Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems
We establish necessary and sufficient conditions of the upper bounds for the performance criteria of linear discrete-time descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances.These conditions require to solve linear matrix equations (LMI).The technique of...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/397 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552897163558912 |
|---|---|
| author | Mazko, O.G. Мазко, А.Г. Мазко, О.Г. |
| author_facet | Mazko, O.G. Мазко, А.Г. Мазко, О.Г. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O.G. Mazko",
"institution": "Institute of mathematics of National Academy of Sciences"
}
] |
| author_sort | Mazko, O.G. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T15:01:39Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions of the upper bounds for the performance criteria of linear discrete-time descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances.These conditions require to solve linear matrix equations (LMI).The technique of the generalized $H_\infty$-optimization of the descriptor systems with controlled and observed outputs as well as a method for finding the worst vectors of the external and initial perturbations with respect to the weighted quality criterion are proposed.An illustrative example of a discrete-time descriptor control system with perturbations is given. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 85–100
УДК 517.935;681.5
Зважена оцiнка гасiння обмежених
збурень у дескрипторних
дискретних системах керування *
О. Г. Мазко
Iнститут математики НАН України, Київ; mazkoag@gmail.com
We establish necessary and sufficient conditions of the upper bounds for the
performance criteria of linear discrete-time descriptor systems characteriz-
ing the weighted damping level of external and initial disturbances. These
conditions require to solve linear matrix equations (LMI). The technique of
the generalized 𝐻∞-optimization of the descriptor systems with controlled
and observed outputs as well as a method for finding the worst vectors of
the external and initial perturbations with respect to the weighted quality
criterion are proposed. An illustrative example of a discrete-time descrip-
tor control system with perturbations is given.
Встановлено необхiднi й достатнi умови виконання верхнiх оцiнок для
критерiїв якостi лiнiйних дискретних дескрипторних систем, що ха-
рактеризують зважений рiвень гасiння обмежених збурень. Перевiрка
цих умов зводиться до розв’язування лiнiйних матричних нерiвностей
(ЛМН). Запропоновано методику узагальненої 𝐻∞-оптимiзацiї дескри-
пторних систем iз керованими i спостережуваними виходами, а також
знаходження найгiрших векторiв зовнiшнiх i початкових збурень сто-
совно зваженого критерiю якостi. Наведено iлюстративний приклад
дискретної дескрипторної системи керування зi збуреннями.
1 Вступ
У сучаснiй теорiї керування широко використовуються неперервнi й
дискретнi математичнi моделi руху об’єктiв, що мiстять невизначе-
нi елементи (параметри, зовнiшнi збурення тощо). Для таких моде-
лей застосовуються методи 𝐻2/𝐻∞-оптимiзацiї, якi забезпечують не
*Робота виконана за часткової пiдтримки НДР № 0117U004077.
c○ Мазко О. Г., 2019
86 Мазко О. Г.
лише (робастну) стiйкiсть, а й пониження негативного впливу зовнi-
шнiх збурень на якiснi характеристики керованого об’єкта. З рiзними
постановками задач керування за умов невизначеностi можна озна-
йомитись, наприклад, у [1–5].
Мiрою впливу обмежених збурень на динамiку лiнiйних об’єктiв iз
нульовим початковим вектором є максимальне значення вiдношення
векторних 𝐿2-норм керованого виходу i вхiдних збурень, яке збiгає-
ться з 𝐻∞-нормою матричної передатної функцiї системи [1]. У [6–9]
використовувалися загальнiшi критерiї якостi, що враховують вплив
початкових збурень, обумовлених початковим вектором. Введення
вагових коефiцiєнтiв у таких критерiях якостi дає змогу встановити
прiоритети мiж компонентами виходу, зовнiшнiх i початкових збу-
рень.
На практицi дискретнi моделi систем керування мають певнi пе-
реваги порiвняно з неперервними. Зокрема, застосування рiзницевих
рiвнянь руху не вимагає дослiдження проблем iснування i єдиностi
розв’язкiв. Рiзницевi системи i матричнi аналоги прямого методу Ля-
пунова для дискретних систем є досить-таки придатними для їхньої
безпосередньої реалiзацiї програмними засобами на сучасних комп’ю-
терах. Варто зазначити, що практичне застосування багатьох мето-
дiв синтезу неперервних i дискретних систем керування базується
на розв’язуваннi лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН). Для цього
створенi достатньо ефективнi засоби комп’ютерних систем Matlab i
Mathcad Prime [10,11].
Продовжуючи дослiдження [7], у цiй роботi ми вивчаємо клас дис-
кретних дескрипторних лiнiйних систем iз керованими i спостережу-
ваними виходами i розробляємо новий пiдхiд до розв’язання узагаль-
неної задачi 𝐻∞-оптимiзацiї таких систем на множинi статичних ре-
гуляторiв за спостережуваним виходом.
Використовуватимемо такi позначення: 𝐼𝑛 — одинична матриця
порядку 𝑛; 0𝑛×𝑚 — нульова матриця розмiрiв 𝑛 × 𝑚; 𝑋 = 𝑋⊤ > 0
(≥ 0) — додатно (невiд’ємно) визначена матриця 𝑋; 𝜎(·) — спектр
матрицi (пучка матриць); 𝜌(𝐴) — спектральний радiус матрицi 𝐴;
𝐴−1(𝐴+) — обернена (псевдообернена) матриця; Ker𝐴 — ядро ма-
трицi 𝐴; 𝑊𝐴 — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра матрицi
𝐴; Co{𝐴1, . . . , 𝐴𝜈} — опуклий многогранник (полiтоп) з вершинами
𝐴1, . . . , 𝐴𝜈 у просторi матриць. ‖𝑥‖ — евклiдова норма вектора 𝑥;
‖𝑥‖𝑄 — зважена 𝑙2-норма векторної послiдовностi 𝑥𝑡, 𝑡 = 0, 1, . . . .
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 87
2 Допомiжнi твердження
Для симетричної блочної матрицi
𝑀 =
[︂
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
]︂
, 𝐴 = 𝐴⊤, 𝐵 = 𝐶⊤, 𝐷 = 𝐷⊤,
виконується таке твердження.
Лема 2.1. (лема Шура [12]). Якщо дiагональний блок 𝐴 (𝐷) матрицi
𝑀 невироджений, то 𝑀 ≤ 0 тодi i лише тодi, коли
𝐴 < 0, 𝑀𝐴 = 𝐷 − 𝐶𝐴−1𝐵 ≤ 0
(︀
𝐷 < 0, 𝑀𝐷 = 𝐴−𝐵𝐷−1𝐶 ≤ 0
)︀
.
