Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space.
A method without accuracy saturation is developed to solve a nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation with an unbounded operator coefficient in Banach space. The method is based on the application of collocations at the Chebyshev nodes to the integral equation g...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/391 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552890369835008 |
|---|---|
| author | Vasylyk, V.B. Sytnyk, D.O. Komaschenko, N.O. В.Б. Сытнык, Д.А. Комащенко, Н.О. Василик, В.Б. Ситник, Д.О. Комащенко, Н.О. |
| author_facet | Vasylyk, V.B. Sytnyk, D.O. Komaschenko, N.O. В.Б. Сытнык, Д.А. Комащенко, Н.О. Василик, В.Б. Ситник, Д.О. Комащенко, Н.О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V.B. Vasylyk",
"institution": "Institute of mathematics of National Academy of Sciences"
},
{
"author": "D.O. Sytnyk",
"institution": "Institute of mathematics of National Academy of Sciences"
},
{
"author": "N.O. Komaschenko",
"institution": "Institute of mathematics of National Academy of Sciences"
}
] |
| author_sort | Vasylyk, V.B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T14:54:30Z |
| description | A method without accuracy saturation is developed to solve a nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation with an unbounded operator coefficient in Banach space. The method is based on the application of collocations at the Chebyshev nodes to the integral equation generated by this problem. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 7–15
УДК 519.6
Метод без насичення точностi
розв’язування нелокальної
багатоточкової задачi для
еволюцiйного рiвняння першого
порядку в банаховому просторi *
В.Б. Василик, Д.О. Ситник, Н.О. Комащенко
Iнститут математики НАН України, Київ;
vasylyk@imath.kiev.ua, sytnik@imath.kiev.ua
A method without accuracy saturation is developed to solve a nonlocal
multipoint problem for first-order evolutionary differential equation with
an unbounded operator coefficient in Banach space. The method is based
on the application of collocations at the Chebyshev nodes to the integral
equation generated by this problem.
Розроблено метод без насичення точностi для розв’язування нелокаль-
ної багатоточкової задачi для еволюцiйного диференцiального рiвнян-
ня першого порядку з необмеженим операторним коефiцiєнтом у бана-
ховому просторi. Метод базується на застосуваннi колокацiй за вузла-
ми Чебишева до iнтегрального рiвняння, що породжується цiєю зада-
чею.
1 Вступ
Розглянемо багатоточкову нелокальну задачу для еволюцiйного рiв-
няння першого порядку
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
+𝐴1(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓1(𝑡),
𝑢(0) +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑢(𝑡𝑖) = 𝜙,
(1)
*Робота виконана за часткової пiдтримки НДР № 0117U004077.
c○ Василик В.Б., Ситник Д.О., Комащенко Н. О. , 2019
8 Василик В. Б., Ситник Д. О., Комащенко Н.О.
де 𝐴1(𝑡) = 𝐴1 + 𝑉1(𝑡) – секторiальний оператор iз областю визначе-
ння 𝐷(𝐴), що не залежить вiд 𝑡 в банаховому просторi, 𝑋, 𝑉1(𝑡) –
обмежений оператор, 𝜙 – заданий вектор, а 𝑓1(𝑡) – задана векторно-
значна функцiя, 𝛼𝑖 ∈ ℝ, 𝑡1 ≤ 𝑡2 ≤ · · · ≤ 𝑡𝑚 = 𝑇 . Вiдзначимо, що
оператори 𝐴1 i 𝑉1(𝑡) можуть бути некомутативними. Для 𝐴1 iснує
невiд’ємна стала 𝑀𝑅, незалежна вiд 𝑡, така, що на границi сектора
Σ𝜙 = {𝑧 ∈ ℂ : 0 ≤ 𝑎𝑟𝑔(𝑧) ≤ 𝜙,𝜙 ∈ (0, 𝜋/2)} i за його межами виконує-
ться оцiнка:
‖(𝑧𝐼 −𝐴1)
−1‖ ≤ 𝑀𝑅
1 + |𝑧|
. (2)
З цього припущення випливає, що iснує невiд’ємна стала 𝑐𝜅, така, що
(див. [1], с.103)
‖𝐴1𝑒
−𝑠𝐴1‖ ≤ 𝑐𝜅𝑠
−𝜅, 𝑠 > 0, 𝜅 ≥ 0. (3)
Припустимо також, що ∃ 𝜔 > 0:
‖𝑒−𝑠𝐴1‖ ≤ 𝑒−𝜔𝑠 ∀𝑠, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] (4)
(див. [2], Corollary 3.8, с.12). Нехай для 𝑉1(𝑡) виконується оцiнка
‖𝑉1(𝑡)− 𝑉1(𝑠)‖ ≤ 𝐿1|𝑡− 𝑠| ∀𝑡, 𝑠 ∈ [0, 𝑇 ], (5)
векторно-значна функцiя 𝑓1(𝑡) нерозривна:
𝑓1(𝑡) ∈ 𝐶(0, 1;𝑋). (6)
Метою цiєї роботи є побудова наближення без насичення точностi
розв’язку задачi (1).
