Numeral system with two bases having different signs and related special functions
We consider an analytic system of encoding of numbers ($G_2$-representative) from an interval $[0;g_0]$ by means of the two-symbol alphabet $A\equiv\{0;1\}$ with two bases having different signs: $g_0\in(0;1)$ and $g_1=g_0-1$.The system is based on expansion of the numerical series. Functions with n...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/395 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552896902463488 |
|---|---|
| author | Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Pratsevytyi, M.V. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працевитый, Н.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. |
| author_facet | Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Pratsevytyi, M.V. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працевитый, Н.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "I.M. Lysentko",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
},
{
"author": "Yu.P. Maslova",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
},
{
"author": "M.V. Pratsevytyi",
"institution": "National Pedagogical Dragomanov University"
}
] |
| author_sort | Lysentko, I.M. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T20:54:58Z |
| description | We consider an analytic system of encoding of numbers ($G_2$-representative) from an interval $[0;g_0]$ by means of the two-symbol alphabet $A\equiv\{0;1\}$ with two bases having different signs: $g_0\in(0;1)$ and $g_1=g_0-1$.The system is based on expansion of the numerical series. Functions with non-homogeneous local properties of structural and differential kind are studied. Inversor of digits of the $G_2$-representation of the numbers and shift operator for the $G_2$-representation are among them.Properties of these functions are found out being rather surprising: the inversor is not a monotonic function and the shift operator is a continuous function. This implies the fundamental difference between the present and previously studied representations.We compare properties of the $G_2$- and two-base $Q_2$-representations (both are positive) using the projector of digits of between them. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 50–62
УДК 511.72+517.5
Двоосновна система числення з
рiзнознаковими основами i пов’язанi
з нею функцiї
I.М. Лисенко 1 Ю.П. Маслова 2 М.В. Працьовитий 3
1 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; iryna.pratsiovyta@gmail.com,
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; julia0609mas@gmail.com,
3 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com,
We consider an analytic system of encoding of numbers (𝐺2-representative)
from an interval [0; 𝑔0] by means of the two-symbol alphabet 𝐴 ≡ {0; 1}
with two bases having different signs: 𝑔0 ∈ (0; 1) and 𝑔1 = 𝑔0 − 1. The
system is based on expansion of the numerical series. Functions with non-
homogeneous local properties of structural and differential kind are studied.
Inversor of digits of the𝐺2-representation of the numbers and shift operator
for the 𝐺2-representation are among them. Properties of these functions
are found out being rather surprising: the inversor is not a monotonic func-
tion and the shift operator is a continuous function. This implies the fun-
damental difference between the present and previously studied representa-
tions. We compare properties of the 𝐺2- and two-base 𝑄2-representations
(both are positive) using the projector of digits of between them.
Розглядається аналiтична система кодування (𝐺2-зображення) чисел
вiдрiзка числової прямої [0; 𝑔0] засобами двосимвольного алфавiту 𝐴 ≡
{0; 1} iз двома рiзнознаковими основами: 𝑔0 ∈ (0; 1) i 𝑔1 = 𝑔0 − 1, яка
ґрунтується на розкладi числа в ряд. Вивчаються функцiї з неодно-
рiдними локальними властивостями структурного й диференцiального
характеру, серед яких iнверсор цифр 𝐺2-зображення чисел та оператор
лiвостороннього зсуву цифр 𝐺2–зображення. Несподiваними виявили-
ся властивостi цих функцiй: iнверсор не є функцiєю монотонною, а опе-
ратор зсуву цифр є функцiєю неперервною. Це принципово вiдрiзняє
це зображення вiд iнших, ранiше вивчених. Здiйснено порiвняльний
аналiз властивостей 𝐺2–зображення зi двоосновним 𝑄2–зображенням
(обидвi основи додатнi) через проектор цифр одного зображення в iн-
ше.
c○ Лисенко I.М., Маслова Ю.П., Працьовитий М.В., 2019
Двоосновна система числення з рiзнознаковими основами i по . . . 51
1 Вступ
У математицi i її застосуваннях використовуються рiзнi двосимвольнi
зображення дiйсних чисел певного вiдрiзка (класичне двiйкове, нега–
двiйкове [5], 𝑄2–зображення [6,7], 𝑄*
2–зображення [4,8], медiантне [2]
й марковське зображення [3], зображення чисел ланцюговими дроба-
ми Данжуа [13], 𝐴2–дробами [1] тощо [12]). Деякi з них є полiосновни-
ми (використовують двi або нескiнченну кiлькiсть основ). Серед них
важливою для застосувань у фрактальнiй геометрiї, теорiї функцiй,
теорiй ймовiрностей виявилась система зi двома додатними основа-
ми: 𝑞0 ∈ (0; 1) i 𝑞1 ≡ 1 − 𝑞0, яка використовує алфавiт 𝐴2 ≡ {0; 1}.
Вона є самоподiбним узагальненням класичної двiйкової системи i
збiгається з нею при 𝑞0 = 0, 5. Моделлю дiйсного числа у цiй системi
є додатний ряд. Якщо 𝐿2 = 𝐴2×𝐴2× ...×𝐴2× ... – простiр послiдов-
ностей елементiв алфавiту (простiр послiдовностей нулiв i одиниць),
то для будь–якого 𝑥 ∈ [0; 1] iснує така послiдовнiсть (𝛼𝑛) ∈ 𝐿2, що
𝑥 = 𝛼1𝑞1−𝛼1
+
∞∑︁
𝑘=2
(𝛼𝑘𝑞1−𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝛼𝑗
) ≡ Δ𝑄2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛....
Символiчний запис Δ𝑄2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛
називається 𝑄2–зображенням числа 𝑥.
Теорiя цього зображення добре вивчена, хоч i продовжує збагачува-
тися [10].
