Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems

The necessary and sufficient conditions for existence of dynamic regulators that provide a prescribed estimate of the weighted damping level of bounded disturbances and robust stability of linear descriptor systems are established.An algorithm for the generalized $H_\infty$-optimization of descripto...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Автори та афіліації:	O.G. Mazko — Institute of mathematics of National Academy of Sciences T.O. Kotov
Ключові слова:	keywords
Hauptverfasser:	Mazko, O.G., Kotov, T.O., Мазко, А.Г., Котов, Т.О., Мазко, О.Г.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch Englisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2020
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/396
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552896897220608
author	Mazko, O.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О.
author_facet	Mazko, O.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "O.G. Mazko", "institution": "Institute of mathematics of National Academy of Sciences" }, { "author": "T.O. Kotov", "institution": null } ]
author_sort	Mazko, O.G.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-08-09T15:01:39Z
description	The necessary and sufficient conditions for existence of dynamic regulators that provide a prescribed estimate of the weighted damping level of bounded disturbances and robust stability of linear descriptor systems are established.An algorithm for the generalized $H_\infty$-optimization of descriptor systems with controlled and observed outputs as well as a method for finding the worst vectors of external and initial disturbances with respect to a weighted performance criterion are proposed.The main computational procedures of the algorithm reduce to solving the linear matrix inequalities with additional rank restrictions.The efficiency of the algorithm is demonstrated by the illustrative example of a descriptor stabilization system with bounded disturbances.
first_indexed	2026-08-04T01:06:43Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 63–84 УДК 517.935;681.5 Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах керування * О. Г. Мазко, Т.О. Котов Iнститут математики НАН України, Київ; mazkoag@gmail.com, taras.kotov@gmail.com The necessary and sufficient conditions for existence of dynamic regula- tors that provide a prescribed estimate of the weighted damping level of bounded disturbances and robust stability of linear descriptor systems are established. An algorithm for the generalized 𝐻∞-optimization of descrip- tor systems with controlled and observed outputs as well as a method for finding the worst vectors of external and initial disturbances with respect to a weighted performance criterion are proposed. The main computational procedures of the algorithm reduce to solving the linear matrix inequalities with additional rank restrictions. The efficiency of the algorithm is demon- strated by the illustrative example of a descriptor stabilization system with bounded disturbances. Встановлено необхiднi й достатнi умови iснування динамiчних регуля- торiв, що забезпечують задану оцiнку зваженого рiвня гасiння обме- жених збурень i робастну стiйкiсть лiнiйних дескрипторних систем. Запропоновано алгоритм узагальненої 𝐻∞-оптимiзацiї дескрипторних систем iз керованими i спостережуваними виходами, а також методи- ку знаходження найгiрших векторiв зовнiшнiх i початкових збурень стосовно зваженого критерiю якостi. Основнi обчислювальнi процеду- ри алгоритму зводяться до розв’язування лiнiйних матричних нерiвно- стей при додаткових рангових обмеженнях. Працездатнiсть алгоритму продемонстрована на iлюстративному прикладi дескрипторної системи стабiлiзацiї з обмеженими збуреннями. Робота виконана за часткової пiдтримки НДР № 0117U004077. c○ Мазко О. Г., Котов Т.О., 2019 64 Мазко О. Г., Котов Т.О. 1 Вступ Один iз важливих напрямкiв дослiджень у сучаснiй теорiї керуван- ня становлять методи 𝐻∞-оптимiзацiї систем, якi забезпечують ро- бастну стiйкiсть станiв рiвноваги й мiнiмiзують негативний вплив зовнiшнiх збурень на динамiку керованих об’єктiв. Типовим крите- рiєм якостi у задачах 𝐻∞-оптимiзацiї неперервних i дискретних си- стем керування з нульовим початковим станом є рiвень гасiння зов- нiшнiх збурень, якому вiдповiдає максимальне значення вiдношен- ня 𝐿2-норм векторiв керованого виходу об’єкта i збурень (див., на- приклад, [1–4]). Застосування зважених критерiїв якостi у таких за- дачах дає змогу встановити прiоритети мiж компонентами виходу, зовнiшнiх i початкових збурень [5–8]. Вiдомi методи синтезу 𝐻∞- керування базуються на використаннi верхнiх оцiнок для вiдповiдних критерiїв якостi, встановлених у термiнах матричних рiвнянь i не- рiвностей (твердження на взiрець “Bounded Real Lemmas” [9, 10, 12]). Аналогiчнi твердження встановлено у [13–16] для класу дескриптор- них (диференцiально-алгебраїчних) систем. Такi системи виникають при дослiдженнi динамiки складних об’єктiв механiки, електротехнi- ки, економiки тощо [17–20]). Ця робота є продовженням дослiджень [6, 21], присвячених зада- чам синтезу стабiлiзацiйних регуляторiв для лiнiйних систем iз ке- рованими i спостережуваними виходами, якi забезпечують бажану оцiнку рiвня впливу обмежених збурень на якiсть перехiдних про- цесiв. Розглядаються зваженi критерiї якостi дескрипторних систем щодо вектора керованого виходу i проводиться їхня оцiнка методом квадратичних функцiй Ляпунова. Пропонуються новi необхiднi й до- статнi умови iснування i вiдповiдний алгоритм побудови зваженого 𝐻∞-керування у формi динамiчного зворотного зв’язку за спосте- режуваним виходом, а також методика знаходження найгiрших ве- кторiв зовнiшнiх i початкових збурень стосовно зваженого критерiю якостi. Отриманi умови виконання заданих верхнiх оцiнок для цих критерiїв якостi подаються як лiнiйнi матричнi нерiвностi (ЛМН) при додаткових рангових обмеженнях. Використовуватимемо такi позначення: 𝐼𝑛 — одинична матриця порядку 𝑛; 0𝑛×𝑚 — нульова матриця розмiрiв 𝑛 × 𝑚; 𝑋 = 𝑋⊤ > 0 (≥ 0) — додатно (невiд’ємно) визначена матриця 𝑋; 𝜎(𝐴) — спектр матрицi 𝐴; 𝐴−1(𝐴+) — обернена (псевдообернена) матриця; Ker𝐴 — ядро матрицi 𝐴; 𝑊𝐴 — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 65 матрицi 𝐴; Co{𝐴1, . . . , 𝐴𝜈} — опуклий многогранник (полiтоп) iз вер- шинами 𝐴1, . . . , 𝐴𝜈 у просторi матриць. ‖𝑥‖ — евклiдова норма ве- ктора 𝑥; ‖𝑤‖𝑃 = (︁ ∞∫︀ 0 𝑤⊤𝑃𝑤 𝑑𝑡 )︁ 1 2 — зважена 𝐿2-норма вектор-функцiї 𝑤(𝑡). 2 Зважений рiвень гасiння обмежених збурень Розглянемо лiнiйну дескрипторну систему зi збуреннями 𝐸𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝐵𝑤, 𝑧 = 𝐶𝑥+𝐷𝑤, 𝑥(0) = 𝑥0, (1) де 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑤 ∈ ℝ𝑠 i 𝑧 ∈ ℝ𝑘 — вiдповiдно вектори стану, зовнiшнiх збурень i виходу. Усi матричнi коефiцiєнти в (1) сталi, причому в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴− 𝜆𝐸 регулярна, тобто det𝐹 (𝜆) ̸≡ 0 (𝜆 ∈ ℂ). Наведемо канонiчну форму Веєрштрасса регулярної в’язки ма- триць [22] 𝐿𝐹 (𝜆)𝑅 = [︂ 𝐴1 − 𝜆𝐼𝑟 0 0 𝐼𝑛−𝑟 − 𝜆𝑁 ]︂ , (2) де власнi значення матрицi 𝐴1 утворюють спектр 𝜎(𝐹 ), 𝑁 — нiль- потентна матриця iндексу 𝜈, а 𝐿 i 𝑅 — деякi невиродженi матрицi. В’язка матриць 𝐹 (𝜆) стiйка, якщо 𝜎(𝐹 ) ⊂ ℂ− = {𝜆 : Re𝜆 < 0}. У разi 𝜌 = rank𝐸 < 𝑛 систему (1) можна подати у формi 𝑥̇1 = 𝐴1𝑥1 +𝐵1𝑤, 𝑁𝑥̇2 = 𝑥2 +𝐵2𝑤, 𝑧 = 𝐶1𝑥1 + 𝐶2𝑥2 +𝐷𝑤, (3) де 𝑥1 ∈ ℝ𝑟, 𝑥2 ∈ ℝ𝑛−𝑟, 𝑥 = 𝑅 [︂ 𝑥1 𝑥2 ]︂ , 𝑥0 = 𝑅 [︂ 𝑥01 𝑥02 ]︂ , 𝐿𝐵 = [︂ 𝐵1 𝐵2 ]︂ , 𝐶𝑅 = [︀ 𝐶1, 𝐶2 ]︀ . Ця система має 𝑟 скiнченних динамiчних мод, 𝑛 − 𝜌 нединамiчних мод i 𝜌−𝑟 iмпульсивних мод [23]. Регулярна в’язка матриць 𝐹 (𝜆) при вiдсутностi iмпульсивних мод (𝜌 = 𝑟) називається неiмпульсивною. У цьому випадку 𝑁 = 0 i динамiчна пiдсистема у (3) 𝑥̇1 = 𝐴1𝑥1 +𝐵1𝑤, 𝑧 = 𝐶1𝑥1 +𝐷1𝑤, 𝑥1(0) = 𝑥01, (4) де 𝐷1 = 𝐷 − 𝐶2𝐵2. 66 Мазко О. Г., Котов Т.О. Означення 2.1. В’язка матриць 𝐹 (𝜆) називається допустимою, якщо вона регулярна, стiйка i неiмпульсивна. Дескрипторна система (1) з допустимою в’язкою матриць 𝐹 (𝜆) є допустимою. Лема 2.1. [15] В’язка матриць 𝐹 (𝜆) є допустимою тодi i лише тодi, коли сумiсна система ЛМН 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴 < 0, 𝐸⊤𝑋 = 𝑋⊤𝐸 ≥ 0. Нехай вектор збурень 𝑤(𝑡) у системi (1) обмежений за зваженою 𝐿2-нормою ‖𝑤‖𝑃 . Введемо критерiй якостi цiєї системи 𝐽 = sup (𝑤,𝑥0)∈𝒲 ‖𝑧‖𝑄√︁ ‖𝑤‖2𝑃 + 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0 , (5) де 𝒲 — множина пар (𝑤, 𝑥0), для яких система (1) має розв’язок i виконується нерiвнiсть 0 < ‖𝑤‖2𝑃 + 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0 < ∞, а 𝑃 = 𝑃⊤ > 0, 𝑄 = 𝑄⊤ > 0 i 𝑋0 = 𝑋⊤ 0 ≥ 0 — деякi ваговi матрицi. Значення 𝐽 хара- ктеризує зважений рiвень впливу зовнiшнiх i початкових збурень на вихiд системи (1). Для такого критерiю якостi використовуємо позна- чення 𝐽0 або 𝐽1, якщо вiдповiдно 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0 = 0 або 𝑤 ≡ 0. Очевидно, що 𝐽0 ≤ 𝐽 i 𝐽1 ≤ 𝐽 , причому 𝐽1 є характеристикою пiдсистеми (4), оскiльки при вiдсутностi зовнiшнiх збурень 𝑥2 ≡ 0. Означення 2.2. Вектор збурення 𝑤(𝑡) i початковий вектор 𝑥0 на- зиватимемо найгiршими стосовно критерiю якостi 𝐽 , якщо на їхнiх значеннях досягається sup у (5), тобто ‖𝑧‖2𝑄 = 𝐽2 (︀ ‖𝑤‖2𝑃 + 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0 )︀ . Означення 2.3. Система (1) називається неекспансивною, якщо її вектор виходу при довiльному 𝜏 > 0 задовольняє нерiвнiсть∫︁ 𝜏 0 𝑧⊤𝑄𝑧𝑑𝑡 ≤ ∫︁ 𝜏 0 𝑤⊤𝑃𝑤𝑑𝑡+ 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0. Неекспансивна система має критерiй якостi 𝐽 ≤ 1. Лема 2.2. [16] Якщо iснують матрицi 𝑋 i 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0, що задо- вольняють систему ЛМН[︂ 𝑆 𝑆 − 𝐸⊤𝑋 𝑆 −𝑋⊤𝐸 0 ]︂ ≥ 0, (6) Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 67 Ψ(𝑋) = [︂ 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴+ 𝐶⊤𝑄𝐶 𝑋⊤𝐵 + 𝐶⊤𝑄𝐷 𝐵⊤𝑋 +𝐷⊤𝑄𝐶 𝐷⊤𝑄𝐷 − 𝛾2𝑃 ]︂ < 0, (7) то в’язка матриць 𝐹 (𝜆) допустима i 𝐽0 < 𝛾. Зворотне твердження виконується за умови rank [︂ 𝐸 𝐷⊤𝑄𝐶 ]︂ = rank𝐸. (8) Лема 2.3. [16] Нехай вагова матриця 𝑋0 задана у виглядi 𝑋0 = 𝐸⊤𝐻𝐸, 𝐻 = 𝐻⊤ > 0. (9) Якщо сумiсна система спiввiдношень (6), (7) i 𝑆 ≤ 𝛾2𝑋0, (10) rank (𝑆 − 𝛾2𝑋0) = rank𝐸, (11) то в’язка матриць 𝐹 (𝜆) допустима i 𝐽 < 𝛾. Зворотне твердження виконується за умови (8). Зауваження 2.1. Матрична нерiвнiсть (6) виконується тодi i лише тодi, коли 𝑆 = 𝐸⊤𝑋 = 𝑋⊤𝐸 ≥ 0. Зауваження 2.2. При виконаннi умов, що забезпечують строгi оцiн- ки 𝐽0 < 𝛾 i 𝐽 < 𝛾 у лемах 2.2–2.3, нульовий стан системи (1) зi стру- ктурованою невизначенiстю вектора збурень 𝑤 = 1 𝛾 Θ𝑧, Θ⊤𝑃Θ ≤ 𝑄 (12) робастно стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝑥⊤𝑆𝑥. Це твердження доводиться за допомогою узагальненої леми про матри- чну невизначенiсть [5, лема 3.3.1]. Iз наведених тверджень випливають алгоритми обчислення кри- терiїв якостi 𝐽0 i 𝐽 системи (1) на основi розв’язування вiдповiдних оптимiзацiйних задач (див. також [21, лема 2.3]). Зокрема, при вико- наннi необхiдних i достатнiх умов лем 2.2 i 2.3 вiдповiдно маємо: 𝐽0 = inf {︀ 𝛾 : Ψ(𝑋) < 0, 𝐸⊤𝑋 = 𝑋⊤𝐸 ≥ 0 }︀ , 𝐽 = inf {︀ 𝛾 : Ψ(𝑋) < 0, 0 ≤ 𝐸⊤𝑋 = 𝑋⊤𝐸 ≤ 𝛾2𝑋0 }︀ . (13) 68 Мазко О. Г., Котов Т.