Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions
In this paper, we consider a $(u, w)$--derivative that is a generalization of a classical derivative and an operator defined by the equality $Sqxuv f (x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{Squv f(x)}{Squv x}$, where $Squv f(x)$ is the oscillation of the function $ f $ on the interval with the ends...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/399 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552897617592320 |
|---|---|
| author | Osaulenko, R.Yu. Осауленко, Р.Ю. Осауленко, Р.Ю. |
| author_facet | Osaulenko, R.Yu. Осауленко, Р.Ю. Осауленко, Р.Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "R.Yu. Osaulenko",
"institution": "National Technical University of Ukraine \"Kyiv Polytechnic Institute named after Igor Sikorsky\""
}
] |
| author_sort | Osaulenko, R.Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T19:19:20Z |
| description | In this paper, we consider a $(u, w)$--derivative that is a generalization of a classical derivative and an operator defined by the equality $Sqxuv f (x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{Squv f(x)}{Squv x}$, where $Squv f(x)$ is the oscillation of the function $ f $ on the interval with the ends at the points $ x + u (h) $, $ x - w (h) $, functions $u(h)$, $w(h)$ are infinitely small at zero, such that for all $ h $ from it the inequalities $u(h) \neq -w(h)$, $u(h)\cdot w(h)\geq 0$ holds for a punctured neighbourhood of zero.Their properties and relationships with the classical derivative are described. Their application for the derivation of differential properties is presented by the example of a model class of nowhere monotone functions. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 121–139
УДК 517.2+517.51
Узагальнення класичної похiдної й
аналог оператора диференцiювання
як iнструментарiй для вивчення
диференцiальних властивостей
функцiй
Р.Ю. Осауленко
Нацiональний технiчний унiверситет України “Київський
полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського”, Київ;
RomanOsaulenko@gmail.com
In this paper, we consider a (𝗎, 𝗏)–derivative that is a generalization of
a classical derivative and an operator defined by the equality ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥) =
lim
→0
□𝗎
𝗏𝑓(𝑥)
□𝗎
𝗏𝑥
, where □𝗎
𝗏𝑓(𝑥) is the oscillation of the function 𝑓 on the interval
with the ends at the points 𝑥 + 𝗎(), 𝑥 − 𝗏(), functions 𝗎(), 𝗏() are
infinitely small at zero, such that for all from it the inequalities 𝗎() ̸=
−𝗏(), 𝗎() · 𝗏() ≥ 0 holds for a punctured neighbourhood of zero. Their
properties and relationships with the classical derivative are described.
Their application for the derivation of differential properties is presented
by the example of a model class of nowhere monotone functions.
Розглядається (𝗎, 𝗏)–похiдна, що є узагальненням класичної похiдної,
й оператор ⊠𝗎
𝗏 , означений рiвнiстю ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥) = lim
→0
□𝗎
𝗏𝑓(𝑥)
□𝗎
𝗏𝑥
, де □𝗎
𝗏𝑓(𝑥) –
коливання функцiї 𝑓 на вiдрiзку з кiнцями в точках 𝑥+ 𝗎(), 𝑥− 𝗏(),
функцiї 𝗎(), 𝗏() є нескiнченно малими в нулi, такi, що для всiх iз
деякого проколотого околу нуля справедливi нерiвностi 𝗎() ̸= −𝗏(),
𝗎() · 𝗏() ≥ 0. Продемонстровано застосування цих понять для ви-
вчення диференцiальних властивостей нiде не монотонних функцiй iз
модельного класу.
c○ Осауленко Р.Ю., 2019
122 Осауленко Р. Ю.
Вступ
Останнiм часом iнтерес до неперервних функцiй iз “неоднорiдною”,
“iррегулярною” локально складною структурою, всюди щiльними не-
компактними множинами особливостей рiзного роду, складними фра-
ктальними й варiацiйними властивостями суттєво зрiс [2–4,8–13]. Вiн
посилюється не лише з теоретичної точки зору, а й рiзноплановими
застосуваннями, зокрема в задачах аналiзу й синтезу антен [5], ана-
лiзу сигналiв [5], задачах теорiї фiнiтного управлiння розподiленими
системами [1]. До таких функцiй передусiм залiчують нiде не моно-
тоннi, нiде не диференцiйовнi, а також сингулярно неперервнi фун-
кцiї (як обмеженої, так i необмеженої варiацiї). Вiдомостi про останнi
вичерпуються лише окремими прикладами, нам вiдомо лише кiлька
джерел, у яких вони фiгурують [1,9]. Водночас вiдомi й новостворенi
системи кодування дiйсних чисел засобами скiнченного й нескiнчен-
ного, сталого i змiнного алфавiтiв дозволяють ефективно задавати й
вивчати потужнi класи вказаних функцiй. Для детального вивчення
їхнiх диференцiальних властивостей потрiбен гнучкiший iнструмент,
анiж класична похiдна. З цiєю метою ми пропонуємо її узагальнення
й аналог оператора диференцiювання.
1 (𝗎, 𝗏) – похiдна i її властивостi
(𝗎, 𝗏) – похiдна разом iз її властивостями i прикладами застосування
була представлена у [7]. В цьому пунктi наведено основнi факти.
У роботi розглядаються дiйснi функцiї дiйсної змiнної.
Позначимо через 𝒫 множину всiх пар (𝗎, 𝗏) нескiнченно малих у
нулi функцiй, для кожної з яких iснує таке число 𝛿 > 0, що для всiх
∈ 𝑂*
𝛿 справедлива нерiвнiсть 𝗎() ̸= −𝗏(), де 𝑂*
𝛿 – проколений
𝛿-окiл нуля.
Прикладами пар функцiї (𝗎, 𝗏) є
(︁
𝑎𝚂𝚒𝚐𝚗
(︀
sin 1
)︀
, 𝒟()
)︁
,(︁[︀
−1
]︀−1
,
)︁
, де ℝ ∋ |𝑎| ̸= 1, 𝒟() =
{︃
0, ∈ ℝ∖ℚ;
1, ∈ ℚ;
, 𝚂𝚒𝚐𝚗 () =
=
{︃
/||, ̸= 0;
0, = 0;
а [𝑥] – цiла частина числа.
Нехай Δ
𝗎()
𝗏()𝑥 := 𝗎() + 𝗏 (), Δ𝗎()
𝗏()𝑓(𝑥0) := 𝑓
(︀
𝑥0 + 𝗎()
)︀
− 𝑓
(︀
𝑥0 −
𝗏 ()
)︀
. Якщо для наперед заданих у деякому околi 𝑥0 функцiї 𝑓 та
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 123
пар функцiй (𝗎; 𝗏) ∈ 𝒫 iснує границя (скiнченна чи нескiнченна)
lim
→0
Δ
𝗎()
𝗏()𝑓(𝑥0)
Δ
𝗎()
𝗏()𝑥
= lim
→0
𝑓
(︀
𝑥0 + 𝗎 ()
)︀
− 𝑓
(︀
𝑥0 − 𝗏 ()
)︀
𝗎() + 𝗏()
,
то її значення називається (𝗎, 𝗏)-похiдною функцiї 𝑓 в точцi 𝑥0 i по-
значається D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0).
Зазначимо, що у випадку, коли 𝗎() = , 𝗏() = 0, отримуємо
класичне означення похiдної. Якщо ж 𝗎() = 𝗏() = , то маємо
означення симетричної похiдної.
Обравши нескiнченно малу числову послiдовнiсть (𝑎𝑛), i взявши
за 𝗎() = 𝑎𝑛 при ∈
(︀
2−𝑛−1; 2−𝑛
]︀
, 𝗏() = 0, отримаємо значення
D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0), яке дорiвнює похiдному числу для послiдовностi (𝑎𝑛).
Надалi 𝗎 = 𝗎(), 𝗏 = 𝗏().
Лема 1.1. Якщо в точцi 𝑥 функцiя 𝑓 має скiнченну (𝗎, 𝗏)-похiдну,
то
lim
→0
Δ𝗎
𝗏𝑓(𝑥) = 0. (1)
Теорема 1.1. Нехай 𝐴, 𝐵 – довiльнi дiйснi числа i в околi точки 𝑥
задано функцiї 𝑓 i 𝑔 такi, що для пари функцiй (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫 iснують
D𝗎
𝗏𝑓(𝑥) i D𝗎
𝗏𝑔(𝑥). Тодi
∙ D𝗎
𝗏
(︁
𝐴𝑓 +𝐵𝑔
)︁
(𝑥) = 𝐴D𝗎
𝗏𝑓(𝑥) +𝐵D𝗎
𝗏𝑔(𝑥);
∙ D𝗎
𝗏
(︁
𝑓𝑔
)︁
(𝑥) = lim
→0
𝑓
(︀
𝑥+ 𝗎()
)︀
·D𝗎
𝗏𝑔(𝑥) + lim
→0
𝑔(𝑥+ 𝗎()) ·D𝗎
𝗏𝑓(𝑥)
при lim
→0
𝑓(𝑥+ 𝗎()) ∈ ℝ ∋ lim
→0
𝑔(𝑥+ 𝗏(𝑔));
∙ D𝗎
𝗏
(︁
1
𝑓
)︁
(𝑥) = −D𝗎
𝗏𝑓(𝑥) · lim
→0
𝑓−2(𝑥 + 𝗎()) при 𝑓(𝑥) ̸= 0 ̸=
̸= lim
→0
𝑓(𝑥+ 𝗎()).
