовано його до нелiнiйного рiвняння теплопровiдностi, з’явилося
багато робiт, присвячених дослiдженню рiвнянь дифузiйного типу з
симетрiйної точки зору (див., наприклад, [2–8]).
Часто у якостi моделей рiзноманiтних процесiв в фiзицi, хiмiї [9,
10] та бiологiї [11] виступають рiвняння реакцiї-дифузiї зi змiнними
коефiцiєнтами та степеневими нелiнiйностями вигляду
f(x)ut = (g(x)unux)x + h(x)um, (1)
де f = f(x), g = g(x) та h = h(x) – довiльнi гладкi функцiї своїх
аргументiв, f(x)g(x) 6= 0, n та m – довiльнi константи.
50 О.О. Ванєєва
Нещодавно в [12] було виконано вичерпну групову класифiкацiю
рiвнянь (1) з n 6= 0, а також здiйснено класифiкацiю допустимих
перетворень та законiв збереження цього класу.
При дослiдженнi групових властивостей рiвнянь з класу (1) з лi-
нiйним дифузiйним коефiцiєнтом (тобто з параметром n = 0) видi-
ляється пiдклас з квадратичною нелiнiйнiстю m = 2, а саме клас
f(x)ut = (g(x)ux)x + h(x)u2, h(x) 6= 0. (2)
Вiн має бiльш широку, у порiвняннi з iншими значеннями пара-
метра m, групу еквiвалентностi, а також вирiзняється пiд час групо-
вої класифiкацiї бiльш складними визначальними рiвняннями на кое-
фiцiєнти iнфiнiтезимального оператора та довiльнi елементи класу.
В цiй роботi розв’язана задача групової класифiкацiї рiвнянь ви-
ду (2). При цьому використано пiдхiд, пов’язаний з калiбруванням
довiльних елементiв та наступним вiдображенням отриманого класу
в iнший, для якого задача групової класифiкацiї спрощується. Також
побудовано точнi розв’язки рiвнянь, що допускають розширення ал-
гебри лiївських симетрiй.
2. Перетворення еквiвалентностi та вибiр дослiджувано-
го класу. Звичайну групу еквiвалентностi G∼ класу (2) складають
невиродженi точковi перетворення в просторi змiнних (t, x, u, f, g, h)
вигляду
t̃ = T t(t, x, u),
x̃ = T x(t, x, u),
ũ = Tu(t, x, u),
f̃ = T f (t, x, u, f, g, h),
g̃ = T g(t, x, u, f, g, h),
h̃ = Th(t, x, u, f, g, h),
якi перетворюють будь-яке рiвняння з класу (2) на функцiю u =
u(t, x) з довiльними елементами (f, g, h) в рiвняння з того ж класу
на функцiю ũ = ũ(t̃, x̃) з новими довiльними елементами (f̃ , g̃, h̃).
Теорема 1. Група G∼ складається з перетворень
t̃ = δ1t+ δ2, x̃ = ϕ(x), ũ = δ3u,
f̃ =
δ0δ1
δ3ϕx
f, g̃ =
δ0ϕx
δ3
g, h̃ =
δ0
δ2
3ϕx
h,
де δj (j = 0, 1, 2, 3) – довiльнi сталi, δ0δ1δ3 6= 0, ϕ – довiльна гладка
функцiя змiнної x, ϕx 6= 0.
Групова класифiкацiя рiвнянь реакцiї-дифузiї 51
Виявляється, що клас (2) допускає перетворення еквiвалентностi,
що не належать до групи G∼ i складають разом зi звичайними пе-
ретвореннями еквiвалентностi узагальнену розширену групу еквiва-
лентностi. Обмеження на перетворення з групи еквiвалентностi мо-
жуть бути послабленi в двох напрямках. По-перше, допускається, що
перетворення змiнних t, x, u можуть залежати вiд довiльних елемен-
тiв f , g та h (префiкс “узагальнена” [13]). По-друге, явна форма нових
довiльних елементiв (f̃ , g̃, h̃) може визначатися через (t, x, u, f, g, h)
якимось нелокальним способом (префiкс “розширена”). Повну (у цьо-
му сенсi) узагальнену розширену групу еквiвалентностi Ĝ∼ класу (2)
побудовано, використовуючи прямий метод [14].
