Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations
We study conditions of reduction of multidimensional wave equations - of a system of d'Alembert and Hamilton equations. Necessary conditions for compatibility of such reduction conditions are proved. Possib\-le types of the reduced equations and ansatzes are described. We also provide a bri...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/385 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552884336328704 |
|---|---|
| author | Yehorchenko, I. Єгорченко, І. |
| author_facet | Yehorchenko, I. Єгорченко, І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Єгорченко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Yehorchenko, I. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | We study conditions of reduction of multidimensional wave equations - of a system of d'Alembert and Hamilton equations. Necessary conditions for compatibility of such reduction conditions are proved. Possib\-le types of the reduced equations and ansatzes are described. We also provide a brief review of the literature with respect to compatibility of the system of d'Alembert and Hamilton equations and construction of solutions for the nonlinear d'Alembert equation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 98–112
УДК 517.912:512.816
Редукцiя багатовимiрних нелiнiйних
рiвнянь Даламбера до двовимiрних
рiвнянь: анзаци, сумiснiсть умов
редукцiї, редукованi рiвняння
I.А. ЄГОРЧЕНКО
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: iyegorch@imath.kiev.ua
Вивченi умови редукцiї багатовимiрних хвильових рiвнянь – системи з
рiвнянь Даламбера та Гамiльтона. Доведенi необхiднi умови сумiсно-
стi цих умов редукцiї. Описанi можливi типи редукованих рiвнянь та
анзацiв. Наведено короткий огляд лiтератури щодо сумiсностi системи
рiвнянь Даламбера та Гамiльтона та побудови розв’язкiв нелiнiйного
рiвняння Даламбера.
We study conditions of reduction of multidimensional wave equations –
of a system of d’Alembert and Hamilton equations. Necessary conditions
for compatibility of such reduction conditions are proved. Possible types
of the reduced equations and ansatzes are described. We also provide a
brief review of the literature with respect to compatibility of the system of
d’Alembert and Hamilton equations and construction of solutions for the
nonlinear d’Alembert equation.
1. Вступ. У цiй роботi продовжуються дослiдження, розпочатi у
1990 р. у спiльнiй роботi з В.I. Фущичем [1]. Ми дослiджуємо реду-
кцiю нелiнiйного рiвняння Даламбера
2u = F (u), (1)
2 ≡ ∂2
x0
− ∂2
x1
− · · · − ∂2
xn , u = u(x0, x1, . . . , xn)
за допомогою анзацу з двома новими незалежними змiнними [2,3]
u = ϕ(y, z), (2)
де y, z – новi змiннi. Тут i далi n – це кiлькiсть незалежних просто-
рових змiнних у вихiдному рiвняннi Даламбера.
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 99
Широкi класи точних розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь, що мають
вiдповiднi симетрiйнi властивостi, можуть бути побудованi шляхом
симетрiйної редукцiї цих рiвнянь до рiвнянь з меншою кiлькiстю не-
залежних змiнних або до звичайних диференцiальних рiвнянь (щодо
вiдповiдних алгоритмiв та прикладiв див. [4–7]).
Редукцiя та пошук розв’язкiв рiвняння (1) шляхом симетрiйної
редукцiї або застосування анзацiв розглядались, зокрема у роботах
М. Таджiрi [8], I. Патери, Р. Шарпа, П. Вiнтернiца та Г. Цесенхау-
са [9], В.I. Фущича та М.I. Сєрова [10], В.I. Фущича, Л.Ф. Баранни-
ка та А.Ф. Баранника [11] (у [12] розглядається симетрiйна редукцiя
пуанкаре-iнварiантних нелiнiйних рiвнянь до двовимiрних рiвнянь).
У роботi В.I. Фущича, А.Ф. Баранника та Ю.Д. Москаленка [13]
розглядається симетрiйна редукцiя рiвняння (1) з F = uk до двови-
мiрних рiвнянь, а також симетрiя вiдповiдних редукованих рiвнянь.
Очевидно, що метод симетрiйної редукцiї не дає вичерпного опису
всiх точних розв’язкiв рiвнянь, тому актуальним є пошук та розви-
ток iнших алгоритмiчних методiв пошуку розв’язкiв. Одним з таких
методiв є редукцiя рiвнянь за допомогою спецiальних пiдстановок –
анзацiв.
П. Кларксоном та М. Крускалом [14] був запропонований так зва-
ний “прямий метод” (“direct method”) пошуку точних розв’язкiв нелi-
нiйних рiвнянь у частинних похiдних, i було продемонстровано, що
цей метод дає бiльш широкi класи розв’язкiв, нiж метод симетрiй-
ної редукцiї за пiдалгебрами алгебр iнварiантностi рiвняння (див.
також [15, 16] та процитованi там роботи). Проте застосування цьо-
го методу для бiльшостi рiвнянь становить значнi труднощi, тому
що вимагає дослiдження сумiсностi та розв’язання складних пере-
визначених систем рiвнянь – умов редукцiї вихiдного рiвняння за
допомогою обраного анзацу.
