Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion
The dynamics of the mechanical system ``reservoir -- liquid with a free surface'' exposed to an external vertical force, which varies by a harmonic law, is considered. The dynamics is studied by employing a nonlinear multidimensional (up to 12 wave modes) discrete model, developed...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/394 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552894443552768 |
|---|---|
| author | Konstantinov, O.V. Константинов, О.В. Константінов, О.В. |
| author_facet | Konstantinov, O.V. Константинов, О.В. Константінов, О.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O.V. Konstantinov",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Konstantinov, O.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T14:47:41Z |
| description | The dynamics of the mechanical system ``reservoir -- liquid with a free surface'' exposed to an external vertical force, which varies by a harmonic law, is considered. The dynamics is studied by employing a nonlinear multidimensional (up to 12 wave modes) discrete model, developed on the basis of the Hamilton-Ostrogradsky variational principle. It is shown that dynamic processes in the system develop as a combination of parametric resonance and forced oscillations. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 38–49
УДК 517.983.27
Динамiка системи “резервуар –
рiдина з вiльною поверхнею” пiд
дiєю зовнiшнього силового
збудження руху
О.В. Константiнов
Iнститут математики НАН України, Київ;
akonst.im@ukr.net
The dynamics of the mechanical system “reservoir – liquid with a free
surface” exposed to an external vertical force, which varies by a harmonic
law, is considered. The dynamics is studied by employing a nonlinear
multidimensional (up to 12 wave modes) discrete model, developed on the
basis of the Hamilton-Ostrogradsky variational principle. It is shown that
dynamic processes in the system develop as a combination of parametric
resonance and forced oscillations.
В роботi дослiджується динамiка механiчної системи “резервуар – рi-
дина з вiльною поверхнею” пiд дiєю зовнiшньої вертикальної сили, яка
змiнюється за гармонiчним законом. Дослiдження динамiки проводи-
лося на основi нелiнiйної багатомодової (до 12 форм коливань) дискре-
тної моделi, розробленої на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-
Остроградського. Показано, що динамiчнi процеси в системi розвива-
ються як сукупнiсть параметричного резонансу i вимушених коливань.
Коректнiсть дискретної моделi перевiрено на основi зiставлення з екс-
периментальними результатами iнших авторiв.
Вступ
Iнженернi конструкцiї, якi мiстять у своєму складi резервуари, час-
тково заповненi рiдиною, широко використовуються в рiзних галу-
зях технiки [4–8, 17]. Баки з рiдиною є невiд’ємною частиною космi-
чних апаратiв iз рiдинним ракетним двигуном, лiтакiв, гелiкоптерiв
та iнших транспортних засобiв. Резервуари постiйно використовую-
ться для перевезень i зберiгання рiдинних вантажiв на вiдповiдних
c○ Константiнов О.В., 2019
Динамiка системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” . . . 39
етапах виробничих або технологiчних процесiв. У всiх наведених при-
кладах предметом теоретичного i експериментального дослiдження є
поведiнка конструкцiй iз рiдиною в умовах дiї вiбрацiйних, iмпуль-
сних, сейсмiчних i керуючих навантажень з урахуванням наявностi
постiйного збурення – коливань вiльної поверхнi рiдини. Одним iз
важливих завдань при практичному використаннi резервуарiв є до-
слiдження динамiки таких систем при наявностi руху резервуару у
вертикальнiй площинi пiд дiєю параметричного або силового наван-
таження. Фундаментальний огляд робiт, присвячених явищу параме-
тричного резонансу, виконаний у роботах R.A. Ibrahim [11, 12]. Не-
щодавно з’явилися роботи, в яких дослiджуються умови виходу на
усталений режим коливань вiльної поверхнi рiдини при наявностi
параметричного навантаження [13–15]. В цiй роботi дослiджуються
перехiднi процеси в системi “резервуар – рiдина з вiльною поверхне-
ю” при наявностi зовнiшнього вертикального силового навантаження,
яке змiнюється за гармонiчним законом.
1 Формулювання математичної моделi та перевiр-
ка її коректностi
Розглянемо цилiндричний резервуар, частково заповнений рiдиною.
Резервуар вважаємо абсолютно твердим тiлом, яке може рухатись по-
ступально пiд дiєю активних зовнiшнiх сил. Рiдину вважаємо iдеаль-
ною, нестисливою, однорiдною, а її початковий рух безвихровим. Вiд-
повiдно до методики роботи О.С. Лимарченко [1], математична мо-
дель механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” бу-
дується на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-Остроградського
𝛿I = 0, где I =
𝑡2∫︁
𝑡1
Ldt,
при цьому функцiя Лагранжа задається у класичнiй формi Гамiльтона-
Остроградського як рiзниця мiж кiнетичною i потенцiальною енергi-
єю системи
L =
1
2
𝜌
∫︁
𝜏
(∇⃗𝜙+ ˙⃗𝜀)2𝑑𝜏 +
1
2
𝑀𝑇 ( ˙⃗𝜀)
2 − (𝑀𝑇 +𝑀𝐹 )𝑔𝜀𝑧−
−1
2
𝜌𝑔
∫︁
S
(𝜉2 −𝐻2)𝑑S + 𝐹 · 𝜀⃗,
40 Константiнов О.В.
