Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables
The exact expressions of simultaneous Pade approximants for the basic hypergeometric series of two variables are derived.
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/392 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552891876638720 |
|---|---|
| author | Golub, A.P Teteruk, I.S. Голуб, А.П. Тетерук, И.С. Голуб, А.П. Тетерук, І.С. |
| author_facet | Golub, A.P Teteruk, I.S. Голуб, А.П. Тетерук, И.С. Голуб, А.П. Тетерук, І.С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А.П. Голуб",
"institution": "Інститут математики Національної академії наук України"
},
{
"author": "І.С. Тетерук",
"institution": "Інститут математики Національної академії наук України"
}
] |
| author_sort | Golub, A.P |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T14:51:52Z |
| description | The exact expressions of simultaneous Pade approximants for the basic hypergeometric series of two variables are derived. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 16–23
УДК 517.983.27
Узагальненi моментнi зображення та
апроксиманти типу Паде деяких
базисних гiпергеометричних рядiв
двох змiнних
А.П. Голуб, I. С. Тетерук
Iнститут математики НАН України, Київ;
golub@imath.kiev.ua, moroz@imath.kiev.ua
The exact expressions of simultaneous Pade approximants for the basic
hypergeometric series of two variables are derived.
Знайдено явний вигляд для сумiсних апроксимант Паде базисних гi-
пергеометричних рядiв двох змiнних.
Метод узагальнених моментних зображень [1], який запропонував
В.К. Дзядик у 1981 р., дав можливiсть з єдиних позицiй будувати
та дослiджувати рацiональнi апроксиманти Паде i їхнє узагальнення
для багатьох класiв спецiальних функцiй [2].
Означення 1 [1]. Для числової послiдовностi {𝑠𝑘}𝑘∈ℤ+ дiє уза-
гальнене моментне зображення на декартовому добутку лiнiйних про-
сторiв 𝒳 i 𝒴 за означеною на цьому добутку бiлiнiйною формою ⟨·, ·⟩,
якщо у просторi 𝒳 вказано послiдовнiсть елементiв {𝑥𝑘}𝑘∈ℤ+
, а у
просторi 𝒴 — послiдовнiсть елементiв {𝑦𝑗}𝑗∈ℤ+
, таких, що
𝑠𝑘+𝑗 = ⟨𝑥𝑘, 𝑦𝑗⟩, 𝑘, 𝑗 ∈ ℤ+. (1)
Якщо простори 𝒳 i 𝒴 є нормованими, бiлiнiйна форма є нарiзно
неперервною й iснує обмежений лiнiйний оператор 𝐴 : 𝒳 → 𝒳 , такий,
що
𝐴𝑥𝑘 = 𝑥𝑘+1, 𝑘 ∈ ℤ+,
c○ Голуб А.П., Тетерук I. С., 2019
Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Па . . . 17
а у просторi 𝒴 iснує оператор 𝐴*, спряжений до 𝐴 вiдносно бiлiнiйної
форми ⟨·, ·⟩, в тому сенсi, що
⟨𝐴𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥,𝐴*𝑦⟩ ∀𝑥 ∈ 𝒳 , 𝑦 ∈ 𝒴
узагальнене моментне зображення (1) еквiвалентне до зображення
𝑠𝑘 = ⟨𝐴𝑘𝑥0, 𝑦0⟩, 𝑘 ∈ ℤ+. (2)
Зокрема, в [3] були дослiдженi узагальненi моментнi зображення з
оператором дробово-лiнiйного перетворення незалежної змiнної
(𝐴𝜙)(𝑡) = 𝜙
(︂
𝑡
(1− 𝑞)𝑡+ 𝑞
)︂
. (3)
Цей оператор при 𝑞 ∈ (0,+∞)∖{1} вiдображає простiр 𝒳 = 𝐶[0, 1]
сам у себе. На цiй основi в [4] були побудованi апроксиманти Паде
базисних гiпергеометричних рядiв типу
𝑓(𝑧) =
∞∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘
1 + 𝜀𝑞𝑘
=
1
1 + 𝜀
2𝜑1
[︂
𝑞;−𝜀
−𝜀𝑞 ; 𝑞; 𝑧
]︂
, 0 < 𝜀 <∞, (4)
де
2𝜑1
[︂
𝑎; 𝑏
𝑐
; 𝑞; 𝑧
]︂
=
∞∑︁
𝑘=0
(𝑎, 𝑞)𝑘(𝑏, 𝑞)𝑘
(𝑐, 𝑞)𝑘(𝑞, 𝑞)𝑘
𝑧𝑘, (5)
а 𝑞 — символ Похгаммера (𝑎; 𝑞)𝑘, 𝑘 ∈ ℤ+, визначається спiввiдношен-
ням
(𝑎, 𝑞)𝑘 =
{︃
1, 𝑘 = 0
(1− 𝑎)(1− 𝑎𝑞) · · · · · (1− 𝑎𝑞𝑘−1), 𝑘 ∈ ℕ.
