Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix
The paper considers functions, which are defined by $$F(x)=\overline{\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}^2={\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}=y,$$where $\overline{\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}^2=\frac{2}{3}+\frac{\alpha_1}{(-2)^1}+\frac{\alpha_2}{(-2)^2}+\frac{\alpha_3}{(-2)^3}+\ldo...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/398 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552899187310592 |
|---|---|
| author | Markitan, V.P. Маркитан, В.П. Маркітан, В.П. |
| author_facet | Markitan, V.P. Маркитан, В.П. Маркітан, В.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V.P. Markitan",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Markitan, V.P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T15:01:39Z |
| description | The paper considers functions, which are defined by $$F(x)=\overline{\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}^2={\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}=y,$$where $\overline{\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}^2=\frac{2}{3}+\frac{\alpha_1}{(-2)^1}+\frac{\alpha_2}{(-2)^2}+\frac{\alpha_3}{(-2)^3}+\ldots$ is the binary nega-positional representation of the number on the interval $[0; 1]$,${\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}$ is the Markov representation determined by the positive doubly-stochastic matrix$$\|p_{ik}\|=\begin{pmatrix}p_{00} & p_{01}\\p_{10} & p_{11}\end{pmatrix}.$$The singularity and self-similar properties of the functions are established. Functional relations between them are found. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 101–120
УДК 511.7+517.5
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi
визначаються збiжним рядом i двiчi
стохастичною матрицею
В.П. Маркiтан
Iнститут математики НАН України, Київ;
v.p.markitan@npu.edu.ua
The paper considers functions, which are defined by
𝐹 (𝑥) = Δ
2
𝑎1(𝑥)𝑎2(𝑥)...𝑎𝑛(𝑥)... = Δ𝑎1(𝑥)𝑎2(𝑥)...𝑎𝑛(𝑥)... = 𝑦,
where Δ
2
𝑎1𝑎2...𝑎𝑛... =
2
3
+ 𝛼1
(−2)1
+ 𝛼2
(−2)2
+ 𝛼3
(−2)3
+ . . . is the binary nega-
positional representation of the number on the interval [0; 1], Δ𝑎1𝑎2...𝑎𝑛...
is the Markov representation determined by the positive doubly-stochastic
matrix
‖𝑝𝑖𝑘‖ =
(︂
𝑝00 𝑝01
𝑝10 𝑝11
)︂
.
The singularity and self-similar properties of the functions are established.
Functional relations between them are found.
Використовуючи двi двосимвольнi системи зображення дробової ча-
стини дiйсного числа (нега-двiйкову й марковську), дослiджуються
функцiї, означенi рiвнiстю
𝐹 (𝑥) = Δ
2
𝑎1(𝑥)𝑎2(𝑥)...𝑎𝑛(𝑥)... = Δ𝑎1(𝑥)𝑎2(𝑥)...𝑎𝑛(𝑥)... = 𝑦,
де Δ
2
𝑎1𝑎2...𝑎𝑛... =
2
3
+ 𝛼1
(−2)1
+ 𝛼2
(−2)2
+ 𝛼3
(−2)3
+ . . . – нега-двiйкове зображен-
ня, Δ𝑎1𝑎2...𝑎𝑛... – марковське зображення, визначене двiчi стохастичною
матрицею
‖𝑝𝑖𝑘‖ =
(︂
𝑝00 𝑝01
𝑝10 𝑝11
)︂
.
Встановлюється факт їхньої сингулярностi й автомодельнi властивостi;
наводяться функцiональнi спiввiдношення, якi вони задовольняють.
c○ Маркiтан В. П., 2019
102 Маркiтан В. П.
Вступ
Сингулярно неперервнi функцiї, пов’язанi з ланцюгами Маркова, є
актуальним об’єктом дослiдження для теорiї розподiлiв випадкових
величин (зокрема нескiнченних згорток Бернуллi), теорiї функцiй, а
також фрактального аналiзу функцiй i ймовiрнiсних мiр [2, 6, 7]. Iн-
терес до них пiдвищується завдяки розвитку геометрiї числових ря-
дiв, яка вивчає тополого-метричнi i фрактальнi властивостi множин
неповних сум абсолютно збiжних числових рядiв, їхнi арифметичнi
суми тощо. Потужним iнструментом (знаряддям) розвитку теорiї не-
перервних функцiй iз неоднорiдною локальною поведiнкою, з всюди
розривними зi всюди щiльними множинами особливостей рiзного ро-
ду є рiзнi зображення дiйсних чисел у тiй чи iншiй системi їхнього
кодування засобами як скiнченного, так i нескiнченного, як сталого,
так i змiнного алфавiтiв.
У цiй роботi використовуються двi двосимвольнi топологiчно еквi-
валентнi системи кодування чисел засобами алфавiту 𝐴 = {0, 1}, а са-
ме: нега-двiйкову, яка насправдi дає перекодування класичного двiй-
кового зображення чисел, а також марковське зображення [1], яке
визначається двiчi стохастичною матрицею, для задання i вивчення
функцiї, яка отримується прямим проектуванням цифр першого зо-
браження у цифри другого зображення.
1 Об’єкт дослiдження
Вважаємо заданими:
1) 1 = 2
3 +
∞∑︀
𝑛=1
1
(−2)𝑛 = 2
3 − 1
2 + 1
22 − 1
23 + . . . – нормований знако-
почережний двiйковий ряд, який визначає нега-двiйкове зображення
чисел вiдрiзка [0; 1]:
𝑥 =
2
3
+
𝛼1(𝑥)
(−2)1
+
𝛼2(𝑥)
(−2)2
+
𝛼3(𝑥)
(−2)3
+ . . .+ ≡ Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...;
2) додатна двiчi стохастична матриця
‖𝑝𝑖𝑘‖ =
(︂
𝑝00 𝑝01
𝑝10 𝑝11
)︂
,
тобто 𝑝𝑖𝑗 > 0, 𝑝𝑖0 + 𝑝𝑖1 = 1, 𝑝0𝑗 + 𝑝1𝑗 = 1, 𝑖 = 0, 1, 𝑗 = 0, 1;
3) вектор 𝑝 = (𝑝0; 𝑝1), 𝑝0 = 𝑝10
𝑝01+𝑝10
= 1
2 i 𝑝1 = 𝑝01
𝑝01+𝑝10
= 1
2 .
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 103
Вiдомо [5], що нега-двiйкове зображення числа є перекодуванням
класичного двiйкового зображення:
𝑥 =
𝑎1
2
+
𝑎2
22
+ . . .+
𝑎𝑛
2𝑛
+ . . . ≡ Δ2
𝑎1(𝑥)𝑎2(𝑥)...𝑎𝑛(𝑥)...
, 𝑎𝑛 ∈ {0; 1},
оскiльки
𝑥 = Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... = Δ2
[1−𝛼1(𝑥)]𝛼2(𝑥)...[1−𝛼2𝑘−1(𝑥)]𝛼2𝑘(𝑥)...
.
