Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations
The problem of the chaotic synchronization of two identical models of a single-machine-infinite-bus power system (SMIB) under impulse perturbations and with two delayed controllers is considered. One of them regulates the chaos anticontrol, and the another one is responsible for synchronization. For...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/393 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552891566260224 |
|---|---|
| author | Ivanov, I.L. Иванов, И.Л. Іванов, І.Л. |
| author_facet | Ivanov, I.L. Иванов, И.Л. Іванов, І.Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "I.L. Ivanov",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Ivanov, I.L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T14:49:28Z |
| description | The problem of the chaotic synchronization of two identical models of a single-machine-infinite-bus power system (SMIB) under impulse perturbations and with two delayed controllers is considered. One of them regulates the chaos anticontrol, and the another one is responsible for synchronization. For this pair of power systems, the synchronization conditions are obtained and an exponential estimate for the norm of the error vector is found. The obtained results are numerically demonstrated. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 24–37
УДК 531.36
Синхронiзацiя хаосу у моделях
енергосистем зi двома запiзненнями
при iмпульсних збуреннях
I. Л. Iванов
Iнститут механiки iм. С.П.Тимошенка НАН України, Київ;
center@inmech.kiev.ua
The problem of the chaotic synchronization of two identical models of a
single-machine-infinite-bus power system (SMIB) under impulse perturba-
tions and with two delayed controllers is considered. One of them regulates
the chaos anticontrol, and the another one is responsible for synchroniza-
tion. For this pair of power systems, the synchronization conditions are
obtained and an exponential estimate for the norm of the error vector is
found. The obtained results are numerically demonstrated.
Розглянуто задачу синхронiзацiї хаотичного руху двох iдентичних мо-
делей одномашинної енергосистеми з шинами нескiнченної потужностi
(SMIB) при iмпульсних збуреннях i зi двома регуляторами, кожен iз
яких мiстить запiзнення. Один iз цих регуляторiв вiдповiдає за генеру-
вання хаосу, а другий — за синхронiзацiю. Для такої пари енергосистем
отримано умови синхронiзацiї i знайдено експоненцiальну оцiнку щодо
норми вектора помилки. Отриманi умови продемонстрованi чисельно.
Вступ
Детермiнований хаос є добре вивченим явищем у нелiнiйнiй дина-
мiцi i характерний для ряду систем популяцiйної бiологiї, фiзики,
фiнансової математки, бiомедичної iнженерiї, електротехнiки, хiмiї
тощо [1, 2]. Вiн може спостерiгатись у таких математичних моделях,
як каскади, звичайнi диференцiальнi рiвняння, диференцiальнi рiв-
няння з частинними похiдними, а також диференцiальнi рiвняння з
запiзненням або iмпульсною дiєю [3]. У таких системах може ста-
витись як задача керування хаосом, що зазвичай означає усунення
c○ Iванов I.Л., 2019
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 25
хаосу, коли вiн шкiдливий, так i задача генерування хаосу (хаоти-
зацiї, chaos anticontrol — “антикерування хаосом”), якщо вiн бажа-
ний [4, 5]. Значну увагу дослiдникiв привертає проблема хаотизацiї
електро-енергетичних систем [6] i синхронiзацiї хаосу [7].
Дослiдження моделей енергосистем за наявностi iмпульсної дiї
розпочалось лише нещодавно [8–11]. Iмпульсний характер дiї може
спостерiгатися внаслiдок механiчних збоїв у роботi генераторiв, ко-
ротких замикань, грозових перенапруг [12] тощо, природа яких може
бути як електричною, так i механiчною. Добре вивченою є теорiя
рiвнянь iз iмпульсною дiєю, потрiбна для дослiдження руху таких
систем [13,14], що була узагальнена i для рiвнянь iз запiзненням [15].
Стаття має таку структуру. У роздiлi 1 сформульовано вiдомий
результат для широкого класу рiвнянь iз запiзненням та iмпульсною
дiєю, що буде використаний як допомiжний. У роздiлi 2 наведена по-
становка задачi синхронiзацiї двох iдентичних енергосистем. У роз-
дiлi 3 сформульовано основний результат iз доведенням, який вста-
новлює умови синхронiзацiї енергосистем. У роздiлi 4 представленi
чисельнi дослiдження отриманих у роздiлi 3 умов. У роздiлi 5 «ви-
сновки» пiдбитi пiдсумки роботи.
1 Допомiжний результат
Для довiльної зв’язної множини Ω ⊂ R i 𝑛 ∈ N визначимо клас фун-
кцiй 𝑃𝐶𝑛(Ω), таких 𝑥 : Ω → R𝑛, що:
(1) 𝑥 неперервнi злiва всюди на Ω;
(2) 𝑥 мають не бiльш, нiж зчисленну множину точок розриву пер-
шого роду.
Для 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛)
𝑇 ∈ R𝑛 введемо норму ||𝑥|| =
√︀∑︀𝑛
𝑘=1 𝑥
2
𝑘, а
для 𝜙 ∈ 𝑃𝐶𝑛(Ω) нехай ||𝜙||Ω = max
𝑡∈Ω
√︀∑︀𝑛
𝑘=1 𝜙
2
𝑘(𝑡).
Сформулюємо спершу допомiжну теорему, яка буде використана
при встановленнi основного результату.
Розглянемо систему
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡, 𝑥𝑡), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑥(𝑡+𝑘 ) = 𝐼𝑘(𝑥), 𝑘 ∈ N (1)
iз початковими умовами
𝑥(𝑡) = 𝜙0(𝑡), 𝑡 ∈ [−𝜏, 0], (2)
26 Iванов I. Л.
де 𝑥 ∈ 𝑃𝐶𝑛[−𝜏,∞), 𝑓 : [−𝜏,∞)× 𝑃𝐶𝑛[−𝜏,∞) → R𝑛 — неперервна за
першим аргументом i лiпшицева за другим, 𝑓(𝑡, 0) = 0, 𝐼𝑘 : [−𝜏,∞] →
R𝑛 — неперервна, 𝐼𝑘(0) = 0, 𝑡𝑘 → ∞, коли 𝑘 → ∞. Тодi задача Кошi
(1), (2) має єдиний розв’язок на [−𝜏,∞).