Зауваження 1.1. Якщо функцiї 𝑓 , 𝑔 в теоремi 1.1 є неперервними,
то
∙ D𝗎
𝗏
(︁
𝐴𝑓 +𝐵𝑔
)︁
(𝑥) = 𝐴D𝗎
𝗏𝑓(𝑥) +𝐵D𝗎
𝗏𝑔(𝑥).
∙ D𝗎
𝗏
(︁
𝑓𝑔
)︁
(𝑥) = 𝑓(𝑥)D𝗎
𝗏𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)D𝗎
𝗏𝑓(𝑥).
∙ D𝗎
𝗏
(︁
1
𝑓
)︁
(𝑥) = −D𝗎
𝗏𝑓(𝑥) · 𝑓−2(𝑥) при 𝑓(𝑥) ̸= 0.
124 Осауленко Р. Ю.
1.1 Зв’язок (𝗎, 𝗏)-похiдної зi класичною похiдною
Нехай
𝒫* =
{︂
(𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫 : lim
→0
⃒⃒⃒⃒
𝗎()
𝗎() + 𝗏()
⃒⃒⃒⃒
<∞
}︂
,
𝒫+ =
{︀
(𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫 : 𝗎 · 𝗏 ≥ 0,∀ ∈ 𝑂 (𝗎, 𝗏)
}︀
,
𝒫− =
{︀
(𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫 : 𝗎 · 𝗏 < 0,∀ ∈ 𝑂 (𝗎, 𝗏)
}︀
,
де 𝑂 (𝗎, 𝗏) – деякий проколотий окiл нуля, в кожнiй точцi якого фун-
кцiї 𝗎, 𝗏 є визначеними i виконується нерiвнiсть 𝗎() ̸= −𝗏() для
будь-якого ∈ 𝑂 (𝗎, 𝗏). Покажемо, що 𝒫+ ⊂ 𝒫*. По-перше, якщо
𝗎() = 0, то lim
→0
⃒⃒⃒
𝗎()
𝗎()+𝗏()
⃒⃒⃒
= 0. При 𝗎() ̸= 0, враховуючи те, що
𝗎() · 𝗏() ≥ 0, а отже, 𝗏()
𝗎() ≥ 0, маємо
lim
→0
⃒⃒⃒⃒
𝗎()
𝗎() + 𝗏()
⃒⃒⃒⃒
= lim
→0
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ 1
1 + 𝗏()
𝗎()
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ ≤ 1.
Теорема 1.2. Якщо 𝑓 має скiнченну похiдну в точцi 𝑥0, то для
довiльної пари (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫* виконується рiвнiсть D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 𝑓 ′(𝑥0).
Наслiдок 1.1. Нехай ув околi точки 𝑥0 задано функцiю 𝑓 i послi-
довнiсть пар дiйсних чисел (𝑎𝑛, 𝑏𝑛), таких, що
1. lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑥0 = lim
𝑛→∞
𝑏𝑛;
2. 𝑎𝑗 ̸= 𝑏𝑗 при 𝑗 ∈ ℕ;
3. lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒
𝑎𝑛−𝑥0
𝑎𝑛−𝑏𝑛
⃒⃒⃒
<∞.
Тодi
∙ якщо 𝑓 ′(𝑥0) ∈ ℝ, то вона дорiвнює lim
𝑛→∞
𝑓(𝑎𝑛)−𝑓(𝑏𝑛)
𝑎𝑛−𝑏𝑛 ;
∙ якщо не iснує скiнченної границi lim
𝑛→∞
𝑓(𝑎𝑛)−𝑓(𝑏𝑛)
𝑎𝑛−𝑏𝑛 , то 𝑓 – не ди-
ференцiйовна в точцi 𝑥0 (не має скiнченної похiдної).
Теорема 1.3. Нехай 𝑓 — функцiя, задана в околi точки 𝑥0, для якої
𝑓 ′(𝑥0) ∈ ℝ
⋃︀
{±∞}. Тодi для довiльної пари (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+ виконується
рiвнiсть D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 𝑓 ′(𝑥0).
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 125
Наслiдок 1.2. Якщо 𝑓 — функцiя, задана в околi точки 𝑥0 i для
деякої (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+ не iснує скiнченної (𝗎, 𝗏)-похiдної D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0), то 𝑓 –
недиференцiйовна в цiй точцi.
Наслiдок 1.3. Нехай ув околi точки 𝑥0 задано функцiю 𝑓 i послi-
довностi дiйсних чисел (𝑙𝑛), (𝑟𝑛), збiжнi до 𝑥0 i 𝑙𝑛 ≤ 𝑥0 ≤ 𝑟𝑛, 𝑙𝑛 ̸= 𝑟𝑛
при всiх 𝑛 ∈ ℕ. Тодi
∙ якщо 𝑓 ′(𝑥0) ∈ ℝ
⋃︀
{±∞}, то 𝑓 ′(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑓(𝑟𝑛)−𝑓(𝑙𝑛)
𝑟𝑛−𝑙𝑛 ;
∙ якщо не iснує lim
𝑛→∞
𝑓(𝑟𝑛)−𝑓(𝑙𝑛)
𝑟𝑛−𝑙𝑛 , то в точцi 𝑥0 не iснує похiдної.
Теорема 1.4. Якщо для функцiї 𝑓 iснує lim
𝑥→𝑥0
𝑓 ′(𝑥) ∈ ℝ
⋃︀
{±∞}, то
для всiх (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫− виконується рiвнiсть D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 ′(𝑥).
Наприклад, функцiя
𝑓(𝑥) =
{︃
𝑥+ 𝑥/|𝑥|, 𝑥 ̸= 0;
0, 𝑥 = 0;
задовольняє умову попередньої теореми, а тому для всiх (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫−
маємо D𝗎
𝗏𝑓(0) = 1, хоча вона не має неперервної похiдної, бо 𝑓 ′(0) =
= +∞ i lim
𝑥→0
𝑓 ′(𝑥) = 1.
Зауваження 1.2. У випадку неперервностi функцiї 𝑓 й iснування
lim
𝑥→𝑥0
𝑓 ′(𝑥) вiдомо, що виконується рiвнiсть lim
𝑥→𝑥0
𝑓 ′(𝑥) = 𝑓 ′(𝑥0).
Теорема 1.5. Нехай для функцiї 𝑓 iснує збiжна до 𝑥0 послiдовнiсть
(𝑥𝑛), при цьому 𝑥𝑛 ̸= 𝑥0 для всiх 𝑛 ∈ ℕ i lim
𝑛→∞
𝑓 ′(𝑥𝑛) = 𝑐. Тодi iснує
така пара функцiї (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫−, що D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 𝑐.
Прикладом функцiї 𝑓 , яка задовольняє умову теореми 1.5, але не
задовольняє теорему 1.4, є 𝑓(𝑥) =
{︃
𝑥2 sin (1/𝑥) , 𝑥 ̸= 0,
0, 𝑥 = 0.
2 Означення □𝗎
𝗏, ⊠
𝗎
𝗏 й основнi властивостi
Далi використовуватимемо такi позначення при (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+:
126 Осауленко Р. Ю.
∙ □
𝗎()
𝗏()𝑓(𝑥) = sup
𝑡∈Θ
𝗎()
𝗏()
(𝑥)
𝑓(𝑡) − inf
𝑡∈Θ
𝗎()
𝗏()
(𝑥)
𝑓(𝑡) = sup
𝑡1,𝑡2∈Θ
𝗎()
𝗏()
(𝑥)
(︀
𝑓(𝑡1) −
𝑓(𝑡2)
)︀
, де Θ𝗎()
𝗏()(𝑥) – вiдрiзок iз кiнцями в точках 𝑥+𝗎(), 𝑥−𝗏();
∙ ⊠𝗎()
𝗏()𝑓(𝑥) = lim
→0
□
𝗎()
𝗏()
𝑓(𝑥)
□
𝗎()
𝗏()
𝑥
.
Зауважимо, що □
𝗎()
𝗏()𝑓(𝑥) є коливанням функцiї 𝑓 на вiдрiзку
Θ
𝗎()
𝗏()(𝑥).
Лема 2.1. Нехай пара функцiї (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+ така, що iснує нескiн-
ченна послiдовнiсть (𝑛), для елементiв якої справедливi нерiвностi
𝗎(𝑛) ̸= 0 ̸= 𝗏(𝑛), ∀𝑛 ∈ ℕ. Якщо ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 𝑐 ∈ ℝ, то 𝑓 – неперервна
в точцi 𝑥0 функцiя.