Розглядається функцiя 𝐹 , означена рiвнiстю
𝐹 (𝑥) = 𝐹 (Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...) =
𝛽𝛼1(𝑥) +
1
2
∞∑︁
𝑘=1
(𝛽
(𝑘)
𝛼𝑘(𝑥)𝛼𝑘+1(𝑥)
𝑘−1∏︁
𝑖=1
𝑝𝛼𝑖(𝑥)𝛼𝑖+1(𝑥)), де (1)
𝛽𝛼1(𝑥) =
{︂
0, якщо 𝛼1(𝑥) = 1,
1
2
, якщо 𝛼1(𝑥) = 0,
𝛽
(2𝑛−1)
𝛼2𝑛−1(𝑥)𝛼2𝑛(𝑥) = 𝛽
(1)
𝛼2𝑛−1(𝑥)𝛼2𝑛(𝑥) =
⎧⎨⎩
0, якщо 𝛼2𝑛(𝑥) = 0,
𝑝00, якщо 𝛼2𝑛−1(𝑥) ̸= 𝛼2𝑛(𝑥) = 1,
𝑝10, якщо 𝛼2𝑛−1(𝑥) = 𝛼2𝑛(𝑥) = 1,
𝛽
(2𝑛)
𝛼2𝑛(𝑥)𝛼2𝑛+1(𝑥)
= 𝛽
(0)
𝛼2𝑛(𝑥)𝛼2𝑛+1(𝑥)
=
⎧⎨⎩
0, якщо 𝛼2𝑛+1(𝑥) = 1,
𝑝01, якщо 𝛼2𝑛(𝑥) = 𝛼2𝑛+1(𝑥) = 0,
𝑝00, якщо 𝛼2𝑛(𝑥) ̸= 𝛼2𝑛+1(𝑥) = 0,
i 𝛼𝑘(𝑥) є 𝑘-ою нега-двiйковою цифрою зображення числа 𝑥.
2 Задачi та результати
Означення 2.1. Нехай (𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑚)− упорядкований набiр 0 й 1.
Цилiндром рангу 𝑚 iз основою 𝑐1𝑐2 . . . 𝑐𝑚 називається множина
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 чисел 𝑥 ∈ [0; 1], першi 𝑚 цифр нега-двiйкового зображення
яких є 𝑐1, 𝑐2, . . . , 𝑐𝑚 вiдповiдно, тобто
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚... =
{︁
𝑥 : 𝑥 = Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚𝑎𝑚+1𝑎𝑚+2..., 𝑎𝑚+𝑖 ∈ {0; 1}, 𝑖 = 1, 2, 3, . . .
}︁
.
Лема 2.1. Для функцiї 𝐹 , означеної рiвнiстю (1), образом цилiндра
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 нега-двiйкового зображення є вiдрiзок [𝑎; 𝑏], де
𝑎 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠ , 𝑏 = 𝑎+
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
104 Маркiтан В. П.
Доведення. Зрозумiло, що 𝑚 може бути як парним, так i непарним.
Нехай 𝑚 = 2𝑘 − 1. Тодi Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = [Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01);Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10)] i
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01)) = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
+
1
2
𝛽
(1)
𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(0)
01
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(1)
10
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+ . . . =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+ 0 + 0 + . . . =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠ .
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10)) = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
+
1
2
𝛽
(1)
𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(0)
10
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(1)
01
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
. . . = 𝛽𝑐1+
+
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝑝𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝑝00𝑝𝑐𝑚1·
·
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝑝00𝑝𝑐𝑚1𝑝01
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+ . . . = 𝛽𝑐1+
+
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝑝𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝑝00𝑝𝑐𝑚1·
·(1 + 𝑝10 + 𝑝210 + . . .)
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 105
+
1
2
𝑝𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝑝00𝑝𝑐𝑚1
1
1− 𝑝10
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
=
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
Нехай 𝑚 = 2𝑘. Тодi Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 = [Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10);Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01)] i
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10)) = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
+
1
2
𝛽
(0)
𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(1)
10
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(0)
01
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+ . . . = 𝛽𝑐1+
+
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+ 0 + 0 + . . . =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠ .
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01)) = 𝛽𝑐1+
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝛽
(0)
𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
+
1
2
𝛽
(1)
01
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 +
1
2
𝛽
(0)
10
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 . . . = 𝛽𝑐1+
+
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠++
1
2
𝑝0[1−𝑐𝑚]
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝑝00𝑝𝑐𝑚0·
·
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝑝00𝑝𝑐𝑚0𝑝01
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+ . . . =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
106 Маркiтан В. П.
Покажемо, що для будь-якої точки 𝑥 ∈ Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 значення функцiї
𝐹 (𝑥) належить [𝑎; 𝑏]. Так, нехай 𝑥 = Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚..., причому
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10) ̸= 𝑥 ̸= Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01).
Маємо
𝐹 (𝑥) = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
+ 𝛽(𝑚)
𝑐𝑚𝑐𝑚+1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+ 𝛽(𝑚+1)
𝑐𝑚+1𝑐𝑚+2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+ . . . = 𝑎+ 𝐶.
Припустимо, що 𝐶 = 0, що вiдповiдно означає, що 𝑥 є однiєю з точок
(Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10) або Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01)), що неможливо у зв’язку з накладеною
вище умовою, тому 𝐶 > 0, а отже, 𝑎 < 𝐹 (𝑥).
Покажемо, що 𝐹 (𝑥) < 𝑏. Розглянемо кожен iз можливих випадкiв
для для Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 :
1) 𝑚 = 2𝑘 − 1. Маємо 𝑏 = 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10)). Розглянемо рiзницю
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10))− 𝐹 (𝑥) i покажемо, що вона додатна. Справдi,
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10))− 𝐹 (𝑥) = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝛽
(1)
𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(0)
10
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽
(1)
01
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
. . .−
−(𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝛽(1)
𝑐𝑚[𝑚+1]
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
+
1
2
𝛽(0)
𝑐[𝑚+1][𝑚+2]
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
1
2
𝛽(1)
𝑐[𝑚+2][𝑚+3]
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
. . .) =
=
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
((𝛽
(1)
𝑐𝑚1 − 𝛽(1)
𝑐𝑚[𝑚+1]
) + (𝛽
(0)
10 𝑞𝑐𝑚1 − 𝛽(0)
𝑐[𝑚+1][𝑚+2]
𝑞𝑐𝑚[𝑚+1]
)+
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 107
+(𝛽
(1)
10 𝑞𝑐𝑚1𝑞10 − 𝛽(1)
𝑐[𝑚+2][𝑚+3]
𝑞𝑐𝑚[𝑚+1]
𝑞𝑐[𝑚+1][𝑚+2]
) + . . .) > 0,
оскiльки принаймнi в однiй iз дужок останнього виразу рiзниця буде
додатна. Це означає, що 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10)) > 𝐹 (𝑥), тобто 𝑏 > 𝐹 (𝑥).
2) 𝑚 = 2𝑘. Маємо 𝑏 = 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01)).
Розглянемо рiзницю 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01)) − 𝐹 (𝑥) i покажемо, що вона
додатна. Справдi,
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(01))− 𝐹 (𝑥) = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝛽
(0)
𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 +
1
2
𝛽
(1)
01
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 +
1
2
𝛽
(0)
10
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 . . .−
−(𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
⎛⎝𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
⎞⎠+
1
2
𝛽(0)
𝑐𝑚[𝑚+1]
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
+
+
1
2
𝛽(1)
𝑐[𝑚+1][𝑚+2]
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 +
1
2
𝛽(0)
𝑐[𝑚+2][𝑚+3]
𝑚+1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 . . .) =
=
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1((𝛽
(0)
𝑐𝑚0 − 𝛽(0)
𝑐𝑚[𝑚+1]
) + (𝛽
(1)
01 𝑞𝑐𝑚1 − 𝛽(1)
𝑐[𝑚+1][𝑚+2]
𝑞𝑐𝑚[𝑚+1]
)+
+(𝛽
(0)
01 𝑞𝑐𝑚1𝑞01 − 𝛽(0)
𝑐[𝑚+2][𝑚+3]
𝑞𝑐𝑚[𝑚+1]
𝑞𝑐[𝑚+1][𝑚+2]
) + . . .) > 0,
оскiльки принаймнi в однiй iз дужок останнього виразу рiзниця буде
додатна. Це означає, що 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚(10)) > 𝐹 (𝑥), тобто 𝑏 > 𝐹 (𝑥).