Нехай 𝑇 = [−𝜏,∞)∖{𝑡𝑘}𝑘∈N.
Означення 1.1. [14] Функцiя 𝑣(𝑡, 𝑥) належить класу 𝑉0, якщо:
(1) 𝑣(𝑡, 𝑥) неперервно диференцiйовна на 𝑇 × R𝑛;
(2) iснують границi
lim
𝑡→𝑡𝑘−0
𝑣(𝑡, 𝑥) = 𝑣(𝑡𝑘, 𝑥), lim
𝑡→𝑡𝑘+0
𝑣(𝑡, 𝑥) = 𝑣(𝑡𝑘 + 0, 𝑥)
при всiх 𝑘 = 1, 2, ...
Припущення 1.1. Для функцiї 𝑣(𝑡, 𝑥) iснує функцiя 𝑎 класу Хана,
така, що виконується оцiнка 𝑎(||𝑥||) ≤ 𝑣(𝑡, 𝑥) при всiх (𝑡, 𝑥) ∈ R+×R𝑛.
Теорема 1.1. Нехай для системи (1) iснує функцiя 𝑣(𝑡, 𝑥) класу 𝑉0,
що задовольняє умови припущення 3.1 при 𝑎(𝑟) = 𝑟𝑚, i константа
𝛾 ∈ 𝐑, такi, що:
𝑑
𝑑𝑡𝑣(𝑡, 𝑥(𝑡))|(1) ≤ 𝑚𝛾𝑣(𝑡, 𝑥(𝑡)), якщо 𝑣(𝑡, 𝑥(𝑡 + 𝜁)) ≤ 𝑒−𝑚𝛾𝜁𝑣(𝑡, 𝑥(𝑡))
для 𝜁 ∈ [−𝜏 ′, 0] (умова Разумiхiна);
𝑣(𝑡𝑘, 𝑥(𝑡
+
𝑘 )) ≤ 𝑣(𝑡𝑘, 𝑥(𝑡𝑘)).
Тодi всi розв’язки системи (1) в околi нуля задовольняють оцiнку
||𝑥(𝑡)|| ≤𝑀𝑒𝛾𝑡, (3)
де 𝑀 > 0 залежить лише вiд початкових умов, а при 𝛾 ≤ 0 нульо-
вий розв’язок системи (1) є стiйким.
Доведення цiєї теореми безпосередньо випливає з результату, вста-
новленого у [15].
2 Постановка задачi
Розглянемо модель одномашинної електро-енергетичної системи з ши-
нами нескiнченної потужностi (SMIB) при iмпульсних збуреннях у
термiнах кута вiдхилення 𝜃 вiд синхронної осi обертання у формi
𝑀𝜃 +𝐷𝜃 + 𝑃max sin 𝜃 = 𝑃𝑚 + 𝑃𝜏 , 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N,
𝜃(𝑡+𝑘 ) = 𝐼(𝜃(𝑡𝑘), 𝜃(𝑡𝑘)), 𝑘 ∈ N,
(4)
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 27
де𝑀 — момент iнерцiї,𝐷 — стала демпфування, 𝑃max — максимальна
потужнiсть генератора, 𝑃𝑚 = 𝐴 sin𝑤𝑡 — механiчна потужнiсть, 𝑃𝜏 =
𝑟 sin(𝑅𝑥1(𝑡− 𝜏1)) — керування з постiйним запiзненням величиною 𝜏1
(chaos anticontrol, “антикерування хаосом”), 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < ... < 𝑡𝑘 < ...,
такi, що для 𝛿 > 0 множина {𝑘 ∈ N|𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 < 𝛿} не бiльш, нiж
скiнченна, 𝐼 — лiнiйна за своїми аргументами функцiя, що вiдповiдає
за iмпульснi збурення, 𝐴, 𝑤, 𝑟, 𝑅 — сталi.
Систему (4) можна навести у формi
𝑥̇1 = 𝑥2,
𝑥̇2 = −𝑐𝑥2 − 𝛽 sin𝑥1 + 𝑓 sin𝑤𝑡+ 𝜀 sin(𝑅𝑥1(𝑡− 𝜏1)), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N,
𝑥2(𝑡
+
𝑘 ) = 𝑐𝑘0 + 𝑐𝑘1𝑥1(𝑡𝑘) + 𝑐𝑘2𝑥2(𝑡𝑘), 𝑘 ∈ N,
де 𝑥1 = 𝜃, 𝑥2 = 𝜃, 𝑐 = 𝐷
𝑀 , 𝛽 = 𝑃max
𝑀 , 𝑓 = 𝐴
𝑀 , 𝜀 = 𝑟
𝑀 . Нехай
𝑥(𝑡) =
[︀
𝑥1(𝑡) 𝑥2 (𝑡)
]︀𝑇 ∈ R2, тодi, беручи до уваги вихiд 𝑦, отри-
маємо систему у векторнiй формi
𝑥̇ = 𝐴𝑥+ 𝑓(𝑥) + 𝑓𝜏 (𝑥(𝑡− 𝜏1)), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N,
𝑥(𝑡+𝑘 ) = 𝐶𝑘0 + 𝐶𝑘𝑥(𝑡𝑘), 𝑘 ∈ N,
𝑦 = 𝐶𝑥,
де
𝐴 =
[︂
0 1
0 −𝑐
]︂
, 𝑓(𝑥) =
[︂
0
−𝛽 sin(𝑥1) + 𝑓 sin𝑤𝑡
]︂
,
𝑓𝜏 (𝑥(𝑡− 𝜏1)) =
[︂
0
𝜀 sin(𝑅𝑥1(𝑡− 𝜏1))
]︂
, 𝐶𝑘0 =
[︂
0
𝑐𝑘0
]︂
,
𝐶𝑘 =
[︂
1 0
𝑐𝑘1 𝑐𝑘2
]︂
, 𝐶 ∈ R1×2.
Розв’язок цiєї системи розглядатимемо у класi 𝑃𝐶2[−𝜏1,∞).
Розглянемо двi енергосистеми з iдентичними параметрами. По-
трiбно отримати умови синхронiзацiї для цих енергосистем при iм-
пульсних збуреннях за допомогою регулятора зворотного зв’язку, що
отримує данi з запiзненням 𝜏2 > 0. Для цього розглянемо двi системи:
еталонну
𝑥̇𝑚 = 𝐴𝑥𝑚 + 𝑓(𝑥𝑚) + 𝑓𝜏 (𝑥𝑚(𝑡− 𝜏1)), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N,
𝑥𝑚(𝑡+𝑘 ) = 𝐶𝑘0 + 𝐶𝑘𝑥𝑚(𝑡𝑘), 𝑘 ∈ N,
𝑦𝑚(𝑡) = 𝐶𝑥𝑚(𝑡− 𝜏2)
(5)
28 Iванов I. Л.
та керовану
𝑥̇𝑠 = 𝐴𝑥𝑠 + 𝑓(𝑥𝑠) + 𝑓𝜏 (𝑥𝑠(𝑡− 𝜏1)) + 𝐿(𝑦𝑠 − 𝑦𝑚), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N,
𝑥𝑠(𝑡
+
𝑘 ) = 𝐶𝑘0 + 𝐶𝑘𝑥𝑠(𝑡𝑘), 𝑘 ∈ N,
𝑦𝑠(𝑡) = 𝐶𝑥𝑠(𝑡− 𝜏2),
(6)
вектори стану в яких позначенi як 𝑥𝑚 i 𝑥𝑠 вiдповiдно. У цих систе-
мах 𝐶 =
[︀
𝑐1 𝑐2
]︀
∈ R1×2 — матриця пiдсилення виходу. 𝐿 ∈ R2×1 —
вектор зв’язку, побудований для досягнення синхронiзацiї мiж систе-
мами (5) i (6). Якщо визначити помилку синхронiзацiї мiж системами
(5) i (6) рiвнiстю 𝑒 =
[︀
𝑒1 𝑒2
]︀𝑇
=
[︀
𝑥𝑠1 − 𝑥𝑚1 𝑥𝑠2 − 𝑥𝑚2
]︀𝑇 , то її
динамiка задовольнятиме систему
𝑒̇ = 𝐴𝑒+ 𝑓(𝑥𝑠)− 𝑓(𝑥𝑚)+
+𝑓𝜏 (𝑥𝑠(𝑡− 𝜏1))− 𝑓𝜏 (𝑥𝑚(𝑡− 𝜏1)) + 𝐿𝐶𝑒(𝑡− 𝜏2) =
= (𝐴+ 𝐹 (𝑡))𝑒(𝑡) + 𝐹𝜏 (𝑡)𝑒(𝑡− 𝜏1) + 𝐿𝐶𝑒(𝑡− 𝜏2), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N,
𝑒(𝑡+𝑘 ) = 𝐶𝑘𝑒(𝑡𝑘), 𝑘 ∈ N,
(7)
де
𝐹 (𝑡) =
[︂
0 0
−𝛽(sin 𝑥𝑠1−sin 𝑥𝑚1)
𝑥𝑠1−𝑥𝑚1
0
]︂
,
𝐹𝜏 (𝑡) = 𝜀
[︃
0 0
sin(𝑅𝑥𝑠1(𝑡−𝜏1))−sin(𝑅𝑥𝑚1(𝑡−𝜏1))
𝑥𝑠1(𝑡−𝜏1)−𝑥𝑚1(𝑡−𝜏1) 0
]︃
.
За теоремою про середнє значення
sin𝑥𝑠1 − sin𝑥𝑚1 = cos 𝜂1 · (𝑥𝑠1 − 𝑥𝑚1),
𝜂1 ∈ [𝑥𝑠1, 𝑥𝑚1] або [𝑥𝑚1, 𝑥𝑠1]
i
sin(𝑅𝑥𝑠1(𝑡− 𝜏1))− sin(𝑅𝑥𝑚1(𝑡− 𝜏1)) =
= 𝑅 cos 𝜂2 · (𝑥𝑠1(𝑡− 𝜏1)− 𝑥𝑚1(𝑡− 𝜏1)),
𝜂2 ∈ [𝑥𝑠1(𝑡− 𝜏1), 𝑥𝑚1(𝑡− 𝜏1)] або [𝑥𝑚1(𝑡− 𝜏1), 𝑥𝑠1(𝑡− 𝜏1)].
Функцiї 𝐹 (𝑡) й 𝐹𝜏 (𝑡) тепер можна записати у формi
𝐹 (𝑡) =
[︂
0 0
−𝛽 cos 𝜂1 0
]︂
, 𝐹𝜏 (𝑡) =
[︂
0 0
𝜀𝑅 cos 𝜂2 0
]︂
.
Надалi покажемо, як вибором належного регулятора зворотного
зв’язку можна досягнути синхронiзацiї мiж системами (5) i (6), що
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 29
еквiвалентно до виконання умови ||𝑥𝑚(𝑡) − 𝑥𝑠(𝑡)|| → 0, 𝑡 → ∞ за
будь-яких початкових даних для цих систем.
Таким чином, досягнення синхронiзацiї за допомогою регулятора
зворотного зв’язку рiвнозначне до вибору такої матрицi зв’язку 𝐿,
щоб тривiальний стан рiвноваги системи (7) був асимптотично стiй-
ким.
3 Основний результат
Для формулювання основного результату введемо додатковi позна-
чення.