(6)
Побудованi у [3] узагальненi мометнi зображення для послiдовно-
стi {̃︀𝑠𝑘}∞𝑘=0 ̃︀𝑠𝑘 =
1
1 + 𝜀𝑞𝑘
, 𝑘 ∈ ℤ+,
мають форму
̃︀𝑠𝑘+𝑗 = ⟨̃︀𝑥𝑘, ̃︀𝑦𝑗⟩ = ̃︀𝑦𝑗 (̃︀𝑥𝑘) , 𝑘, 𝑗 ∈ ℤ+,
18 Голуб А.П., Тетерук I. С.
де неперервнi функцiї ̃︀𝑥(𝑡), 𝑘 ∈ ℤ+ мають форму
̃︀𝑥𝑘(𝑡) = (︀𝐴𝑘𝑥0)︀ (𝑡) = 𝑡
(1− 𝛿𝑞𝑘)𝑡+ 𝛿𝑞𝑘
, 𝑘 ∈ ℤ+,
а неперервнi функцiонали ̃︀𝑦𝑗 , 𝑗 ∈ ℤ+ визначаються спiввiдношеннями
̃︀𝑦𝑗(𝑥) = (︀𝐴⋆𝑗̃︀𝑦0)︀ (𝑥) = 𝑥 (𝑡𝑗) = 𝑥
(︂
𝑡0
(1− 𝑞𝑗) 𝑡0 + 𝑞𝑗
)︂
,
де 𝑡0 ∈ (0, 1), 𝛿 ∈ (0,+∞), 𝜀 =
𝛿 (1− 𝑡0)
𝑡0
.
У [4] були побудованi нетривiальнi бiортргональнi полiноми ̃︀𝑌𝑁 ,
𝑁 ∈ ℤ+ вигляду
̃︀𝑌𝑁 =
𝑁∑︁
𝑗=0
̃︀𝑐(𝑁)
𝑗 ̃︀𝑦𝑗 ,
такi, що ̃︀𝑌𝑁 (̃︀𝑥𝑘) = 0, 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑁 − 1,
а саме, для коефiцiєнтiв ̃︀𝑐(𝑁)
𝑗 , 𝑗 = 0, 1, . . . , 𝑁 з точнiстю до постiйного
множника знайдено вирази
̃︀𝑐(𝑁)
𝑗 = (−1)𝑁−𝑗 (−𝜀; 𝑞)𝑁+𝑗
(−𝜀; 𝑞)𝑗𝑞(2𝑁−𝑗−1)𝑗/2(𝑞; 𝑞)𝑗(𝑞; 𝑞)𝑁−𝑗
, 𝑗 = 0, 1, . . . , 𝑁.
У [6] метод узагальнених моментних зображень було поширено на
випадок двовимiрних послiдовностей.