Доведення. Згiдно з означенням:
□𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)
□𝗎
𝗏𝑥
= 𝑐+ 𝛼(), lim
→0
𝛼() = 0 ⇒ □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) =
(︀
𝑐+ 𝛼()
)︀
□𝗎
𝗏𝑥.
Отже, lim
→0
□𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 0, а тому 𝑓 – неперервна в точцi 𝑥0 функцiя.
Теорема 2.1. Нехай (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+ i 𝑎, 𝑏 – функцiї, для яких iснують
скiнченнi значення ⊠𝗎
𝗏𝑎(𝑥0), ⊠
𝗎
𝗏𝑏(𝑥0). Тодi
∙ ⊠𝗎
𝗏 (𝐴𝑎+𝐵) (𝑥0) = |𝐴|⊠𝗎
𝗏𝑎(𝑥0), де 𝐴,𝐵 ∈ ℝ;
∙ ⊠𝗎
𝗏
(︀
𝑎+ 𝑏
)︀
(𝑥0) ≤ ⊠𝗎
𝗏𝑎(𝑥0) +⊠𝗎
𝗏𝑏(𝑥0).
Отже, як оператор ⊠𝗎()
𝗏() – нелiнiйний.
2.1 Зв’язок ⊠𝗎
𝗏 з похiдною
Лема 2.2. Якщо iснує похiдна 𝑓 ′(𝑥0) ∈ ℝ, то для всiх (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+
справедлива рiвнiсть ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = |𝑓 ′(𝑥0)|.
Доведення. Згiдно з означенням похiдної 𝑓(𝑥0+𝑡) = 𝑓(𝑥0)+𝑐𝑡+𝛼(𝑡)𝑡,
lim
𝑡→0
𝛼(𝑡) = 0. Очевидно, що iснують функцiї 𝑎 := 𝑎() i 𝑏 := 𝑏(), такi,
що 𝑓(𝑥0 + 𝑎) = sup
𝑡∈Θ𝗎
𝗏(𝑥)
𝑓(𝑡) i 𝑓(𝑥0 + 𝑏) = inf
𝑡∈Θ𝗎
𝗏(𝑥)
𝑓(𝑡). Тодi
□𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0+𝑎)−𝑓(𝑥0+𝑏) = 𝑓(𝑥0)+𝑎𝑐+𝑎𝛼(𝑎)−𝑓(𝑥0)−𝑏𝑐−𝑏𝛼(𝑏) =
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 127
= 𝑐(𝑎− 𝑏) + 𝑎𝛼(𝑎)− 𝑏𝛼(𝑏) ≥ 0 ⇒ □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = |𝑐(𝑎− 𝑏) + 𝑎𝛼(𝑎)− 𝑏𝛼(𝑏)| .
Оскiльки (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+, то згiдно з теоремою 1.3 виконується рiвнiсть
D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 𝑓 ′(𝑥0). Враховуючи те, що |𝑎− 𝑏| ≤ |𝗎+ 𝗏|, маємо⃒⃒⃒⃒
𝑓(𝑥0 + 𝗎)− 𝑓(𝑥0 − 𝗏)
𝗎+ 𝗏
⃒⃒⃒⃒
≤ □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)
□𝗎
𝗏𝑥
=
|𝑐(𝑎− 𝑏) + 𝑎𝛼(𝑎)− 𝑏𝛼(𝑏)|
|𝗎+ 𝗏|
≤
≤ |𝑐(𝑎− 𝑏)|+ |𝛼(𝑎)||𝑎− 𝑏|+ |𝑏||𝛼(𝑎)− 𝛼(𝑏)|
|𝗎+ 𝗏|
≤
≤ 𝑐+ |𝛼(𝑎)|+ max{|𝗎|, |𝗏|}
|𝗎+ 𝗏|
|𝛼(𝑎)− 𝛼(𝑏)| .
Отже, |D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)| ≤ ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) ≤ |𝑐| ⇒ ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = |𝑐|.
Лема 2.3. Нехай 𝑓 – монотонна функцiя. Тодi для всiх (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+
маємо
⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) =
{︂
D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0), якщо 𝑓 – зростаюча;
−D𝗎
𝗏𝑓(𝑥0), якщо 𝑓 – спадна.
(2)
Доведення. Оскiльки 𝑓 – монотонна функцiя, то вона набуває сво-
го найбiльшого й найменшого значення на кiнцях вiдрiзка. А то-
му □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)
□𝗎
𝗏𝑥
=
Δ𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)
Δ𝗎
𝗏𝑥
, якщо 𝑓 — зростаюча, iнакше маємо □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)
□𝗎
𝗏𝑥
=
= −Δ𝗎
𝗏𝑓(𝑥0)
Δ𝗎
𝗏𝑥
. Достатньо перейти до границь ув утворених рiвностях,
щоб отримати необхiднi висновки.
Нехай
𝒫⊕ =
{︁
(𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+
⃒⃒⃒
𝗎() ≥ 0, ∈ 𝑂(𝗎, 𝗏)
}︁
. (3)
Зауваження 2.1. Для пари функцiй (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫+ позначимо 𝑝() =
= max{𝗎(),−𝗏()}, 𝑞() = −min{𝗎(),−𝗏()}. Тодi справедлива рiв-
нiсть □
𝗎()
𝗏()𝑓(𝑥) = □
𝑝()
𝑞()𝑓(𝑥), а отже, для кожної пари функцiї (𝗎, 𝗏) ∈
∈ 𝒫+ iснує єдина пара (𝑝, 𝑞) ∈ 𝒫⊕.
Теорема 2.2. Якщо для пари (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫⊕ виконуються
0 < lim
→0
𝗎()
𝗏()
≤ lim
→0
𝗎()
𝗏()
<∞; lim
→0
⎛⎜⎝
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒ lim𝜉→0
sup
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗎(+ 𝑡)
lim
𝜉→0
inf
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗎(+ 𝑡)
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒⃒
⎞⎟⎠ <∞,
то ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 0 тодi i тiльки тодi, коли 𝑓 ′(𝑥0) = 0.
128 Осауленко Р. Ю.
Доведення. Якщо 𝑓 ′(𝑥0) = 0, то згiдно з лемою 2.2 маємо ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) =
= 0. Нехай ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 0. Розглянемо нерiвностi:
□0
𝗏𝑓(𝑥0)
□0
𝗏𝑥
≤ □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) ·□𝗎
𝗏𝑥
□0
𝗏𝑥 ·□𝗎
𝗏𝑥
;
□𝗎
0𝑓(𝑥0)
□𝗎
0𝑥
≤ □𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) ·□𝗎
𝗏𝑥
□𝗎
0𝑥 ·□𝗎
𝗏𝑥
. (4)
З першої нерiвностi маємо lim
→0
□𝗎
𝗏𝑥
□0
𝗏 𝑥
= lim
→0
𝗎+𝗏
𝗏 = lim
→0
(︀
1 + 𝗎
𝗏
)︀
<
< ∞, тобто lim
→0
𝗎
𝗏 < ∞, вiдповiдно зi другої – lim
→0
𝗏
𝗎 < ∞, тобто 0 <
< lim
→0
𝗎()
𝗏() ≤ lim
→0
𝗎()
𝗏() <∞. Остання нерiвнiсть є умовою того, що при
переходi до границi вирази справа в нерiвностях (4) прямуватимуть
до нуля. Нехай
𝜂() = lim
𝜉→0
sup
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗎(+ 𝑡); 𝜇() = lim
𝜉→0
inf
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗎(+ 𝑡).
Розглянемо довiльну функцiю 𝜏(), таку, що 𝜏() ∈ [𝜇(); 𝜂()], тодi⃒⃒⃒⃒
⃒⃒𝑓
(︁
𝑥0 + 𝜏()
)︁
− 𝑓(𝑥0)
𝜏()
⃒⃒⃒⃒
⃒⃒ ≤ □
𝜂()
0 𝑓(𝑥0)
□
𝜇()
0 𝑥
=
□
𝜂()
0 𝑓(𝑥0) ·□𝜂()0 𝑥
□
𝜇()
0 𝑥 ·□𝜂()0 𝑥
. (5)
Отже, якщо lim
→0
□
𝜂()
0 𝑥
□
𝜇()
0 𝑥
∈ ℝ, то зi ⊠𝗎()
0 𝑓(𝑥0) = 0 маємо, що право-
стороння похiдна дорiвнює нулю.
Нехай
𝜂1() = lim
𝜉→0
sup
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗏(+ 𝑡); 𝜇1() = lim
𝜉→0
inf
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗏(+ 𝑡).
З умов 0 < lim
→0
𝗎()
𝗏() ≤ lim
→0
𝗎()
𝗏() < ∞ i lim
→0
(︃⃒⃒⃒⃒
⃒ lim𝜉→0
sup
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗎(+𝑡)
lim
𝜉→0
inf
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗎(+𝑡)
⃒⃒⃒⃒
⃒
)︃
<
<∞ маємо, що виконується нерiвнiсть lim
→0
(︃⃒⃒⃒⃒
⃒ lim𝜉→0
sup
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗏(+𝑡)
lim
𝜉→0
inf
𝑡∈[−𝜉;𝜉]
𝗏(+𝑡)
⃒⃒⃒⃒
⃒
)︃
<∞,
а тому, якщо ⊠0
𝗏()𝑓(𝑥0) = 0, то лiвостороння похiдна дорiвнює нулю.