Розв’язки, що одержуються прямим методом, також пов’язанi з
симетрiйними властивостями рiвняння – Q-умовною симетрiєю цього
рiвняння [6, 17, 18] (симетрiї такого типу також називаються некла-
сичною або нелiєвською симетрiєю [14,19,20]).
У роботi Р.З. Жданова, I.М. Цифри та Р.О. Поповича [21] вста-
новлена еквiвалентнiсть некласичної (умовної) симетрiї та прямого
пiдходу (застосування анзацу) до редукцiї диференцiальних рiвнянь
в частинних похiдних. У статтi В.I. Фущича “Анзац 95” [23] наве-
дено огляд результатiв з редукцiї для багатьох хвильових рiвнянь.
У роботi В.I. Фущича та А.Ф. Баранника [24] пропонується також
100 I.А. Єгорченко
варiант методу застосування анзацiв для рiвняння (1) з степеневою
нелiнiйнiстю.
У роботi Дж. Чiконьї [22] проведено аналiз застосування рiзних
типiв умовної та некласичної симетрiї для пошуку розв’язкiв нелi-
нiйних рiвнянь у частинних похiдних.
На вiдмiну вiд алгоритмiчного методу симетрiйної редукцiї, метод
прямої редукцiї з застосуванням анзацiв або повний опис умовної си-
метрiї (навiть Q-умовної симетрiї) не можна назвати алгоритмiчним
у такiй же мiрi. Бiльшiсть робiт з застосування “прямого методу” сто-
сується еволюцiйних рiвнянь та iнших рiвнянь, якi мiстять похiднi
не вище першого порядку для хоча б однiєї з незалежних змiнних, i
число незалежних змiнних у яких не бiльше трьох. У такому випадку
розв’язання умов редукцiї є вiдносно простим.
Умови редукцiї є набагато складнiшими для дослiдження та роз-
в’язання у випадку рiвнянь, що мiстять другi та/або вищi похiднi
для всiх незалежних змiнних, та багатовимiрних рiвнянь.
У цiй роботi ми розглядаємо загальнi умови редукцiї багатови-
мiрного рiвняння (1) за допомогою загального анзацу з двома но-
вими незалежними змiнними. Знайденi необхiднi умови сумiсностi
вiдповiдних умов редукцiї – посиленi умови, якi були знайденi у [1].
Ми також описуємо вiдповiднi можливi форми редукованих рiвнянь.
Таким чином, доведено, що редукованi рiвняння можуть мати лише
певний вигляд. Проте, одержанi в цiй роботi результати в загаль-
ному випадку не дозволяють провести повне застосування “прямого
методу”, для чого було б потрiбно знайти загальний розв’язок умов
редукцiї.
Аналогiчна задача ранiше розглядалась для анзаца з однiєю не-
залежною змiнною
u = ϕ(y), (3)
де y – нова незалежна змiнна.
Аналiз сумiсностi системи Даламбера–Гамiльтона
2u = F (u), uµuµ = f(u) (4)
в тривимiрному просторi був проведений Коллiнзом в [31].
Розв’язки системи (4) дослiджувались в роботах Г. Бейтмена [25],
В.I. Смiрнова та В.Л. Соболєва [26], М.П .Єругiна [27] (див. бiльш
детальний огляд у [29,30]).
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 101
У роботi [32] була знайдена умова сумiсностi системи (4) для
f(u) = 0.
Для повного дослiдження сумiсностi перевизначених систем ди-
ференцiальних рiвнянь з визначеною кiлькiстю незалежних змiнних
може бути використаний алгоритм Картана [28], проте на практицi
його дуже складно застосовувати вже для випадку трьох незалежних
змiнних, i неможливо – для довiльної кiлькостi незалежних змiнних.
Тому для таких випадкiв доводиться застосовувати спецiальнi при-
йоми навiть для пошуку необхiдних умов сумiсностi.
Очевидно, що систему Даламбера–Гамiльтона (4) локальними пе-
ретвореннями можна привести до вигляду
2u = F (u), uµuµ = λ, λ = 0,±1. (5)
Необхiднi умови сумiсностi системи (5) для чотирьох незалежних
змiнних вивчались В.I. Фущичем та Р.З. Ждановим [33] (див. та-
кож [30]).
Пiзнiше В.I. Фущичем, Р.З. Ждановим та автором цiєї роботи
були знайденi необхiднi умови сумiсностi системи (5) для довiльної
кiлькостi незалежних змiнних [34]:
Твердження 1. Для того, щоб система (5) (n – довiльне) була
сумiсною, необхiдно, щоб функцiя F мала наступний вигляд:
F =
λ∂uΦ
Φ
, ∂n+1
u Φ = 0.
В.I. Фущичем, Р.З. Ждановим та I.В. Ревенком [29, 35, 36] був
знайдений загальний розв’язок системи (5) для трьох просторових
змiнних (тобто чотирьох незалежних змiнних), i необхiднi та достатнi
умови сумiсностi цiєї системи [35]:
Твердження 2. Для того, щоб система (5) (u = u(x0, x1, x2, x3))
була сумiсною, необхiдно та достатньо, щоб функцiя F мала на-
ступний вигляд:
F =
λ
N(u+ C)
, N = 0, 1, 2, 3.