2 Iснування i єдинiсть розв’язку
Вiдомо, що для 𝛼𝑖 = 0, 𝑖 = 1, 𝑛 задача (1) має єдиний розв’язок
при виконаннi умов (2)-(6) (див. напр. [2, 3]). Цей розв’язок можна
записаний як:
𝑢(𝑡) = 𝑈(𝑡, 0)𝑢(0) +
∫︁ 𝑡
0
𝑈(𝑡, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑈(𝑡, 0)𝜙+
∫︁ 𝑡
0
𝑈(𝑡, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠,
(7)
де 𝑈(𝑡, 𝑠) – еволюцiйний оператор, що вiдповiдає (1).
Метод без насичення точностi розв’язування нелокальної ба . . . 9
Вивчимо умови, при яких iснує єдиний розв’язок задачi (1). З (7)
маємо
𝑢(𝑡𝑖) = 𝑈(1, 0)𝑢(0) +
∫︁ 𝑡𝑖
0
𝑈(𝑡𝑖, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠.
Тодi, з нелокальної умови, отримаємо
𝑢(0) = 𝜙−
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑢(𝑡𝑖) = 𝜙−
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑈(𝑡𝑖, 0)𝑢(0)−
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖
∫︁ 𝑡𝑖
0
𝑈(𝑡𝑖, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠
𝑢(0) =
[︃
𝐼 +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑈(𝑡𝑖, 0)
]︃−1 [︃
𝜙−
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖
∫︁ 𝑡𝑖
0
𝑈(𝑡𝑖, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠
]︃
,
якщо iснує [𝐼 +
∑︀𝑚
𝑖=1 𝛼𝑖𝑈(𝑡𝑖, 0)]
−1. Тодi, пiдставляючи значення для
𝑢(0) в зображення розв’язку, отримаємо
𝑢(𝑡) =𝑈(𝑡, 0)
[︃
𝐼 +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑈(𝑡𝑖, 0)
]︃−1 [︃
𝜙−
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖
∫︁ 𝑡𝑖
0
𝑈(𝑡𝑖, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠
]︃
+
∫︁ 𝑡
0
𝑈(𝑡, 𝑠)𝑓1(𝑠)𝑑𝑠.
Звiдси видно, що розв’язок iснуватиме, якщо iснує[︃
𝐼 +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑈(𝑡𝑖, 0)
]︃−1
.
Використовуючи оцiнку для 𝑈(𝑡, 𝑠) (див. [2, 4]), маємо⃦⃦⃦⃦
⃦⃦
[︃
𝐼 +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑈(𝑡𝑖, 0)
]︃−1
⃦⃦⃦⃦
⃦⃦ ≤
[︃
1−
𝑚∑︁
𝑖=1
|𝛼𝑖| ‖𝑈(𝑡𝑖, 0)‖
]︃−1
≤
[︃
1−
𝑚∑︁
𝑖=1
|𝛼𝑖|𝑀
]︃−1
.