Лему доведено.
Теорема 2.1. Образи рiзних цилiндрiв одного рангу при вiдображен-
нi 𝐹 не перекриваються i в об’єднаннi дають увесь вiдрiзок [0, 1].
Доведення. Розглянемо цилiндри першого рангу: Δ
2
0 та Δ
2
1. Згiдно з
лемою (2.1) маємо
𝐹 (Δ
2
0) = [𝑎1, 𝑏1], де 𝑎1 = 𝛽0 =
1
2
, 𝑏1 = 𝑎1 +
1
2
= 1;
108 Маркiтан В. П.
𝐹 (Δ
2
1) = [𝑎2, 𝑏2], де 𝑎2 = 𝛽1 = 0, 𝑏2 = 𝑎2 +
1
2
=
1
2
;
звiдки 𝐹 (Δ
2
0) ∩ 𝐹 (Δ
2
1) = [12 , 1] ∩ [0, 12 ] =
1
2 i 𝐹 (Δ
2
0) ∪ 𝐹 (Δ
2
1) = [ 12 , 1] ∪
∪[0, 12 ] = [0, 1].
Розглянемо цилiндри другого рангу: Δ
2
00, Δ
2
01, Δ
2
10, Δ
2
11.
Згiдно з лемою (2.1) маємо
𝐹 (Δ
2
00) = [𝑐1, 𝑑1], де 𝑐1 = 𝛽0+
1
2
𝛽
(1)
00 =
1
2
+0 =
1
2
, 𝑑1 = 𝑐1+
1
2
𝑞00 =
1
2
+
𝑝00
2
;
𝐹 (Δ
2
01) = [𝑐2, 𝑑2], де 𝑐2 = 𝛽0 +
1
2
𝛽
(1)
01 =
1
2
+
𝑝00
2
, 𝑑2 = 𝑐2 +
1
2
𝑞01 =
=
1
2
+
𝑝00
2
+
𝑝00
2
= 1;
𝐹 (Δ
2
10) = [𝑐3, 𝑑3], де 𝑐3 = 𝛽1 +
1
2
𝛽
(1)
10 = 0 + 0 = 0, 𝑑3 = 𝑐3 +
1
2
𝑞10 =
= 0 +
1
2
𝑝10 =
1
2
𝑝01;
𝐹 (Δ
2
11) = [𝑐4, 𝑑4], де 𝑐4 = 𝛽1+
1
2
𝛽
(1)
11 = 0+
1
2
𝑝10 =
1
2
𝑝01, 𝑑4 = 𝑐4+
1
2
𝑞11 =
=
1
2
𝑝01 +
1
2
𝑝00 =
1
2
,
звiдки 𝐹 (Δ
2
00) ∩ 𝐹 (Δ
2
01) = [ 1
2
, 1
2
+ 𝑝00
2
] ∩ [ 1
2
+ 𝑝00
2
, 1] = 1
2
+ 𝑝00
2
,
𝐹 (Δ
2
11) ∩ 𝐹 (Δ
2
10) = [
1
2
𝑝10,
1
2
] ∩ [0,
1
2
𝑝10] =
1
2
𝑝10,
𝐹 (Δ
2
11) ∩ 𝐹 (Δ
2
00) = 𝐹 (Δ
2
10) ∩ 𝐹 (Δ
2
01) = 𝐹 (Δ
2
10) ∩ 𝐹 (Δ
2
11) = ∅
та 𝐹 (Δ
2
00) ∪ 𝐹 (Δ
2
01) ∪ 𝐹 (Δ
2
10) ∪ 𝐹 (Δ
2
10) = [0, 1].
Для повного доведення твердження досить показати, що цилiндри
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 i Δ2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1
не перекриваються.
Дiйсно, при 𝑚 = 2𝑘 − 1 маємо 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0) = [𝑎, 𝑏], де
𝑎 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝛽
(1)
𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1+
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 109
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
,
𝑏 = 𝑎+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝑝𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 =
𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝛽
(1)
𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1) = [𝑐, 𝑑], де
𝑐 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝛽
(1)
𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
,
𝑑 = 𝑐+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
Враховуючи геометрiю цилiндрiв (Δ2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 злiва вiд Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1) i 𝑏 =
𝑐, маємо, що цилiндри Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 та Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1 не перекриваються для 𝑚 =
2𝑘 − 1.
При 𝑚 = 2𝑘 маємо 𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0) = [𝑎, 𝑏], де
𝑎 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝛽
(0)
𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1+
+
1
2
𝑚∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
,
𝑏 = 𝑎+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
𝐹 (Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1) = [𝑐, 𝑑], де
𝑐 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝛽
(0)
𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1+
110 Маркiтан В. П.
+
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
,
𝑑 = 𝑐+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 = 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝑚∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝑝𝑐𝑚1
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 =
= 𝛽𝑐1 +
1
2
𝑚−1∑︁
𝑘=1
(︃
𝛽(𝑘)
𝑐𝑘𝑐𝑘+1
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1
)︃
+
1
2
𝛽
(0)
𝑐𝑚0
𝑚−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝑐𝑗𝑐𝑗+1 .
Враховуючи геометрiю цилiндрiв (Δ2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 справа вiд Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1) i
𝑑 = 𝑎, маємо, що цилiндри Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚0 та Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚1 не перекриваються для
𝑚 = 2𝑘. Теорему доведено.
Теорема 2.2. Функцiя 𝐹 (𝑥), означена рiвнiстю (1), є:
1) коректно означеною,
2) неперервною,
3) строго зростаючою,
4) причому лiнiйною при 𝑝00 = 0, 5 i сингулярною при 𝑝00 ̸= 0, 5
(має похiдну, яка дорiвнює нулю майже скрiзь у розумiннi мiри Ле-
бега).
Доведення. 1) Збiжнiсть ряду (1), що є виразом функцiї, очевидна.
Оскiльки числа зi злiченної пiдмножини вiдрiзка [0; 1] мають два
нега-двiйковi зображення
Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01) i Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10),
то коректнiсть могла би порушитись, якби вираз функцiї 𝐹 (𝑥) вiд
двох рiзних зображень того самого числа набував рiзних значень.
Покажемо, що це не так.
Введемо позначення
𝐴 = 𝑝𝛼1
𝑝𝛼1𝛼2
𝑝𝛼2𝛼3
. . . 𝑝𝛼𝑚−1𝛼𝑚
i розглянемо рiзницю
𝛿 ≡ 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01))− 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10)).
Покажемо, що ця рiзниця дорiвнює 0.
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 111
Розглянемо значення виразу 𝛿 для кожного з можливих випадкiв.