О. 3 Найгiршi зовнiшнi i початковi збурення стосов- но зваженого критерiю якостi У практичних задачах доцiльно визначити найгiршi зовнiшнi i по- чатковi збурення у системi керування, а також дослiдити поведiнку замкненої системи при таких збуреннях. Iз доведення леми 2.3 випливає, що для виконання нестрогої оцiн- ки 𝐽 ≤ 𝛾 достатньо iснування матриць 𝑋 i 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0, що задоволь- няють матричнi нерiвностi (6), (10) i Ψ(𝑋) ≤ 0. Якщо 𝑅 = 𝛾2𝑃 −𝐷⊤𝑄𝐷 > 0, (14) то за лемою Шура Ψ(𝑋) ≤ 0 лише тодi, коли виконується матрична нерiвнiсть типу Рiккатi 𝐴⊤ 1 𝑋 +𝑋⊤𝐴1 +𝑋⊤𝑅1𝑋 +𝑄1 ≤ 0, (15) де 𝐴1 = 𝐴 + 𝐵𝑅−1𝐷⊤𝑄𝐶, 𝑄1 = 𝐶⊤(︀𝑄 + 𝑄𝐷𝑅−1𝐷⊤𝑄 )︀ 𝐶, 𝑅1 = 𝐵𝑅−1𝐵⊤. При цьому виконується нерiвнiсть 𝑣̇(𝑥) + 𝑧⊤𝑄𝑧 − 𝛾2𝑤⊤𝑃𝑤 = [𝑥⊤, 𝑤⊤]Ψ(𝑋) [︂ 𝑥 𝑤 ]︂ ≤ 0, (16) де 𝑣̇(𝑥) — похiдна функцiї 𝑣(𝑥) = 𝑥⊤𝑆𝑥 в силу системи (1). Пiсля iнтегрування виразу (16) вiд 0 до 𝜏 за умов (6), (10) i 𝑣(𝑥(𝜏)) → 0 при 𝜏 → ∞ маємо ‖𝑧‖2𝑄 − 𝛾2‖𝑤‖2𝑃 ≤ 𝑥⊤0 𝑆𝑥0 ≤ 𝛾2𝑥⊤0 𝑋0𝑥0, (17) тобто 𝐽 ≤ 𝛾. Причому, виконання рiвностей у (17) означає, що 𝐽 = 𝛾, а вiдповiднi вектор збурення 𝑤(𝑡) i початковий вектор 𝑥0 є найгiрши- ми стосовно критерiю якостi 𝐽 . Перша рiвнiсть у (17) виконується, якщо 𝑤 = 𝐾0𝑥, 𝐾0 = 𝑅−1(𝐵⊤𝑋 +𝐷⊤𝑄𝐶), (18) де 𝑋 — розв’язок матричного рiвняння Рiккатi 𝐴⊤ 1 𝑋 +𝑋⊤𝐴1 +𝑋⊤𝑅1𝑋 +𝑄1 = 0, (19) а 𝑥(𝑡) — розв’язок системи 𝐸𝑥̇ = (𝐴+𝐵𝐾0)𝑥, 𝑥(0) = 𝑥0. (20) Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 69 При цьому права частина спiввiдношення (16) дорiвнює 0. Друга рiв- нiсть у (17) виконується, якщо 𝑥⊤0 (𝑆 − 𝛾2𝑋0)𝑥0 = 0. (21) Останнє спiввiдношення за умови (10) еквiвалентне рiвностi (𝑆 − 𝛾2𝑋0)𝑥0 = 0. Зокрема, ненульовий вектор 𝑥0 ∈ Ker (𝑆 − 𝛾2𝑋0) є власним вектором матрицi 𝑆 − 𝛾2𝑋0, що вiдповiдає її нульовому власному значенню. Якщо 𝑥0 ∈ Ker𝐸, то рiвнiсть (21) виконується незалежно вiд значення матрицi-розв’язку 𝑋 рiвняння (19). Отже, встановлено таке твердження. Лема 3.1. Нехай iснують матрицi 𝑋 i 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0, що задовольня- ють спiввiдношення (6), (10) i (19) при 𝛾 = 𝐽 . Тодi структурований вектор зовнiшнiх збурень (18) i довiльний вектор 𝑥0 ∈ Ker (𝑆−𝐽2𝑋0) є найгiршими стосовно критерiю якостi 𝐽 для системи (1). 4 Лiнiйна дескрипторна система з керованими i спостережуваними виходами Розглянемо систему керування 𝐸𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝐵1𝑤 +𝐵2𝑢, 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑧 = 𝐶1𝑥+𝐷11𝑤 +𝐷12𝑢, 𝑦 = 𝐶2𝑥+𝐷21𝑤 +𝐷22𝑢, (22) де 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑢 ∈ ℝ𝑚, 𝑤 ∈ ℝ𝑠, 𝑧 ∈ ℝ𝑘 i 𝑦 ∈ ℝ𝑙 — вектори вiдповiдно стану, керування, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережуваного вихо- дiв, а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних розмiрiв сталi, причому rank𝐸 = 𝜌 ≤ 𝑛. Нас цiкавлять закони керування, якi понижують кри- терiї якостi типу (5) i, зокрема, забезпечують умови неекспансивностi замкненої системи стосовно вектора керованого виходу 𝑧. Статичнi й динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують критерiй якостi 𝐽 , називати- мемо 𝐽-оптимальними. 𝐽0-оптимальне керування у разi одиничних вагових матриць 𝑃 i 𝑄 є 𝐻∞-оптимальним. У загальному випадку керування (регулятор) будуємо як динамi- чний зворотний зв’язок за спостережуваним виходом 𝜉 = 𝑍𝜉 + 𝑉 𝑦, 𝑢 = 𝑈𝜉 +𝐾𝑦, 𝜉(0) = 0, (23) де 𝜉 ∈ ℝ𝑝, 𝑝 — порядок регулятора, матрицi 𝑍, 𝑉 , 𝑈 i 𝐾 пiдляга- ють визначенню. Побудова динамiчного регулятора (23) формально 70 Мазко О. Г., Котов Т.О. зводиться до пошуку статичного регулятора ̂︀𝑢 = ̂︀𝐾̂︀𝑦 для системи керування у розширеному фазовому просторi: ̂︀𝐸 ̂̇︀𝑥 = ̂︀𝐴̂︀𝑥+ ̂︀𝐵1𝑤 + ̂︀𝐵2̂︀𝑢, ̂︀𝑥(0) = ̂︀𝑥0, 𝑧 = ̂︀𝐶1̂︀𝑥+ ̂︀𝐷11𝑤 + ̂︀𝐷12̂︀𝑢,̂︀𝑦 = ̂︀𝐶2̂︀𝑥+ ̂︀𝐷21𝑤, (24) де ̂︀𝑥 = [︂ 𝑥 𝜉 ]︂ , ̂︀𝑥0 = [︂ 𝑥0 0 ]︂ , ̂︀𝑦 = [︂ 𝑦 −𝐷22𝑢 𝜉 ]︂ , ̂︀𝑢 = [︂ 𝑢 𝜉 ]︂ , ̂︀𝐸 = [︂ 𝐸 0 0 𝐼𝑝 ]︂ , ̂︀𝐴 = [︂ 𝐴 0𝑛×𝑝 0𝑝×𝑛 0𝑝×𝑝 ]︂ , ̂︀𝐵1 = [︂ 𝐵1 0𝑝×𝑠 ]︂ , ̂︀𝐵2 = [︂ 𝐵2 0𝑛×𝑝 0𝑝×𝑚 𝐼𝑝 ]︂ , ̂︀𝐶1 = [︀ 𝐶1, 0𝑘×𝑝 ]︀ , ̂︀𝐷11 = 𝐷11, ̂︀𝐷12 = [︀ 𝐷12, 0𝑘×𝑝 ]︀ , ̂︀𝐶2 = [︂ 𝐶2 0𝑙×𝑝 0𝑝×𝑛 𝐼𝑝 ]︂ , ̂︀𝐷21 = [︂ 𝐷21 0𝑝×𝑠 ]︂ , ̂︀𝐷22 = [︂ 𝐷22 0𝑙×𝑝 0𝑝×𝑚 0𝑝×𝑝 ]︂ , ̂︀𝐾* = [︂ 𝐾* 𝑈* 𝑉* 𝑍* ]︂ , ̂︀𝐾 = [︂ 𝐾 𝑈 𝑉 𝑍 ]︂ = (𝐼𝑚+𝑝 + ̂︀𝐾* ̂︀𝐷22) −1 ̂︀𝐾. Наведемо замкнену систему ̂︀𝐸 ̂̇︀𝑥 = ̂︀𝐴̂︀𝑥+ ̂︀𝐵𝑤, 𝑧 = ̂︀𝐶̂︀𝑥+ ̂︀𝐷𝑤, ̂︀𝑥(0) = ̂︀𝑥0, (25) де ̂︀𝐴 = ̂︀𝐴+ ̂︀𝐵2 ̂︀𝐾* ̂︀𝐶2, ̂︀𝐵* = ̂︀𝐵1 + ̂︀𝐵2 ̂︀𝐾* ̂︀𝐷21,̂︀𝐶* = ̂︀𝐶1 + ̂︀𝐷12 ̂︀𝐾* ̂︀𝐶2, ̂︀𝐷* = ̂︀𝐷11 + ̂︀𝐷12 ̂︀𝐾* ̂︀𝐷21. Нехай вагова матриця 𝑋0 у (5) задана у (9), а ̂︀𝐽 — критерiй якостi типу (5) для системи (25) iз ваговою матрицею ̂︀𝑋0 = ̂︀𝐸⊤ ̂︀𝐻 ̂︀𝐸, ̂︀𝐻 = [︂ 𝐻 𝐻⊤ 1 𝐻1 𝐻2 ]︂ > 0. (26) Оскiльки 𝜉0 = 0, то ̂︀𝐽 = 𝐽 , причому 𝑋0 = 𝐸⊤𝐻𝐸 є першим дiаго- нальним блоком матрицi ̂︀𝑋0 i значення ̂︀𝐽 не залежить вiд 𝐻1 i 𝐻2. Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 71 Теорема 4.1. Нехай iснують матрицi 𝑋, 𝑌 , 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0 i Θ = Θ⊤ ≥ 0, що задовольняють спiввiдношення (6), (10), (11) i 𝐸𝑌 = 𝑌 ⊤𝐸⊤ ≥ 0, rank [︂ 𝑋 −Θ𝐸 𝛾𝐼𝑛 𝛾𝐼𝑛 𝑌 ]︂ = 𝑛, rankΘ ≤ 𝑝, (27) 𝑊⊤ 𝑅 [︂ 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴+ 𝐶⊤ 1 𝑄𝐶1 𝑋⊤𝐵1 + 𝐶⊤ 1 𝑄𝐷11 𝐵⊤ 1 𝑋 +𝐷⊤ 11𝑄𝐶1 𝐷⊤ 11𝑄𝐷11 − 𝛾2𝑃 ]︂ 𝑊𝑅 < 0, (28) 𝑊⊤ 𝐿 [︂ 𝐴𝑌 + 𝑌 ⊤𝐴⊤ +𝐵1𝑃 −1𝐵⊤ 1 𝑌 ⊤𝐶⊤ 1 +𝐵1𝑃 −1𝐷⊤ 11 𝐶1𝑌 +𝐷11𝑃 −1𝐵⊤ 1 𝐷11𝑃 −1𝐷⊤ 11−𝛾2𝑄−1 ]︂ 𝑊𝐿 < 0, (29) де 𝐿 = [︀ 𝐵⊤ 2 , 𝐷 ⊤ 12 ]︀ i 𝑅 = [︀ 𝐶2, 𝐷21 ]︀ . Тодi iснує динамiчний регулятор (23) порядку 𝑝, при якому замкнена система (25) є допустимою i її критерiй якостi 𝐽 < 𝛾. Навпаки, якщо для деякого регулятора (23) замкнена система допустима, її критерiй якостi 𝐽 < 𝛾 i виконує- ться рiвнiсть rank [︃ ̂︀𝐸̂︀𝐷⊤ * 𝑄 ̂︀𝐶* ]︃ = 𝜌+ 𝑝, (30) то система спiввiдношень (6), (10), (11), (27), (28) i (29) сумiсна. Доведення. На основi леми Шура [22] подамо умови леми 2.3 для системи (25) у формi ̂︀Ω* = ⎡⎢⎣ ̂︀𝐴⊤ * ̂︀𝑋 + ̂︀𝑋⊤ ̂︀𝐴* ̂︀𝑋⊤ ̂︀𝐵* ̂︀𝐶⊤ ̂︀𝐵⊤ ̂︀𝑋 −𝛾2𝑃 ̂︀𝐷⊤ ̂︀𝐶 ̂︀𝐷* −𝑄−1 ⎤⎥⎦ < 0, ̂︀𝑋 = [︂ 𝑋 𝑋3 𝑋1 𝑋2 ]︂ , (31) 0 ≤ ̂︀𝐸⊤ ̂︀𝑋 = ̂︀𝑋⊤ ̂︀𝐸 = ̂︀𝑆 ≤ 𝛾2 ̂︀𝑋0, rank (̂︀𝑆 − 𝛾2 ̂︀𝑋0) = 𝜌+ 𝑝. (32) Очевидно, що блочна матриця ̂︀𝑋 у (31) повинна бути невиродже- ною. Застосовуючи розклад невiд’ємно визначеної матрицi ̂︀𝑆 = ̂︀𝐿⊤̂︀𝐿 у (32), маємо [︀ 𝑋1, 𝑋2 ]︀ = 𝐿⊤ 2 ̂︀𝐿, rank [︀ 𝑋1, 𝑋2 ]︀ = 𝑝 ≤ rank𝐿2 = rank𝑋2, де ̂︀𝐿 = [︀ 𝐿1, 𝐿2 ]︀ , 𝑋1 = 𝑋⊤ 3 𝐸 i 𝑋2 = 𝑋⊤ 2 = 𝐿⊤ 2 𝐿2 > 0. Рангове обмеже- ння у (32) за умов (6), (10) i (11) можна задовольнити шляхом вибору доповнювальних блокiв 𝐻1 i 𝐻2 матрицi ̂︀𝐻 > 0 у (26), якi не впли- вають на значення критерiю якостi ̂︀𝐽 . Зокрема, якщо 𝐻1 = 𝛾−2𝑋⊤ 3 i 𝐻2 > 𝛾−2𝑋2, то спiввiдношення (32) зводяться до умов (6), (10) i (11). 72 Мазко О. Г., Котов Т.О. Застосуємо таке перетворення шуканої матрицi ̂︀𝑋 = ̂︀𝑈⊤ ̃︀𝑋 ̂︀𝑉 −1, де ̂︀𝑈 = [︂ 𝐼𝑛 0 𝑋−1 2 𝑋⊤ 3 𝐼𝑝 ]︂ , ̂︀𝑉 = [︂ 𝐼𝑛 0 −𝑋−1 2 𝑋1 𝑋−1 2 ]︂ , ̃︀𝑋 = [︂ 𝐺 0 0 𝐼𝑝 ]︂ , 𝐺 = 𝑋 − 𝑋3𝑋 −1 2 𝑋1. Тодi матричну нерiвнiсть (31) можна подати у формi ̃︀Ω* = ⎡⎢⎣ ̃︀𝐴⊤ * ̃︀𝑋 + ̃︀𝑋⊤ ̃︀𝐴* ̃︀𝑋⊤ ̃︀𝐵* ̃︀𝐶⊤ ̃︀𝐵⊤ ̃︀𝑋 −𝛾2𝑃 ̃︀𝐷⊤ ̃︀𝐶 ̃︀𝐷* −𝑄−1 ⎤⎥⎦ = ̃︀𝐿⊤ * ̂︀𝐾* ̃︀𝑅+ ̃︀𝑅⊤ ̂︀𝐾⊤ * ̃︀𝐿+̃︀Ω < 0, де ̃︀𝐴 = ̂︀𝑈 ̂︀𝐴* ̂︀𝑉 = ̃︀𝐴+ ̃︀𝐵2 ̂︀𝐾* ̃︀𝐶2, ̃︀𝐵* = ̂︀𝑈 ̂︀𝐵* = ̃︀𝐵1 + ̃︀𝐵2 ̂︀𝐾* ̂︀𝐷21, ̃︀𝐶* = ̂︀𝐶* ̂︀𝑉 = ̂︀𝐶1 + ̂︀𝐷12 ̂︀𝐾* ̃︀𝐶2, ̃︀𝐷* = 𝐷11 + ̂︀𝐷12 ̂︀𝐾* ̂︀𝐷21, ̃︀𝐴 = ̂︀𝑈 ̂︀𝐴̂︀𝑉 = [︂ 𝐴 0 𝑋−1 2 𝑋⊤ 3 0 ]︂ , ̃︀𝐵2 = ̂︀𝑈 ̂︀𝐵2 = [︂ 𝐵2 0 𝑋−1 2 𝑋⊤ 3 𝐵2 𝐼𝑝 ]︂ , ̃︀𝐶2 = ̂︀𝐶2 ̂︀𝑉 = [︂ 𝐶2 0 −𝑋−1 2 𝑋1 𝑋−1 2 ]︂ , ̃︀𝐵1 = ̂︀𝑈 ̂︀𝐵1 = [︂ 𝐵1 𝑋−1 2 𝑋⊤ 3 𝐵1 ]︂ , ̃︀𝐿* = [︀ ̃︀𝐵⊤ 2 ̃︀𝑋, 0, ̂︀𝐷⊤ 12 ]︀ = ̃︀𝐿Δ−1 𝐿 , ̃︀𝑅* = [︀ ̃︀𝐶2, ̂︀𝐷21, 0 ]︀ = ̃︀𝑅Δ−1 𝑅 , ̃︀𝐿 = [︂ 𝐿 0 0 0 0 𝐼𝑝 ]︂ , ̃︀𝑅 = [︂ 𝑅 0 0 0 𝐼𝑝 0 ]︂ , Δ𝐿 = ⎡⎢⎢⎣ 𝐺−1 0 0 −𝐺−1𝑋3𝑋 −1 2 0 0 0 𝐼𝑝 0 0 𝐼𝑠 0 0 𝐼𝑘 0 0 ⎤⎥⎥⎦ , Δ𝑅 = ⎡⎢⎢⎣ 𝐼𝑛 0 0 0 𝑋1 0 𝑋2 0 0 𝐼𝑠 0 0 0 0 0 𝐼𝑘 ⎤⎥⎥⎦ , ̃︀Ω = ⎡⎢⎢⎣ 𝐴⊤𝐺+𝐺⊤𝐴 𝐴⊤𝑋3𝑋 −1 2 𝐺⊤𝐵1 𝐶⊤ 1 𝑋−1 2 𝑋⊤ 3 𝐴 0 𝑋−1 2 𝑋⊤ 3 𝐵1 0 𝐵⊤ 1 𝐺 𝐵⊤ 1 𝑋3𝑋 −1 2 −𝛾2𝑃 𝐷⊤ 11 𝐶1 0 𝐷11 −𝑄−1 ⎤⎥⎥⎦ . Критерiєм iснування розв’язку ̂︀𝐾* наведеної нерiвностi є спiввiдно- шення [10,11] 𝑊⊤̃︀𝑅* ̃︀Ω𝑊 ̃︀𝑅* < 0, 𝑊⊤̃︀𝐿* ̃︀Ω𝑊̃︀𝐿* < 0, (33) Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 73 де 𝑊̃︀𝐿* = Δ𝐿 ⎡⎣ 𝑊𝐿 0 0 𝐼𝑠 0 0 ⎤⎦ , 𝑊 ̃︀𝑅* = Δ𝑅 ⎡⎣ 𝑊𝑅 0 0 0 0 𝐼𝑘 ⎤⎦ . Позначимо ̃︀𝐺 = 𝐺−1𝑋3𝑋 −1 2 i знайдемо вирази Δ⊤ 𝐿 ̃︀ΩΔ𝐿 = ⎡⎢⎢⎣ 𝐴𝐺−1 +𝐺−1⊤𝐴⊤ 𝐺−1⊤𝐶⊤ 1 𝐵1 −𝐴 ̃︀𝐺 𝐶1𝐺 −1 −𝑄−1 𝐷11 −𝐶1 ̃︀𝐺 𝐵⊤ 1 𝐷⊤ 11 −𝛾2𝑃 0 − ̃︀𝐺⊤𝐴⊤ − ̃︀𝐺⊤𝐶⊤ 1 0 0 ⎤⎥⎥⎦ , Δ⊤ 𝑅 ̃︀ΩΔ𝑅 = ⎡⎢⎢⎣ 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴 𝑋⊤𝐵1 𝐴⊤𝑋3 𝐶⊤ 1 𝐵⊤ 1 𝑋 −𝛾2𝑃 𝐵⊤ 1 𝑋3 𝐷⊤ 11 𝑋⊤ 3 𝐴 𝑋⊤ 3 𝐵1 0 0 𝐶1 𝐷11 0 −𝑄−1 ⎤⎥⎥⎦ . Тодi спiввiдношення (33) стають такими: [︂ 𝑊⊤ 𝑅 0 0 𝐼𝑘 ]︂⎡⎣ 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴 𝑋⊤𝐵1 𝐶⊤ 1 𝐵⊤ 1 𝑋 −𝛾2𝑃 𝐷⊤ 11 𝐶1 𝐷11 −𝑄−1 ⎤⎦[︂ 𝑊𝑅 0 0 𝐼𝑘 ]︂ < 0, [︂ 𝑊⊤ 𝐿 0 0 𝐼𝑠 ]︂⎡⎣ 𝐴𝐺−1 +𝐺−1⊤𝐴⊤ 𝐺−1⊤𝐶⊤ 1 𝐵1 𝐶1𝐺 −1 −𝑄−1 𝐷11 𝐵⊤ 1 𝐷⊤ 11 −𝛾2𝑃 ⎤⎦[︂ 𝑊𝐿 0 0 𝐼𝑠 ]︂ < 0, або, враховуючи лему Шура, вiдповiдно (28) i (29), де 𝑌 = 𝛾2𝐺−1. Згiдно зi (32) 𝐸⊤𝐺 = 𝐺⊤𝐸 ≥ 0, тобто 𝐸𝑌 = 𝑌 ⊤𝐸⊤ ≥ 0, причому 𝑋 − 𝛾2𝑌 −1 = Θ𝐸, rankΘ ≤ 𝑝, де Θ = 𝑋3𝑋 −1 2 𝑋⊤ 3 ≥ 0. Останнi спiввiдношення зводяться до ранго- вих умов у (27). Отже, якщо матрицi 𝑋, 𝑌 , 𝑆 i Θ знайдено зi спiввiдношень (6), (10), (11), (27), (28) i (29), то при побудовi доповнювальних блокiв матрицi ̂︀𝑋, що задовольняє умови (31) i (32), можна використати спектральний розклад матрицi Θ або її представлення Θ = Θ⊤ 0 Θ0, де Θ0 ∈ ℝ𝑞×𝑛, при цьому 𝑋2 = 𝐼𝑞 i 𝑋3 = Θ0. Зрештою на основi леми 2.3 можна стверджувати, що iснує регулятор (23) порядку 𝑝 ≥ 𝑞, при 74 Мазко О. Г., Котов Т.О. якому критерiй якостi (5) замкненої системи (25) 𝐽 < 𝛾 i в’язка ма- триць ̂︀𝐹(𝜆) = ̂︀𝐴−𝜆 ̂︀𝐸 допустима. Зворотне твердження виконується за додатковою умовою (30). Теорему доведено. На основi теореми 4.1 наведемо алгоритм синтезу динамiчного ре- гулятора (23) для системи (22). Алгоритм 4.1. 1) Обчислення матриць 𝑊𝐿 i 𝑊𝑅, де 𝐿 = [︀ 𝐵⊤ 2 , 𝐷 ⊤ 12 ]︀ , 𝑅 = [︀ 𝐶2, 𝐷21 ]︀ . 2) Знаходження матриць 𝑋, 𝑌 , 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0 i Θ = Θ⊤ ≥ 0, що задо- вольняють систему спiввiдношень (6), (10), (11), (27), (28) i (29). 3) Знаходження спектрального розкладу невiд’ємно визначеної ма- трицi Θ = 𝑇⊤Λ𝑇 , де Λ = diag {︀ 𝜆1, . . . , 𝜆𝑞 }︀ , 𝑇 = [︀ 𝑡1, . . . , 𝑡𝑞 ]︀ , 𝜆𝑖 i 𝑡𝑖 — ненульовi власнi значення i вiдповiднi власнi вектори матрицi Θ. 4) Формування доповнювальних блокiв матрицi ̂︀𝑋 у формi 𝑋1 = 𝑇⊤𝐸, 𝑋2 = Λ−1 i 𝑋3 = 𝑇 при 𝑝 = 𝑞. 5) Розв’язування ЛМН̂︀𝐿⊤ * ̂︀𝐾* ̂︀𝑅* + ̂︀𝑅⊤ * ̂︀𝐾⊤ * ̂︀𝐿* + ̂︀Ω < 0, (34) стосовно ̂︀𝐾* за умови det(𝐼𝑚 −𝐾𝐷22) ̸= 0, де̂︀𝑅* = [︀ ̂︀𝐶2, ̂︀𝐷21, 0(𝑙+𝑝)×𝑘 ]︀ , ̂︀𝐿* = [︀ ̂︀𝐵⊤ 2 ̂︀𝑋, 0(𝑚+𝑝)×𝑠, ̂︀𝐷⊤ 12, ]︀ , ̂︀Ω = ⎡⎢⎣ ̂︀𝐴⊤ ̂︀𝑋 + ̂︀𝑋⊤ ̂︀𝐴 ̂︀𝑋⊤ ̂︀𝐵1 ̂︀𝐶⊤ 1̂︀𝐵⊤ 1 ̂︀𝑋 −𝛾2𝑃 ̂︀𝐷⊤ 11̂︀𝐶1 ̂︀𝐷11 −𝑄−1 ⎤⎥⎦ , 6) Обчислення матриць регулятора (23) за формулою ̂︀𝐾 = [︂ 𝐾 𝑈 𝑉 𝑍 ]︂ = (𝐼𝑛+𝑝 + ̂︀𝐾* ̂︀𝐷22) −1 ̂︀𝐾. Реалiзацiя цього алгоритму забезпечує оцiнку критерiю якостi 𝐽 < 𝛾, а також регулярнiсть, неiмпульсивнiсть i асимптотичну стiйкiсть замкненої системи (25). Ранг матрицi Θ, знайденої у п. 2 алгори- тму, визначає порядок динамiчного регулятора 𝑝. Якщо Θ = 0, то є можливiсть побудувати статичний регулятор iз потрiбними властиво- стями. У разi 𝑋0 > 0 замiсть рангової умови (11) доцiльно використа- ти ЛМН 𝑆 < 𝛾2𝑋0. Для досягнення оцiнки 𝐽0 < 𝛾 можна використа- ти спрощений варiант алгоритму 4.1, у якому не використовуються спiввiдношення з ваговою матрицею 𝑋0. Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 75 Зазначимо, що алгоритм 4.1 при мiнiмально можливих значеннях параметра 𝛾 може бути застосований при побудовi наближених 𝐽- оптимальних законiв керування для класу систем типу (22). Розглянемо дескрипторну систему керування (22) за умов неви- значеностi матричних коефiцiєнтiв 𝐴 ∈ Co{𝐴1, . . . , 𝐴𝜈1}, 𝐵1 ∈ Co{𝐵1 1 , . . . , 𝐵 𝜈2 1 }, 𝐶1 ∈ Co{𝐶1 1 , . . . , 𝐶 𝜈3 1 }, 𝐷11 ∈ Co{𝐷1 11, . . . , 𝐷 𝜈4 11} (35) i критерiй якостi (5) iз ваговою матрицею (9). Iз теореми 4.1 випливає таке твердження. Наслiдок 4.1. Якщо для деяких матриць 𝑋, 𝑌 , 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0 i Θ = Θ⊤ ≥ 0 виконуються спiввiдношення (6), (10), (11), (27) i 𝑊⊤ 𝑅 [︂ 𝐴⊤ 𝑖1 𝑋 +𝑋⊤𝐴𝑖1 + 𝐶𝑖3⊤1 𝑄𝐶𝑖31 𝑋⊤𝐵𝑖21 + 𝐶𝑖3⊤1 𝑄𝐷𝑖4 11 𝐵𝑖2⊤1 𝑋 +𝐷𝑖4⊤ 11 𝑄𝐶𝑖31 𝐷𝑖4⊤ 11 𝑄𝐷𝑖4 11 − 𝛾2𝑃 ]︂ 𝑊𝑅 < 0, (36) 𝑊⊤ 𝐿 [︂ 𝐴𝑖1𝑌 + 𝑌 ⊤𝐴⊤ 𝑖1 +𝐵𝑖21 𝑃 −1𝐵𝑖2⊤1 𝑌 ⊤𝐶𝑖3⊤1 +𝐵𝑖21 𝑃 −1𝐷𝑖4⊤ 11 𝐶𝑖31 𝑌 +𝐷𝑖4 11𝑃 −1𝐵𝑖2⊤1 𝐷𝑖4 11𝑃 −1𝐷𝑖4⊤ 11 −𝛾2𝑄−1 ]︂ 𝑊𝐿 < 0, (37) 𝑖1 = 1, 𝜈1, 𝑖2 = 1, 𝜈2, 𝑖3 = 1, 𝜈3, 𝑖4 = 1, 𝜈4, то iснує динамiчний регулятор (23) порядку 𝑝, при якому довiльна замкнена система (25) за умов невизначеностi (35) є допустимою i виконується оцiнка 𝐽 < 𝛾. Такий регулятор можна побудувати за допомогою модифiкованого алгоритму 4.1, у п. 2 якого замiсть (28) i (29) використовується система ЛМН (36) i (37), а у п. 5 — система ЛМН типу (34) при всiх можливих наборах вершин полiтопiв (35). 5 Iснування i побудова статичних регуляторiв за спостережуваним виходом Розглянемо систему (22) зi критерiями якостi 𝐽0 i 𝐽 типу (5) i ке- рування у формi лiнiйного зворотного зв’язку за спостережуваним виходом 𝑢 = 𝐾𝑦, det(𝐼 −𝐾𝐷22) ̸= 0. (38) При цьому замкнена система 𝐸𝑥̇ = 𝐴𝑥+𝐵𝑤, 𝑧 = 𝐶𝑥+𝐷𝑤, 𝑥(0) = 𝑥0, (39) 76 Мазко О. Г., Котов Т.О. де 𝐴 = 𝐴+𝐵2𝐾𝐶2, 𝐵 = 𝐵1 +𝐵2𝐾𝐷21, 𝐶 = 𝐶1 +𝐷12𝐾𝐶2, 𝐷 = 𝐷11 +𝐷12𝐾𝐷21, 𝐾 = (𝐼𝑚 −𝐾𝐷22) −1𝐾. Умови теореми 4.1 у випадку Θ = 0 забезпечують iснування стати- чного регулятора (38), при якому замкнена система (39) допустима i виконується оцiнка 𝐽 < 𝛾 (див. [21, теорема 3.1]). Наведемо умови iснування i метод побудови сiм’ї таких регуляторiв при додаткових обмеженнях на коефiцiєнти системи. Для цього сформулюємо допо- мiжнi твердження. Розглянемо на множинi матриць 𝒦𝐷 = {︀ 𝐾 : det(𝐼𝑚 − 𝐾𝐷) ̸= 0 }︀ нелiнiйний оператор 𝐃(𝐾) = (𝐼𝑚 −𝐾𝐷)−1𝐾 i матричну нерiвнiсть 𝐅(𝐾)=𝑊+𝑈⊤𝐃(𝐾)𝑉 +𝑉 ⊤𝐃⊤(𝐾)𝑈+𝑉 ⊤𝐃⊤(𝐾)𝑅𝐃(𝐾)𝑉 < 0, (40) де 𝐷 ∈ ℝ𝑙×𝑚, 𝑈 ∈ ℝ𝑚×𝑛, 𝑉 ∈ ℝ𝑙×𝑛, 𝑊 ∈ ℝ𝑛×𝑛 i 𝑅 ∈ ℝ𝑚×𝑚 — заданi матрицi, причому 𝑊 =𝑊⊤ i 𝑅 = 𝑅⊤ ≥ 0. Лема 5.1. 1. Якщо 𝑅 = 0, rank𝑈 < 𝑛 i rank𝑉 < 𝑛, то матрична нерiвнiсть (40) має розв’язок 𝐾 ∈ ℝ𝑚×𝑙 тодi i лише тодi, коли 𝑊⊤ 𝑈𝑊𝑊𝑈 < 0, 𝑊⊤ 𝑉 𝑊𝑊𝑉 < 0. 2. Якщо 𝑅 = 𝑅⊤ > 0 i rank𝑉 < 𝑛, то матрична нерiвнiсть (40) має розв’язок 𝐾 ∈ ℝ𝑚×𝑙 тодi i лише тодi, коли 𝑊 < 𝑈⊤𝑅−1𝑈, 𝑊⊤ 𝑉 𝑊𝑊𝑉 < 0. 3. Якщо 𝑅 = 𝑅⊤ ≥ 0, 1 ≤ rank𝑅 < 𝑚 i rank𝑈0 < 𝑛, де 𝑈0 = 𝑊⊤ 𝑅 𝑈 , то матрична нерiвнiсть (40) має розв’язок 𝐾 ∈ ℝ𝑚×𝑙 тодi i лише тодi, коли 𝑊⊤ 𝑈0 (︀ 𝑊 − 𝑈⊤𝑅+𝑈 )︀ 𝑊𝑈0 < 0, 𝑊⊤ 𝑉 𝑊𝑊𝑉 < 0. Лема 5.2. (Узагальнена лема про матричну невизначенiсть [5]). Нехай для деяких матриць 𝑃0 = 𝑃⊤ 0 > 0 i 𝑄0 = 𝑄⊤ 0 > 0 виконується матрична нерiвнiсть Ω = [︂ 𝑊 + 𝑉 ⊤𝑄0𝑉 𝑈⊤ + 𝑉 ⊤𝑄0𝐷 𝑈 +𝐷⊤𝑄0𝑉 𝑅+𝐷⊤𝑄0𝐷 − 𝑃0 ]︂ < 0. (41) Тодi 𝐅(𝐾) < 0 i 𝐾 ∈ 𝒦𝐷 для кожної матрицi 𝐾 з елiпсоїда 𝒦 = {︀ 𝐾 : 𝐾⊤𝑃0𝐾 ≤ 𝑄0 }︀ . Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 77 Теорема 5.1. Нехай iснують матрицi 𝑋, 𝑆 = 𝑆⊤ ≥ 0, 𝑃0 = 𝑃⊤ 0 > 0 i 𝑄0 = 𝑄⊤ 0 > 0, що задовольняють систему ЛМН (6) i Ω(𝑋,𝑃0, 𝑄0) = ⎡⎣ Ω1 Ω2 Ω3 Ω⊤ 2 Ω4 Ω5 Ω⊤ 3 Ω⊤ 5 Ω6 ⎤⎦ < 0, (42) де Ω1 = 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴+ 𝐶⊤ 2 𝑄0𝐶2, Ω2 = 𝑋⊤𝐵1 + 𝐶⊤ 1 𝑄𝐷11 + 𝐶⊤ 2 𝑄0𝐷21, Ω3 = 𝑋⊤𝐵2+𝐶 ⊤ 1 𝑄𝐷12+𝐶 ⊤ 2 𝑄0𝐷22, Ω4 = 𝐷⊤ 11𝑄𝐷11+𝐷 ⊤ 21𝑄0𝐷21−𝛾2𝑃, Ω5 = 𝐷⊤ 11𝑄𝐷12 +𝐷⊤ 21𝑄0𝐷22, Ω6 = 𝐷⊤ 12𝑄𝐷12 +𝐷⊤ 22𝑄0𝐷22 − 𝑃0. Тодi для довiльного керування (38) при 𝐾 ∈ 𝒦 замкнена система (39) допустима i має критерiй якостi 𝐽0 < 𝛾. При цьому 𝐽 < 𝛾, якщо разом iз (6) i (42) виконуються умови (9) – (11) або строгi нерiвностi 𝑋0 = 𝑋⊤ 0 > 0, 𝑆 < 𝛾2𝑋0. (43) Доведення теореми 5.1 безпосередньо випливає з лем 2.2, 2.3 i зо- браження виразу (7) у лемi 2.1 для системи (39) у формi (40), де 𝐃(𝐾) = 𝐾* i 𝑊 (𝑋) = [︂ 𝐴⊤𝑋 +𝑋⊤𝐴+ 𝐶⊤ 1 𝑄𝐶1 𝑋⊤𝐵1 + 𝐶⊤ 1 𝑄𝐷11 𝐵⊤ 1 𝑋 +𝐷⊤ 11𝑄𝐶1 𝐷⊤ 11𝑄𝐷11 − 𝛾2𝑃 ]︂ , 𝑈(𝑋) = [︀ 𝐵⊤ 2 𝑋 +𝐷⊤ 12𝑄𝐶1, 𝐷 ⊤ 12𝑄𝐷11 ]︀ , 𝑉 = [︀ 𝐶2, 𝐷21 ]︀ , 𝑅 = 𝐷⊤ 12𝑄𝐷12. (44) При цьому умова (41) набуває вигляду (42). При застосуваннi теореми 5.1 необхiдно, щоб у вiдсутностi керу- вання (𝑢 = 0) виконувалась оцiнка 𝐽0 < 𝛾, а в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴− 𝜆𝐸 була допустимою. Якщо це не так, то виникає задача знахо- дження умов iснування керування (38), що забезпечує вказанi вла- стивостi замкненої системи. Для її розв’язання можна скористатися лемою 5.1 для виразу (40) iз матрицями (44) у випадках 𝐷12 = 0 i rank𝐷12 = 𝑚. Зокрема, виконується таке твердження. Теорема 5.2. Нехай виконуються умови 𝑅0 = 𝐷⊤ 12𝑄𝐷12 > 0, 𝑅1 = 𝛾2𝑃 −𝐷⊤ 11𝑄1𝐷11 > 0 (45) 78 Мазко О. Г., Котов Т.О. i сумiсна щодо 𝑋 i 𝑆 система спiввiдношень (6), (9) – (11), (28) i 𝐴⊤ 2 𝑋 +𝑋⊤𝐴2 +𝑋⊤𝑅2𝑋 +𝑄2 < 0, (46) де 𝐴2 = 𝐴1 +𝐵11𝑅 −1 1 𝐷⊤ 11𝑄1𝐶1, 𝐴1 = 𝐴−𝐵2𝑅 −1 0 𝐷⊤ 12𝑄𝐶1, 𝑅2 = 𝐵11𝑅 −1 1 𝐵⊤ 11 −𝐵2𝑅 −1 0 𝐵⊤ 2 , 𝐵11 = 𝐵1 −𝐵2𝑅 −1 0 𝐷⊤ 12𝑄𝐷11, 𝑄1 = 𝑄−𝑄𝐷12𝑅 −1 0 𝐷⊤ 12𝑄, 𝑄2 = 𝐶⊤ 1 (𝑄1 +𝑄1𝐷11𝑅 −1 1 𝐷⊤ 11𝑄1)𝐶1. Тодi iснує керування (38), при якому замкнена система (39) допу- стима i має критерiй якостi 𝐽 < 𝛾. Зауваження 5.1. За умов теореми 5.2 матрицю шуканого регуля- тора (38) можна побудувати у формi 𝐾0 = 𝐾(𝐼𝑙 +𝐷22𝐾) −1, де 𝐾* — розв’язок квадратичної матричної нерiвностi 𝑊 + 𝑈⊤𝐾𝑉 + 𝑉 ⊤𝐾⊤ 𝑈 + 𝑉 ⊤𝐾⊤ * 𝑅𝐾𝑉 < 0 iз матричними коефiцiєнтами (44). Далi, застосовуючи теорему 5.1 для замкненої системи з регулятором 𝑢 = 𝐾0𝑦, можемо побудувати елiпсоїдальну множину таких матриць 𝒦0 = {︀ 𝐾 : (𝐾 −𝐾0) ⊤𝑃0(𝐾 −𝐾0) ≤ 𝑄0 }︀ , тобто визначити гарантованi межi робастностi бажаного статичного регулятора. При цьому 𝐾 = 𝐾0 + ̃︀𝐾, де ̃︀𝐾 ∈ 𝒦. Можна отримати аналоги теорем 5.1 i 5.2 iз застосуванням дина- мiчних регуляторiв (23) на основi подання замкненої системи (22), (23) у розширеному фазовому просторi у формi (24). 6 Приклад Розглянемо систему керування (22) з такими матрицями [25]: 𝐸 = ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤⎥⎥⎦ , 𝐴 = ⎡⎢⎢⎣ 0 1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 1 1 1 ⎤⎥⎥⎦ , 𝐵1 = ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 0 1 0 1 ⎤⎥⎥⎦ , Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 79 𝐵2 = ⎡⎢⎢⎣ 0 0 0 −1 ⎤⎥⎥⎦ , 𝐶1 = [︂ 1 0 1 0 0 1 0 1 ]︂ , 𝐶2 = [︀ 0 0 1 0 ]︀ , 𝐷11 = [︂ 0 0 0 0 ]︂ , 𝐷12 = [︂ 1 0 ]︂ , 𝐷21 = [︀ 0 1 ]︀ , 𝐷22 = 0, У даному прикладi 𝑛 = 4, 𝑚 = 1, 𝑘 = 2, 𝑠 = 2, 𝑙 = 1. Нехай критерiї якостi 𝐽0 i 𝐽 в (5) визначенi з ваговими матрицями 𝑃 = [︂ 1 0 0 5 ]︂ , 𝑄 = [︂ 3 0 0 1 ]︂ , 𝑋0 = 5𝐸⊤𝐸 = ⎡⎢⎢⎣ 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 ⎤⎥⎥⎦ . Для системи без керування маємо такi значення 𝐽0 = 2, 78270 i 𝐽 = 2, 78533, що вирахованi згiдно зi (13). Алгоритм 4.1 реалiзовано за допомогою комп’ютерної системи PTC Mathcad Prime. Спочатку наближено знайдено найменше значення параметра 𝛾 = 1, 5, при якому сумiсна система спiввiдношень (6), (10), (11), (27), (28) i (29), вiдповiднi матрицi 𝑋 = ⎡⎢⎣ 4, 55602 0 −1, 90889 0 −1, 90889 0 4, 91959 0 5, 01484 1, 87960 3, 22631 −0, 14856 −3, 72768 −1, 58627 −0, 76704 −1, 25203 ⎤⎥⎦ , 𝑌 = ⎡⎢⎣ 4, 02596 −2, 47210 0 0 −2, 65983 −0, 89927 1, 08810 −0, 12911 −2, 47210 2, 66911 0 0 0, 67589 0, 74616 −1, 37858 −1, 63351 ⎤⎥⎦ , 𝑆 = ⎡⎢⎣ 4, 55602 0 −1, 90889 0 0 0 0 0 −1, 90889 0 4, 91959 0 0 0 0 0 ⎤⎥⎦ ≥ 0, Θ = ⎡⎢⎣ 3, 26019 −3, 10907 1, 11697 −1, 52252 −3, 10907 2, 96502 −1, 05864 1, 45978 1, 11697 −1, 05864 2, 55609 0, 11989 −1, 52252 1, 45978 0, 11989 1, 58268 ⎤⎥⎦ ≥ 0, 80 Мазко О. Г., Котов Т.О. а також доповнювальнi блоки матрицi ̂︀𝑋: 𝑋1 = [︃ −0, 65544 0 0, 62515 0 0, 08457 0 −0, 08450 0 −0, 29835 0 0, 27625 0 ]︃ , 𝑋2 = [︃ 0, 13436 0 0 0 0, 41521 0 0 0 1, 94918 ]︃ , 𝑋3 = ⎡⎢⎣ −0, 65544 0, 08457 −0, 29835 0, 62515 −0, 08450 0, 27625 −0, 27740 −0, 89251 0, 35564 0, 32036 −0, 43490 −0, 84154 ⎤⎥⎦ . Розв’язуючи ЛМН (34), знайдено матричнi коефiцiєнти шуканого динамiчного регулятора (23) порядку 𝑝 = rankΘ = 3: 𝑍 = [︃ −2, 08370 −0, 39169 1, 02327 −0, 48944 −7, 90153 −0, 48605 0, 06443 −0, 56449 −7, 14171 ]︃ , 𝑉 = [︃ −13, 07781 −0, 53548 −0, 69422 ]︃ , 𝑈 = [ −0, 15375 0, 02058 −0, 12741 ], 𝐾 = −1, 26024. При цьому спектр замкненої системи 𝜎( ̂︀𝐹) = {︀ − 1, 20482, −6, 94203, −8, 15689, −0, 91160± 1, 12177𝑖 }︀ , вiдповiдна в’язка матриць ̂︀𝐹(𝜆) = ̂︀𝐴 − 𝜆 ̂︀𝐸 є регулярною, стiйкою i неiмпульсивною, а значення зваженого критерiю якостi 𝐽 = 1, 45912 замкненої системи (25) не перевищує 𝛾. Далi, застосовуючи лему 3.1 для замкненої системи (25), знайдено вiдповiднi матрицi ̂︀𝑋, ̂︀𝑆 = ̂︀𝑆⊤ ≥ 0, найгiршi вектор зовнiшнiх збурень 𝑤 = ̂︀𝐾0̂︀𝑥 i початковий вектор ̂︀𝑥0, де ̂︀𝐾0 = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 2, 17513 0, 15889 0 −0, 12092 −0, 95335 −0, 10577 0 −0, 48533 −0, 32401 −0, 00201 0, 03731 −0, 00977 −0, 13544 0, 19112 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⊤ , ̂︀𝑥0 = [︂ 𝑥0 𝜉0 ]︂ = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 0 0, 52717 0 0, 84976 0 0 0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , причому (̂︀𝑆 − 𝛾2 ̂︀𝑋0)̂︀𝑥0 = 0, ‖̂︀𝑥0‖ = 1, 0 ≤ ̂︀𝑆 ≤ 𝛾2 ̂︀𝑋0, 𝛾 = 𝐽 ≈ 1, 45912,̂︀𝑋0 = diag{𝑋0, 𝐼𝑝}. На рис. 1 i 2 зображена поведiнка компонент розв’язку ̂︀𝑥 об’єдна- ної дескрипторної системи “об’єкт + регулятор”̂︀𝐸 ̂̇︀𝑥 = ̂︀𝐴0̂︀𝑥, ̂︀𝐴0 = ̂︀𝐴* + ̂︀𝐵* ̂︀𝐾0, ̂︀𝑥(0) = ̂︀𝑥0 Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 81 Рис 1. Поведiнка замкненої керованої системи при найгiршому збуреннi. Рис 2. Поведiнка динамiчного регулятора при найгiршому збуреннi. при наведених значеннях початкового вектора i зовнiшнiх збурень (див. також рис. 3). Даний розв’язок побудований у термiнах пари матриць 𝑇 i Δ, що задовольняють матричне рiвняння ̂︀𝐴0𝑇 = ̂︀𝐸𝑇Δ, 82 Мазко О. Г., Котов Т.О. Рис 3. Найгiрше збурення. а саме: ̂︀𝑥 = 𝑇𝑧, 𝑧̇ = Δ𝑧, 𝑧(0) = 𝑧0. При цьому ̂︀𝑥0 = 𝑇𝑧0, матриця 𝑇 має повний ранг за стовпцями, а власнi числа матрицi Δ утворюють скiнченний спектр 𝜎( ̂︀𝐹0) = {︀ − 0, 00393, −6, 7716, −8, 50199, −0, 46769± 1, 53525𝑖 }︀ в’язки матриць ̂︀𝐹0(𝜆) = ̂︀𝐴0 − 𝜆 ̂︀𝐸. Для цiєї системи виконуються умови (45), що дає змогу будувати статичнi регулятори з бажаними властивостями на основi теореми 5.2. При 𝛾 = 2, 5 знайдено матрицю 𝑋 = ⎡⎢⎣ 4, 28441 0 1, 16184 0 1, 16184 0 4, 70812 0 4, 28300 0, 42666 1, 77609 0, 37196 −3, 72698 −0, 58943 −0, 58261 −1, 14690 ⎤⎥⎦ , що задовольняє систему спiввiдношень (6), (9) – (11), (28) i (46). Зна- йдено також коефiцiєнт пiдсилення 𝐾0 = −0, 40868 статичного регу- лятора (38) (див. зауваження 5.1), при якому замкнена система має критерiї якостi 𝐽0 = 2.40672 i 𝐽 = 2.40970 < 𝛾. При цьому вiдповiдна Оцiнка впливу i гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 83 в’язка матриць 𝐹(𝜆) = 𝐴 − 𝜆𝐸 допустима i має скiнченний спектр 𝜎( ̂︀𝐹*) = {︀ − 0, 5± 1, 07642𝑖 }︀ . [1] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A Convex Approach. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — 419 p. [2] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с. [3] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с. [4] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное 𝐻∞-оптимальное управ- ление как компромисс между 𝐻∞-оптимальным и 𝛾-оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — №6. — С. 20–38. [5] Мазко А. Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических си- стем. Методы матричных и конусных неравенств // Працi Iнституту математики НАН України, 2016. — 102. — 332 с. [6] Мазко О. Г., Кусiй С.М. Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах з керованими i спостережуваними виходами // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2016. — 13, 3. — С. 129–145. [7] Мазко А.Г., Кусий С.Н. Стабилизация по выходу и взвешенное подав- ление возмущений в дискретных системах управления // Проблемы управления и информатики. — 2017. — № 6. — С. 78–93. [8] Мазко О.Г., Кусiй С.М. Зважене гасiння обмежених збурень у системi керування лiтака в режимi посадки // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2018. — 15, 1. — С. 88–99. [9] Boyd S., Ghaoui L. El, Feron E., Balakrishman V. Linear matrix inequali- ties in system and control theory. SIAM Studies in Applied Mathematics, 15. — Philadelphia: PA, 1994. — 193 p. [10] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to 𝐻∞ Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. — P. 421 – 448. [11] Iwasaki T., Skelton R.E. All Controllers for the General 𝐻∞ Control Problem: LMI Existence Conditions and State Space Formulas // Automatica. — 1994. — 30, 8. — P. 1307 – 1317. [12] Xu S., Lam J., Zou Y. New Versions of Bounded Real Lemmas for Conti- nuous and Discrete Uncertain Systems // Circuits, Systems and Signal Process. — 2007. — 26. — P. 829–838. 84 Мазко О. Г., Котов Т.О. [13] Chadli M., Shi P., Feng Z., Lam J. New bounded real lemma formulation and 𝐻∞ control for continuous-time descriptor systems // Asian Journal of Control. — 2018. — 20, 1. — P. 1–7. [14] Gao F., Liu W.Q., Sreeram V., Teo K. L. Bounded real lemma for descri- ptor systems and its application. IFAC 14th Triennial World Congress, Beijing, P. R., China, 1999. — P. 1631–1636. [15] Masubushi I., Kamitane Y., Ohara A., Suda N. 𝐻∞ Control for Descriptor Systems: A Matrix Inequalities Approach // Automatica. — 1997. — 33, 4. — P. 669 – 673. [16] Мазко О.Г. Оцiнка зваженого рiвня гасiння обмежених збурень у де- скрипторних системах // Укр. мат. журн. — 2018. — № 11. — С. 1541 – 1552. [17] Dai L. Singular Control Systems. Lecture Notes in Control and Informati- on Sciences. — New York: Springer-Verlag, 1989. — 340 p. [18] Riaza R. Differential-Algebraic Systems. Analytical Aspects and Circuit Applications. — Singapore: World Scientific, 2008. — 330 p. [19] Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Нау- ка, 1980. — 222 с. [20] Самойленко A.M., Шкiль М. I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи дифе- ренцiальних рiвнянь з виродженнями. — Київ: Вища школа, 2000. — 294 с. [21] Мазко О.Г., Котов Т.О. Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у де- скрипторних системах керування // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2018. — 15, 1. — С. 65–87. [22] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с. [23] Bender D. J., Laub A. J. The Linear-Quadratic Optimal Regulator for Descriptor Systems // IEEE Trans. Autom. Control. — 1987. —AC-32, 8. — P. 672 – 688. [24] Najmurrokhman A. On solvability of output feedback nonlinear 𝐻∞- control problem using nonlinear matrix inequalities approach // Journal of Electrical Engineering and Information Technology. — 2003. — 1, 1. — P. 33 – 39. [25] Losse P. The 𝐻∞ Optimal Control Problem for Descriptor Systems // Dissertation Dr. Rer. Nat. Technische Universität Chemnitz (Germany). — 2011, 104 p.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-396
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-08-04T01:06:43Z
publishDate	2020
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/37/42b37843296e55342fb00840d215b237.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-3962020-08-09T15:01:39Z Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems Оценка влияния и тушения ограниченных возмущений в дескрипторных системах управления Оцінка впливу і гасіння обмежених збурень у дескрипторних системах керування Mazko, O.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О. The necessary and sufficient conditions for existence of dynamic regulators that provide a prescribed estimate of the weighted damping level of bounded disturbances and robust stability of linear descriptor systems are established.An algorithm for the generalized $H_\infty$-optimization of descriptor systems with controlled and observed outputs as well as a method for finding the worst vectors of external and initial disturbances with respect to a weighted performance criterion are proposed.The main computational procedures of the algorithm reduce to solving the linear matrix inequalities with additional rank restrictions.The efficiency of the algorithm is demonstrated by the illustrative example of a descriptor stabilization system with bounded disturbances. Встановлено необхідні й достатні умови існування динамічних регуляторів, що забезпечують задану оцінку зваженого рівня гасіння обмежених збурень і робастну стійкість лінійних дескрипторних систем. Запропоновано алгоритм узагальненої $H_\infty$-оптимізації дескрипторних систем із керованими і спостережуваними виходами, а також методику знаходження найгірших векторів зовнішніх і початкових збурень стосовно зваженого критерію якості.Основні обчислювальні процедури алгоритму зводяться до розв'язування лінійних матричних нерівностей при додаткових рангових обмеженнях. Працездатність алгоритму продемонстрована на ілюстративному прикладі дескрипторної системи стабілізації з обмеженими збуреннями. Встановлено необхідні й достатні умови існування динамічних регуляторів, що забезпечують задану оцінку зваженого рівня гасіння обмежених збурень і робастну стійкість лінійних дескрипторних систем. Запропоновано алгоритм узагальненої $H_\infty$-оптимізації дескрипторних систем із керованими і спостережуваними виходами, а також методику знаходження найгірших векторів зовнішніх і початкових збурень стосовно зваженого критерію якості.Основні обчислювальні процедури алгоритму зводяться до розв'язування лінійних матричних нерівностей при додаткових рангових обмеженнях. Працездатність алгоритму продемонстрована на ілюстративному прикладі дескрипторної системи стабілізації з обмеженими збуреннями. Інститут математики НАН України 2020-08-08 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/396 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 63-84 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 63-84 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 63-84 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/396/395 Авторське право (c) 2019 O.G. Mazko, T.O. Kotov http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
spellingShingle	Mazko, O.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О. Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
title	Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
title_alt	Оценка влияния и тушения ограниченных возмущений в дескрипторных системах управления Оцінка впливу і гасіння обмежених збурень у дескрипторних системах керування
title_full	Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
title_fullStr	Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
title_full_unstemmed	Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
title_short	Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
title_sort	estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/396
work_keys_str_mv	AT mazkoog estimationofinfluenceandsuppressionofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT kotovto estimationofinfluenceandsuppressionofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT mazkoag estimationofinfluenceandsuppressionofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT kotovto estimationofinfluenceandsuppressionofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT mazkoog estimationofinfluenceandsuppressionofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT kotovto estimationofinfluenceandsuppressionofboundedperturbationsindescriptorcontrolsystems AT mazkoog ocenkavliâniâitušeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT kotovto ocenkavliâniâitušeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoag ocenkavliâniâitušeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT kotovto ocenkavliâniâitušeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoog ocenkavliâniâitušeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT kotovto ocenkavliâniâitušeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhsistemahupravleniâ AT mazkoog ocínkavplivuígasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT kotovto ocínkavplivuígasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoag ocínkavplivuígasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT kotovto ocínkavplivuígasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoog ocínkavplivuígasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT kotovto ocínkavplivuígasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ

Estimation of influence and suppression of bounded perturbations in descriptor control systems

Institution

Ähnliche Einträge