У роботi [11] введена нова двосимвольна система зображення чи-
сел вiдрiзка [0; 𝑔0] ⊂ [0; 1], яка має двi основи: одну додатну, а другу —
вiд’ємну. Кодування чисел у цiй системi називається𝐺2–зображенням.
Частково його геометрiя уже вивчена у вказанiй статтi [11]. У цiй
роботi ми продовжуємо розпочате дослiдження, розглядаючи спецi-
альнi функцiї, якi викривають специфiку цiєї системи й iнтерес до
неї.
2 Двоосновна система кодування дiйсних чисел iз
рiзнознаковими основами
Нехай 𝐴2 = {0; 1} – алфавiт; 𝐿2 = 𝐴2 × 𝐴2 × ... × 𝐴2 × ... – простiр
послiдовностей елементiв алфавiту; 𝑔 = (𝑔0; 𝑔1) — фiксований набiр
чисел, причому 0 < 𝑔0 < 1, 𝑔1 ≡ 𝑔0 − 1, 𝑔0 > −𝑔1; 𝛿0 ≡ 0, 𝛿1 ≡ 𝑔0.
Зауважимо, що 𝛿𝑗 = 𝑗𝑔1−𝑗 , 𝑗 = 0, 1, i з означення 𝑔1 маємо |𝑔1| < 1.
52 Лисенко I. М., Маслова Ю.П., Працьовитий М. В.
Теорема 2.1. Для будь-якої послiдовностi (𝛼𝑛) ∈ 𝐿2, яка мiстить
нескiнченну кiлькiсть одиниць, ряд
𝛿𝛼1
+
∞∑︁
𝑘=2
(𝛿𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗
) =
∞∑︁
𝑘=1
𝑢𝑘 (1)
є абсолютно збiжним знакопочережним i його сума не перевищує
першого вiдмiнного вiд нуля доданка 𝑣1 = 𝑔𝑚0 , де 𝛼𝑚 = 1, але 𝛼𝑗 = 0
при 𝑗 < 𝑚.
Доведення. Якщо послiдовнiсть (𝛼𝑛) мiстить нескiнченну кiлькiсть
одиниць, то ряд (1) мiстить нескiнченну кiлькiсть як додатних, так
i вiд’ємних членiв. Пiсля вилучення нульових членiв ряду (1), а їхня
кiлькiсть залежить вiд кiлькостi нулiв у послiдовностi (𝛼𝑛), отриму-
ється знакозмiнний (почережний) ряд:
𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣3 − 𝑣4 + · · · ,
причому члени з непарними номерами додатнi, а з парними – вiд’ємнi.
За теоремою Лейбнiца вiн є збiжним, оскiльки 𝑣𝑘+1 < 𝑣𝑘 i 𝑣𝑘 →
0 (𝑘 → ∞), i його сума не перевищує 𝑣1 = 𝑔𝑚0 .
Наслiдок 2.1. Сума ряду (1) належить вiдрiзковi [0; 𝑔0].
Теорема 2.2. [11] Для будь-якого числа 𝑥 ∈ [0; 𝑔0] iснує послiдов-
нiсть (𝛼𝑛) ∈ 𝐿2, така, що
𝑥 = 𝛿𝛼1
+
∞∑︁
𝑘=2
(𝛿𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗
) ≡ Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑘...
. (2)
Означення 2.1. Зображення Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... числа 𝑥 ∈ [0; 𝑔0], встанов-
лене рiвнiстю (2), називається 𝐺2–зображенням. При цьому 𝛼𝑛 нази-
вається 𝑛–ною цифрою цього зображення.
3 𝐺2–бiнарнi числа i рацiональнi 𝐺2–зображення
Означення 3.1. Числа вiдрiзка [0, 𝑔0], що мають два𝐺2–зображення,
називаються 𝐺2–бiнарними.
Лема 3.1. Множина 𝐵 всiх 𝐺2–бiнарних чисел вичерпується чи-
слами з 𝐺2–зображеннями типу:
Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚01(0) = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚11(0). (3)
Двоосновна система числення з рiзнознаковими основами i по . . . 53
Доведення. Спочатку доведемо рiвнiсть (3). Для цього розглянемо
рiзницю
𝑑 ≡ Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚01(0) −Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚11(0) =
= 𝑔20
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 −
⎛⎝𝑔0 𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 + 𝑔0𝑔1
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗
⎞⎠ =
= 𝑔0(𝑔0 − 1− 𝑔1)
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 = 0.
Отже, рiвнiсть (3) виконується. Тепер покажемо, що iнших чисел,
що мають понад одне 𝐺2–зображення, не iснує. Для цього розглянемо
два числа з зображеннями 𝑥1 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑑1𝑑2...
, 𝑥2 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑑′1𝑑
′
2...
i
модуль їхньої рiзницi
|𝑥1 − 𝑥2| ≡ |Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑑1𝑑2...
−Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑑′1𝑑
′
2...
| =
= |Δ𝐺2
𝑑1...𝑑𝑚...
−Δ𝐺2
𝑑′1...𝑑
′
𝑚...
| · |
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 |.
Не порушуючи загальностi, вважатимемо 𝑑1 = 1, 𝑑′1 = 0. Оскiльки
|Δ𝐺2
𝑑1...𝑑𝑛...
−Δ𝐺2
𝑑′1...𝑑
′
𝑛...
| ≥ minΔ𝐺2
𝑑1...𝑑𝑛...
−maxΔ𝐺2
𝑑′1...𝑑
′
𝑛...
=
= Δ𝐺2
11(0) −Δ𝐺2
01(0) = 0,
то 𝑥1 = 𝑥2 тодi i тiльки тодi, коли Δ𝐺2
11(0) = Δ𝐺2
01(0). Лему доведено.
Множина 𝐵 всiх 𝐺2–бiнарних чисел є злiченною.
Означення 3.2. Якщо 𝑔0 є рацiональним числом, то вiдповiдне до
нього 𝐺2–зображення називається рацiональним.