1. Нехай 𝑚 = 2𝑛− 1, 𝑛 ∈ ℕ. Тодi маємо
𝛿 = 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01))− 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10)) =
= 𝐴[𝛽
(1)
𝛼𝑚0 + 𝛽
(0)
00 𝑝𝛼𝑚0 + 𝛽
(1)
01 𝑝𝛼𝑚0𝑝00 + 𝛽
(0)
10 𝑝𝛼𝑚0𝑝00𝑝01+
+𝛽
(1)
01 𝑝𝛼𝑚0𝑝00𝑝01𝑝10 + . . .− (𝛽
(1)
𝛼𝑚1 + 𝛽
(0)
11 𝑝𝛼𝑚1+
+𝛽
(1)
10 𝑝𝛼𝑚1𝑝11 + 𝛽
(0)
01 𝑝𝛼𝑚1𝑝11𝑝01 + 𝛽
(1)
10 𝑝𝛼𝑚1𝑝11𝑝10𝑝01 + . . .)] =
= 𝐴[0 + 𝑝𝛼𝑚0(𝑝01 + 𝑝00𝑝00 + 𝑝00𝑝00𝑝01 + 𝑝00𝑝00𝑝01𝑝10 . . .)−
−(𝛽
(1)
𝛼𝑚1 + 0 + 0 + 0 + . . .)] = 𝐴[𝑝𝛼𝑚0(𝑝01 +
𝑝200
1− 𝑝01
)− 𝛽
(1)
𝛼𝑚1] =
= 𝐴[𝑝𝛼𝑚0 − 𝛽
(1)
𝛼𝑚1].
При 𝛼𝑚 = 0 отримуємо 𝑝𝛼𝑚0 − 𝛽
(1)
𝛼𝑚1 = 𝑝00 − 𝛽
(1)
01 = 𝑝00 − 𝑝00 = 0, а
при 𝛼𝑚 = 1 – 𝑝𝛼𝑚0 − 𝛽
(1)
𝛼𝑚1 = 𝑝10 − 𝛽
(1)
11 = 𝑝10 − 𝑝01 = 0. Тому
𝛿 = 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01))− 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10)) = 0.
2. Нехай 𝑚 = 2𝑛, 𝑛 ∈ ℕ. Тодi маємо
𝛿 = 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01))− 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10)) =
= 𝐴[𝛽
(0)
𝛼𝑚0 + 𝛽
(1)
00 𝑝𝛼𝑚0 + 𝛽
(0)
01 𝑝𝛼𝑚0𝑝00 + 𝛽
(1)
10 𝑝𝛼𝑚0𝑝00𝑝01+
+𝛽
(1)
01 𝑝𝛼𝑚0𝑝00𝑝01𝑝10 + . . .− (𝛽
(0)
𝛼𝑚1 + 𝛽
(1)
11 𝑝𝛼𝑚1 + 𝛽
(0)
10 𝑝𝛼𝑚1𝑝11+
+𝛽
(1)
01 𝑝𝛼𝑚1𝑝11𝑝01 + 𝛽
(0)
10 𝑝𝛼𝑚1𝑝11𝑝10𝑝01 + . . .)] == 𝐴[𝛽
(0)
𝛼𝑚0 + 0 + 0+
+0 + 0− (0 + 𝑝𝛼𝑚1(𝑝10 + 𝑝00𝑝11 + 𝑝00𝑝11𝑝10 + 𝑝00𝑝11𝑝10𝑝01 . . .)] =
= 𝐴[𝛽
(0)
𝛼𝑚0 − 𝑝𝛼𝑚1(𝑝10 +
𝑝211
1− 𝑝10
)] = 𝐴[𝛽
(0)
𝛼𝑚0 − 𝑝𝛼𝑚1],
звiдки за умови 𝛼𝑚 = 0 маємо 𝛽(0)
𝛼𝑚0−𝑝𝛼𝑚1 = 𝛽
(0)
00 −𝑝01 = 𝑝01−𝑝01 = 0.
Якщо 𝛼𝑚 = 1, то 𝛽(0)
𝛼𝑚0 − 𝑝𝛼𝑚1 = 𝛽
(0)
10 − 𝑝11 = 𝑝00 − 𝑝11 = 𝑝11 − 𝑝11 = 0.
Тому
𝛿 = 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01))− 𝐹 (Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10)) = 0
i функцiя 𝐹 (𝑥) є коректно означеною.
112 Маркiтан В. П.
2) Нехай 𝑥0 = Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... – довiльне число з [0; 1]. Для
доведення неперервностi 𝐹 у точцi 𝑥0 досить показати, що
lim
𝑥→𝑥0
|𝐹 (𝑥)− 𝐹 (𝑥0)| = 0.
1. Спочатку розглянемо випадок, коли 𝑥0 — нега-двiйково-iррацiо-
нальна точка. Для довiльного 𝑥 ∈ [0, 1], 𝑥 ̸= 𝑥0, iснує 𝑚 = 𝑚(𝑥), таке,
що {︃
𝛼𝑖(𝑥) = 𝛼𝑖(𝑥0), 𝑖 = 1,𝑚− 1,
𝛼𝑚(𝑥) ̸= 𝛼𝑚(𝑥0).
Тодi
𝐹 (𝑥)− 𝐹 (𝑥0) =
1
2
(︃
𝑚−1∏︁
𝑖=1
𝑝𝛼𝑖(𝑥0)𝛼𝑖+1(𝑥0)
)︃
·
·
⎛⎝𝛽(𝑚)
𝛼𝑚(𝑥)𝛼𝑚+1(𝑥)
+
∞∑︁
𝑘=𝑚+1
𝛽
(𝑘)
𝛼𝑘(𝑥)𝛼𝑘+1(𝑥)
𝑘−1∏︁
𝑗=𝑚
𝑝𝛼𝑖(𝑥)𝛼𝑖+1(𝑥)
⎞⎠−
− 1
2
(︃
𝑚−1∏︁
𝑖=1
𝑝𝛼𝑖(𝑥0)𝛼𝑖+1(𝑥0)
)︃
·
·
⎛⎝𝛽(𝑚)
𝛼𝑚(𝑥0)𝛼𝑚+1(𝑥0)
+
∞∑︁
𝑘=𝑚+1
𝛽
(𝑘)
𝛼𝑘(𝑥0)𝛼𝑘+1(𝑥0)
𝑘−1∏︁
𝑗=𝑚
𝑝𝛼𝑖(𝑥0)𝛼𝑖+1(𝑥0)
⎞⎠ =
=
1
2
(︃
𝑚−1∏︁
𝑖=1
𝑝𝛼𝑖(𝑥0)𝛼𝑖+1(𝑥0)
)︃
(𝐶1 − 𝐶2) → 0 при 𝑚→ ∞,
де 0 ≤ 𝐶1 = 𝛽𝛼𝑚(𝑥)𝛼𝑚+1(𝑥) + 𝛽𝛼𝑚+1(𝑥)𝛼𝑚+2(𝑥)𝑝𝛼𝑚(𝑥)𝛼𝑚+1(𝑥) + . . . < 1,
0 ≤ 𝐶2 = 𝛽𝛼𝑚(𝑥0)𝛼𝑚+1(𝑥0)+𝛽𝛼𝑚+1(𝑥0)𝛼𝑚+2(𝑥)𝑝𝛼𝑚(𝑥0)𝛼𝑚+1(𝑥0)+. . . < 1.