Теорема 2. Група Ĝ∼ складається з перетворень
t̃ = δ1t+ δ2, x̃ = ϕ(x), ũ = ψ(x)u+ χ(x),
f̃ =
δ0δ1
ϕxψ2
f, g̃ =
δ0ϕx
ψ2
g, h̃ =
δ0
ϕxψ3
h,
де δj (j = 0, 1, 2) – довiльнi сталi, δ0δ1 6= 0; ψ(x) – гладкий розв’язок
нелiнiйного звичайного диференцiального рiвняння (ЗДР) четвер-
того порядку[
g
ψ2
(
ψ2
2h
(
gψx
ψ2
)
x
)
x
]
x
=
ψ
4h
[(
gψx
ψ2
)
x
]2
(3)
та χ = −ψ
2
2h
(
gψx
ψ2
)
x
.
Рiвняння (3) має частинний розв’язок ψ(x) =
(
δ3
∫
dx
g(x) + δ4
)−1 з
вiдповiдним χ(x) = 0, завдяки чому можна побудувати пiдгрупу гру-
пи Ĝ∼ з перетвореннями у явному виглядi. Ця пiдгрупа є ширшою
за звичайну групу еквiвалентностi G∼.
Наявнiсть довiльної функцiї ϕ(x) в перетвореннях еквiвалентно-
стi з групG∼ та Ĝ∼ дозволяє спростити задачу групової класифiкацiї
класу (2), зменшивши в ньому кiлькiсть довiльних елементiв.
Наприклад, перетворення
t̃ = t, x̃ =
∫
dx
g(x)
, ũ = u
з групи G∼ вiдображує (2) в клас f̃(x̃)ũt̃ = ũx̃x̃ + h̃(x̃)ũ2 з новими
довiльними елементами f̃(x̃) = f(x)g(x), g̃(x̃) = 1 та h̃(x̃) = g(x)h(x).
52 О.О. Ванєєва
Взагалi кажучи, перетвореннями з G∼ можна вiдкалiбрувати
будь-який довiльний елемент класу (2) в одиницю. Незважаючи на
те, що найбiльш вдалою здається калiбровка g = 1, задача групової
класифiкацiї класу f(x)ut = uxx + h(x)u2 залишається складною.
Виходом з даної ситуацiї є вiдображення класу (2) деяким невиро-
дженим перетворенням, що не належить до груп еквiвалентностi G∼
та Ĝ∼, в клас, для якого задача групової класифiкацiї є бiльш лег-
кою. Для цього спочатку перетворенням з групи G∼ вiдкалiбруємо
довiльнi елементи класу (2) таким чином, щоб коефiцiєнт g(x) в но-
вому класi спiвпадав з f(x). З теореми 1 випливає, що це можна
зробити перетворенням
t̃ = t, x̃ =
∫ ∣∣∣∣f(x)
g(x)
∣∣∣∣ 1
2
dx, ũ = u. (4)
Таким чином, не втрачаючи загальностi, можна обмежитися дослi-
дженням класу
f(x)ut = (f(x)ux)x + h(x)u2 (5)
з h(x) 6= 0, оскiльки всi результати (симетрiї, точнi розв’язки) отри-
манi для цього класу можна поширити для класу (2) перетворен-
ням (4).
Узагальнену розширену групу еквiвалентностi класу (5) можна
знайти з теореми 2, поклавши у формулах перетворень довiльних
елементiв f̃ = g̃ та f = g. Отриманий результат сформульовано у
виглядi наступної теореми.
Теорема 3. Клас рiвнянь (5) допускає узагальнену розширену групу
еквiвалентностi Ĝ∼1 , що складається з перетворень
t̃ = δ1
2t+ δ2, x̃ = δ1x+ δ3, ũ = ψ(x)u+ χ(x),
f̃ =
δ0δ1
ψ2
f, h̃ =
δ0
δ1ψ3
h,
де δj (j = 0, 1, 2, 3) – довiльнi сталi, δ0δ1 6= 0. ψ(x) – гладкий розв’я-
зок нелiнiйного ЗДР четвертого порядку[
f
ψ2
(
ψ2
2h
(
fψx
ψ2
)
x
)
x
]
x
=
ψ
4h
[(
fψx
ψ2
)
x
]2
,
Групова класифiкацiя рiвнянь реакцiї-дифузiї 53
а функцiя χ визначається за формулою χ = −ψ
2
2h
(
fψx
ψ2
)
x
.
