Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra
Inverse and direct group classification problems are solved for classes of nonlinear evolutionary equations and systems of such equations, which are invariant with respect to realizations of conformal algebras.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/390 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552890309017600 |
|---|---|
| author | Ichanska, N. Ічанська, Н. |
| author_facet | Ichanska, N. Ічанська, Н. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Н. Ічанська",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Ichanska, N. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-13T10:42:30Z |
| description | Inverse and direct group classification problems are solved for classes of nonlinear evolutionary equations and systems of such equations, which are invariant with respect to realizations of conformal algebras. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2006, т.3, N 2, 159–169
УДК 517.912:512.816
Еволюцiйнi рiвняння та системи,
iнварiантнi вiдносно конформної
алгебри
Н.В. IЧАНСЬКА
Полтавський нац. технiчний унiверситет iм. Юрiя Кондратюка
E-mail: k26@pntu.poltava.ua
Для класiв нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь та систем таких рiвнянь,
що є iнварiантними вiдносно деяких реалiзацiй конформної алгебри,
розв’язано низку обернених та прямих задач групової класифiкацiї.
Inverse and direct group classification problems are solved for classes of
nonlinear evolutionary equations and systems of such equations, which are
invariant with respect to realizations of conformal algebras.
1. Вступ. Унаслiдок широкого застосування нелiнiйнi еволюцiйнi
рiвняння є цiкавим об’єктом дослiдження. Найбiльш вiдомими серед
них є нелiнiйнi рiвняння теплопровiдностi (дифузiї)
ut = ∂x(f(u)ux). (1)
Повний опис симетрiй Лi рiвнянь класу (1) зроблено Л. Овсяннi-
ковим у статтi [1]. Ця робота стала класичною, оскiльки в нiй на
прикладi класу рiвнянь (1), вперше було розв’язано задачу групової
класифiкацiї для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними
похiдними. В [1] показано, що найбiльш широку симетрiю це рiвнян-
ня має у випадку, коли f(u) = λu−
4
3 , λ = const 6= 0, його максималь-
на алгебра iнварiантностi породжується базисними генераторами
∂t, ∂x, D = 2t∂t + x∂x,
D1 = 2x∂x − 3u∂u, K = x2∂x − 3xu∂u. (2)
Об’єктом наших дослiджень є еволюцiйнi рiвняння та системи
вигляду
ut = F (t, x, u(n)), (3)
160 Н.В. Iчанська
Ut = G(t, x, U(n)), (4)
Тут i скрiзь нижче u = u(t, x), n ≥ 2. ut та u(n) вiдповiдно познача-
ють похiдну ∂u/∂t та сукупнiсть всiх похiдних функцiї u за змiнною x
до порядку n включно, причому u вважаємо похiдною нульового по-
рядку, U = (u1, . . . , ur), F – довiльна достатньо гладка функцiя свої
аргументiв, G = (g1, . . . , gr) – набiр таких функцiй.
Рiвняння вигляду (3) займають важливе мiсце серед диференцi-
альних рiвнянь з частинними похiдними. До таких рiвнянь приво-
дять рiзнi фiзичнi задачi, наприклад, задачi опису процесiв тепло-
та масообмiну, механiки суцiльного середовища, теорiї фiльтрацiї,
росту популяцiй, фiзики моря для опису розподiлу коливань темпе-
ратури та солоностi моря в глибину тощо. До класу (3) належать вi-
домi рiвняння Гарi–Дiма, Кортевега–де Фрiза, Крiшевера–Новiкова
та iн., дослiдження яких проводилось в багатьох роботах [2–4] то-
що. У статтi [5] розглядаються методи iнтегрування деяких рiвнянь
класу (3). Серед систем (4) є вiдомi системи, симетрiйнi властивостi
яких розглядалися у багатьох роботах ( [6–9] тощо).