Якщо 𝐺2–зображення є рацiональним, то 𝐺2–бiнарне число є ра-
цiональним. Це випливає безпосередньо з леми 3.1, бо сума скiнчен-
ного числа рацiональних чисел є числом рацiональним. Але не кожне
рацiональне число 𝑥 ∈ [0; 𝑔0] є 𝐺2–бiнарним.
Справдi, число
𝑥 = Δ𝐺2
(10) = 𝑔0 + 𝑔20𝑔1 + 𝑔30𝑔
2
1 + . . . =
𝑔0
1− 𝑔0𝑔1
𝐺2–бiнарним не є, але є рацiональним.
54 Лисенко I. М., Маслова Ю.П., Працьовитий М. В.
Лема 3.2. Якщо рацiональне 𝐺2–зображення числа
𝑥 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚(𝑐𝑚+1...𝑐𝑚+𝑝)
є перiодичним, то число 𝑥 є рацiональним.
Доведення. Справдi, представлення числа 𝑥 можна подати форму-
лою
𝑥 = 𝐴𝑚 + 𝑃𝑚 · 𝑆𝑚
1−𝑄𝑚
,
де
𝐴𝑚 = 𝛿𝑐1 +
𝑚∑︁
𝑘=2
⎛⎝𝛿𝑐𝑘 𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗
⎞⎠ ,
𝑃𝑚 =
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 ,
𝑆𝑚 = 𝛿𝑐𝑚+1 +
𝑃∑︁
𝑘=2
⎛⎝𝛿𝑐𝑚+𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐𝑚+𝑗
⎞⎠ ,
𝑄𝑚 =
𝑃∏︁
𝑗=1
𝑔𝑐+𝑗 .
Оскiльки числа 𝑔𝑐𝑗 , 𝛿𝑐𝑗 – рацiональнi, то рацiональними є й числа
𝐴𝑚, 𝑃𝑚, 𝑆𝑚, 𝑄𝑚, а отже, i число 𝑥.
4 Порiвняння чисел за їхнiми 𝐺2–зображеннями
Зрозумiло, що числа 𝐺2–бiнарне i 𝐺2–унарне дорiвнювати один одно-
му не можуть. Умови рiвностi двох 𝐺2–бiнарних чисел знайденi в по-
передньому пунктi, 𝐺2–унарних є очевидним, а саме: якщо числа 𝑥1
i 𝑥2 не є 𝐺2–бiнарними, то очевидне таке твердження.
Лема 4.1. Числа 𝑥1 = Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... i 𝑥2 = Δ𝐺2
𝛽1𝛽2...𝛽𝑛...
рiвнозначнi
тодi i тiльки тодi, коли 𝛼𝑘 = 𝛽𝑘 при всiх 𝑘 ∈ 𝑁 .
Теорема 4.1. Якщо 𝑥1 ̸= 𝑥2 i 𝑘(𝑥1, 𝑥2) = 𝑚, то
Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1𝑑1𝑑2...
= 𝑥1 i 𝑥2 = Δ𝐺2
1𝑐2...𝑐𝑚0𝑑′1𝑑
′
2...
перебувають у вiдношеннi
𝑥1 ≥ 𝑥2, якщо 𝜎𝑚 ≡ 𝑐1 + 𝑐2 + . . .+ 𝑐𝑚 = 2𝑘,
𝑥1 ≤ 𝑥2, якщо 𝜎𝑚 ≡ 𝑐1 + 𝑐2 + . . .+ 𝑐𝑚 = 2𝑘 − 1.
Двоосновна система числення з рiзнознаковими основами i по . . . 55
Доведення. Розглянемо рiзницю
𝑥1 − 𝑥2 = 𝑃𝑚(𝑥1, 𝑥2) (𝜔
𝑚(𝑥1)− 𝜔𝑚(𝑥2)) ,
де 𝑃𝑚(𝑥1, 𝑥2) =
𝑚∏︀
𝑗=1
𝑔𝑐𝑗 , 𝜔𝑚(𝑥1) = Δ𝐺2
1𝑑1𝑑2...
, 𝜔𝑚(𝑥2) = Δ𝐺2
0𝑑′1𝑑
′
2...
.
Враховуючи, що
𝜔𝑚(𝑥1)− 𝜔𝑚(𝑥2) ≥ minΔ𝐺2
1𝑑1𝑑2...
−maxΔ𝐺2
0𝑑′1𝑑
′
2...
= (𝑔0 − 𝑔0𝑔1)− 𝑔20 = 0,
𝜔𝑚(𝑥1)− 𝜔𝑚(𝑥2) ≤ maxΔ𝐺2
1𝑑1𝑑2...
−minΔ𝐺2
0𝑑′1𝑑
′
2...
= 𝑔0 − 0 = 𝑔0,
маємо 𝑥1 ≥ 𝑥2, якщо 𝜎𝑚–парне; 𝑥1 ≤ 𝑥2, якщо 𝜎𝑚–непарне, оскiльки
при парному 𝜎𝑚 число 𝑃𝑚 додатне, при непарному 𝜎𝑚 – вiд’ємне.
Зауваження 4.1. У порiвняннi чисел за їхнiми 𝐺2–зображеннями
беруть участь не лише першi незбiжнi цифри зображень чисел, а й
суми всiх попереднiх цифр. Це вiдрiзняє дану систему вiд класичної
двiйкової та iнших систем, що ґрунтуються на розкладах чисел у
додатнi ряди.
5 Геометрiя 𝐺2–зображення
Означення 5.1. Нехай (𝑐𝑛) ∈ 𝐿2, 𝐺2–цилiндром рангу 𝑚 iз основою
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 називається множина Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 всiх чисел 𝑥 ∈ [0; 𝑔0], якi
мають таке 𝐺2–зображення: 𝑥 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝛼𝑚+1𝛼𝑚+2..., 𝛼𝑚+𝑗 ∈ 𝐴, тобто
Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = {𝑥 : 𝛼𝑖(𝑥) = 𝑐𝑖, 𝑖 = 1,𝑚}.
Лема 5.1. Цилiндр Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 є вiдрiзком, причому
[𝑎; 𝑏], якщо 𝑁1 ≡ 𝑐1 + 𝑐2 + ...𝑐𝑚 — парне,
[𝑏; 𝑎], якщо 𝑁1 — непарне, де 𝑎 = 𝛿𝑐1 +
𝑚∑︀
𝑘=2
(𝛿𝑐𝑘
∏︀𝑘−1
𝑗=1 𝑔𝑐𝑗 ),
𝑏 = 𝑎+ 𝑔0
∏︀𝑚
𝑗=1 𝑔𝑐𝑗 .
Наслiдок 5.1. Довжина цилiндра Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 обчислюється за фор-
мулою
|Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 | = 𝑔0
𝑚∏︁
𝑗=1
|𝑔𝑐𝑗 | = (−𝑔1)𝑁1𝑔𝑚−𝑁1+1
0 ,
Наслiдок 5.2. Основне метричне вiдношення для 𝐺2–зображення
дiйсних чисел iз вiдрiзка [0; 𝑔0] виглядає |Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝑖
| = |𝑔𝑖||Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 |.
56 Лисенко I. М., Маслова Ю.П., Працьовитий М. В.
Цилiндри мають властивостi:
1. Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 ∪Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1, причому
maxΔ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 = minΔ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1, якщо 𝑁1 — парне;
maxΔ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1 = minΔ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0, якщо 𝑁1 — непарне.
2. Δ𝐺2
𝑎1𝑎2...𝑎𝑚 = Δ𝐺2
𝑏1𝑏2...𝑏𝑚
⇔ 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,𝑚.
3. Δ𝐺2
𝑎1...𝑎𝑚𝑎𝑚+1...𝑎𝑚+𝑘
∩Δ𝐺2
𝑏1𝑏2...𝑏𝑚
=
{︃
∅, якщо ∃ 𝑎𝑖 ̸= 𝑏𝑖, 𝑖 ≤ 1,𝑚.
Δ𝐺2
𝑏1...𝑏𝑚
, якщо 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,𝑚.
4.
∞⋂︀
𝑚=1
Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = 𝑥 ∈ [0; 𝑔0] ∀(𝑐𝑚) ∈ 𝐿2.
Властивостi цилiндрiв розкривають геометрiю цифр 𝐺2–зображення
чисел i виправдовують вибiр термiну цилiндричне 𝐺2–зображення.
6 Оператор лiвостороннього зсуву
Теорема 6.1. Оператор 𝜔 лiвостороннього зсуву цифр 𝐺2–зображен–
ня чисел вiдрiзка [0; 𝑔0], який у просторi 𝐺2-зображень означається
рiвнiстю
𝜔(Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛...) = Δ𝐺2
𝛼2𝛼3...𝛼𝑛..., (4)
аналiтично задається
𝜔(𝑥) =
1
𝑔𝛼1(𝑥)
𝑥−
𝛿𝛼1(𝑥)
𝑔𝛼1(𝑥)
, (5)
є неперервною коректно означеною на [0; 𝑔0] функцiєю, що є лiнiйною
на кожному з цилiндрiв першого рангу, причому зростаючою на Δ0
i спадною на Δ1.
Доведення. Оскiльки
𝑥 = Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... = 𝛿𝛼1
+ 𝑔𝛼1
⎛⎝𝛿𝛼2
+
∞∑︁
𝑘=3
𝛿𝛼𝑘
𝑘−1∏︁
𝑗=2
𝑔𝛼𝑗
⎞⎠ =
= 𝛿𝛼1
+ 𝑔𝛼1
𝜔(𝑥),
Двоосновна система числення з рiзнознаковими основами i по . . . 57
то виконується рiвнiсть (5). Враховуючи, що
𝑔𝛼1
=
{︃
𝑔0 > 0 при 𝛼1 = 0 ⇔ 𝑥 ∈ Δ𝐺2
0 ;
𝑔1 < 0 при 𝛼1 = 1 ⇔ 𝑥 ∈ Δ𝐺2
1 ;
лiнiйнiсть i монотоннiсть функцiї 𝜔 на цилiндрах першого рангу стає
очевидною. Коректнiсть означення i неперервнiсть 𝜔 є наслiдком рiв-
ностей 𝜔(𝑔20) = 𝜔(Δ01(0)) = 𝜔(Δ11(0)) = Δ1(0) = 𝑔0.
Iнварiантними точками оператора лiвостороннього зсуву є числа:
0 = Δ𝐺2
(0) i Δ𝐺2
(1) = 𝑔0 + 𝑔0𝑔1 + 𝑔0𝑔
2
1 + ... =
𝑔0
2 + 𝑔0
.
Зауваження 6.1. Остання теорема засвiдчує суттєву вiдмiннiсть
𝐺2–зображення вiд iнших вiдомих двосимвольних зображень, зокре-
ма 𝑄*
2–зображення, 𝑄̃–зображення i ланцюгового 𝐴2–зображення.
Нехай 𝑛–натуральне число, бiльше вiд 1, сформулюємо це як
𝜔𝑛(𝑥) = 𝜔(𝜔𝑛−1(𝑥)) = Δ𝐺2
𝛼𝑛+1(𝑥)𝛼𝑛+2(𝑥)...
.
Оскiльки 𝑥 = 𝛿𝛼1(𝑥) +
𝑛∑︀
𝑘=2
𝛿𝛼𝑘(𝑥)
𝑘−1∏︀
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥) +
(︃
𝑛∏︀
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥)
)︃
𝜔𝑛(𝑥),
то 𝜔𝑛(𝑥) =
𝑥
𝑃𝑛(𝑥)
− 1
𝑃𝑛(𝑥)
(︃
𝛿𝛼1(𝑥) +
𝑛∑︀
𝑘=2
(︃
𝛿𝛼𝑘(𝑥)
𝑘−1∏︀
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥)
)︃)︃
.
Теорема 6.2. Функцiя 𝜔𝑛 є коректно означеною рiвнiстю
𝜔𝑛(𝑥) = 𝜔𝑛(Δ𝐺2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...
) ≡ Δ𝐺2
𝛼𝑛+1(𝑥)𝛼𝑛+2(𝑥)...
,
має аналiтичний вираз
𝜔𝑛(𝑥) =
1
𝑃𝑛
𝑥− 𝐵𝑛
𝑃𝑛
, (6)
де 𝑃𝑛 =
𝑛∏︀
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥), 𝐵𝑛 = 𝛿𝛼1(𝑥) +
𝑛∑︀
𝑘=2
(︃
𝛿𝛼𝑘(𝑥)
𝑘−1∏︀
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥)
)︃
; неперервною
на вiдрiзку [0; 𝑔0], лiнiйному на кожному цилiндрi рангу 𝑛.
58 Лисенко I. М., Маслова Ю.П., Працьовитий М. В.
Доведення. Справдi, коректнiсть означення функцiї в 𝐺2–унарних
точках є очевидною, а для 𝐺2–бiнарних — випливає з рiвностi
𝜔𝑛(Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚01(0)) = 𝜔𝑛(Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚11(0)),
яка виконується для всiх натуральних 𝑚 (𝑚 < 𝑛, 𝑚 = 𝑛, 𝑚 > 𝑛).
Оскiльки
𝑥 = 𝛿𝛼1(𝑥) +
𝑛∑︁
𝑘=2
⎛⎝𝛿𝛼𝑘(𝑥)
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥)
⎞⎠+
⎛⎝ 𝑛∏︁
𝑗=1
𝑔𝛼𝑗(𝑥)
⎞⎠𝜔𝑛(𝑥),
то дiйсна рiвнiсть (6). З рiвностi (6) бачимо, що на цилiндрi Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛
значення виразiв 𝑃𝑛 i 𝐵𝑛 є константою, тому 𝜔𝑛 є лiнiйною функцiєю
на цьому цилiндрi, причому зростаючою, якщо 𝑃𝑛 > 0, i спадною,
якщо 𝑃𝑛 < 0.
Неперервнiсть функцiї у внутрiшнiх точках цилiндрiв 𝑛–рангу —
це наслiдок отриманого аналiтичного виразу функцiї. Залишилось
обґрунтувати її неперервнiсть у 𝐺2–бiнарних точках 𝑛–го рангу (а
саме: на кiнцях цилiндрiв 𝑛–го рангу). Зауважимо, що неперервнiсть
функцiї 𝜔𝑛 у 𝐺2–бiнарнiй точцi 𝑥0 рiвнозначна до коректностi озна-
чення функцiї в цiй точцi (вираз значення функцiї вiд двох рiзних
зображень числа дає той самий результат). А це встановлено вище.
Для прикладу розглянемо цилiндр Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−1
= Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−10
∪Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−11
.
Спiльним кiнцем цилiндрiв Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−10
i Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−11
є точка
𝑥 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−101(0)
= Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛−111(0)
, при цьому 𝑓(𝑥*) = Δ𝐺2
1(0) = 𝑔0.
7 Iнверсор Δ𝐺2–зображення
Функцiя 𝐼, означена рiвнiстю
𝐼(Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛...) = Δ𝐺2
1−𝛼1,1−𝛼2,...,1−𝛼𝑛,...
,
називається iнверсором цифр 𝐺2–зображення.
Це означення є коректним у точках, що мають єдине зображення.
Але оскiльки
𝑔0(1 + 𝑔21)
1− 𝑔1
= 𝐼(Δ𝐺2
01(0)) ̸= 𝐼(Δ𝐺2
11(0)) =
𝑔30
1− 𝑔1
, то воно
не є коректним без домовленостi використовувати лише одне зi двох
наявних 𝐺2–зображень 𝐺2–бiнарних точок. Тому домовимось не ви-
користовувати зображення Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚11(0).
Двоосновна система числення з рiзнознаковими основами i по . . . 59
Розглядатимемо функцiю 𝐼, визначену на множинi 𝑈 ∈ [0; 1] 𝐺2–
унарних чисел, нехтуючи множиною 𝐵 всiх 𝐺2–бiнарних чисел.
Теорема 7.1. Iнверсор 𝐼 є нiде не монотонною неперервною на мно-
жинi 𝐺2–унарних точок вiдрiзка [0; 𝑔0].
Доведення. 1. Спочатку обгрунтуємо неперервнiсть. Нехай 𝑥0 =
Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... – довiльна𝐺2–унарна точка 𝑥0 ̸= 𝑥 ∈ 𝐵. Тодi iснує𝑚 ∈ 𝑁 ,
таке, що 𝛼𝑚(𝑥0) ̸= 𝛼𝑚(𝑥), але 𝛼𝑗(𝑥0) = 𝛼𝑗(𝑥) при 𝑗 < 𝑚. Причому
𝑥→ 𝑥0 рiвнозначно до 𝑚→ ∞. Розглянемо
|𝐼(𝑥)− 𝐼(𝑥0)| = 𝑃𝑚−1 · |𝜔𝑚−1(𝐼(𝑥))− 𝜔𝑚−1(𝐼(𝑥0))|,
де 𝑃𝑚−1 =
𝑚−1∏︀
𝑗=1
|𝑔1−𝛼𝑗(𝑥0)|.
Оскiльки 𝑃𝑚−1 → 0 (𝑚 → ∞), а |𝜔𝑚−1(𝐼(𝑥))− 𝜔𝑚−1(𝐼(𝑥0))| ≤ 𝑔0,
то |𝐼(𝑥) − 𝐼(𝑥0)| → 0 (𝑥 → 𝑥0), що рiвнозначно до неперервностi
функцiї 𝐼 в точцi 𝑥0.
2. Тепер доведемо нiде не монотоннiсть. Розглянемо два числа
𝑥1, 𝑥2, для яких 𝑘(𝑥1, 𝑥2) = 𝑚, тобто
𝑥1 = Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝑑1𝑑2...
i 𝑥2 = Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝑑′1𝑑
′
2...
, 𝑑1 ̸= 𝑑′1,
i вiдповiднi для них значення 𝑦1 = 𝐼(𝑥1), 𝑦2 = 𝐼(𝑥2). Для них
𝑦1 − 𝑦2 = [𝜔𝑚(𝐼(𝑥1))− 𝜔𝑚(𝐼(𝑥2))]𝑃𝑚, де 𝑃𝑚 =
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑔1−𝑐𝑗 .
Нехай 𝑥1 ≤ 𝑥2. Тодi можливi випадки:
1) число 𝜎𝑚 = 𝑐1 + . . .+ 𝑐𝑚 є парним; 2) 𝜎𝑚 – непарне.
У першому випадку з 𝑥1 < 𝑥2 випливає 𝑑1 = 0, а 𝑑′1 = 1 i маємо
𝑦1 − 𝑦2 =
(︁
Δ𝐺2
1,1−𝑑1,1−𝑑2... −Δ𝐺2
0,1−𝑑′1,1−𝑑′2...
)︁
𝑃𝑚.
У цьому разi знак рiзницi 𝑦1−𝑦2 збiгається з знаком 𝑃𝑚. Тому якщо𝑚
– число парне, то число 𝜎̄𝑚 ≡ 𝑚−𝜎𝑚 = (1−𝑐1)+(1−𝑐2)+. . .+(1−𝑐𝑚)
теж парне. Тодi 𝑃𝑚 > 0 i 𝐼(𝑥1) > 𝐼(𝑥2).
Якщо 𝑚 – непарне, то 𝜎̄𝑚–непарне i 𝑃𝑚 < 0, а отже, 𝐼(𝑥1) < 𝐼(𝑥2).
У другому разi з 𝑥1 < 𝑥2 випливає, що 𝑑1 = 1, а 𝑑′1 = 0 i маємо
𝑦1 − 𝑦2 = (Δ𝐺2
0,1−𝑑1,1−𝑑2,... −Δ𝐺2
1,1−𝑑′1,1−𝑑′2,...
)𝑃𝑚.
60 Лисенко I. М., Маслова Ю.П., Працьовитий М. В.
У цьому випадку знак рiзницi 𝑦1−𝑦2 є протилежним до знаку 𝑃𝑚,
оскiльки вираз у дужках вiд’ємний. Якщо 𝑚–парне, то 𝜎̄𝑚 = 𝑚− 𝜎𝑚
– непарне (кiлькiсть одиниць серед 1− 𝑐1, 1− 𝑐2, . . . , 1− 𝑐𝑚), а отже,
𝑃𝑚 < 0 i 𝐼(𝑥1) > 𝐼(𝑥2).
Якщо 𝑚–непарне, то 𝜎̄𝑚 – парне, 𝑃𝑚 > 0 i 𝐼(𝑥1) < 𝐼(𝑥2).
Таким чином, при 𝑥1 < 𝑥2 можливi як 𝑦1 < 𝑦2, так i 𝑦1 > 𝑦2
залежно вiд парностi–непарностi чисел 𝑚 i 𝜎𝑚.
Для доведення нiде не монотонностi функцiї 𝐼 досить вказати у
довiльно вибраному цилiндрi Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 трьох чисел 𝑥1, 𝑥0, 𝑥2, таких,
що 𝑥1 < 𝑥0 < 𝑥2, для яких [𝐼(𝑥0)− 𝐼(𝑥1)] [𝐼(𝑥2)− 𝐼(𝑥0)] < 0. Не пору-
шуючи загальностi, вважатимемо, що 𝜎𝑚 = 𝑐1+. . .+𝑐𝑚 є числом пар-
ним (якщо це не так, досить розглянути пiвцилiндр Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚1). Розгля-
немо точки 𝑥0 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚(01), 𝑥0 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚(001), 𝜎𝑚–парне, 𝑚–непарне
𝑦1 < 𝑦0, 𝑥0 = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚(110), 𝜎𝑚–парне, 𝑚–парне 𝑦0 > 𝑦2.
Для пари (𝑥1, 𝑥0) маємо 𝑥1 < 𝑥0, 𝜎𝑚–парне, 𝑚–непарне, а отже,
за попереднiм 𝑦1 = 𝐼(𝑥1) < 𝐼(𝑥2) = 𝑦0.
Для пари (𝑥0, 𝑥2) маємо 𝑥0 < 𝑥2, 𝜎𝑚–парне, 𝑚–парне, а отже, 𝑦0 >
𝑦2 = 𝐼(𝑥2). Тому (𝑦0 − 𝑦1)(𝑦2 − 𝑦0) < 0, що й вимагалось довести.
8 Двоїстi системи
Означення 8.1. 𝐺2–зображення i 𝑄2–зображення чисел iз основами
(𝑔0, 𝑔1) i (𝑞0, 𝑞1) вiдповiдно називаються двоїстими, якщо 𝑔0 = 𝑞0.
Вважаємо 𝑄2– i 𝐺2–зображення заданими.
Функцiя 𝑝, яка числу 𝑥 = Δ𝑄2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛... ставить у вiдповiднiсть чи-
сло 𝑦 = Δ𝐺2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛..., називається проектором 𝑄2 в 𝐺2–зображення.
Проектор 𝑄2–зображення в 𝐺2–зображення 𝑄2–цилiндр Δ𝑄2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
переводить у 𝐺2–цилiндр Δ𝐺2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 , причому |Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚 | = 𝑔0|Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚 |.
Теорема 8.1. Функцiя, означена рiвнiстю 𝑝
(︀
Δ𝑄2
𝛼1...𝛼𝑛...
