Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation
Depending on the type of nonlinearity we classify the symmetric properties of one of the possible generalizations of Burgers equation in two-dimensional space. Some exact solution of equations under consideration are found.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/384 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552884081524736 |
|---|---|
| author | Gevlenko, A. Гевленко, А. |
| author_facet | Gevlenko, A. Гевленко, А. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Гевленко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Gevlenko, A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Depending on the type of nonlinearity we classify the symmetric properties of one of the possible generalizations of Burgers equation in two-dimensional space. Some exact solution of equations under consideration are found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 92–97
УДК 517.912:512.816
Симетрiйнi властивостi
та деякi точнi розв’язки
узагальненого рiвняння Бюргерса
А.А. ГЕВЛЕНКО
Полтавський нац. технiчний унiверситет iм. Юрiя Кондратюка
E-mail: kaf26@pntu.poltava.ua
Проведено класифiкацiю симетрiйних властивостей одного з можливих
узагальнень рiвняння Бюргерса на випадок двох просторових змiнних
в залежностi вiд вигляду нелiнiйностi та знайдено деякi його точнi
розв’язки.
Depending on the type of nonlinearity we classify the symmetric proper-
ties of one of the possible generalizations of Burgers equation in two-di-
mensional space. Some exact solution of equations under consideration are
found.
1. Вступ. Як вiдомо, коло питань математичної фiзики тiсно пов’я-
зане з вивченням рiзних фiзичних процесiв. Сюди вiдносять явища,
що вивчають у гiдродинамiцi, теорiї пружностi, електродинамiцi, фi-
зицi елементарних частинок i т.д. Математичнi задачi, що виникають
при цьому, часто зводяться до розв’язування диференцiальних рiв-
нянь рiзних типiв, в тому числi диференцiальних рiвнянь з частин-
ними похiдними другого i вище порядкiв. Диференцiальнi рiвняння,
що описують конкретнi фiзичнi процеси, як правило, мають широ-
ку симетрiю. Наявнiсть симетрiї може бути одним з критерiїв вибо-
ру серед деякої множини рiвнянь оптимальної математичної моде-
лi, що максимально точно описує даний процес. Великi можливостi
класифiкацiї симетрiй та побудови точних розв’язкiв рiвнянь мате-
матичної фiзики вiдкривають започаткованi ще у XIX столiттi Со-
фусом Лi методи теоретико-групового аналiзу диференцiальних рiв-
нянь. Оператори алгебри iнварiантностi диференцiальних рiвнянь
застосовуються (див. [1]) для побудови пiдстановок спецiальної фор-
ми (анзацiв), якi зводять (редукують) дане рiвняння до диференцi-
альних рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних. Класичнi
Симетрiйнi властивостi та деякi точнi розв’язки 93
методи Лi, доповненi результатами теорiї представлень груп i алгебр
Лi, знаходять все ширше застосування в теоретичнiй та математич-
нiй фiзицi.
2. Cиметрiйна класифiкацiя. Розглянемо класичне рiвняння
Бюргерса
u0 = u11 + uu1, (1)
де u = u(x), x = (x0, x1), uµ = ∂u
∂xµ
, u11 = ∂2u
∂x2
1
, µ = 0, 1, та
узагальнимо його на випадок двох просторових змiнних наступним
чином
u0 = u11 + u22 + F (u)(u1 + u2), (2)
де u = u(x), x = (x0, x1, x2), F = F (u) – довiльна гладка функцiя.
Поставимо задачу дослiдити симетрiйнi властивостi рiвняння (2)
в залежностi вiд вигляду функцiї F (u).
Надалi будемо вважати F 6= λ (λ = const) так як при F = λ
рiвняння
u0 = u11 + u22 + λ(u1 + u2)
замiною t = x0, y1 = x1 + λx0, y2 = x2 + λx0, w = u зводиться до
рiвняння
∂w
∂t
=
∂2w
∂y2
1
+
∂2w
∂y2
2
.
Справедливе наступне твердження.
Теорема 1. Максимальнi алгебри iнварiантностi (МАI) рiвнян-
ня (2) в залежностi вiд вигляду функцiї F (u) наведенi в таблицi 1.
Доведення теореми проводиться за допомогою стандартного мето-
ду Лi (див. [1, 2]).
3. Деякi точнi розв’язки. Проведемо процедуру симетрiйної
редукцiї та знаходження деяких точних розв’язкiв рiвняння (2) для
випадку функцiї F (u) = eu:
u0 = u11 + u22 + eu(u1 + u2). (3)
Оскiльки елементи МАI рiвняння (3) задовольняють наступним
комутацiйним спiввiдношенням
[P0, Pa] = 0, [P0, D1] = 2P0, [Pa, D1] = Pa,
94 А.А. Гевленко
Таблиця 1. Результат симетрiйної класифiкацiї рiвняння (2).