Отже,
lim
𝑥→𝑥0
𝐹 (𝑥) = 𝐹 (𝑥0)
i функцiя 𝐹 (𝑥) є неперервною у точцi 𝑥0 за означенням.
2. У випадку, коли 𝑥0 — нега-двiйково-рацiональна точка, тобто
Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚0(01) = Δ
2
𝛼1𝛼2...𝛼𝑚1(10),
можна скористатись мiркуваннями з пункту 1, але при розглядi си-
туацiї, коли 𝑥 прямує до 𝑥0 злiва, досить скористатися зображенням
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 113
числа 𝑥0 iз перiодом (10), а коли 𝑥 прямує до 𝑥0 справа — з перiодом
(01).
3) Щоб показати, що 𝐹 (𝑥) строго зростає, досить довести, що при-
рiст 𝑢𝐹
(︁
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
)︁
функцiї 𝐹 на цилiндрi Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚 є додатним.
Справдi,
𝑢𝐹
(︁
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
)︁
=
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=𝑚
𝑝𝑐𝑖𝑐𝑖+1
> 0
i функцiя 𝐹 строго зростає.
4) Покажемо, що при 𝑝00 = 0, 5 функцiя 𝐹 (𝑥) є лiнiйною.
Оскiльки 𝑝00 = 0, 5, то, враховуючи двiчi стохастичнiсть матрицi,
𝑝01 = 𝑝10 = 𝑝11 = 𝑝0 + 𝑝1 = 0, 5
Прирiст функцiї 𝐹 на цилiндрi 𝜇𝐹
(︁
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
)︁
збiгається з його
довжиною. Справдi,
𝜇𝐹
(︁
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
)︁
=
1
2
𝑚−1∏︁
𝑗=𝑚
𝑝𝑐𝑖𝑐𝑖+1 =
1
2𝑚
=
⃒⃒⃒
Δ
2
𝑐1𝑐2...𝑐𝑚
⃒⃒⃒
.
А це означає, що функцiя 𝐹 (𝑥) лiнiйна, причому 𝐹 (𝑥) = 𝑥.
Покажемо, що при 𝑝00 ̸= 0, 5 функцiя 𝐹 (𝑥) є сингулярною, тобто
має похiдну, яка дорiвнює нулю майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега.
Справдi, якщо похiдна функцiї 𝐹 ′(𝑥) iснує в точцi 𝑥0, то
𝐹 ′(𝑥0) = lim
𝑘→∞
𝜇𝐹
(︁
Δ
2
𝛼1(𝑥0)𝛼2(𝑥0)...𝛼𝑘(𝑥0)
)︁
|Δ2
𝛼1(𝑥0)...𝛼𝑘(𝑥0)|
,
але
𝜇𝐹
(︁
Δ
2
𝛼1(𝑥0)𝛼2(𝑥0)...𝛼𝑘(𝑥0)
)︁
=
1
2
𝑘−1∏︁
𝑗=1
𝑝𝛼𝑗(𝑥0)𝛼𝑗+1(𝑥0),
а
|Δ2
𝛼1(𝑥0)...𝛼𝑘(𝑥0)| =
1
2𝑘
.
Звiдки й випливає
𝐹 ′(𝑥0) =
∞∏︁
𝑗=1
[︀
2𝑝𝛼𝑗(𝑥0)𝛼𝑗+1(𝑥0)
]︀
= 0, (2)
114 Маркiтан В. П.
оскiльки згiдно з теоремою Лебега кожна неперервна монотонна фун-
кцiя має скiнченну похiдну майже скрiзь, а необхiдна умова збiжностi
нескiнченного добутку (прямування 𝑛-го члена до 1) не виконується.
Отже, при 𝑝00 ̸= 0, 5 функцiя 𝐹 (𝑥) сингулярна. Теорему доведено.
Теорема 2.3. Функцiя 𝑦 = 𝐹 (𝑥), означена рiвнiстю (1), є функцiєю
розподiлу випадкової величини 𝜉, цифри 𝜉𝑘 нега-двiйкового зображе-
ння Δ
2
𝜉1𝜉2𝜉3𝜉4...𝜉𝑛... якої є випадковими величинами, якi набувають
значень 0 i 1 i утворюють однорiдний ланцюг Маркова з початко-
вими ймовiрностями 1
2 й 1
2 i матрицею перехiдних iмовiрностей
‖𝑝𝑖𝑘‖ =
(︂
𝑝00 𝑝01
𝑝10 𝑝11
)︂
.
Доведення. Знайдемо вираз функцiї розподiлу 𝐹𝜉 випадкової величи-
ни 𝜉. Оскiльки згiдно з означенням 𝐹𝜉(𝑥) = 𝑃{𝜉 < 𝑥}, то проаналiзу-
ємо подiю {𝜉 < 𝑥} i виразимо її ймовiрнiсть. Враховуючи геометрiю
нега-двiйкового зображення чисел (𝑥 = Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...), маємо
{𝜉 < 𝑥} = {𝜉1 > 𝛼1(𝑥)} ∪ {𝜉1 = 𝑎1(𝑥) ∧ 𝜉2 < 𝛼2(𝑥)} ∪ . . .
∪{𝜉𝑖 = 𝛼𝑖(𝑥), при 𝑖 = 1, 2𝑘 − 1 ∧ 𝜉2𝑘 < 𝛼2𝑘(𝑥)}∪
∪{𝜉𝑖 = 𝛼𝑖(𝑥), при 𝑖 = 1, 2𝑘 ∧ 𝜉2𝑘+1 > 𝛼2𝑘+1(𝑥)} ∪ . . . ,
де подiї у правiй частинi рiвностi попарно несумiснi. Тому:
𝐹𝜉(𝑥) = 𝑃 {𝜉 < 𝑥} = 𝑃
{︀
{𝜉1 > 𝛼1(𝑥)} ∪ {𝜉1 = 𝛼1(𝑥) ∧ 𝜉2 < 𝛼2(𝑥)}∪
∪ {𝜉𝑖 = 𝛼𝑖(𝑥), при 𝑖 = 1, 2𝑘 − 1 ∧ 𝜉2𝑘 < 𝛼2𝑘(𝑥)}∪
∪ {𝜉𝑖 = 𝛼𝑖(𝑥), при 𝑖 = 1, 2𝑘 ∧ 𝜉2𝑘+1 > 𝛼2𝑘+1(𝑥)} ∪ . . .
}︀
=
= 𝑃 {𝜉1 > 𝛼1(𝑥)}++𝑃 {𝜉1 = 𝛼1(𝑥) ∧ 𝜉2 < 𝛼2(𝑥)}+ . . .+𝑃{𝜉𝑖 = 𝛼𝑖(𝑥),
при 𝑖 = 1, 2𝑘 − 1 ∧ 𝜉2𝑘 < 𝛼2𝑘(𝑥)}+
+ 𝑃{𝜉𝑖 = 𝛼𝑖(𝑥), при 𝑖 = 1, 2𝑘 ∧ 𝜉2𝑘+1 > 𝛼2𝑘+1(𝑥)} . . . .