)︀
= Δ𝐺2
𝛼1...𝛼𝑛...,
є нiде не монотонною неперервною в кожнiй 𝑄2–унарнiй точцi. В
𝑄2–бiнарнiй точцi 𝑥0 = Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚−11(0)
функцiя 𝑝 має скiнченний стри-
бок
2𝑔0(1− 𝑔0)
2− 𝑔0
𝑚−1∏︀
𝑗=1
|𝑔𝑐𝑗 |.
Доведення. Нехай 𝑥0 — 𝑄2–унарна точка, 𝑥 ̸= 𝑥0. Тодi iснує нату-
ральне число 𝑚, таке, що 𝛼𝑚+1(𝑥) ̸= 𝛼𝑚+1(𝑥0), але 𝛼𝑖(𝑥) = 𝛼𝑖(𝑥0)
при 𝑖 ≤ 𝑚. Розглянемо
Двоосновна система числення з рiзнознаковими основами i по . . . 61
𝑑 = |𝑝(𝑥)− 𝑝(𝑥0)| = |Δ𝐺2
𝛼𝑚+1(𝑥)𝛼𝑚+2(𝑥)...
−Δ𝐺2
𝛼𝑚+1(𝑥0)𝛼𝑚+2(𝑥0)...
| ·
𝑚∏︀
𝑗=1
|𝑔𝛼𝑗
|.
Оскiльки |Δ𝐺2
𝛼𝑚+1(𝑥)𝛼𝑚+2(𝑥)...
−Δ𝐺2
𝛼𝑚+1(𝑥0)𝛼𝑚+2(𝑥0)...
| ≤ 𝑔0; а 𝑥→ 𝑥0 рiв-
нозначно 𝑚→ ∞, то при 𝑚→ ∞ маємо 𝑑→ 0, що рiвно до неперерв-
ностi функцiї 𝑝 в точцi 𝑥0 за множиною 𝐺2–унарних чисел.
Стрибок 𝑑 функцiї 𝑝 в 𝐺2–бiнарнiй точцi 𝑥0 = Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚−11(0)
:
𝑑(Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚−11(0)
) = |Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚−11(0)
−Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚−10(1)
| =
= |Δ𝐺2
1(0) −Δ𝐺2
0(1)|
𝑚−1∏︁
𝑗=1
|𝑔𝑐𝑗 | =
2𝑔0(1− 𝑔0)
2− 𝑔0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
|𝑔𝑐𝑗 |.
Для доведення нiде не монотонностi проектора досить у будь–
якому цилiндрi (нехай Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑛) вказати такi три точки 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, що
𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3, але для вiдповiдних значень проектора 𝑝 виконується
нерiвнiсть [𝑝(𝑥2)− 𝑝(𝑥1)] · [𝑝(𝑥3)− 𝑝(𝑥2)] < 0. Задля цього розглянемо
точки 𝑥1 = Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚𝑖1(0)
, 𝑥2 = Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚𝑖11(0)
, 𝑥3 = Δ𝑄2
𝑐1...𝑐𝑚𝑖111(0)
. Якщо
𝑖 = 0 i 𝑐1+𝑐2+ . . .+𝑐𝑚 — число парне, то для їм вiдповiдних значень:
𝑦1 = 𝑝(𝑥1) = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑖1(0)
, 𝑦2 = 𝑝(𝑥2) = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑖11(0)
,
𝑦3 = 𝑝(𝑥3) = Δ𝐺2
𝑐1...𝑐𝑚𝑖111(0)
,
враховуючи ознаку порiвняння (теорема 4.1), маємо 𝑦1 > 𝑦2 < 𝑦3.
Отже, (𝑦2 − 𝑦1)(𝑦3 − 𝑦2) < 0.
Якщо 𝑐1+𝑐2+. . .+𝑐𝑚 — число непарне, то, взявши 𝑖 = 1, матимемо
𝑥1 > 𝑥2 > 𝑥3 й iдентичний висновок.
[1] Дмитренко С.О., Кюрчев Д.В., Працьовитий М.В. Ланцюгове 𝐴2-
зображення дiйсних чисел та його геометрiя // Український матема-
тичний журнал. — 2009. — 61, 9. — С. 452-463.
[2] Дмитренко С.О. Метричнi задачi медiантного представлення чисел //
Наук. записки НПУ iм. М.П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. — 2002. —
В. 3 — С. 403–411.
[3] Луцак В. В. Цилiндричне марковське зображення чисел i його
застосування // Науковий часопис НПУ iменi М.П. Драгомано-
ва. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — К.: Вид-во НПУ iменi
М.П.Драгоманова. — 2009. — № 10. — С. 141–149.
[4] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. — К.: Вид-во НПУ iм. М.П. Драгоманова. — 1998. — 296 с.
62 Лисенко I. М., Маслова Ю.П., Працьовитий М. В.
[5] Працьовитий М. В. Нега–канторiвськi зображення дiйсних чисел як
тривiальнi перекодування канторiвських (нега s-ковi – перекодування
s-кових) // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — К.: Iнститут
математики НАН України. — 2017. — 14, 4. — С. 167–177.
[6] Працевитый Н.В. Случайные величины с независимыми 𝑄2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохастиче-
ских моделей. — Киев: ИМ АН УССР. — 1987. — С. 92–102.
[7] Працевитий М.В. Фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових ве-
личин, 𝑄2-знаки яких утворюють однорiдний ланцюг Маркова //
Асимптотичний аналiз випадкових еволюцiй. — Київ: Iн-т математики
АН України. — 1994. — С. 249–254.
[8] Працевитый Н.В. Полiосновне 𝑄̃-представлення i фрактальнi мате-
матичнi об’єкти з ним пов’язанi // Фрактальний аналiз та сумiжнi
питання. — Київ: IМ НАН України – НПУ iменi М.П. Драгоманова. —
1998. — № 2. — С. 14–35.
[9] Працьовитий М. В. Геометрiя дiйсних чисел у їх кодуваннях за-
собами нескiнченного алфавiту як основа топологiчних, метричних,
фрактальних i ймовiрнiсних теорiй // Науковий часопис НПУ iменi
М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — Київ: Вид-
во НПУ iменi М.П. Драгоманова. — 2013. — № 14. — С. 189–216.
[10] Працьовитий М.В., Маслова Ю.П. Про одне узагальнення системи
функцiй Радемахера та Уолша // Збiрник праць IМ НАН України.—
К.: IМ НАН України. — 2016. — 13, 3. — С. 146–157.
[11] Працьовитий М.В., Лисенко I.М., Маслова Ю.П. Геометрiя числових
рядiв: ряд як модель дiйсного числа в новiй двосимвольнiй системi
кодування чисел // Збiрник праць IМ НАН України.— К.: IМ НАН
України. — 2018. — 15, 1. — С. 132–146.
[12] Schweiger F. Ergodic theory of fibred system and metric number theory //
Oxford Sci.Publ., (E. D. Itor, ed.).— Oxford Univ. Press. New York,
1995. — 295 p.
[13] Iosifescu M., Kraaikamp C. On Denjoy’s canonical continued fraction
expansion // Osaka J. Math.— 40, 1.— 2003. — P. 235–244.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-395 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:43Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c7/684b35033085f8d47e594f12a10ee5c7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3952020-08-09T20:54:58Z Numeral system with two bases having different signs and related special functions Двухосновная система счисления с ризнознаковимы основами и связанные с ней функции Двоосновна система числення з різнознаковими основами і пов'язані з нею функції Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Pratsevytyi, M.V. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працевитый, Н.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. We consider an analytic system of encoding of numbers ($G_2$-representative) from an interval $[0;g_0]$ by means of the two-symbol alphabet $A\equiv\{0;1\}$ with two bases having different signs: $g_0\in(0;1)$ and $g_1=g_0-1$.The system is based on expansion of the numerical series. Functions with non-homogeneous local properties of structural and differential kind are studied. Inversor of digits of the $G_2$-representation of the numbers and shift operator for the $G_2$-representation are among them.Properties of these functions are found out being rather surprising: the inversor is not a monotonic function and the shift operator is a continuous function. This implies the fundamental difference between the present and previously studied representations.We compare properties of the $G_2$- and two-base $Q_2$-representations (both are positive) using the projector of digits of between them. Розглядається аналітична система кодування ($G_2$-зображення) чисел відрізка числової прямої $[0;g_0]$ засобами двосимвольного алфавіту $A\equiv\{0;1\}$ із двома різнознаковими основами: $g_0\in(0;1)$ і $g_1=g_0-1$, яка ґрунтується на розкладі числа в ряд.Вивчаються функції з неоднорідними локальними властивостями структурного й диференціального характеру, серед яких інверсор цифр $G_2$-зображення чисел таоператор лівостороннього зсуву цифр $G_2$--зображення.Несподіваними виявилися властивості цих функцій: інверсор не єфункцією монотонною, а оператор зсуву цифр є функцією неперервною. Цепринципово відрізняє це зображення від інших, раніше вивчених.Здійснено порівняльний аналіз властивостей $G_2$--зображення зі двоосновним $Q_2$--зображенням (обидві основи додатні) через проектор цифр одного зображення в інше. Розглядається аналітична система кодування ($G_2$-зображення) чисел відрізка числової прямої $[0;g_0]$ засобами двосимвольного алфавіту $A\equiv\{0;1\}$ із двома різнознаковими основами: $g_0\in(0;1)$ і $g_1=g_0-1$, яка ґрунтується на розкладі числа в ряд.Вивчаються функції з неоднорідними локальними властивостями структурного й диференціального характеру, серед яких інверсор цифр $G_2$-зображення чисел таоператор лівостороннього зсуву цифр $G_2$--зображення.Несподіваними виявилися властивості цих функцій: інверсор не єфункцією монотонною, а оператор зсуву цифр є функцією неперервною. Цепринципово відрізняє це зображення від інших, раніше вивчених.Здійснено порівняльний аналіз властивостей $G_2$--зображення зі двоосновним $Q_2$--зображенням (обидві основи додатні) через проектор цифр одного зображення в інше. Інститут математики НАН України 2020-08-07 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/395 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 50-62 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 50-62 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 50-62 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/395/391 Авторське право (c) 2019 І.В.Лисенко, Ю.П.Маслова, М.В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Lysentko, I.M. Maslova, Yu.P. Pratsevytyi, M.V. Лысенко, И.М. Маслова, Ю.П. Працевитый, Н.В. Лисенко, І.М. Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. Numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| title | Numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| title_alt | Двухосновная система счисления с ризнознаковимы основами и связанные с ней функции Двоосновна система числення з різнознаковими основами і пов'язані з нею функції |
| title_full | Numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| title_fullStr | Numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| title_full_unstemmed | Numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| title_short | Numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| title_sort | numeral system with two bases having different signs and related special functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/395 |
| work_keys_str_mv | AT lysentkoim numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT maslovayup numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT pratsevytyimv numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT lysenkoim numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT maslovaûp numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT pracevityjnv numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT lisenkoím numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT maslovaûp numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT pracʹovitijmv numeralsystemwithtwobaseshavingdifferentsignsandrelatedspecialfunctions AT lysentkoim dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT maslovayup dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT pratsevytyimv dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT lysenkoim dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT maslovaûp dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT pracevityjnv dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT lisenkoím dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT maslovaûp dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT pracʹovitijmv dvuhosnovnaâsistemasčisleniâsriznoznakovimyosnovamiisvâzannyesnejfunkcii AT lysentkoim dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT maslovayup dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT pratsevytyimv dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT lysenkoim dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT maslovaûp dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT pracevityjnv dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT lisenkoím dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT maslovaûp dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí AT pracʹovitijmv dvoosnovnasistemačislennâzríznoznakovimiosnovamiípov039âzanízneûfunkcíí |