Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition

In this article we consider the problem of group classification of general second-order evolution equation. We find the complete list of such equations whose groups of local transformations have nontrivial Levi decomposition.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Zhdanov, R., Lahno, V., Жданов, Р., Лагно, В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/387
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552885243346944
author	Zhdanov, R. Lahno, V. Жданов, Р. Лагно, В.
author_facet	Zhdanov, R. Lahno, V. Жданов, Р. Лагно, В.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Р. Жданов", "institution": null }, { "author": "В. Лагно", "institution": null } ]
author_sort	Zhdanov, R.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-08-13T10:42:30Z
description	In this article we consider the problem of group classification of general second-order evolution equation. We find the complete list of such equations whose groups of local transformations have nontrivial Levi decomposition.
first_indexed	2026-08-04T01:06:32Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 124–147 УДК 517.9:519.46 Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння другого порядку: iнварiантнiсть вiдносно груп локальних перетворень з нетривiальним розкладом Левi Р.З. ЖДАНОВ †, В.I. ЛАГНО ‡ † Iнститут математики НАН України, Київ E-mail: renat@imath.kiev.ua ‡ Полтавський держ. пед. унiверситет iм. В.Г. Короленка E-mail: lvi@pdpu.poltava.ua В статтi розглядається задача групової класифiкацiї загального рiв- няння еволюцiйного типу другого порядку. Отримано повний перелiк рiвнянь цього типу, групи локальних перетворень яких мають нетри- вiальний розклад Левi. In this article we consider the problem of group classification of general second-order evolution equation. We find the complete list of such equati- ons whose groups of local transformations have nontrivial Levi decomposi- tion. 1. Вступ. Об’єктом наших дослiджень є рiвняння, що належать до класу рiвнянь еволюцiйного типу ut = F (t, x, u, ux, uxx). (1) В (1) i далi u = u(t, x), ut = ∂u ∂t , ux = ∂u ∂x , uxx = ∂2u ∂x2 , функцiя F – довiльна гладка функцiя. Слiд вiдзначити, що рiвняння вигляду (1) займають одне з чiль- них мiсць серед фундаментальних рiвнянь сучасного природознав- ства. До рiвнянь цього типу приводять задачi опису процесiв тепло– i масообмiну, механiки суцiльного середовища, росту популяцiй, фi- зики моря (для опису розподiлу коливань температури i солоностi моря вiдносно глибини) i т.п. Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 125 Одним iз унiверсальних методiв дослiдження диференцiальних рiвнянь сучасної математичної фiзики є їх груповий аналiз, основ- нi поняття i факти якого можна знайти, наприклад, в [1–4]. Але, ефективнiсть застосування цього методу безпосередньо пов’язана iз наявнiстю у дослiджуваного рiвняння нетривiальних групових вла- стивостей. У зв’язку iз цим важливою постає задача групової кла- сифiкацiї диференцiальних рiвнянь, яка для рiвняння (1) звучить так: описати всi рiвняння даного вигляду, що мають нетривiальнi симетрiйнi властивостi. Першим систематично дослiджував симетрiйнi властивостi рiв- нянь вигляду (1) ще Софус Лi [5]. Сучасну постановку задачi гру- пової класифiкацiї диференцiальних рiвнянь здiйснив Л.В. Овсяннi- ков у вiдомiй статтi [6], де вiн запропонував метод (Лi–Овсяннiкова) розв’язування задачi групової класифiкацiї i здiйснив групову кла- сифiкацiю нелiнiйного рiвняння теплопровiдностi. Ця стаття покла- ла початок численним циклам робiт з групової класифiкацiї дифе- ренцiальних рiвнянь взагалi i диференцiальних рiвнянь вигляду (1), зокрема. Досить повний аналiз результатiв робiт, присвячених групо- вiй класифiкацiї диференцiальних рiвнянь, станом на початок 90-х рокiв минулого столiття можна знайти в [7]. Видiлимо лише робо- ти [8–20], в яких було здiйснено групову класифiкацiю рiвнянь ви- гляду (1). Слiд вiдзначити, що в цих роботах для групової класифiка- цiї дослiджуваних рiвнянь було використано метод Лi–Овсяннiкова, оскiльки всi вони мiстили довiльнi функцiї однiєї змiнної. Подальшого прогресу у розв’язуваннi задачi групової класифiка- цiї нелiнiйних диференцiальних рiвнянь вигляду (1) було досягнуто в роботах [21,22], де запропоновано новий пiдхiд до групової класи- фiкацiї диференцiальних рiвнянь i проведено групову класифiкацiю рiвнянь ut = uxx + f(t, x, u, ux), ut = f(t, x, u, ux)uxx + g(t, x, u, ux), та в роботах [23–25], де, вiдповiдно, проведено груповий аналiз рiв- няння Шрьодiнгера, еволюцiйного рiвняння третього порядку й хви- льового рiвняння. Ми, слiдуючи роботам [21, 22], розв’язуємо задачу групової кла- сифiкацiї найбiльш загального еволюцiйного рiвняння другого по- рядку в двовимiрному просторi-часi. Оскiльки групова класифiкацiя 126 Р.З. Жданов, В.I. Лагно лiнiйних рiвнянь вигляду (1) є добре вивченою, розглядається зада- ча групової класифiкацiї нелiнiйних рiвнянь вигляду (1), а саме, тут ми здiйснюємо опис тих рiвнянь, якi допускають групи локальних перетворень з нетривiальним розкладом Левi та є нееквiвалентними лiнiйним рiвнянням. 2. Попереднiй симетрiйний аналiз нелiнiйного еволюцiй- ного рiвняння. Згiдно з вiдомим алгоритмом Лi [1–4], група ло- кальних перетворень, яку може допускати рiвняння вигляду (1), ге- нерується iнфiнiтезимальними операторами вигляду v = τ∂t + ξ∂x + η∂u, (2) де τ = τ(t, x, u), ξ = ξ(t, x, u), η = η(t, x, u) – довiльнi дiйснi гладкi функцiї, визначенi в просторi V = R2 × R1 незалежних R2 = 〈t, x〉 та залежної R1 = 〈u〉 змiнних. Умова iнварiантностi рiвняння (1) вiдносно оператора (2) має вигляд ϕt − τFt − ξFx − ηFu − ϕxFux − ϕxxFuxx ∣∣ (1) = 0, (3) де ϕt = Dt(η)− utDt(τ)− uxDt(ξ), ϕx = Dx(η)− utDx(τ)− uxDx(ξ), ϕxx = Dx(ϕx)− utxDx(τ)− uxxDx(ξ), Dt = ∂t + ut∂u + utt∂ut + utx∂ux + · · · , Dx = ∂x + ux∂u + utx∂ut + uxx∂ux + · · · , умова ∣∣ (1) в (3) означає замiну ut у виразах для ϕt, ϕx, ϕxx на F . Провiвши стандартний аналiз спiввiдношення (3), переконуємося у справедливостi такого твердження. Твердження 1. Група iнварiантностi рiвняння (1) генерується iнфiнiтезимальними операторами вигляду v = τ(t)∂t + ξ(t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u, (4) де функцiї τ , ξ, η та функцiя F в рiвняннi (1) задовольняють таку рiвнiсть: ηt − uxξt + (ηu − τt − uxξu)F = = [ηx + ux(ηu − ξx)− u2 xξu]Fux + Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 127 + [ηxx + ux(2ηxu − ξxx) + u2 x(ηuu − 2ξxu)− u3 xξuu + + uxx(ηu − 2ξx)− 3uxuxxξu]Fuxx + τFt + ξFx + ηFu. (5) Рiвнiсть (5) називатимемо класифiкуючим рiвнянням. Оскiльки прямий повний аналiз класифiкуючого рiвняння (5) є неможливим, ми для групової класифiкацiї рiвняння (1) будемо ви- користовувати метод, запропонований в роботах [21, 22]. Для цього, перш за все, вияснимо, якi iз перетворень простору V складають гру- пу еквiвалентностi рiвняння (1) (надалi ми позначаємо її E ). Взага- лi кажучи, групу E складають тi iз взаємооднозначних перетворень простору V t̄ = α(t, x, u), x̄ = β(t, x, u), v = γ(t, x, u), D(α, β, γ) D(t, x, u) 6= 0, (6) якi залишають диференцiальну структуру (вигляд) рiвняння (1) не- змiнною. Виконавши замiну змiнних (6) в рiвняннi (1) i вимагаючи, щоб трансформоване рiвняння мало вигляд vt̄ = Φ(t̄, x̄, v, vx̄, vx̄x̄), де Φ – довiльна гладка функцiя своїх аргументiв, приходимо до та- кого результату. Твердження 2. Групу E рiвняння (1) становлять такi перетво- рення: t̄ = T (t), x̄ = X(t, x, u), v = U(t, x, u), T ′ = dT dt 6= 0, D(X,U) D(x, u) 6= 0. (7) Метод групової класифiкацiї, який ми використовуємо, передба- чає, перш за все, використання перетворень (7) для спрощення ви- гляду iнфiнiтезимальних операторiв, якi можуть складати базис ал- гебр iнварiантностi рiвнянь вигляду (1). Замiна змiнних (7) транс- формує оператор (4) в оператор ṽ = τT ′∂t̄ + (τXt + ξXx + ηXu)∂x̄ + (τUt + ξUx + ηUu)∂v. (8) Якщо в операторi (4) τ 6= 0, то, поклавши функцiю T рiвною розв’яз- ковi рiвняння τT ′ = 1, а функцiї X, U – рiвними фундаментальним 128 Р.З. Жданов, В.I. Лагно розв’язкам системи рiвнянь τXt + ξXx + ηXu = 0, τUt + ξUx + ηUu = 0, D(X,U) D(x, u) 6= 0, бачимо, що оператор (8) зводиться до оператора ṽ = ∂t̄. Якщо ж в операторi (4) τ = 0, то обов’язково або ξ 6= 0, або η 6= 0. Якщо в (4) ξ 6= 0, η = 0, то замiна змiнних t̄ = t, x̄ = u, v = x, перетворення якої належать до групи E , зводять оператор (4) в оператор ṽ = ξ(t̄, x̄, v)∂v. Отже, з точнiстю до еквiвалентностi, яку визначає дiя перетворень з групи E , можемо вважати, що коли τ = 0, то в (4) обов’язково η 6= 0. Але тодi, поклавши в перетвореннях (7) функцiї X та U рiвними ненульовим розв’язкам рiвнянь ξXx+ηXu = 0, ξUx+ηUu = 1, бачимо, що у цьому випадковi оператор (8) зводиться до оператора ṽ = ∂v. Отже, має мiсце така лема. Лема 1. Оператор (4) є еквiвалентним одному з таких двох опе- раторiв: v = ∂t, v = ∂u. Результати леми 1 дозволяють отримати i перший класифiкацiй- ний результат для рiвняння (1). Теорема 1. З точнiстю до еквiвалентностi iснують два класи не- лiнiйних рiвнянь вигляду (1), якi допускають максимальнi однопа- раметричнi групи iнварiантностi. Нижче наведено представники (їх канонiчний вигляд) цих класiв рiвнянь та вiдповiднi одновимiрнi алгебри Лi A1 операторiв симетрiї, якi генерують їх групи iнварi- антностi: ut = F (x, u, ux, uxx) : A1 1 = 〈∂t〉; ux = F (t, x, ux, uxx) : A2 1 = 〈∂u〉. Доведення. Якщо рiвняння (1) допускає однопараметричну групу iнварiантностi, то вона генерується iнфiнiтезимальним оператором вигляду (4), який, згiдно з результатами леми 1, є еквiвалентним одному з операторiв ∂t або ∂u. Для оператора ∂t класифiкуюче рiвняння (5) набуває вигляду Ft = 0, звiдки випливає, що F = F (x, u, ux, uxx). Аналогiчно пе- реконуємося, що у рiвняннi, iнварiантному вiдносно оператора ∂u, F = F (t, x, ux, uxx). Подальша пряма перевiрка показує, що у випадку довiльних зна- чень отриманих функцiй цi оператори генерують максимальнi групи Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 129 iнварiантностi вiдповiдних рiвнянь, тобто їх максимальнi алгебри iн- варiантностi збiгаються з A1 1 та A2 1. Теорема доведена. У подальшiй груповiй класифiкацiї ми розбиваємо множину рiв- нянь вигляду (1) з нетривiальними симетрiйними властивостями на два класи. Припустимо, що рiвняння вигляду (1) допускає k-вимiрну (k ≥ 1) максимальну алгебру iнварiантностi Ak = 〈v1, v2, . . . , vk〉 з базисними операторами vi = τ i∂t + ξi∂x + ηi∂u, i = 1, 2, . . . , k. (9) Якщо в операторах (9) τ i 6= 0 (i = 1, 2, . . . , k), то вiдповiдне iнварiан- тне рiвняння ми вiдносимо до рiвнянь першого класу. Якщо ж хоча б в одному з операторiв τ i ≡ 0, то вiдповiдне iнварiантне рiвняння ми вiдносимо до рiвнянь другого класу. Як випливає з результатiв леми 1 з точнiстю до еквiвалентностi ми завжди можемо один iз ба- зисних операторiв алгебри iнварiантностi рiвняння першого класу покласти рiвним ∂t, а для рiвняння другого класу – ∂u. Провiвши групову класифiкацiю рiвнянь кожного класу, ми отримаємо повний перелiк рiвнянь вигляду (1) з нетривiальними симетрiйними власти- востями. 3. Групова класифiкацiя рiвнянь першого класу. Згiдно з результатами теореми 1, серед рiвнянь першого класу найнижчi симетрiйнi властивостi має рiвняння ut = F (x, u, ux, uxx), (10) максимальною алгеброю iнварiантностi якого є одновимiрна алгебра Лi A1 1 = 〈∂t〉. Лема 2. Серед рiвнянь першого класу не iснують такi, максималь- нi алгебри iнварiантностi яких мiстили б як пiдалгебру двовимiрну абелеву алгебру Лi операторiв симетрiї. Доведення. Для доведення леми нам достатньо показати, що серед рiвнянь першого класу не iснують такi, якi б допускали двовимiрнi абелевi алгебри Лi операторiв симетрiї. Припустимо, що таке рiвняння iснує. Тодi один з базисних опе- раторiв, наприклад, v1 = ∂t, а другий (v2) має вигляд (4). Пере- вiрка комутацiйного спiввiдношення [v1, v2] = 0 показує, що в опе- раторi v2 τt = 0, ξt = 0, ηt = 0, тобто можемо покласти v2 = 130 Р.З. Жданов, В.I. Лагно ξ(x, u)∂x+η(x, u)∂u. Але тодi неважко показати, що iснують перетво- рення (8), якi залишають вигляд оператора v1 незмiнним, а опера- тор v2 зводять в оператор ṽ2 = ∂v. Отже дане рiвняння еквiвалентне такому, алгебра iнварiантностi якого збiгається з двовимiрною алге- брою Лi операторiв симетрiї 〈∂t, ∂u〉, тобто дане рiвняння є рiвнянням другого класу. Отримана суперечнiсть i доводить лему. З вiдомої теореми Левi–Мальцева (див., наприклад, [26]) випли- ває, що множина скiнченновимiрних дiйсних алгебр Лi вичерпується розв’язними алгебрами Лi та алгебрами Лi з нетривiальним факто- ром Левi. Оскiльки фактор Левi є деякою напiвпростою алгеброю Лi, то для повного опису рiвнянь першого класу з нетривiальними симетрiйними властивостями нам, перш за все, потрiбно отримати рiвняння, якi iнварiантнi вiдносно розв’язних та напiвпростих ал- гебр Лi операторiв симетрiї. 3.1. Iнварiантнiсть вiдносно розв’язних алгебр Лi. Серед дiйсних двовимiрних розв’язних алгебр Лi з точнiстю до iзоморфiзму розрiзняють двi алгебри: A2.1 = 〈e1, e2〉 : [e1, e2] = 0; A2.2 = 〈e1, e2〉 : [e1, e2] = e2. (11) Оскiльки алгебра A2.1 є абелевою то дослiдженню пiдлягають ли- ше тi рiвняння, якi можуть допускати алгебри Лi операторiв симе- трiї, що є iзоморфними алгебрi A2.2 При цьому побудову реалiзацiй алгебри A2.2 можна проводити поклавши один з базисних операто- рiв, наприклад, e2, рiвним оператору ∂t. Отже, нехай e2 = ∂t, а оператор e1 має вигляд (4), де τ 6= 0. Тодi з виконання другого комутацiйного спiввiдношення(11) випливає, що τt = −1, ξt = ηt = 0. Тому в реалiзацiї алгебри A2.2 можна покласти, що e1 = −t∂t + ξ(x, u)∂x + η(x, u)∂u. (12) Якщо в операторi (12) ξ = η = 0, то має мiсце реалiзацiя 〈−t∂t, ∂t〉. Якщо ж в (12) \|ξ\|+ \|η\| 6= 0, то неважко переконатися у тому, що iсну- ють такi перетворення з групи E , якi залишають вигляд оператора e2 незмiнним, а оператор e1 (12) зводять в оператор ẽ1 = −t̄∂t̄− v∂v. Отже, можна стверджувати, що з точнiстю до еквiвалентностi iснують двi реалiзацiї алгебри A2.2 〈−t∂t, ∂t〉, 〈−t∂t − u∂u, ∂t〉, якi можуть бути алгебрами iнварiантностi рiвнянь першого класу. Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 131 Перевiрка класифiкуючого рiвняння (5) для першої з реалiзацiй приводить до умови F = 0, звiдки випливає, що ця реалiзацiя не може бути алгеброю iнварiантностi дослiджуваних рiвнянь. Для другої реалiзацiї вiдповiдна процедура показала, що A2.2- iнварiантне рiвняння має вигляд ut = F (x, ω,w), ω = u−1ux, w = u−1uxx. Подальшому дослiдженню пiдлягають тi iз рiвнянь першого кла- су, якi допускають тривимiрнi розв’язнi алгебри Лi операторiв симе- трiї. Добре вiдомо (див., наприклад, [27]), що тривимiрнi розв’язнi дiйснi алгебри Лi A3 = 〈e1, e2, e3〉 з точнiстю до iзоморфiзму вичер- пуються двома розкладними A3.1 = A2.1 ⊕A1 : [ei, ej ] = 0, i, j = 1, 2, 3; A3.2 = A2.2 ⊕A1 : [e1, e2] = e2, [e1, e3] = [e2, e3] = 0 та сiмома нерозкладними алгебрами Лi: A3.3 : [e2, e3] = e1, [e1, e2] = [e1, e3] = 0; A3.4 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e1 + e2, [e1, e2] = 0; A3.5 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e2, [e1, e2] = 0; A3.6 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = −e2, [e1, e2] = 0; A3.7 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = qe2, [e1, e2] = 0 (0 < \|q\| < 1); A3.8 : [e1, e3] = −e2, [e2, e3] = e1, [e1, e2] = 0; A3.9 : [e1, e3] = qe1 − e2, [e2, e3] = e1 + qe2, [e1, e2] = 0 (q>0). Неважко побачити, що усi цi алгебри мiстять як пiдалгебру ал- гебру A2.1, а тому можна стверджувати, що серед рiвнянь першо- го класу не iснують такi, максимальними алгебрами iнварiантностi яких є тривимiрнi розв’язнi алгебри Лi операторiв симетрiї. Бiльше цього, наявнiсть композицiйного ряду в скiнченновимiрної розв’язної алгери Лi [27], дозволяє зробити такий висновок. Лема 3. З точнiстю до еквiвалентностi рiвнянням ut = F (x, ω,w), ω = u−1ux, w = u−1uxx, максимальною алгеброю iнварiантностi якого є двовимiрна алгебра Лi операторiв симетрiї 〈−t∂t−u∂u, ∂t〉, вичерпуються рiвняння пер- шого класу, якi iнварiантнi вiдносно розв’язних алгебр Лi. 132 Р.З. Жданов, В.I. Лагно 3.2. Iнварiантнiсть вiдносно напiвпростих алгебр Лi. З то- чнiстю до iзоморфiзму розрiзняють [26] двi найнижчi напiвпростi алгебри Лi, що мають розмiрнiсть рiвну трьом: so(3) : [e1, e2] = e3, [e1, e3] = −e2, [e2, e3] = e1; sl(2,R) : [e1, e2] = 2e2, [e1, e3] = −2e3, [e2, e3] = e1. Цi алгебри не мiстять [28] як пiдалгебру двовимiрну абелеву алге- бру A2.1. Аналiз структури напiвпростих алгебр Лi розмiрностей ви- щих за три (див., наприклад, [26]) показує, що всi цi алгебри мi- стять як пiдалгебри двовимiрнi абелевi алгебри. Отже, в даному ви- падковi дослiдженню пiдлягаює iснування лише SO(3)- та SL(2,R)- iнварiантних рiвнянь першого класу. Зупинимося спочатку на питаннi iснування реалiзацiй алгебри so(3). Нехай оператор e1 = ∂t, а оператори e2 та e3 мають вигляд (4). Тодi з виконання перших двох комутацiйних спiввiдношень, що ви- значають алгебру so(3), випливає, що e2 = C cos t∂t + (α cos t+ β sin t)∂x + (γ cos t+ θ sin t)∂u, e3 = [∂t, e2], де C – довiльна дiйсна стала, C 6= 0, α = α(x, u), β = β(x, u), γ = γ(x, u), θ = θ(x, u) – довiльнi дiйснi функцiї своїх аргументiв. Але виконання третього комутацiйнoго спiввiдношення приводить до рiвностi C2 = −1, яка не має сенсу в дiйснiй областi. Отже, не iснують SO(3)-iнварiантнi рiвняння першого класу. Тепер розглянемо питання про iснування реалiзацiй алгебри sl(2,R). Нехай тут e3 = ∂t, а оператори e1, e2 мають вигляд (4). Перевiривши виконання комутацiйних спiввiдношень, що визна- чають алгебру sl(2,R), та використавши тi iз перетворень з групи E , що не змiнюють вигляд оператора e3, переконуємося, що iснують такi нееквiвалентнi реалiзацiї алгебри sl(2,R): 〈2t∂t,−t2∂t, ∂t〉; 〈2t∂t + x∂x,−t2∂t − tx∂x, ∂t〉; 〈2t∂t + x∂x,−t2∂t − tx∂x + x2∂u, ∂t〉; 〈2t∂t + x∂x,−t2∂t + x(x2 − t)∂x, ∂t〉. Перша реалiзацiя не може бути алгеброю iнварiантностi рiвнянь ви- гляду (1). Для другої реалiзацiї iз класифiкуючого рiвняння (5) ви- пливає умова xux = 0. Отже, й друга реалiзацiя не може бути алге- брою iнварiантностi дослiджуваних рiвнянь. Для третьої реалiзацiї, Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 133 проiнтегрувавши визначальнi рiвняння, знаходимо, що F = x−1uux − x−2u2 + x−2F̃ (ω,w), ω = x2uxx − 2u, w = 2u− xux. Нарештi, для останньої реалiзацiї F = − 1 4x −1ux + x−3u−1 x F̃ (u, ω), ω = u−2 x uxx + 3x−1u−1 x . Отже, можемо пiдвести пiдсумок: серед рiвнянь першого класу iснують лише два рiвняння, якi iнварiантнi вiдносно напiвпростих алгебр Лi операторiв симетрiї, iзоморфних алгебрi sl(2,R). 3.3. Завершення групової класифiкацiї рiвнянь першого класу. Для завершення групової класифiкацiї рiвнянь першого кла- су залишається вивчити питання про наявнiсть рiвнянь, якi допу- скають алгебри Лi операторiв симетрiї з нетривiальним фактором Левi i ненульовим радикалом. Очевидно, що такими алгебрами iн- варiантностi можуть бути лише алгебри Лi операторiв симетрiї, якi розкладаються в напiвпрямi суми напiвпростої та розв’язної алгебр Лi. При цьому, як показано вище, розв’язна алгебра може бути або одновимiрною, або iзоморфною алгебрi A2.2. Структура таких алгебр з фактором Левi sl(2,R) вивчена в [29]. Згiдно з результатами цiєї роботи, не iснують алгебри Лi з вказаною вище властивiстю, а тому не iснують i рiвняння першого класу з нетривiальними симетрiйни- ми властивостями, окрiм рiвнянь, якi були отриманi вище. З iншого боку очевидним є те, що отриманi рiвняння мiстять довiльнi функцiї трьох i двох змiнних, а тому для деяких значень цих функцiй симе- трiйнi властивостi рiвнянь будуть розширюватися. Але такi рiвняння вже належатимуть до рiвнянь другого класу. Пiдведемо пiдсумок дослiдженням у виглядi теореми. Теорема 2. З точнiстю до еквiвалентностi серед рiвнянь першого класу лише три мають нетривiальнi симетрiйнi властивостi. Це рiвняння отримане в лемi 3, максимальна алгебра iнварiантностi якого iзоморфна алгебрi A2.2, та ще два SL(2,R)-iнварiантнi рiв- няння. Нижче наведено вигляд цих рiвнянь та реалiзацiї алгебри sl(2,R), якi є їх максимальними алгебрами iнварiантностi: ut = x−1uux − x−2u2 + x−2F̃ (ω,w), ω = x2uxx − 2u, w = 2u− xux : 134 Р.З. Жданов, В.I. Лагно sl1(2,R) = 〈2t∂t + x∂x,−t2∂t − tx∂x + x2∂u, ∂t〉; ut = − 1 4x −1ux + x−3u−1 x F̃ (u, ω), ω = u−2 x uxx + 3x−1u−1 x : sl2(2,R) = 〈2t∂t + x∂x,−t2∂t + x(x2 − t)∂x, ∂t〉. 4. Iнварiантнiсть рiвнянь другого класу вiдносно алгебр Лi з нетривiальним розкладом Левi. Як було вiдзначено вище, опис рiвнянь, iнварiантних вiдносно алгебр Лi операторiв симетрiї даного типу, передбачає, перш за все, опис рiвнянь вигляду ut = F (t, x, ux, uxx), Fuxx 6= 0, (13) iнварiантних вiдносно напiвпростих алгебр Лi операторiв симетрiї. Саме з опису таких рiвнянь ми i продовжуємо групову класифiкацiю рiвняння (1). 4.1. Iнварiантнiсть вiдносно напiвпростих алгебр Лi. Ос- кiльки рiвняння (13) допускає одновимiрну алгебру iнварiантностi A2 1 = 〈∂u〉, то один з базисних операторiв в напiвпростiй алгебрi Лi, якi будуть дослiдженi нижче, ми вiдразу можемо покласти рiвним ∂u. Знову стартуємо з розгляду найнижчих напiвпростих алгебр Лi. Випадок алгебри so(3). Нехай e1 = ∂u, а оператори e2 i e3 мають вигляд (4). З виконання перших двох комутацiйних спiввiдношень, що визначають алгебру so(3), випливає, що з точнiстю до еквiвален- тностi можемо покласти e3 = [∂te3], e2 = α(t, x) cosu∂x + [β(t, x) cosu+ γ(t, x) sinu]∂u. Перевiрка третього комутацiйного спiввiдношення приводить до умов: αβ = 0, αγx − β2 − γ2 = 1. (14) Якщо α = 0, то друга рiвнiсть (14) набуває вигляду β2 + γ2 = −1 i не має сенсу в дiйснiй областi. Якщо ж α 6= 0, β = 0, то замiна змiнних t̄ = t, x̄ = X(t, x) (αXx = 1), v = u, дозволяє покласти e2 = cosu∂x + γ(t, x) sinu∂u, e3 = [∂t, e2], де функцiя γ = γ(t, x) є розв’язком рiвняння γx = 1 + γ2, тобто γ = tan(x+ ϕ(t)). Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 135 Тому з точнiстю до еквiвалентностi, яку визначають перетворе- ння t̄ = t, x̄ = x + ϕ(t), v = u, γ = tanx. Отже, в заданому класi операторiв iснує одна реалiзацiя алгебри so(3), so1(3) = 〈∂u, cosu∂x + tanx sinu∂u,− sinu∂x + tanx cosu∂u〉, для якої розв’язок системи (5) має вигляд F = √ sec2 x+ u2 xF̃ (t, ω), (15) ω = [uxx cosx− (2 + u2 x cos2 x)ux sinx](1 + u2 x cos2 x)− 3 2 . Подальша пiдстановка функцiї F (15) у класифiкуюче рiвняння по- казала, що реалiзацiя so1(3) є максимальною алгеброю iнварiантно- стi отриманого рiвняння. Отже, має мiсце таке твердження. Лема 4. З точнiстю до еквiвалентностi iснує одне рiвняння ви- гляду (13) максимальна алгебра iнварiантностi якого iзоморфна ал- гебрi so(3). Нижче наведено канонiчний вигляд цього рiвняння та вiдповiдна максимальна алгебра iнварiантностi: ut = √ sec2 x+ u2 xF̃ (t, ω), F̃ω 6= 0, ω = [uxx cosx− (2 + u2 x cos2 x)ux sinx](1 + u2 x cos2 x)− 3 2 : so1(3) = 〈∂u, cosu∂x + tanx sinu∂u,− sinu∂x + tanx cosu∂u〉. Випадок алгебри sl(2,R). Нехай e3 = ∂u, а оператори e1, e2 мають вигляд (4). Тодi iз виконання комутацiйних спiввiдношень, якi визначають алгебру sl(2,R), випливає, що e2 = (αu+ β)∂x + (−u2 + γu+ θ)∂u, e1 = [∂u, e2], e3 = ∂u, де функцiї α = α(t, x), β = β(t, x), γ = γ(t, x), θ = θ(t, x) задовольня- ють спiввiдношення 2β = −αβx − αγ + βαx, 4θ = −αθx − γ2 + βγx. (16) Якщо в операторi e2 α 6= 0, то з точнiстю до еквiвалентностi, яку визначають перетворення t̄ = t, x̄ = X(t, x), v = u + U(t, x), де функцiї X (Xx 6= 0) та U задовольняють рiвняння αXx = X, XU = βXx, можемо покласти (в початкових позначеннях змiнних) e2 = xu∂x + (−u2 + γu+ θ)∂u, e1 = [∂u, e2], e3 = ∂u. 136 Р.З. Жданов, В.I. Лагно Тодi система рiвнянь (16) набуде вигляду xγ = 0, 4θ = −xθx − γ2, звiдки випливає, що γ = 0, θ = µ(t)x−4. Якщо µ = 0, то має мi- сце така реалiзацiя алгебри sl(2,R): 〈2u∂u − x∂x,−u2∂u + xu∂x, ∂u〉. Якщо ж µ 6= 0, то з точнiстю до еквiвалентностi, яку визначають пе- ретворення t̄ = t, x̄ = \|µ\|− 1 4x, v = u, приходимо до таких реалiзацiй алгебри sl(2,R): 〈2u∂u − x∂x, (x−4 − u2)∂u + xu∂x, ∂u〉, 〈2u∂u − x∂x,−(x−4 + u2) + xu∂x, ∂u〉. Якщо в операторi e2, α = 0, то, врахувавши спiввiдношення (16), неважко переконатися, що з точнiстю до еквiвалентностi має мiсце така реалiзацiя алгебри sl(2,R): 〈2u∂u,−u2∂u, ∂u〉. Подальша перевiрка показала, що остання реалiзацiя не може бу- ти алгеброю iнварiантностi рiвнянь вигляду (13). Першi три реалiза- цiї задовольняють умови сформульованої задачi i є максимальними алгебрами iнварiантностi рiвнянь дослiджуваного типу. Загальний результат дослiджень подано у наступному твердженнi. Лема 5. З точнiстю до еквiвалентностi iснують три рiвняння другого класу, максимальними алгебрами iнварiантностi яких є ал- гебри Лi операторiв симетрiї iзоморфнi алгебрi sl(2,R). Канонiчний вигляд цих рiвнянь та вiдповiднi максимальнi алгебри iнварiант- ностi подано нижче: ut = xuxF̃ (t, ω), ω = x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x : sl3(2,R) = 〈2u∂u − x∂x,−u2∂u + xu∂x, ∂u〉; ut = x−2 √ 4 + x6u2 xF̃ (t, ω), ω = (4 + x6u2 x)− 3 2 ( x4uxx + 5x3ux + 1 2x 9u3 x ) : sl4(2,R) = 〈2u∂u − x∂x, (x−4 − u2)∂u + xu∂x, ∂u〉; ut = x−2 √ \|x6u2 x − 4\|F̃ (t, ω), ω = \|x6u2 x − 4\|− 3 2 ( x4uxx + 5x3ux − 1 2x 9u3 x ) : sl5(2,R) = 〈2u∂u − x∂x,−(x−4 + u2)∂u + xu∂x, ∂u〉. У всiх отриманих рiвняннях F̃ω 6= 0. Нарештi, провiвши мiркування аналогiчнi тим, якi були зробленi в [22], неважко переконатися у справедливостi такої теореми. Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 137 Теорема 4. З точнiстю до еквiвалентностi рiвняннями, отрима- ними в лемах 4, 5, вичерпуються рiвняння другого класу, якi iнва- рiантнi вiдносно напiвпростих алгебр Лi операторiв симетрiї. 4.2. Iнварiантнiсть вiдносно алгебр Лi з з нетривiальним розкладом Левi. Наявнiсть перелiку нееквiвалентних рiвнянь ви- гляду (1), якi iнварiантнi вiдносно напiвпростих алгебр Лi операторiв симетрiї, дозволяє провести опис тих рiвнянь, алгебри iнварiантностi яких мають нетривiальний розклад Левi. Серед алгебр Лi з такою властивiстю розрiзняють алгебри Лi, якi розкладаються в пряму су- му напiвпростої та розв’язної алгебр Лi, та алгебри Лi, якi є напiв- прямими сумами фактора Левi та ненульового розв’язного радикалу. 4.2.1. Iнварiантнiсть вiдносно прямої суми напiвпростої та розв’язної алгебр Лi. Для опису таких рiвнянь нам достатньо провести розширення вiдомих реалiзацiй напiвпростих алгебр Лi в класi операторiв (4) до реалiзацiй алгебр Лi вказаного типу, а потiм перевiрити отриманi реалiзацiї на предмет того, чи можуть вони бу- ти алгебрами iнварiантностi рiвнянь дослiджуваного вигляду. При цьому подальшому розгляду пiдлягають як отриманi в лемах 4 та 5 рiвняння другого класу, так i рiвняння першого класу, максималь- ними алгебрами iнварiантностi яких є реалiзацiї sl1(2,R) та sl2(2,R). Зупинимося детально на випадковi sl1(2,R)-iнварiантного рiвнян- ня. Розширення реалiзацiї sl1(2,R) ми можемо проводити тими опе- раторами вигляду (4), якi комутують з базисними операторами алге- бри sl1(2,R) на нуль. Безпосередня перевiрка показує, що таку умову задовольняють оператори вигляду v = C1x∂x + (C2 + 2C1u)∂u, (17) де C1, C2 – довiльнi сталi. Далi неважко переконатися, що в класi операторiв (17) iснують реалiзацiї двох одновимiрних алгебр Лi L1: 〈∂u〉, 〈x∂x + 2u∂u〉; та однiєї двовимiрної алгебри Лi L2 = 〈∂u, x∂x + 2u∂u〉, яка iзоморфна алгебрi A2.2. Подальша перевiрка отриманих алгебр Лi операторiв симетрiї по- казала, що вони можуть бути алгебрами iнварiантностi рiвнянь ви- гляду (1). При цьому, в sl1(2,R)⊕ 〈∂u〉-iнварiантному рiвняннi F = 1 4u 2 x + x−2F̃ (ω), ω = x2uxx − xux; в sl1(2,R)⊕ 〈x∂x + 2u∂u〉-iнварiантному рiвняннi F = x−1uux − x−2u2 + x−2(2u− xux)2F̃ (ω), 138 Р.З. Жданов, В.I. Лагно ω = (x2uxx − 2u)(2u− xux)−1; а в sl12, (R)⊕ 〈∂u, x∂x + 2u∂u〉-iнварiантному рiвняннi F = mx2u2 xx − 2mxuxuxx + ( m+ 1 4 ) u2 x, m 6= 0. Також, безпосереднi обчислення показують, що знайденi реалiзацiї є максимальними алгебрами iнварiантностi вiдповiдних рiвнянь. Для реалiзацiї sl2(2,R) розширення можливi в класi операторiв v = η(u)∂u. (18) З точнiстю до еквiвалентностi в класi операторiв (18) iснує одна реалiзацiя одновимiрної алгебри Лi L1 = 〈∂u〉 та одна реалiзацiя дво- хвимiрної алгебри Лi L2 = 〈−u∂u, ∂u〉, при цьому L2 ∼ A2.2. А оскiль- ки в класi операторiв (18) не iснують реалiзацiї алгебри A2.1, то в цьо- му класi операторiв не iснуватимуть i реалiзацiї розв’язних алгебр Лi розмiрностей вищих за два. Отже, ми отримали два розширення реалiзацiї sl2(2,R), якi є максимальними алгебрами iнварiантностi рiвнянь вигляду (1). При цьому в sl2(2,R)⊕ 〈∂u〉-iнварiантному рiв- няннi F = − 1 4x −1ux + x−3u−1 x F̃ (ω), ω = u−2 x uxx + 3x−1u−1 x ; в sl2(2,R)⊕ 〈−u∂u, ∂u〉-iнварiантному рiвняннi F = − 1 4x −1ux +mx−3u−1 x (u−2 x uxx + 3x−1u−1 x )−2, m 6= 0. Аналогiчний розгляд реалiзацiї sl3(2,R) показав, що дослiджен- ню пiдлягають алгебри Лi в класi операторiв v = τ(t)∂t + ξ(t)x∂x. (19) Використавши тi iз перетворень з групи E , якi залишають вигляд базисних операторiв реалiзацiї sl3(2,R) незмiнним, неважко переко- натися, що з точнiстю до еквiвалентностi в класi операторiв (19) iснують три реалiзацiї одновимiрної алгебри Лi: 〈∂t〉, 〈x∂x〉, 〈tx∂x〉. Але, як показала безпосередня перевiрка, умовам сформульованої задачi задовольняють лише перша i третя реалiзацiї. Подальше пiд- вищення розмiрностi на одиницю привело до однiєї реалiзацiї алге- бри A2.1: 〈f(t)x∂x, tx∂x〉 ( d2f dt2 6= 0 ) , та двох реалiзацiй алгебри A2.2: Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 139 〈−t∂t −mx∂x, ∂t〉(m ∈ R), 〈t∂t, tx∂x〉. А оскiльки реалiзацiя алгебри A2.1 не задовольняє умовам сформульованої задачi, то отримани- ми вище чотирма реалiзацiями вичерпуються тi, якi задовольняють умовам сформульованої задачi. Цi реалiзацiї є максимальними алгеб- рами iнварiантностi вiдповiдних рiвнянь i при цьому в sl3(2,R)⊕〈∂t〉- iнварiантному рiвняннi F = xuxF̃ (ω), ω = x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x ; в sl3(2,R)⊕ 〈tx∂x〉-iнварiантному рiвняннi F = xux 4t ln ∣∣x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x ∣∣+ xuxF̃ (t); в sl3(2,R)⊕ 〈−t∂t −mx∂x, ∂t〉-iнварiантному рiвняннi F = λxux\|x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x \| 1 4m , λ 6= 0, m 6= 0,± 3 4 ; в sl3(2,R)⊕ 〈t∂t, tx∂x〉-iнварiантному рiвняннi F = xux 4t ln \|x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x \|+ λxux t , λ ∈ R. Провiвши аналогiчний розгляд реалiзацiй sl4(2,R), sl5(2,R) та so1(3), ми отримали ще три рiвняння, максимальними алгебрами iнварiан- тностi яких є алгебри Лi операторiв симетрiї, що розкладаються в пряму суму напiвпростого фактора Левi та розв’язної алгебри Лi. Нижче наведено реалiзацiї цих алгебр та значення функцiї F в iнва- рiантних рiвняннях: sl4(2,R)⊕ 〈∂t〉 : F = x−2 √ 4 + x6u2 xF̃ (ω), ω = (4 + x6u2 x)− 3 2 ( x4uxx + 5x3ux + 1 2x 9u3 x ) ; sl5(2,R)⊕ 〈∂t〉 : F = x−2 √ \|x6u2 x − 4\|F̃ (ω), ω = \|x6u2 x − 4\|− 3 2 ( x4uxx + 5x3ux − 1 2x 9u3 x ) ; so1(3)⊕ 〈∂t〉 : F = √ sec2 x+ u2 xF̃ (ω), ω = [uxx cosx− (2 + u2 x cos2 x)ux sinx](1 + u2 x cos2 x)− 3 2 . 4.2.2. Iнварiантнiсть вiдносно напiвпрямої суми напiвпро- стої та розв’язної алгебр Лi. Для опису рiвнянь цього типу буде- мо використовувати вiдому класифiкацiю [29] неiзоморфних алгебр, 140 Р.З. Жданов, В.I. Лагно якi розкладаються в напiвпряму суму фактора Левi i розв’язного радикала. Згiдно з результатами роботи [30], без втрати загальностi, ми мо- жемо обмежитися дослiдженням iснування рiвнянь, якi допускають алгебри iнварiантностi, що є напiвпрямими сумами напiвпростої та розв’язної алгебр Лi i мають розмiрнiсть не вищу за 6 (якщо фа- ктор Левi є iзоморфним so(3)), та не вищу за 5 (якщо фактор Левi є iзоморфним sl(2,R)). Також, використовуючи метод Лi–Овсяннiкова, ми здiйснили гру- пову класифiкацiю рiвнянь, iнварiантних вiдносно прямої суми на- пiвпростої та розв’язної алгебр Лi операторiв симетрiї, якi були отри- манi в попереднiх пунктах роздiлу. У подальшому ми будемо використовувати вiдомий (див., напри- клад, [22, 27]) перелiк неiзоморфних чотиривимiрних розв’язних ал- гебр Лi, згiдно з яким такi алгебри вичерпуються 10 розкладними алгебрами Лi A3.i ⊕ A1 (i = 1, 2, . . . , 9), 2A2.2 = A2.2 ⊕ A2.2 та 10 не- розкладними алгебрами Лi A4.i = 〈e1, e2, e3, e4〉 (i = 1, 2, . . . , 10) алге- брами Лi. В рамках сказаного вище, дослiдженню пiдлягає iснування рiвнянь, якi iнварiантнi вiдносно алгебр Лi sl(2,R)⊂+A2.1, so(3)⊂+A3.1. Оскiльки розгляд усiх випадкiв про водився аналогiчно, зупинимося детально на дослiдженнi iснування sl1(2,R)⊂+A2.1-iнварiантних рiв- нянь. Нехай sl(2,R) = 〈e1, e2, e3〉, A2.1 = 〈e4, e5〉. Тодi для sl1(2,R) e1 = 2t∂t + x∂x, e2 = −t2∂t − tx∂x + x2∂u, e3 = ∂t. Базиснi елемен- ти напiвпростої та розв’язної алгебр Лi зв’язанi такими ненульовими комутацiйними спiввiдношеннями: [e1, e4] = e4, [e1, e5] = −e5, [e2, e5] = e4, [e3, e4] = e5. (20) Поклавши оператори e4, e5 рiвними операторам вигляду (4) i пере- вiривши виконання комутацiйних спiввiдношень (20), приходимо до такого результату: в класi операторiв (4) з точнiстю до еквiвален- тностi iснують чотири реалiзацiї алгебри sl1(2,R)⊂+A2.1, де базиснi оператори алгебри A2.1 мають такий вигляд: 1) e4 = t∂x + 2tx−1u∂u, e5 = ∂x + 2x−1u∂u; 2) e4 = t∂x + (tx−1u− x)∂u, e5 = ∂x + x−1u∂u; 3) e4 = tx−1∂u, e5 = x−1∂u; 4) e4 = (tu+ x2)∂x+ (2ux+ 2tx−1u2)∂u, e5 = u∂x+ 2x−1u2∂u. Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 141 Подальша перевiрка отриманих реалiзацiй на предмет того, чи можуть вони бути алгебрами iнварiантностi рiвнянь вигляду (1), по- казала, що умовам сформульованої задачi задовольняють лише дру- га i четверта реалiзацiї. При цьому вiдповiднi iнварiантнi рiвняння мають такий вигляд: sl1(2,R)⊂+〈t∂x + (tx−1u− x)∂u, ∂x + x−1u∂u〉 : ut = λuxx + 2λx−2u− 2λx−1ux + x−1uux − x−2u2, λ 6= 0; sl1(2,R)⊂+〈(tu+ x2)∂x + 2(xu+ tx−1u2)∂u, u∂x + 2x−1u2∂u〉 : ut = x−1uux − x−2u2 + λx−2(2u− xux)× × (x2uxx + 2u− 2xux)−1, λ 6= 0. Вiдзначимо, що пряма перевiрка показала, що вiдповiднi реалiзацiї є максимальними алгебрами iнварiантностi отриманих рiвнянь. Далi ми прийшли до такого результату: для реалiзацiй sl2(2,R), sl4(2,R), sl5(2,R) в класi операторiв (4) не iснують розширення до реалiзацiй алгебри sl(2,R)⊂+A2.1, як i розширення реалiзацiї so1(3) до реалiзацiй алгебри so1(3)⊂+A3.1. До нових sl(2,R)⊂+A2.1-iнварiантних рiвнянь привiв розгляд реа- лiзацiї sl3(2,R) : sl3(2,R)⊂+〈−∂x + x−1u∂u, x −1∂u〉 : ut = x−1[xuxx + 2ux] 1 3F (t); (21) sl3(2,R)⊂+〈x2u∂x, x 2∂x〉 : ut = x3u2 x[xuxx + 2ux]− 1 3F (t). (22) Безпосередня перевiрка показала, що для отриманих рiвнянь вiдпо- вiднi алгебри iнварiантностi не є максимальними алгебрами iнварi- антностi. Але, перш за все, зауважимо, що оскiльки в отриманих рiвняннях F (t) 6= 0, то замiна змiнних t̄ = ∫ F (t)dt, x̄ = x, v = u, дозволяє покласти F ≡ 1. Далi, скориставшись алгоритмом Лi, ми отримали, що максимальна алгебра iнварiантностi рiвняння (21), в якому F = 1, збiгається з алгеброю sl3(2,R)⊂+〈∂t, x∂x + 4 3 t∂t, x −1∂u,−∂x + x−1u∂u〉, яка iзоморфна алгебрi Лi sl(2,R)⊂+ +A4.5 ( q = 1, p = 4 3 ) , а рiвняння (22), в якому F = 1 – з алгеброю sl3(2,R)⊂+〈∂t, 4 3 t∂t − x∂x, x 2u∂x, x 2∂x〉, яка iзоморфна алгебрi Лi sl(2,R)⊂+A4.5 ( q = 1, p = 4 3 ) . 142 Р.З. Жданов, В.I. Лагно Групова класифiкацiя рiвнянь, якi були отриманi в попередньо- му пунктi, показала таке. У випадковi sl1(2,R)⊕ 〈∂u〉-iнварiантного рiвняння пiдстановка функцiї F = 1 4u 2 x + x−2F̃ (ω), ω = x2uxx − xux, в класифiкуюче рiвняння (5) та подальше “розщеплення” отриманої рiвностi за степенями вiльної диференцiальної змiнної ux, приводить до такої системи диференцiальних рiвнянь для визначення значень функцiй τ , ξ, η та F̃ : [x−2(2x−1ξ + ηu − 2ξx)ω − x−1ηx + ηxx]F̃ω = = x−2(ηu − τt + 2x−1ξ)F̃ , (3x−2ξuω + ξxx + x−1ξx − x−2ξ − 2ηxu)F̃ω = = x−2ξuF̃ + 1 2ηx + ξt, (23) (2ξxu − ηuu + 2x−1ξu)F̃ω = 1 4ηu + 1 4τt − 1 2ξx, ξuuF̃ω = − 1 4ξu. Iз системи (23) неважко отримати вже вiдомий результат: якщо функцiя F̃ є довiльною функцiєю змiнної ω, то реалiзацiя sl1(2,R)⊕ 〈∂u〉 є максимальною алгеброю iнварiантностi вiдповiдного рiвняння. Структура двох останнiх рiвнянь системи (23) показує, що або функцiя F̃ є лiнiйною функцiєю змiнної ω, або ж ξu = ηuu = 0, 2ξx − ηu − τt = 0. (24) Якщо F̃ = λω + C, λ 6= 0, C ∈ R, то максимальною групою iнва- рiантностi дослiджуваного рiвняння буде нескiнченнопараметрична група локальних перетворень. А саме, якщо C 6= 3λ, то ця група бу- де генеруватися базисними операторами реалiзацiї. sl1(2,R)⊕〈∂u〉 та оператором v∞ = α(t, x) exp ( u 4λ ) ∂u, де функцiя α = α(t, x) є розв’яз- ком рiвняння αt = λαxx − λx−1αx − C 4λx −2α; якщо ж C = 3λ, то з’являються два додатковi оператори симетрiї t∂x + 2(λx−1t− x)∂u, ∂x + 2λx−1∂u. Але локальна замiна змiнних t̄ = t, x̄ = x, u = 4λ ln \|v\|, v = v(t̄, x̄), зводить отримане рiвняння до лiнiйного рiвняння теплопровiдностi vt̄ = λvx̄x̄− λx−1vx̄ + C 4λ x̄ −2v. Звiдси випливає, що отримане нелiнiй- не рiвняння є еквiвалентним при C = 3λ класичному рiвнянню те- плопровiдностi, при C 6= 3λ – лiнiйному рiвнянню теплопровiдностi, Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 143 а тому не задовольняє умовам сформульованої задачi i з подальшого розгляду вилучається. Якщо функцiя F̃ не є лiнiйною функцiєю змiнної ω, то, врахував- ши рiвностi (24), iз (23) отримуємо таку систему двох рiвнянь для визначення функцiй, τ , ξ = ξ(t, x), η = (2ξx − τx)u+ θ(t, x) i F̃ : [x−2(2x−1ξ + ηu − 2ξx)ω − x−1ηx + ηxx]F̃ω = = x−2(ηu − τt + 2x−1ξ)F̃ + ηt, (2ηxu − ξxx − x−1ξx + x−2ξ)F̃ω = − 1 2ηx − ξt. (25) Оскiльки випадок, коли F̃ є лiнiйною функцiєю змiнної ω ми вже дослiдили, класифiкуючим є перше з рiвнянь (25). Розглядаючи його як звичайне диференцiальне рiвняння вiдносно функцiї F̃ , неважко отримати, що вивченню пiдлягають такi її значення: F̃ = λ exp(pω) +m, λp 6= 0, m ∈ R; F̃ = λ ln \|ω + b\|+m, λ 6= 0, b,m ∈ R; F̃ = λ\|ω + b\|p +m, λp 6= 0, p 6= 1, b,m ∈ R. Безпосередня пiдстановка цих значень функцiї F̃ в рiвняння (25) по- казала, що розширення симетрiї вiдбувається лише тодi, коли F̃ = λω2, що вiдповiдає вже вiдомому sl1(2,R) ⊕ 〈∂u, x∂x + 2u∂u〉- iнварiантному рiвнянню. До цього ж рiвняння привело дослiдження i sl1(2,R) ⊕ 〈x∂x + 2u∂u〉-iнварiантного рiвняння. Аналогiчний розгляд решти отриманих в пунктi 4.2.1 рiвнянь привiв до таких результатiв: • sl2(2,R) ⊕ 〈∂u〉-iнварiантне рiвняння допускає розширення си- метрiї тодi, коли воно збiгається з рiвнянням, яке еквiвалентне sl2(2,R)⊕ 〈−u∂u, ∂u〉-iнварiантному рiвнянню; • sl3(2,R)⊕〈tx∂x〉-iнварiантне рiвняння допускає розширення си- метрiї, коли воно збiгається з рiвнянням, яке еквiвалентне sl3(2,R)⊕ 〈t∂t, tx∂x〉-iнварiантному рiвнянню; • sl3(2,R) ⊕ 〈∂t〉-iнварiантне рiвняння допускає розширення си- метрiї, коли воно збiгається з рiвнянням, яке еквiвалентне sl3(2,R)⊕〈−t∂t−mx∂x, ∂t〉-, sl3(2,R)⊕〈t∂t, tx∂x〉-, sl3(2,R)⊂+〈∂t, x∂x + 4 3 t∂t, x −1∂u,−∂x + x−1u∂u〉- або sl3(2,R)⊂+〈∂t, 4 3 t∂t − x∂x, x2u∂x, x 2∂x〉-iнварiантному рiвнянню; 144 Р.З. Жданов, В.I. Лагно • в рамках сформульованої задачi sl4(2,R)⊕〈∂t〉– sl5(2,R)⊕〈∂t〉- та so1(3) ⊕ 〈∂t〉-iнварiантнi рiвняння розширення симетрiї не допускають. 4.2.3. Рiвняння, iнварiантнi вiдносно алгебр Лi з нетривi- альним розкладом Левi. Тут ми пiдводимо пiдсумок дослiджень, якi проведенi в пiдроздiлi 4.2.2, i наводимо повний перелiк рiвнянь другого класу, максимальнi алгебри iнварiантностi яких мають не- тривiальний розклад Левi. sl1(2,R)⊕ 〈∂u〉 : ut = 1 4u 2 x + x−2F (ω), ω = x2uxx − xux; sl1(2,R)⊕ 〈x∂x + 2u∂u〉 : ut = x−1uux − x−2u2 + x−2(2u− xux)2F (ω), ω = (x2uxx − 2u)(2u− xux)−1; sl2(2,R)⊕ 〈∂u〉 : ut = − 1 4x −1ux + x−3u−1 x F (ω), ω = u−2 x uxx + 3x−1u−1 x ; sl3(2,R)⊕ 〈∂t〉 : ut = xuxF (ω), ω = x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x ; sl3(2,R)⊕ 〈tx∂x〉 : ut = xux 4t ln ∣∣x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x ∣∣+ xuxF (t), sl4(2,R)⊕ 〈∂t〉 : ut = x−2 √ 4 + x6u2 xF (ω), ω = (4 + x6u2 x)− 3 2 (x4uxx + 5x3ux + 1 2x 9u3 x); sl5(2,R)⊕ 〈∂t〉 : ut = x−2 √ \|x6u2 x − 4\|F (ω), ω = \|x6u2 x − 4\|− 3 2 (x4uxx + 5x3ux − 1 2x 9u3 x); so1(3)⊕ 〈∂t〉 : ut = √ sec2 x+ u2 xF (ω), ω = (1 + u2 x cos2 x)− 3 2 [uxx cosx− (2 + u2 x cos2 x)ux sinx]; sl1(2,R)⊕ 〈∂u, x∂x + 2u∂u〉 : ut = λx2u2 xx − 2λxuxuxx + ( λ+ 1 4 ) u2 x, λ 6= 0; sl2(2,R)⊕ 〈−u∂u, ∂u〉 : ut = − 1 4x −1ux + λx−3u−1 x (u−2 x uxx + 3x−1u−1 x )−2, λ 6= 0; sl3(2,R)⊕ 〈−t∂t −mx∂x, ∂t〉 : ut = λxux\|x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x \| 1 4m , λ 6= 0, m 6= 0,± 3 4 ; Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 145 sl3(2,R)⊕ 〈t∂t, tx∂x〉 : ut = xux 4t ln ∣∣x−5u−3 x uxx + 2x−6u−2 x ∣∣+ λxux t , λ ∈ R; sl1(2,R)⊂+〈t∂x + (tx−1 − x)∂u, ∂x + x−1u∂u〉 : ut = λuxx + 2λx−2u− 2λx−1ux + x−1uux − x−2u2, λ 6= 0; sl1(2,R)⊂+〈(tu+ x2)∂x + 2(xu+ tx−1u2)∂u, u∂x + 2x−1u2∂u〉 : ut = x−1uux − x−2u2 + λx−2(2u− xux)× × (x2uxx + 2u− 2xux)−1, λ 6= 0; sl3(2,R)⊂+〈∂t, x∂x + 4 3 t∂t, x −1∂u,−∂x + x−1u∂u〉 : ut = x−1(xuxx + 2ux) 1 3 ; sl3(2,R)⊂+〈∂t, 4 3 t∂t − x∂x, x2u∂x, x 2∂x〉 : ut = x3u2 x(xuxx + 2ux)− 1 3 . Висновки. Отже, для проведення повної групової класифiкацiї залишається здiйснити повний опис рiвнянь другого класу, якi допу- скають розв’язнi групи локальних перетворень. Також слiд вiдзначи- ти, що подiл рiвнянь вигляду (1) на два класи є природним, оскiльки, як було вiдзначено в [31], рiвняння другого класу можуть бути зве- деними до квазiлiнiйних рiвнянь нелокальними замiнами змiнних, а рiвняння першого класу – нi. Нарештi, хотiлося б вiдзначити, що значний вклад в розв’язуван- ня задачi групової класифiкацiї рiвнянь математичної фiзики, як це зокрема, випливає з робiт [13, 14, 17, 21–25, 31–39], внесли українськi математики з школи групового аналiзу диференцiальних рiвнянь, яку в 70-х роках двадцятого столiття започаткував Вiльгельм Фу- щич, котрому у цьому роцi виповнюється 70 рокiв зi дня народження. [1] Bluman G.W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. – Berlin: Springer, 1974. [2] Ovsiannikov L.V. Group analysis of differential equations. – New York: Academic Press, 1982. [3] Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. – New York: Sprin- ger, 1986. [4] Blumen G., Kumei S. Symmetries and differential equations. – New York: Sprin- ger, 1989. [5] Lie S. On integration of a class of linear partial differential equations by means of definite integrals // Arch. Math. – 1881. – 6. – P. 328–368 (in German). 146 Р.З. Жданов, В.I. Лагно [6] Oвсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопрово- дности // Докл. АН СССР. – 1959. – 125. – C. 492–495. [7] Ibragimov N.H. (editor) CRC Handbook of Lie group to differential equations, Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws. – Boca Raton: CRC Press, 1994. [8] Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Групповая классификация уравнений нелинейной фильтрации // Докл. АН СССР. – 1987. – 293. – C. 1033–1035. [9] Oron A., Rosenau Ph. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equa- tions // Phys. Lett. A. – 1986. – 118. – P. 172–176. [10] Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнений нелинейной те- плопроводности с источником // Журн. выч. мат. и мат. физ. – 1982. – 22. – C. 1393–1400. [11] Edwards M.P. Classical symmetry reductions of nonlinear diffusion-convection equations // Phys. Lett. A. – 1994. – 190. – P. 149–154. [12] Yung C.M., Verburg K., Baveye P. Group classification and symmetry reducti- ons of the non-linear diffusion-convection equation ut = (D(u)ux)x − K′(u)ux // Int. J. Non–Linear Mech. – 1994. – 29. – P. 273–278. [13] Сєров М.I., Чернiга Р.М. Симетрiї Лi та точнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь теплопровiдностi з конвективним членом // Укр. мат. журн. – 1997. – 49. – С. 1262–1270. [14] Cherniha R., Serov M. Symmetries, ansätze and exact solutions of nonlinear second–order evolution equations with convection terms // Euro. J. Appl. Math. – 1998. – 9. – P. 527–542. [15] Gandarias M.L. Classical point symmetries of a porous medium equation // J. Phys. A: Math. Gen. – 1996. – 29. – P. 607–633. [16] Катков В.Л. Групповая классификация решений уравнений Хопфа // Журн. прикл. мех. и техн. физ. – 1965. – № 6. – С. 105–106. [17] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonli- near diffusion–convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 2004. – 37. – P. 7547–7565. [18] El-labany S.K., Elhanbaly A.M., Sabry R. Group classification and symmetry reduction of variable coefficient nonlinear diffusion-convection equation // J. Phys. A: Math. Gen. – 2002. – 35. – P. 8055–8063. [19] Pallikaros C., Sophocleous C. On point transformations of generalized nonlinear diffusion equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 1995. – 28. – P. 6459–6465. [20] Cüngör F. Group classification and exact solutions of a radially symmetric porous-medium equation // Int J. Nonlinear Mech. – 2002. – 37. – P. 245– 255. [21] Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source // J. Phys. A: Math. Gen. – 1999. – 32. – P. 7405–7418. [22] Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and the classification problem for partial differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 69. – P. 43–94. Груповий аналiз загального еволюцiйного рiвняння 147 [23] Zhdanov R.Z., Roman O.V. On preliminary symmetry classification of nonlinear Schrödinger equations with some applications to Doebner–Goldin model // Rep. Math. Phys.– 2000. – 45.– P. 273–291. [24] Güngor F., Lagno V.I., Zhdanov R.Z. Symmetry classification of KdV-type nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. – 2004. – 45. – P. 2280–2313. [25] Lahno V., Zhdanov R. Group classification of nonlinear wave equations // J. Math. Phys. – 2005. – 46, 053301. – 37 p. [26] Barut A.O., Raczka R. Theory of group representations and applications. – Warszawa: PWN–Polish Scientific Publishers, 1977. [27] Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. высш. учебн. завед. Математика. — 1963. – № 1(32). — С. 114–123. [28] Patera J., Winternitz P. Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras // J. Math. Phys. – 1977. – 18. – P. 1449–1455. [29] Turkowski P. Low-dimensional real Lie algebras // J. Math. Phys. – 1988. – 29. – P. 2139–2144. [30] Магадеев Б.А. О групповой классификации нелинейных эволюционных уравнений // Алгебра и анализ. – 1993. – 5. – C. 141–156. [31] Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of the general evolution equation: local and quasilocal symmetries // SIGMA. – 2005. – 1, Paper 009. – 7 p. [32] Nikitin A.G., Popovych R.O. Group classification of nonlinear Schrödinger equations // Ukr. Math. J. – 2001. – 53. – P. 1255–1265. [33] Nikitin A.G., Wiltshire R.J. Systems of reaction diffusion equations and their symmetry properties // J. Math. Phys. – 2001. – 42. – P. 1667–1668. [34] Nikitin A.G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations // Ukr. Math. Bull. – 2005. – 2. – P. 153–204. [35] Nikitin A.G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. I. Generalized Landau–Ginzburg equations // J. Math. Anal. Appl. – 2006. – 324. – P. 615–628. [36] Boyko V., Popovych V. Group classification Galilei invariant equations of higher order / Group analytic methods in mathematical physics // Proceedings of Institute of Mathematics, Kyiv. – 2001. – 36. – P. 45–50. [37] Popovych R.O., Ivanova N.M., Eshraghi H. Group classification of (1 + 1)- dimensional Schrödinger equations with potentials and power nonlinearlities // J. Math. Phys. – 2004. – 45. – P. 3045–3057. [38] Cherniha R., King J.R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction- diffusion systems. I // J. Phys. A: Math. Gen. – 2000.– 33. – P. 267–282. [39] Cherniha R., King J.R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction- diffusion systems. II // J. Phys. A: Math. Gen. – 2003. – 36. – P. 405–425.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-387
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:06:32Z
publishDate	2006
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/3f/a74eaf387b14d045a1c265840a756a3f.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-3872020-08-13T10:42:30Z Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition Груповий аналіз загального еволюційного рівняння другого порядку: інваріантність відносно груп локальних перетворень з нетривіальним розкладом Леві Zhdanov, R. Lahno, V. Жданов, Р. Лагно, В. In this article we consider the problem of group classification of general second-order evolution equation. We find the complete list of such equations whose groups of local transformations have nontrivial Levi decomposition. В статті розглядається задача групової класифікації загального рівняння еволюційного типу другого порядку. Отримано повний перелік рівнянь цього типу, групи локальних перетворень яких мають нетривіальний розклад Леві. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/387 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 124-147 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 124-147 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 124-147 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/387/387 Авторське право (c) 2006 Р. Жданов, В. Лагно http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle	Zhdanov, R. Lahno, V. Жданов, Р. Лагно, В. Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition
title	Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition
title_alt	Груповий аналіз загального еволюційного рівняння другого порядку: інваріантність відносно груп локальних перетворень з нетривіальним розкладом Леві
title_full	Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition
title_fullStr	Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition
title_full_unstemmed	Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition
title_short	Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition
title_sort	group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial levi decomposition
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/387
work_keys_str_mv	AT zhdanovr groupanalysisofthegeneralsecondorderevolutionequationinvariancewithrespecttogroupsoflocaltransformationswithnontriviallevidecomposition AT lahnov groupanalysisofthegeneralsecondorderevolutionequationinvariancewithrespecttogroupsoflocaltransformationswithnontriviallevidecomposition AT ždanovr groupanalysisofthegeneralsecondorderevolutionequationinvariancewithrespecttogroupsoflocaltransformationswithnontriviallevidecomposition AT lagnov groupanalysisofthegeneralsecondorderevolutionequationinvariancewithrespecttogroupsoflocaltransformationswithnontriviallevidecomposition AT zhdanovr grupovijanalízzagalʹnogoevolûcíjnogorívnânnâdrugogoporâdkuínvaríantnístʹvídnosnogruplokalʹnihperetvorenʹznetrivíalʹnimrozkladomleví AT lahnov grupovijanalízzagalʹnogoevolûcíjnogorívnânnâdrugogoporâdkuínvaríantnístʹvídnosnogruplokalʹnihperetvorenʹznetrivíalʹnimrozkladomleví AT ždanovr grupovijanalízzagalʹnogoevolûcíjnogorívnânnâdrugogoporâdkuínvaríantnístʹvídnosnogruplokalʹnihperetvorenʹznetrivíalʹnimrozkladomleví AT lagnov grupovijanalízzagalʹnogoevolûcíjnogorívnânnâdrugogoporâdkuínvaríantnístʹvídnosnogruplokalʹnihperetvorenʹznetrivíalʹnimrozkladomleví

Group analysis of the general second-order evolution equation: invariance with respect to groups of local transformations with non-trivial Levi decomposition

Institution

Ähnliche Einträge