Означення 2. Для двовимiрної числової послiдовностi {𝑠𝑘,𝑚}(𝑘,𝑚)∈ℤ2
+
має мiсце двовимiрне узагальнене моментне зображення на 𝒳 × 𝒴
за бiлiнiйною формою ⟨·, ·⟩, якщо вказано двовимiрнi послiдовностi
{𝑥𝑘,𝑚}𝑘,𝑚∈ℤ+
⊂ 𝒳 i {𝑦𝑗,𝑛}𝑗,𝑛∈ℤ+
⊂ 𝒴 такi, що
𝑠𝑘+𝑗,𝑚+𝑛 = ⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑦𝑗,𝑛⟩, 𝑘,𝑚, 𝑗, 𝑛 ∈ ℤ+. (7)
Знову ж таки, якщо простори 𝒳 i 𝒴 нормованi, бiлiнiйна форма
⟨·, ·⟩ нарiзно неперервна i iснують обмеженi лiнiйнi оператори𝐴,𝐵 : 𝒳 →
𝒳 , що комутують мiж собою, i такi, що
𝐴𝑥𝑘,𝑚 = 𝑥𝑘+1,𝑚, (𝑘,𝑚) ∈ ℤ+,
𝐵𝑥𝑘,𝑚 = 𝑥𝑘,𝑚+1, (𝑘,𝑚) ∈ ℤ+,
Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Па . . . 19
а у просторi 𝒴 iснують оператори 𝐴* i 𝐵*, спряженi до операторiв
𝐴 i 𝐵 вiдповiдно вiдносно бiлiнiйної форми ⟨·, ·⟩, то зображення (7)
еквiвалентне до зображення
𝑠𝑘,𝑚 = ⟨𝐴𝑘𝐵𝑚𝑥0,0, 𝑦0,0⟩, (𝑘,𝑚) ∈ ℤ+. (8)
Також у [6] було встановлено наступний результат.
Теорема 1. Нехай формальний степеневий ряд має вигляд
𝑓(𝑧, 𝑤) =
∑︁
(𝑘,𝑚)∈ℤ2
+
𝑠𝑘,𝑚𝑧
𝑘𝑤𝑚, (9)
i для двовимiрної числової послiдовностi {𝑠𝑘,𝑚}(𝑘,𝑚)∈ℤ2
+
має мiсце
узагальнене моментне зображення вигляду (11). Якщо при цьому
при деяких 𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ iснує узагальнений полiном
𝑌𝑁1,𝑁2 =
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑗,𝑛 𝑦𝑗,𝑛, 𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1,𝑁2
̸= 0,
такий, що виконуються умови бiортогональностi
⟨𝑥𝑘,𝑚, 𝑌𝑁1,𝑁2
⟩ = 0
при (𝑘,𝑚) ∈ ℋ ⊂ ℤ2
+, |ℋ| = (𝑁1 + 1)(𝑁2 + 1) − 1, i для множини ℋ
виконуєтся властивiсть включення (inclusion property):
∀(𝑘,𝑚) ∈ ℋ ∀𝑘1 ≤ 𝑘 ∀𝑚1 ≤ 𝑚 (𝑘1,𝑚1) ∈ ℋ
(див. [7]), то рацiональна функцiя
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤)
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤)
,
де
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤) =
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−𝑗,𝑁2−𝑛𝑧
𝑗𝑤𝑛,
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤) =
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−𝑗,𝑁2−𝑛𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+
20 Голуб А.П., Тетерук I. С.
+𝑧𝑁1
𝑁2−1∑︁
𝑚=0
𝜙(𝑚)∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁1∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑗,𝑁2−𝑛 𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
+𝑤𝑁2
𝑁1−1∑︁
𝑘=0
𝜓(𝑘)∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁2∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁1,𝑁2)
𝑁1−𝑗,𝑛 𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛,
де 𝜙 : [0, 𝑁2 − 1] → ℤ+, 𝜓 : [0, 𝑁1 − 1] → ℤ+, матиме розклад у
степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами
ряду (13) для всiх
(𝑗, 𝑛) ∈ ℰ = {(𝑗, 𝑛) : 𝑗 ∈ [0, 𝑁1 − 1], 𝑛 ∈ [0, 𝑁2 + 𝜓(𝑗)]}⋃︁
{(𝑗, 𝑛) : 𝑛 ∈ [0, 𝑁2 − 1], 𝑗 ∈ [0, 𝑁1 + 𝜙(𝑛)]}⋃︁
{(𝑗, 𝑛) : (𝑗 −𝑁1, 𝑛−𝑁2) ∈ ℋ} .
У випадку, коли для послiдовностi {𝑠𝑘,𝑚}(𝑘,𝑚)∈ℤ2
+
має мiсце зобра-
ження вигляду (9) зi спiвпадаючими операторами 𝐴 = 𝐵 : 𝒳 → 𝒳 ,
функцiя зображувана рядом (9), матиме вигляд
𝑓(𝑧, 𝑤) =
𝑤 ̃︀𝑓(𝑤)− 𝑧 ̃︀𝑓(𝑧)
𝑤 − 𝑧
. (10)
Функцiї такого вигляду називають псевдодвовимiрними (див. [7]).
Припустимо, що для послiдовностi
{𝑠𝑘}𝑘∈ℤ+
, 𝑠𝑘 = ⟨𝐴𝑘𝑥0,0, 𝑦0,0⟩, 𝑘 ∈ ℤ+
виконується умова:
∀𝑁 ∈ ℕ ∃ 𝑌𝑁 =
𝑁∑︁
𝑗=0
𝑐
(𝑁)
𝑗 𝑦𝑗 =
𝑁∑︁
𝑗=0
𝑐
(𝑁)
𝑗 𝐴*𝑗𝑦0,0, 𝑐
(𝑁)
𝑁 ̸= 0,
(11)
i
⟨𝑥̃𝑘, 𝑌𝑁 ⟩ = ⟨𝐴𝑘𝑥0,0, 𝑌𝑁 ⟩ = 0 ∀𝑘 = 0, 1, ..., 𝑁 − 1. (12)
Ця умова, як вiдомо з [1], дає можливiсть будувати апроксиманти
Паде порядкiв [𝑁−1/𝑁 ] функцiї 𝑓 . У такому разi має мiсце наступний
результат, що є певним узагальненням теореми 2 з [6].
Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Па . . . 21
Теорема 2. Для аналiтичної функцiї двох змiнних 𝑓 , що має
зображення (10) за виконання умови (11), рацiональнi функцiї
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤) =
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤)
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤)
(13)
такi, що
𝑄𝒟(𝑧, 𝑤) =
𝑁∑︁
𝑗=0
𝑁∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑁−𝑗,𝑁−𝑛𝑧
𝑗𝑤𝑛, (14)
𝑃𝒩 (𝑧, 𝑤) =
𝑁−1∑︁
𝑘=0
𝑁−1∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑁−𝑗,𝑁−𝑛𝑠𝑘−𝑗,𝑚−𝑛+
+𝑧𝑁
𝑁−1∑︁
𝑚=0
3𝑁−1−𝑚∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑁∑︁
𝑗=0
𝑚∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑗,𝑁−𝑛𝑠𝑘+𝑗,𝑚−𝑛+
+𝑤𝑁
𝑁−1∑︁
𝑘=0
3𝑁−1−𝑘∑︁
𝑚=0
𝑧𝑘𝑤𝑚
𝑘∑︁
𝑗=0
𝑁∑︁
𝑛=0
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑁−𝑗,𝑛𝑠𝑘−𝑗,𝑚+𝑛 (15)
а коефiцiєнти 𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 , 𝑘,𝑚 = 0, 𝑁 задовольняють рiвностi
𝑁∑︁
𝑘=0
𝑁∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 𝑦𝑘,𝑚 =
2𝑁∑︁
𝑗=0
𝑐
(2𝑁)
𝑗 𝑦𝑗 = 𝑌𝑁 (16)
i матимуть розклади в степеневi ряди, коефiцiєнти яких збiгати-
муться з коефiцiєнтами ряду (10) для функцiї 𝑓 для всiх
(𝑗, 𝑛) ∈ ℰ = {(𝑗, 𝑛) ∈ ℤ2
+, 𝑗 + 𝑛 ≤ 4𝑁 − 1}.
Рiвностi (16) не дають змоги визначити коефiцiєнти 𝑐(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 , 𝑘,𝑚 =
0, 𝑁 однозначно. Тому, як i в [6], розглянемо окремi варiанти визна-
чення цих коефiцiєнтiв.
22 Голуб А.П., Тетерук I. С.
Варiант (a).
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 =
{︃
1
𝑘+𝑚+1𝑐
(2𝑁)
𝑘+𝑚, 𝑘 +𝑚 ≤ 𝑁
1
2𝑁−𝑘−𝑚+1𝑐
(2𝑁)
𝑘+𝑚, 𝑘 +𝑚 > 𝑁
(17)
Варiант (b).
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑐
(2𝑁)
0 , (𝑘,𝑚) = (0, 0)
𝑐
(2𝑁)
2𝑁 , (𝑘,𝑚) = (𝑁,𝑁)
0, 𝑘 ̸= 0, 𝑁 ∨𝑚 ̸= 0, 𝑁
1
2𝑐
(2𝑁)
𝑘 , 𝑘 = 1, 𝑁 − 1,𝑚 = 0
1
2𝑐
(2𝑁)
𝑁+𝑚, 𝑚 = 0, 𝑁 − 1, 𝑘 = 𝑁
1
2𝑐
(2𝑁)
𝑚 , 𝑚 = 1, 𝑁 − 1, 𝑘 = 0
1
2𝑐
(2𝑁)
𝑁+𝑘, 𝑘 = 0, 𝑁 − 1,𝑚 = 𝑁
(18)
Варiант (c).
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 =
⎧⎨⎩
1
2𝑘+𝑚
(︁
𝑘+𝑚
𝑘
)︁
𝑐
(2𝑁)
𝑘+𝑚, 𝑘 +𝑚 ≤ 𝑁
1
22𝑁−𝑘−𝑚
(︁
2𝑁−𝑘−𝑚
𝑁−𝑘
)︁
𝑐
(2𝑁)
𝑘+𝑚, 𝑘 +𝑚 > 𝑁
(19)
Неважко помiтити, що твердження теореми 2 буде правильним,
зокрема, у випадку, коли оператор 𝐴 має вигляд (3). Як наслiдок
отримаємо наступний результат.
Теорема 3. Для аналiтичної функцiї двох змiнних, зображуваної
у виглядi
𝑓(𝑧, 𝑤) =
𝑤𝑓(𝑤)− 𝑧𝑓(𝑧)
𝑤 − 𝑧
,
де 𝑓 має вигляд (4), рацiональна функцiя
[𝒩/𝒟]𝑓 (𝑧, 𝑤)
вигляду (13)–(15), де коефiцiєнти 𝑐(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 , 𝑘,𝑚 = 0, 𝑁 задовольняють
рiвностi
𝑁∑︁
𝑘=0
𝑁∑︁
𝑚=0
𝑐
(𝑁,𝑁)
𝑘,𝑚 𝑦𝑘+𝑚 =
2𝑁∑︁
𝑗=0
(−1)𝑗
(−𝜀; 𝑞)2𝑁+𝑗
(−𝜀; 𝑞)𝑗𝑞(4𝑁−𝑗−1)𝑗/2(𝑞; 𝑞)𝑗(𝑞; 𝑞)2𝑁−𝑗
𝑦𝑗 ,
Узагальненi моментнi зображення та апроксиманти типу Па . . . 23
а
𝑠𝑘,𝑚 = 𝑠𝑘+𝑚 =
1
1 + 𝜀
· 1
1− 𝜀𝑞𝑘+𝑚
,
матиме розклад в степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатиму-
ться з коефiцiєнтами розкладу функцiї 𝑓 для всiх
(𝑗, 𝑛) ∈ ℰ =
{︀
(𝑗, 𝑛) ∈ ℤ2
+ : 𝑗 + 𝑛 ≤ 4𝑁 − 1
}︀
.
[1] Дзядик В.К. Про узагальнення проблеми моментiв// Доп. АН УРСР.
— 1981. — № 6. — С. 8–12.
[2] Голуб А.П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде.
— Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. — 222 с.
[3] Golub A.P. Generalized moment representations and Pade’ approximants
associated with bilinear transformations // Укр. мат. журн. — 2002. —
54, № 5. — С. 335 — 339.
[4] Голуб А.П., Гаврилюк Н.М. Апроксиманти Паде рядiв, пов’язаних з
дробово-лiнiйними перетвореннями // Теорiя наближення функцiй та
сумiжнi питання. Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2014.
— 11, № 3. — С. 71–77.
[5] Гаспер Дж., Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды. — М.:
Мир. 1993. — 349 с.
[6] Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зобра-
ження та рацiональнi апроксимацiї функцiй двох змiнних // Укр. мат.
журн. — 2013. — 65, 8. — С. 1035 — 1058.
[7] Cuyt A., Tan J., Zhou P. General order multivariate Padé approximants
for pseudo—multivariate functions // Mathematics of Computation. —
2006. — 75, 254, P.727–747.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-392 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:39Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/85/28c2b2c65d5486b190d2a214c230c085.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3922020-08-09T14:51:52Z Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables Обобщенные моментные изображения и аппроксимант типа Паде некоторых базисных гипергеометрических рядов двух переменных Узагальнені моментні зображення та апроксиманти типу Паде деяких базисних гіпергеометричних рядів двох змінних Golub, A.P Teteruk, I.S. Голуб, А.П. Тетерук, И.С. Голуб, А.П. Тетерук, І.С. The exact expressions of simultaneous Pade approximants for the basic hypergeometric series of two variables are derived. Знайдено явний вигляд для сумісних апроксимант Паде базисних гіпергеометричних рядів двох змінних. Знайдено явний вигляд для сумісних апроксимант Паде базисних гіпергеометричних рядів двох змінних. Інститут математики НАН України 2020-08-07 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/392 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 15-22 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 15-22 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 15-22 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/392/394 Авторське право (c) 2019 А.П. Голуб, І.С.Тетерук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Golub, A.P Teteruk, I.S. Голуб, А.П. Тетерук, И.С. Голуб, А.П. Тетерук, І.С. Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| title | Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| title_alt | Обобщенные моментные изображения и аппроксимант типа Паде некоторых базисных гипергеометрических рядов двух переменных Узагальнені моментні зображення та апроксиманти типу Паде деяких базисних гіпергеометричних рядів двох змінних |
| title_full | Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| title_fullStr | Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| title_full_unstemmed | Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| title_short | Generalized moment representations and Pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| title_sort | generalized moment representations and pade-type approximants of some basis hypergeometric series of two variables |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/392 |
| work_keys_str_mv | AT golubap generalizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsofsomebasishypergeometricseriesoftwovariables AT teterukis generalizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsofsomebasishypergeometricseriesoftwovariables AT golubap generalizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsofsomebasishypergeometricseriesoftwovariables AT teterukis generalizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsofsomebasishypergeometricseriesoftwovariables AT golubap generalizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsofsomebasishypergeometricseriesoftwovariables AT teterukís generalizedmomentrepresentationsandpadetypeapproximantsofsomebasishypergeometricseriesoftwovariables AT golubap obobŝennyemomentnyeizobraženiâiapproksimanttipapadenekotoryhbazisnyhgipergeometričeskihrâdovdvuhperemennyh AT teterukis obobŝennyemomentnyeizobraženiâiapproksimanttipapadenekotoryhbazisnyhgipergeometričeskihrâdovdvuhperemennyh AT golubap obobŝennyemomentnyeizobraženiâiapproksimanttipapadenekotoryhbazisnyhgipergeometričeskihrâdovdvuhperemennyh AT teterukis obobŝennyemomentnyeizobraženiâiapproksimanttipapadenekotoryhbazisnyhgipergeometričeskihrâdovdvuhperemennyh AT golubap obobŝennyemomentnyeizobraženiâiapproksimanttipapadenekotoryhbazisnyhgipergeometričeskihrâdovdvuhperemennyh AT teterukís obobŝennyemomentnyeizobraženiâiapproksimanttipapadenekotoryhbazisnyhgipergeometričeskihrâdovdvuhperemennyh AT golubap uzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimantitipupadedeâkihbazisnihgípergeometričnihrâdívdvohzmínnih AT teterukis uzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimantitipupadedeâkihbazisnihgípergeometričnihrâdívdvohzmínnih AT golubap uzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimantitipupadedeâkihbazisnihgípergeometričnihrâdívdvohzmínnih AT teterukis uzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimantitipupadedeâkihbazisnihgípergeometričnihrâdívdvohzmínnih AT golubap uzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimantitipupadedeâkihbazisnihgípergeometričnihrâdívdvohzmínnih AT teterukís uzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimantitipupadedeâkihbazisnihgípergeometričnihrâdívdvohzmínnih |