Отже, достатньою умовою iснування розв’язку задачi (1) є
𝑚∑︁
𝑖=1
|𝛼𝑖| ≤𝑀−1. (8)
10 Василик В. Б., Ситник Д. О., Комащенко Н.О.
3 Чисельний метод
Для побудови чисельного наближення для (1) використаємо технiку,
побудовану у [5] i [6]. Спочатку замiнимо змiнну в (1) за допомогою
𝑡→ 𝑇
2 (𝑡+ 1) i для 𝑣(𝑡) = 𝑢
(︀
𝑇
2 (𝑡+ 1)
)︀
маємо
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+𝐴(𝑡)𝑣(𝑡) = 𝑓(𝑡),
𝑣(−1) +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑣(𝑠𝑖) = 𝜙,
(9)
де 𝐴(𝑡) = 𝐴+ 𝑉 (𝑡) = 𝑇
2𝐴1
(︀
𝑇
2 (𝑡+ 1)
)︀
= 𝑇
2𝐴1 +
𝑇
2 𝑉1
(︀
𝑇
2 (𝑡+ 1)
)︀
, 𝑓(𝑡) =
𝑇
2 𝑓1
(︀
𝑇
2 (𝑡+ 1)
)︀
, 𝑠𝑖 = 𝑇
2 (𝑡𝑖 + 1), 𝑖 = 1, 𝑛.
Оберемо сiтку 𝜔𝑛 = {𝑡𝑘, 𝑘 = 0, ..., 𝑛} iз 𝑛+1 точки на [−1, 1], що є
вузлами Чебишева-Гауса-Лобато 𝑡𝑘 = − cos
(︀
𝑘
𝑛𝜋
)︀
i нехай 𝜏𝑘 = 𝑡𝑘−𝑡𝑘−1.
Перепишемо задачу (9) в еквiвалентнiй формi
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+𝐴𝑣 = 𝑉 (𝑡)𝑣(𝑡) + 𝑓(𝑡), 𝑡 ∈ (−1, 1),
𝑣(−1) +
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑣(𝑠𝑖) = 𝜙.
(10)
Вiдзначимо, що зараз оператор злiва в цьому рiвняннi сталий. Ми
можемо записати еквiвалентну до (10) систему iнтегральних рiвнянь
𝑣(𝑡) =e−𝐴(𝑡−𝑡𝑘−1)𝑣(𝑡𝑘−1) +
∫︁ 𝑡
𝑡𝑘−1
e−𝐴(𝑡−𝑠)𝑉 (𝑠)𝑣(𝑠)𝑑𝑠+
+
∫︁ 𝑡
𝑡𝑘−1
e−𝐴(𝑡−𝑠)𝑓(𝑠)𝑑𝑠, 𝑡 ∈ [𝑡𝑘−1, 𝑡𝑘].