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 115
Врахувавши незалежнiсть подiй 𝜉𝑘, отримаємо:
𝐹𝜉(𝑥) = 𝑃 {𝜉1 > 𝛼1(𝑥)}+ 𝑃 {𝜉1 = 𝛼1(𝑥)} · 𝑃 {𝜉2 < 𝛼2(𝑥)}+ . . .+
+ 𝑃 {𝜉1 = 𝛼1(𝑥)} · 𝑃 {𝜉2 = 𝛼2(𝑥)} · . . . · 𝑃 {𝜉2𝑘−1 = 𝛼2𝑘−1(𝑥)} ·
· 𝑃 {𝜉2𝑘 < 𝛼2𝑘(𝑥)}+ 𝑃 {𝜉1 = 𝛼1(𝑥)} · 𝑃 {𝜉2 = 𝛼2(𝑥)} · . . . ·
· 𝑃 {𝜉2𝑘 = 𝛼2𝑘(𝑥)} · 𝑃 {𝜉2𝑘+1 > 𝛼2𝑘+1(𝑥)}+ . . . = 𝛽𝛼1 +
1
2
𝛽𝛼1𝛼2 + . . .+
+
1
2
𝑝𝛼1𝛼2𝑝𝛼2𝛼3 · . . . · 𝑝𝛼2𝑘−1𝛼2𝑘−1
𝛽𝛼2𝑘𝛼2𝑘
+
1
2
𝑝𝛼1𝛼2𝑝𝛼2𝛼3 · . . . ·
· 𝑝𝛼2𝑘𝛼2𝑘
𝛽𝛼2𝑘+1𝛼2𝑘+1
= 𝛽𝛼1(𝑥) +
1
2
∞∑︁
𝑘=1
(𝛽
(𝑘)
𝛼𝑘(𝑥)𝛼𝑘+1(𝑥)
𝑘−1∏︁
𝑖=1
𝑝𝛼𝑖(𝑥)𝛼𝑖+1(𝑥)).
Теорему доведено.
Зауваження 2.1. Для функцiї 𝐹 (𝑥) виконуються рiвностi
𝐹 (𝑥) =
{︂
𝐹1(𝑥), якщо 𝑥 ∈ Δ1 ⇔ 𝛼1(𝑥) = 1,
𝐹0(𝑥), якщо 𝑥 ∈ Δ0 ⇔ 𝛼1(𝑥) = 0,
де
𝐹1(𝑥) =
1
2
(𝛽
(1)
1𝛼2
+ 𝑝1𝛼2
𝛽(2)
𝛼2𝛼3
+ 𝑝1𝛼2
𝑝𝛼2𝛼3
𝛽(3)
𝛼3𝛼4
+ . . .)
𝐹0(𝑥) =
1
2
+
1
2
(𝛽
(1)
0𝛼2
+ 𝑝0𝛼2
𝛽(2)
𝛼2𝛼3
+ 𝑝0𝛼2
𝑝𝛼2𝛼3
𝛽(3)
𝛼3𝛼4
+ . . .)
Лема 2.2. Оператор 𝛿𝑖𝑗(𝑥) правостороннього зсуву Δ
2
-зображення
числа з параметрами (𝑖; 𝑗), який означується рiвнiстю
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = 𝛿𝑖𝑗(Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...) = Δ
2
𝑖𝑗𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...,
аналiтично задається
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
1− 𝑖
2
+
𝑗
22
+
1
22
𝑥.
Доведення. Оскiльки 𝑥 = Δ
2
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... =
2
3 − 𝑥1, де
𝑥1 =
𝛼1(𝑥)
2
− 𝛼2(𝑥)
22
+
𝛼3(𝑥)
23
− . . .
116 Маркiтан В. П.
i 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
𝑖𝑗𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... =
2
3−𝑡1, де 𝑡1 = 𝑖
2−
𝑗
22 +
𝛼1(𝑥)
23 −𝛼2(𝑥)
24 . . . ,
то з отриманих рiвностей маємо:
𝑡1 =
𝑖
2
− 𝑗
22
+
1
22
𝑥1.
Звiдки
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3
− 𝑡1 =
2
3
− 𝑖
2
+
𝑗
22
− 1
22
(
2
3
− 𝑥)=
1− 𝑖
2
+
𝑗
22
+
1
22
𝑥.
Лему доведено.
Теорема 2.4. Функцiя 𝐹 (𝑥) задовольняє систему функцiональних
рiвнянь:
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) =
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 1
3
) = 1
2
𝑝201 − 1
2
𝑝01𝑝00 + 𝑝01𝑝00𝐹0(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
0𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
100𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 1
2
) = 1
2
+ 1
2
𝑝00𝑝01 − 1
2
𝑝200 + 𝑝200𝐹0(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
0𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
000𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 3
4
) = 1
2
+ 1
2
𝑝00 + 1
2
𝑝00𝑝01 − 1
2
𝑝201 + 𝑝201𝐹0(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
0𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
010𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 1
4
) = 1
2
𝑝01 + 1
2
𝑝200 − 1
2
𝑝00𝑝01 + 𝑝00𝑝01𝐹0(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
0𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
110𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 1
2
) = 1
2
+ 𝑝00𝑝01𝐹1(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
1𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
001𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 3
4
) = 1
2
+ 1
2
𝑝00 + 𝑝00𝑝01𝐹1(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
1𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
011𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥) = 𝑝201𝐹1(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
1𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
101𝛼2𝛼3...
,
𝐹 ( 1
4
𝑥+ 1
4
) = 1
2
𝑝01 + 𝑝200𝐹1(𝑥),
якщо 𝑥 = Δ
2
1𝛼2𝛼3...
, 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
111𝛼2𝛼3...
.
(3)
Доведення. Розглянемо всi можливi випадки:
1. Якщо 𝛼1 = 0, то
𝑥 = Δ
2
0𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... =
2
3 − 𝑥1, де 𝑥1 = −𝛼2(𝑥)
22 + 𝛼3(𝑥)
23 − . . . .
Нехай:
а) 𝑖 = 1; 𝑗 = 0. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
100𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = 1
2 − 𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . , звiдки
𝑡1 = 1
2 + 1
22𝑥1.
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 117
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
2 − 1
22𝑥1 = 1
6 − 1
4 (
2
3 − 𝑥) = 1
4𝑥+ 1
3 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
100𝛼2𝛼3...) =
1
2
(𝛽
(1)
10 + 𝛽
(0)
00 𝑝10 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝10𝑝00+
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝10𝑝00𝑝0𝛼2 + . . .) =
1
2
(0 + 𝑝10𝑝01 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝10𝑝00+
+ 𝛽𝛼2𝛼3
𝑝10𝑝00𝑝0𝛼2
+ . . .) =
1
2
𝑝201 +
1
2
𝑝10𝑝00(𝛽
(1)
0𝛼2
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝0𝛼2
+ . . .) =
=
1
2
𝑝201 +
1
2
𝑝10𝑝00(2𝐹0(𝑥)− 1) =
1
2
𝑝201 −
1
2
𝑝01𝑝00 + 𝑝01𝑝00𝐹0(𝑥),
звiдки випливає перше рiвняння системи (3).
б) 𝑖 = 0; 𝑗 = 0. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
000𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = −𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . , звiдки
𝑡1 = 1
22𝑥1.