Використання перетворень з групи Ĝ∼1 дозволяє суттєво спрости-
ти результати групової класифiкацiї рiвнянь (5).
Далi в класi (5) зробимо замiну залежної змiнної
v(t, x) =
√
|f(x)|u(t, x)−
(
√
|f(x)|)xx|f(x)|
2h(x)
. (6)
При цьому (5) вiдображується в клас
vt = vxx +H(x)v2 +G(x), (7)
де довiльнi елементи H(x) та G(x) виражаються через функцiї f(x)
та h(x) за формулами
H(x) = h(x)|f(x)|− 3
2 , (8)
G(x) =
(
(
√
|f(x)|)xx|f(x)|
2h(x)
)
xx
−
((
√
|f(x)|)xx)2
√
|f(x)|
4h(x)
. (9)
Таким чином, задачу групової класифiкацiї рiвнянь реакцiї-дифу-
зiї (2) зведено до отримання такої класифiкацiї для рiвняння (7),
група еквiвалентностi G∼HG якого складається з перетворень
t̃ = δ1
2t+ δ2, x̃ = δ1x+ δ3, ṽ = δ4v,
H̃ =
H
δ1
2δ4
, G̃ =
δ4G
δ1
2 .
Тут δj (j = 1, 2, 3, 4) – довiльнi сталi, δ1δ4 6= 0.
В наступному параграфi наведено результати класифiкацiї рiв-
нянь (7) та за ними вiдновлено групову класифiкацiю класу (5).
3. Лiївськi симетрiї. Групову класифiкацiю класу рiвнянь (7)
виконаємо за класичним алгоритмом [15,16]. Нехай iнфiнiтезималь-
ний оператор
Q = τ(t, x, v)∂t + ξ(t, x, v)∂x + η(t, x, v)∂v
породжує групу симетрiй рiвняння (7). Тодi з iнфiнiтезимального
критерiю iнварiантностi пiсля переходу на многовид, заданий в про-
довженому просторi рiвнянням (7), та розщеплення за незв’язаними
54 О.О. Ванєєва
змiнними отримаємо такi визначальнi рiвняння на коефiцiєнти опе-
ратора Q:
τx = τv = ξv = ηvv = 0, τt = 2ξx, ξt = ξxx − 2ηxv, (10)
ηt = ηxx − (ηv − τt)(Hv2 +G) + 2ηHv + ξHxv
2 + ξGx. (11)
Розв’язуючи рiвняння (10), знаходимо τ = τ(t),
ξ = 1
2τtx+ σ(t), η =
(
− 1
8τttx
2 − 1
2σtx+ ζ(t)
)
v + η0(t, x).
Пiдставляючи отриманi форми коефiцiєнтiв τ , ξ, η в рiвняння (11) i
розщеплюючи його за змiнною v, отримуємо класифiкуючи умови,(
1
2τtx+ σ
)
Hx =
(
1
8τttx
2 + 1
2σtx− ζ − τt
)
H,
2η0H = − 1
8τtttx
2 − 1
2σttx+ ζt + 1
4τtt,(
1
2τtx+ σ
)
Gx = −
(
1
8τttx
2 + 1
2σtx− ζ + τt
)
G+ η0
t − η0
xx,
що дають подальшi обмеження на коефiцiєнти оператора Q в зале-
жностi вiд вигляду функцiй H та G. Якщо не фiксувати функцiї H
та G, то, розщеплюючи в останнiх рiвняннях за цими функцiями та
їх похiдними, отримуємо τt = 0, σ = ζ = η0 = 0. З цього випливає,
що ядром основних груп рiвнянь з класу (7) є група Лi, алгебра Лi
якої Aker = 〈∂t〉. Всi можливi випадки розширення ядра основних
груп класу (7) перераховано в табл. 1 з точнiстю до перетворень
еквiвалентностi з групи G∼HG.