Нехай 𝑎 ∈ 𝐑, 𝑏 ∈ 𝐑+. Позначимо
𝛿 = lim
𝑘→∞
(𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘);
𝐹1 = 𝐿1𝑐1 + 𝑎𝐿2𝑐1;
𝐹2 = 𝐿1𝑐2 + 1 + 𝑎(𝐿1𝑐1 + 𝐿2𝑐2 − 𝑐) + 𝑏𝐿2𝑐1;
𝐹3 = 𝑎(𝐿1𝑐2 + 1) + 𝑏(𝐿2𝑐2 − 𝑐);
(8)
𝐷̃ = 4𝑏2(𝑏− 𝑎2)(𝜀𝑅+ 𝛽)2+
+2|(𝑏− 𝑎2)(−2𝑎𝐹3 + 𝑏𝐹2)|(𝜀𝑅+ 𝛽)+
+4𝑏2𝐹 2
1 + 4𝐹 2
3 + 8(2𝑎2 − 𝑏)𝐹1𝐹3 + 4𝑏𝐹 2
2 − 8𝑎𝑏𝐹1𝐹2 − 8𝑎𝐹2𝐹3;
(9)
𝜆1 =
𝑏𝐿2
1𝑐
2
1+(𝐿1𝑐2+1)2−2𝑎𝐿1𝑐1(𝐿1𝑐2+1)
𝑏−𝑎2 ;
𝜆2 = 𝑏(𝐿1+𝑎𝐿2)
2+(𝑎𝐿1+𝑏𝐿2)
2−2𝑎(𝐿1+𝑎𝐿2)(𝑎𝐿1+𝑏𝐿2)
𝑏−𝑎2 ;
𝜆3 =
𝑏𝛽2𝑐22+(𝑐1−𝑐𝑐2)2+2𝑎𝛽𝑐2|𝑐1−𝑐𝑐2|
𝑏−𝑎2 ;
𝜆4 = (𝐿1𝑐1 + 𝐿2𝑐2)
2 𝑏𝑐21+𝑐
2
2−2𝑎𝑐1𝑐2
𝑏−𝑎2 ;
(10)
𝜆5 = 2𝑏𝐹1+2𝐹3−2𝑎𝐹2+
√
𝐷̃
2(𝑏−𝑎2) ;
𝜆6𝑘 = 𝑐22
𝑏𝑐2𝑘1+(𝑐𝑘2−1)2−2𝑎𝑐𝑘1(𝑐𝑘2−1)
𝑏−𝑎2 , 𝑘 ∈ N;
𝜆6 = sup
𝑘∈N
{𝜆6𝑘}.
(11)
Теорема 3.1. Припустимо, що в системi (7) виконується нерiв-
нiсть 2𝜏2 < 𝛿, а вектор керування 𝐿 обрано такий, що при деяких
𝑎, 𝛾 ∈ R, 𝑏, 𝜈 ∈ R+ виконуються умови
(1) 𝑏 > 𝑎2;
30 Iванов I. Л.
(2)
𝜈 − 2𝛾 + 𝜆5 + 2𝜀𝑅
√
𝜆1𝑏
𝑒(
𝜈
2
−𝛾)𝜏1−1
𝜈
2−𝛾
+
√
𝜆2𝜆6+
+2
√
𝜆2(
√
𝜆3 + 𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2
√
𝜆4)
𝑒(
𝜈
2
−𝛾)𝜏2−1
𝜈
2−𝛾
< 0;
(3) (𝑏− 𝑎2)𝑒2𝜈𝛿 +(−𝑏(𝑐2𝑘2 +1)+ 2𝑎𝑏𝑐𝑘1(𝑐𝑘2 − 1)− 𝑏2𝑐2𝑘1 +2𝑎2𝑐𝑘2)𝑒
𝜈𝛿 +
+(𝑏− 𝑎2)𝑐2𝑘2 ≥ 0;
(4) (1 + 𝑏)𝑒𝜈𝛿 ≥ 1 + 2𝑎𝑐𝑘1 + 𝑏2𝑐2𝑘1 + 𝑏𝑐2𝑘2.
Тодi при всiх 𝑡 > 0 розв’язки системи (7) допускають експоненцi-
альну оцiнку
||𝑒(𝑡)|| ≤𝑀𝑒𝛾𝑡,
де ||.|| — евклiдова норма в R2, а 𝑀 > 0 залежить лише вiд поча-
ткових умов.
Доведення. Нехай 𝛿𝜇 = 𝛿 − 𝜇, де 𝜇 > 0 — деякий параметр. Розгля-
немо систему (7) i допомiжну функцiю для неї 𝑣0(𝑒) у формi
𝑣0(𝑒) = 𝑒21 + 2𝑎𝑒1𝑒2 + 𝑏𝑒22.
При 𝜈 ≥ 0 побудуємо частково-експоненцiальну функцiю 𝑣(𝑒), що
гратиме роль функцiї Ляпунова:
𝑣(𝑡, 𝑒) = 𝑣0(𝑒)𝑒
𝜈(𝑡−𝑡𝑘), 𝑡 ∈ [𝑡𝑘, 𝑡𝑘+1), 𝑘 ∈ N0, (12)
де 𝑡0 = 0.