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
22𝑥1 = 2
3 − 1
22 (
2
3 − 𝑥) = 1
4𝑥+ 1
2 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
000𝛼2𝛼3...) =
1
2
+
1
2
(𝛽
(1)
00 + 𝛽
(0)
00 𝑝00 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝200+
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝200𝑝0𝛼2+. . .) ==
1
2
+
1
2
(0+𝑝01𝑝00+𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝200+𝛽𝛼2𝛼3𝑝
2
00𝑝0𝛼2+. . .) =
1
2
+
1
2
𝑝00𝑝01 +
1
2
𝑝200(𝛽
(1)
0𝛼2
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝0𝛼2 + . . .) =
=
1
2
+
1
2
𝑝00𝑝01 +
1
2
𝑝200(2𝐹0(𝑥)− 1) =
1
2
+
1
2
𝑝00𝑝01 −
1
2
𝑝200 + 𝑝200𝐹0(𝑥),
звiдки випливає друге рiвняння системи (3).
в) 𝑖 = 0; 𝑗 = 1. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
010𝛼2𝛼3... =
2
3 −𝑡1, де 𝑡1 = − 1
22 −
𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . , звiдки
𝑡1 = 1
22𝑥1 −
1
4 .
118 Маркiтан В. П.
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
22𝑥1 = 2
3 − 1
22 (
2
3 − 𝑥) + 1
4 = 1
4𝑥+ 3
4 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
010𝛼2𝛼3...) =
1
2
+
1
2
(𝛽
(1)
01 + 𝛽
(0)
10 𝑝01 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝01𝑝10+
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝01𝑝10𝑝0𝛼2
+ . . .) =
1
2
+
1
2
(𝑝00 + 𝑝01𝑝00 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝01𝑝10+
+ 𝛽𝛼2𝛼3
𝑝01𝑝10𝑝0𝛼2
+ . . .) =
1
2
+
1
2
𝑝00 +
1
2
𝑝00𝑝01+
+
1
2
𝑝01𝑝10(𝛽
(1)
0𝛼2
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝0𝛼2
+ . . .) =
1
2
+
1
2
𝑝00 +
1
2
𝑝00𝑝01+
1
2
𝑝01𝑝10(2𝐹0(𝑥)− 1) =
1
2
+
1
2
𝑝00 +
1
2
𝑝00𝑝01 −
1
2
𝑝201 + 𝑝201𝐹0(𝑥)
звiдки випливає третє рiвняння системи (3).
г) 𝑖 = 1; 𝑗 = 1. Тодi 𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
110𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = 1
2 − 1
22 −
𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . , звiдки 𝑡1 = 1
22𝑥1 +
1
4 .
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
22𝑥1 −
1
4 = 2
3 − 1
22 (
2
3 − 𝑥)− 1
4 = 1
4𝑥+ 1
4 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
110𝛼2𝛼3...) =
1
2
(𝛽
(1)
11 + 𝛽
(0)
10 𝑝11 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝11𝑝10+
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝11𝑝10𝑝0𝛼2
+ . . .) =
1
2
(𝑝10 + 𝑝11𝑝00 + 𝛽
(1)
0𝛼2
𝑝11𝑝10+
+𝛽𝛼2𝛼3
𝑝11𝑝10𝑝0𝛼2
+. . .) =
1
2
𝑝01+
1
2
𝑝200+
1
2
𝑝00𝑝01(𝛽
(1)
0𝛼2
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝0𝛼2
+. . .) =
=
1
2
𝑝01 +
1
2
𝑝200 +
1
2
𝑝00𝑝01(2𝐹0(𝑥)− 1) =
=
1
2
𝑝01 +
1
2
𝑝200 −
1
2
𝑝00𝑝01 + 𝑝00𝑝01𝐹0(𝑥),
звiдки випливає четверте рiвняння системи (3).
2. Якщо 𝛼1 = 1, то 𝑥 = Δ
2
1𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)... =
2
3 − 1
2 − 𝑥1 = 1
6 − 𝑥1, де
𝑥1 = −𝛼2(𝑥)
22 + 𝛼3(𝑥)
23 − . . . .
Нехай:
а) 𝑖 = 0; 𝑗 = 0. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
001𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = 1
23 − 𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . , звiдки
𝑡1 = 1
8 + 1
22𝑥1.
Сингулярнi монотоннi функцiї, якi визначаються збiжним ря . . . 119
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
8 − 1
22𝑥1 = 13
24 − 1
4 (
1
6 − 𝑥) = 1
4𝑥+ 1
2 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
001𝛼2𝛼3...) =
1
2
+
1
2
(𝛽
(1)
00 + 𝛽
(0)
01 𝑝00 + 𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝00𝑝01+
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝00𝑝01𝑝1𝛼2
+. . .) =
1
2
+
1
2
(0+0+𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝00𝑝01+𝛽
(0)
𝛼2𝛼3
𝑝00𝑝01𝑝1𝛼2
+. . .) =
=
1
2
+
1
2
𝑝00𝑝01(𝛽
(1)
1𝛼2
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝1𝛼2
+ . . .) =
1
2
+ 𝑝00𝑝01𝐹1(𝑥),
звiдки випливає п’яте рiвняння системи (3).
б) 𝑖 = 0; 𝑗 = 1. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
011𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = − 1
22 + 1
23 − 𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . ,
звiдки 𝑡1 = 1
22𝑥1 −
1
8 .
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 + 1
8 − 1
22𝑥1 = 19
24 − 1
4 (
1
6 − 𝑥) = 1
4𝑥+ 3
4 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
011𝛼2𝛼3...) =
1
2
+
1
2
(𝛽
(1)
01 + 𝛽
(0)
11 𝑝01 + 𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝01𝑝11
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝01𝑝11𝑝1𝛼2
+. . .) =
1
2
+
1
2
(𝑝00+𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝01𝑝11+𝛽
(0)
𝛼2𝛼3
𝑝01𝑝11𝑝1𝛼2
+. . .) =
=
1
2
+
1
2
𝑝00+
1
2
𝑝01𝑝11(𝛽
(1)
1𝛼2
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝1𝛼2
+. . .) =
1
2
+
1
2
𝑝00+𝑝00𝑝01𝐹1(𝑥),
звiдки випливає шосте рiвняння системи (3).
в) 𝑖 = 1; 𝑗 = 0. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
101𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = 1
2 + 1
23 − 𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . ,
звiдки 𝑡1 = 1
22𝑥1 +
5
8 .
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
22𝑥1 −
5
8 = 2
3 − 1
22 (
1
6 − 𝑥)− 5
8 = 1
4𝑥.
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
101𝛼2𝛼3...) =
1
2
(𝛽
(1)
10 + 𝛽
(0)
01 𝑝10 + 𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝10𝑝01+
+𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝01𝑝11𝑝1𝛼2
+. . .) =
1
2
(0+0+𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝10𝑝01+𝛽
(0)
𝛼2𝛼3
𝑝10𝑝01𝑝1𝛼2
+. . .) =
=
1
2
𝑝201(𝛽
(1)
1𝛼2
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝1𝛼2
+ . . .) = 𝑝201𝐹1(𝑥),
звiдки випливає сьоме рiвняння системи (3).
г) 𝑖 = 1; 𝑗 = 1. Тодi
𝛿𝑖𝑗(𝑥) = Δ
2
111𝛼2𝛼3... =
2
3 − 𝑡1, де 𝑡1 = 1
2 −
1
22 +
1
23 −
𝛼2(𝑥)
24 + 𝛼3(𝑥)
25 − . . . ,
звiдки 𝑡1 = 1
22𝑥1 +
3
8 .