де 𝜌 – щiльнiсть рiдини; 𝜏 – область, яку займає рiдина; 𝑑𝜏 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
– цилiндричнi координати, при цьому вiсь 𝑂𝑧 має напрямок, про-
тилежний до напрямку вектора прискорення вiльного падiння 𝑔⃗, а
система координат пов’язана з нерухомим резервуаром; ∇⃗ = 𝑖⃗1
𝜕
𝜕𝑟 +
𝑖⃗2
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃 + 𝑖⃗3
𝜕
𝜕𝑧 ; 𝜙 – потенцiал швидкостей рiдини; 𝜉 – збурення вiльної
поверхнi рiдини; S – поперечний перерiз цилiндричного резервуару;
𝑀𝑇 i 𝑀𝐹 – маса резервуару i рiдини вiдповiдно; 𝜀⃗ = (𝜀𝑥, 𝜀𝑦, 𝜀𝑧) –
вектор перемiщення резервуару в поступальному русi; 𝐹 – головний
вектор зовнiшнiх сил, якi дiють на резервуар, щодо точки 𝑂.
Для ефективного застосування варiацiйного принципу Гамiльтона-
Остроградського поставлено задачу ввести у розгляд мiнiмальну кiль-
кiсть незалежних змiнних, що описують рух резервуару з рiдиною,
тобто фактично будуються розклади шуканих змiнних, якi задоволь-
няють наперед усi кiнематичнi граничнi умови. Оскiльки безвихровий
рух iдеальної однорiдної нестисливої рiдини вiдповiдно до теореми
Лагранжа повнiстю визначається рухом її границь, то збурення вiль-
ної поверхнi рiдини 𝜉 i радiус-вектор 𝜀⃗(𝑡) повнiстю характеризують
рух самої рiдини, i тому потенцiал швидкостей 𝜙 потрiбно вважати
залежною змiнною.
Вiдповiдно до методики роботи [1], розклади шуканих змiнних на-
ведемо у формi
𝜉(𝑟, 𝜃, 𝑡) =
∑︁
𝑖
𝑎𝑖(𝑡)𝜓𝑖(𝑟, 𝜃), 𝜙 =
∑︁
𝑖
𝑏𝑖(𝑡)𝜙𝑖(𝑟, 𝜃, 𝑧),
де 𝑎𝑖(𝑡) – амплiтуди форм коливань збуреної вiльної поверхнi рiди-
ни 𝜉. Системи функцiй 𝜓𝑖 i 𝜙𝑖 = 𝜓𝑖
cosh𝜅𝑖(𝑧+𝐻)
𝜅𝑖 sinh𝜅𝑖𝐻
є розв’язком лiнiйної
спектральної задачi [1] i мають вигляд
𝜓𝑛(𝑟, 𝜃) = 𝐽𝑛
(︂
𝜅
(𝑚)
𝑛
𝑅
𝑟
)︂
sin(𝑛𝜃)
cos(𝑛𝜃)
, 𝑛 = 0, 1, 2, ...; 𝑚 = 1, 2, ...
У роботi [1] розроблено метод виключення кiнематичних грани-
чних умов на вiльнiй поверхнi рiдини, який дає змогу отримати дис-
кретну модель механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною по-
верхнею” мiнiмальної розмiрностi. На основi розробленого методу, ва-
рiацiйних методiв математичної фiзики i асимптотичних методiв не-
лiнiйної механiки у роботi [1] побудована математична модель, яка
дає змогу дослiдити поступальнi i кутовi рухи механiчної системи
Динамiка системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” . . . 41
“резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” при рiзних видах кiнема-
тичного збурення i динамiчного (силового i моментного) збудження.