У цiй статтi описано функцiї F , при яких рiвняння (3) iнварiантне
вiдносно алгебри
AC1(1) = 〈∂t, ∂x, D = 2x∂x + u∂u, K = x2∂x + xu∂u〉. (5)
Для декiлькох класiв еволюцiйних рiвнянь, пов’язаних з виокрем-
леними, проведено повну групову класифiкацiю. Також побудовано
одновимiрнi еволюцiйнi системи двох рiвнянь, що iнварiантнi вiдно-
сно алгебри
〈∂t, ∂x, D = 2x∂x + ua∂ua , K = x2∂x + xua∂ua〉. (6)
Алгебра операторiв (5) є реалiзацiєю алгебри sl(2,R)⊕A1. Оскiль-
ки оператори ∂x, D i K задають реалiзацiю алгебри sl(2,R) групи
конформних перетворень одновимiрного дiйсного простору, то алге-
бру sl(2,R) ⊕ A1 надалi будемо називати розширеною конформною
алгеброю i позначати AC1(1). Ми розглядаємо конкретну реалiза-
цiю (5) алгебри AC1(1), тому пiд iнварiантнiстю рiвняння вiдносно
алгебри AC1(1) будемо розумiти iнварiантнiсть вiдносно її реалiза-
цiї (5).
Зауважимо, що для конкретних рiвнянь можуть виникати реа-
лiзацiї подiбнi до (5), де у виразах для D, K при других доданках
Еволюцiйнi рiвняння та системи, iнварiантнi вiдносно AC1(1) 161
стоїть ненульовий коефiцiєнт m. Але такi реалiзацiї зводяться до (5)
локальними перетвореннями u → um. Аналогiчно для конкретних
систем рiвнянь можуть виникати реалiзацiї подiбнi до (6), коли опе-
ратори D, K мають вигляд
D = 2x∂x +m11u
1∂u1 +m12u
2∂u2 ,
K = x2∂x +m11xu
1∂u1 +m12xu
2∂u2 ,
де m11, m12 – довiльнi константи, одночасно нерiвнi нулю.
Якщо m11 6= 0, m12 6= 0, то такi реалiзацiї зводяться до (6) ло-
кальними перетвореннями u1 → (u1)m11 , u2 → (u2)m12 .
Коли хоча б одна з сталих m11, m12 дорiвнює нулю, то такi реалi-
зацiї локальними перетвореннями u1 → u1, u2 → (u2)m12 зводяться
до
〈∂t, ∂x, D = 2x∂x + u2∂u2 , K = x2∂x + xu2∂u2〉. (7)
Iнварiантнiсть еволюцiйної системи рiвнянь другого порядку вiдно-
сно алгебри (7) розглянуто в [10].
2. Конформно-iнварiантнi еволюцiйнi рiвняння. Розгляне-
мо спочатку задачу про видiлення з загального класу еволюцiйних
рiвнянь вигляду
ut = F (t, x, u(n)) (8)
тих, якi є iнварiантними вiдносно алгебри (5).
Теорема 1. Рiвняння з класу (8) iнварiантне вiдносно алгебри AC1(1)
тодi i тiльки тодi, коли воно має вигляд
ut = uf(I1, I2, . . . , In−1) (9)
де Ik = (u2∂x)k−1(u3uxx), k = 1, n− 1, f – довiльна гладка функцiя
своїх аргументiв.
Доведення. З iнфiнiтезимального критерiю iнварiантностi [11] для
рiвняння (8) вiдносно алгебри AC1(1) випливає, що F = uf , де
функцiя f залежить лише вiд диференцiальних iнварiантiв алге-
бри AC1(1), якi не мiстять змiнної t i диференцiювань по t. Тому
можна скористатися класичними результатами С.Лi [12] (див. та-
кож сучасний виклад в [13,14]) щодо реалiзацiй алгебр Лi на площинi
та їх диференцiальних iнварiантiв, вважаючи змiнну t параметром.
162 Н.В. Iчанська
В просторi змiнних x i u реалiзацiя 〈∂x, D, K〉 алгебри sl(2,R) має
фундаментальний диференцiальний iнварiант u3uxx i оператор iн-
варiантного диференцiювання u2∂x, звiдки очевидно випливає твер-
дження теореми.
