Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations
Local and nonlocal conservation laws of $(1+1)$-dimensional constant coefficient diffusion-convection equations are found with application of composite variational principle.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/388 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552887126589440 |
|---|---|
| author | Ivanova, N. Іванова, Н. |
| author_facet | Ivanova, N. Іванова, Н. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. Іванова",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Ivanova, N. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Local and nonlocal conservation laws of $(1+1)$-dimensional constant coefficient diffusion-convection equations are found with application of composite variational principle. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 148–158
УДК 517.958
Локальнi та нелокальнi закони
збереження рiвнянь
конвекцiї-дифузiї
Н.М. IВАНОВА
Iнститут математики НАН України, Київ
E-mail: ivanova@imath.kiev.ua
За допомогою композицiйного варiацiйного принципа знайдено локаль-
нi та нелокальнi закони збереження (1+1)-вимiрних рiвнянь конвекцiї-
дифузiї iз сталими коефiцiєнтами.
Local and nonlocal conservation laws of (1+1)-dimensional constant coeffi-
cient diffusion-convection equations are found with application of composi-
te variational principle.
1. Вступ. У представленiй роботi вивчається клас рiвнянь конвек-
цiї-дифузiї вигляду
ut = (a(u)ux)x + b(u)ux, (1)
де a = a(u) та b = b(u) – довiльнi гладкi функцiї змiнної u, b(u) 6=0.
Рiвняння (1), що називається також рiвнянням Рiчардса, природ-
но виникає у фiзичних застосуваннях. Наприклад, супердифузивнос-
тi такого типу були запропонованi для моделювання Ван-дер-Вааль-
совської взаємодiї у тонких плiвках палива на поверхнi рiдини [7]. Це
рiвняння також застосовується при вивченнi клiтинних автоматiв та
взаємодiї систем частинок iз самоорганiзацiєю (див. [4] та посилання
в цiй роботi). Воно описує модель потоку рiдини у ненасиченому
грунтi [22].
Симетрiї Лi рiвнянь вигляду (1) дослiджувалися у багатьох робо-
тах (див., наприклад, [6, 18, 24]). Проте, повну та вичерпну групову
класифiкацiю класу (1) отримано лише нещодавно у роботi [19]. Лi-
ївськi симетрiї вiдповiдної системи (2) рiвнянь Ейлера–Лагранжа з
нефiксованим значенням функцiї a, b = 0 та для a = 1, b ∈ {0, u}
розглянуто у [10]. Симетрiї багатовимiрних рiвнянь дифузiї та вiд-
повiдних рiвнянь Ейлера–Лагранжа дослiджуються в [12].
Закони збереження рiвнянь конвекцiї-дифузiї 149
Вперше закони збереження лiнiйного рiвняння теплопровiдностi
та рiвняння Бюргерса побудовано за допомогою композицiйного ва-
рiацiйного принципу [1]. Цi результати перевiдкрито та доповнено за-
конами збереження нелiнiйного рiвняння дифузiї (b = 0, a – довiльна,
нефiксована функцiя) в роботi [10]. Закони збереження n-вимiрних
(n ≥ 1) рiвнянь дифузiї ut = (a(u)ui)i прокласифiковано у [12] за до-
помогою прямого методу та композицiйного варiацiйного принципу.
У [5] (див. також [9, роздiл 10]) повнiстю вивчено локальнi закони
збереження рiвнянь реакцiї-дифузiї ut = (A(u))xx + C(u), що мають
непорожнiй перетин з класом (1). В [11, 21] представлено вичерпну
класифiкацiю локальних та потенцiальних законiв збереження рiв-
нянь (1). Локальнi закони збереження рiвнянь конвекцiї-дифузiї iз
змiнними коефiцiєнтами знайдено в [13,15].