Редукцiя рiвняння (1) за допомогою анзаца (2) розглядалась
В.I. Фущичем, Р.З. Ждановим та I.В. Ревенком у [36] для спецiаль-
ного випадку (коли друга незалежна змiнна входить у редуковане
102 I.А. Єгорченко
рiвняння лише у якостi параметру), i були описанi всi вiдповiднi ан-
заци для випадку чотирьох незалежних змiнних, знайденi вiдповiднi
точнi розв’язки. Деякi розв’язки такого типу для довiльних n також
розглядались А.Ф. Баранником та I.I. Юриком у [37].
У роботi Р.З. Жданова та О.А. Панчак [38] розглядалась ре-
дукцiя нелiнiйного рiвняння Даламбера за допомогою анзаца u =
φ(ω1, ω2, ω3), для випадку 2ω1 = 0, ω1µω1µ = 0 (тобто ω1 входило у
редуковане рiвняння лише у якостi параметру). Були дослiдженi вiд-
повiднi умови сумiсностi та знайденi новi (нелiївськi) точнi розв’язки.
Зазначимо, що цей випадок не включає повнiстю розглядуваний
нами випадок анзацу з двома новими довiльними незалежними змiн-
ними.
Рiвняння Гамiльтона може також розглядатись, безвiдносно до
задачi редукцiї, як додаткова умова до рiвняння Даламбера, що до-
зволяє розширити симетрiю цього рiвняння. Симетрiя системи
2u = F (u), uµuµ = 0
була описана у [39]. У [34] була знайдена конформна симетрiя для
системи (4), що є новою умовною симетрiєю для рiвняння Даламбе-
ра. Умовнi симетрiї для вiдповiдних розглянутих анзацiв були опи-
санi також у [36,38].
2. Необхiднi умови сумiсностi системи рiвнянь Даламбе-
ра–Гамiльтона для двох функцiй або для комплекснозначної
функцiї. Спецiальне дослiдження редукцiї багатовимiрних рiвнянь
до двовимiрних становить iнтерес, тому що розв’язки двовимiрних
рiвнянь в частинних похiдних, в тому числi i нелiнiйних, можуть бу-
ти дослiдженi бiльш повно, нiж розв’язки багатовимiрних рiвнянь,
проте такi рiвняння можуть мати бiльш цiкавi властивостi, нiж зви-
чайнi диференцiальнi рiвняння.
Наприклад, нехай yµyµ = −zµzµ = 1, zµyµ = 2y = 2z = 0. Тодi
рiвняння (6) має вигляд
ϕyy − ϕzz = F (ϕ).
Якщо F (ϕ) = sinϕ, то редуковане рiвняння має солiтоннi розв’яз-
ки. Якщо F (ϕ) = expϕ, воно має загальний розв’язок. Двовимiрнi
редукованi рiвняння також можуть мати цiкавi властивостi з точки
зору умовної симетрiї.
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 103
Пiдстановка анзацу (2) у рiвняння (1) приводить до наступного
рiвняння:
ϕyyyµyµ + 2ϕyzzµyµ + ϕzzzµzµ + ϕy2y + ϕz2z = F (ϕ) (6)(
yµ =
∂y
∂xµ
, ϕy =
∂ϕ
∂y
)
,
звiдки одержуємо систему рiвнянь:
yµyµ = r(y, z), yµzµ = q(y, z), zµzµ = s(y, z), (7)
2y = R(y, z), 2z = S(y, z).
Система (7) є умовою редукцiї багатовимiрного хвильового рiв-
няння (1) до двовимiрного рiвняння (6) за допомогою анзаца (2).
Систему рiвнянь (7), в залежностi вiд знаку виразу rs − q2, ло-
кальними перетвореннями можна звести до одного з чотирьох типiв:
1) елiптичний випадок: rs−q2 > 0, v = v(y, z) – комплекснозначна
функцiя,
2v = V (v, v∗), 2v∗ = V ∗(v, v∗),
v∗µvµ = h(v, v∗), vµvµ = 0, v∗µv
∗
µ = 0 (8)
(редуковане рiвняння елiптичного типу);
2) гiперболiчний випадок: rs − q2 < 0, v = v(y, z), w = w(y, z) –
дiйснi функцiї,
2v = V (v, w), 2w = W (v, w),
wµwµ = h(v, w), vµvµ = 0, wµwµ = 0 (9)
(редуковане рiвняння гiперболiчного типу);
3) параболiчний випадок: rs − q2 = 0, r2 + s2 + q2 6= 0, v(y, z),
w(y, z) – дiйснi функцiї,
2v = V (v, w), 2w = W (v, w),
vµwµ = 0, vµvµ = λ (λ = ±1), wµwµ = 0 (10)
(якщо W 6= 0, то редуковане рiвняння параболiчного типу);
4) рiвняння першого порядку r = s = q = 0, y → v, z → w
vµvµ = wµwµ = vµwµ = 0,
104 I.А. Єгорченко
2v = V (v, w), 2w = W (v, w). (11)
Сформулюємо необхiднi умови сумiсностi систем (8)–(11).
