Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras
Regular systems of two second-order ordinary differential equations invariant with respect to real three- or four-dimensional Lie algebras are exhaustively described.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/383 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552881135026176 |
|---|---|
| author | Gaponova, O. Nesterenko, M. Гапонова, О. Нестеренко, М. |
| author_facet | Gaponova, O. Nesterenko, M. Гапонова, О. Нестеренко, М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Гапонова",
"institution": null
},
{
"author": "М. Нестеренко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Gaponova, O. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Regular systems of two second-order ordinary differential equations invariant with respect to real three- or four-dimensional Lie algebras are exhaustively described. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 71–91
УДК 517.912:512.816
Системи ЗДР другого порядку,
iнварiантнi вiдносно
низькорозмiрних алгебр Лi
О.В. ГАПОНОВА, М.О. НЕСТЕРЕНКО
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: gaponova@imath.kiev.ua, maryna@imath.kiev.ua
Отримано вичерпний опис регулярних нормальних систем двох звичай-
них диференцiальних рiвнянь другого порядку, iнварiантних вiдносно
дiйсних алгебр Лi розмiрностей три та чотири.
Regular systems of two second-order ordinary differential equations invari-
ant with respect to real three- or four-dimensional Lie algebras are
exhaustively described.
1. Вступ. Груповий аналiз є ефективним iнструментом при дослiд-
женнi диференцiальних рiвнянь. Зокрема, вiн надає регулярну про-
цедуру опису класiв еквiвалентностi, для яких можуть бути спра-
ведливi тi чи iншi загальнi твердження теорiї диференцiальних рiв-
нянь. Найбiльш вражаючi досягнення групового аналiзу пов’язанi
зi звичайними диференцiальними рiвняннями. Майже усi спецiальнi
методи iнтегрування таких рiвнянь (замiна змiнних, метод iнтегру-
ючого множника тощо) насправдi є частковими випадками загальної
процедури, яка є складовою групового аналiзу.
Основнi iдеї групового аналiзу сформульовано Софусом Лi ще
у XIX столiттi [6], ним же введено поняття “диференцiального iн-
варiанта”, яке є важливим при вивченi диференцiальних рiвнянь
груповими методами. У роботi [5] Лi довiв, що кожну невиродже-
ну iнварiантну систему диференцiальних рiвнянь можна зобразити
у термiнах диференцiальних iнварiантiв вiдповiдної групи симетрiй.
Внаслiдок цього теорiя диференцiальних iнварiантiв стала важли-
вою складовою групового аналiзу диференцiальних рiвнянь. Пiзнi-
ше теорiя диференцiальних iнварiантiв та вiдповiдний понятiйний
апарат розвинуто у роботах Тресcа [11,12], Овсяннiкова [9] та Олве-
ра [2, 3, 8].
72 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
У цiй статтi теорiю диференцiальних iнварiантiв застосовано для
вичерпного опису регулярних нормальних систем двох звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь другого порядку, iнварiантних вiдносно дiй-
сних алгебр Лi розмiрностей три та чотири. Iншими словами, метою
є знаходження усiх систем вигляду
ẍ = F (t, x, y, ẋ, ẏ), ÿ = G(t, x, y, ẋ, ẏ), (1)
якi iнварiантнi вiдносно дiйсних три- та чотиривимiрних алгебр Лi.
Вивчення таких систем вмотивовано тим, що в багатьох випад-
ках вони є базовими у класичнiй i квантовiй механiцi, механiцi рi-
дини та у загальнiй теорiї вiдносностi. Зокрема, серед (1) мiстяться
усi ньютонiвськi i геодезичнi [4,7] системи. Дослiдження усiх можли-
вих симетрiй таких систем є надзвичайно складною задачею. Тому
у багатьох роботах виконано групову класифiкацiю лише часткових
випадкiв системи (1). Дамiану та Софоклеус в [1] знайшли групи то-
чкових перетворень автономних гамiльтонових систем з двома сте-
пенями вiльностi. Вафо Сох та Махмуд розглядали критерiй лiнеа-
ризацiї [14] та канонiчнi форми [13] систем вигляду (1), але, на жаль,
їх роботи базуються на помилковiй класифiкацiї векторних полiв i
внаслiдок цього мiстять ряд хибних тверджень.
Статтю органiзовано наступним чином. У параграфi 2 наведено
необхiднi поняття та твердження, а також розглянуто приклад по-
будови iнварiантної системи. Класифiкацiю реалiзацiй дiйсних низь-
корозмiрних алгебр Лi з [10] використано у параграфах 3 та 4 для
опису регулярних систем двох звичайних диференцiальних рiвнянь
другого порядку, що iнварiантнi вiдносно алгебр розмiрностей три та
чотири. Кожна з наведених систем записується у нормальнiй формi
та мiстить двi параметр-функцiї. У параграфi 5 пiдсумовано отрима-
нi результати, сформульовано ряд задач для подальших дослiджень
та наведено деякi фiзично важливi системи, що зводяться до описа-
них в статтi.
2. Диференцiальнi iнварiанти. Розглянемо r-вимiрну алгебру
Лi g векторних полiв з базисними iнфiнiтезимальними операторами
ei = ξi(t, x, y)∂t + ηi(t, x, y)∂x + ζi(t, x, y)∂y. (2)
Продовжену алгебру pr(n)g породжують диференцiальнi оператори
e
(n)
i = ξi(t, x, y)∂t + ηi(t, x, y)∂x + ζi(t, x, y)∂y +
Системи ЗДР другого порядку 73
+
n∑
k=1
(
ηki (t, x(k), y(k))∂x(k) + ζki (t, x(k), y(k))∂y(k)
)
. (3)
Тут i надалi n ≥ 0, i = 1, . . . , r, символи x(k) та y(k) позначають
набори (x, x′, . . . , x(k)) та (y, y′, . . . , y(k)) iз залежних змiнних x, y та
їх похiдних по t порядкiв не вище k.
Означення 1. Гладку функцiю I = I(t, x(n), y(n)) : R(2n+3) → R
називають диференцiальним iнварiантом порядку n алгебри Лi g,
якщо e(n)
i I(t, x(n), y(n)) = 0 для продовженого базису {e(n)
i } алгебри
pr(n)g.
Розглянемо ранги
rk = rank{(ξi, ηi, η1
i , . . . , η
k
i , ζi, ζ
1
i , . . . , ζ
k
i ), i = 1, . . . , r}.
Оскiльки послiдовнiсть {rk} не спадає, обмежена значенням r та до-
сягає його, то iснує число ν = min{k ∈ Z+ | rk = r} та мають мiсце
спiввiдношення rν = rν+1 = · · · = r.