При цьому 𝑀 < 0 ⇐⇒ 𝐴 < 0, 𝑀𝐴 < 0 ⇐⇒ 𝐷 < 0, 𝑀𝐷 < 0.
Лема 2.2. [13] Лiнiйна матрична нерiвнiсть
𝐴𝑇𝑋𝐵 +𝐵𝑇𝑋𝑇𝐴 < 𝐶, (1)
де 𝐴, 𝐵 i 𝐶 — заданi матрицi вiдповiдних розмiрiв 𝑝×𝑛, 𝑞×𝑛 i 𝑛×𝑛,
має розв’язок 𝑋 ∈ ℝ𝑝×𝑞 тодi i лише тодi, коли виконується одна з
таких умов: (a) rank𝐴 = 𝑛, rank𝐵 = 𝑛; (b) rank𝐴 < 𝑛, rank𝐵 = 𝑛,
𝑊𝑇
𝐴𝐶𝑊𝐴 > 0; (c) rank𝐵 < 𝑛, rank𝐴 = 𝑛, 𝑊𝑇
𝐵𝐶𝑊𝐵 > 0 або (d)
rank𝐴 < 𝑛, rank𝐵 < 𝑛, 𝑊𝑇
𝐴𝐶𝑊𝐴 > 0, 𝑊𝑇
𝐵𝐶𝑊𝐵 > 0, де 𝑊𝐴 i 𝑊𝐵 —
матрицi, стовпцi яких складають базиси вiдповiдних ядер KerA i
KerB.
Розглянемо на множинi матриць 𝒦𝐷 =
{︀
𝐾 : det(𝐼𝑚 − 𝐾𝐷) ̸= 0
}︀
нелiнiйний оператор 𝐃(𝐾) = (𝐼𝑚 −𝐾𝐷)−1𝐾 i матричну нерiвнiсть
𝐅(𝐾)=𝑊 +𝑈⊤𝐃(𝐾)𝑉 +𝑉 ⊤𝐃⊤(𝐾)𝑈 +𝑉 ⊤𝐃⊤(𝐾)𝑅𝐃(𝐾)𝑉 < 0, (2)
де 𝐷 ∈ ℝ𝑙×𝑚, 𝑈 ∈ ℝ𝑚×𝑛, 𝑉 ∈ ℝ𝑙×𝑛, 𝑊 ∈ ℝ𝑛×𝑛 i 𝑅 ∈ ℝ𝑚×𝑚 — заданi
матрицi, причому 𝑊 =𝑊⊤ i 𝑅 = 𝑅⊤ ≥ 0.
Лема 2.3. (Узагальнена лема про матричну невизначенiсть [6]).
Нехай для деяких матриць 𝑃0 = 𝑃⊤
0 > 0 i 𝑄0 = 𝑄⊤
0 > 0 виконується
матрична нерiвнiсть
Ω =
[︂
𝑊 + 𝑉 ⊤𝑄0𝑉 𝑈⊤ + 𝑉 ⊤𝑄0𝐷
𝑈 +𝐷⊤𝑄0𝑉 𝑅+𝐷⊤𝑄0𝐷 − 𝑃0
]︂
< 0. (3)
Тодi 𝐅(𝐾) < 0 i 𝐾 ∈ 𝒦𝐷 для кожної матрицi 𝐾 iз елiпсоїда
𝒦 =
{︀
𝐾 : 𝐾⊤𝑃0𝐾 ≤ 𝑄0
}︀
. (4)
88 Мазко О. Г.
Лема 2.4. Якщо 𝑅 = 𝑅⊤ > 0 i rank𝑉 < 𝑛, то матрична нерiвнiсть
(2) має розв’язок 𝐾 ∈ ℝ𝑚×𝑙 тодi i лише тодi, коли
𝑊 < 𝑈⊤𝑅−1𝑈, 𝑊⊤
𝑉 𝑊𝑊𝑉 < 0. (5)
Доведення. На основi леми 2.1 перепишемо матричну нерiвнiсть (2)
у формi (1), де
𝐴 =
[︀
𝑈, 𝐼𝑚
]︀
, 𝐵 =
[︀
𝑉, 0𝑙×𝑚
]︀
, 𝐶 =
[︂
−𝑊 0
0 𝑅−1
]︂
, 𝑋 = 𝐃(𝐾).
Очевидно, що
𝑊𝐴 =
[︂
𝐼𝑛
−𝑈
]︂
, 𝑊𝐵 =
[︂
𝑊𝑉 0
0 𝐼𝑚
]︂
,
оскiльки
rank
[︂
𝑈 𝐼𝑚
𝐼𝑛 −𝑈⊤
]︂
= 𝑛+𝑚, rank𝐵 < 𝑛+𝑚.
Застосовуючи лему 2.1 у випадку (d), отримаємо необхiднi й доста-
тнi умови сумiсностi матричної нерiвностi (2) щодо 𝑋 у формi (5).
Оскiльки ця нерiвнiсть строга, то її розв’язок можна знайти у формi
𝑋 = 𝐃(𝐾), де 𝐾 ∈ 𝒦𝐷 — деяка матриця.
Лему доведено.
3 Зважений рiвень гасiння обмежених збурень
Розглянемо клас лiнiйних дискретних систем без керування
𝐸𝑥𝑡+1 = 𝐴𝑥𝑡 +𝐵𝑤𝑡, 𝑧𝑡 = 𝐶𝑥𝑡 +𝐷𝑤𝑡, 𝑡 ∈ 𝒯 = {0, 1, . . . }, (6)
де 𝑥𝑡 ∈ ℝ𝑛, 𝑤𝑡 ∈ ℝ𝑚 i 𝑧𝑡 ∈ ℝ𝑙 — вiдповiдно вектори стану, зовнiшнiх
збурень i виходу системи, 𝐸, 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 — матрицi вiдповiдних
розмiрiв. Введемо критерiй якостi даної системи стосовно її вектора
виходу:
𝐽 = sup
(𝑤,𝑥0)∈𝒲
‖𝑧‖𝑄√︁
‖𝑤‖2𝑃 + 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0
, (7)
де
‖𝑧‖2𝑄 =
∞∑︁
𝑡=0
𝑧𝑇𝑡 𝑄𝑧𝑡, ‖𝑤‖2𝑃 =
∞∑︁
𝑡=0
𝑤𝑇𝑡 𝑃𝑤𝑡,
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 89
𝒲 — множина пар (𝑤, 𝑥0), для яких система має розв’язок i викону-
ється нерiвнiсть 0 < ‖𝑤‖2𝑃 +𝑥⊤0 𝑋0𝑥0 <∞, а 𝑃 = 𝑃⊤ > 0, 𝑄 = 𝑄⊤ > 0
i 𝑋0 = 𝑋⊤
0 ≥ 0 — деякi ваговi матрицi.