2. Симетрiї рiвнянь конвекцiї-дифузiї. Один з можливих
шляхiв знаходження законiв збереження рiвнянь (1) полягає у роз-
повсюдженнi лагранжевого пiдходу на нелагранжевi рiвняння за до-
помогою введення допомiжних рiвнянь таким чином, щоб отрима-
на система була системою рiвнянь Ейлера–Лагранжа для деякого
варiацiйного функцiоналу. У якостi таких допомiжних рiвнянь ви-
явилося надзвичайно зручним брати рiвняння для приєднаної симе-
трiї [1, 17, 23]. Тодi закони збереження отриманої системи (якi, зви-
чайно, є законами збереження вихiдного рiвняння) можна легко по-
будувати за допомогою теореми Ньотер [17]. Цей метод називається
композицiйним варiацiйним принципом. Проiлюструємо його засто-
сування на прикладi рiвнянь конвекцiї-дифузiї.
Розглянемо систему рiвнянь Ейлера–Лагранжа
ut = (a(u)ux)x + b(u)ux, vt = −a(u)vxx + b(u)vx (2)
для варiацiйного функцiоналу
L =
∫ (
1
2 (utv − uvt) + auxvx − 1
2buxv + 1
2vx
∫
b
)
dx,
що вiдповiдає рiвнянню (1). (Тут i надалi
∫
b =
∫
bdu,
∫
a =
∫
adu.)
Система (2) складається з вихiдного рiвняння (1) та рiвняння
vt = −a(u)vxx + b(u)vx на приєднану до (1) симетрiю.
Теорема 1. Будь-яке перетворення з групи еквiвалентностi G∼
класу (2) має вигляд
t̃ = ε4t+ ε1, x̃ = ε5x+ ε7t+ ε2, ũ = ε6u+ ε3,
150 Н.М. Iванова
ṽ = ε8v − ε7t+ ε9, ã = ε−1
4 ε2
5a, b̃ = ε−1
4 ε5b− ε7,
де ε1, . . . , ε9 – довiльнi сталi, ε4ε5ε6ε8 6= 0. Група еквiвалентностi
класу рiвнянь (1) спiвпадає з проекцiєю групи еквiвалентностi G∼
класу систем (2) на простiр змiнних t, x, u.
Зауважимо, що група G∼ є природним продовженням перетво-
рень еквiвалентностi класу рiвнянь (1) на змiнну v.
Теорема 2. Алгеброю Лi ядра основних груп систем (2) є A∩ =
〈∂t, ∂x, ∂v, v∂v〉.
Теорема 3. Повна множина G∼-нееквiвалентних систем (2), що
допускають розширення A∩, вичерпуються випадками, наведеними
у таблицi 1.
Таблиця 1. Результати групової класифiкацiї класу систем (2)
(рiвнянь (1)).
N a(u) b(u) Базис ALie
0 ∀ ∀ ∂t, ∂x, ∂v , v∂v
1 ∀ a(u) ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , ex∂v
2 ∀ 0 ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , 2t∂t + x∂x, x∂v
3 eµu eu ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , (µ− 2)t∂t + (µ− 1)x∂x + ∂u
4 eu eu ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , t∂t − ∂u, ex∂v
5 eu u ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , t∂t + (x− t)∂x + ∂u
6 eu 0 ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , 2t∂t + x∂x, x∂v , t∂t − ∂u
7 uµ uν ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , (µ− 2ν)t∂t + (µ− ν)x∂x + u∂u
8 uµ uµ ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , µt∂t − u∂u, ex∂v
9 uµ lnu ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , µt∂t + (µx− t)∂x + u∂u
10a uµ 0 ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , 2t∂t + x∂x, x∂v , µt∂t − u∂u
10b u−2 u−2 ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , 2t∂t + u∂u, e−x(∂x + u∂u), ex∂v
11 u−4/3 0 ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , 2t∂t + x∂x, x∂v , 4t∂t + 3u∂u,
x2∂x − 3xu∂u + xv∂v
12 1 u ∂t, ∂x, ∂v , v∂v , t∂x − ∂u, 2t∂t + x∂x − u∂u,
t2∂t + tx∂x − (tu+ x)∂u
13 1 0 ∂t, ∂x, v∂v , 2t∂t + x∂x, 2t∂x − xu∂u + xv∂v ,
u∂u, α∂u, β∂v ,
4t2∂t + 4tx∂x − (x2 + 2t)u∂u + (x2 − 2t)v∂v
Зауваження 1. У табл. 1–4 µ, ν = const. (µ, ν) 6= (−2,−2), (0, 1) та
ν 6= 0, µ у випадку 7. µ 6= −4/3, 0 для випадку 10a. Функцiї α = α(t, x)
i β = β(t, x) – довiльнi розв’язки рiвнянь теплопровiдностi αt = αxx
Закони збереження рiвнянь конвекцiї-дифузiї 151
та βt + βxx = 0 вiдповiдно. Випадок 10b зводиться до 10a (µ = −2)
додатковим перетворенням еквiвалентностi
t̃ = t, x̃ = ex, ũ = e−xu, ṽ = v.