Теорема 1. Система (8) сумiсна тiльки в тому випадку, коли
V =
h(v, v∗)∂v∗Φ
Φ
, ∂v∗ ≡
∂
∂v∗
,
де Φ – довiльна функцiя, для якої виконується умова
(h∂v∗)
n+1Φ = 0.
Функцiю h можна представити у виглядi h = 1
Rvv∗
, де R – довiль-
на достатньо гладка функцiя, Rv, Rv∗ – частиннi похiднi по вiдпо-
вiдним змiнним.
Тодi функцiю Φ можна представити у виглядi Φ =
n+1∑
k=0
fk(v)Rkv ,
де fk(v) – довiльнi функцiї, i
V =
n+1∑
k=1
kfk(v)Rkv
n+1∑
k=0
fk(v)Rkv
.
Вiдповiдне редуковане рiвняння матиме вигляд
h(v, v∗)
(
φvv∗ + φv
∂v∗Φ
Φ
+ φv∗
∂vΦ
∗
Φ∗
)
= F (φ). (12)
Рiвняння (12) можна переписати також як рiвняння з двома дiй-
сними незалежними змiнними (v = ω + θ, v∗ = ω − θ):
2h̃(ω, θ)(φωω + φθθ) + Ω(ω, θ)φω + Θ(ω, θ)φθ = F (φ). (13)
Ми не будемо наводити складнi вирази для Ω, Θ, якi можуть бути
знайденi з (12).
Теорема 2. Система (9) сумiсна тiльки в тому випадку, коли
V =
h(v, w)∂wΦ
Φ
, W =
h(v, w)∂vΨ
Ψ
,
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 105
де функцiї Φ, Ψ задовольняють умовам
(h∂v)
n+1Ψ = 0, (h∂w)n+1Φ = 0.
Функцiю h можна представити у виглядi h = 1
Rvw
, де R – довiльна
достатньо гладка функцiя, Rv, Rw – частиннi похiднi по вiдповiдним
змiнним. Тодi функцiї Φ, Ψ можна представити у виглядi
Φ =
n+1∑
k=0
fk(v)Rkv , Ψ =
n+1∑
k=0
gk(w)Rkw,
де fk(v), gk(w) – довiльнi функцiї, i
V =
n+1∑
k=1
kfk(v)Rkv
n+1∑
k=0
fk(v)Rkv
, W =
n+1∑
k=1
kgk(w)Rkw
n+1∑
k=0
gk(w)Rkw
.
Вiдповiдне редуковане рiвняння матиме вигляд
h(v, w)
(
φvw + φv
∂wΦ
Φ
+ φw
∂vΨ
Ψ
)
= F (φ). (14)
Теорема 3. Система (10) сумiсна тiльки в тому випадку, коли
V =
λ∂vΦ
Φ
, ∂n+1
v Φ = 0, W ≡ 0.
Ми не можемо редукувати рiвняння (1) за допомогою анзаца (2)
до параболiчного рiвняння – у цьому випадку одна з змiнних буде
входити як параметр до редукованого звичайного диференцiального
рiвняння першого порядку.
Сумiснiсть та розв’язки таких системи для n = 3 були розглянутi
у [36]; для цього випадку були знайденi необхiднi та достатнi умови
сумiсностi та загальний розв’язок.
Система (11) сумiсна тiльки в тому випадку, коли V = W ≡ 0,
тобто редуковане рiвняння може бути лише алгебраїчним рiвнян-
ням F (u)=0. Таким чином, ми не можемо редукувати рiвняння (1)
за допомогою анзаца (2) до рiвняння першого порядку.
Доведення цих теорем проводиться iз застосуванням лем, ана-
логiчних наведеним у [33, 34], та вiдомої теореми Гамiльтона–Келi,
згiдно з якою матриця є коренем свого характеристичного полiнома.
106 I.А. Єгорченко
Ми наведемо короткий напис доведення для теореми 2 для гiпер-
болiчного випадку. Для iнших випадкiв доведення є аналогiчним.
Ми будемо оперувати з матрицями розмiрностi (n + 1) × (n + 1)
других похiдних функцiй v та w:
V̂ = {vµν}, Ŵ = {wµν}.
Щодо операцiй з цими матрицями ми використовуємо звичайнi для
простору Мiнковського позначення та домовленостi щодо пiдсумову-
вання: v0 = i∂x0
, va = −i∂xa(a = 1, . . . , n), vµvµ = v2
0 − v2
1 − · · · − v2
n.
Лема 1. Якщо функцiї v та w є розв’язками системи (9), для будь-
якого k для них виконуються спiввiдношення
trV̂ =
(−1)k
(k − 1)!
(h(v, w)∂w)k+1V (v, w),
trŴ =
(−1)k
(k − 1)!
(h(v, w)∂v)
k+1W (v, w).
Лема 2. Якщо функцiї v та w є розв’язками системи (9), det V̂ = 0,
det Ŵ = 0.
Лема 3. Нехай Mk(V̂ ) – сума головних мiнорiв порядку k для ма-
трицi V̂ . Якщо функцiї v та w є розв’язками системи (9), для будь-
якого k для них виконуються спiввiдношення
Mk(V̂ ) =
(h(v, w)∂w)kΦ
k!Φ
, Mk(Ŵ ) =
(h(v, w)∂v)
kΨ
k!Ψ
,
де функцiї Φ, Ψ задовольняють умовам
(h∂v)
n+1Ψ = 0, (h∂w)n+1Φ = 0.
Цi леми можуть бути доведенi методом математичної iндукцiї
аналогiчно [34] з використанням теореми Гамiльтона–Келi (E – оди-
нична матриця розмiрностi (n+ 1)× (n+ 1)).
n−1∑
k=0
(−1)kMkV̂
n−k + (−1)nE det V̂ = 0.
Очевидно, що твердження теореми 2 є прямим наслiдком леми 3
для k = 1.
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 107
Зауваження 1. Рiвняння (8) можна переписати для пари дiйсних
функцiй ω = Re v, θ = Im v. Проте в цьому випадку необхiднi умови
сумiсностi мають дуже громiздкий вигляд.
Зауваження 2. Перехiд вiд (7) до (8)–(11) зручний тiльки з точки
зору дослiдження сумiсностi. Знак виразу rs− q2 може змiнюватись
для рiзних y, z i перехiд розглядається тiльки в областi, де цей знак
постiйний.
3. Приклади розв’язкiв системи рiвнянь Даламбера–Га-
мiльтона. Наведемо явнi розв’язки систем типу (7) i вiдповiднi ре-
дукованi рiвняння. Параметри aµ, bµ, cµ, dµ (µ = 0, 3) задовольняють
умовам:
−a2 = b2 = c2 = d2 = −1 (a2 ≡ a2
0 − a2
1 − · · · − a2
3),
ab = ac = ad = bc = bd = cd = 0;
y, z – функцiї вiд x0, x1, x2, x3.
1) y = ax, z = dx, ϕyy − ϕzz = F (ϕ);
2) y = ax, z =
(
(bx)2 + (cx)2 + (dx)2
)1/2
,
ϕyy − ϕzz −
2
z
ϕz = F (ϕ).
У цьому випадку редуковане рiвняння є так званим радiальним хви-
льовим рiвнянням, симетрiя та розв’язки якого дослiджуються у [44,
45].
3) y = bx+ Φ(ax+ dx), z = cx, −ϕzz − ϕyy = F (ϕ);
4) y =
(
(bx)2 + (cx2)
)1/2
, z = ax+ dx, −ϕyy −
1
y
ϕy = F (ϕ).
Умовна симетрiя та розв’язки рiзних нелiнiйних двовимiрних хви-
льових рiвнянь, якi можуть виникати як редукованi рiвняння для
рiвняння (1), розглянутi у [42–46]. З цих робiт також можна бачити,
що симетрiя двовимiрних редукованих рiвнянь часто є ширшою, нiж
симетрiя вихiдного рiвняння, тобто редукцiя до двовимiрних рiвнянь
дає можливiсть знаходження нових нелiївських розв’язкiв.
4. Висновки. Результати з дослiдження сумiсностi та розв’язки
систем (8)–(11) можуть використовуватись для дослiдження та по-
шуку розв’язкiв також iнших пуанкаре-iнварiантних хвильових рiв-
нянь, крiм рiвняння Даламбера, наприклад, рiвняння Дiрака та рiв-
нянь Максвелла для векторного потенцiалу.
108 I.А. Єгорченко
Будь-яке багатовимiрне рiвняння, iнварiантне вiдносно алгебри
Пуанкаре (такi рiвняння для скалярних функцiй описанi в роботi
В.I. Фущича та автора [47]), може бути редуковане за допомогою
анзаца (2) до двовимiрного рiвняння за умови, якщо y та z задо-
вольняють умовам редукцiї (7).
Таким чином, у цiй роботi
1) знайдено необхiднi умови сумiсностi для системи рiвнянь Да-
ламбера–Гамiльтона для двох залежних функцiй, тобто умов
редукцiї нелiнiйного багатовимiрного рiвняння Даламбера за
допомогою анзаца (2) до двовимiрного рiвняння; такi умови
сумiсностi для рiвнянь довiльної розмiрностi не можуть бути
знайденi за рахунок стандартної процедури;
2) знайдено можливi типи двовимiрних редукованих рiвнянь, якi
можуть бути одержанi з рiвняння (1) за допомогою анзаца (2).
Знайденi умови редукцiї та типи анзацiв можуть бути викори-
станi також для довiльного пуанкаре-iнварiантного багатовимiрного
рiвняння.
Досить часто у своїх роботах, разом з новими результатами та
iдеями, В.I. Фущич наводив перелiки задач, якi можуть розвивати
одержанi результати. Пiдтримуючи цю традицiю, я також хочу на-
вести перелiк наступних задач, якi можуть розвивати представленi
в цiй роботi дослiдження.
1. Дослiдження лiївської та умовної симетрiї системи умов редук-
цiї (7) (симетрiя системи рiвнянь Даламбера для комплексної
функцiї дослiджувалась у [49]).
2. Дослiдження лiївської та умовної симетрiї редукованих рiвнянь
(12) та (14), а також можливих редукованих рiвнянь першого
порядку. Знаходження точних розв’язкiв редукованих рiвнянь.
3. Зв’язок групи еквiвалентностi класу редукованих рiвнянь з си-
метрiєю вихiдного рiвняння.
4. Групова класифiкацiя редукованих рiвнянь.
5. Знаходження достатнiх умов сумiсностi та загального розв’яз-
ку умов сумiсностi (7) для менших розмiрностей (n = 2, 3).
6. Знаходження та дослiдження умов сумiсностi та класiв редуко-
ваних рiвнянь для iнших типiв рiвнянь, зокрема, для пуанкаре-
iнварiантних скалярних рiвнянь.
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 109
Я хочу подякувати Р.З. Жданову за кориснi коментарi та по-
силання.
[1] Фущич В.I., Єгорченко I.А. Про редукцiю багатовимiрного нелiнiйного хви-
льового рiвняння до двовимiрних рiвнянь // Доповiдi АН УРСР, Сер. А,
фiз.-мат. i техн. науки. – 1990. – № 8. – C. 32–34 (див. math-ph/0610020).
[2] Фущич В.И. Симметрия в задачах математической физики / Теоретико-
алгебраические исследования в математической физике. – Киев: Ин-т ма-
тематики АН УССР, 1981. – C. 6–28.
[3] Grundland A., Harnad J., Winternitz P. Symmetry reduction for nonlinear
relativistically invariant equations // J. Math. Phys. – 1984. – 25. – P. 791–807.
[4] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука, 1978. – 400 с.
[5] Olver P. Application of Lie groups to differential equations. – New York: Sprin-
ger Verlag, 1987.
[6] Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные
решения нелинейных уравнений математической физики. – Киев: Наук.
думка, 1989. – 336 с.
Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I. Symmetry analysis and exact soluti-
ons of nonlinear equations of mathematical physics. – Dordrecht: Kluwer Publi-
shers, 1993.
[7] Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and differential equations. – New York:
Springer Verlag, 1989.
[8] Tajiri M. Some remarks on similarity and soliton solutions of nonlinear Klein–
Gordon equations // J. Phys. Soc. Japan. – 1984. – 53. – P. 3759–3764.
[9] Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H., Subgroups of the Poincaré
group and their invariants // J. Math. Phys. – 1976. – 17. – P. 977–985.
[10] Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the
nonlinear many-dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equation //
J. Phys. A: Math. Gen. – 1983. – 16. – P. 3645–3656.
[11] Фущич В.I., Баранник А.Ф. Про точнi розв’язки нелiнiйного рiвняння
Даламбера у просторi Мiнковського R(1, n) // Доповiдi НАН України,
Сер. А. – 1990. – № 6. – C. 31–34.
Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп
Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений – Киев: Наук. думка,
1991. – 304 c.
Фущич В.И., Баранник А.Ф. Максимальные подалгебры ранга n > 1 алге-
бры AP (1, n) и редукция нелинейных волновых уравнений. I // Укр. мат.
журн. – 1990. – 42. – C. 1250–1256.
Фущич В.И., Баранник А.Ф. Максимальные подалгебры ранга n > 1 алгеб-
ры AP (1, n) и редукция нелинейных волновых уравнений. II // Укр. мат.
журн. – 1990. – 42. – C. 1693–1700.
[12] Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Фущич В.И. Редукция многомерного пуан-
каре-инвариантного нелинейного уравнения к двумерным уравнениям //
Укр. мат. журн. – 1991. – 43. – C. 1311–1323.
110 I.А. Єгорченко
[13] Фущич В.I., Баранник А.Ф., Москаленко Ю.Д. Про новi точнi розв’язки
багатовимiрного нелiнiйного рiвняння Даламбера // Доповiдi НАН Украї-
ни. – 1995. – № 2. – C. 33–37.
[14] Clarkson P.A., Kruskal M. New similarity reductions of the Boussinesq equati-
ons // J. Math. Phys. – 1989. – 30. – P. 2201–2213.
[15] Clarkson P.A., Mansfield E.L. Algorithms for the nonclassical method of sym-
metry reductions // SIAM J. Appl. Math. – 1994. – 54. – P. 1693–1719 (see
solv-int/9401002).
[16] Olver P. Direct reduction and differential constraints // Proc. Roy. Soc. Lon-
don A. – 1994. – 444. – P. 509–523.
[17] Фущич В.И. Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? /
Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики. –
Киев: Ин–т математики АН УССР, 1987. – C. 4–16.
[18] Фущич В. I., Жданов Р.З. Умовна симетрiя та редукцiя диференцiальних
рiвнянь в частинних похiдних // Укр. мат. журн. – 1992. – 44. – C. 970–982.
[19] Olver P.J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differenti-
al equations // Phys. Lett. A. – 1986. – 114. – P. 107–112.
[20] Levi D., Winternitz P. Non-classical symmetry reduction: example of the Boussi-
nesq equation // J. Phys. A: Math. Gen. – 1989. – 22. – P. 2915–2924.
[21] Zhdanov R.Z., Tsyfra I.M., Popovych R.O. A precise definition of reduction of
partial differential equations // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 238. – P. 101–
123.
[22] Cicogna G. A discussion on the different notions of symmetry of differential
equations // Proceedings of Institute of Mathematics, Kyiv. – 2004. – 50,
Part 1. – P. 77–84.
[23] Fushchych W.I. Ansatz–95 // J. Nonlinear Math. Phys. – 1995. – 2. – P. 216–
235.
[24] Фущич В.I., Баранник А.Ф. Про новий метод побудови розв’язкiв нелiнiй-
них хвильових рiвнянь // Доповiдi НАН України. – 1996. – № 10. – C. 48–51.
[25] Bateman H. Partial differential equations of mathematical physics. – Cambrid-
ge: Univ. Press, 1922.
Bateman H. Mathematical analysis of electrical and optical wave-motion. – New
York: Dover, 1955.
[26] Смирнов В.И., Соболев С.Л. Новый метод решения плоской задачи упру-
гих колебаний // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. – 1932. – 20. – C. 37–40.
Смирнов В.И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упру-
гих колебаний в пространстве при наличии осевой симметрии // Тр. Сей-
смол. ин-та АН СССР. – 1933. – 29. – C. 43–51.
Соболев С.Л. Функционально-инвариантные решения волнового уравне-
ния // Тр. физ.-мат. ин–та им. В.А. Стеклова. – 1934. – 5. – C. 259–264.
[27] Еругин Н.П. О функционально-инвариантных решениях // Доклады
АН СССР. – 1944. – 5. – C. 385–386.
[28] Cartan E. Oeuvres completes. V. 1–6. – Paris: Gauthier-Villars, 1952–1955.
[29] Фущич В.И., Жданов Р.З., Ревенко И.В. Общие решения нелинейного вол-
нового уравнения и уравнения эйконала // Укр. мат. журн. – 1991. – 43. –
C. 1471–1486.
Редукцiя рiвнянь Даламбера до двовимiрних рiвнянь 111
[30] Фущич В.И., Жданов Р.З. Нелинейные спинорные уравнения: симметрия
и точные решения. – Киев: Наук. думка, 1992, 228 с.
Fushchych W.I., Zhdanov R.Z. Symmetries of nonlinear Dirac equations. – Kyiv,
Mathematical Ukraina Publishers, 1997. – 384 p.
[31] Collins S.B. Complex potential equations. I // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. –
1976. – 80. – P. 165–187.
Collins S.B. All solutions to a nonlinear system of complex potential equa-
tions // J. Math. Phys. – 1980. – 21. – P. 240–248.
[32] Cieciura G., Grundland A. A certain class of solutions of the nonlinear wave
equation // J. Math. Phys. – 1984. – 25. – P. 3460–3469.
[33] Fushchych W.I., Zhdanov R.Z. On some new exact solutions of the nonlinear
d’Alembert–Hamilton system // Phys. Lett. A. – 1989. – 141, N 3–4, 113–115.
[34] Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Yegorchenko I.A. On reduction of the nonli-
near many-dimensional wave equations and compatibility of the d’Alembert–
Hamilton system // J. Math. Anal. Appl. – 1991. – 160. – P. 352–360.
[35] Фущич В.И., Жданов Р.З., Ревенко И.В. Совместность и решения нелиней-
ных уравнений Даламбера и Гамильтона. – 1990. – 65 с. (Препр. / АН УССР.
– Киев: Ин-т математики. – 90.39).
[36] Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Revenko I.V. On the general solution of the
d’Alembert equation with a nonlinear eikonal constraint and its applications //
J. Math. Phys. – 1995. – 36. – P. 7109–7127.
[37] Barannyk A., Yuryk I. On some exact solutions of nonlinear wave equations //
Proceedings of the Second International Conference “Symmetry in Nonlinear
Mathematical Physics” (July 7–13, 1997, Kyiv). – Kyiv: Institute of Mathema-
tics, 1997. – 1. – P. 98–107.
[38] Zhdanov R., Panchak O. New conditional symmetries and exact solutions of the
nonlinear wave equation // J. Phys. A: Math. Gen. – 1998. – 31. – P. 8727–8734.
[39] Шульга М.В. Симметрия и некоторые точные решения уравнения Далам-
бера с нелинейным условием / Теоретико-групповые исследования уравне-
ний математической физики. – Киев: Ин–т математики АН УССР, 1985. –
C. 36–38.
[40] Fushchych W.I., Tsyfra I.M. On a reduction and solutions of the nonlinear wave
equations with broken symmetry // J. Phys. A: Math. Gen. – 1987. – 20. – L45–
L48.
[41] Фущич В.И., Серов Н.И. Условная инвариантность нелинейных уравнений
Даламбера, Лиувилля, Борна–Инфельда и Монжа–Ампера относительно
конформной алгебры / Симметрийный анализ и рещения уравнений мате-
матической физики. – Киев: Ин–т математики АН УССР, 1988. – C. 98–102
[42] Єгорченко I.А., Воробйова A.I. Умовна iнварiантнiсть та точнi розв’язки
рiвняння Клейна–Гордона–Фока // Доповiдi НАН України. – 1992. – № 3. –
C. 19–22.
[43] Euler M., Euler N. Symmetries for a class of explicitly space- and time-
dependent (1+1)-dimensional wave equations // J. Nonlinear Math. Phys. –
1994. – 1. – P. 70–78.
[44] Anco S.C., Liu S. Exact solutions of semilinear radial wave equations in n
dimensions // J. Math. Anal. Appl. – 2004. – 297. – P. 317–342 (see math-
ph/0309049).
112 I.А. Єгорченко
[45] Yehorchenko I.A., Vorobyova A.I. Sets of conditional symmetry operators and
exact solutions for wave and generalised heat equations // Proceedings of Insti-
tute of Mathematics, Kyiv. – 2004. – 50, Part 1. – P. 298–303 (see math-
ph/0304029).
[46] Cicogna G., Ceccherini F., Pegoraro F. Applications of symmetry methods to
the theory of plasma physics // SIGMA. – 2006. – 2, Paper 017. – 17 p.
[47] Fushchych W.I., Yegorchenko I.A. Second-order differential invariants of the
rotation group O(n) and of its extension E(n), P (l, n) // Acta Appl. Math. –
1992. – 28. – P. 69–92.
[48] Zhdanov R.Z. On conditional symmetries of multidimensional nonlinear equati-
ons of quantum field theory / Proceedings of the Second International
Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (July 7–13, 1997,
Kyiv). – Kyiv: Institute of Mathematics, 1997. – 1. – P. 53–61.
[49] Fushchych W.I., Yegorchenko I.A. The symmetry and exact solutions of the
nonlinear d’Alembert equation for complex fields // J. Phys. A: Math. Gen. –
1989. – 22. – P. 2643–2652.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-385 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:31Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/d7/4b38f0d27bd3a77fe05bf3a83ea279d7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3852020-08-13T10:42:30Z Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations Редукція багатовимірних нелінійних рівнянь Даламбера до двовимірних рівнянь: анзаци, сумісність умов редукції, редуковані рівняння Yehorchenko, I. Єгорченко, І. We study conditions of reduction of multidimensional wave equations - of a system of d'Alembert and Hamilton equations. Necessary conditions for compatibility of such reduction conditions are proved. Possib\-le types of the reduced equations and ansatzes are described. We also provide a brief review of the literature with respect to compatibility of the system of d'Alembert and Hamilton equations and construction of solutions for the nonlinear d'Alembert equation. Вивчені умови редукції багатовимірних хвильових рівнянь - системи з рівнянь Даламбера та Гамільтона. Доведені необхідні умови сумісності цих умов редукції. Описані можливі типи редукованих рівнянь та анзаців. Наведено короткий огляд літератури щодо сумісності системи рівнянь Даламбера та Гамільтона та побудови розв'язків нелінійного рівняння Даламбера. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/385 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 98-112 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 98-112 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 98-112 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/385/385 Авторське право (c) 2006 І. Єгорченко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Yehorchenko, I. Єгорченко, І. Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| title | Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| title_alt | Редукція багатовимірних нелінійних рівнянь Даламбера до двовимірних рівнянь: анзаци, сумісність умов редукції, редуковані рівняння |
| title_full | Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| title_fullStr | Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| title_full_unstemmed | Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| title_short | Reduction of multi-dimensional d'Alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| title_sort | reduction of multi-dimensional d'alembert equations to two-dimensional equations: ansatzes, compatibility of the reduction conditions, reduced equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/385 |
| work_keys_str_mv | AT yehorchenkoi reductionofmultidimensionald039alembertequationstotwodimensionalequationsansatzescompatibilityofthereductionconditionsreducedequations AT êgorčenkoí reductionofmultidimensionald039alembertequationstotwodimensionalequationsansatzescompatibilityofthereductionconditionsreducedequations AT yehorchenkoi redukcíâbagatovimírnihnelíníjnihrívnânʹdalamberadodvovimírnihrívnânʹanzacisumísnístʹumovredukcííredukovanírívnânnâ AT êgorčenkoí redukcíâbagatovimírnihnelíníjnihrívnânʹdalamberadodvovimírnihrívnânʹanzacisumísnístʹumovredukcííredukovanírívnânnâ |