Вважаємо, що вектор зовнiшнiх збурень 𝑤 обмежений за зваже-
ною 𝑙2-нормою ‖𝑤‖𝑃 , а 𝑥0 — невiдомий початковий вектор. Вираз (7)
при фiксованому початковому векторi 𝑥0 = 0 позначимо через 𝐽0.
Очевидно, що 𝐽0 ≤ 𝐽 .
Значення 𝐽 характеризує зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i по-
чаткових збурень у системi (6). Цей критерiй якостi у випадку ваго-
вих матриць 𝑃 = 𝐼𝑠, 𝑄 = 𝐼𝑘 i 𝑋0 = 𝛽𝐼𝑛 вiдомий [9].
Означення 3.1. Вектор збурення 𝑤𝑡 i початковий вектор 𝑥0 назива-
тимемо найгiршими стосовно критерiю якостi 𝐽 , якщо на їхнiх зна-
ченнях досягається sup у (7), тобто
‖𝑧‖2𝑄 = 𝐽2
(︀
‖𝑤‖2𝑃 + 𝑥⊤0 𝑋0𝑥0
)︀
.
Означення 3.2. Система (6) називається неекспансивною, якщо її
вектор виходу при довiльному 𝜏 > 0 задовольняє нерiвнiсть
𝜏∑︁
𝑡=0
𝑦𝑇𝑡 𝑄𝑦𝑡 ≤
𝜏∑︁
𝑡=0
𝑤𝑇𝑡 𝑃𝑤𝑡 + 𝑥𝑇0𝑋0𝑥0.
Очевидно, що неекспансивна система має критерiй якостi 𝐽 ≤ 1.
Нехай в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴 − 𝜆𝐸 в системi (6) регулярна,
тобто det𝐹 (𝜆) ̸≡ 0 (𝜆 ∈ ℂ). Канонiчна форма Веєрштрасса регулярної
в’язки матриць має вигляд [12]
𝐿𝐹 (𝜆)𝑅 =
[︂
𝐴1 − 𝜆𝐼𝑟 0
0 𝐼𝑛−𝑟 − 𝜆𝑁
]︂
, (8)
де власнi значення матрицi 𝐴1 утворюють спектр 𝜎(𝐹 ), 𝑁 — нiль-
потентна матриця iндексу 𝜈, а 𝐿 i 𝑅 — деякi невиродженi матрицi.
В’язка матриць 𝐹 (𝜆) стiйка, якщо |𝜆| < 1 ∀𝜆 ∈ 𝜎(𝐹 ), тобто 𝜌(𝐴1) < 1.
Якщо rank𝐸 = 𝜌 < 𝑛, то систему (6) можна подати у формi
𝑥1𝑡+1 = 𝐴1𝑥
1
𝑡 +𝐵1𝑤𝑡, 𝑁𝑥
2
𝑡+1 = 𝑥2𝑡 +𝐵2𝑤𝑡, 𝑧𝑡 = 𝐶1𝑥
1
𝑡 +𝐶2𝑥
2
𝑡 +𝐷𝑤𝑡, (9)
де 𝑥1𝑡 ∈ ℝ𝑟, 𝑥2𝑡 ∈ ℝ𝑛−𝑟,
𝑥𝑡 = 𝑅
[︂
𝑥1𝑡
𝑥2𝑡
]︂
, 𝑥0 = 𝑅
[︂
𝑥10
𝑥20
]︂
, 𝐿𝐵 =
[︂
𝐵1
𝐵2
]︂
, 𝐶𝑅 =
[︀
𝐶1, 𝐶2
]︀
.
90 Мазко О. Г.
Ця система має 𝑟 скiнченних динамiчних мод, 𝑛 − 𝜌 нединамiчних
мод i 𝜌− 𝑟 непричинних мод [4]. Регулярна в’язка матриць 𝐹 (𝜆) при
вiдсутностi непричинних мод (𝜌 = 𝑟) називається причинною.
Означення 3.3. В’язка матриць 𝐹 (𝜆) називається допустимою, якщо
вона регулярна, стiйка i причинна. Дескрипторна система (6) з допу-
стимою в’язкою матриць 𝐹 (𝜆) є допустимою.
Лема 3.1. [14] В’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴− 𝜆𝐸 є допустимою тодi
i лише тодi, коли iснує матриця 𝑋 = 𝑋⊤, що задовольняє систему
ЛМН
𝐴⊤𝑋𝐴− 𝐸⊤𝑋𝐸 < 0, 𝐸⊤𝑋𝐸 ≥ 0. (10)
Введемо лiнiйний матричний оператор
Ψ(𝑋) =
[︂
𝐴⊤𝑋𝐴− 𝐸⊤𝑋𝐸 + 𝐶⊤𝑄𝐶 𝐴⊤𝑋𝐵 + 𝐶⊤𝑄𝐷
𝐵⊤𝑋𝐴+𝐷⊤𝑄𝐶 𝐵⊤𝑋𝐵 +𝐷⊤𝑄𝐷 − 𝛾2𝑃
]︂
,
що визначений у просторi симетричних матриць 𝑋 = 𝑋⊤.
Лема 3.2. Для системи (6) такi твердження еквiвалентнi:
1) в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴− 𝜆𝐸 допустима i 𝐽0 < 𝛾;
2) iснує матриця 𝑋 = 𝑋⊤, що задовольняє систему ЛМН
Ψ(𝑋) < 0, 𝐸⊤𝑋𝐸 ≥ 0. (11)
Доведення. 2) ⇒ 1). Для першої рiзницi функцiї Ляпунова 𝑣(𝑥) =
𝑥𝑇𝐸⊤𝑋𝐸𝑥 у силу системи (6) виконуються спiввiдношення
𝑣(𝑥𝑡+1)− 𝑣(𝑥𝑡) + 𝑧𝑇𝑡 𝑄𝑧𝑡 − 𝛾2𝑤𝑇𝑡 𝑃𝑤𝑡 =
[︀
𝑥𝑇𝑡 , 𝑤
𝑇
𝑡
]︀
Ψ(𝑋)
[︂
𝑥𝑡
𝑤𝑡
]︂
, 𝑡 ∈ 𝒯 .