Оскiльки задача повної групової класифiкацiї рiвнянь вигляду (9)
є занадто громiздкою, обмежимося вивченням двох важливих пiд-
класiв рiвнянь другого та третього порядкiв, якi мають вигляд
ut = uf(I1), I1 = u3uxx, (10)
ut = uf(I2), I2 = 3u4uxuxx + u5uxxx. (11)
Зауважимо, що замiною u →
√
u рiвняння (11) зводиться до бiльш
простого рiвняння
ut = ug(I), I = u2uxxx, (12)
де g(I) = 2f(I/2). При g = u2uxxx рiвняння (12) є вiдомим рiвнянням
Гарi–Дiма.
Вiдомо, що груповий аналiз одного рiвняння виявляється групо-
вим аналiзом цiлого класу рiвнянь, якi отримуються з даного рiв-
няння локальною замiною змiнних i мають iзоморфнi групи симе-
трiї [11,15]. Тому спочатку знайдемо точковi перетворення еквiвален-
тностi рiвнянь (10) та (12). Для зручностi перепишемо цi рiвняння
наступним чином
u3uxx = ϕ
(ut
u
)
, (13)
u2uxxx = ψ
(ut
u
)
, (14)
де ϕ, ψ – довiльнi гладкi функцiї. Пiсля замiни
u = ew, (15)
де w = w(t, x) – нова невiдома функцiя, одержимо
e4w(wxx + w2
x) = ϕ(wt), (16)
e3w(wxxx + 3wxwxx + w3
x) = ψ(wt). (17)
Теорема 2. Алгебра Лi групи еквiвалентностi G∼1 класу рiвнянь
(16) породжується iнфiнiтезимальними операторами вигляду
(κ1t+ d0)∂t+ (ax2 + 2κ2x+ d1)∂x+ (ax+ κ2 + κ3)∂w+ 4κ3ϕ∂ϕ.
Еволюцiйнi рiвняння та системи, iнварiантнi вiдносно AC1(1) 163
Алгебра Лi групи еквiвалентностi G∼2 класу рiвнянь (17) поро-
джується iнфiнiтезимальними операторами вигляду
(κ1t+ d0)∂t+ (ax2 + 2κ2x+ d1)∂x+ (ax+ κ2 + κ3)∂w+ 3κ3ψ∂ψ.
Тут κ1, κ2, κ3, a, d0, d1 – довiльнi сталi.
Зауваження. Крiм перетворень з групи еквiвалентностi G∼1 у класi
рiвнянь (16) iснують також додатковi точковi перетворення еквiва-
лентностi, якi описано групою науковцiв, очолюваною М.I. Сєровим.
Додатковi точковi перетворення еквiвалентностi є i мiж випадками
розширення симетрiї у класi рiвнянь (12).
Теорема 3. Алгеброю Лi ядра основних груп рiвнянь вигляду (10) є
алгебра Aker = 〈∂t, ∂x, D = 2x∂x + u∂u, Kx = x2∂x + xu∂u〉.
Теорема 4. З точнiстю до точкових перетворень для класу рiв-
нянь (10) iснує лише чотири випадки розширення максимальної в
сенсi Лi алгебри iнварiантностi (нижче ω = u3uxx та наведено ли-
ше базиснi оператори з доповнення до Aker):
1. f = ln(ω): Y1 = e4tu∂u;
2. f = ωm: D1 = 4mt∂t − u∂u, m 6= 0,± 1
3 – довiльна стала;
3. f = ω−
1
3 : D2 = 4t∂t + 3u∂u, Q1 = ∂u, Q2 = x∂u;
4. f = ω
1
3 : D3 = 4t∂t − 3u∂u, G = u∂x, K2 = xu∂x + u2∂u.
Теорема 5. Алгеброю Лi ядра основних груп рiвнянь вигляду (12) є
алгебра Aker = 〈∂t, ∂x, D = x∂x + u∂u, K = x2∂x + 2xu∂u〉.
Теорема 6. З точнiстю до точкових перетворень для класу рiв-
нянь (12) iснує лише три випадки розширення максимальної в сен-
сi Лi алгебри iнварiантностi (нижче ω = u2uxxx та наведено лише
базиснi оператори з доповнення до Aker):
1. g = ln(ω): Y1 = e3tu∂u;
2. g = ωm: D1 = 3mt∂t − u∂u, m 6= 0,− 1
2 – довiльна стала;
3. g = ω−
1
2 : D2 = 3t∂t + 2u∂u, Q1 = x2∂u, Q2 = x∂u, Q3 = ∂u.