Наслiдок 2.1. Нехай (𝑙𝑛), (𝑟𝑛) такi, що
∙ 𝑙𝑛 < 𝑙𝑛+1 < 𝑥, 𝑥 > 𝑟𝑛+1 > 𝑟𝑛, 𝑛 ∈ ℕ;
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 129
∙ lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = 𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑙𝑛;
∙ 0 < lim
𝑛→∞
𝑟𝑛−𝑥
𝑥−𝑙𝑛 ≤ lim
𝑛→∞
𝑟𝑛−𝑥
𝑥−𝑙𝑛 <∞;
∙ lim
𝑛→∞
𝑟𝑛−𝑥
𝑟𝑛+1−𝑥 <∞, lim
𝑛→∞
𝑙𝑛+1−𝑥
𝑙𝑛−𝑥 <∞.
Якщо lim
𝑛→∞
sup
𝑡1,𝑡2∈[𝑙𝑛,𝑟𝑛]
(︀
𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡2)
)︀
𝑟𝑛−𝑙𝑛 = 0, то 𝑓 ′(𝑥) = 0.
Доведення. Розглянемо пару функцiї 𝗎() = 𝑟𝑛− 𝑥, 𝗏() = 𝑥− 𝑙𝑛 при
∈
(︀
2−𝑛−1; 2−𝑛
]︀
. Легко перевiрити, що пара функцiї (𝗎, 𝗏) ∈ 𝒫⊕ i
задовольняє умови теореми 2.2, а тому lim
𝑘→∞
sup
𝑡1,𝑡2∈[𝑙𝑘,𝑟𝑘]
(︀
𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡2)
)︀
𝑟𝑘−𝑙𝑘 =
= ⊠𝗎
𝗏𝑓(𝑥0) = 0.
Теорема 2.3. Нехай (𝑢𝑘, 𝑣𝑘) – послiдовнiсть пар нескiнченно малих
числових послiдовностей, таких, що 𝑢𝑘 ≥ 𝑢𝑘+1 > 0 < 𝑣𝑘+1 ≤ 𝑣𝑘 i
0 < lim
𝑘→∞
𝑢𝑘
𝑣𝑘
≤ lim
𝑘→∞
𝑢𝑘
𝑣𝑘
<∞.
Якщо lim
𝑘→∞
□
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
𝑣𝑘+1
𝑥
= 0, то 𝑓 ′(𝑥) = 0.
Доведення. Умова 0 < lim
𝑘→∞
𝑢𝑘
𝑣𝑘
≤ lim
𝑘→∞
𝑢𝑘
𝑣𝑘
< ∞ – це адаптована умова
0 < lim
→0
𝗎()
𝗏() ≤ lim
→0
𝗎()
𝗏() <∞ з теореми 2.2.
Розглянемо довiльну функцiю 𝜏() ∈ [𝑢𝑘+1, 𝑢𝑘] при ∈(︀
2−𝑘−1, 2−𝑘
]︀
.⃒⃒⃒⃒
𝑓 (𝑥+ 𝜏())− 𝑓(𝑥)
𝜏()
⃒⃒⃒⃒
≤ □
𝑢𝑘
0 𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
0 𝑥
≤
□𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
0 𝑥
.
Покажемо, що □
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
0 𝑥
→ 0 тодi i тiльки тодi, коли □
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
𝑣𝑘+1
𝑥
→ 0 при
𝑘 → ∞. Справдi, згiдно з умовою теореми iснує 𝑀 ∈ ℝ, що 𝑣𝑘
𝑢𝑘
≤ 𝑀 .
Тодi
□𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑥
□
𝑢𝑘
0 𝑥
=
𝑢𝑘 + 𝑣𝑘
𝑢𝑘
=
(︂
1 +
𝑣𝑘
𝑢𝑘
)︂
∈ [1;𝑀 + 1], (6)
тому □
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
0 𝑥
→ 0 тодi i тiльки тодi, коли □
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
𝑣𝑘+1
𝑥
→ 0. Отже, якщо
□
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
𝑣𝑘+1
𝑥
→ 0, то правостороння похiдна дорiвнює нулю.
130 Осауленко Р. Ю.
Аналогiчно, якщо □
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
𝑣𝑘+1
𝑥
→ 0, то лiвостороння похiдна дорiвнює
нулю. Отже, якщо lim
𝑘→∞
□
𝑢𝑘
𝑣𝑘
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑘+1
𝑣𝑘+1
𝑥
= 0, то 𝑓 ′(𝑥) = 0.
2.2 𝑄̃–зображення дiйсного числа
𝑄̃–зображення дiйсного числа з [0; 1] є узагальненням вiдомих систем
зображення дiйсних чисел: класичне 𝑠-кове зображення, 𝑄𝑠–, 𝑄*
𝑠–,
𝑄∞–зображення. Нагадаємо його змiст [8].
Нехай маємо послiдовнiсть алфавiтiв 𝐴𝑘 = {0, 1, . . . ,𝑚𝑘}, 𝑚𝑘 ∈
∈ ℕ
⋃︀
{∞}, 𝑘 ∈ ℕ, 𝐿 = 𝐴𝑚1
× 𝐴𝑚2
× · · · × 𝐴𝑚𝑘
× . . . – простiр послi-
довностей елементiв алфавiтiв; 𝑄̃ = ||𝑞𝑖,𝑗 || – ”матриця” з нескiнчен-
ною кiлькiстю стовпцiв (𝑘-ий стовпець мiстить 𝑚𝑘 елементiв), 𝑖 ∈ 𝐴𝑗 ,
𝑚𝑗 ∈ ℕ∞ = ℕ
⋃︀
{+∞}, 𝑗 ∈ ℕ, така, що задовольняє подальшi умови:
1. 0 < 𝑞𝑖,𝑗 < 1 для всiх 𝑖 ∈ 𝐴𝑗 , 𝑗 ∈ ℕ;
2.
∑︀𝑚𝑗
𝑐=0 𝑞𝑐,𝑗 = 1 для всiх 𝑗 ∈ ℕ;
3.
∏︀∞
𝑗=1 sup
𝑖∈𝐴𝑗
{𝑞𝑖,𝑗} = 0.
Вiдомо [8], що для будь-якого дiйсного числа 𝑥 ∈ [0; 1] iснує послi-
довнiсть (𝛼𝑛) ∈ 𝐿, така, що
𝑥 = 𝛽𝛼11 +
∞∑︁
𝑛=2
⎛⎝𝛽𝛼𝑛𝑛
𝑛−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝛼𝑗𝑗
⎞⎠ = Δ𝑄̃
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛...,
де 𝛽0,𝑛 = 0, 𝛽𝑐,𝑛 =
∑︀𝑛−1
𝑖=0 𝑞𝑖,𝑛, 𝑐 ∈ 𝐴𝑛. Нехай 𝐴 ≡
⋃︀
𝑗∈ℕ𝐴𝑗 .
Означення 2.1. Нехай 𝑁𝑗(𝑥, 𝑛) – це кiлькiсть цифр 𝑗 серед перших
𝑛 цифр 𝑄̃-зображення числа 𝑥 = Δ𝑄̃
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛.... Якщо iснує границя
𝜈𝑄̃𝑗 (𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑛−1𝑁𝑗(𝑥, 𝑛),
то її значення називається частотою цифри 𝑗 ∈ 𝐴 у 𝑄̃-зображеннi
числа 𝑥 .
Значення 𝜈𝑄̃𝑗 (𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑛−1𝑁𝑗(𝑥, 𝑛), 𝜈
𝑄̃
𝑗 (𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑛−1𝑁𝑗(𝑥, 𝑛) на-
зиваються верхньою й нижньою частотами цифри 𝑗 𝑄̃-зображення
числа 𝑥 вiдповiдно.
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 131
У разi, коли 𝑄̃-зображення числа 𝑥 мiстить нескiнченну кiлькiсть
цифр 𝑗, використовуватимемо лiчильники: 𝑃𝑘 – порядковий номер
𝑘-ої цифри 𝑗, тобто 𝑃𝑘 = 𝑛, якщо 𝛼𝑛 = 𝑗 i 𝑁𝑗(𝑥, 𝑛−1) = 𝑘−1. Напри-
клад, для числа 𝑥 = Δ𝑄̃
1023012101002410..., у записi якого зустрiчається
нескiнченна кiлькiсть цифр 1, то 𝑃1 = 1, 𝑃2 = 6, 𝑃3 = 8, 𝑃4 = 10,
𝑃5 = 15, . . .