Пiсля пiдсумовування вiд 0 до 𝜏 маємо
𝑣(𝑥𝜏+1)− 𝑣(𝑥0) +
𝜏∑︁
𝑡=0
𝑧𝑇𝑡 𝑄𝑧𝑡 − 𝛾2
𝜏∑︁
𝑡=0
𝑤𝑇𝑡 𝑃𝑤𝑡 ≤ 0, 𝑣(𝑥𝜏+1 ≥ 0.
Враховуючи, що 𝑣(𝑥0) = 0 i в’язка матриць 𝐹 (𝜆) допустима, при
𝜏 → ∞ маємо 𝑣(𝑥𝜏+1) → 0 i ‖𝑧‖2𝑄 ≤ 𝛾2‖𝑤‖2𝑃 , що означає 𝐽0 ≤ 𝛾.
Насправдi 𝐽0 < 𝛾, оскiльки умови (11) зберiгаються при замiнi 𝛾 на
𝛾 − 𝜀, де 𝜀 > 0 — достатньо мале число.
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 91
1) ⇒ 2). Нехай в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴−𝜆𝐸 допустима i 𝐽0 < 𝛾.
У цьому випадку 𝑁 = 0 i динамiчна пiдсистема в (9) має форму
𝑥1𝑡+1 = 𝐴1𝑥
1
𝑡 +𝐵1𝑤𝑡, 𝑧𝑡 = 𝐶1𝑥
1
𝑡 +𝐷1𝑤𝑡, (12)
де 𝐷1 = 𝐷 − 𝐶2𝐵2. Причому критерiї якостi типу 𝐽0 для систем (6)
i (12) збiгаються. Вiдомо [7], що 𝜌(𝐴1) < 1 i 𝐽0 < 𝛾 тодi i лише тодi,
коли Ψ1(𝑋1) < 0 для деякої матрицi 𝑋1 = 𝑋⊤
1 > 0, де
Ψ1(𝑋1) =
[︂
𝐴⊤
1 𝑋1𝐴1 −𝑋1 + 𝐶⊤
1 𝑄𝐶1 𝐴⊤
1 𝑋1𝐵1 + 𝐶⊤
1 𝑄𝐷1
𝐵⊤
1 𝑋1𝐴1 +𝐷⊤
1 𝑄𝐶1 𝐵⊤
1 𝑋1𝐵1 +𝐷⊤
1 𝑄𝐷1 − 𝛾2𝑃
]︂
.
Побудуємо розв’язок 𝑋 = 𝑋⊤ системи ЛМН (11) як
𝑋 = 𝐿⊤
[︂
𝑋1 𝑋2
𝑋⊤
2 𝑋3
]︂
𝐿. (13)
Застосуємо конгруентне перетворення
𝑇⊤Ψ(𝑋)𝑇 =
⎡⎣ Ψ1(𝑋1)
𝐴⊤
1 𝑋2+𝐶
⊤
1 𝑄𝐶2
𝐵⊤
1 𝑋2+𝐷
⊤
1 𝑄𝐶2
𝑋⊤
2 𝐴1+𝐶
⊤
2 𝑄𝐶1 𝑋⊤
2 𝐵1+𝐶
⊤
2 𝑄𝐷1 𝑋3 + 𝐶⊤
2 𝑄𝐶2
⎤⎦ ,
де
𝑇 =
[︂
𝑅 0
0 𝐼𝑠
]︂⎡⎣ 𝐼𝑟 0 0
0 −𝐵2 𝐼𝑛−𝑟
0 𝐼𝑠 0
⎤⎦
i припустимо, що 𝑋2 = 0, 𝑋3 = −𝐶⊤
2 𝑄𝐶2 − 𝜀−1𝐼𝑛−𝑟. Тодi матрична
нерiвнiсть Ψ(𝑋) < 0 за лемою Шура означає
Ψ1(𝑋1) + 𝜀
[︂
𝐶⊤
1
𝐷⊤
1
]︂
𝑄𝐶2𝐶
⊤
2 𝑄
[︀
𝐶1, 𝐷1
]︀
< 0.
Якщо Ψ1(𝑋1) < 0, то iснує 𝜀 > 0, при якому ця нерiвнiсть виконує-
ться. При цьому
𝐸⊤𝑋𝐸 = 𝑅−1⊤
[︂
𝑋1 0
0 0
]︂
𝑅−1 ≥ 0, 𝑋1 = 𝑋⊤
1 > 0.
Отже, за умов 1) система ЛМН (11) сумiсна.
Твердження леми 3.2 у випадку одиничних вагових матриць 𝑃 i
𝑄 отримано в [14,15].
92 Мазко О. Г.
Зауваження 3.1. Iз доведення леми 3.2 випливає, що для виконання
оцiнки 𝐽 ≤ 𝛾 достатньо, щоб система ЛМН (11) i 𝐸⊤𝑋𝐸 ≤ 𝛾2𝑋0 була
сумiсною стосовно 𝑋 = 𝑋⊤. При цьому 𝐽 < 𝛾, якщо 𝐸⊤𝑋𝐸 < 𝛾2𝑋0.
Лема 3.3. Нехай вагова матриця 𝑋0 в (7) подана у виглядi
𝑋0 = 𝐸⊤𝐻𝐸, 𝐻 = 𝐻⊤ > 0. (14)
Тодi для системи (6) такi твердження еквiвалентнi:
1) в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴− 𝜆𝐸 допустима i 𝐽 < 𝛾;
2) iснує матриця 𝑋 = 𝑋⊤, що задовольняє систему спiввiдно-
шень
Ψ(𝑋) < 0, (15)
0 ≤ 𝐸⊤𝑋𝐸 ≤ 𝛾2𝑋0, rank (𝐸⊤𝑋𝐸 − 𝛾2𝑋0) = rank𝐸. (16)
Доведення. Якщо в’язка матриць 𝐹 (𝜆) = 𝐴 − 𝜆𝐸 допустима, то для
матриць (13) i (14) виконуються спiввiдношення (див. доведення леми
3.2)
𝐸⊤𝑋𝐸 − 𝛾2𝑋0 = 𝑅−1⊤
[︂
𝑋1 − 𝛾2𝐻1 0
0 0
]︂
𝑅−1,
𝑥⊤0 𝑋0𝑥0 = 𝑥1⊤0 𝐻1𝑥
1
0, 𝐻 = 𝐿⊤
[︂
𝐻1 𝐻2
𝐻⊤
2 𝐻3
]︂
𝐿 > 0.