Важливiсть диференцiальних iнварiантiв пояснюється наступним
фактом. Нехай система ЗДР iнварiантна вiдносно алгебри g. Тодi ло-
кально її можна зобразити як об’єднання рiвнянь, записаних у термi-
нах диференцiальних iнварiантiв g (“регулярна” частина системи) та
умов виродження рангiв вiдповiдних продовжених генераторiв (“син-
гулярна” частина).
Природнiм є питання чи можна вибрати мiнiмальний набiр ди-
ференцiальних iнварiантiв, який дозволяє отримати усi диференцi-
альнi iнварiанти заданого порядку за допомогою скiнченої кiлькостi
визначених операцiй. Вiдповiдь на це питання позитивна.
Означення 2. Максимальний набiр In функцiонально незалежних
диференцiальних iнварiантiв порядку не вище n (тобто iнварiантiв
продовженої алгебри pr(n)g) називається унiверсальним диференцi-
альним iнварiантом порядку n алгебри g.
У випадку однiєї незалежної та двох залежних змiнних розмiр-
нiсть простору потокiв порядку n дорiвнює 2n + 3. Отже кiлькiсть
функцiонально незалежних диференцiальних iнварiантiв порядку n
алгебри g обчислюється за формулою
dn = 2n+ 3− rn.
Будь-який диференцiальний iнварiант I порядку n алгебри g з
необхiднiстю є диференцiальним оператором порядку n + l цiєї ж
74 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
алгебри, l ≥ 0. Отже, унiверсальний диференцiальний iнварiант In+l
можна отримати доповненням унiверсального диференцiального iн-
варiанта In диференцiальними iнварiантами вищих порядкiв.
Необхiдним етапом вивчення регулярних нормальних систем двох
ЗДР другого порядку є побудова унiверсальних диференцiальних iн-
варiантiв другого порядку вiдповiдних алгебр. Наступна теорема дає
необхiдний i достатнiй критерiй iснування таких систем для заданої
алгебри Лi.
Теорема 1. Алгебра Лi векторних полiв допускається нормальною
регулярною системою типу (1) тодi i тiльки тодi, коли r1 = r2.
Для повного опису диференцiальних iнварiантiв фiксованої реа-
лiзацiї алгебри Лi досить побудувати функцiональний базис дифе-
ренцiальних iнварiантiв та оператори iнварiантного диференцiюван-
ня. Базиси диференцiальних iнварiантiв можна знайти як частину
унiверсального iнварiанта порядку (ν + 1). Конструктивна процеду-
ра побудови операторiв iнварiантного диференцiювання виводиться
безпосередньо з умови їх комутування з формально нескiнченно про-
довженими елементами алгебри (див. [9]).
Зауваження 1. Використання операторiв iнварiантного диференцi-
ювання є доцiльним i для пошуку диференцiальних iнварiантiв фiк-
сованого порядку у особливо складних випадках, коли метод рухо-
мих реперiв та метод, що базується на означеннi 1, призводять до
громiздких обчислень. Це iлюструється у прикладi 1.
Зауваження 2. У цiй роботi використано реалiзацiї низькорозмiр-
них алгебр Лi векторними полями у просторi не бiльше трьох змiнних
з класифiкацiї, отриманої у [10]. Залежнi та незалежну змiннi вибра-
но з мiркувань максимального спрощення обчисленнь та зовнiшнього
вигляду систем ЗДР. Системи, якi вiдповiдають рiзним виборам за-
лежних i незалежної змiнних у фiксованiй реалiзацiї, еквiвалентнi з
точнiстю до перетворень годографа та перепозначення змiнних.
Зауважимо також, що не всi iнварiантнi регулярнi системи ЗДР
другого порядку можна представити у нормальнiй формi. Для ви-
окремлення таких випадкiв використано теорему 1.
Приклад 1. Розглянемо детально дiйсну нерозв’язну алгебру Лi
sl(2,R)⊕A1, породжену базисними елементами [10]
e1 = ∂t, e2 = t∂t + x∂x, e3 = t2∂t + 2tx∂x + x∂y,
e4 = x∂t + 2xy∂x + (y2 + c)∂y, c ∈ {−1, 0, 1}.
Системи ЗДР другого порядку 75
Для знаходження системи ЗДР другого порядку iнварiантної вiд-
носно цiєї реалiзацiї, знайдемо диференцiальнi iнварiанти до другого
порядку включно. Оскiльки r0 = 3, то iнварiантiв нульового порядку
у цьому випадку немає.
Розглянемо другi продовження базисних операторiв:
e
(2)
1 = ∂t, e
(2)
2 = t∂t + x∂x − ẏ∂ẏ − ẍ∂ẍ − 2ÿ∂ÿ,
e
(2)
3 = t2∂t + 2tx∂x + x∂y + 2x∂ẋ + (ẋ− 2tẏ)∂ẏ+
+ (2ẋ− 2tẍ)∂ẍ + (ẍ− 2ẏ − 4tÿ)∂ÿ,
e
(2)
4 = x∂t+2xy∂x+(y2+c)∂y + (2yẋ+2xẏ−ẋ2)∂ẋ + (2y−ẋ)ẏ∂ẏ+
+ (2ẍy + 4ẋẏ + 2xÿ − 3ẋẍ)∂ẍ + (2ẏ2 + 2yÿ − ẍẏ − 2ẋÿ)∂ÿ.
Очевидно, що r1 = r2 = 4 = rl, l ≥ 3. Крiм того, d1 = 5 − 4 = 1 i
d2 = 7 − 4 = 3. Отже, iснує один функцiонально незалежний iнва-
рiант першого порядку та три функцiонально незалежнi iнварiанти
другого порядку, причому серед останнiх мiститься рiвно один iн-
варiант першого порядку. Звiдси випливає, що критерiй теореми 1
виконується i для даної реалiзацiї iснує iнварiантна система вигля-
ду (1).
Унiверсальний диференцiальний iнварiант I1 породжується єди-
ною функцiєю I = I(t, x, y, ẋ, ẏ). Остання визначається умовами
e
(1)
i I = 0, i = 1, 2, 3, 4, якi еквiвалентнi перевизначенiй системi ДРЧП
першого порядку
It = 0, tIt + xIx − ẏIẏ = 0,
t2It + 2txIx + xIy + 2xIẋ + (ẋ− 2tẏ)Iẏ = 0,
xIt + 2xyIx + (y2 + c)Iy + (2yẋ+ 2xẏ − ẋ2)Iẋ + (2y − ẋ)ẏIẏ = 0.
Набiр функцiонально незалежних iнтегралiв вiдповiдної характе-
ристичної системи складається з однiєї функцiї
I =
xẏ + y2 − ẋy + c√
4xẏ − ẋ2
.
Знайдемо розширення унiверсального iнварiанту I1 до унiверсально-
го iнварiанту другого порядку I2. Для цього досить знайти два будь-
якi функцiонально незалежнi диференцiальнi iнварiанти Ĩ(t, x, y, ẋ,
ẏ, ẍ, ÿ) та Î(t, x, y, ẋ, ẏ, ẍ, ÿ), що явно залежать вiд других похiдних.
76 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
Слiд зазначити, що задача знаходження розв’язкiв системи
e
(2)
i Ĩ = 0, i = 1, 2, 3, 4 (4)
та застосування методу рухомого реперу є надзвичайно складними
i громiздкими, тому для знаходження одного з диференцiальних iн-
варiантiв другого порядку подiємо оператором iнварiантного дифе-
ренцiювання на iнварiант I.
Оператор iнварiантного диференцiювання знаходиться у виглядi
X = λ(t, x, y, ẋ, ẏ)Dt, де функцiя λ знаходиться у неявному виглядi
ϕ(λ, t, x, y, ẋ, ẏ) з системи (e
(1)
i + λDt(ξi)∂λ)ϕ = 0, i = 1, 2, 3, 4.
Для даної реалiзацiї алгебри Лi оператор iнварiантного диферен-
цiювання має вигляд:
X =
x
xẏ + y2 − ẋy + c
Dt.
Подiявши цим оператором на знайдений вище iнварiант першого
порядку I, отримаємо один з шуканих iнварiантiв другого порядку
Î=
(ẍ−2ẏ)x(xẏ(ẋ−4y)+ẋ(y2+c))−ÿx2(ẋ2−2(xẏ+yẋ)+2(y2+c))
(4xẏ − ẋ2)2
,
який використовуємо для знаходження iншого iнварiанта Ĩ друго-
го порядку. З перших трьох рiвнянь системи (4) отримаємо Ĩ =
Ĩ(J1, J2, J3, J4), де
J1 = 2y − ẋ, J2 = 4xẏ − ẋ2,
J3 = x(ẍ− 2ẏ), J4 = x2ÿ − xy(ẍ− 2ẏ). (5)
Перепишемо четверте рiвняння системи (4) та iнварiанти I, Î в
термiнах J1, J2, J3, J4
2(J2
1 − J2 + 4c)ĨJ1
+ 8J1J2ĨJ2
+ 4(3J1J3 + 2J4)ĨJ3
+
+ (2J1J4 − J2
1J3 − J2J3 − 4cJ3)ĨJ4
= 0, (6)
I =
J2
1 + J2 + 4c√
J2
, Î =
2J4(J2
1 − J2 + 4c) + J1J3(J2
1 + J2 + 4c)
J2
2
.
Скориставшись тим, що I та Î є розв’язками рiвняння (6), зна-
ходимо третiй функцiонально незалежний з ними розв’язок цього
Системи ЗДР другого порядку 77
рiвняння:
Ĩ=
2J1(2J4(J2
1−J2+4c)+J1J3(J2
1+J2+4c))−J3((J2
1+J2+4c)2−16cJ2)
(J2
1−J2+4c)
√
J2((J2
1 +J2 + 4c)2−16cJ2)
.
Повернувшись до вихiдних змiнних, отримаємо другий шуканий
диференцiальний iнварiант реалiзацiї R(sl(2,R)⊕A1, 3), що мiстить
другi похiднi:
Ĩ =
ẍx(y2 − xẏ + c) + ÿx2(ẋ− 2y) + 2xẏ(xẏ − y2 − c)√
4xẏ − ẋ2((xẏ + y2 − yẋ+ c)2 − c(4xẏ − ẋ2))
.
Отже, узагальнений диференцiальний iнварiант другого порядку мо-
жна записати у виглядi I2 =
{
I, Î, Ĩ
}
. Вiдповiдну iнварiантну систе-
му наведено у параграфi 4.
3. Системи з тривимiрною алгеброю iнварiантностi. В цьо-
му параграфi подано повний перелiк множин регулярних систем
двох диференцiальних рiвнянь другого порядку, iнварiантних вiд-
носно дiйсних тривимiрних алгебр Лi. Кожна iнварiантна система
записується у нормальнiй формi та мiстить двi параметр-функцiї
F (ω1, ω2) i G(ω1, ω2), де ω1, ω2 – диференцiальнi iнварiанти нульово-
го та першого порядкiв. Вiдповiдну реалiзацiю алгебри Лi з перелiку,
наведеного в роботi [10], вказано перед системою. Решта функцiй, що
зустрiчаються у цьому параграфi, є довiльними, диференцiйовними
потрiбну кiлькiсть разiв, якщо не зазначене iнше.
R(3A1, 1): ω1 = ẋ, ω2 = ẏ,
ẍ = F (ω1, ω2) , ÿ = G (ω1, ω2) .
R(3A1, 3): ω1 = y, ω2 = ẋ−ϕ̇(y)
ẏ ,
ẍ = ẏ2F (ω1, ω2) + ẋẏ2G (ω1, ω2) + ẏϕ̈(y), ÿ = ẏ3G (ω1, ω2) .
R(A2.1 ⊕A1, 1): ω1 = ẋey, ω2 = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ2F (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
R(A2.1 ⊕A1, 2): ω1 = y, ω2 = ẋ
ẏ + ln ẏ,
ẍ = ẏ2F (ω1, ω2) + ẋẏG (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
78 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
R(A2.1 ⊕A1, 3): ω1 = y, ω2 = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ2F (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
R(A2.1 ⊕A1, 4): ω1 = y, ω2 = ẏx
ẋ ,
ẍ = ẋ2ẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẋẏ2F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2) .
R(A3.1, 1): ω1 = y − 1
ẋ , ω2 = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ3F (ω1, ω2) , ÿ = ẋ2ẏF (ω1, ω2)+ẋ2G (ω1, ω2) .
R(A3.1, 2): ω1 = y, ω2 = ẋ2−2ẏ
ẏ2 ,
ẍ = ẏ
(
ẋ2 − ẏ
)
F (ω1, ω2) + ẋẏ2G (ω1, ω2) ,
ÿ = ẋẏ2F (ω1, ω2) + ẏ3G (ω1, ω2) .
R(A3.1, 3): ω1 = y, ω2 = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ3F (ω1, ω2) , ÿ = ẋ2ẏF (ω1, ω2) + ẋ2G (ω1, ω2) .
R(A3.2, 1): ω1 = y − 1
ẋ , ω2 = ẏey
ẋ ,
ẍ = ẋ2ẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẋẏ2F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2) .
R(A3.2, 2): ω1 = y, ω2 = ẏe
1
ẋ
ẋ ,
ẍ = ẋ2ẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẋẏ2F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2) .
R(A3.2, 3): ω1 = y, ω2 = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ3e−xF (ω1, ω2) , ÿ = ẋ2ẏe−xF (ω1, ω2) + ẋ2G (ω1, ω2) .
R(A3.3, 1): ω1 = ẋ, ω2 = ẏey,
ẍ = ẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
R(A3.3, 2): ω1 = y, ω2 = ẋ,
ẍ = ẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
Системи ЗДР другого порядку 79
R(A3.3, 3): ω1 = x, ω2 = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ3eyF (ω1, ω2) , ÿ = ẋ2ẏeyF (ω1, ω2) + ẋ2G (ω1, ω2) .
R(Aa3.4, 1): ω1 = ẋe(1−a)y, ω2 = ẏey,
ẍ = ẋẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
R(Aa3.4, 2): ω1 = y, ω2 = ẋẏa−1,
ẍ = ẋẏF (ω1, ω2) , ÿ = ẏ2G (ω1, ω2) .
R(Aa3.4, 3): ω1 = y, ω2 = xẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ3x
2a−1
1−a F (ω1, ω2) , ÿ = ẋ2ẏx
2a−1
1−a F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2) .
R(Ab3.5, 1): ω1 = y + arctg ẋ, ω2 = ẏ2e2by
1+ẋ2 ,
ẍ = ẏ
(
1 + ẋ2
)
F (ω1, ω2) , ÿ = ẋẏ2F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2) .
R(Ab3.5, 2): ω1 = y, ω2 = 1+ẋ2
ẏ2 e2b arctg ẋ,
ẍ = ẏ
(
1 + ẋ2
)
F (ω1, ω2) , ÿ = ẋẏ2F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2) .
R(Ab3.5, 3): ω1 = y, ω2 =
ẏ(1+x2)
ẋ ,
ẍ = ẋ3
(
1 + x2
)− 3
2 e−b arctg xF (ω1, ω2) ,
ÿ =
ẋẏ2e−b arctg x
√
1 + x2
F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2)− 2xẋẏ
1 + x2
.
R(sl(2,R), 1): ω1 = 2y − ẋ, ω2 = 4xẏ − ẋ2,
ẍ =
1
x
F (ω1, ω2) + 2ẏ, ÿ =
y
x2
F (ω1, ω2) +
1
x2
G (ω1, ω2) .
R(sl(2,R), 2): ω1 = y, ω2 = x2ẏ2
ẋ2+1 ,
ẍ = x2ẏ3F (ω1, ω2)− 1+ẋ2
x
, ÿ = ẏ2(ẋF (ω1, ω2)+G(ω1, ω2))− 2ẋẏ
x
.
80 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
R(sl(2,R), 3): ω1 = y, ω2 = x2ẏ2
ẋ2−1 ,
ẍ = x2ẏ3F (ω1, ω2)−ẋ
2−1
x
, ÿ = ẏ2(ẋF (ω1, ω2)+G(ω1, ω2))− 2ẋẏ
x
.
R(sl(2,R), 4): ω1 = y, ω2 = xẏ,
ẍ =
1
2x
F (ω1, ω2) +
ẋ2
2x
, ÿ =
1
x2
G (ω1, ω2)− ẋẏ
x
.
R(so(3), 1): ω1 = y, ω2 = ẋ2+cos2 x
ẏ2 ,
ẍ =
ẏ3
cosx
F (ω1, ω2)− 2ẋ2 tg x− sinx cosx,
ÿ =
ẋẏ2
cosx
F (ω1, ω2) + ẏ2G (ω1, ω2)− 2ẋẏ tg x.
R(so(3), 2): ω1 = y − arctg ẋ
cos x , ω2 = ẋ2+cos2 x
(ẏ+sin x)2 ,
ẍ =
(ẋ2 + cos2 x)
cosx
((ẏ + sinx)F (ω1, ω2) + ẏ)− ẋ2 tg x,
ÿ =
ẋ(ẏ + sinx)2
cosx
F (ω1, ω2) +
ẋẏ(ẏ + sinx)
cosx
+
+ (ẏ + sinx)2G (ω1, ω2)− ẋ cosx− ẋ(ẏ + sinx) tg x.
4. Системи з алгеброю iнварiантностi розмiрностi чоти-
ри. Даний параграф присвячено системам двох диференцiальних
рiвнянь другого порядку, iнварiантним вiдносно дiйсних чотириви-
мiрних алгебр Лi. Як i у випадку тривимiрних алгебр, iнварiантнi
системи записуються у нормальнiй формi та мiстять двi параметр-
функцiї F (ω) i G(ω), де ω – диференцiальний iнварiант нульового або
першого порядку. Вiдповiдна реалiзацiя алгебри Лi зазначається пе-
ред системою, а її явний вигляд можна знайти у роботi [10]. Решта
функцiй, що позначенi грецькими лiтерами, є довiльними, диферен-
цiйовними потрiбну кiлькiсть разiв, якщо не зазначене iнше.
R(4A1, 8): ω = y,
ẍ =
ẏ (θ′ϕ′′−ψ′′+θ′′ẋ) (ẏG(ω)+θ′′(ẋ−ϕ′))
θ′′(ϕ′θ′ − ψ′)
+
ẏ2F (ω)
θ′′
+ẏϕ′′,
Системи ЗДР другого порядку 81
ÿ =
ẏ3G(ω) + ẏ2θ′′(ẋ− ϕ′)
ϕ′θ′ − ψ′
,
де вектор-функцiї (y, ϕ(y)) i (θ(y), ψ(y)) – лiнiйно незалежнi, а штри-
хами позначено похiднi за змiнною y.
R(A2.1 ⊕ 2A1, 4): ω = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ2F (ω) , ÿ = ẏ2G (ω) .
R(A2.1 ⊕ 2A1, 6): ω = ẏ
yẋ ,
ẍ = ẋ2F (ω) + ẋ2ẏG (ω) , ÿ = ẋẏ2G (ω) .
R(A2.1 ⊕ 2A1, 9): ω = y,
ẍ = ẏ2F (ω) + ẋẏG(ω)− ẏ2ϕ′′ ln ẏ, ÿ = ẏ2G(ω),
де ϕ(y) – довiльна функцiя вiд y, а штрихами позначено її похiднi.
R(2A2.1, 3): ω = ẏẋ−
C
1+C e
y
1+C ,
ẍ = ẋẏF (ω) , ÿ = ẏ2G (ω) .
R(2A2.1, 4): ω = ẏ
y e
ẋ
ẏ ,
ẍ =
ẏ2
y
(
F (ω)−G (ω) ln
ẏ
y
)
, ÿ =
ẏ2
y
G (ω) .
R(2A2.1, 5): ω = y,
ẍ = ẋẏF (ω), ÿ = ẏ2G(ω).