Легко довести таке твердження: якщо в зображеннi числа 𝑥 ви-
користовується нескiнченна кiлькiсть цифр 𝑗, то справедлива рiв-
нiсть:
𝜈𝑄̃𝑗 (𝑥) = lim
𝑘→∞
𝑘
𝑃𝑘
, (7)
де 𝑃𝑘 – порядковий номер 𝑘-ої цифри 𝑗, яке для 𝑄𝑠-зображення до-
ведене в роботi [6]. Аналогiчно 𝜈𝑄̃𝑖 (𝑥) = lim
𝑘→∞
𝑘
𝑃𝑘
або 𝜈𝑄̃𝑖 (𝑥) = lim
𝑘→∞
𝑘
𝑃𝑘
,
𝑖 ∈ 𝐴.
Нехай 𝑐 ∈ 𝐴 i
𝜒𝑐,𝑗 = 𝜒𝑐,𝑗(𝑥) =
{︃
1 при 𝛼𝑗 = 𝑐;
0 при 𝛼𝑗 ̸= 𝑐;
(8)
𝑝𝑐,𝑗 =
{︃
𝑞𝑐,𝑗 при 𝑐 ≤ 𝑚𝑗 ;
0 при 𝑐 > 𝑚𝑗 .
(9)
Теорема 2.4. Для майже всiх (у розумiннi мiри Лебега) чисел 𝑥 ∈
[0; 1] є iстинною рiвнiсть
lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑛∑︁
𝑗=1
(︁
𝜒𝑐,𝑗 − 𝑝𝑐,𝑗
)︁
= 0 (10)
для всiх 𝑥 ∈ 𝐴.
Доведення. Нехай 𝐴 ∋ 𝑐 – довiльна цифра. З геометрiї 𝑄̃–зображення
дiйсних чисел:∫︁ 1
0
1
𝑛
𝑛∑︁
𝑗=1
𝜒𝑐,𝑗(𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝑛
∫︁ 1
0
𝑛∑︁
𝑗=1
𝜒𝑐,𝑗(𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝑛
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑝𝑐,𝑗 .
Нехай 𝑔𝑛(𝑥) =
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=1
(︁
𝜒𝑐,𝑗(𝑥) − 𝑝𝑐,𝑗
)︁
, тодi
∫︀ 1
0
𝑔𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0. Пока-
жемо, що майже скрiзь lim
𝑛→∞
|𝑔𝑛(𝑥)| = 0. Для цього розглянемо
132 Осауленко Р. Ю.
𝐼𝑐𝑛 =
∫︁ 1
0
𝑔2𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =
∫︁ 1
0
⎛⎝𝑛−1
𝑛∑︁
𝑗=1
(︁
𝜒𝑐,𝑗(𝑥)− 𝑝𝑐,𝑗
)︁⎞⎠2
𝑑𝑥.
Далi 𝜒𝑐,𝑗 := 𝜒𝑐,𝑗(𝑥). Iнтеграл 𝐼𝑛𝑐 можна представити у виглядi
суми iнтегралiв таких двох типiв:
1.
1∫︀
0
(𝜒𝑐,𝑗 − 𝑝𝑐,𝑗)
2
𝑑𝑥 =
1∫︀
0
𝜒2
𝑐,𝑗𝑑𝑥− 2𝑝𝑐𝑗
∫︀ 1
0
𝜒𝑐,𝑗𝑑𝑥+ 𝑝2𝑐,𝑗
∫︀ 1
0
𝑑𝑥 = 𝑝𝑐,𝑗 −
𝑝2𝑐,𝑗 .
2.
1∫︀
0
(︁
(𝜒𝑐,𝑗 − 𝑝𝑐,𝑗) (𝜒𝑐,𝑡 − 𝑝𝑐,𝑡)
)︁
𝑑𝑥 =
1∫︀
0
𝜒𝑐,𝑗𝜒𝑐,𝑡𝑑𝑥 − 𝑝𝑐,𝑗
1∫︀
0
𝜒𝑐,𝑡𝑑𝑥 −
− 𝑝𝑐,𝑡
1∫︀
0
𝜒𝑐,𝑗𝑑𝑥+ 𝑝𝑐,𝑗𝑝𝑐,𝑡
1∫︀
0
𝑑𝑥 = 0 , 𝑗 ̸= 𝑡.
Отже, 𝐼𝑐𝑛 = 𝑛−2
∑︀𝑛
𝑗=1
(︀
𝑝𝑐,𝑗 − 𝑝2𝑐,𝑗
)︀
≤ 𝑛−1.
Для довiльного 𝜀 > 0 позначимо 𝐹 𝑐𝑛 := 𝐹 𝑐𝑛(𝜀) множину дiйсних чи-
сел iз [0; 1], таких, що задовольняють умову
⃒⃒⃒
𝑛−1
∑︀𝑛
𝑗=1 (𝜒𝑐,𝑗 − 𝑝𝑐,𝑗)
⃒⃒⃒
>
> 𝜀.
Тодi 𝑛−1 ≥
∫︀ 1
0
𝑔2𝑛(𝑥)𝑑𝑥 ≥
∫︀ 1
0
𝜀2𝑑𝑥 = 𝜀2𝜆𝐹 𝑐𝑛, де 𝜆𝐹 𝑐𝑛 – мiра Лебега
множини 𝐹 𝑐𝑛. Отже, 𝜆𝐹 𝑐𝑛 ≤
(︀
𝑛𝜀2
)︀−1, а тому для кожного фiксованого
𝜀 > 0 виконується lim
𝑛→∞
𝜆𝐹 𝑐𝑛 = 0.
Нехай 𝐺𝑐𝑘 = 𝐹 𝑐𝑘2
⋃︀
𝐹 𝑐(𝑘+1)2
⋃︀
𝐹 𝑐(𝑘+2)2
⋃︀
. . . , тодi 𝜆𝐺𝑐𝑘 ≤
∑︀∞
𝑗=𝑘 𝜆𝐹
𝑐
𝑗2 ≤
≤ 𝜀−2
∑︀∞
𝑗=𝑘 𝑗
−2, отже, lim
𝑘→∞
𝜆𝐺𝑐𝑘 = 0, що рiвнозначно lim
𝑘→∞
𝑔𝑘2(𝑥) = 0
майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега.
Для всiх натуральних 𝑛 iснують 𝑘, 𝑡, такi, що 𝑛 = 𝑡2 + 𝑘, 𝑡2 ≤ 𝑛 <
< (𝑡 + 1)2 ⇒ 0 ≤ 𝑛 − 𝑡2 ≤ 2𝑡 + 1. Тодi
1∫︀
0
|𝑔𝑛(𝑥)| 𝑑𝑥 ≤ 𝑡2
𝑛
1∫︀
0
|𝑔𝑡2(𝑥)|𝑑𝑥 +
+
1∫︀
0
⃒⃒⃒
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=𝑡2+1 (𝜒𝑐,𝑗 − 𝑝𝑐,𝑗)
⃒⃒⃒
𝑑𝑥, тобто lim
𝑛→∞
1∫︀
0
|𝑔𝑛(𝑥)| 𝑑𝑥 = 0, що й треба
було довести.
При доведеннi теореми використовувались пiдходи наведенi в [12].
Наслiдок 2.2. Для майже всiх (у розумiннi мiри Лебега) чисел 𝑥 ∈
[0; 1] виконуються такi рiвностi: 𝜈𝑐(𝑥) = lim
𝑛→∞
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=1 𝑝𝑐,𝑗, 𝜈𝑐(𝑥) =
lim
𝑛→∞
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=1 𝑝𝑐,𝑗.
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 133
Доведення. Нехай 𝑎𝑛 = 1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=1 𝜒𝑐,𝑗 , 𝑏𝑛 = 1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=1 𝑝𝑐,𝑗 . Враховуючи
те, що lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝜈𝑐(𝑥) i нерiвнiсть lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) ≥ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 − lim
𝑛→∞
𝑏𝑛,
маємо
0 = lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) ≥ 𝜈𝑐(𝑥)− lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 ⇒ lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑝𝑐,𝑗 ≥ 𝜈𝑐(𝑥). (11)
З iншого боку
0 = lim
𝑛→∞
(𝑏𝑛 − 𝑎𝑛) ≥ lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 − 𝜈𝑐(𝑥) ⇒ lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑝𝑐,𝑗 ≤ 𝜈𝑐(𝑥). (12)
Отже, 𝜈𝑐(𝑥) = lim
𝑛→∞
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑗=1 𝑝𝑐,𝑗 . Друга частина твердження доводи-
ться аналогiчно.
Якщо в послiдовностi алфавiтiв (𝐴𝑛) усi елементи дорiвнюють 𝐴𝑠,
то утворене зображення є 𝑄*
𝑠-зображенням.
2.3 𝐺*
3-зображення дiйсного числа
Розглянемо матрицю
𝐺*
3 =
⎛⎜⎝ 𝑔01 𝑔02 . . .𝑔0𝑛 . . .
𝑔11 𝑔12 . . .𝑔1𝑛 . . .
𝑔21 𝑔22 . . .𝑔2𝑛 . . .
⎞⎟⎠ , (13)
де 𝑔0𝑛 > 0 𝑔2𝑛 > 0, 𝑔1𝑛 ≤ 0, |𝑔𝑖𝑛| < 1, 𝑔0𝑛 + 𝑔1𝑛 + 𝑔2𝑛 = 1 i
∞∏︀
𝑗=1
max
𝑖=0,1,2
|𝑔𝑖𝑗 | = 0.