При цьому 𝜌(𝐴1) < 1 i 𝐽 < 𝛾 тодi i лише тодi, коли сумiсна щодо 𝑋1
система ЛМН Ψ1(𝑋1) < 0 i 0 < 𝑋1 < 𝛾2𝐻1 [7].
Зауваження 3.2. Матричнy нерiвнiсть Ψ(𝑋) < 0 у лемах 3.2 i 3.3
згiдно з лемою Шура можна подати у формi⎡⎣ 𝐴⊤𝑋𝐴− 𝐸⊤𝑋𝐸 𝐴⊤𝑋𝐵 𝐶⊤
𝐵⊤𝑋𝐴 𝐵⊤𝑋𝐵 − 𝛾2𝑃 𝐷⊤
𝐶 𝐷 −𝑄−1
⎤⎦ < 0. (17)
Зауваження 3.3. Рангова умова (16) у лемi 3.3 завжди виконується,
якщо 𝑋 < 𝛾2𝐻.
Зауваження 3.4. При виконаннi умов, що забезпечують строгi оцiн-
ки 𝐽0 < 𝛾 i 𝐽 < 𝛾 у лемах 3.2 i 3.3, нульовий стан системи (6) зi
структурованою невизначенiстю вектора збурень
𝑤𝑡 =
1
𝛾
Θ𝑧, Θ⊤𝑃Θ ≤ 𝑄 (18)
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 93
робастно стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова 𝑣(𝑥) = 𝑥⊤𝐸⊤𝑋𝐸𝑥.
Це твердження доводиться за допомогою узагальненої леми про ма-
тричну невизначенiсть [6, лема 3.3.1].
Iз лем 3.2 i 3.3 випливають алгоритми обчислення критерiїв якостi
𝐽0 i 𝐽 системи (6) на основi розв’язування вiдповiдних оптимiзацiйних
задач:
𝐽0 = inf
{︀
𝛾 : Ψ(𝑋) < 0, 𝐸⊤𝑋𝐸 ≥ 0
}︀
,
𝐽 = inf
{︀
𝛾 : Ψ(𝑋) < 0, 0 ≤ 𝐸⊤𝑋𝐸 ≤ 𝛾2𝑋0
}︀
.
(19)
4 Найгiршi зовнiшнi i початковi збурення стосов-
но зваженого критерiю якостi
У практичних задачах керування доцiльно визначити так званi най-
гiршi зовнiшнi й початковi збурення у системi, а також дослiдити
поведiнку замкненої системи при таких збуреннях.
Iз доведення лем 3.2 i 3.3 випливає, що для виконання нестро-
гої оцiнки 𝐽 ≤ 𝛾 достатньо сумiсностi щодо 𝑋 = 𝑋⊤ системи ЛМН
Ψ(𝑋) ≤ 0 i
0 ≤ 𝐸⊤𝑋𝐸 ≤ 𝛾2𝑋0. (20)
Якщо
𝑅𝑋 = 𝛾2𝑃 −𝐷⊤𝑄𝐷 −𝐵⊤𝑋𝐵 > 0, (21)
то за лемою Шура Ψ(𝑋) ≤ 0 лише тодi, коли виконується матрична
нерiвнiсть типу Рiккатi
𝐴⊤𝑋𝐴−𝐸⊤𝑋𝐸+𝐶⊤𝑄𝐶+(𝐴⊤𝑋𝐵+𝐶⊤𝑄𝐷)𝑅−1
𝑋 (𝐵⊤𝑋𝐴+𝐷⊤𝑄𝐶) ≤ 0,
При цьому виконуються спiввiдношення
𝑣(𝑥𝑡+1)− 𝑣(𝑥𝑡) + 𝑧⊤𝑡 𝑄𝑧𝑡− 𝛾2𝑤⊤
𝑡 𝑃𝑤𝑡 = [𝑥⊤𝑡 , 𝑤
⊤
𝑡 ]Ψ(𝑋)
[︂
𝑥𝑡
𝑤𝑡
]︂
≤ 0, (22)
‖𝑧‖2𝑄 − 𝛾2‖𝑤‖2𝑃 ≤ 𝑥⊤0 𝐸
⊤𝑋𝐸𝑥0 ≤ 𝛾2𝑥⊤0 𝑋0𝑥0, (23)
де 𝑣(𝑥) = 𝑥⊤𝐸⊤𝑋𝐸𝑥 — функцiя Ляпунова системи (6). Причому ви-
конання обох рiвностей у (23) означає, що 𝐽 = 𝛾, а вiдповiднi вектори
збурення 𝑤𝑡 i початковий вектор 𝑥0 є найгiршими стосовно критерiю
якостi 𝐽 . Перша рiвнiсть у (23) виконується, якщо
𝑤𝑡 = 𝐾0𝑥𝑡, 𝐾0 = 𝑅−1
𝑋 (𝐵⊤𝑋 +𝐷⊤𝑄𝐶), (24)
94 Мазко О. Г.
де 𝑋 — розв’язок матричного рiвняння
𝐴⊤𝑋𝐴−𝐸⊤𝑋𝐸+𝐶⊤𝑄𝐶+(𝐴⊤𝑋𝐵+𝐶⊤𝑄𝐷)𝑅−1
𝑋 (𝐵⊤𝑋𝐴+𝐷⊤𝑄𝐶) = 0,
(25)
а 𝑥𝑡 — розв’язок системи
𝐸𝑥𝑡+1 = (𝐴+𝐵𝐾0)𝑥𝑡, 𝑡 ∈ 𝒯 . (26)
При цьому права частина спiввiдношення (22) є нульовою. Друга рiв-
нiсть у (23) виконується, якщо
𝑥⊤0 (𝐸
⊤𝑋𝐸 − 𝛾2𝑋0)𝑥0 = 0. (27)
Останнє спiввiдношення за умови (20) еквiвалентне рiвностi (𝐸⊤𝑋𝐸−
𝛾2𝑋0)𝑥0 = 0. Зокрема, ненульовий вектор 𝑥0 ∈ Ker (𝐸⊤𝑋𝐸 − 𝛾2𝑋0) є
власним вектором матрицi 𝐸⊤𝑋𝐸−𝛾2𝑋0, що вiдповiдає її нульовому
власному значенню. Якщо 𝑥0 ∈ Ker𝐸, то рiвнiсть (27) виконується
незалежно вiд значення матрицi-розв’язку 𝑋 рiвняння (25).
Отже, встановлено таке твердження.
Лема 4.1. Нехай iснує матриця 𝑋, що задовольняє спiввiдношення
(20), (21) i (25) при 𝛾 = 𝐽 . Тодi структурований вектор зовнiшнiх
збурень (24) i довiльний вектор 𝑥0 ∈ Ker (𝐸⊤𝑋𝐸 − 𝐽2𝑋0) є найгiр-
шими стосовно критерiю якостi 𝐽 для системи (6).