Зауваження 2. Надалi для зручностi використовується подвiйна
нумерацiя T.N випадкiв класифiкацiї, де T – номер таблицi i N –
номер вiдповiдного випадку у таблицi T. Позначення “рiвняння 1.N”
(“система 1.N”, тощо) використовується для рiвнянь з класу (1) (си-
стем вигляду (2), тощо), у яких параметр-функцiї набувають значе-
ння з вiдповiдних випадкiв.
Зауваження 3. Експоненцiальнi випадки 1.3–1.6 можна отримати
як границi степеневих випадкiв 1.7–1.10a [14,20]. Бiльш точно,
ũ = 1 + ν−1u, µ = µ′ν : 1.7µ,ν → 1.3µ′ , ν → +∞,
ũ = 1 + µ−1u, t̃ = µ2t, x̃ = µx : 1.9µ → 1.5, µ→ +∞,
ũ = 1 + µ−1u : 1.10aµ → 1.6, µ→ +∞.
Наведенi граничнi переходи зберiгають структуру алгебри Лi iнва-
рiантностi i можуть бути використанi для побудови точних розв’яз-
кiв для експоненцiальних класiв з розв’язкiв рiвнянь iз степеневими
нелiнiйностями. Деякi частковi випадки наведених граничних пере-
ходiв для рiвнянь дифузiї (b = 0) отримано у [2, 3].
Легко бачити, що випадок 1.1 розширення симетрiй виникає ли-
ше для класу систем (2) i не мiстить додаткових локальних симетрiй
рiвнянь (1). Дiйсно, проекцiя вiдповiдної алгебри Лi симетрiй на про-
стiр змiнних t, x та u спiвпадає з алгеброю Лi 〈∂t, ∂x〉 ядра основних
груп класу рiвнянь (1). Проте, як показано нижче, ця симетрiя є ва-
рiацiйною i, бiльш того, iндукує локальнi закони збереження рiвнянь
вигляду (1).
Застосування iнфiнiтезiмального критерiю варiацiйної iнварiант-
ностi до симетрiй Лi, представлених у таблицi 1 приводить до на-
ступного твердження.
Теорема 4. Повна множина G∼-нееквiвалентних систем (2), що
мають нетривiальнi варiацiйнi симетрiї нульового порядку, вичер-
пується випадками, наведеними у таблицi 2.
Випадки 2.4 та 2.8 є перетинами 2.1∩ 2.3 та 2.1∩ 2.7 вiдповiдно.
Вiдповiднi алгебри варiацiйних симетрiй є об’єднаннями алгебр си-
метрiй випадкiв 2.1 та 2.3 (2.1 та 2.7).
152 Н.М. Iванова
Таблиця 2. Класифiкацiя варiацiйних симетрiй класу систем (2).