(11)
Нехай
𝑃𝑛(𝑡; 𝑣) = 𝑃𝑛𝑣 =
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑣(𝑡𝑗)𝐿𝑗,𝑛(𝑡)
це iнтерполяцiйний полiном для 𝑣(𝑡) на сiтцi 𝜔𝑛, 𝑥 = (𝑥0, ..., 𝑥𝑛), 𝑥𝑖 ∈
𝑋 для заданого вектора
𝑃𝑛(𝑡; 𝑦) = 𝑃𝑛𝑥 =
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑥𝑗𝐿𝑗,𝑛(𝑡)
Метод без насичення точностi розв’язування нелокальної ба . . . 11
є iнтерполяцiйним полiномом, де 𝐿𝑗,𝑛(𝑡) – фундаментальнi полiноми
Лагранжа. Пiдставляючи 𝑃𝑛(𝑠;𝑥) замiсть 𝑣(𝑠), 𝑥𝑘 замiсть 𝑣(𝑡𝑘) i да-
лi пiдставивши 𝑡 = 𝑡𝑘 в (11), ми отримаємо таку систему лiнiйних
рiвнянь щодо невiдомих 𝑥𝑘 :
𝑥0 +
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑏𝑗𝑥𝑗 = 𝜙,
𝑥𝑘 = e−𝐴(𝑡𝑘+1)𝑥𝑘−1 +
𝑛∑︁
𝑗=0
𝛼𝑘𝑗𝑥𝑗 + 𝜑𝑘, 𝑘 = 1, 𝑛,
(12)
що подає наш алгоритм. Тут ми використали позначення
𝛼𝑘𝑗 =
∫︁ 𝑡𝑘
𝑡𝑘−1
e−𝐴(𝑡𝑘−𝑠)𝑉 (𝑠)𝐿𝑗,𝑛(𝑠)𝑑𝑠,
𝜑𝑘 =
∫︁ 𝑡𝑘
𝑡𝑘−1
e−𝐴(𝑡𝑘−𝑠)𝑓(𝑠)𝑑𝑠, 𝑘 = 1, 𝑛, 𝑗 = 0, 𝑛,
𝑏𝑗 =
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝐿𝑗,𝑛(𝑠𝑖), 𝑗 = 0, 𝑛
i припускаємо, що маємо метод для обчислення цих коефiцiєнтiв.
Для похибки 𝑧 = (𝑧0, ..., 𝑧𝑛), де 𝑧𝑘 = 𝑣(𝑡𝑘) − 𝑥𝑘, маємо спiввiдно-
шення
𝑧0 +
𝑛∑︁
𝑗=0
𝑏𝑗𝑧𝑗 = Ψ0,
𝑧𝑘 = e−𝐴𝜏𝑘𝑧𝑘−1 +
𝑛∑︁
𝑗=0
𝛼𝑘𝑗𝑧𝑗 + 𝜓𝑘, 𝑘 = 1, 𝑛,
(13)
де
Ψ0 =
𝑚∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖 [𝑃𝑛(𝑠𝑖, 𝑣)− 𝑣(𝑠𝑖)] ,
𝜓𝑘 =
∫︁ 𝑡𝑘
𝑡𝑘−1
e−𝐴(𝑡𝑘−𝑠)[𝑉𝑘 − 𝑉 (𝑠)][𝑣(𝑠)− 𝑃𝑛(𝑠; 𝑣)]𝑑𝑠, 𝑘 = 1, 𝑛.
12 Василик В. Б., Ситник Д. О., Комащенко Н.О.
Для запису (12) у блочно-матричнiй формi, введемо матрицю
𝑆 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
𝐼(1 + 𝑏0) 𝐼𝑏1 𝐼𝑏2 · · · 𝐼𝑏𝑛−1 𝐼𝑏𝑛
−𝜎1 𝐼 0 · · · 0 0
0 −𝜎2 𝐼 · · · 0 0
· · · · · · · ·
0 0 0 · · · −𝜎𝑛 𝐼
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , (14)
де 𝜎𝑘 = e−𝐴𝜏𝑘 , 𝑘 = 1, 𝑛, матрицю 𝐵 = {𝛼𝑘,𝑗}𝑛𝑘,𝑗=0, 𝑘 = 1, 𝑛, 𝑗 = 0, 𝑛, i
вектори 𝑥 = (𝑥0, . . . , 𝑥𝑛)
𝑇 , 𝜑 = (𝜙, 𝜑1, . . . , 𝜑𝑛)
𝑇 , 𝜓 = (Ψ0, 𝜓1, . . . , 𝜓𝑛)
𝑇 ,
𝑧 = (𝑧0, . . . , 𝑧𝑛)
𝑇 .
З використанням запропонованих позначень системи (12), (13) мо-
жна записати в матричнiй формi як
𝑆𝑥 = 𝐵𝑥+ 𝜑,
𝑆𝑧 = 𝐵𝑧 + 𝜓.
(15)
Далi, для вектора 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛)
𝑇 i блочно-операторної матрицi
𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}𝑛𝑖,𝑗=1 введемо норму
|‖𝑣‖| ≡ |‖𝑣‖|1 = max
1≤𝑘≤𝑛
‖𝑣𝑘‖,
i породжену матричну норму
|‖𝐴‖| ≡ |‖𝐴‖|1 = max
1≤𝑖≤𝑛
𝑛∑︁
𝑗=1
‖𝑎𝑖,𝑗‖.
Матрицю 𝑆 можна подати як 𝑆 = 𝑆1 + 𝟏𝐚𝑇 , де 𝟏 = (1, 0, . . . , 0)𝑇 ,
𝐚 = (𝑏0, . . . , 𝑏𝑁 )𝑇 – два вектори однакової розмiрностi, а матрои-
ця 𝑆1 є такою самою матрицею, як 𝑆1, iз вiдмiннiстю в першому
рядку, де перший елемент – це одиничний оператор, а всi решта –
нулi. З використанням леми Шермана-Морiсона в [7] було показа-
но, що матрицю 𝑆 можна обернути, якщо iснує обернена матриця
𝐵−1
𝑛 = [𝐼 −
∑︀𝑛
𝑗=0 𝑏𝑗e
−𝐴(𝑡𝑗+1)]−1. У цьому випадку, для оберненої ма-
трицi є справедливе зображення
𝑆−1 = 𝑆−1
1
(︀
𝐼 − 𝟏𝐚𝑇𝑆−1
1 𝐵−1
𝑁
)︀
,
де матриця 𝑆1 є частинним випадком матрицi 𝑆 (див. [5] формулу
Метод без насичення точностi розв’язування нелокальної ба . . . 13
(3.165) с. 55) i має обернену, що записується як
𝑆−1
1 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
𝐼 0 · · · 0 0
e−𝐴(𝑡1+1) 𝐼 · · · 0 0
e−𝐴(𝑡2+1) e−𝐴(𝑡2−𝑡1) · · · 0 0
· · · · · · ·
e−𝐴(𝑡𝑁+1) e−𝐴(𝑡𝑁−𝑡1) · · · e−𝐴(𝑡𝑁−𝑡𝑁−1) 𝐼
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (16)
Зауваження 3.1. Використовуючи результати [5], можна побу-
дувати паралельний метод наближення з експоненцiальною швид-
кiстю збiжностi для експонент ув 𝑆1
−1 i, як наслiдок, паралельний
метод для матрицi 𝑆1
−1.
Iз леми 2 [7] випливає, що при виконаннi умови (5) виконуватиму-
ться оцiнки
|‖𝐵‖| ≤ 𝑐1(𝑛+ 1)−1, (17)
|‖𝑆−1𝐵‖| ≤ 𝑐2. (18)
Нехай Π𝑛 – множина полiномiв вiд 𝑡 степеня, не вищого за 𝑛. Тодi,
згiдно з [8, 9], справедлива нерiвнiсть Лебега для векторно-значної
функцiї
‖𝑢(𝑡)− 𝑃𝑛(𝑡;𝑢)‖𝐶[−1,1] ≡ max
𝑡∈[−1,1]
‖𝑢(𝑡)− 𝑃𝑛(𝑡;𝑢)‖ ≤ (1 + Λ𝑛)𝐸𝑛(𝑢)
з похибкою найкращого наближення векторно-значної функцiї 𝑢(𝑡)
полiномами степеня, не вищого за 𝑛:
𝐸𝑛(𝑢) = inf
𝑝∈Π𝑛
max
𝑡∈[−1,1]
‖𝑢(𝑡)− 𝑝(𝑡)‖.
Сформулюємо i доведемо основний результат як теорему
Теорема 3.1. Нехай виконуються умови (2)–(6) i 𝑐2 < 1 в оцiнцi
(18), тодi для достатньо великого 𝑛 справедливi такi твердження:
1. Похибка 𝑧 може бути оцiнена як
|‖𝑧‖| ≤ 𝑐 ln (𝑛+ 1) · 𝐸𝑛(𝑣),
де 𝑣 – розв’язок задачi (9).
14 Василик В. Б., Ситник Д.О., Комащенко Н. О.
2. Перше рiвняння у (15) можна записати
𝑥 = 𝑆−1𝐵𝑥+ 𝑆−1𝜑,
яке можна розв’язувати методом послiдовних наближень
𝑥(𝑘+1) = 𝑆−1𝐵𝑥(𝑘) + 𝑆−1𝜑, 𝑘 = 0, 1, ...; 𝑥(0) − довiльне,
зi швидкiстю збiжностi геометричної прогресiї зi знаменни-
ком 𝑞 < 1 для достатньо великого 𝑛.
Доведення. Для 𝑧 iз другого рiвняння маємо
(𝐼 − 𝑆−1𝐵)𝑧 = 𝜓,
тому згiдно з оцiнкою (18) маємо
|‖𝑧|‖ ≤ 𝑐|‖𝜓|‖. (19)
Для |‖𝜓|‖ матимемо:
|‖𝜓‖| = max
1≤𝑘≤𝑛
⃦⃦⃦⃦
⃦
∫︁ 𝑡𝑘
𝑡𝑘−1
{︁
e−𝐴(𝑡𝑘−𝑠)[𝑉𝑘 − 𝑉 (𝑠)](𝑣(𝑠)− 𝑃𝑛(𝑠; 𝑣))
}︁
𝑑𝑠
⃦⃦⃦⃦
⃦ ≤
≤ 𝑐 max
1≤𝑘≤𝑛
∫︁ 𝑡𝑘
𝑡𝑘−1
|𝑡𝑘 − 𝑠| ‖𝑣(𝑠)− 𝑃𝑛(𝑠; 𝑣)‖𝑑𝑠 ≤
≤ 𝑐𝜏2𝑚𝑎𝑥 ‖𝑣(𝑠)− 𝑃𝑛(·; 𝑣)‖𝐶[−1,1] ≤ 𝑐𝜏2𝑚𝑎𝑥(1 + Λ𝑛)𝐸𝑛(𝑣),
‖Ψ0‖ ≤
𝑚∑︁
𝑖=1
|𝛼𝑖| ‖ [𝑃𝑛(𝑠𝑖, 𝑣)− 𝑣(𝑠𝑖)] ‖ ≤ 𝑐3 ln (𝑛+ 1)𝐸𝑛(𝑣).
Отже, маємо
|‖𝜓‖| ≤ 𝑐 · 𝐸𝑛(𝑣). (20)
Тепер перше твердження теореми випливає з (19), (20). Друге
твердження випливає з (15) i (18). ■
Метод без насичення точностi розв’язування нелокальної ба . . . 15
[1] Fujita, H. Norikazu Saito, Takashi Suzuki. Operator theory and numerical
methods / Hiroshi Fujita, — North-Holland Publishing Co., Amsterdam,
2001.— 30, of Studies in Mathematics and its Applications.— VIII+309
p.
[2] Pazy, A. Semigroups of linear operator and applications to partial differen-
tial equations.—New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1983.—
VIII+279 p.
[3] Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. — Москва: Наука, 1967. — 464 с.
[4] Kreı̆n, S. G. Linear differential equations in Banach space.—Providence,
R.I.: American Mathematical Society.—V+390 p.—Translated from the
Russian by J. M. Danskin, Translations of Mathematical Monographs, Vol.
29, 1971.
[5] Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially convergent algo-
rithms for abstract differential equations. Frontiers in Mathematics. —
Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011.—VIII+180 p.
[6] Exponentially convergent Duhamel-like algorithms for differential equa-
tions with an operator coefficient possessing a variable domain in a Banach
space / T. J. Bohonova, I. P. Gavrilyuk, V. L. Makarov, V. B. Vasylyk //
SIAM J. Numer. Anal.— 2007/08.— 46, 5.—P. 365–396.