№ Вигляд рiвняння МАI
1 u0 = u11 + u22 + f(u)(u1 + u2) P0 = ∂0, Pa = ∂a
2 u0 = u11 + u22 + eu(u1 + u2) P0, Pa
D1 = 2x0∂0 + xa∂a − ∂u
3 u0 = u11 + u22 + lnu(u1 + u2) P0, Pa,
G1 = x0(∂1 + ∂2)− u∂u
4 u0 = u11 + u22 + uk(u1 + u2) P0, Pa,
D2 = 2x0∂0 + xa∂a − 1
k
u∂u
5 u0 = u11 + u22 + u(u1 + u2) P0, Pa,
G2 = x0(∂1 + ∂2)− ∂u,
D3 = 2x0∂0 + xa∂a − u∂u
В таблицi 1 k – довiльна стала, k 6= 0; 1, f = f(u) – довiльна гладка
функцiя, a = 1, 2.
де a = 1, 2, то з точнiстю до спряженостi вiдносно групи автоморфiз-
мiв видiлимо класи пiдалгебр розмiрностей 1 i 2 [3]. За кожною з пiд-
алгебр МАI здiйснимо процедуру симетрiйної редукцiї [1, 3]. Отри-
манi результати наведемо в таблицi 2.
Для пiдалгебри 〈P1 + α2P2〉 редуковане рiвняння при α2 = 1 зво-
диться до лiнiйного рiвняння теплопровiдностi
ϕ1 = 2ϕ22. (4)
Таким чином функцiя
u = ϕ(x0, x1 − x2)
є розв’язком рiвняння (3), якщо ϕ – довiльний розв’язок лiнiйного
рiвняння (4).
Розглянемо редуковане рiвняння
(1 + α2
2)ϕ̈+ (1− α2)eϕϕ̇− α1α2ϕ̇ = 0. (5)
Проiнтегрувавши дане рiвняння, одержимо
(1 + α2
2)ϕ̇+ (1− α2)eϕ − α1α2ϕ− C1 = 0. (6)
Симетрiйнi властивостi та деякi точнi розв’язки 95
Таблиця 2. Симетрiйна редукцiя рiвняння (3).
Пiдалгебра МАI Анзац Редуковане рiвняння
〈P0 + α1P1 + α2P2〉 u = ϕ(ω1, ω2), ϕ11 + ϕ22 + eϕ(ϕ1 + ϕ2) +
ωa = xa − αax0 + α1ϕ1 + α2ϕ2 = 0
〈P1 + α2P2〉 u = ϕ(ω1, ω2), (1 + α2
2)ϕ22 +
ω1 = x0, + (1− α2)eϕϕ2 − ϕ1 = 0
ω2 = x2 − α2x1
〈D1〉 u = ϕ(ω1, ω2)− 1
2
lnx0, ϕ11 + ϕ22 + 1
2
(ωaϕa + 1) +
ωa = xa√
x0
+ eϕ(ϕ1 + ϕ2) = 0
〈P0+ α1P1, P1+ α2P2〉 u = ϕ(ω), (1 + α2
2)ϕ̈+
ω = α1α2x0 − α2x1 + x2 +(1− α2)eϕϕ̇− α1α2ϕ̇ = 0
〈P1, P2〉 u = ϕ(ω), ω = x0 ϕ̇ = 0
〈D1, P0〉 u = ϕ(ω)− lnx2, (1 + ω2)ϕ̈+
ω = x1
x2
+ eϕ((1− ω)ϕ̇− 1) + 1 = 0
〈D1, P1 + α2P2〉 u = ϕ(ω)− 1
2
lnx0, (α2
2 + 1)ϕ̈+
ω = α2x1−x2√
x0
+((α2− 1)eϕ+ 1
2
ω)ϕ̇+ 1
2
=0
Пiсля вiдокремлення змiнних рiвняння (6) перепишеться так
dϕ
(α2 − 1)eϕ + α1α2ϕ+ C1
=
dω
α2
2 + 1
. (7)
Iнтеграл рiвняння (7)∫ u
0
dϕ
(α2 − 1)eϕ + α1α2ϕ+ C1
=
α1α2x0 − α2x1 + x2
α2
2 + 1
залежить вiд значень α1, α2, C1. Можливi наступнi суттєво рiзнi
випадки:
1) α2 = 0→ dϕ
−eϕ + C1
= dω :
A) C1 = 0→ dϕ
−eϕ
= dω → e−ϕ = ω + C2 → ϕ = ln
1
ω + C2
→
→ u = ln
1
x2 + C2
;
96 А.А. Гевленко
B) C1 6= 0→ dϕ
−eϕ + C1
= dω → dϕ
−eϕ(1− C1e−ϕ)
= dω →
→ d(e−ϕ)
e−ϕ − 1
C1
= −C1dω → e−ϕ =
C2
C1
e−C1ω +
1
C1
→
→ ϕ = ln
C1
C2e−C1ω + 1
→ u = ln
C1
C2e−C1x2 + 1
;
2) α2 = 1→ 2dϕ
α1ϕ+ C1
= dω :
A) α1 = 0→ 2dϕ
C1
= dω :
a) C1 = 0→ ϕ = const→ u = const;
b) C1 6= 0→ ϕ =
C1
2
ω + C2 → u =
C1
2
(x2 − x1) + C2;
B) α1 6= 0→ 2dϕ
α1(ϕ+ C1
α1
)
= dω → ϕ = C2e
α1
2 ω − C1
α1
→
→ u = C2e
α1
2 (α1x0−x1+x2) − C1
α1
;
3) α1 = 0→ dϕ
(α2 − 1)eϕ + C1
=
dω
α2
2 + 1
:
A) α2 = 1→ dϕ =
C1
2
dω → ϕ =
C1
2
ω + C2 →
→ u =
C1
2
(x2 − x1) + C2;
B) α2 6= 1→ dϕ
(α2 − 1)eϕ + C1
=
dω
α2
2 + 1
:
a) C1 = 0→ dϕ
eϕ
=
α2 − 1
α2
2 + 1
dω → ϕ = ln
1
1−α2
1+α2
2
ω + C
→
→ u = ln
1
1−α2
1+α2
2
(x2 − α2x1) + C
;
b) C1 6= 0→ dϕ
(α2 − 1)eϕ + C1
=
dω
α2
2 + 1
→
→ dϕ
eϕ + C3
=
α2 − 1
α2
2 + 1
dω → ϕ = ln
C3
Φ(ω) + 1
,
Симетрiйнi властивостi та деякi точнi розв’язки 97
де
Φ(ω) = C1 exp
(
α2 − 1
α2
2 + 1
C3ω
)
, C3 =
C1
1− α2
.
Враховуючи вигляд анзацу, отримаємо:
u = ln
C3
C1 exp
(
C1
α2
2+1
(α2x1 − x2)
)
+ 1
.
Провiвши аналогiчнi мiркування можна знайти точнi розв’язки
рiвняння (2) для решти випадкiв функцiї F (u) з таблицi 1.
4. Висновки. В данiй роботi виконано симетрiйну класифiкацiю
нелiнiйного рiвняння (2). Симетрiйнi властивостi даного рiвняння
використанi для побудови iнварiантних анзацiв, якi редукують рiв-
няння (2) до диференцiальних рiвнянь вiдносно меншої кiлькостi не-
залежних змiнних. В результатi розв’язування редукованих рiвнянь
побудованi деякi точнi розв’язки рiвняння (2).
Автор виражає подяку своєму науковому керiвнику В.О. Мар-
ченку за постановку задачi та цiннi рекомендацiї.
[1] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Мо-
сква: Мир, 1989. – 639 с.
[2] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978. – 400 с.
[3] Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгруповой анализ групп
Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. – Киев: Наукова
думка, 1991. – 304 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-384 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:31Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d5/3dea26ee36cf95b51b8692282b307ed5.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3842020-08-13T10:42:30Z Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation Симетрійні властивості та деякі точні розв'язки узагальненого рівняння Бюргерса Gevlenko, A. Гевленко, А. Depending on the type of nonlinearity we classify the symmetric properties of one of the possible generalizations of Burgers equation in two-dimensional space. Some exact solution of equations under consideration are found. Проведено класифікацію симетрійних властивостей одного з можливих узагальнень рівняння Бюргерса на випадок двох просторових змінних в залежності від вигляду нелінійності та знайдено деякі його точні розв'язки. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/384 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 92-97 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 92-97 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 92-97 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/384/384 Авторське право (c) 2020 А. Гевленко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Gevlenko, A. Гевленко, А. Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation |
| title | Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation |
| title_alt | Симетрійні властивості та деякі точні розв'язки узагальненого рівняння Бюргерса |
| title_full | Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation |
| title_fullStr | Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation |
| title_full_unstemmed | Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation |
| title_short | Symmetric properties and some exact solutions of the generalized Burgers equation |
| title_sort | symmetric properties and some exact solutions of the generalized burgers equation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/384 |
| work_keys_str_mv | AT gevlenkoa symmetricpropertiesandsomeexactsolutionsofthegeneralizedburgersequation AT gevlenkoa symmetricpropertiesandsomeexactsolutionsofthegeneralizedburgersequation AT gevlenkoa simetríjnívlastivostítadeâkítočnírozv039âzkiuzagalʹnenogorívnânnâbûrgersa AT gevlenkoa simetríjnívlastivostítadeâkítočnírozv039âzkiuzagalʹnenogorívnânnâbûrgersa |