120 Маркiтан В. П.
𝛿𝑖𝑗(𝑥) =
2
3 − 𝑡1 = 2
3 − 1
22𝑥1 −
3
8 = 2
3 − 1
22 (
1
6 − 𝑥)− 3
8 = 1
4𝑥+ 1
4 .
𝐹 (𝛿𝑖𝑗(𝑥)) = 𝐹 (Δ
2
111𝛼2𝛼3...) =
1
2
(𝛽
(1)
11 + 𝛽
(0)
11 𝑝11 + 𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝211+
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝211𝑝1𝛼2
+ . . .) =
1
2
(𝑝10 + 0 + 𝛽
(1)
1𝛼2
𝑝211 + 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝211𝑝1𝛼2
+ . . .) =
=
1
2
𝑝01 +
1
2
𝑝200(𝛽
(1)
1𝛼2
+ 𝛽(0)
𝛼2𝛼3
𝑝1𝛼2
+ . . .) =
1
2
𝑝01 + 𝑝200𝐹1(𝑥),
звiдки випливає восьме рiвняння системи (3).
Теорему доведено.
[1] Маркiтан В.П. Фрактальнi властивостi множин та функцiй, пов’яза-
них з марковським зображенням дiйсних чисел, визначеним двiчi сто-
хастичною матрицею // Фрактальний аналiз i сумiжнi питання ана-
лiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2017. — 14, 4. —
с. 34–49.
[2] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. — 296
с.
[3] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зображення дiй-
сних чисел — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 2012. — 68
с.
[4] Працьовитий М.В. Геометрiя дiйсних чисел у їх кодуваннях засоба-
ми нескiнченного алфавiту як основа топологiчних, метричних, фра-
ктальних i ймовiрнiсних теорiй // Науковий часопис НПУ iменi М.П.
Драгоманова.Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. — 2013. — № 14. —
с. 189–216.
[5] Працьовитий М.В. Нега-канторiвськi зображення дiйсних чисел як
тривiальнi перекодування канторiвських // Фрактальний аналiз i су-
мiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. —
2017. — 14, 4. — с. 167–177.
[6] Працьовитий М.В. Сингулярнi i фрактальнi властивостi розподiлiв
випадкових величин, цифри полiосновного зображення яких утворю-
ють однорiдний ланцюг Маркова // Укр. мат. журн. — 2000. — 52,
3. — с. 368–374.
[7] Працьовитий М.В. Канторовiсть i фрактальнi властивостi розподi-
лiв випадкових величин, Q-знаки яких утворюють однорiдний ланцюг
Маркова // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. — 1998. — 58, 3. —
с. 139–148.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-398 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:46Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/36/57d3f043a4aad49768920c89faf8a336.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3982020-08-09T15:01:39Z Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix Сингулярные монотонные функции, определяемые сходящимся рядом и дважды стохастической матрицей Сингулярні монотонні функції, які визначаються збіжним рядом і двічі стохастичною матрицею Markitan, V.P. Маркитан, В.П. Маркітан, В.П. The paper considers functions, which are defined by $$F(x)=\overline{\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}^2={\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}=y,$$where $\overline{\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}^2=\frac{2}{3}+\frac{\alpha_1}{(-2)^1}+\frac{\alpha_2}{(-2)^2}+\frac{\alpha_3}{(-2)^3}+\ldots$ is the binary nega-positional representation of the number on the interval $[0; 1]$,${\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}$ is the Markov representation determined by the positive doubly-stochastic matrix$$\|p_{ik}\|=\begin{pmatrix}p_{00} &amp; p_{01}\\p_{10} &amp; p_{11}\end{pmatrix}.$$The singularity and self-similar properties of the functions are established. Functional relations between them are found. Використовуючи дві двосимвольні системи зображення дробової частини дійсного числа (нега-двійкову й марковську), досліджуються функції, означені рівністю$$F(x)=\overline{\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}^2={\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}=y,$$де$\overline{\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}^2=\frac{2}{3}+\frac{\alpha_1}{(-2)^1}+\frac{\alpha_2}{(-2)^2}+\frac{\alpha_3}{(-2)^3}+\ldots$ -- нега-двійкове зображення, ${\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}$ -- марковське зображення, визначене двічі стохастичною матрицею $$\|p_{ik}\|=\begin{pmatrix}p_{00} &amp; p_{01}\\p_{10} &amp; p_{11}\end{pmatrix}.$$Встановлюється факт їхньої сингулярності й автомодельні властивості; наводяться функціональні співвідношення, які вони задовольняють. Використовуючи дві двосимвольні системи зображення дробової частини дійсного числа (нега-двійкову й марковську), досліджуються функції, означені рівністю$$F(x)=\overline{\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}^2={\Delta}_{a_1(x)a_2(x)\ldots a_n(x)\ldots}=y,$$де$\overline{\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}^2=\frac{2}{3}+\frac{\alpha_1}{(-2)^1}+\frac{\alpha_2}{(-2)^2}+\frac{\alpha_3}{(-2)^3}+\ldots$ -- нега-двійкове зображення, ${\Delta}_{a_1a_2\ldots a_n\ldots}$ -- марковське зображення, визначене двічі стохастичною матрицею $$\|p_{ik}\|=\begin{pmatrix}p_{00} &amp; p_{01}\\p_{10} &amp; p_{11}\end{pmatrix}.$$Встановлюється факт їхньої сингулярності й автомодельні властивості; наводяться функціональні співвідношення, які вони задовольняють. Інститут математики НАН України 2020-08-08 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/398 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 101-120 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 101-120 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 101-120 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/398/397 Авторське право (c) 2019 V.P. Markitan http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Markitan, V.P. Маркитан, В.П. Маркітан, В.П. Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| title | Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| title_alt | Сингулярные монотонные функции, определяемые сходящимся рядом и дважды стохастической матрицей Сингулярні монотонні функції, які визначаються збіжним рядом і двічі стохастичною матрицею |
| title_full | Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| title_fullStr | Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| title_full_unstemmed | Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| title_short | Singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| title_sort | singular monotone functions, which are determined by convergent series and double stochastic matrix |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/398 |
| work_keys_str_mv | AT markitanvp singularmonotonefunctionswhicharedeterminedbyconvergentseriesanddoublestochasticmatrix AT markitanvp singularmonotonefunctionswhicharedeterminedbyconvergentseriesanddoublestochasticmatrix AT markítanvp singularmonotonefunctionswhicharedeterminedbyconvergentseriesanddoublestochasticmatrix AT markitanvp singulârnyemonotonnyefunkciiopredelâemyeshodâŝimsârâdomidvaždystohastičeskojmatricej AT markitanvp singulârnyemonotonnyefunkciiopredelâemyeshodâŝimsârâdomidvaždystohastičeskojmatricej AT markítanvp singulârnyemonotonnyefunkciiopredelâemyeshodâŝimsârâdomidvaždystohastičeskojmatricej AT markitanvp singulârnímonotonnífunkcííâkíviznačaûtʹsâzbížnimrâdomídvíčístohastičnoûmatriceû AT markitanvp singulârnímonotonnífunkcííâkíviznačaûtʹsâzbížnimrâdomídvíčístohastičnoûmatriceû AT markítanvp singulârnímonotonnífunkcííâkíviznačaûtʹsâzbížnimrâdomídvíčístohastičnoûmatriceû |