[7] Sytnyk, D. Parallel numerical method for nonlocal-in-time Schrödinger
equation// Journal of Coupled Systems and Multiscale Dynamics. —
2017.— 5, 2.—P. 204–211.
[8] Babenko, K. Foundations of the numerical analysis (in Russian). —
Moscow: Nauka, 1986.— 848 p.
[9] Szegö, G. Orthogonal Polynomials (with an Introduction and a Comple-
ment by J.L.Geronimus) (in Russian).—Moscow: State Publishing House
of Physical and Mathematical Literature, 1962.— 500 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-391 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:37Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/7c/58f10e9ad8020d9fb03c80de63ac517c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3912020-08-09T14:54:30Z Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. Метод без насыщения точности для решения нелокальной многоточковой задачи для эволюцтонного уравнения в Банаховом пространстве Метод без насичення точності розв'язування нелокальної багатоточкової задачі для еволюційного рівняння першого порядку в банаховому просторі Vasylyk, V.B. Sytnyk, D.O. Komaschenko, N.O. В.Б. Сытнык, Д.А. Комащенко, Н.О. Василик, В.Б. Ситник, Д.О. Комащенко, Н.О. A method without accuracy saturation is developed to solve a nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation with an unbounded operator coefficient in Banach space. The method is based on the application of collocations at the Chebyshev nodes to the integral equation generated by this problem. Розроблено метод без насичення точності для розв'язування нелокальної багатоточкової задачі для еволюційного диференціального рівняння першого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом у банаховому просторі. Метод базується на застосуванні колокацій за вузлами Чебишева до інтегрального рівняння, що породжується цією задачею. Розроблено метод без насичення точності для розв'язування нелокальної багатоточкової задачі для еволюційного диференціального рівняння першого порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом у банаховому просторі. Метод базується на застосуванні колокацій за вузлами Чебишева до інтегрального рівняння, що породжується цією задачею. Інститут математики НАН України 2020-08-07 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/391 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 6-14 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 6-14 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 6-14 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/391/390 Авторське право (c) 2019 В.Б. Василик, Д.О.Ситник, Н.О. Комащенко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Vasylyk, V.B. Sytnyk, D.O. Komaschenko, N.O. В.Б. Сытнык, Д.А. Комащенко, Н.О. Василик, В.Б. Ситник, Д.О. Комащенко, Н.О. Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. |
| title | Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. |
| title_alt | Метод без насыщения точности для решения нелокальной многоточковой задачи для эволюцтонного уравнения в Банаховом пространстве Метод без насичення точності розв'язування нелокальної багатоточкової задачі для еволюційного рівняння першого порядку в банаховому просторі |
| title_full | Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. |
| title_fullStr | Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. |
| title_full_unstemmed | Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. |
| title_short | Method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in Banach space. |
| title_sort | method without accuracy saturation for the solution of nonlocal multipoint problem for first-order evolutionary differential equation in banach space. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/391 |
| work_keys_str_mv | AT vasylykvb methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT sytnykdo methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT komaschenkono methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT vb methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT sytnykda methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT komaŝenkono methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT vasilikvb methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT sitnikdo methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT komaŝenkono methodwithoutaccuracysaturationforthesolutionofnonlocalmultipointproblemforfirstorderevolutionarydifferentialequationinbanachspace AT vasylykvb metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT sytnykdo metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT komaschenkono metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT vb metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT sytnykda metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT komaŝenkono metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT vasilikvb metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT sitnikdo metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT komaŝenkono metodbeznasyŝeniâtočnostidlârešeniânelokalʹnojmnogotočkovojzadačidlâévolûctonnogouravneniâvbanahovomprostranstve AT vasylykvb metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT sytnykdo metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT komaschenkono metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT vb metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT sytnykda metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT komaŝenkono metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT vasilikvb metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT sitnikdo metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí AT komaŝenkono metodbeznasičennâtočnostírozv039âzuvannânelokalʹnoíbagatotočkovoízadačídlâevolûcíjnogorívnânnâperšogoporâdkuvbanahovomuprostorí |