За виконання умови (1) теореми 3.1 функцiя 𝑣 належить класо-
вi 𝑉0 i для неї виконуються умови припущення 3.1. Вимагатимемо
виконання для цiєї функцiї умов теореми 1.1 при 𝑚 = 2. Їх можна
записати у формi:
𝑑𝑣(𝑡, 𝑒(𝑡))
𝑑𝑡
⃒⃒⃒⃒
(6)
≤ 2𝛾𝑣(𝑡, 𝑒(𝑡)), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N, (13)
якщо
𝑣(𝑡, 𝑒(𝑡)) > 𝑒−2𝛾𝜁𝑣(𝑡+ 𝜁, 𝑒(𝑡+ 𝜁)), 𝜁 ∈ [−2𝜏2, 0), (14)
та
𝑣(𝑡𝑘 + 0, 𝑒(𝑡𝑘 + 0)) ≤ 𝑣(𝑡𝑘, 𝑒(𝑡𝑘)), 𝑘 ∈ N. (15)
Пiдставляючи у (14) i (15) вираз (12) для функцiї 𝑣, з (13) отри-
маємо умови для функцiї 𝑣0 при 𝑡 ∈ (𝑡𝑘, 𝑡𝑘+1) у формi:
𝑑𝑣0(𝑡, 𝑒(𝑡))
𝑑𝑡
⃒⃒⃒⃒
(6)
≤ (2𝛾 − 𝜈)𝑣0(𝑡, 𝑒(𝑡)), 𝑡 ̸= 𝑡𝑘, 𝑘 ∈ N, (16)
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 31
якщо⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑣0(𝑒(𝑡)) > 𝑒(𝜈−2𝛾)𝜁𝑣0(𝑒(𝑡+ 𝜁)), 𝜁 ∈ [−2𝜏2, 0),
при 𝑡k − t ̸∈ [− 2𝜏2, 0),
𝑣0(𝑒(𝑡)) > 𝑒−2𝛾𝜁+𝜈(𝜁+𝜒(𝑡𝑘−𝑡−𝜁)Δ𝑡𝑘−1)𝑣0(𝑒(𝑡+ 𝜁)), 𝜁 ∈ [−2𝜏2, 0),
при 𝑡k − t ∈ [− 2𝜏2, 0),
(17)
де Δ𝑡𝑘 = 𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘. Оскiльки при будь-якому 𝜇 > 0 множина
{Δ𝑡𝑘|Δ𝑡𝑘 < 𝛿𝜇, 𝑘 ∈ N}
скiнченна, то при дослiдженнi стiйкостi умову (17) за довiльного ма-
лого 𝜇 > 0 можна замiнити на умову⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑣0(𝑒(𝑡)) > 𝑒(𝜈−2𝛾)𝜁𝑣0(𝑒(𝑡+ 𝜁)), 𝜁 ∈ [−2𝜏2, 0),
при 𝑡k − t ̸∈ [− 2𝜏𝑤, 0),
𝑣0(𝑒(𝑡)) > 𝑒−2𝛾𝜁+𝜈(𝜁+𝜒(𝑡𝑘−𝑡−𝜁)𝛿𝜇)𝑣0(𝑒(𝑡+ 𝜁)), 𝜁 ∈ [−2𝜏2, 0),
при 𝑡k − t ∈ [− 2𝜏2, 0),
(18)
з огляду на те, що на обмеженiй множинi
{(𝑡𝑘−1, 𝑡𝑘)|Δ𝑡𝑘 < 𝛿𝜇, 𝑘 ∈ N}
функцiя 𝑣0(𝑒(𝑡)) допускає експоненцiальну оцiнку за 𝑡.
Надалi для визначеностi будемо вважати, що 𝑡𝑘 ∈ [𝑡− 𝜏2, 𝑡).
Позначимо
𝑎11 = 𝐿1𝑐1; 𝑎12 = 𝐿1𝑐2 + 1; 𝑎21 = 𝐿2𝑐1; 𝑎22 = 𝐿2𝑐2 − 𝑐,
так, щоб 𝐴+ 𝐿𝐶 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑖,𝑗=1,2.
Тодi похiдну функцiї 𝑣0 вздовж системи (7) можна записати у
формi
𝑑
𝑑𝑡
𝑣0(𝑡, 𝑒(𝑡))|(6) = 2(𝑎11 + 𝑎(𝑎21 − 𝛽 cos 𝜂1 + 𝜀𝑅 cos 𝜂2))𝑒
2
1 + 2(𝑎12+
+𝑎(𝑎11 + 𝑎22) + 𝑏(𝑎21 − 𝛽 cos 𝜂1 + 𝜀𝑅 cos 𝜂2))𝑒1𝑒2 + 2(𝑎𝑎12 + 𝑏𝑎22)𝑒
2
2−
−2𝜀𝑅 cos 𝜂2(𝑎𝑒1 + 𝑏𝑒2)(𝑒1(𝑡)− 𝑒1(𝑡− 𝜏1))+
+2 (𝑐1(𝑒1(𝑡− 𝜏2)− 𝑒1(𝑡)) + 𝑐2(𝑒2(𝑡− 𝜏2)− 𝑒2(𝑡)))×
× (𝑒1(𝐿1 + 𝑎𝐿2) + 𝑒2(𝑎𝐿1 + 𝑏𝐿2)) .
32 Iванов I. Л.
Згiдно з теоремою Ньютона-Лейбнiца для 𝑖 = 1, 2 отримаємо
𝑒1(𝑡) = 𝑒1(𝑡− 𝜏𝑖) +
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏𝑖
(𝑒2(𝑠) + 𝐿1𝑐1𝑒1(𝑠− 𝜏𝑖) + 𝐿1𝑐2𝑒2(𝑠− 𝜏𝑖))𝑑𝑠,
𝑒2(𝑡) = 𝑒2(𝑡− 𝜏𝑖) +
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏𝑖
(︀
− 𝛽 cos 𝜂1𝑒1(𝑠)− 𝑐𝑒2(𝑠) + 𝐿2𝑐1𝑒1(𝑠− 𝜏𝑖)+
+𝐿2𝑐2𝑒2(𝑠− 𝜏𝑖)
)︀
𝑑𝑠+
∞∑︁
𝑘=1
𝐼[𝑡−𝜏𝑖,𝑡)(𝑡𝑘) (𝑐𝑘1𝑒1(𝑡𝑘) + (𝑐𝑘2 − 1)𝑒2(𝑡𝑘)) ,
де 𝐼Ω(𝑠) — iндикатор.