Ця модель є системою нелiнiйних звичайних диференцiальних рiв-
нянь другого порядку стосовно незалежних параметрiв 𝑎𝑖 – коефiцi-
єнтiв розкладу в ряд збурення вiльної поверхнi рiдини 𝜉 за формами
коливань вiльної поверхнi 𝜓𝑖 i 𝜀𝑖 – компонент вектора перемiщень
центру незбуреної вiльної поверхнi рiдини щодо деякої нерухомої си-
стеми вiдлiку:
∑︁
𝑖
𝑎̈𝑖 ·
{︂
𝛽𝑞𝑟𝑖 +
∑︁
𝑗
𝑎𝑗𝛾
𝑞
𝑖𝑗 +
∑︁
𝑖,𝑗
𝑎𝑖𝑎𝑗𝛿
𝑞
𝑟𝑖𝑗𝑘
}︂
+ (1)
+¨⃗𝜀 ·
{︂
𝐵⃗1
𝑟 +
∑︁
𝑖
𝑎𝑖𝐵⃗
2
𝑟𝑖 +
∑︁
𝑖,𝑗
𝑎𝑖𝑎𝑗𝐵⃗
3
𝑟𝑖𝑗 +
∑︁
𝑖,𝑗,𝑘
𝑎𝑖𝑎𝑗𝑎𝑘𝐵⃗
4
𝑟𝑖𝑗𝑘
}︂
=
=
1
2
∑︁
𝑖,𝑗
𝑎̇𝑖𝑎̇𝑗(𝛾
𝑞
𝑖𝑗𝑟 − 𝛾𝑞𝑟𝑖𝑗) +
∑︁
𝑖,𝑗,𝑘
𝑎̇𝑖𝑎̇𝑗𝑎𝑘(𝛿
𝑞
𝑖𝑗𝑘𝑟 − 2𝛿𝑞𝑟𝑖𝑗𝑘)−
−1
2
𝑔𝛼𝑠𝑟 − 𝛼𝑝𝑟𝑎𝑟 − 𝑔𝑁𝑟𝑎𝑟 + ˙⃗𝜀 ·
{︂
𝐵⃗1
𝑟 +
∑︁
𝑖
𝑎𝑖(𝐵⃗
2
𝑖𝑟 − 𝐵⃗2
𝑟𝑖)+
+
∑︁
𝑖,𝑗
𝑎̇𝑖𝑎𝑗2(𝐵⃗
3
𝑖𝑗𝑟 − 𝐵⃗3
𝑟𝑖𝑗) +
∑︁
𝑖,𝑗,𝑘
𝑎̇𝑖𝑎𝑗𝑎𝑘3(𝐵⃗
4
𝑖𝑗𝑘𝑟 − 𝐵⃗4
𝑟𝑖𝑗𝑘)
}︂
,
𝜌
{︂∑︁
𝑖
𝑎̈𝑖[𝐵⃗
1
𝑖 +
∑︁
𝑖,𝑗
𝑎𝑗𝐵⃗
2
𝑖,𝑗 +
∑︁
𝑖,𝑗,𝑘
𝑎𝑗𝑎𝑘𝐵⃗
3
𝑖𝑗𝑘]
}︂
+ (𝑀𝑇 +𝑀𝐹 )¨⃗𝜀 = (2)
= 𝐹 − (𝑀𝑇 +𝑀𝐹 )𝑔𝑘⃗ − 𝜌
{︂∑︁
𝑖,𝑗
𝑎̇𝑖𝑎̇𝑗𝐵⃗
2
𝑖𝑗 +
∑︁
𝑖,𝑗,𝑘
𝑎̇𝑖𝑎̇𝑗𝑎𝑘𝐵⃗
3
𝑖𝑗𝑘
}︂
.
Система (1) – (2) мiстить 𝑁 + 3 рiвнянь (𝑁 – кiлькiсть форм
коливань рiдини, що розглядаються) i описує динамiку сумiсного ру-
ху резервуару i рiдини при рiзних формах кiнематичного збурення i
динамiчного (силового) збудження. Рiвняння (1) описують динамiку
амплiтуд форм коливань вiльної поверхнi рiдини, а рiвняння (2) –
динамiку резервуару, однак цi рiвняння взаємозв’язанi i мiстять сили
взаємодiї мiж компонентами механiчної системи.
42 Константiнов О.В.
Сукупнiсть коефiцiєнтiв, якi входять до системи рiвнянь (1) –
(2), у рамках прийнятої моделi визначає властивостi механiчної си-
стеми, яка розглядається, i особливостi прояву в нiй внутрiшнiх лi-
нiйних i нелiнiйних механiзмiв взаємодiї. Цi коефiцiєнти визнача-
ються через квадратури вiд розв’язку крайової задачi з визначен-
ня форм коливань вiльної поверхнi рiдини. При цьому коефiцiєнти
𝛽𝑞𝑖𝑟, 𝛾
𝑞
𝑖𝑗𝑟, 𝛿
𝑞
𝑖𝑗𝑘𝑟, 𝛼
𝑠
𝑟, 𝑁𝑟 вiдповiдають випадковi коливань рiдини у не-
рухомому резервуарi, а коефiцiєнти 𝐵1
𝑟 , 𝐵⃗
2
𝑟𝑖, 𝐵⃗
3
𝑟𝑖𝑗 , 𝐵⃗
4
𝑟𝑖𝑗𝑘 вiдображають
взаємозв’язок коливань рiдини та поступального руху резервуару.