Перетворення (6) є невиродженим точковим перетворенням кла-
су (5) в (7). При цьому базиснi елементи алгебри Лi iнварiантностi
рiвнянь (5) отримуються з вiдповiдних елементiв алгебри Лi рiвня-
ння (7) за формулою
Q̃ = τ∂t+ ξ∂x+
[
ξ
((
(
√
|f |)xx
√
|f |
2h
)
x
− vfx
2f
√
f
)
+
η√
|f |
]
∂u, (12)
в яку треба пiдставити v з (6). Тут τ , ξ та η – коефiцiєнти операторiв
з табл. 1 при ∂t, ∂x та ∂v.
Вiдображення (6) не є взаємооднозначним, бо прообразом кожно-
го рiвняння з (7) є чотирипараметрична сiм’я рiвнянь з класу (5).
Кожна така сiм’я складається з рiвнянь, що еквiвалентнi мiж собою
вiдносно перетворень еквiвалентностi класу (5) наведених у теоре-
мi 3. Для того, щоб розв’язати задачу групової класифiкацiї класу (5)
Групова класифiкацiя рiвнянь реакцiї-дифузiї 55
Таблиця 1. Результати групової класифiкацiї класу рiвнянь
vt = vxx +H(x)v2 +G(x), H(x) 6= 0.
№ H(x) G(x) Базис Amax
0 ∀ ∀ ∂t
1 δeqx a1e−qx ∂t, ∂x − qv∂v
2 δeqx q4
4δ
e−qx ∂t, ∂x − qv∂v ,
2t∂t + (x+ 2qt)∂x −
(
(qx+ 2q2t+ 2)v +
q2
δeqx
)
∂v
3 δxk a2x−(k+4) ∂t, 2t∂t + x∂x − (k + 2)v∂v
4 δxkepx
2
G1(x) ∂t, e8pt
[
∂t + 4px∂x
−4p
(
(2px2 + k + 2)v +
2p(4px2+2k+3)
δxkepx
2
)
∂v
]
5 δepx
2
G2(x) ∂t, e4pt
[
∂x − 2px
(
v + 2p
δepx
2
)
∂v
]
,
e8pt
[
∂t + 4px∂x − 8p
(
(px2 + 1)v +
p(4px2+3)
δepx
2
)
∂v
]
δ = ±1 modG∼HG; k 6= 0, p 6= 0, a1 6= q4
4δ
; a2, q – довiльнi сталi.
У випадку 2 q 6= 0, якщо a1 = 0. У випадку 4 k може бути 0, якщо a2 6= 0.
G1(x) =
p2(2px2 + 1)(2px2 − 11) + 8kp3x2 + 2k(3k − 5)p2
δxkepx2 +
k(k + 1)(2k + 3)px2 + a2
δxk+4epx2 ; G2(x) =
p2(2px2 + 1)(2px2 − 11)
δepx2 .
Таблиця 2. Частиннi розв’язки рiвняння (13).
№ H(x) G(x) F (x)
1 δeqx a1e−qx b1
2 δeqx q4
4δ
e−qx −q2
3 δxk a2 x−(k+4) b2 x−2
4 δxkepx
2
G1(x) −(2px2(2px2 + 2k + 3)− b3)x−2
5 δepx
2
G2(x) −4p2x2 − 6p
b1 = −q2 ±
√
q4 − 4δa1,
b2 = −(k + 2)(k + 3)±
√
(k + 2)2(k + 3)2 − 4δa2,
b3 = −(k + 2)(k + 3)±
√
(k + 2)2(k + 3)2 − 4a2.
56 О.О. Ванєєва
з точнiстю до перетворень еквiвалентностi з групи Ĝ∼1 достатньо зна-
йти по одному представниковi з сiмей рiвнянь, що перетворенням (6)
вiдображаються до рiвнянь класу (7) з коефiцiєнтами H(x) та G(x)
наведеними у табл. 1. Тобто для кожної пари (H(x), G(x)) з табл. 1.
достатньо знайти пару функцiй (f(x), h(x)), що задовольняють умо-
вам (8) та (9).
Виразивши з (8) функцiю h(x) та пiдставивши її в диференцiаль-
не рiвняння (9), отримуємо нелiнiйне ЗДР четвертого порядку на
невiдому функцiю f(x). Для того, щоб спростити задачу вiдшукан-
ня частинних розв’язкiв отриманого рiвняння, зведемо його до ЗДР
другого порядку
(
F
2H
)
xx
+
F 2
4H
+G(x) = 0 (13)
замiною F (x) = −
(
√
|f(x)|)xx√
|f(x)|
. Частиннi розв’язки рiвняння (13) для
вiдповiдних H(x) та G(x) з табл. 1 наведено у табл. 2.
Тепер задача вiдшукання функцiї f(x) зводиться до розв’язання
ЗДР другого порядку
(
√
|f(x)|)xx + F
√
|f(x)| = 0 (14)
для кожного значення функцiї F (x) з табл. 2. Нижче наведено за-
гальнi розв’язки рiвняння (14) для вiдповiдних функцiй F (x).
1. F = b1:
f(x) =
(c1x+ c2)2, b1 = 0,
(c1 sin
√
b1x+ c2 cos
√
b1x)2, b1 > 0,
(c1 sinh
√
−b1x+ c2 cosh
√
−b1x)2, b1 < 0.
2. F = −q2:
f(x) =
{
(c1x+ c2)2, q = 0,
(c1 sinh |q|x+ c2 cosh |q|x)2, q 6= 0.
Групова класифiкацiя рiвнянь реакцiї-дифузiї 57
3. F =
b2
x2
:
f(x) =
(c1x+ c2)2, b2 = 0,
x(c1 + c2 ln |x|)2, b2 = 1
4 ,
x(c1 sin(α ln |x|) + c2 cos(α ln |x|))2, b2 >
1
4 ,
x(c1|x|α + c2|x|−α)2, b2 <
1
4 , b2 6= 0,
де α = 1
2
√
|1− 4b2|.
4. F = −4p2x2 − 2p(2k + 3) +
b3
x2
:
f(x) =
1
x
(
C1Mκ,µ(2px2) + C2Wκ,µ(2px2)
)2
,
де κ = −2k + 3
4
, µ =
√
1− 4b3
4
;Mκ,µ, Wκ,µ – функцiї Уiттекера (див.,
наприклад, [17]). Якщо b3 = −(k + 2)(k + 3), то для рiвняння (14)
вiдомий частинний розв’язок f(x) = x−2(k+2)e−2px2
.
5. F = −4p2x2 − 6p :
f(x) =
[
C1 x e
px2
+ C2
(√
2pπ x epx
2
Erf
(√
2px
)
+ e−px
2
)]2
,
де Erf(z) = 2√
π
∫ z
0
e−t
2
dt – функцiя помилок (див., наприклад, [17]).
Зауваження 1. Вище наголошувалось, що для повної групової кла-
сифiкацiї потрiбнi лише частиннi розв’язки рiвняння (14), але на-
ведено загальнi розв’язки цього рiвняння. Це зумовлено тим, що
узагальнена розширена група еквiвалентностi Ĝ∼1 досить складна i
еквiвалентнiсть окремих рiвнянь з класу (5) не завжди очевидна. З
загальних розв’язкiв цей зв’язок легко бачити. Наприклад, значен-
ню F (x) = −1 (випадок 1, b1 = −1) вiдповiдають, зокрема, значення
f(x) = sinh2x та f(x) = cosh2x. Це означає, що рiвняння
sinh2xut = (sinh2xux)x + δeqx sinh3xu2
еквiвалентно рiвнянню
cosh2x̃ ũt̃ = (cosh2x̃ ũx̃)x̃ + δeqx̃ cosh3x̃ ũ2.
58 О.О. Ванєєва
З теореми 3 знаходимо перетворення
t̃ = t, x̃ = x, ũ = tanhxu,
яке дозволяє з симетрiй (див. табл. 3) та точних розв’язкiв другого
з цих рiвнянь знайти подiбнi результати для першого.
Таблиця 3. Результати групової класифiкацiї класу рiвнянь
f(x)ut = (f(x)ux)x + h(x)u2, f(x)h(x) 6= 0.
№ f(x) h(x) Базис Amax
0 ∀ ∀ ∂t
1.1 1 δeqx ∂t, ∂x − qu∂u
1.2 cos2 x δeqx cos3 x ∂t, ∂x − (q − tanx)u∂u
1.3 cosh2 x δeqx cosh3 x ∂t, ∂x − (q + tanhx)u∂u
2.1 1 δ ∂t, ∂x, 2t∂t + x∂x − 2u∂u
2.2 cosh2 qx δeqx cosh3 qx ∂t, ∂x − q (1 + tanh qx)u∂u,
2t∂t + (x+ 2qt)∂x−
(2 + q(x+ 2qt)(1 + tanh qx))u∂u
3.1 xβ δxγ ∂t, 2t∂t + x∂x − (2− β + γ)u∂u
3.2 x cos2(αln |x|) δxγ cos3(αln |x|) ∂t, 2t∂t + x∂x−
(γ + 1− α tan(α ln |x|))u∂u
4.1 xβe−rx
2
δxβ−2e−rx
2
∂t, e4rt (∂t + 2rx∂x)
4.2 x−1f1(x)2
δepx
2
f1(x)3
x
3
2
−k
∂t, e8pt
[
∂t + 4px∂x − 4p
(
4px2+
2k + 3 +
f2(x)
f1(x)
(
2µ− k − 1
2
))
u∂u
]
5 x2erx
2
δx3e2rx
2
∂t, e2rt
(
∂x − 2rx2+1
x
u∂u
)
,
e4rt
(
∂t + 2rx∂x − 2r(2rx2 + 3)u∂u
)
δ = ±1; α, β, γ, p, r 6= 0; q, k – довiльнi сталi. У випадках 1.1 та 2.2 q 6= 0.
У випадку 1.3 q 6= 1. У випадку 3.1 (β, γ) 6= {(−6,−9), (0, 0), (2, 3), (8, 12)}.
f1(x) = Mκ,µ(2px2), f2(x) = Mκ+1,µ(2px2) – функцiї Уiттекера,
де κ = −
2k + 3
4
, µ =
√
1− 4b3
4
.
Групова класифiкацiя рiвнянь реакцiї-дифузiї 59
Вибираючи найбiльш простi частиннi розв’язки рiвняння (14) з
вищенаведених загальних та знаходячи вiдповiднi їм функцiї h(x)
з алгебраїчного рiвняння (8), отримуємо усi нееквiвалентнi вiдно-
сно групи Ĝ∼1 випадки розширення ядра основних груп в класi рiв-
нянь (5). Базиснi оператори максимальної алгебри iнварiантностi
для цих випадкiв вiдновлено з вiдповiдних операторiв, наведених у
табл. 1, за формулою (12). Ядром основних груп рiвнянь з класу (5)
є група зсувiв за змiнною t.
Результати групової класифiкацiї представлено у табл. 3. Нуме-
рацiя випадкiв табл. 3 показує, з яких випадкiв табл. 1 їх отримано.
Для зручностi у деяких випадках табл. 3 введено новi сталi, а саме,
у випадку 3.2 k+ 3
2 позначено через γ, а у випадку 4.1 β = −2(k+2).
У випадках 4.1 та 5 r = 2p.
Зауваження 2. Всi випадки, отриманi з випадку 3 табл. 1 за умови
b2 ≤ 1
4 , об’єднано в один випадок 3.1 табл. 3. Параметри (β, γ) не
дорiвнюють (0, 0), оскiльки при цих значеннях маємо тривимiрну
максимальну алгебру iнварiантностi (випадок 2.1 табл. 3.). Також
(β, γ) 6= {(−6,−9), (2, 3), (8, 12)}, оскiльки цi випадки еквiвалентнi
2.1 вiдносно перетворень з групи Ĝ∼1 .
3. Точнi розв’язки. Оператори симетрiї, отриманi при розв’я-
заннi задачi групової класифiкацiї, можна використовувати для по-
будови точних розв’язкiв рiвнянь з класiв (5) та (7). Метод реду-
кцiї за оптимальною сиcтемою пiдалгебр максимальної алгебри Лi
iнварiантностi добре вiдомий i достатньо алгоритмiчний (див., на-
приклад, [15, 16]). За допомогою цього методу побудовано наступнi
точнi розв’язки рiвнянь з класу (7).
1. H = δeqx, G = a1e
−qx: v = −q
2 + 2θ tanh(θt)
2δeqx
,
v = −q
2 + 2θ coth(θt)
2δeqx
, v =
−q2 ± 2θ
2δeqx
, де θ =
1
2
√
q4 − 4a1δ.
2. H = δeqx, G =
q4
4δ
e−qx: v = −q
2t+ 2
2δteqx
, v = − q2
2δeqx
.
3. H = δxk, G =
a2
xk+4
: v =
b2
2δxk+2
.
4. H = δxkepx
2
, G = G1(x): v = −2px2(2px2 + 2k + 3)− b3
2δxk+2epx2 .
60 О.О. Ванєєва
5. H = δepx
2
, G = G2(x): v = −p(2px
2 + 3)
δepx2 ,
v = −px
2(2px2 + 3) + 6
δx2epx2 , v = −
p
(
(2px2 − 5)e−8pt + 2px2 + 3
)
δ(e−8pt + 1)epx2 .
Визначення функцiй G1(x), G2(x) та сталих b2, b3 наведено пiсля
таблиць 1 та 2 вiдповiдно.
Частиннi розв’язки рiвняння (5) можна знайти, як перетворюючи
вiдповiднi розв’язки рiвнянь з класу (7), так i безпосередньо методом
редукцiї. Нижче наведено деякi точнi розв’язки рiвнянь з класу (5),
отриманi в рамках цих пiдходiв.
1.1. f = 1, h = δeqx: u = −q
2
δ
e−qx,
u = −θ(1 + tanh(θ t))
δeqx
, u = −θ(1 + coth(θ t))
δeqx
, де θ =
q2
2
.
1.2. f = cos2 x, h = δeqx cos3 x: u = − 2θ
δeqx cosx
,
u = −θ(1 + tanh(θ t))
δeqx cosx
, u = −θ(1 + coth(θ t))
δeqx cosx
, де θ =
q2 + 1
2
.
1.3. f = cosh2 x, h = δeqx cosh3 x: u = − 2θ
δeqx coshx
,
u = −θ(1 + tanh(θ t))
δeqx coshx
, u = −θ(1 + coth(θ t))
δeqx coshx
, де θ =
q2 − 1
2
.
2.1. f = 1, h = δ: u = − 1
δt
, u = − 6
δx2
.
2.2. f = cosh2 qx, h = δeqx cosh3 qx: u = − e−qx
δt cosh(qx)
.
3.1. f = xβ , h = δxγ : u =
(2β − 3− γ)(2− β + γ)
δx2−β+γ
.
3.2. f = x cos2(α ln |x|), h = δxγ cos3(α ln |x|):
u = − (γ + 1)2 + α2
δ cos(α ln |x|)
x−(γ+1).
4.1. f = x βe−rx
2
, h = δx β−2e−rx
2
: u = z(ω), де ω = xe−2rt,
а z задовольняє рiвняння ω2zωω + βωzω + δz2 = 0.
Групова класифiкацiя рiвнянь реакцiї-дифузiї 61
Якщо β = 1, то u = − 6
δ(ln |x| − 2rt)2
.
5. f = x2erx
2
, h = δx3e2rx2
: u =
4re−rx
2
δx (e4rt + 1)
, u = −6e−rx
2
δx3
.
Використовуючи перетворення еквiвалентностi, з вищенаведених
розв’язкiв можна отримати точнi розв’язки для складнiших рiвнянь
реакцiї-дифузiї з квадратичною нелiнiйнiстю.
Авторка вдячна Р.О. Поповичу за кориснi дискусiї та iдею вико-
ристання перетворень класiв рiвнянь для спрощення задачi групової
класифiкацiї. Робота була частково пiдтримана грантом Президен-
та України для пiдтримки наукових дослiджень молодих вчених
GP/F11/0061.
[1] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопрово-
дности // Докл. АН СССР. – 1959. – 125, № 3. – С. 492–495.
[2] Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнений нелинейной те-
плопроводности с источником // Журн. выч. мат. и мат. физ. – 1982. – 22,
№ 6. – С. 1393–1400.
[3] Cherniha R., Serov M. Symmetries, ansätze and exact solutions of nonlinear
second-order evolution equations with convection terms // Euro. J. of Appl.
Math. – 1998. – 9. – P. 527–542.
[4] Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and
the classification problem for partial differential equation // Acta Appl. Math. –
2001. – 69. – P. 43–94.
[5] Лагно В.I., Спiчак С.В., Стогнiй В.I. Симетрiйний аналiз рiвнянь еволю-
цiйного типу. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – 360 с.
[6] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonli-
near diffusion–convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 2004. – 37. –
P. 7547–7565.
[7] Nikitin A.G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion
equations // Ukr. Mat. Visn. – 2005. – 2. – P. 149–200.
[8] Ivanova N.M., Sophocleous C. On the group classification of variable coefficient
nonlinear diffusion–convection equations // J. Comp. Appl. Math. – 2006. –
197. – P. 322–344.
[9] Crank J. The mathematics of diffusion. – London: Oxford, 1979. – 414 p.
[10] Kamin S., Rosenau P. Nonlinear thermal evolution in an inhomogeneous medi-
um // J. Math. Phys. – 1982. – 23. – P. 1385–1390.
[11] Murray J.D. Mathematical biology I: An introduction. – New York: Springer,
2002. – 551 p.
[12] Vaneeva O.O., Johnpillai A.G., Popovych R.O., Sophocleous C. Enhanced group
analysis and conservation laws of variable coefficient reaction-diffusion equations
with power nonlinearities // J. Math. Anal. Appl. – 2007. – in press.
62 О.О. Ванєєва
[13] Мелешко С.В. Однородные автономные системы с тремя независимыми пе-
ременными // Прикл. мат. мех. – 1994. – 58. – С. 97–102.
[14] Kingston J.G., Sophocleous C. On form-preserving point transformations of
partial differential equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 1998. – 31. – P. 1597–
1619.
[15] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978. – 400 с.
[16] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Мо-
сква: Мир, 1989. – 639 с.
[17] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа II: Трансценден-
тные функции. – Москва: Физматгиз, 1963. – 516 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-381 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:28Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8e/bffe83cd14c2fccbf39f760175ee598e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3812020-08-13T10:42:30Z Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity Групова класифікація рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та квадратичною нелінійністю Vaneeva, O. Ванєєва, О. Group classification of variable coefficient reaction-diffusion equations \mbox{with} quadratic nonlinearity is carried out. Usual and generalized extended equivalence groups are also found. These allow to simplify results of classification and further applications of them. The obtained Lie symmetries are used to construct exact solutions of equations for the class under consideration. Виконано групову класифікацію рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та квадратичною нелінійністю. Знайдено звичайну та узагальнену розширену групи еквівалентності, що дозволяє спростити результати класифікації та подальші їх застосування. Отримані ліївські симетрії використано для відшукання точних розв'язків досліджуваного рівняння. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/381 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 49-62 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 49-62 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 49-62 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/381/474 Авторське право (c) 2006 О. Ванєєва http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Vaneeva, O. Ванєєва, О. Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| title | Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| title_alt | Групова класифікація рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами та квадратичною нелінійністю |
| title_full | Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| title_fullStr | Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| title_short | Group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| title_sort | group classification of variable coefficient reaction--diffusion equations with quadratic nonlinearity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/381 |
| work_keys_str_mv | AT vaneevao groupclassificationofvariablecoefficientreactiondiffusionequationswithquadraticnonlinearity AT vanêêvao groupclassificationofvariablecoefficientreactiondiffusionequationswithquadraticnonlinearity AT vaneevao grupovaklasifíkacíârívnânʹreakcíídifuzíízízmínnimikoefícíêntamitakvadratičnoûnelíníjnístû AT vanêêvao grupovaklasifíkacíârívnânʹreakcíídifuzíízízmínnimikoefícíêntamitakvadratičnoûnelíníjnístû |