Як випливає з наведених тверджень, найширшу симетрiю у класi
(10) має рiвняння
ut = u2(uxx)
1
3 , (18)
164 Н.В. Iчанська
ut = (uxx)−
1
3 , (19)
а в класi рiвнянь (12) –
ut = (uxxx)−
1
2 . (20)
В [17] для рiвняння (18) побудовано анзаци та проведено редукцiю.
Слiд зазначити, що рiвняння (18) замiною
t→ t, x→ x
u
, u→ 1
u
зводиться до рiвняння
ut = (uxx)
1
3 . (21)
Крiм того, в [19] доведено, що рiвняння (21) неточковою замiною
t→ t, x→ ux, u→ xux − u
зводиться до рiвняння (19).
Алгебри iнварiантностi рiвнянь (21), (19) та (20) складаються з
семи та восьми базових операторiв, що узгоджується з тверджен-
ням [23] про те, що алгебра iнварiантностi еволюцiйного рiвняння
порядку n складається не бiльше нiж з n+ 5 операторiв.
Рiвняння (19) та (21) видiлено i в [20, 21] при груповiй класифi-
кацiї рiвнянь вигляду ut = F (uxx) як тi, що володiють найширшою
симетрiєю. Рiвняння (20) видiлено як особливе також у [5].
4. Групова класифiкацiя рiвнянь n-го порядку. В цьому
пiдроздiлi результати одержанi для рiвнянь (19)–(21) узагальнено на
випадок рiвняння довiльного порядку. Розглянемо клас еволюцiйних
рiвнянь вигляду:
ut = f(un), (22)
де un = ∂nu
∂xn , f – довiльна гладка функцiя змiнної un, тобто функцiя
f залежить лише вiд старшої похiдної un, причому fun 6= 0. Класи-
фiкацiю таких рiвнянь, коли n = 2 проведено в роботах [20,21], тому
надалi вважаємо, що n > 2.
Будь-яке рiвняння вигляду (22) можна привести до вигляду
un = F (ut), (23)
Еволюцiйнi рiвняння та системи, iнварiантнi вiдносно AC1(1) 165
де F – гладка функцiя, яка є оберненою до функцiї f . Тому всi твер-
дження сформулюємо для рiвняння (23).
Результати групової класифiкацiї для рiвнянь класу (23) наведе-
мо в виглядi наступних трьох теорем.
Теорема 7. Алгеброю Лi ядра основних груп рiвнянь вигляду (23) є
алгебра Aker = 〈∂t, ∂x, nt∂t + x∂x +nu∂u, ∂u, x∂u, x
2∂u, . . . , x
n−1∂u〉.
Теорема 8. Алгебра Лi A∼ групи еквiвалентностi G∼ класу рiвнянь
(23) породжується операторами зAker (продовженими на довiльний
елементF) та операторами t∂u, u∂u + nF∂F , x∂x − nF∂F .
Теорема 9. З точнiстю до перетворень з G∼ для класу рiвнянь (23)
при n > 2 iснує лише чотири випадки розширення максимальної
в сенсi Лi алгебри iнварiантностi (нижче наведено лише базиснi
оператори з доповнення до Aker):
1. F = eut : Q = x∂x − nt∂u;
2. F = lnut: Q = n! t∂t − xn∂u;
3. F = (ut)
m: D1 = (1 − m)x∂x + nu∂u, m 6= −n+1
n−1 – довiльна
стала;
4. F = (ut)
− n+1
n−1 : D = 2x∂x+ (n−1)u∂u, K = x2∂x+ (n−1)xu∂u.
Доведення цих теорем проведемо одночасно. Скористаємося технi-
кою, запропонованою в [22]. Оскiльки (22) є еволюцiйним рiвнянням,
то в силу леми з [16] будь-який iнфiнiтезимальний оператор його лi-
ївської симетрiї має вигляд
X = ξ0(t)∂t + ξ1(t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u.