N a(u) b(u) Базис Avar
0 ∀ ∀ ∂t, ∂x, ∂v
1 ∀ a(u) ∂t, ∂x, ∂v , ex∂v
2 ∀ 0 ∂t, ∂x, ∂v , x∂v , 2t∂t + x∂x − v∂v
3 eµu eu ∂t, ∂x, ∂v , (µ− 2)t∂t + (µ− 1)x∂x + ∂u − (µ− 1)v∂v
4 eu eu ∂t, ∂x, ∂v , ex∂v , t∂t − ∂u
5 eu u ∂t, ∂x, ∂v , t∂t + (x− t)∂x + ∂u − v∂v
6 eu 0 ∂t, ∂x, ∂v , x∂v , 2t∂t + x∂x − v∂v , t∂t − ∂u
7 uµ uν ∂t, ∂x, ∂v , (µ− 2ν)t∂t + (µ− ν)x∂x+
+u∂u + (ν − µ− 1)v∂v
8 uµ uµ ∂t, ∂x, ∂v , µt∂t − u∂u + v∂v , ex∂v
9 uµ lnu ∂t, ∂x, ∂v , µt∂t + (µx− t)∂x + u∂u − (µ+ 1)v∂v
10a uµ 0 ∂t, ∂x, ∂v , 2t∂t + x∂x − v∂v , x∂v , µt∂t − u∂u + v∂v
10b u−2 u−2 ∂t, ∂x, ∂v , 2t∂t + u∂u − v∂v , e−x(∂x + u∂u), ex∂v
11 u−4/3 0 ∂t, ∂x, ∂v , 2t∂t + x∂x − v∂v , x∂v , 4t∂t + 3u∂u − v∂v ,
x2∂x − 3xu∂u + xv∂v
12 1 u ∂t, ∂x, ∂v , t∂x − ∂u, 2t∂t + x∂x − u∂u,
t2∂t + tx∂x − (tu+ x)∂u
13 1 0 ∂t, ∂x, 2t∂t + x∂x − u∂u, 2t∂x − xu∂u + xv∂v ,
u∂u − v∂v , α∂u, β∂v ,
4t2∂t + 4tx∂x − (x2 + 2t)u∂u + (x2 − 2t)v∂v
3. Закони збереження. У цьому роздiлi знайденi варiацiйнi си-
метрiї використовуються для знаходження законiв збереження рiв-
нянь з класу (1). Законом збереження системи з класу (2) називає-
ться дивергентний вираз
DtT (t, x, u(r), v(r)) +DxX(t, x, u(r), v(r)) = 0, (3)
який тотожно дорiвнює нулевi на многовидi вихiдної системи. Ди-
ференцiальнi функцiї T та X називаються густиною та потоком
закону збереження вiдповiдно.
Закон збереження називається тривiальним, якщо компоненти
вектора густини задовольняють умову
T = T̂ + Ť , X = X̂ + X̌,
де T̂ , Ť , X̂, X̌ є функцiями t, x та похiдних u i v, T̂ , X̂ – тотожнi
нулi на многовидi системи (2), DtT +DxX ≡ 0.
Закони збереження рiвнянь конвекцiї-дифузiї 153
Два закони збереження з векторами густини (T, X) та (T ′, X ′)
називаються еквiвалентними, якщо вектор-функцiя (T ′−T,X ′−X)
є вектором густини тривiального закону збереження.
Застосовуючи теорему Ньотер [8,17] до варiацiйних симетрiй, зна-
йдених у попередньому роздiлi, отримаємо множини нееквiвалент-
них законiв збереження систем (2) (рiвнянь (1)), наведенi у таблицi 3.
Таблиця 3. Класифiкацiя законiв збереження систем (2) (рiвнянь (1)).