Для перевiрки коректностi i точностi значень коефiцiєнтiв, що об-
числюються у рiвняннях (1) – (2), виконаємо порiвняння їхнiх зна-
чень iз результатами, опублiкованими у роботах I.О. Луковського
[2–4]. В [2–4] отримано систему диференцiальних рiвнянь коливань
рiдини в нерухомому цилiндричному резервуарi при розкладаннi рiв-
няння вiльної поверхнi рiдини за п’ятьма формами коливань
𝜇1(𝑎̈1 + 𝜎2
1𝑎1) + 𝑑1(𝑎
2
1𝑎̈1 + 𝑎̇21𝑎̈1 + 𝑎1𝑎2𝑎̈2 + 𝑎1𝑎̇
2
2)+ (3)
+𝑑2(𝑎
2
2𝑎̈1 +2𝑎2𝑎̇1𝑎̇2 − 𝑎1𝑎2𝑎̈2 − 2𝑎1𝑎̇
2
2)− 𝑑3(𝑎5𝑎̈1 − 𝑎4𝑎̈2 + 𝑎̇1𝑎̇5 − 𝑎̇2𝑎̇4)+
+𝑑4(𝑎1𝑎̈5 − 𝑎2𝑎̈4) + 𝑑5(𝑎3𝑎̈1 + 𝑎̇3𝑎̇1) + 𝑑6𝑎1𝑎̈3 = 0,
𝜇1(𝑎̈2 + 𝜎2
1𝑎2) + 𝑑1(𝑎
2
2𝑎̈2 + 𝑎̇22𝑎̈2 + 𝑎1𝑎2𝑎̈1 + 𝑎2𝑎̇
2
1)+
+𝑑2(𝑎
2
1𝑎̈2 +2𝑎1𝑎̇1𝑎̇2 − 𝑎1𝑎2𝑎̈2 − 2𝑎2𝑎̇
2
1)− 𝑑3(𝑎5𝑎̈2 − 𝑎4𝑎̈1 + 𝑎̇1𝑎̇4 − 𝑎̇2𝑎̇5)+
+𝑑4(𝑎2𝑎̈5 − 𝑎1𝑎̈4) + 𝑑5(𝑎3𝑎̈2 + 𝑎̇3𝑎̇2) + 𝑑6𝑎2𝑎̈3 = 0,
𝜇0(𝑎̈3 + 𝜎2
0𝑎3) + 𝑑6(𝑎1𝑎̈1 + 𝑎2𝑎̈2) + 𝑑8(𝑎̇
2
1 + 𝑎̇22) = 0,
𝜇2(𝑎̈4 + 𝜎2
2𝑎4)− 𝑑4(𝑎2𝑎̈1 + 𝑎1𝑎̈2)− 2𝑑7𝑎̇1𝑎̇2 = 0,
𝜇2(𝑎̈5 + 𝜎2
2𝑎5)− 𝑑4(𝑎1𝑎̈1 − 𝑎2𝑎̈2) + 𝑑7(𝑎̇
2
1 − 𝑎̇22) = 0,
причому iндекс 3 вiдповiдає першiй осесиметричнiй формi, а iншi iн-
декси вiдповiдних форм систем рiвнянь (1) – (2) i (3) спiвпадають.
Порiвняння систем (1) – (2) i (3) дозволяє встановити взаємну еквi-
валентнiсть наступних коефiцiєнтiв, яка вiдображена нижче:
𝛽𝑞11 = 𝜇1, 𝛽
𝑞
22 = 𝜇1, 𝛽
𝑞
33 = 𝜇0, 𝛽
𝑞
44 = 𝜇2, 𝛽
𝑞
55 = 𝜇2,
𝛾𝑞131 = 𝑑6, 𝛾
𝑞
113 = 𝑑5, 𝛾
𝑞
142 = −𝑑4, 𝛾𝑞151 = 𝑑4, 𝛾
𝑞
124 = 𝑑3, 𝛾
𝑞
115 = −𝑑3,
Динамiка системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” . . . 43
𝛾𝑞232 = 𝑑6, 𝛾
𝑞
223 = 𝑑5, 𝛾
𝑞
241 = −𝑑4, 𝛾𝑞252 = −𝑑4, 𝛾𝑞214 = 𝑑3, 𝛾
𝑞
511 = 𝑑4,
𝛾𝑞322 = 𝑑6, 𝛾
𝑞
311 = 𝑑6, 𝛾
𝑞
421 = −𝑑4, 𝛾𝑞412 = −𝑑4, 𝛾𝑞522 = −𝑑6, 𝛾𝑞511 = 𝑑4,
𝛿𝑞1111 = 𝑑1, 𝛿
𝑞
1122 = 𝑑2, 𝛿
𝑞
1212 + 𝛿𝑞1221 = 𝑑1 − 𝑑2, 𝛿
𝑞
2112 + 𝛿𝑞2212 = 𝑑1 − 𝑑2.
Значення коефiцiєнтiв, що обчислювалися для системи (1) – (2), по-
рiвнювалися iз значеннями коефiцiєнтiв системи (3), якi наведенi у
роботах [2–4], для рiзних радiусiв резервуару. Оскiльки в системi (1) –
(2) використовується бiльша кiлькiсть форм коливань, нiж у системi
(3), а коефiцiєнти в (1) – (2) обчислювалися за єдиним алгоритмом, є
пiдстави вважати, що значення коефiцiєнтiв з номером iндексу бiль-
ше 5 також обчислюються коректно. Результати цих обчислень наве-
денi у таблицi 1. Рiзниця у четвертому знаку пiсля коми двох еквiва-
лентних коефiцiєнтiв пояснюється використанням у моделi (1) – (2)
бiльшої кiлькостi форм коливань; однак у цiлому необхiдна точнiсть
i стiйкiсть обчислювальної моделi забезпечується.
Таблиця 1
Коефiцiєнт 𝑅 = 1 м 𝑅 = 0, 3 м
Модель Модель Модель Модель
(3) (1) – (2) (3) (1) – (2)
𝛽𝑞
11 = 𝛽𝑞
22 = 𝜇1 0,6325 0,632528 0,0171 0,017078
𝛽𝑞
33 = 𝜇0 0,8206 0,820665 0,0222 0,022158
𝛽𝑞
44 = 𝛽𝑞
55 = 𝜇2 0,2950 0,295078 0,0080 0,007967
𝛽𝑞
66 0,447803 0,012091
𝛽𝑞
77 = 𝛽𝑞
88 0,183322 0,004950
𝛽𝑞
99 = 𝛽𝑞
10,10 0,284277 0,007675
𝛽𝑞
11,11 = 𝛽𝑞
12,12 0,181488 0,004900
𝛾𝑞
131 = 𝑑6 -0,0433 -0,043269 -0,0039 -0,003894
𝛾𝑞
113 = 𝑑5 1,039 1,03928 0,0935 0,093529
𝛾𝑞
142 = −𝑑4 0,0560 0,056024 0,0050 0,005042
𝛾𝑞
124 = 𝑑3 0,6403 0,640291 0,0576 0,057626
𝛾𝑞
161 -0,007188 -0,000647
𝛾𝑞
184 -0,079145 -0,007123
𝛾𝑞
1,11,3 0,073751 0,006638
𝛾𝑞
1,12,4 -0,027277 -0,002455
𝛿𝑞1111 = 𝑑1 0,3920 0,392414 0,1184 0,117874
𝛿𝑞1122 = 𝑑2 -0,2416 -0,241630 -0,0721 -0,072339
𝛿𝑞1133 -0,040095 -0,012029
Цей висновок також пiдтверджується результатами роботи [16], де
експериментально i за допомогою програмного забезпечення кiнцево-
елементного аналiзу ANSYS обчислювалась перша частота коливань
вiльної поверхнi рiдини для цилiндричного резервуару дiаметру 170
44 Константiнов О.В.
мм при рiзних глибинах його заповнення водою. Результати обчисле-
ння, отриманi в роботi [16] та на основi моделi (1) – (2) наведенi в
таблицi 2.
Таблиця 2
Глибина Частота коливань першої форми, Гц
рiдини, мм
Експеримент Housner [10] ANSYS Модель (1) – (2)
50 2,07 2,066 1,99 2,067
100 2,30 2,289 2,18 2,289
150 2,33 2,316 2,22 2,316
200 2,33 2,319 2,22 2,319
а) результати експерименту б) результати моделювання
Рис. 1. Порiвняння з результатами експерименту роботи [9] при збудженнi
руху резервуару в горизонтальнiй площинi в дорезонанснiй областi
Коректнiсть моделi (1) – (2) також пiдтверджується на основi по-
рiвняння з результатами експериментального дослiдження, отрима-
ними в роботi [9]. Цилiндричний резервуар радiусу 𝑅 = 30 см, запов-
нений водою до глибини 𝐻 = 10 см, здiйснює горизонтальнi рухи за
законом 𝑦 = 𝐴𝑓𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑓 𝑡) пiд дiєю зовнiшньої сили. Власна частота си-
стеми дорiвнює 𝜔1 = 5, 74 Гц. Амплiтуда горизонтального перемiще-
ння резервуару дорiвнює 𝐴𝑓 = 0, 05 см, а значення частоти дорiвнює
𝜔𝑓 = 5, 16 Гц для дорезонансної областi i 𝜔𝑓 = 5, 74 Гц для резо-
нансної областi. Результати порiвняння – графiки коливань вiльної
поверхнi рiдини на стiнцi резервуару – наведенi на Рис. 1 i Рис. 2.
В обох випадках досягається прийнятна для практики збiжнiсть ре-
зультатiв. Для обох режимiв характерна наявнiсть амплiтудної моду-
ляцiї (оскiльки зовнiшня частота та власна частота системи досить
близькi), однак в резонанснiй областi амплiтуди коливань вiльної по-
верхнi, як можна було очiкувати, практично в 4 рази перевищують
амплiтуди коливань в дорезонанснiй областi.
Динамiка системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” . . . 45
а) результати експерименту б) результати моделювання
Рис. 2. Порiвняння з результатами експерименту роботи [9] при збудженнi
руху резервуару горизонтальнiй площинi в резонанснiй областi.
2 Результати чисельного моделювання
Розглянемо круговий цилiндричний резервуар iз вертикальною пов-
здовжньою вiссю 𝑂𝑧, який здiйснює поступальнi рухи у площинi 𝑥𝑂𝑧
пiд дiєю гармонiчної сили 𝐹 = 𝐹𝑧 cos(𝑝𝑡). Резервуар має радiус 𝑅 = 1
м i частково заповнений водою до глибини 𝐻 = 𝑅. Отриманi ре-
зультати зiставляємо iз класичною задачею Фарадея, коли резервуар
здiйснює вертикальнi рухи за заданим законом. Амплiтуда початко-
вого збурення вiльної поверхнi рiдини на стiнцi резервуару 𝜉 = 0, 01𝑅,
а спiввiдношення мас резервуару i рiдини становить 𝑀𝑇 = 1000𝑀𝐹 .
У класичнiй задачi Фарадея резервуар здiйснює вертикальнi колива-
ння за заданим гармонiчним законом 𝜀𝑧 = 𝐻𝑧 cos(𝑝𝑡) з амплiтудою
𝐻𝑧 = 0, 01𝑅 ÷ 0, 015𝑅 i частотою 𝑝 = 2𝜔* (в резонанснiй областi),
де 𝜔* = 4.14 Гц – власна частота коливань системи для заданих па-
раметрiв. Для створення необхiдного прискорення, яке забезпечить
перемiщення резервуару за законом 𝜀𝑧 = 𝐻𝑧 cos(𝑝𝑡), прикладаємо до
резервуару силу 𝐹𝑧 = −(𝑀𝑇 +𝑀𝐹 )𝐻𝑧𝑝
2 cos(𝑝𝑡).
Система рiвнянь (1) – (2) лiнiйна щодо других похiдних, що дає
можливiсть при практичнiй реалiзацiї на кожному кроцi чисельного
iнтегрування спочатку перетворити систему за допомогою ЕОМ до
нормальної форми Кошi, а потiм чисельно iнтегрувати за часом за
допомогою стандартного методу Рунге-Кутта. При цьому на етапi пе-
ретворення до нормальної форми Кошi порядок похiдних знижувався
шляхом введення узагальнених швидкостей 𝑎̇𝑖 як рiвноправних неза-
лежних змiнних (разом iз 𝑎𝑖). При дослiдженнi динамiки системи ”ре-
зервуар – рiдина” в розкладах утримувалося 𝑛1 = 21 координатних
функцiй за лiнiйною, 𝑛2 = 14 за квадратичною та 𝑛3 = 7 за кубiчною
46 Константiнов О.В.
теорiєю. Координатнi функцiї 𝜓𝑖 розмiщено в порядку зростання вiд-
повiдних для них власних частот окрiм 𝜓3 – першої осесиметричної
форми. Крок чисельного iнтегрування обирався Δ𝑡 = 0, 1𝜋𝜔21 с, де
𝜔21 – найвища парцiальна частота форми 𝜓21 у системi.
а) 𝐻𝑧 = 1 см б) 𝐻𝑧 = 1,5 см
Рис. 3. Коливання вiльної поверхнi рiдини в резонанснiй областi при
спiввiдношеннi мас 𝑀𝑇 = 1000𝑀𝐹 .
Графiки збурення вiльної поверхнi рiдини на стiнцi резервуару
пiд дiєю шуканої сили наведено на Рис. 3. Збурення вiльної поверх-
нi рiдини виходять на режим параметричного резонансу (амплiтуда
коливань зростає приблизно в 40 разiв), хоч i викликанi динамiчним,
а не кiнематичним зовнiшнiм впливом. Близькiсть значень частоти
коливань вiльної поверхнi рiдини i частоти параметричного збурен-
ня пояснюють наявнiсть в коливаннях вiльної поверхнi рiдини ефекту
сильної амплiтудної модуляцiї. Коливання резервуару у вертикальнiй
площинi практично не вiдрiзняються вiд гармонiчних, якi здiйснюю-
ться за законом 𝜀𝑧 = 𝐻𝑧 cos(𝑝𝑡). Таким чином, у випадку важкого
резервуару динамiка системи у класичнiй задачi Фарадея та при вер-
тикальному силовому збудженнi руху практично повнiстю якiсно збi-
гаються. Причиною такого збiгу є мала вiдносна маса рiдини, силовий
вiдгук якої в обох випадках не впливає на коливання резервуара, i
тому двостороння взаємодiя мiж резервуаром i рiдиною практично
вiдсутня. Збiльшення амплiтуди зовнiшнього збудження приводить
до пiдвищення впливу вищих форм коливань вiльної поверхнi рiдини
– на графiку на Рис. 3б (у порiвняннi з Рис. 3а) з’являються зрiзи i
зломи, що характерно якраз для прояву вищих гармонiк спектру.
Динамiка системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” . . . 47
Подальше пiдвищення амплiтуди зовнiшньої сили приводить до
суттєвого збiльшення частоти коливань вiльної поверхнi рiдини з яр-
ко вираженим ефектом амплiтудної модуляцiї. В роботi [13] наведено
результати експерименту при вертикальному збудженнi руху резер-
вуару у випадку, коли частота зовнiшньої сили має значення 𝑝 ≈ 2𝜔*
(резервуар радiусу 𝑅 = 6 см, частково заповнений водою до глиби-
ни 𝐻 = 7,2 см, з власною частотою 𝜔* = 17.14 Гц). На Рис. 4 верх-
нiй графiк вiдображає амплiтуду вертикальних коливань резервуару,
другий – амплiтуду коливань вiльної поверхнi рiдини у точцi 𝑅 = 5
см, 𝜃 = 90𝑜, третiй – амплiтуду коливань вiльної поверхнi рiдини у
точцi 𝑅 = 5 см, 𝜃 = 180𝑜 (для кожного з експериментiв вiдповiдно).
Як можна бачити з графiкiв, i коливання резервуару, i коливання
вiльної поверхнi рiдини характеризуються сильною амплiтудною мо-
дуляцiєю.
а) результати експерименту б) результати моделювання
Рис. 4. Порiвняння з результатами експерименту роботи [13] при
збудженнi руху резервуару в резонанснiй областi.
В зарезонанснiй i дорезонанснiй областях частот при малих ам-
плiтудах зовнiшньої сили коливання вiльної поверхнi взагалi не ви-
ходять на режим вимушеного резонансу або хоча б на нелiнiйний
режим (амплiтуда коливань сягає 0, 2𝑅 або вище). Тiльки поступо-
ве збiльшення амплiтуди зовнiшнього збудження спочатку приводить
до пiдвищення частоти коливань вiльної поверхнi рiдини (збiльшення
глибини амплiтудної модуляцiї, а потiм i до виходу системи в режим
нелiнiйних коливань iз суттєвим впливом вищих гармонiк.
48 Константiнов О. В.
Висновки
Розглянуто динамiку механiчної системи “резервуар – рiдина з вiль-
ною поверхнею” пiд дiєю зовнiшнього вертикального силового наван-
таження, яке змiнюється за гармонiчним законом. Дослiдження пе-
рехiдних процесiв у системi проводилося на основi нелiнiйної бага-
томодової (до 21 форми коливань) дискретної моделi, яка побудова-
на на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-Остроградського. На
основi проведених дослiджень показано, що при наявностi додатково-
го ступеня вiльностi – можливостi руху резервуару у вертикальному
напрямку – динамiчнi процеси в системi розвиваються як сукупнiсть
параметричного резонансу i вимушених коливань.
[1] Лимарченко О.С., Ясинский В.В. Нелинейная динамика конструкций
с жидкостью. — Киев: НТТУ КПИ, 1997. — 338 с.
[2] Луковский И.А., Пилькевич А.М. Нелинейные уравнения простран-
ственных движений твердого тела с цилиндрической полостью, содер-
жащей жидкость // Препринт, Институт математики АН УССР, 84.18.
— Киев, 1984. — 40 с.
[3] Луковский И.А., Пилькевич А.М. Таблицы гидродинамических коэф-
фициентов нелинейных уравнений пространственных движений твер-
дого тела с цилиндрической полостью, содержащей жидкость // Пре-
принт, Институт математики АН УССР, 84.39. — Киев, 1984. — 45 с.
[4] Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с по-
лостями, содержащими жидкость. — К.: Наукова думка, 1990. — 295 с.
[5] Луковский И.А. Математические модели нелинейной динамики твёр-
дых тел с жидкостью. — К.: Наукова думка, 2010. — 408 с.
[6] Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями,
частично заполненными жидкостью. — М.: Машиностроение, 1968. —
532 с.
[7] Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических
аппаратов. — М.: Машиностроение, 1978. — 247 с.
[8] Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная ди-
намика летательного аппарата с жидкостью. — М.: Машинострое-
ние, 1977. — 208 с.
[9] Chen Y., Hwang W., Ko Ch. Sloshing behaviours of rectangular and
cylindrical liquid tanks subjected to harmonic and seismic excitations //
Earthquake Engineering and Structural Dynamics. — 2007.— Vol. 36.—
P. 1701–1717.
Динамiка системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею” . . . 49
[10] Housner G.W. Dynamic analysis of fluids in containers subjected to ac-
celeration. Nuclear Reactors and Earthquakes.— Report No. TID 7024,
U.S. Atomic Energy Commission. Washington D.C., 1963.
[11] Ibrahim R.A. Liquid Sloshing Dynamics.— UK: Cambridge University
Press, 2005.— 970 p.
[12] Ibrahim R.A. Recent advances in physics of fluid paranetric sloshing and
related problems // Journal of Fluid Engineering. — 2015.— Vol. 135.—
P. 090801-1-090801-52.
[13] Ikeda T. Autoparametric Resonances in Elastic Structures Carrying Two
Rectangular Tanks Partially Filled with Liquid // Journal of Sound and
Vibration. — 2007.— Vol. 302, no. 4-5.— P. 657–682.
[14] Ikeda T., Murakami Sh. Nonlinear Vibrations of Elastic Structures Con-
taining a Cylindrical Liquid Tank under Vertical Excitation // Journal of
System Design and Dynamics. — 2008.— 2, 3.— P. 822–836.
[15] Ikeda T., Murakami Sh., Ushio Sh. Nonlinear Parametric Vibrations
of Elastic Structures Containing Two Cylindrical Liquid-Filled Tanks //
Journal of System Design and Dynamics. — 2009.— 3, 1. — P. 120–134.
[16] Jaiswal O.R., Kulkarni Sh., Pathak P. A study on sloshing frequencies of
fluid-tank system // The 14th World Conference on Earthquake Engineer-
ing, Beijing, China, October 12-17, 2008. — P. 120–128.
[17] Lukovsky I.A. Nonlinear Dynamics. Mathematical Models for Rigid Bod-
ies with a Liquid.— De Gruyter, 2015.— 410 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-394 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:41Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/20/796dd8b0c694005500038e96a56dc920.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3942020-08-09T14:47:41Z Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion Динамика системы "резервуар - жидкость со свободной поверхностью" под действием внешнего силового возбуждения движения Динаміка системи "резервуар -- рідина з вільною поверхнею" під дією зовнішнього силового збудження руху Konstantinov, O.V. Константинов, О.В. Константінов, О.В. The dynamics of the mechanical system ``reservoir -- liquid with a free surface'' exposed to an external vertical force, which varies by a harmonic law, is considered. The dynamics is studied by employing a nonlinear multidimensional (up to 12 wave modes) discrete model, developed on the basis of the Hamilton-Ostrogradsky variational principle. It is shown that dynamic processes in the system develop as a combination of parametric resonance and forced oscillations. В роботі досліджується динаміка механічної системи ``резервуар -- рідина з вільною поверхнею'' під дією зовнішньої вертикальної сили, яка змінюється за гармонічним законом. Дослідження динаміки проводилося на основі нелінійної багатомодової (до 12 форм коливань) дискретної моделі, розробленої на основі варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського. Показано, що динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність параметричного резонансу і вимушених коливань. Коректність дискретної моделі перевірено на основі зіставлення з експериментальними результатами інших авторів. В роботі досліджується динаміка механічної системи ``резервуар -- рідина з вільною поверхнею'' під дією зовнішньої вертикальної сили, яка змінюється за гармонічним законом. Дослідження динаміки проводилося на основі нелінійної багатомодової (до 12 форм коливань) дискретної моделі, розробленої на основі варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського. Показано, що динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність параметричного резонансу і вимушених коливань. Коректність дискретної моделі перевірено на основі зіставлення з експериментальними результатами інших авторів. Інститут математики НАН України 2020-08-07 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/394 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 38-49 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 38-49 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 38-49 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/394/393 Авторське право (c) 2019 О.В. Константінов http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Konstantinov, O.V. Константинов, О.В. Константінов, О.В. Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| title | Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| title_alt | Динамика системы "резервуар - жидкость со свободной поверхностью" под действием внешнего силового возбуждения движения Динаміка системи "резервуар -- рідина з вільною поверхнею" під дією зовнішнього силового збудження руху |
| title_full | Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| title_fullStr | Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| title_full_unstemmed | Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| title_short | Dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| title_sort | dynamics of the "tank - liquid with a free surface" system under the action of external force excitation of motion |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/394 |
| work_keys_str_mv | AT konstantinovov dynamicsofthequottankliquidwithafreesurfacequotsystemundertheactionofexternalforceexcitationofmotion AT konstantinovov dynamicsofthequottankliquidwithafreesurfacequotsystemundertheactionofexternalforceexcitationofmotion AT konstantínovov dynamicsofthequottankliquidwithafreesurfacequotsystemundertheactionofexternalforceexcitationofmotion AT konstantinovov dinamikasistemyquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquotpoddejstviemvnešnegosilovogovozbuždeniâdviženiâ AT konstantinovov dinamikasistemyquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquotpoddejstviemvnešnegosilovogovozbuždeniâdviženiâ AT konstantínovov dinamikasistemyquotrezervuaržidkostʹsosvobodnojpoverhnostʹûquotpoddejstviemvnešnegosilovogovozbuždeniâdviženiâ AT konstantinovov dinamíkasistemiquotrezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneûquotpíddíêûzovníšnʹogosilovogozbudžennâruhu AT konstantinovov dinamíkasistemiquotrezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneûquotpíddíêûzovníšnʹogosilovogozbudžennâruhu AT konstantínovov dinamíkasistemiquotrezervuarrídinazvílʹnoûpoverhneûquotpíddíêûzovníšnʹogosilovogozbudžennâruhu |