Тому при 𝑡𝑘 ∈ [𝑡 − 𝜏2, 𝑡) похiдну функцiї 𝑣0 вздовж системи (7)
можна записати у формi
𝑑
𝑑𝑡
𝑣0(𝑡, 𝑒(𝑡))|(6) = 𝐼 − 𝐼𝑐1 − 𝐼𝑐2 − 𝐼𝛿
де
𝐼 = 2(𝑎11 + 𝑎(𝑎21 − 𝛽 cos 𝜂1 + 𝜀𝑅 cos 𝜂2))𝑒
2
1 + 2(𝑎12 + 𝑎(𝑎11 + 𝑎22)+
+𝑏(𝑎21 − 𝛽 cos 𝜂1 + 𝜀𝑅 cos 𝜂2))𝑒1𝑒2 + 2(𝑎𝑎12 + 𝑏𝑎22)𝑒
2
2;
𝐼𝑐1 = 2𝜀𝑅 cos 𝜂2(𝑎𝑒1 + 𝑏𝑒2)
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏1
(𝑎11𝑒1(𝑠) + 𝑎12𝑒2(𝑠)) 𝑑𝑠;
𝐼𝑐2 = 2(𝑒1(𝐿1 + 𝑎𝐿2) + 𝑒2(𝑎𝐿1 + 𝑏𝐿2))×
×
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏2
(︁
− 𝛽𝑐2 cos 𝜂1𝑒1(𝑠) + (𝑐1 − 𝑐𝑐2)𝑒2(𝑠)+;
+(𝐿1𝑐1 + 𝐿2𝑐2)(𝑐1𝑒1(𝑠− 𝜏2) + 𝑐2𝑒2(𝑠− 𝜏2))
)︁
𝑑𝑠;
𝐼𝛿 = 2𝑐2(𝑒1(𝐿1 + 𝑎𝐿2) + 𝑒2(𝑎𝐿1 + 𝑏𝐿2))(𝑐𝑘1𝑒1(𝑡𝑘) + (𝑐𝑘2 − 1)𝑒2(𝑡𝑘)).
Вiдзначимо, що у випадку 𝑡𝑘 /∈ [𝑡 − 𝜏2, 𝑡) у виразi для похiдної вiд
функцiї 𝑣0 не буде доданку 𝐼𝛿.
Оцiнимо спершу вираз 𝐼𝑐1. Можна встановити, що правильними є
спiввiдношення
(𝑎11𝑒1 + 𝑎12𝑒2)
2 ≤ 𝜆1𝑣0, (𝑎𝑒1 + 𝑏𝑒2)
2 ≤ 𝑏𝑣0,
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 33
де 𝜆1 визначається виразом (10). Iз урахуванням умови Разумiхiна
отримаємо: ∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏1
(𝑎𝑒1(𝑠) + 𝑏𝑒2(𝑠))𝑑𝑠 ≤
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏1
√︀
𝑏𝑣0(𝑠)𝑑𝑠 ≤
≤
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏1
√︀
𝑏𝑣0(𝑡)𝑒
−𝛾(𝑡−𝑠)+ 𝜈
2 (𝑡−𝑠−𝛿𝜇𝜉(𝑡𝑘−𝑠))𝑑𝑠 ≤ 𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏1 − 1
𝜈
2 − 𝛾
√︀
𝑏𝑣0.
Вiдзначимо, що пiсля означення при 𝜈 − 2𝛾 = 0 значенням 𝜏1
функцiя 𝑒(𝜈−2𝛾)𝜏1−1
𝜈−2𝛾 стає цiлою функцiєю вiд всiх своїх аргументiв,
тому окремо розглядати випадок 𝜈 − 2𝛾 = 0 потреби немає.
Отримаємо оцiнку
|𝐼𝑐1| ≤ 2𝜀𝑅
√︀
𝜆1𝑏
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏1 − 1
𝜈
2 − 𝛾
𝑣0 (19)
Оцiнимо надалi доданок 𝐼𝑐2.
Для квадратичних форм можна довести такi спiввiдношення
((𝐿1 + 𝑎𝐿2)𝑒1 + (𝑎𝐿1 + 𝑏𝐿2)𝑒2)
2 ≤ 𝜆2𝑣0,
(−𝛽𝑐2 cos 𝜂1𝑒1 + (𝑐1 − 𝑐𝑐2)𝑒2)
2 ≤ 𝜆3𝑣0,
(𝐿1𝑐1 + 𝐿2𝑐2)
2(𝑐1𝑒1 + 𝑐2𝑒2)
2 ≤ 𝜆4𝑣0,
де 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4 визначаються у (10).
Надалi з урахуванням умови Разумiхiна (18) отримаємо∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏2
(−𝛽𝑐2 cos 𝜂1𝑒1(𝑠) + (𝑐1 − 𝑐𝑐2)𝑒2(𝑠)) 𝑑𝑠 ≤
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2 − 1
𝜈
2 − 𝛾
√︀
𝜆3𝑣0;
∫︁ 𝑡
𝑡−𝜏2
(𝐿1𝑐1 + 𝐿2𝑐2)(𝑐1𝑒1(𝑠− 𝜏2) + 𝑐2𝑒2(𝑠− 𝜏2))𝑑𝑠 ≤
≤ 𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2 − 1
𝜈
2 − 𝛾
√︀
𝜆4𝑣0.
Отже, отримаємо оцiнку
|𝐼𝑐2| ≤ 2
√︀
𝜆2(
√︀
𝜆3 + 𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2
√︀
𝜆4)
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2 − 1
𝜈
2 − 𝛾
𝑣0. (20)
У випадку 𝑡𝑘 ̸∈ [𝑡− 𝜏2, 𝑡) отримаємо оцiнку кращу, нiж нерiвнiсть
(20), тому оцiнка (20) виконується для загального випадку.
34 Iванов I. Л.
Оцiнимо тепер вираз 𝐼 через функцiю 𝑣0. Беручи до уваги кон-
станти, введенi у (8), отримаємо характеристичне рiвняння регуляр-
ної в’язки форм 𝐼 − 𝜆𝑣0:⃒⃒⃒⃒
2𝐹1 − 2𝑎𝛽 cos 𝜂1 + 2𝑎𝑅𝜀 cos 𝜂2 − 𝜆 𝐹2 − 𝑏𝛽 cos 𝜂1 + 𝑏𝑅𝜀 cos 𝜂2 − 𝑎𝜆
𝐹2 − 𝑏𝛽 cos 𝜂1 + 𝑏𝑅𝜀 cos 𝜂2 − 𝑎𝜆 2𝐹3 − 𝑏𝜆
⃒⃒⃒⃒
= 0.
Дискримiнант цього квадратного рiвняння визначається виразом (9).
Верхня оцiнка квадратичної форми визначається бiльшим коренем
цього рiвняння i має форму
𝐼 ≤ 𝜆5𝑣0, (21)
де 𝜆5 задано у (11).
Оцiнимо, зрештою, вираз 𝐼𝛿. Можна показати, що дiє оцiнка
𝑐22(𝑐𝑘1𝑒1(𝑡) + (𝑐𝑘2 − 1)𝑒2(𝑡))
2 ≤ 𝜆6𝑘𝑣0,
де 𝜆6𝑘 визначається (11). У спосiб, аналогiчний до випадку доданка
𝐼𝑐, з використанням нерiвностi Гьольдера i умови Разумiхiна, можна
встановити, що
𝐼𝛿 ≤
√︀
𝜆2𝜆6𝑘𝑒
𝜈
2 (𝑡−𝑡𝑘−𝛿𝜀)𝑣0(𝑒(𝑡)) ≤
√︀
𝜆2𝜆6𝑣0(𝑒(𝑡)), (22)
де 𝜆6 задано в (11).
Iз урахуванням отриманих оцiнок (20)—(22) можна записати не-
рiвнiсть
𝑑
𝑑𝑡
𝑣0(𝑡, 𝑒(𝑡))|(6) ≤
(︂
𝜆5 + 2𝜀𝑅
√︀
𝜆1𝑏
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏1 − 1
𝜈
2 − 𝛾
+
√︀
𝜆2𝜆6+
+2
√︀
𝜆2(
√︀
𝜆3 + 𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2
√︀
𝜆4)
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2 − 1
𝜈
2 − 𝛾
)︂
𝑣0(𝑡).
Умова (16) приводить до нерiвностi
𝜆5 + 2𝜀𝑅
√︀
𝜆1𝑏
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏1 − 1
𝜈
2 − 𝛾
+
√︀
𝜆2𝜆6
+2
√︀
𝜆2(
√︀
𝜆3 + 𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2
√︀
𝜆4)
𝑒(
𝜈
2−𝛾)𝜏2 − 1
𝜈
2 − 𝛾
< −𝜈 + 2𝛾
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 35
яка збiгається з умовою (2) даної теореми.
Розглянемо умову (15). Виконання цiєї умови при всiх 𝑘 ∈ N, окрiм
не бiльш нiж скiнченного їхнього числа, буде досягнуте у випадку
виконання умови
𝑣0(𝑒(𝑡𝑘 + 0)) ≤ 𝑒𝜈𝛿𝜇𝑣0(𝑒(𝑡𝑘)), 𝑘 ∈ N,
що приводить до нерiвностi
𝑒21 + 2𝑎(𝑐𝑘𝑖1𝑒1 + 𝑐𝑘𝑖2𝑒2)𝑒1 + 𝑏(𝑐𝑘1𝑒1 + 𝑐𝑘2𝑒2)
2 ≤
≤ 𝑒𝜈𝛿𝜇(𝑒21 + 2𝑎𝑒1𝑒2 + 𝑏𝑒22).
Об’єднуючи за 𝜇 умови, що гарантують виконання даної нерiвностi
мiж квадратичними формами, отримаємо умови (3) й (4) теореми.
Теорему доведено.
4 Чисельнi розрахунки
Пошук оцiнки показника Ляпунова проведемо за допомогою методу
Флетчера-Рiвза за умови виконання рiвностi в умовi (3) теореми 3.1.
Оскiльки цiльова функцiя неявна, то процес оптимiзацiї застосуємо
до результату такого її монотонного перетворення, яке не порушує
точки досягнення оптимуму.
Труднощi, пов’язанi з вибором точки iнiцiацiї iтерацiйного проце-
су, в рядi випадкiв можна ефективно подолати шляхом повторення
iтерацiйного процесу кiлькадесят разiв для рiзних початкових точок.
На рис. 1 сiрим кольором наведена оцiнка областi синхронiзацiї
систем (5) i (6) у просторi параметрiв керування 𝐿1, 𝐿2 при заданих
параметрах вихiдної системи 𝑐1 = 1, 𝑐2 = 1, 𝑐 = 3, 𝛿 = 1, 𝜏1 = 0, 1,
𝜏2 = 0, 2, 𝜀𝑅 = 1, 𝑐𝑘1 = 0, 2, 𝑐𝑘2 = 1, 𝑘 ∈ N, 𝛽 = 1. Також вказано
показники експоненцiйної оцiнки для вектора помилки.
Отримана оцiнка областi синхронiзацiї менша, нiж у [9], де розгля-
нуто аналогiчну систему, але без запiзнення у керуваннi. При 𝜏1 → 0
отриманi результати неперервно переходять у результати, що були
отриманi у згаданiй роботi.
У роботах [6] i [7] наведено приклади параметрiв, за яких у системi
(5) спостерiгається хаос.
36 Iванов I. Л.
Рис 1. Оцiнка областi синхронiзацiї деяких двох iдентичних енергосистем
(див. у текстi) у просторi параметрiв керування.
5 Висновки
Отриманi результати узагальнюють результати, отриманi у роботах
[9] i [10], i є особливо ефективними у випадку невеликих величин
запiзнення в керуваннi, типовому для енергосистем. Варто також за-
значити, що хоча зi зростанням 𝜏1 оцiнка областi синхронiзацiї змен-
шується, теорема 3.1 не обмежує 𝜏1 величиною 𝛿, на вiдмiну вiд умови
2𝜏2 < 𝛿 на 𝜏2.
Цi результати стосуються такого важливого класу енергосистем,
як одномашинна енергосистема з шинами нескiнченної потужностi,
який використовується при моделюваннi енергосистем у випадку її
великої потужностi, порiвняно з потужнiстю розглядуваної машини.
Вони iлюструють вплив величини запiзнення у керуваннi на можли-
востi синхронiзацiї частин енергосистеми в умовах деяких постiйних
збурень i можуть бути врахованi при проектуваннi вiдповiдних регу-
ляторiв.
[1] Chen G., Dong X. From chaos to order. Methodologies, perspectives and
applications.— Singapore : World Scientific, 1998.— 776 p.
Синхронiзацiя хаосу у моделях енергосистем зi двома запiзне . . . 37
[2] Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. — Москва :
Постмаркет, 2000. — 352 с.
[3] Sprott J. C. Chaos and time-series analysis. — Oxford : Oxford University
Press, 2003.— 507 p.
[4] Kapitaniak T. Controlling chaotic oscillations without feedback // Chaos,
Solitons & Fractals. — 1992.— Vol. 2.— P. 519–530.
[5] Wang T. F., Chen G., Yu X. Anticontrol of chaos in continuous-time
systems via time-delay feedback // Chaos.— 2000.— Vol. 10.— P. 771–
779.
[6] Chen H.-K., Lin T.-N., Chen J.-H. Dynamic analysis, controlling chaos
and chaotification of a SMIB power system // Chaos, Solitons & Frac-
tals. — 2005.— 24, 5.— P. 1307–1315.
[7] Shahverdiev E. M., Hashimova L. H., Hashimova N. T. Chaos synchro-
nization in some power systems // Chaos, Solitons & Fractals. — 2008.—
37, 3.— P. 829–834.
[8] Иванов И. Л. Устойчивость одной модели энергосистемы с запаздыва-
нием и импульсным воздействием // Аналiтична механiка та її засто-
сування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2012. — 9, 1. —
P. 114–127.
[9] Иванов И. Л., Мартынюк А. А. Синхронизация хаоса в модели энерго-
системы при импульсных возмущениях с помощью регулятора с запаз-
дыванием // Электронное моделирование. — 2017. — 39, 6. — P. 15–32.
[10] Ivanov I. L. Chaotic Synchronization in Models of Impulsive Power Sys-
tems with Delay // International Applied Mechanics.— 2018.— 54, 1.—
P. 94–103.
[11] Zhu L., Qiu J., Chadli M. Modelling and stability analysis of switching
impulsive power systems with multiple equilibria // International Journal
of Systems Science.— 2017.— 48, 16.— P. 3470–3490.
[12] Berger K., Anderson R. B., Kroninger H. Parameters of lightning
flashes // Electra— 1975.— Vol. 41.— P. 23–37.
[13] Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с
импульсным воздействием. — К. : Вища шк., 1987. — 288 с.
[14] Bainov D. D., Lakshmikanthan V., Simenov P. S. Theory of impulsive
differential equations.— Singapore : World Scientific, 1989.— 273 p.
[15] Stamova I. Stability analysis of impulsive functional differential equations.
Vol. 52.— Walter de Gruyter, 2009.— 230 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-393 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:38Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/8e/a5cb9fdbe6b9ba49f75eada4416adb8e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3932020-08-09T14:49:28Z Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations Синхронизация хаоса в моделях энергосистем с двумя опозданиями при импульсных возмущениях Синхронізація хаосу у моделях енергосистем зі двома запізненнями при імпульсних збуреннях Ivanov, I.L. Иванов, И.Л. Іванов, І.Л. The problem of the chaotic synchronization of two identical models of a single-machine-infinite-bus power system (SMIB) under impulse perturbations and with two delayed controllers is considered. One of them regulates the chaos anticontrol, and the another one is responsible for synchronization. For this pair of power systems, the synchronization conditions are obtained and an exponential estimate for the norm of the error vector is found. The obtained results are numerically demonstrated. Розглянуто задачу синхронізації хаотичного руху двох ідентичних моделей одномашинної енергосистеми з шинами нескінченної потужності (SMIB) при імпульсних збуреннях і зі двома регуляторами, кожен із яких містить запізнення. Один із цих регуляторів відповідає за генерування хаосу, а другий --- за синхронізацію. Для такої пари енергосистем отримано умови синхронізації і знайдено експоненціальну оцінку щодо норми вектора помилки. Отримані умови продемонстровані чисельно. Розглянуто задачу синхронізації хаотичного руху двох ідентичних моделей одномашинної енергосистеми з шинами нескінченної потужності (SMIB) при імпульсних збуреннях і зі двома регуляторами, кожен із яких містить запізнення. Один із цих регуляторів відповідає за генерування хаосу, а другий --- за синхронізацію. Для такої пари енергосистем отримано умови синхронізації і знайдено експоненціальну оцінку щодо норми вектора помилки. Отримані умови продемонстровані чисельно. Інститут математики НАН України 2020-08-07 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/393 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 24-37 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 24-37 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 24-37 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/393/392 Авторське право (c) 2019 І.Л. Іванов http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Ivanov, I.L. Иванов, И.Л. Іванов, І.Л. Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| title | Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| title_alt | Синхронизация хаоса в моделях энергосистем с двумя опозданиями при импульсных возмущениях Синхронізація хаосу у моделях енергосистем зі двома запізненнями при імпульсних збуреннях |
| title_full | Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| title_fullStr | Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| title_full_unstemmed | Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| title_short | Chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| title_sort | chaos synchronization in models of power systems with two delays in pulse perturbations |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/393 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovil chaossynchronizationinmodelsofpowersystemswithtwodelaysinpulseperturbations AT ivanovil chaossynchronizationinmodelsofpowersystemswithtwodelaysinpulseperturbations AT ívanovíl chaossynchronizationinmodelsofpowersystemswithtwodelaysinpulseperturbations AT ivanovil sinhronizaciâhaosavmodelâhénergosistemsdvumâopozdaniâmipriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT ivanovil sinhronizaciâhaosavmodelâhénergosistemsdvumâopozdaniâmipriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT ívanovíl sinhronizaciâhaosavmodelâhénergosistemsdvumâopozdaniâmipriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT ivanovil sinhronízacíâhaosuumodelâhenergosistemzídvomazapíznennâmipriímpulʹsnihzburennâh AT ivanovil sinhronízacíâhaosuumodelâhenergosistemzídvomazapíznennâmipriímpulʹsnihzburennâh AT ívanovíl sinhronízacíâhaosuumodelâhenergosistemzídvomazapíznennâmipriímpulʹsnihzburennâh |