N a(u) b(u) Закони збереження
0 ∀ ∀ CL1, CL2, CL3
1 ∀ a(u) CL1, CL2, CL3, CL4
2 ∀ 0 CL1, CL2, CL3, CL5, CL6
3 eµu eu CL1, CL2, CL3, CL7
4 eu eu CL1, CL2, CL3, CL4, CL7(µ = 1)
5 eu u CL1, CL2, CL3, CL8
6 eu 0 CL1, CL2, CL3, CL5, CL6, CL9
7 uµ uν CL1, CL2, CL3, CL10
8 uµ uµ CL1, CL2, CL3, CL4, CL10(µ = ν)
9 uµ lnu CL1, CL2, CL3, CL11
10a uµ 0 CL1, CL2, CL3, CL5, CL6, CL12
10b u−2 u−2 CL1, CL2, CL3, CL4, CL10(µ = ν = −2), CL13
11 u−4/3 0 CL1, CL2, CL3, CL5, CL6, CL12(µ = −4/3), CL14
12 1 u CL1, CL2, CL3, CL10(µ = 0, ν = 1), CL15, CL16
13 1 0 CL1, CL2, CL6, CL12(µ = 0), CL17, CL18, CL19, CL20
Густини T та потоки X наведених законiв збереження мають на-
ступний вигляд:
CL1: auxvx − 1
2buxv + 1
2v
∫
b, −a(utvx + uxvt)− 1
2utvb−
1
2vt
∫
b;
CL2: 1
2 (uvx − uxv), 1
2 (utv − uvt)− auxvx;
CL3: u, −au−
∫
b;
CL4: exu, −exaux;
CL5: xu,
∫
a− xaux;
CL6: tauxvx + xvux, −xvut + a(xuxvx − uxv − t(utvx + uxvt));
CL7:
(µ− 2)teµuuxvx − 1
2 (µ− 2)teu(uxv − vx) + v
+ 1
2 (µ− 1)(x(uvx − uxv) + uv),
−eµu((µ− 2)t(utvx + uxvt) + (µ− 1)(xuxvx − uxv)− vx)
+eu( 1
2 (µ− 2)t(utv − vt)− 1
2µv) + 1
2 (µ− 1)(utv − uvt);
154 Н.М. Iванова
CL8: 1
4 tu
2vx − 1
2 tuuxv + (x− t)(uvx − uxv) + 1
2uv + v,
eu(vx − uxv − xuxvx − t(utvx + uxvt)) + 1
2 (x− t)(utv − uvt)
− 1
2uv + t
4 (2uutv − u2vt);
CL9: teuuxvx − v, −eu(vx + tutvx + tvtux);
CL10:
1
2 (µ− 2ν)t(2auxvx − buxv − vx
∫
b) + 1
2 (2− ν + µ)uv
+(µ− ν)x(uvx − uxv),
1
2 (µ− ν)x(utv − uvt) + a(uvx + (ν − µ− 1)uxv)
+ 1
2 (µ− 2ν)t(utbv − vt
∫
b) + 1
2 (ν − µ− 1)v
∫
b
−(µ− ν)xauxvx − (µ− 2ν)ta(utvx + uxvt);
CL11: µtuµuxvx+ 1
2 (µt lnu+µx−t)(uvx−uxv)+ 1
2µuv+uv− 1
2µtuvx,
1
2 (µt lnu+ µx− t)(utv − uvt)− (µx− t)uxvx
−µtuµ(utvx + uxvt) + uµ+1vx
−(µ+ 1)uµuxv − uv lnu+ 1
2µuvt + 1
2 (µ+ 1)uv;
CL12: µtuµuxvx − uv, −uµ+1vx + uµuxv − µtuµ(utvx + uxvt);
CL13: e−x(uv − uxv + uvx), e−x(utv − uvt + 2u−2uxvx − 2u−1vx;
CL14: −2xuv +
1
2
x2(uvx − uxv),
1
2
x2(uvt − utv) + x2u−4/3uxvx − 3u−1/3v
+x(3u−1/3vx − u−4/3uxv);
CL15: tuxv + v, tuxvx + vx − tutv − uv;
CL16: t2(uxvx − uuxv) + txuvx − xv,
t2(uutv−utvx−uxvt)− tx(uvt+uxvx) + t(u2v−uvx)−xvx+ v;
CL17: αu, αxu− αux;
CL18: βv, βvx − βxv;
CL19: t(uvx − uxv)− xuv, t(utv − uvt − 2uxvx) + x(uxv − uvx);
CL20: t2uxvx + 1
2 tx(uvx − uxv)− 1
4x
2uv,
1
4x
2(uxv − uvx)− t2(uxvt + utvx) + 1
2 tx(utv − uvt − 2uxvx)
− 1
2 t(uxv + uvx).
Зауваження 4. Вектори густини законiв збереження CL3, CL4, CL5
та CL17 не мiстять у явному виглядi розв’язкiв приєднаного рiвня-
ння i визначають локальнi закони збереження рiвнянь конвекцiї-ди-
фузiї (1). Це є у точностi всi лiнiйно незалежнi закони збереження
рiвнянь (1), отриманi ранiше у [21] за допомогою прямого методу.
Закони збереження рiвнянь конвекцiї-дифузiї 155
Решта векторiв густини визначають нелокальнi закони збереження
рiвнянь конвекцiї-дифузiї, де нелокальна змiнна v задається приєд-
наним рiвнянням vt = −a(u)vxx + b(u)vx.
Простори законiв збереження перетинiв 3.4 = 3.1 ∩ 3.3 та 3.8 =
3.1∩3.7 є об’єднаннями вiдповiдних просторiв випадкiв 3.1 та 3.3 (3.1
та 3.7) за додаткової умови µ = 1 (ν = µ). Закони збереження CL3
та CL5 для лiнiйного рiвняння теплопровiдностi (що виникають як
пiдвипадки випадку a = uµ, b = 0) є частковими випадками множини
законiв збереження CL18.
Розглянемо зараз бiльш детально лiнiйний випадок
ut − uxx = 0, vt + vxx = 0 (4)
Пiдкреслимо, що вектори густини законiв збереження, наведенi у
таблицi 3 є нееквiвалентними вiдносно звичайного означення еквiва-
лентностi, i вiдповiднi закони збереження є лiнiйно незалежними. У
той же час, дiючи перетвореннями з групи Лi Gmax симетрiй систе-
ми (4), можна встановити Gmax-вiдношення еквiвалентностi на прос-
торi законiв збереження. Так, наприклад, CL18 еквiвалентний CL17
вiдносно дискретного перетворення симетрiї t̃ = −t, x̃ = x, ũ = −v,
ṽ = −u.
Розглянемо тепер множину законiв збереження, породжених CL17
та CL12(µ = 0). Очевидно, що вони утворюють лiнiйний пiдпростiр
простору законiв збереження системи (4), визначений системою твiр-
них {(αu, αxu − αux), (uv, uvx − uxv)}. Замiнимо систему твiрних
на {((v + αu), (vx + αx)u − (v + α)ux), (uv, uvx − uxv)}. Пiд дiєю
точкового перетворення v → v − α (iншi змiннi не перетворюються)
з групи симетрiй Gmax вектор густини ((v + αu), (vx + αx)u − (v +
α)ux) переходить у (uv, uvx−uxv). Таким чином, з точнiстю до групи
симетрiй системи (4) розглянутий пiдпростiр генерується законом
збереження з вектором густини (uv, uvx − uxv).
У [8, 16] показано, що для систем рiвнянь Ейлера–Лагранжа ге-
неруюча множина нееквiвалентних законiв збереження визначається
векторами густини, що вiдповiдають операторам симетрiї, якi утво-
рюють алгебри Лi, нееквiвалентнi вiдносно дiї приєднаного зобра-
ження. Ця властивiсть дозволяє завершити дослiдження еквiвалент-
ностей мiж законами збереження системи (4).
Теорема 5. Генеруюча множина законiв збереження системи (4)
складається з CL19 та CL20, що вiдповiдають операторам варiа-
156 Н.М. Iванова
цiйної симетрiї 2t∂t + x∂x − u∂u та 4t2∂t + 4tx∂x − (x2 + 2t)u∂u +
(x2 − 2t)v∂v.
Детальне та строге доведення теореми 5 наведено у [12]. Аналогiч-
но можна знайти генеруючi множини законiв збереження нелiнiйних
систем (2), якi наведенi у таблицi 4.
Таблиця 4. Генеруючi множини законiв збереження систем (2)
(рiвнянь (1)).
N a(u) b(u) Закони збереження
0 ∀ ∀ CL1, CL2, CL3
1 ∀ a(u) CL1, CL2, CL3
2 ∀ 0 CL6
3 eµu eu CL7 if µ 6= −2 and CL1, CL7 if µ = −2
4 eu eu CL2, CL3, CL7(µ = 1)
5 eu u CL8
6 eu 0 CL6, CL9
7 uµ uν CL10 if µ 6= −2ν and CL1, CL10 if µ = −2ν
8 uµ uµ CL2, CL10(µ = ν)
9 uµ lnu CL11 if µ 6= 0,−1;
CL1, CL11 if µ = 0 and CL3, CL11 if µ = −1
10a uµ 0 CL6, CL12
10b u−2 u−2 CL10(µ = ν = −2)
11 u−4/3 0 CL6
12 1 u CL3, CL16
13 1 0 CL19, CL20
4. Висновки. Загальновiдомо, що еволюцiйне рiвняння другого
порядку не допускає лагранжевого формулювання. У той же час,
система, що складається з диференцiального рiвняння та рiвняння
на приєднану симетрiю завжди є системою рiвнянь Ейлера–Лагран-
жа для деякого функцiоналу [1, 23]. Тому, для знаходження її за-
конiв збереження, якi, очевидно, є законами збереження вихiдного
рiвняння, доцiльно використовувати теорему Ньотер. Цей метод дi-
став назви композицiйного варiацiйного принципу.
Закони збереження системи рiвнянь Ейлера–Лагранжа, що не
залежать явно вiд розв’язкiв приєднаного рiвняння, є локальними
для вихiдного рiвняння. Якщо ж вектори густини мiстять у явному
виглядi розв’язки приєднаного рiвняння, вiдповiднi локальнi зако-
ни збереження системи рiвнянь Ейлера–Лагранжа є нелокальними
законами збереження вихiдного рiвняння. Отримана нелокальнiсть
Закони збереження рiвнянь конвекцiї-дифузiї 157
має iстотно iнший характер, нiж найбiльш дослiдженнi потенцiальнi
та псевдопотенцiальнi закони збереження.
У представленiй роботi розглядається застосування композицiй-
ного варiацiйного принципа до знаходження законiв збереження (1+
1)-вимiрних рiвнянь конвекцiї-дифузiї. Знайдено локальнi та нело-
кальнi закони збереження рiвнянь вигляду (1), що вiдповiдають ва-
рiацiйним симетрiям нульового порядку системи рiвнянь Ейлера–
Лагранжа. Порiвнюючи отриманi закони збереження з результатами
роботи [21] показано, що таким чином побудовано всi можливi ло-
кальнi закони збереження рiвнянь (1). Питання про повноту прос-
торiв нелокальних законiв збереження iз вказаним характером не-
локальностi залишається вiдкритим: необхiдно додатково дослiдити
питання про (не)iснування узагальнених варiацiйних симетрiй вищо-
го порядку та/або про (не)iснування локальних законiв збереження
вищих порядкiв для отриманої системи рiвнянь Ейлера–Лагранжа.
Дослiдження пiдтримано грантом Президента України для пiд-
тримки наукових дослiджень молодих вчених GP/F11/0061.
[1] Atherton R.W., Homsy G.M. On the existence and formulation of variational
principles for nonlinear differential equations // Stud. App. Math. – 1975. –
54. – P. 31–60.
[2] Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and differential equations. – Springer: New
York, 1989. – 412 p.
[3] Bluman G.W., Reid G.J., Kumei S. New classes of symmetries for partial di-
fferential equations // J. Math. Phys. – 1988. – 29. – P. 806–811.
[4] Chayes J.T., Osher S.J., Ralston J.V. On singular diffusion equations with appli-
cations to self-organized criticality // Comm. Pure Appl. Math. – 1993. – 46. –
P. 1363–1377.
[5] Dorodnitsyn V.A., Svirshchevskii S.R. On Lie–Bäcklund groups admitted by the
heat equation with a source. – Moscow: Keldysh Institute of Applied Mathema-
tics of Academy of Sciences USSR, 1983. – Preprint № 101. – 28 pp.
[6] Edwards M.P. Classical symmetry reductions of nonlinear diffusion-convection
equations // Phys. Lett. A. – 1994. – 190. – P. 149–154.
[7] De Gennes P.G. Wetting: statics and dynamics // Rev. Modern Phys. – 1985. –
57. – P. 827–863.
[8] Ibragimov N.H. Transformation groups applied to mathematical physics. –
Dordrecht: D. Reidel Publishing Co., 1985. – 394 p.
[9] Ibragimov N.H. (Editor) Lie group analysis of differential equations. Vol. 1.
Symmetries, exact solutions and conservation laws. – Boca Raton: Chemical
Rubber Company, 1994. – 430 p.
[10] Ibragimov N.H., Kolsrud T. Lagrangian approach to evolution equations: sym-
metries and conservation laws // Nonlinear Dynamics. – 2004. – 36. – P. 29–40.
158 Н.М. Iванова
[11] Ivanova N. Conservation laws and potential systems of diffusion-convection
equations // Proceedings of Institute of Mathematics, Kyiv. – 2004. – 50,
Part 1. – P. 149–153.
[12] Ivanova N. Conservation laws of multidimensional diffusion-convection equa-
tions // Nonlinear Dynamics, to appear.
[13] Ivanova N.M., Popovych R.O., Sophocleous C. Conservation laws of variable
coefficient diffusion-convection equations // Proceedings of Tenth International
Conference in Modern Group Analysis. – Larnaca, Cyprus, 2004. – P. 107–113.
[14] Ivanova N.M., Popovych R.O., Sophocleous C. Group analysis of variable
coefficient diffusion-convection equations. I. Enhanced group classification, in
preparation.
[15] Ivanova N.M., Popovych R.O., Sophocleous C. Group analysis of variable coeffi-
cient diffusion-convection equations. III. Conservation laws and contractions, in
preparation.
[16] Khamitova R.S. The structure of a group and the basis of conservation laws //
Teoret. Mat. Fiz. – 1982. – 52. – 244–251.
[17] Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. – New York:
Springer-Verlag, 1986. – 514 p.
[18] Oron A., Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equa-
tions // Phys. Lett. A. – 1986. – 118. – P. 172–176.
[19] Popovych R.O., Ivanova N.M. New results on group classification of nonlinear
diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 2004. – 37. – P. 7547–
7565.
[20] Popovych R.O., Ivanova N.M. Potential equivalence transformations for nonli-
near diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 2005. – 38. –
P. 3145–3155.
[21] Popovych R.O., Ivanova N.M. Hierarchy of conservation laws of diffusion-
convection equations // J. Math. Phys. – 2005. – 46, 043502. – 22 pp.
[22] Richard’s L.A. Capillary conduction of liquids through porous mediums //
Physics. – 1931. – 1. – P. 318–333.
[23] Vainberg M.M. Variational methods for investigation of non-linear operators. –
San Francisco, Calif.: Holden-Day, 1964. – 344 p.
[24] Yung C.M., Verburg K., Baveye P. Group classification and symmetry reduc-
tions of the non-linear diffusion-convection equation ut = (D(u)ux)x −
K′(u)ux // Int. J. Non-Lin. Mech. – 1994. – 29. – P. 273–278.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-388 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:34Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/07/f3884fb9f3df2a896b88089287bb3107.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3882020-08-13T10:42:30Z Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations Локальні та нелокальні закони збереження рівнянь конвекції-дифузії Ivanova, N. Іванова, Н. Local and nonlocal conservation laws of $(1+1)$-dimensional constant coefficient diffusion-convection equations are found with application of composite variational principle. За допомогою композиційного варіаційного принципа знайдено локальні та нелокальні закони збереження $(1+1)$-вимірних рівнянь конвекції-дифузії із сталими коефіцієнтами. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/388 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 148-158 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 148-158 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 148-158 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/388/389 Авторське право (c) 2020 Н. Іванова http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Ivanova, N. Іванова, Н. Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| title | Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| title_alt | Локальні та нелокальні закони збереження рівнянь конвекції-дифузії |
| title_full | Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| title_fullStr | Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| title_full_unstemmed | Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| title_short | Local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| title_sort | local and nonlocal conservation laws of diffusion-convection equations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/388 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovan localandnonlocalconservationlawsofdiffusionconvectionequations AT ívanovan localandnonlocalconservationlawsofdiffusionconvectionequations AT ivanovan lokalʹnítanelokalʹnízakonizberežennârívnânʹkonvekcíídifuzíí AT ívanovan lokalʹnítanelokalʹnízakonizberežennârívnânʹkonvekcíídifuzíí |