5 Лiнiйна дескрипторна система з керованими i
спостережуваними виходами
Розглянемо лiнiйну дескрипторну систему з керованими i спостере-
жуваними виходами
𝐸𝑥𝑡+1 = 𝐴𝑥𝑡 +𝐵1𝑤𝑡 +𝐵2𝑢𝑡,
𝑧𝑡 = 𝐶1𝑥𝑡 +𝐷11𝑤𝑡 +𝐷12𝑢𝑡,
𝑦𝑡 = 𝐶2𝑥𝑡 +𝐷21𝑤𝑡 +𝐷22𝑢,
(28)
де 𝑥𝑡 ∈ ℝ𝑛, 𝑢𝑡 ∈ ℝ𝑚, 𝑤𝑡 ∈ ℝ𝑠, 𝑧𝑡 ∈ ℝ𝑘 i 𝑦𝑡 ∈ ℝ𝑙 — вiдповiдно вектори
стану, керування, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережувано-
го виходiв, 𝑡 ∈ 𝒯 , а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних розмiрiв
сталi, причому rank𝐸 = 𝜌 ≤ 𝑛. Нас цiкавлять закони керування,
якi понижують критерiї якостi типу 𝐽0 i 𝐽 типу (7) i, зокрема, за-
безпечують умови неекспансивностi замкненої системи стосовно ве-
ктора керованого виходу 𝑧𝑡. Статичнi й динамiчнi регулятори, якi
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 95
мiнiмiзують критерiй якостi 𝐽 , називатимемо 𝐽-оптимальними. 𝐽0-
оптимальне керування у разi одиничних вагових матриць 𝑃 i 𝑄 є
𝐻∞-оптимальними.
Побудуємо множину керувань для системи (28) у формi лiнiйного
зворотного зв’язку за вимiрюваним виходом
𝑢𝑡 = 𝐾𝑦𝑡, det(𝐼𝑚 −𝐾𝐷22) ̸= 0, (29)
де 𝐾 ∈ 𝒦, 𝒦 — елiпсоїд у просторi ℝ𝑚×𝑙 виду (3), визначений матри-
цями 𝑃0 = 𝑃⊤
0 > 0 i 𝑄0 = 𝑄⊤
0 > 0.
Наведемо замкнену систему
𝐸𝑥𝑡+1 = 𝐴*𝑥𝑡 +𝐵*𝑤𝑡, 𝑧𝑡 = 𝐶*𝑥𝑡 +𝐷*𝑤𝑡, (30)
де
𝐴* = 𝐴+𝐵2𝐾0𝐶2, 𝐵* = 𝐵1 +𝐵2𝐾0𝐷21, 𝐶* = 𝐶1 +𝐷12𝐾0𝐶2,
𝐷* = 𝐷11 +𝐷12𝐾0𝐷21, 𝐾0 = (𝐼𝑚 −𝐾𝐷22)
−1𝐾.
Теорема 5.1. Нехай iснують матрицi 𝑋, 𝑃0=𝑃
⊤
0 > 0 i 𝑄0=𝑄
⊤
0 > 0,
що задовольняють систему ЛМН
Ω(𝑋,𝑃0, 𝑄0) =
⎡⎣ Ω1 Ω2 Ω3
Ω⊤
2 Ω4 Ω5
Ω⊤
3 Ω⊤
5 Ω6
⎤⎦ < 0, 𝐸⊤𝑋𝐸 ≥ 0, (31)
де
Ω1 = 𝐴⊤𝑋𝐴− 𝐸⊤𝑋𝐸 + 𝐶⊤
1 𝑄𝐶1 + 𝐶⊤
2 𝑄0𝐶2,
Ω2 = 𝐴⊤𝑋𝐵1 + 𝐶⊤
1 𝑄𝐷11 + 𝐶⊤
2 𝑄0𝐷21,
Ω3 = 𝐴⊤𝑋𝐵2 + 𝐶⊤
1 𝑄𝐷12 + 𝐶⊤
2 𝑄0𝐷22,
Ω4 = 𝐵⊤
1 𝑋𝐵1 +𝐷⊤
11𝑄𝐷11 +𝐷⊤
21𝑄0𝐷21 − 𝛾2𝑃,
Ω5 = 𝐵⊤
1 𝑋𝐵2 +𝐷⊤
11𝑄𝐷12 +𝐷⊤
21𝑄0𝐷22,
Ω6 = 𝐵⊤
2 𝑋𝐵2 +𝐷⊤
12𝑄𝐷12 +𝐷⊤
22𝑄0𝐷22 − 𝑃0.
Тодi для довiльного керування (29) при 𝐾 ∈ 𝒦 замкнена система (30)
є допустимою i має критерiй якостi 𝐽0 < 𝛾. При цьому 𝐽 < 𝛾, якщо
разом зi (31) виконуються умови (14), (16) або
𝑋0 = 𝑋⊤
0 > 0, 0 ≤ 𝐸⊤𝑋𝐸 < 𝛾2𝑋0. (32)
96 Мазко О. Г.
Доведення теореми 5.1 безпосередньо випливає з лем 3.2, 3.3 i по-
дання виразу Ψ(𝑋) у лемi 3.2 для системи (30) у формi (2), де
𝑊 (𝑋) =
[︂
𝐴⊤𝑋𝐴−𝐸⊤𝑋𝐸+𝐶⊤
1 𝑄𝐶1 𝐴⊤𝑋𝐵1+𝐶
⊤
1 𝑄𝐷11
𝐵⊤
1 𝑋𝐴+𝐷⊤
11𝑄𝐶1 𝐵⊤
1 𝑋𝐵1 +𝐷⊤
11𝑄𝐷11 − 𝛾2𝑃
]︂
,
𝑈(𝑋) =
[︀
𝐵⊤
2 𝑋𝐴+𝐷⊤
12𝑄𝐶1, 𝐵⊤
2 𝑋𝐵1 +𝐷⊤
12𝑄𝐷11
]︀
, (33)
𝑉 =
[︀
𝐶2, 𝐷21
]︀
, 𝑅(𝑋) = 𝐵⊤
2 𝑋𝐵2 +𝐷⊤
12𝑄𝐷12, 𝐃(𝐾) = 𝐾0.
При цьому умова (2) зводиться до першої нерiвностi (31).