R(2A2.1, 6): ω = xẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ2ẏeyF (ω) , ÿ = ẋẏ2eyF (ω) + ẏ2G (ω) .
R(A3.1 ⊕A1, 5): ω = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẏ2F (ω) + ẋẏ2G (ω) , ÿ = ẏ3G (ω) .
R(A3.1 ⊕A1, 8): ω = x,
ẍ = ẋ3G(ω)− ẋ2ẏ
ϕ′
F (ω)− ẋẏ2ϕ′′
2ϕ′2
,
82 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
ÿ =
(
ẋ2 − ẋẏ2
ϕ′
)
F (ω) + ẋ2ẏG(ω) +
ẋẏϕ′′
ϕ′
− ẏ3ϕ′′
2ϕ′2
,
де ϕ(x) – довiльна функцiя вiд x, а штрихами позначено її похiднi.
R(A3.2 ⊕A1, 3): ω = ẏ
ẋe
1
ẋ ,
ẍ = ẋ2ẏF (ω) , ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2G (ω) .
R(A3.2 ⊕A1, 5): ω = yẋ+ẋ−1
ẏ e−y,
ẍ = ẏ2ey(1− yẋ)F (ω) + eyẋẏ2G (ω)− ẋ2ẏ,
ÿ = ẏ3eyG (ω)− yẏ3eyF (ω)− ẋẏ2 − ẏ2.
R(A3.2 ⊕A1, 6): ω = ẏ
ẋe
y,
ẍ = ẋẏ(1− yẋ)F (ω) + ẋ2ẏG (ω)− ẋẏ(1− yẋ),
ÿ = ẋẏ2G (ω)− yẋẏ2F (ω)− ẏ2(1− yẋ).
R(A3.2 ⊕A1, 7): ω = ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ3e−xF (ω) , ÿ = ẋ2ẏe−xF (ω) + ẋ2G (ω) .
R(A3.3 ⊕A1, 3): ω = ẋ,
ẍ = ẏF (ω), ÿ = ẏ2G(ω).
R(A3.3 ⊕A1, 5): ω = ẏ
ẋe
y,
ẍ = ẋẏF (ω) + ẋ2ẏG (ω)− ẋẏ, ÿ = ẋẏ2G (ω)− ẏ2.
R(A3.3 ⊕A1, 8): ω = x,
ẍ = ẋ3 exp
(
yϕ′ẋ− ϕẏ
ϕ′ẋ
)
F (ω),
ÿ = ẋ2ẏ exp
(
yϕ′ẋ− ϕẏ
ϕ′ẋ
)
F (ω) + ẋ2G(ω) +
ẋẏϕ′′
ϕ′
,
де ϕ(x) – довiльна функцiя вiд x, а штрихами позначено її похiднi.
R(Aa3.4 ⊕A1, 3): ω = ẋẏa−1,
ẍ = ẋẏF (ω) , ÿ = ẏ2G (ω) .
Системи ЗДР другого порядку 83
R(Aa3.4 ⊕A1, 5): ω = ẏeay+y
ẋey−aeay ,
ẍ = ẏ2eayF (ω) + ẋẏ2eyG (ω) + (a− 1)ẋẏ, ÿ = ẏ3eyG (ω)− ẏ2.
R(Aa3.4 ⊕A1, 6): ω = ẏeay
ẋ ,
ẍ = ẋẏF (ω) + ẋẏ2eyG (ω)− ẋẏ, ÿ = ẏ3eyG (ω)− ẏ2.
R(Aa3.4 ⊕A1, 7): ω = ẏx
ẋ ,
ẍ = ẋ3x
2a−1
1−a F (ω) , ÿ = ẋ2ẏx
2a−1
1−a F (ω) + ẏ2G (ω) .
R(Aa3.4 ⊕A1, 10): ω = ẏey,
ẍ = ẏ2eayF (ω) + ẋẏG (ω) + aẋẏ, ÿ = ẏ2G (ω) .
R(Ab3.5 ⊕A1, 3): ω = ẋ2+1
ẏ2 e2b arctg ẋ,
ẍ = (ẋ2 + 1)ẏF (ω) , ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2G (ω) .
R(Ab3.5 ⊕A1, 5): ω = ẋ(b cos y−sin y)+b sin y+cos y
ẏeby
,
ẍ= ẏ2eby (F(ω)(sin y+ẋ cos y)+G(ω)(ẋ sin y−cos y))−ẏ(1+ẋ2),
ÿ = ẏ3eby (F (ω) cos y +G (ω) sin y)−ẏ2(b+ ẋ).
R(Ab3.5 ⊕A1, 6): ω = ẏ(x2+1)
ẋ ,
ẍ = ẋẏ2
√
x2 + 1 e−b arctg xF (ω) ,
ÿ = ẏ3
√
x2 + 1 e−b arctg xF (ω)+ẏ2G (ω)− 2xẋẏ
1 + x2
.
R(sl(2,R)⊕A1, 3): ω = xẏ+y2−ẋy+c√
4xẏ−ẋ2
,
ẍ =
4xẏ − ẋ2
x
(
1− 4xẏ − ẋ2
2(xẏ + y2 − ẋy + c)
)
F (ω)+
+
(ẋ− 2y)(4xẏ − ẋ2)
2x(ω2 − c)
G(ω) + 2ẏ,
ÿ =
4xẏ−ẋ2
2x2(ẋ− 2y)
(
4xẏ−2yẋ+
(4xẏ−ẋ2)(y2−xẏ−c)
xẏ + y2 − ẋy + c
)
F (ω)−
84 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
− (4xẏ − ẋ2)(y2 − xẏ + c)
2x2(ω2 − c)
G(ω).
R(sl(2,R)⊕A1, 4): ω = x2ẏ2
ẋ2−1 ,
ẍ = x2ẏ3F (ω)− ẋ2 − 1
x
, ÿ = ẏ2 (ẋF (ω) +G (ω))− 2ẋẏ
x
.
R(sl(2,R)⊕A1, 5): ω = x2ẏ2
ẋ2+1 ,
ẍ = x2ẏ3F (ω)− ẋ2 + 1
x
, ÿ = ẏ2 (ẋF (ω) +G (ω))− 2ẋẏ
x
.
R(sl(2,R)⊕A1, 6): ω = xẏ,
ẍ =
1
2x
F (ω) +
ẋ2
2x
, ÿ =
1
x2
G (ω)− ẋẏ
x
.
R(sl(2,R)⊕A1, 7): ω = y,
ẍ =
xẏ2
2y2
(
F (ω) + 2G (ω) ln(xẏ) + ln2(xẏ)
)
+
ẋ2
2x
,
ÿ =
ẏ2
y
(G (ω) + ln(xẏ))− ẋẏ
x
.
R(sl(2,R)⊕A1, 8): ω = y,
ẍ =
xẏ2
2
F (ω) +
ẋ2
2x
, ÿ = ẏ2G (ω)− ẋẏ
x
.
R(so(3)⊕A1, 1): ω = ẋ2+cos2 x
ẏ2 ,
ẍ =
ẏ3
cosx
F (ω)− 2ẋ2 tg x− sinx cosx,
ÿ =
ẋẏ2
cosx
F (ω) + ẏ2G (ω)− 2ẋẏ tg x.
R(so(3)⊕A1, 2): ω = ẋ2+cos2 x
(ẏ+sin x)2 ,
ẍ =
(ẋ2 + cos2 x)3/2
cosx
F (ω) +
ẏ(ẋ2 + cos2 x)
cosx
− ẋ2 tg x,
Системи ЗДР другого порядку 85
ÿ = (ẏ + sinx)2
(
ẋ
cosx
F (ω) +G (ω)
)
+
ẋ(ẏ2 − 1)
cosx
.
R(A4.1, 3): ω = ẏ2
2ẏ−ẋ2 ,
ẍ = ẏ(ẏ − ẋ2)F (ω) + ẋẏ2G (ω) , ÿ = ẏ3G (ω)− ẋẏ2F (ω) .
R(A4.1, 5): ω = yẋ+1
ẏ ,
ẍ = ẏ2(1 + ẋy)F (ω) + ẋẏ2G (ω) + ẋ2ẏ,
ÿ = ẏ3yF (ω) + ẏ3G (ω) + ẋẏ2.
R(A4.1, 6): ω = ẏ
ẋ ,
ẍ =
1
2
ẋ3x2F (ω) +
1
2
ẋ3G (ω) + 2xẋ2ẏ,
ÿ = ẋ2
(
1 +
1
2
x2ẏ
)
F (ω) +
1
2
ẋ2ẏG (ω) + 2xẋẏ2.
R(Ab4.2, 2): ω = ẏe
(b−1)ẋ
ẏ ,
ẍ = ẏ
2b−1
b−1 F (ω) + ẋẏ
b
b−1G (ω) , ÿ = ẏ
2b−1
b−1 G (ω) .
R(Ab4.2, 4): ω = ẏe−by,
ẍ = ẏ2e−yF (ω) + ẋẏG (ω) , ÿ = ẏ2G (ω) .
R(Ab4.2, 5): ω = ẏ
ẋx
b−2
b−1 ,
ẍ =
ẋ2ẏ
b− 1
(lnxF (ω) + (b− 1)G (ω)− 2 lnx) ,
ÿ = ẋẏ
(
ẏ lnx
b− 1
− 1
x
)
F (ω) + ẋẏ2G (ω)− 2ẋẏ2 lnx
b− 1
.
R(Ab4.2, 7): ω = ey(b−1)ẋ+eby
ẏ ,
ẍ = ẏ2e−yF (ω) + ẋẏ2e−byG(ω) + (b− 1)ẋẏ,
ÿ = ẏ3e−byG(ω) + (b− 1)ẏ2.
86 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
R(A4.3, 3): ω = ẋ
ẏ + ln ẏ,
ẍ = ẏ2F (ω) + ẋẏG (ω) , ÿ = ẏ2G (ω) .
R(A4.3, 5), ε ∈ {0, 1}: ω = εx+ey
ẏ ,
ẍ = ẏ2F (ω)+ẋẏ2e−yG (ω)+ẋẏ, ÿ = ẏ3e−yG (ω)+ẏ2.
R(A4.3, 6): ω = xẏ
ẋ ,
ẍ = xẋẏ2 (F (ω)−G (ω) lnx)− 2ẋ2ẏ lnx,
ÿ = xẏ3F (ω) + ẏ2(1− xẏ lnx)G (ω)− 2ẋẏ2 lnx.
R(A4.4, 2): ω = ẋ2−2ẏ
ẏ2 ,
ẍ =
ẏ
e
ẋ
ẏ
((
ẏ − ẋ2
)
F (ω)+ẋẏG (ω)
)
, ÿ =
ẏ2
e
ẋ
ẏ
(ẏG (ω)−ẋF (ω)) .
R(A4.4, 4): ω = 1+yẋ
ẏ ey,
ẍ =
ẏ2
ey
((1+yẋ)F (ω)+ẋG(ω))+ẋ2ẏ, ÿ=
ẏ3
ey
(yF (ω)+G(ω))+ẋẏ2.
R(A4.4, 5): ω = ẋ
ẏ e
x,
ẍ = ẋ2ẏF (ω) +
1
2
x2ẋ2ẏG (ω) + 2xẋ2ẏ,
ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẋẏ
(
1 +
1
2
x2ẏ
)
G (ω) + 2xẋẏ2.
R(Aa,b,c4.5 , 2): ω = ẏb−a
ẋc−a ,
ẍ = ẋ
b−2a
b−a F (ω) , ÿ = ẏ
c−2a
c−a G (ω) .
R(A1,1,1
4.5 , 7): ω = y,
ẍ = ẏ (ẋ−ϕ′) (F (ω)+ẋG(ω))+ẏϕ′′, ÿ = ẏ2 (ẋ−ϕ′)G(ω),
де ϕ(y) – довiльна функцiя вiд y, а штрихами позначено її похiднi.
Системи ЗДР другого порядку 87
R(A1,1,c
4.5 , 6), c 6= 1: ω = x,
ẍ = ẋ3
(
ẏ
ẋ
)1/c
F (ω), ÿ = ẋ2ẏ
(
ẏ
ẋ
)1/c
F (ω) + ẋẏG(ω).
R(A1,1,c
4.5 , 7), c 6= 1: ω = ẏ
ẋe
y,
ẍ = ẋẏF (ω) + ẋ2ẏG (ω) + (c− 1)ẋẏ, ÿ = ẋẏ2G (ω) + (c− 1)ẏ2.
R(Aa,b,14.5 , 5), −1≤a<b<1; b>0 при a=−1; ε1, ε2∈{0, 1}, ε2
1 + ε2
2 6= 0:
ω = ẏ−1(ε1(a− 1)e−byẋ+ ε2(b− 1)e−ay),
ẍ =
ẏeby
ε1(a− 1)
(
ẏF (ω)− ε2(b− 1)(a− b)e−ay
)
+ ẋẏ2eayG (ω) ,
ÿ = ẏ3eayG (ω)− (a− 1)ẏ2.
R(Aa,b,14.5 , 6),−1 ≤ a < b < 1; b > 0 при a = −1: ω = ẏ
ẋx
a−b−1
a−b ,
ẍ = ẋ2ẏx
b−1
a−bF (ω) , ÿ = ẋẏ2x
b−1
a−bF (ω) + ẏ2x
1
b−aG (ω) .
R(Aa,b4.6, 2): ω =
(
ẋ2 + ẏ2
)
e2(a−b) arctg ẋ
ẏ ,
ẍ = e−a arctg ẋ
ẏ (ẏF (ω))+ẋG (ω)), ÿ = e−a arctg ẋ
ẏ (ẏG (ω)−ẋF (ω)).
R(Aa,b4.6, 4): ω =
ẋεeb arctg y(b−a+y)
√
1+y2−(1+y2)ea arctg y
ẏ ,
ẍ =
ẏ2e−b arctg y
(1+y2)3/2
F (ω)+
ẋẏ2e−a arctg y
(1 + y2)2
(G(ω)−εyF (ω))+
+
2yẋẏ
1 + y2
− ẋ2ẏεe(b−a) arctg y(y2 + 1 + (b− a+ y)2)
(1 + y2)3/2
,
ÿ =
ẏ3e−a arctg y
(1 + y2)2
(G (ω)− εyF (ω)) +
2yẏ2
1 + y2
−
−
ẋẏ2εe(b−a) arctg y
(
y2 + 1 + (b− a+ y)2
)
(1 + y2)3/2
.
R(A4.7, 2): ω = ẏ
yẋ−1e
ẋ
ẏ ,
ẍ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2(yẋ− 1)e−
ẋ
ẏG (ω)− ẋ2ẏ,
88 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
ÿ = ẏ3F (ω) + ẏ3ye−
ẋ
ẏG (ω)− ẋẏ2.
R(A4.7, 3): ω = ẋ2−2ẏ
ẏ2 e2y,
ẍ= ẏe−y
(
ẏ−ẋ2
)
F (ω)+ẋẏ2e−2yG(ω) , ÿ= ẏ3e−2yG(ω)−ẋẏ2e−yF (ω).
R(A4.7, 4): ω = ẏ
ẋe
y,
ẍ = ẋ3F (ω) + yẋ3, ÿ = ẋ2ẏF (ω) + ẏ2G (ω) + yẋ2ẏ.
R(A4.7, 5): ω = y,
ẍ = ẋ3F (ω)− ẋ3 ln
ẏ
ẋ
, ÿ = ẋ2ẏF (ω) + ẏ2G(ω)− ẋ2ẏ ln
ẏ
ẋ
.
R(Ab4.8, 2): ω =
(
y − 1
ẋ
) (
ẏ
ẋ
) b
1−b
,
ẍ = ẋ2ẏF (ω), ÿ = ẋẏ2F (ω) +
ẋẏ2
yẋ− 1
G(ω).
R(Ab4.8, 3): ω = ẋ2−2ẏ
ẏ2 y
2b
b−1 ,
ẍ = ẏy
2b−1
1−b
(
ẏ − ẋ2
)
F (ω) + ẋẏ2y
3b−1
1−b G (ω) ,
ÿ = ẏ3y
3b−1
1−b G (ω)− ẋẏ2y
2b−1
1−b F (ω) .
R(Ab4.8, 4): ω = ẏ
ẋe
y,
ẍ = ẋ2ẏebyF (ω) , ÿ = ẋẏ2ebyF (ω) + ẏ2G (ω) .
R(Ab4.8, 5): ω = y,
ẍ = ẋb+2ẏ1−bF (ω), ÿ = ẋb+1ẏ2−bF (ω) + ẏ2G(ω).
R(A−1
4.8, 7): ω = y,
ẍ = ẋẏ2
(
F (ω)+G(ω) ln
ẏ
ẋ
)
, ÿ = ẏ3F (ω)+ẏ2
(
1+ẏ ln
ẏ
ẋ
)
G(ω).
R(Ab4.8, 6), b 6= ±1: ω = ẏ
ẋe
by,
ẍ = ẋ2ẏeyF (ω) , ÿ = ẋẏ2eyF (ω) + ẏ2G (ω) .
Системи ЗДР другого порядку 89
R(Ab4.8, 7), b 6= ±1: ω = y,
ẍ = ẋ
2b+1
b ẏ
b−1
b F (ω) , ÿ = ẋ
b+1
b ẏ
2b−1
b F (ω) + ẏ2G (ω) .
R(A0
4.8, 9): ω = ẏ
ẋe
yẋ−1
Cẋ ,
ẍ = ẋ2ẏF (ω) , ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2G (ω) , C 6= 0.
R(Aa4.9, 2): ω = yẋ−1√
ẋ2+ẏ2
ea arctg ẏ
ẋ ,
ẍ = ẋ
(
ẋ2 + ẏ2
)
F (ω) + ẏ
(
ẋ2 + ẏ2
)
G(ω)− ẋ2ẏ,
ÿ = ẏ
(
ẋ2 + ẏ2
)
F (ω) +
(
ẋ2 + ẏ2
) (
ẋ+ yẏ2
)
yẋ− 1
G(ω)− ẋẏ2.
R(Aa4.9, 3): ω = 2ẏ−ẋ2
ẏ2 (1 + y2)e2a arctg y,
ẍ =
2ẏ − ẋ2
1 + y2
(
(ẏ − ẋ2)√
2ẏ − ẋ2
F (ω) + ẋG(ω) + yẋ
)
,
ÿ =
ẏ(2ẏ − ẋ2)
1 + y2
(
G(ω)− ẋ√
2ẏ − ẋ2
F (ω) + y
)
.
R(A4.10, 3): ω = ẏey+C arctg ẋ
√
1+ẋ2
,
ẍ = ẏ
(
1 + ẋ2
)
F (ω) , ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2G (ω) .
R(A4.10, 4): ω = ẏ
ẋ
(
1 + x2
)
,
ẍ=
ẋ3ey
(1+x2)
3/2
F (ω) , ÿ=
ẋẏ
1+x2
(
ẋey
(1+x2)1/2
F (ω)+G (ω)−2x
)
.
R(A4.10, 5): ω = y + arctg ẋ,
ẍ = ẏ
(
1 + ẋ2
)
F (ω) , ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2G (ω) .
R(A4.10, 6): ω = y,
ẍ = ẏ
(
1 + ẋ2
)
F (ω) , ÿ = ẋẏ2F (ω) + ẏ2G (ω) .
90 О.В. Гапонова, М.О. Нестеренко
5. Заключнi зауваження. У цiй роботi отримано вичерпний
опис регулярних нормальних систем двох звичайних диференцiаль-
них рiвнянь другого порядку, iнварiантних вiдносно дiйсних алгебр
Лi розмiрностей три та чотири. Решта iнварiантних систем або є
сингулярними, тобто включають умови виродження рангiв других
продовжень генераторiв алгебри Лi, або не можуть бути записанi у
нормальнiй формi. Опис таких систем, а також питання лiнеаризацiї
систем типу (1) теж є цiкавими з точки зору застосувань та стануть
предметом наших подальших дослiджень. Iншою важливою задачею
є знаходження геодезичних рiвнянь серед систем другого порядку,
а саме “докласифiкацiя” отриманих систем, iнварiантних вiдносно
чотиривимiрних алгебр Лi. Також потрiбно дослiдити, якi з отрима-
них iнварiантних систем є ньютонiвськими, а саме, якi з них можна
записати у виглядi
ẍ = −∂V
∂x
, ÿ = −∂V
∂y
(7)
з потенцiал-функцiєю V = V (x, y).
Як обгрунтування важливостi отриманих результатiв i доцiльно-
стi подальших дослiджень наведемо декiлька фiзично цiкавих си-
стем, що мiстяться серед побудованих у статтi.
Приклад 2. Класичну задачу Кеплера можна переписати через по-
лярнi координати у виглядi системи двох диференцiальних рiвнянь
другого порядку
r̈ − rθ̇2 +
µ
r2
= 0, rθ̈ + 2ṙθ̇ = 0.
Ця система як частковий випадок мiститься в найбiльш загальнiй
системi, що iнварiантна вiдносно реалiзацiї R(A2.1 ⊕A1, 1).
Приклад 3. Узагальнена система Єрмакова
ẍ =
1
x3
F
(y
x
)
, ÿ =
1
y3
G
(y
x
)
iнварiантна вiдносно реалiзацiї алгебри Лi sl(2,R), еквiвалентної ре-
алiзацiї R(sl(2,R), 1).
Приклад 4. Двовимiрна задача з центральною силою
r̈ +
(
µ
(x2 + y2)2
− ε
)
r = 0, µ, ε > 0, r = (x, y)
Системи ЗДР другого порядку 91
iнварiантна вiдносно реалiзацiї алгебри Лi sl(2,R)⊕A1, еквiвалентної
реалiзацiї R(sl(2,R) ⊕ A1, 3) та в полярних координатах може бути
переписана у виглядi
r̈ − rϕ̇2 +
µ
r3
− ϕr = 0, rϕ̈+ 2ṙϕ̇ = 0.
Автори вдячнi В.М.Бойко, В.I. Лагно, А.Г.Нiкiтiну та Р.О.По-
повичу за постановку задачi та кориснi дискусiї. Дослiдження МН
частково пiдтриманi грантом Президента України для молодих
учених № GP/F11/0061 та грантом INTAS № 04-83-3217.
[1] Damianou P.A., Sophocleous C. Symmetries of Hamiltonian systems with two
degrees of freedom // J. Math. Phys. – 1999. – 40, № 1. – P. 210–235.
[2] Fels M., Olver P.J. Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta Appl.
Math. – 1998. – 51. – P. 161–213.
[3] Fels M., Olver P.J. Moving coframes. II. Regularization and theoretical founda-
tions // Acta Appl. Math. – 1999. – 55. – P. 127–208.
[4] Feroze T., Mahomed F.M., Qadir A. The connection between isometries and
symmetries of geodesic equations of the underlying spaces, to appear.
[5] Lie S. Über Differentiation // Math. Ann. – 1884. – 24. – P. 537–578.
[6] Lie S. Theorie der Transformationsgruppen, Vol. 1–3. – Leipzig, 1888, 1890,
1893. – 645 s., 568 s., 830 s.
[7] Mahomed F.M., Qadir A. Invariant criteria for a system of geodesic equations
corresponding to spaces of constant nonzero curvature, to appear.
[8] Olver P. Equivalence, invariants, and symmetry. – Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press, 1995. – 525 p.
[9] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978. – 400 с.
[10] Popovych R., Boyko V., Nesterenko M., Lutfullin M. Realizations of real low-
dimensional Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. – 2003. – 36. – P. 7337–7360.
[11] Tresse A. Sur les invariants differentiels des groupes continus de transforma-
tions // Acta Math. – 1894. – 18. – P. 1–88.
[12] Tresse A. Determination des invariants ponctuels de l’equation differentielle du
second ordre y′′ = ω(x, y, y′). – Leiptzig: S. Hirzel, 1896.
[13] Wafo Soh C., Mahomed F.M. Canonical forms for systems of two second-order
ordinary differential equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 2001. – 34. –
P. 2883–2911.
[14] Wafo Soh C., Mahomed F.M. Linearization criteria for a system of second-order
ordinary differential equations // Internat. J. Non-Linear Mech. – 2001. – 36. –
P. 671–677.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-383 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:28Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/02/06c777d71e223adfc3c29efd907a8702.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3832020-08-13T10:42:30Z Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras Системи ЗДР другого порядку, інваріантні відносно низькорозмірних алгебр Лі Gaponova, O. Nesterenko, M. Гапонова, О. Нестеренко, М. Regular systems of two second-order ordinary differential equations invariant with respect to real three- or four-dimensional Lie algebras are exhaustively described. Отримано вичерпний опис регулярних нормальних систем двох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, інваріантних відносно дійсних алгебр Лі розмірностей три та чотири. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/383 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 71-91 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 71-91 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 71-91 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/383/383 Авторське право (c) 2006 О. ГАПОНОВА, М. НЕСТЕРЕКО http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Gaponova, O. Nesterenko, M. Гапонова, О. Нестеренко, М. Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras |
| title | Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras |
| title_alt | Системи ЗДР другого порядку, інваріантні відносно низькорозмірних алгебр Лі |
| title_full | Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras |
| title_fullStr | Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras |
| title_full_unstemmed | Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras |
| title_short | Systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional Lie algebras |
| title_sort | systems of second-order differential equations invariant with respect to low-dimensional lie algebras |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/383 |
| work_keys_str_mv | AT gaponovao systemsofsecondorderdifferentialequationsinvariantwithrespecttolowdimensionalliealgebras AT nesterenkom systemsofsecondorderdifferentialequationsinvariantwithrespecttolowdimensionalliealgebras AT gaponovao systemsofsecondorderdifferentialequationsinvariantwithrespecttolowdimensionalliealgebras AT nesterenkom systemsofsecondorderdifferentialequationsinvariantwithrespecttolowdimensionalliealgebras AT gaponovao sistemizdrdrugogoporâdkuínvaríantnívídnosnonizʹkorozmírnihalgebrlí AT nesterenkom sistemizdrdrugogoporâdkuínvaríantnívídnosnonizʹkorozmírnihalgebrlí AT gaponovao sistemizdrdrugogoporâdkuínvaríantnívídnosnonizʹkorozmírnihalgebrlí AT nesterenkom sistemizdrdrugogoporâdkuínvaríantnívídnosnonizʹkorozmírnihalgebrlí |