Пiсля переходу на многовид, заданий рiвнянням (23) в продовже-
ному просторi, i розщеплення по похiдним ux, u2, . . . , un−1 отрима-
ємо систему визначальних рiвнянь
ξ1
u = ηuu = 0, ηk u =
n− k
k + 1
ξ1
k+1, k ∈ N, (24)
[ηt + (ηu − ξ0
t )ut − ξ1
t ux]Ḟ = [ηu − nξ1
x]F + ηn. (25)
Якщо F – довiльна функцiя, то розщеплюючи (25) по F i Ḟ , отри-
маємо рiвняння ηu = nξ1
x = ξ0
t , ξ1
t = ηt = ηn = 0, розв’язком яких є
функцiї ξ0 = c1t+ c2, ξ1 = c1n
−1x+ c3, η = c1u+Pn−1(x), де c1, c2,
166 Н.В. Iчанська
c3 – довiльнi сталi, Pn−1 – довiльний полiном n− 1 степеня вiдносно
змiнної x, що доводить теорему 7.
Максимальна група еквiвалентностi класу рiвнянь (23) спiвпадає
з групою, породженою сукупнiстю однопараметричних перетворень
груп локальних симетрiй системи
un = F (ut), Ft = Fx = 0, Ful = 0, l = 1, n− 1, (26)
iнфiнiтезимальнi оператори яких мають вигляд
E = ξ0(t, x, u)∂t + ξ1(t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u + ζ(t, x, u, F )∂F .
З умови iнварiантностi [2] системи (26) вiдносно оператора E, пiсля
розщеплення за незв’язанними змiнними отримаємо систему визна-
чальних рiвнянь на коефiцiєнти оператора E, розв’язки якої зада-
ють оператори, котрi породжують групу перетворень еквiвалентно-
стi G∼. Теорема 8 доведена.
Опишемо всi можливi розширення МАI в класi рiвнянь (23). Розв’я-
завши першi три рiвняння з (24), отримаємо
η = a(t, x)u+ b(t, x), ξ1 = ξ1(t, x), (27)
де a, b – гладкi функцiї.
Структурне рiвняння для (25) має вигляд
(k1ut + k2)Ḟ = k3F + k4, (28)
де k1, . . . , k4 – деякi сталi. В залежностi вiд спiввiдношень мiж коефi-
цiєнтами ki з точнiстю до перетворень з G∼ отримуємо рiзнi вигляди
функцiї F . Зазначимо, що при k1 = k2 = 0 маємо at = bt = a− ξ0
t =
ξ1
t = 0, тобто розширення МАI немає.
Якщо k1 6= 0, k3 6= 0, то k2 = 0 i без обмеження загальностi
можна вважати k1 = 1, а розв’язком рiвняння (28) з точнiстю до
перетворень з групи G∼ є функцiя F = (ut)
m. Пiдставивши F в
рiвняння (25) та розщепивши по похiднiй ut, отримуємо:
(m− 1)a = mξ0
t − nξ1
x, at = bt = ξ1
t = 0, bn = 0.
В залежностi вiд значення m, з врахуванням рiвнянь (24), маємо або
третiй, або четвертий випадки теореми 9.
Еволюцiйнi рiвняння та системи, iнварiантнi вiдносно AC1(1) 167
Якщо k1 6= 0, k3 = 0, то k2 = 0, k1 = 1, а розв’язком рiвняння
(28) з точнiстю до перетворень з групи G∼ є функцiя F = lnut.
Пiдставивши F у (26), аналогiчно попередньому випадку маємо
a− ξ0
t = bn, at = bt = ξ1
t = 0, a− nξ1
x = 0.
В результатi отримуємо другий випадок теореми 9.
У випадку k1 = 0, k2 = 1 розв’язком рiвняння (28) з точнiстю до
перетворень з групи G∼ є функцiя F = eut , а рiвняння (26) розпа-
дається на систему рiвнянь:
a− ξ0
t = 0, at = ξ1
t = 0, bt = a− nξ1
x, bn = 0,
якi разом з (27) задають перший випадок теореми 9. Теорему 9 до-
ведено.
Твердження теореми 9 щодо рiвняння ut = (un)
n+1
n−1 узгоджуються
з результатами, одержаними Магадеєвим [18,23].