При застосуваннi теореми 5.1 необхiдно, щоб у вiдсутностi ке-
рування (𝑢𝑡 = 0) виконувалась оцiнка 𝐽0 < 𝛾, а в’язка матриць
𝐹 (𝜆) = 𝐴− 𝜆𝐸 була допустимою. Якщо це не так, то виникає задача
знаходження умов iснування керування (29), що забезпечує вказанi
властивостi замкненої системи. Для її розв’язання можна скориста-
тись лемою 2.4 для виразу (2) з матрицями (33). Зокрема, виконує-
ться таке твердження.
Теорема 5.2. Нехай iснує матриця 𝑋 = 𝑋⊤, що задовольняє спiв-
вiдношення (14), (16) i
𝑅(𝑋) > 0, 𝑊 (𝑋) < 𝑈⊤(𝑋)𝑅−1(𝑋)𝑈(𝑋), 𝑊⊤
𝑉 𝑊 (𝑋)𝑊𝑉 < 0. (34)
Тодi iснує керування (29), при якому замкнена система (30) є допу-
стимою i має критерiй якостi 𝐽 < 𝛾.
За умов теореми 5.2 матрицю шуканого регулятора (29) можна по-
будувати як 𝐾0 = 𝐾*(𝐼𝑙+𝐷22𝐾*)
−1, де 𝐾* — розв’язок квадратичної
матричної нерiвностi
𝑊 (𝑋) + 𝑈⊤(𝑋)𝐾*𝑉 (𝑋) + 𝑉 ⊤(𝑋)𝐾⊤
* 𝑈(𝑋) + 𝑉 ⊤𝐾⊤
* 𝑅(𝑋)𝐾*𝑉 < 0
(35)
iз матричними коефiцiєнтами (33).
Можна отримати аналог теорем 5.1 i 5.2 iз застосуванням динамi-
чних регуляторiв на основi подання замкненої системи у розширено-
му фазовому просторi у формi (30).
6 Приклад
Розглянемо лiнеаризовану дискретну модель гiдравлiчної системи зi
трьома послiдовно сполученими резервуарами [16], яка описується як
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 97
дескрипторна система керування (28) iз такими матрицями [17]:
𝐸 =
⎡⎣ 1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎤⎦ , 𝐴 =
⎡⎣ 0, 9692 0 0
0, 0095 0, 9867 0
1 2, 3328 1
⎤⎦ , 𝐵1 =
⎡⎣ 0, 02 0
0, 01 0
0 0
⎤⎦ ,
𝐵2 =
⎡⎣ 0, 056
0, 003
0
⎤⎦ , 𝐶1 =
[︀
0 1 0
]︀
, 𝐶2 =
[︂
1 0 0
0 1 0
]︂
,
𝐷11 =
[︀
0 0, 3
]︀
, 𝐷12 = 0, 𝐷21 = 02×2, 𝐷22 = 02×1.
У даному прикладi 𝑛 = 3, 𝑚 = 1, 𝑘 = 1, 𝑠 = 2 i 𝑙 = 2. Компоненти ве-
ктора стану 𝑥𝑡 =
[︀
𝑥1𝑡 , 𝑥
2
𝑡 , 𝑥
3
𝑡
]︀⊤ визначають рiвнi рiдини у вiдповiдних
резервуарах, вектор 𝑤𝑡 =
[︀
𝜉𝑡, 𝜂𝑡
]︀⊤ формують неконтрольованi збуре-
ння 𝜉𝑡 й похибки 𝜂𝑡 у вимiрах 𝑦𝑡 = 𝑥2𝑡 + 0, 3𝜂𝑡, а керування 𝑢𝑡, що
регулює рiвнi рiдини у перших двох резервуарах — це дебiт (потiк)
рiдини в насосi iз третього резервуара в перший (рис. 1).
Рис 1. Гiдравлiчна система з трьома резервуарами.
Для проведення чисельного експерименту обрано ваговi матрицi
критерiю якостi (7): 𝑃 = diag
{︀
0, 5; 1
}︀
, 𝑄 = 1 i 𝑋0 = 𝐸⊤𝐸. Для си-
стеми без керування маємо такi значення 𝐽0 = 1, 74522 i 𝐽 = 6, 35064,
знайденi згiдно з (19) на основi LMI Toolbox комп’ютерної системи
Matlab. За допомогою комп’ютерної системи PTC Mathcad Prime при
𝛾 = 3 знайдено матрицю
𝑋 =
⎡⎣ 0, 00004 −0, 00040 0, 00003
−0, 00040 1, 02571 0, 00248
0, 00003 0, 00248 −0, 07692
⎤⎦ ,
98 Мазко О. Г.
що задовольняє систему спiввiдношень (14), (16) i (34). Розв’язуючи
квадратичну матричну нерiвнiсть (35), побудовано статичний регу-
лятор (29) з вектором коефiцiєнтiв
𝐾 =
[︀
−1, 98623 −311, 56414
]︀
,
при якому замкнена система (30) має критерiї якостi 𝐽0 = 0, 30041
i 𝐽 = 1, 05131 < 𝛾, а вiдповiдна в’язка матриць 𝐹*(𝜆) = 𝐴* − 𝜆𝐸 зi
скiнченим спектром 𝜎(𝐹*) =
{︀
0, 77218, 0, 13780
}︀
допустима.
Рис 2. Поведiнка замкненої системи при найгiршому збуреннi.
Далi, розв’язуючи систему спiввiдношень (20), (21) i (25) стосовно
𝑋 при 𝛾 = 𝐽 , знайдено найгiршi структурований вектор зовнiшнiх
збурень
𝑤𝑡 = 𝐾0𝑥𝑡, 𝐾0 =
[︂
0 0, 01999 0
0 0, 29549 0
]︂
,
i початковий вектор 𝑥0 =
[︀
−0, 00015 0, 39405 −0, 91909
]︀⊤ стосов-
но критерiю якостi 𝐽 для замкненої системи (див лему 4.1).
На рис. 2 зображена поведiнка розв’язку замкненої системи
𝐸𝑥𝑡+1 = 𝐴0𝑥𝑡, 𝐴0 = 𝐴* +𝐵*𝐾0,
при найгiршому збуреннi. Даний розв’язок знайдено у формi 𝑥𝑡 =
𝑇𝑈 𝑡𝑧0, 𝑡 = 0, 1, . . . , де 𝑇 ∈ 𝑅𝑛×𝑟 i 𝑈 ∈ 𝑅𝑟×𝑟 — матрицi, що задоволь-
Зважена оцiнка гасiння обмежених збурень у дескрипторних . . . 99
Рис 3. Найгiрше збурення.