Довiльне число 𝑥 ∈ [0; 1] можна подати як:
𝑥 = 𝛿𝛼11 +
∞∑︁
𝑛=2
⎛⎝𝛿𝛼𝑛𝑛
𝑛−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝛼𝑗𝑗
⎞⎠ = Δ
𝐺*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛...,
де 𝛼𝑖 ∈ 𝐴3, 𝛿0𝑛 = 0, 𝛿1𝑛 = 𝑔0𝑛, 𝛿2𝑛 = 𝑔0𝑛 + 𝑔1𝑛.
Лема 2.4. Всi 𝛿𝑖𝑛 ≥ 0 при 𝑖 ∈ 𝐴3, 𝑛 ∈ ℕ.
Доведення. Очевидно, що 𝛿0𝑛 ≥ 0 ≤ 𝛿1𝑛. Доведемо, що 𝛿2𝑛 ≥ 0, ви-
користовуючи метод вiд супротивного. Припустимо, що 0 > 𝛿2𝑛 =
𝑔0𝑛 + 𝑔1𝑛, тодi 𝑔1𝑛 < −𝑔0𝑛, але має виконуватися рiвнiсть 1 =
𝑔0𝑛 + 𝑔1𝑛 + 𝑔2𝑛 < 𝑔0𝑛 − 𝑔0𝑛 + 𝑔2𝑛 = 𝑔2𝑛 < 1. Отримали суперечнiсть,
отже, припущення хибне.
134 Осауленко Р. Ю.
3 Неперервна функцiя на основi 𝑄*
3 i 𝐺*
3 зображень
чисел
Розглянемо функцiю
𝑓
(︁
𝑥 ≡ △𝑄*
3
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...
)︁
= △𝐺*
3
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)...
, (14)
де 𝛼𝑗(𝑥) – це 𝑗-та цифра 𝑄*
3-зображення числа 𝑥. Обґрунтування
коректностi задання, неперервностi, нiде не монотонностi функцiй,
знаходження екстремумiв функцiї було розглянуте в [4].
Теорема 3.1. Нехай функцiональна послiдовнiсть (𝜙𝑛) рiвномiрно
збiгається до 𝜙 на [𝑎; 𝑏]. Для 𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙 варiацiї функцiї 𝜙 справедлива
нерiвнiсть
𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙 ≤ lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙𝑛 ≤ lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙𝑛.
Доведення. Для натурального 𝑛 позначимо через 𝑇 *
𝑛 таке розбиття
вiдрiзка [𝑎; 𝑏] 𝑛 точками, що 𝖵
[𝑎;𝑏]
(𝑓, 𝑇 *
𝑛) = sup
𝑇𝑛
𝖵
[𝑎;𝑏]
(𝜙, 𝑇𝑛).
Оскiльки (𝜙𝑘) рiвномiрно прямують до 𝜙, то для довiльно-
го натурального 𝑘 iснує 𝜀𝑘 > 0, таке, що |𝜙𝑘(𝑥)− 𝜙(𝑥)| < 𝜀𝑘,
lim
𝑘→∞
𝜀𝑘 = 0. Тобто 𝜙(𝑥) = 𝜙𝑘(𝑥) + 𝛼𝑘(𝑥), |𝛼𝑘(𝑥)| < 𝜀. Тодi
|𝜙(𝑥𝑙+1)− 𝜙(𝑥𝑙)| ≤ |𝜙𝑘𝑛(𝑥𝑙+1)− 𝜙𝑘𝑛(𝑥𝑙)| + |𝛼𝑘𝑛(𝑥𝑙+1)− 𝛼𝑘𝑛(𝑥𝑙)| ≤
≤ |𝜙𝑘𝑛(𝑥𝑙+1)− 𝜙𝑘𝑛(𝑥𝑙)|+ 2𝜀𝑘, де 𝑥𝑙 ∈ 𝑇 *
𝑛 .
𝖵
[𝑎;𝑏]
(𝜙, 𝑇 *
𝑛) < 𝖵
[𝑎,𝑏]
(𝜙𝑘𝑛 , 𝑇
*
𝑛) + 2𝜀𝑘𝑛𝑛.
Перейшовши до границi, отримуємо:
𝖵
[𝑎,𝑏]
𝜙 = lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎;𝑏]
(𝑓, 𝑇 *
𝑛) ≤ lim
𝑛→∞
(︂
𝖵
[𝑎,𝑏]
(𝜙𝑘𝑛 , 𝑇
*
𝑛) + 2𝜀𝑘𝑛𝑛
)︂
.
Обравши послiдовнiсть 𝑘𝑛 таким чином, щоб 𝜀𝑘𝑛 < 𝑛−2, маємо
𝖵
[𝑎,𝑏]
𝜙 ≤ lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎,𝑏]
𝜙𝑘𝑛 .
Випадок, коли lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎,𝑏]
𝜙𝑛(𝑥) – не iснує, а lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙𝑛(𝑥) <
< ∞ доводиться видiленням пiдпослiдовностi 𝑛𝑘: lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙𝑛(𝑥) =
= lim
𝑘→∞
𝖵
[𝑎,𝑏]
𝜙𝑛𝑘
(𝑥) i розглядається функцiональна послiдовнiсть
𝑔𝑘(𝑥) = 𝜙𝑛𝑘
(𝑥). Аналогiчним чином i для випадку lim
𝑛→∞
𝖵
[𝑎;𝑏]
𝜙𝑛(𝑥) <
<∞.
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 135
Теорема 3.2. Функцiя 𝑓(𝑥) буде функцiєю обмеженої варiацiї тодi
i тiльки тодi, коли є збiжним ряд:
∞∑︀
𝑗=1
(︁
𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗 − 1
)︁
.
Доведення. Побудуємо збiжну до 𝑓 функцiональну послiдов-
нiсть (𝑓𝑛), графiки яких є ламаними з вершинами в точках(︁
△𝑄*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛(0)
;△𝐺*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛(0)
)︁
i
(︁
△𝑄*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛(2)
;△𝐺*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛(2)
)︁
.
Враховуючи рiвностi △𝑄*
3
𝛼1𝛼2...[𝛼𝑛+1](0) = △𝑄*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛(2)
i
△𝐺*
3
𝛼1𝛼2...[𝛼𝑛+1](0) = △𝐺*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑛(2)
, маємо неперервнiсть кожної функцiї
𝑓𝑛 на вiдрiзку [0; 1].
Згiдно з побудовою функцiї 𝑓 й вiдповiдної послiдовностi 𝑓𝑛,
для довiльного 𝑥 ∈ [0; 1] виконується нерiвнiсть |𝑓𝑛(𝑥)− 𝑓(𝑥)| ≤
≤
𝑛∏︀
𝑗=1
max
𝑖=0,1,2
|𝑞𝑖𝑗 |, отже, маємо рiвномiрну збiжнiсть, а тому застосуємо
теорему 3.1. Враховуючи те, що графiки 𝑓𝑛 – є ламаними, з переходом
до подальшого iндексу варiацiя кожної ланки попередньої ламаної
зросте у
(︁
𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗
)︁
разiв, тож маємо
lim
𝑗→∞
𝖵
[0;1]
𝑓𝑗(𝑥) =
∞∏︁
𝑗=1
(︁
𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗
)︁
. (15)
Враховуючи 𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 | + 𝑔2𝑗 ≥ 1 i використавши логарифмiчну
ознаку збiжностi нескiнченних добуткiв, а також граничний випадок
ознаки порiвняння для додатних рядiв, отримаємо
lim
𝑗→∞
ln
(︁
𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗
)︁
𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗 − 1
= lim
𝑗→∞
ln
(︁
1 + (𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗 − 1)
)︁
𝑔0𝑗 + |𝑔1𝑗 |+ 𝑔2𝑗 − 1
= 1.
З урахуванням того, що розв’язками рiвняння 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) є то-
чки злому (точками у яких iснують нерiвнi одностороннi похiднi),
нескладно довести, що якщо lim
𝑗→∞
𝖵
[0;1]
𝑓𝑗(𝑥) = ∞, то 𝑓 – функцiя нео-
бмеженої варiацiї.
Лема 3.1. Нехай (𝑎𝑛) i (𝑏𝑛) – нескiнченна послiдовнiсть дiйсних чи-
сел, таких, що |𝑎𝑛| ≤ 𝑎 < 1, |𝑏𝑛| > 𝑏 > 1. Тодi для довiльної послiдов-
ностi (𝑡𝑗), де 𝑡𝑗 ∈ {0, 1}, границя lim
𝑛→∞
𝑛∏︀
𝑗=1
𝜇𝑗 може або не iснувати,
136 Осауленко Р. Ю.
або дорiвнювати нулю чи нескiнченностi, де 𝜇𝑗 =
{︃
𝑎𝑗 при 𝑡𝑗 = 0;
𝑏𝑗 при 𝑡𝑗 = 1.
Доведення. Нескладно показати, що залежно вiд вибору послiдовно-
стi (𝑡𝑛) границя lim
𝑛→∞
𝑛∏︀
𝑗=1
𝜇𝑗 може дорiвнювати 0 або ±∞ або взагалi
не iснувати.
Методом вiд супротивного покажемо, що не iснує такого 𝑐 ∈
ℝ∖{0}, щоб
∞∏︀
𝑗=1
𝜇𝑗 = 𝑐. Припустимо, що таке 𝑐 iснує, але тодi згiдно
з необхiдною умовою збiжностi нескiнчених добуткiв послiдовностi
(𝑎𝑛) i (𝑏𝑛) мають прямувати до 1, а це суперечить умовi леми, а,
отже, такого числа не iснує.
Теорема 3.3. Нехай 𝑓 – функцiя обмеженої варiацiї при цьому iснує
таке 𝜀 > 0, що
⃒⃒⃒
𝑔𝑘,𝑗
𝑞𝑘,𝑗
⃒⃒⃒
≥ 1 + 𝜀 або
⃒⃒⃒
𝑔𝑘,𝑗
𝑞𝑘,𝑗
⃒⃒⃒
≤ 1 − 𝜀 для всiх 𝑗 ∈ ℕ,
𝑘 ∈ {0, 1, 2}, то 𝑓 – сингулярна.
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть пар чисел (𝑙𝑛, 𝑟𝑛), де 𝑙𝑛 =
= △𝑄*
3
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)(0)
, 𝑟𝑛 = △𝑄*
3
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)(2)
. Нескладно перевi-
рити, що вони задовольняють умову наслiдку 1.3. Враховуючи лему
3.1, розглянемо границю
lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑓(𝑟𝑛)− 𝑓(𝑙𝑛)
𝑟𝑛 − 𝑙𝑛
⃒⃒⃒⃒
= lim
𝑛→∞
𝑛∏︁
𝑗=1
|𝑔𝛼𝑗𝑗 |
𝑞𝛼𝑗𝑗
=
⎧⎪⎨⎪⎩
0;
∞;
̸ ∃.
Оскiльки кожна функцiя обмеженої варiацiї має майже скрiзь
скiнченну похiдну, то маємо, що майже скрiзь 𝑓 ′(𝑥) = 0.
Теорема 3.4. Якщо iснує таке 𝜀 > 0, що
⃒⃒⃒
𝑔𝑘,𝑗
𝑞𝑘,𝑗
⃒⃒⃒
≥ 1 + 𝜀 для всiх
𝑗 ∈ ℕ i 𝑘 ∈ {0, 1, 2}, то 𝑓 – нiде не диференцiйовна (не має скiнченної
похiдної).
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть пар чисел (𝑙𝑛, 𝑟𝑛), де 𝑙𝑛 =
= △𝑄*
3
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)(0)
, 𝑟𝑛 = △𝑄*
3
𝛼1(𝑥)𝛼2(𝑥)...𝛼𝑛(𝑥)(2)
. Нескладно перевiри-
ти, що вони задовольняють умову наслiдку 1.3. Розглянемо границю
lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑓(𝑟𝑛)− 𝑓(𝑙𝑛)
𝑟𝑛 − 𝑙𝑛
⃒⃒⃒⃒
= lim
𝑛→∞
𝑛∏︁
𝑗=1
|𝑔𝛼𝑗𝑗 |
𝑞𝛼𝑗𝑗
=
{︃
∞;
̸ ∃.
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 137
Отже, згiдно з наслiдком 1.3, функцiя 𝑓 не має скiнченної похiдної.
З наслiдку теореми 2.4 маємо, що для майже всiх чисел iз вiд-
рiзка [0; 1] виконуються рiвностi 𝜈𝑄
*
3
𝑐 (𝑥) = lim
𝑛→∞
(︀
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑘=1 𝑞𝑐,𝑘
)︀
= 𝜂𝑐,
𝜈
𝑄*
3
𝑐 (𝑥) = lim
𝑛→∞
(︀
1
𝑛
∑︀𝑛
𝑘=1 𝑞𝑐,𝑘
)︀
= 𝜂𝑐, множину таких чисел позначимо
𝐸.
Нехай при 𝑐 ∈ 𝐴:
𝑝𝑐 :=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
(︂
lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝑐,𝑗
𝑞𝑐,𝑗
⃒⃒⃒⃒)︂𝜈𝑐
при lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝑐,𝑗
𝑞𝑐,𝑗
⃒⃒⃒⃒
≥ 1;(︂
lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝑐,𝑗
𝑞𝑐,𝑗
⃒⃒⃒⃒)︂𝜈𝑐
при lim
𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝑐,𝑗
𝑞𝑐,𝑗
⃒⃒⃒⃒
< 1;
Теорема 3.5. Нехай iснує таке 𝜉 > 0, що 𝑞𝑐,𝑛 ≥ 𝜉 для всiх 𝑛 ∈ ℕ i
𝑐 ∈ 𝐴3. Якщо 𝜉𝜂1
−1−𝜂1−1 2∏︀
𝑐=0
𝑝𝑐 < 1, тодi майже скрiзь (у розумiннi
мiри Лебега) 𝑓 ′(𝑥) = 0.
Доведення. Для доведення скористуємось теоремою 2.3.
З урахуванням умови теореми справедлива оцiнка 𝜈𝑄
*
3
𝑐 (𝑥) ≥ 𝜉 для
всiх 𝑐 ∈ 𝐴3.
Розглянемо довiльне 𝑥 ∈ 𝐸 й побудуємо для нього пару послiдов-
ностей (𝑙𝑛, 𝑟𝑛) за правилом
𝑙𝑛 = Δ
𝑄*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑃𝑛−1(0)
, 𝑟𝑛 = Δ
𝑄*
3
𝛼1𝛼2...𝛼𝑃𝑛−1(2)
,
де 𝑃𝑛 – номер позицiї запису 𝑛-ої одиницi 𝑄*
3-зображення числа 𝑥.
Утворимо пару послiдовностей (𝑢𝑘, 𝑣𝑘) таким чином:
𝑣𝑛 = 𝑥− 𝑙𝑛 = Δ
𝑄*
3
00 . . . 0⏟ ⏞
𝑃𝑛−1
1𝛼𝑃𝑛+1
𝛼𝑃𝑛+2
...
;
𝑢𝑛 = 𝑟𝑛 − 𝑥 = Δ
𝑄*
3
00 . . . 0⏟ ⏞
𝑃𝑛−1
1[2−𝛼𝑃𝑛+1
][2−𝛼𝑃𝑛+2
]...
.
Очевидно, що послiдовностi (𝑢𝑘), (𝑣𝑘) нескiнченно малi.
Враховуючи той факт, що 𝜉 ≤ 𝑞𝑐,𝑗 ≤ 1 для всiх 𝑗 ∈ ℕ i 𝑐 ∈ 𝐴3, стає
очевидним, що
138 Осауленко Р. Ю.
lim
𝑛→∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛
≤ 𝜉−1, lim
𝑛→∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛
≥ 𝜉,
а отже, виконуються нерiвностi 0 < lim
𝑘→∞
𝑢𝑘
𝑣𝑘
≤ lim
𝑘→∞
𝑢𝑘
𝑣𝑘
< ∞ i 𝑢𝑘 ≥
≥ 𝑢𝑘+1 > 0 < 𝑣𝑘+1 ≤ 𝑣𝑘.
Покажемо, що lim
𝑛→∞
□𝑢𝑛
𝑣𝑛
𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑛+1
𝑣𝑛+1
𝑥
= 0.
Згiдно з побудовою функцiї 𝑓 i вибором послiдовностi пар (𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
маємо
□𝑢𝑛
𝑣𝑛 𝑓(𝑥) =
𝑃𝑛−1∏︁
𝑗=1
⃒⃒
𝑔𝛼𝑗 ,𝑗
⃒⃒
, □𝑢𝑛+1
𝑣𝑛+1
𝑥 =
𝑃𝑛+1−1∏︁
𝑗=1
𝑞𝛼𝑗 ,𝑗 .
Отже,
lim
𝑛→∞
□𝑢𝑛
𝑣𝑛 𝑓(𝑥)
□
𝑢𝑛+1
𝑣𝑛+1 𝑥
= lim
𝑛→∞
⎛⎝𝑃𝑛−1∏︁
𝑗=1
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝛼𝑗 ,𝑗
𝑞𝛼𝑗 ,𝑗
⃒⃒⃒⃒
·
𝑃𝑛+1−1∏︁
𝑗=𝑃𝑛
𝑞−1
𝛼𝑗 ,𝑗
⎞⎠ ≤
≤ lim
𝑛→∞
⎛⎝𝑃𝑛−1∏︁
𝑗=1
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝛼𝑗 ,𝑗
𝑞𝛼𝑗 ,𝑗
⃒⃒⃒⃒
· 𝜉𝑃𝑛−𝑃𝑛+1+1
⎞⎠ =
lim
𝑛→∞
⎛⎝ 𝑛
⎯⎸⎸⎷𝑃𝑛−1∏︁
𝑗=1
⃒⃒⃒⃒
𝑔𝛼𝑗 ,𝑗
𝑞𝛼𝑗 ,𝑗
⃒⃒⃒⃒
· 𝜉
𝑃𝑛−𝑃𝑛+1+1
𝑛
⎞⎠𝑛
≤ lim
𝑛→∞
(︃
𝜉
1
𝜂1
− 1
𝜂1 ·
2∏︁
𝑐=0
𝑝𝑐
)︃𝑛
= 0.
Отже, згiдно з теоремою 2.3, 𝑓 ′(𝑥) = 0 майже скрiзь.
Зауважимо, що серед класу побудованих функцiй 𝑓 є сингулярнi
нiде немонотоннi функцiї необмеженої варiацiї. Наприклад, при 𝑞𝑐,𝑗 =
1/3, 1/2 < 𝑔0,𝑗 = 𝑔2,𝑗 = 𝑔0 ≤ 1
6
(︁
1 +
3
√︀
3− 2
√
2 +
3
√︀
3 + 2
√
2
)︁
≈ 0, 559,
𝑔1 = 1− 2𝑔0 для всiх 𝑐 ∈ 𝐴3 i 𝑗 ∈ ℕ якраз отримаємо таку функцiю.
[1] Agadzhanov A. N. Nowhere monotone singular functions in problems of
finite control of distributed systems—Doklady Mathematics.// Doklady
Mathematics. –– 2014. –– jan. –– 89, 1. –– P. 84-87.
[2] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in
terms of 𝑄-representation // International Journal of Mathematical Anal-
ysis –– 2013. –– 7. –– P. 3155-3167.
Узагальнення класичної похiдної й аналог оператора диферен . . . 139
[3] Калашнiков А. В., Працьовитий М. В. Самоафiннi сингулярнi та нiде
не монотоннi функцiї, пов’язанi з 𝑄-зображенням дiйсних чисел //
Укр. мат. журн. – 2013. – 65, 3. – C. 405–417.
[4] Климчук С. О., Працьовитий М. В. Про один клас нiде не монотон-
них функцiй з фрактальними властивостями, який мiстить пiдклас
сингулярних // Збiрник праць Iнституту математики НАН України.
– 2017. – 14, 4.– С. 19–33.
[5] Кравченко В. Ф., Масюк В. М. Современные методы аппроксимации
в теории антенн. Кн. 3. Новый класс фрактальных функций в задачах
анализа и синтеза антенн. – Москва : ИПРЖР (Издательское предпри-
ятие редакции журнала “Радиотехника”), 2002. – ISBN: 5-93108-021-X.
[6] Осауленко Р. Ю. Група неперервних перетворень вiдрiзка [0;1], якi
зберiгають частоти 𝑄𝑠-зображення числа // Збiрник праць Iнституту
математики НАН України. – 2016. – 13, 3. – С. 191–204.
[7] Осауленко Р. Ю. Узагальнення класичної похiдної функцiї в точцi i
його застосування // Збiрник праць iнституту матеметики НАН Ука-
раїни. – 2018. – 15, № 1. – С. 100–113.
[8] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних
розподiлiв. – Київ: НПУ iменi М.П.Драгоманова, 1998. – 296 с.
[9] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // Науко-
вий часопис НПУ iменi М.П.Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки. –
2011. – № 12. – С.24–36.
[10] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Один клас неперервних нiде не
монотонних функцiй з автомодельними властивостями // Науковий
часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1:Фiзико-математичнi
науки. – 2014. – № 16(2). – С. 81-93.
[11] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Розсiювання значень однiєї фра-
ктальної неперервної немонотонної функцiї канторiвського типу // Не-
лiнiйнi коливання. – 2018. – 21, 1. – С. 116-130.
[12] Працьовитий М. В., Фещенко О. Ю. Математичнi моделi двосторон-
нiх динамiчних конфлiктiв i 𝑄-представлення чисел // Наук. записки
НПУ iм. М.П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. – 2003. – № 4. – С. 260-
269.
[13] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции,
распределения. – Київ: Наук. думка, 1992. — 205 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-399 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:44Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c6/38c854c5f675e2909ba32e9e39d6f4c6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-3992020-08-09T19:19:20Z Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions Обобщение классической производной и аналог оператора дифференцирования как инструментарий для изучения дифференциальных свойств функций Узагальнення класичної похідної й аналог оператора диференціювання як інструментарій для вивчення диференціальних властивостей функцій Osaulenko, R.Yu. Осауленко, Р.Ю. Осауленко, Р.Ю. In this paper, we consider a $(u, w)$--derivative that is a generalization of a classical derivative and an operator defined by the equality $Sqxuv f (x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{Squv f(x)}{Squv x}$, where $Squv f(x)$ is the oscillation of the function $ f $ on the interval with the ends at the points $ x + u (h) $, $ x - w (h) $, functions $u(h)$, $w(h)$ are infinitely small at zero, such that for all $ h $ from it the inequalities $u(h) \neq -w(h)$, $u(h)\cdot w(h)\geq 0$ holds for a punctured neighbourhood of zero.Their properties and relationships with the classical derivative are described. Their application for the derivation of differential properties is presented by the example of a model class of nowhere monotone functions. Розглядається $(u, w)$--похідна, що є узагальненням класичної похідної, й оператор $Sqxuv $, означений рівністю $Sqxuv f (x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{Squv f(x)}{Squv x}$, де $Squv f(x)$ -- коливання функції $f$ на відрізку з кінцями в точках $x + u(h)$, $x - w(h)$, функції $u(h)$, $w(h)$ є нескінченно малими в нулі, такі, що для всіх $h$ із деякого проколотого околу нуля справедливі нерівності $u(h) \neq -w(h)$, $u(h)\cdot w(h)\geq 0$. Продемонстровано застосування цих понять для вивчення диференціальних властивостей ніде не монотонних функцій із модельного класу. Розглядається $(u, w)$--похідна, що є узагальненням класичної похідної, й оператор $Sqxuv $, означений рівністю $Sqxuv f (x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{Squv f(x)}{Squv x}$, де $Squv f(x)$ -- коливання функції $f$ на відрізку з кінцями в точках $x + u(h)$, $x - w(h)$, функції $u(h)$, $w(h)$ є нескінченно малими в нулі, такі, що для всіх $h$ із деякого проколотого околу нуля справедливі нерівності $u(h) \neq -w(h)$, $u(h)\cdot w(h)\geq 0$. Продемонстровано застосування цих понять для вивчення диференціальних властивостей ніде не монотонних функцій із модельного класу. Інститут математики НАН України 2020-08-09 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/399 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 121-139 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 121-139 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 121-139 3083-7529 1815-2910 uk en https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/399/426 Авторське право (c) 2019 R.Yu. Osaulenko http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Osaulenko, R.Yu. Осауленко, Р.Ю. Осауленко, Р.Ю. Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| title | Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| title_alt | Обобщение классической производной и аналог оператора дифференцирования как инструментарий для изучения дифференциальных свойств функций Узагальнення класичної похідної й аналог оператора диференціювання як інструментарій для вивчення диференціальних властивостей функцій |
| title_full | Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| title_fullStr | Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| title_full_unstemmed | Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| title_short | Generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| title_sort | generalization of the classical derivative and analogue of the differentiation operator as a toolset for studying the differential properties of functions |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/399 |
| work_keys_str_mv | AT osaulenkoryu generalizationoftheclassicalderivativeandanalogueofthedifferentiationoperatorasatoolsetforstudyingthedifferentialpropertiesoffunctions AT osaulenkorû generalizationoftheclassicalderivativeandanalogueofthedifferentiationoperatorasatoolsetforstudyingthedifferentialpropertiesoffunctions AT osaulenkorû generalizationoftheclassicalderivativeandanalogueofthedifferentiationoperatorasatoolsetforstudyingthedifferentialpropertiesoffunctions AT osaulenkoryu obobŝenieklassičeskojproizvodnojianalogoperatoradifferencirovaniâkakinstrumentarijdlâizučeniâdifferencialʹnyhsvojstvfunkcij AT osaulenkorû obobŝenieklassičeskojproizvodnojianalogoperatoradifferencirovaniâkakinstrumentarijdlâizučeniâdifferencialʹnyhsvojstvfunkcij AT osaulenkorû obobŝenieklassičeskojproizvodnojianalogoperatoradifferencirovaniâkakinstrumentarijdlâizučeniâdifferencialʹnyhsvojstvfunkcij AT osaulenkoryu uzagalʹnennâklasičnoípohídnoíjanalogoperatoradiferencíûvannââkínstrumentaríjdlâvivčennâdiferencíalʹnihvlastivostejfunkcíj AT osaulenkorû uzagalʹnennâklasičnoípohídnoíjanalogoperatoradiferencíûvannââkínstrumentaríjdlâvivčennâdiferencíalʹnihvlastivostejfunkcíj AT osaulenkorû uzagalʹnennâklasičnoípohídnoíjanalogoperatoradiferencíûvannââkínstrumentaríjdlâvivčennâdiferencíalʹnihvlastivostejfunkcíj |