5. Системи еволюцiйних рiвнянь n-го порядку. Розглянемо
систему еволюцiйних рiвнянь, що узагальнює рiвняння (8) на випа-
док двох функцiй вiдносно двох невiдомих t, x:
Ut = F (t, x, U(n)), (29)
де F = (f1, f2) – довiльнi гладкi функцiї, U = (u1, u2), Ut = (u1
t , u
2
t ),
U(n) = (u1
(n), u
2
(n)).
Розв’яжемо задачу: видiлити з класу систем (29) тi, якi є iнва-
рiантними вiдносно розширеної конформної алгебри (6). Аналогiчно
теоремi 1 можна довести наступне твердження.
Теорема 10. Система (29) iнварiантна вiдносно алгебри (6) тодi i
тiльки тодi, коли вона має вигляд:
Ut = u1g, (30)
де g = (g1, g2) – довiльнi гладкi функцiї змiнних ω01 = u1/u2, ω02 =
u2u1
x−u1u2
x, ωak = ((ua)2∂x)k−1((ua)3uaxx) (суми по iндексу a немає),
k = 1, n− 1, a = 1, 2.
6. Висновки. У цiй статтi розв’язано низку прямих i оберне-
них задач групової класифiкацiї, внаслiдок чого побудовано нелiнiй-
нi еволюцiйнi рiвняння i системи, iнварiантнi вiдносно розширеної
конформної алгебри. Перерахуємо отриманi результати:
168 Н.В. Iчанська
1. Показано, що у класi еволюцiйних рiвнянь вигляду (8) тiльки
рiвняння (9) є iнварiантними вiдносно розширеної конформої
алгебри.
2. Встановлено, що найширшу алгебру симетрiй у класi рiвнянь
(10) мають рiвняння (18) та (19), а в класi рiвнянь (11) – рiв-
няння (20).
3. Показано, що найширшу алгебру симетрiй у класi рiвнянь до-
вiльного порядку (22) має рiвняння ut = (un)
n+1
n−1 .
4. Встановлено, що у класi систем еволюцiйних рiвнянь вигляду
(29) тiльки система (30) є iнварiантною вiдносно розширеної
конформної алгебри (6).
Виражаю щиру подяку М.I. Сєрову та Р.О. Поповичу за поста-
новку задач i цiннi рекомендацiї пiд час обговорення результатiв
дослiджень.
[1] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопрово-
дности // ДАН СССР. – 1959. – 125. – С. 492–495.
[2] Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Мо-
сква: Мир. – 1989. – 581 с.
[3] Serov N.I., Tulupova L.A. Symmetry properties of the generalized Korteweg–de
Vries and Burgers equations // Dopovidi Akademii Nauk Ukrainy. – 1994. –
№ 12. – P. 42–44.
[4] Tychynin V.A. Non-local symmetry and generating solutions for Harry–Dym-
type equations // J. Phys. A: Math. Gen. – 1994. – 27. – P. 4549–4556.
[5] Heredero R.H., Sokolov V.V., Svinolupov S.I. Toward the classification of third-
orderintegrable evolution equations // J. Phys. A: Math.Gen. – 1994. – 27. –
P. 4557–4568.
[6] Pava J.A. On the Cauchy problem for a Boussinesq-type system // Adv. Diff.
Equations. – 1999. – 4. – P. 457–492.
[7] Фущич В.И., Репета В.К., Серов Н.И. Нелиевская симметрия и точные ре-
шения одномерных уравнений газовой динамики // Доклады АН Украи-
ны. – 1991. – № 11. – С. 27–33.
[8] Фущич В.I., Чернiга Р.М. Системи лiнiйних еволюцiйних рiвнянь другого
порядку, iнварiантнi вiдносно алгебри Галiлея та її розширень // Доповiдi
АН України. – 1993. – № 8. – С. 44–51.
[9] Чернiга Р.М. О точных решениях одной нелинейной системы диффузион-
ного типа / Симметрийный анализ и решенния уравнений матфизики. –
Киев: Ин–т математики. – 1988. – С. 49–53.
[10] Андреєва Н.В. Cиметрiйнi властивостi нелiнiйної системи рiвнянь парабо-
лiчного типу // Працi Iнституту математики НАН України. – 1998. – 19. –
С. 10–13.
Еволюцiйнi рiвняння та системи, iнварiантнi вiдносно AC1(1) 169
[11] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – Мо-
сква: Наука. – 1978. – 400 с.
[12] Lie S. Klassifikation und Integration von gewöhnlichen differential Gleichungen
zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten // Math. Ann. –
1888. – 32. – S. 213–281.
[13] Nesterenko M.O. Transformation groups on real plane and their differential
invariants // Intern. J. Math. Math. Sci. – 2006. – 2006, 17410. – 17 pp.
[14] Olver P. Differential invariants and invariant differential equations// Lie Groups
Appl. – 1994. – 1. – P. 177–192.
[15] Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений С.А. Чаплыгина //Журн.
прикл. мех. и техн. физ. – 1960. – № 3. – C. 126–145.
[16] Бойко В.М., Попович В.О. Групова класифiкацiя галiлей-iнварiантних рiв-
нянь високого порядку // Працi Iнституту математики НАН України. –
2001. – 36. – С. 45–50.
[17] Serova M., Andreeva N. Evolution equations invariant under the conformal
algebra // Proceedings of the Second International Conference “Symmetry in
Nonlinear Mathematical Phisics”. – Kyiv: Institute of Mathematics. – 1997. –
1. – P. 217–221.
[18] Магадеев Б.А. Структура симметрии эволюционных уравнений / Дис.
. . . канд. физ.-мат. наук. – Уфа. – 1990. – 103 с.
[19] Gazizov R.K. Contact transformations of equations of the type of nonlinear fil-
tration / CRC handbook of Lie group analysis of differential equations, Vol. 1. –
Boca Raton: Chemical Rubber Company, 1994. – P. 125–135.
[20] Aхатов Н.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эв-
ристический подход / Итоги науки и техники. Современные проблемы ма-
тематики. Новейшие достижения. – 1989. – 34. – C. 3–83.
[21] Pukhnachov V.V. Nonlocal symmetries in nonlinear heat equations / Energy
methods in continuum mechanics (Oviedo, 1994). – Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 1996. – P. 75–99.
[22] Нiкiтiн А.Г., Попович Р.О. Групова класифiкацiя нелiнiйних рiвнянь Шрьо-
дiнгера // Укр. мат. журн. – 2001. – 51. – C. 1053–1060.
[23] Магадеев Б.А. О групповой классификации нелинейных эволюционных
уравнений // Алгебра и анализ. – 1993. – 5, вып.2. – С. 141–156.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-390 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:37Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f4/83ab3ff4a4a5ed9645c22b974ba43bf4.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3902020-08-13T10:42:30Z Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra Еволюційні рівняння та системи, інваріантні відносно конформної алгебри Ichanska, N. Ічанська, Н. Inverse and direct group classification problems are solved for classes of nonlinear evolutionary equations and systems of such equations, which are invariant with respect to realizations of conformal algebras. Для класів нелінійних еволюційних рівнянь та систем таких рівнянь, що є інваріантними відносно деяких реалізацій конформної алгебри, розв'язано низку обернених та прямих задач групової класифікації. Інститут математики НАН України 2006-11-14 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/390 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 3 No. 2 (2006): Symmetry and Integrability of Equations of Mathematical Physics (Dedicated to the 70-th Anniversary of Professor W.I. Fushchych); 159-169 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 159-169 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 3 № 2 (2006): Симетрія та інтегровність рівнянь математичної фізики (До 70-річчя від дня народження Вільгельма Ілліча Фущича); 159-169 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/390/450 Авторське право (c) 2020 Н. Ічанська http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Ichanska, N. Ічанська, Н. Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| title | Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| title_alt | Еволюційні рівняння та системи, інваріантні відносно конформної алгебри |
| title_full | Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| title_fullStr | Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| title_full_unstemmed | Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| title_short | Evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| title_sort | evolutionary equations invariant with respect to conformal algebra |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/390 |
| work_keys_str_mv | AT ichanskan evolutionaryequationsinvariantwithrespecttoconformalalgebra AT íčansʹkan evolutionaryequationsinvariantwithrespecttoconformalalgebra AT ichanskan evolûcíjnírívnânnâtasistemiínvaríantnívídnosnokonformnoíalgebri AT íčansʹkan evolûcíjnírívnânnâtasistemiínvaríantnívídnosnokonformnoíalgebri |