няють спiввiдношення
𝐴0𝑇 = 𝐸𝑇𝑈, rank𝑇 = 𝑟 = 2.
Рис. 3 демонструє поведiнку цього збурення пiд дiєю побудованого
статичного регулятора.
[1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. —
М.: Наука, 2002. — 303 с.
[2] Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гаранти-
рованные результаты в задачах управления и идентификации. — К.:
Наук. думка, 2006. — 264 с.
[3] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе
линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с.
[4] Белов А.А., Курдюков А.П. Дескрипторные системы и задачи управ-
ления. — М.: Физматлит, 2015. — 272 с.
[5] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A
Convex Approach. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — 419 p.
[6] Мазко А. Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических си-
стем. Методы матричных и конусных неравенств // Працi Iнституту
математики НАН України, 2016. — 102. — 332 с.
[7] Мазко А.Г., Кусий С.Н. Стабилизация по выходу и взвешенное подав-
ление возмущений в дискретных системах управления // Проблемы
управления и информатики. — 2017. — № 6. — С. 78–93.
100 Мазко О. Г.
[8] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное 𝐻∞-оптимальное управ-
ление как компромисс между 𝐻∞-оптимальным и 𝛾-оптимальным
управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — №6. — С.
20–38.
[9] Баландин Д.В., Коган М.М, Кривдина Л.Н., Федюков А.А. Синтез
обобщенного 𝐻∞-оптимального управления в дискретном времени на
конечном и бесконечном интервалах // Автоматика и телемеханика.
— 2014. — № 1. — С. 3–22.
[10] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control
Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. — Natick, MA: The
MathWorks, Inc., 1995. — 138 p.
[11] Воскобойников Ю. Е., Задорожный А. Ф. Основы вычислений и про-
граммирования в пакете MathCAD PRIME: Учебное пособие. — СПб.:
Изд-во “Лань”, 2016. — 224 с.
[12] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
[13] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to 𝐻∞
Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. —
P. 421 – 448.
[14] Hsiung K.-L., Lee L. Lyapunov inequality and bounded real lemma for
discrete-time descriptor systems // IEE Proc.– Control Theory Appl. —
1999. — 146, 4. — P. 327–331.
[15] Xu S., Yang C. 𝐻∞ state feedback control for discrete singular systems //
IEEE Transactions on Automatic Control. — 2000. — 45, 7. — P. 1405–
1409.
[16] Araujo J.M., Barros P.R., Dorea C.E.T. Design of Observers With Error
Limitation in Discrete-Time Descriptor Systems: A Case Study of a
Hydraulic Tank System // IEEE Trans. Control Syst. Technol. — 2012. —
20, 4. — P. 1041–1047.
[17] Belov A.A., Andrianova O.G., Kurdyukov A.P. Control of Discrete-Time
Descriptor Systems. An Anisotropy-Based Approach. Studies in Systems,
Decision and Control, vol. 157 (ed. J. Kacprzyk). — Gewerbestrasse: Spri-
nger International Publishing AG, 2018. — 169 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-397 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:44Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/9f/d7b2ba6118792c09e4098027cb4a779f.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3972020-08-09T15:01:39Z Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems Взвешенная оценка гашения ограниченных возмущений в дескрипторных дискретных системах управления Зважена оцінка гасіння обмежених збурень у дескрипторних дискретних системах керування Mazko, O.G. Мазко, А.Г. Мазко, О.Г. We establish necessary and sufficient conditions of the upper bounds for the performance criteria of linear discrete-time descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances.These conditions require to solve linear matrix equations (LMI).The technique of the generalized $H_\infty$-optimization of the descriptor systems with controlled and observed outputs as well as a method for finding the worst vectors of the external and initial perturbations with respect to the weighted quality criterion are proposed.An illustrative example of a discrete-time descriptor control system with perturbations is given. Встановлено необхiднi й достатнi умови виконання верхнiх оцiнок для критерiїв якостi лiнiйних дискретних дескрипторних систем, що характеризують зважений рiвень гасiння обмежених збурень. Перевiрка цих умов зводиться до розв’язування лінійних матричних нерiвностей (ЛМН). Запропоновано методику узагальненої $H_\infty$-оптимізації дескрипторних систем із керованими і спостережуваними виходами, а також знаходження найгірших векторів зовнішніх і початкових збурень стосовно зваженого критерію якості.Наведено ілюстративний приклад дискретної дескрипторної системи керування зі збуреннями. Встановлено необхiднi й достатнi умови виконання верхнiх оцiнок для критерiїв якостi лiнiйних дискретних дескрипторних систем, що характеризують зважений рiвень гасiння обмежених збурень. Перевiрка цих умов зводиться до розв’язування лінійних матричних нерiвностей (ЛМН). Запропоновано методику узагальненої $H_\infty$-оптимізації дескрипторних систем із керованими і спостережуваними виходами, а також знаходження найгірших векторів зовнішніх і початкових збурень стосовно зваженого критерію якості.Наведено ілюстративний приклад дискретної дескрипторної системи керування зі збуреннями. Інститут математики НАН України 2020-08-08 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/397 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 85-100 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 85-100 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 85-100 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/397/396 Авторське право (c) 2019 O.G. Mazko http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Mazko, O.G. Мазко, А.Г. Мазко, О.Г. Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| title | Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| title_alt | Взвешенная оценка гашения ограниченных возмущений в дескрипторных дискретных системах управления Зважена оцінка гасіння обмежених збурень у дескрипторних дискретних системах керування |
| title_full | Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| title_fullStr | Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| title_full_unstemmed | Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| title_short | Weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| title_sort | weighted estimation of damping of the limited perturbations in descriptive discrete control systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/397 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoog weightedestimationofdampingofthelimitedperturbationsindescriptivediscretecontrolsystems AT mazkoag weightedestimationofdampingofthelimitedperturbationsindescriptivediscretecontrolsystems AT mazkoog weightedestimationofdampingofthelimitedperturbationsindescriptivediscretecontrolsystems AT mazkoog vzvešennaâocenkagašeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhdiskretnyhsistemahupravleniâ AT mazkoag vzvešennaâocenkagašeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhdiskretnyhsistemahupravleniâ AT mazkoog vzvešennaâocenkagašeniâograničennyhvozmuŝenijvdeskriptornyhdiskretnyhsistemahupravleniâ AT mazkoog zvaženaocínkagasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihdiskretnihsistemahkeruvannâ AT mazkoag zvaženaocínkagasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihdiskretnihsistemahkeruvannâ AT mazkoog zvaženaocínkagasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihdiskretnihsistemahkeruvannâ |