Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу
In the paper we describe algorithm to obtain a sequence of values ofrandom variable $\xi$ with independent identically distributed binarydigits having a singular distribution of Salem type. Some examples ofapplication of this algorithm are also given. We consider distributionof $\xi$ as one-paramete...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/401 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552902079283200 |
|---|---|
| author | Гончаренко, Я. В. Дивляш, Н. В. |
| author_facet | Гончаренко, Я. В. Дивляш, Н. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. В. Гончаренко",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова"
},
{
"author": "Н. В. Дивляш",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М.П. Драгоманова"
}
] |
| author_sort | Гончаренко, Я. В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | In the paper we describe algorithm to obtain a sequence of values ofrandom variable $\xi$ with independent identically distributed binarydigits having a singular distribution of Salem type. Some examples ofapplication of this algorithm are also given. We consider distributionof $\xi$ as one-parameter distribution that depends on parameter$\rho= \mathbb{P} \{ \alpha_i =1 \}$, where $\alpha_i$ is a $i$thbinary digit of $\xi$. For samples obtained by simulation modeling, wedemonstrate three methods for estimation of unknown parameter $\rho$:method of moments, modified minimum distance estimation andmaximum-likelihood estimation methods. We also compare accuracy ofobtained estimators. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 7–18
УДК 517.927
Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
М.П. Драгоманова, Київ; ya.v.goncharenko@npu.edu.ua
Алгоритм побудови послiдовностi
значень випадкової величини, що
має сингулярний розподiл
салемiвського типу
In the paper we describe algorithm to obtain a sequence of values
of random variable ξ with independent identically distributed binary
digits having a singular distribution of Salem type. Some examples
of application of this algorithm are also given. We consider distri-
bution of ξ as one-parameter distribution that depends on parameter
ρ = P{αi = 1}, where αi is a ith binary digit of ξ. For samples
obtained by simulation modeling, we demonstrate three methods for
estimation of unknown parameter ρ: method of moments, modifi-
ed minimum distance estimation and maximum-likelihood estimation
methods. We also compare accuracy of obtained estimators.
Key words: singular probability distribution, statistical estimator,
simulation modeling.
c© Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш, 2017
8 Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
У роботi наведенi опис i приклади застосування алгоритму отри-
мання послiдовностi значень випадкової величини ξ з незалежни-
ми однаково розподiленими двiйковими цифрами, що має сингу-
лярний розподiл салемiвського типу. При цьому розподiл ξ роз-
глядається як однопараметричний розподiл, що залежить вiд па-
раметра ρ = P{αi = 1}, де αi — i-та двiйкова цифра ξ. Для отри-
маних за допомогою iмiтацiйного моделювання вибiрок продемон-
стровано три методи оцiнювання невiдомого параметра ρ: метод
моментiв i модифiкацiї методiв мiнiмальної вiдстанi та макси-
мальної правдоподiбностi, i здiйснено порiвняння точностi отри-
маних оцiнок.
Ключовi слова: сингулярний розподiл, статистична оцiнка, iмi-
тацiйне моделювання.
Вступ
На сьогоднi отримано ряд результатiв, що стосуються дослiдже-
ння сингулярних розподiлiв, описано їхнi класи, здiйснено класи-
фiкацiю за трьома чистими класами, отримано умови належностi
до кожного класу [1, 4]. Проте дослiдження статистичних задач,
пов’язаних iз сингулярними розподiлами, нинi практично вiдсу-
тнi.
У роботах [2, 3] для найпростiшого сингулярного розподiлу
салемiвського типу було обґрунтовано модифiкацiї статистичних
методiв отримання оцiнок, а також доведено iснування й побу-
дована реалiзацiя оптимального критерiю для перевiрки простої
гiпотези щодо значення параметра розподiлу в класi дослiджу-
ваних розподiлiв, на основi якої сформульованi алгоритми стати-
стичних гiпотез щодо параметра розподiлу. Цi задачi були розв’я-
занi для розподiлу випадкової величини η з незалежними одна-
ково розподiленими двiйковими цифрами ηk, P{ηk = 1} = p1,
P{ηk = 0} = p0, 0 ≤ pi ≤ 1, p0 + p1 = 1. Вiдомо [1], що при
p0 6= p1 випадкова величина η має сингулярний розподiл сале-
Алгоритм побудови послiдовностi значень випадкової величини 9
мiвського типу. При цьому її функцiя розподiлу має вигляд:
Fη(x) = βα1 +
∞∑
k=1
βαk+1
k−1∏
j=1
pαj , (1)
де αk — k-та двiйкова цифра x; β0 = 0, β1 = 1 − p1. Якщо як
параметр розглянути p1 = ρ, то функцiю розподiлу (1) можна
записати у виглядi
Fη(x) = βα1 +
∞∑
k=1
βαk+1
ρ
k∑
j=1
αj
(1− ρ)
k−
k∑
j=1
αj
. (2)
Для класу параметричного розподiлу (2) було побудовано мето-
ди оцiнки значення параметра ρ: модифiкацiї методу мiнiмальної
вiдстанi й максимальної правдоподiбностi, дослiджено властиво-
стi отриманих оцiнок, зокрема для оцiнки максимальної правдо-
подiбностi доведено її незмiщеннiсть, конзистентнiсть i ефектив-
нiсть.
Зазначимо, що при побудовi прикладiв, що iлюструють засто-
сування запропонованих у [2] методiв оцiнок невiдомого пара-
метра однопараметричного сингулярного розподiлу (2), виникає
проблема: отримати (згенерувати) вибiрку, що має дослiджува-
ний сингулярний розподiл, вирiшенню якої присвячена ця стат-
тя.
1. Методи оцiнювання невiдомих параме-
трiв сингулярного розподiлу салемiв-
ського типу
Нагадаємо, у чому полягає задача оцiнки параметра розподiлу.
Нехай ми маємо реалiзацiю Xn = (x1, x2, . . . , xn) вибiрки з роз-
подiлом F (·; θ). Розподiл залежить вiд деякого параметра θ з
множини всiляких значень Θ, його значення невiдоме i його по-
трiбно оцiнити (визначити) за реалiзацiєю Xn вибiрки.
10 Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
Для оцiнки параметра θ у просторi X — множинi реалiза-
цiй вибiрки — необхiдно визначити (побудувати) функцiю h(·) зi
значеннями в Θ — множинi всеможливих значень параметра θ,
таку, що значення h(Xn) дорiвнює θ (або хоча б наближено до-
рiвнює θ). Значення θ̂ = h(Xn) ми й використовуватимемо як не-
вiдоме θ. Причому варто зазначити, що для кожної реалiзацiї Xn
значення θ̂ = h(Xn), яке використовується як θ, своє (функцiя θ̂
є випадковою величиною).
Для оцiнювання потрiбно врахувати, наскiльки велика похиб-
ка θ̂ − θ, тобто наскiльки сильно можуть вiдрiзнятися значення
оцiнки θ̂ = h(Xn) вiд оцiнюваної величини θ.
Оцiнка θ̂ називається незмiщеною оцiнкою параметра θ, якщо
M(θ̂) = θ, або, що те ж саме, M(θ̂ − θ) = 0.
Послiдовнiсть оцiнок {θ̂n} називається конзистентною послi-
довнiстю оцiнок параметра θ, якщо для кожного ε > 0:
P{|θ̂n − θ| < ε} → 1(n→∞).
Незмiщеною оцiнкою θ∗ параметра θ називається його найкра-
ща оцiнка, оцiнка мiнiмальної дисперсiї або ефективна оцiнка,
якщо Dθ∗ = inf
θ̂:Mθ̂=θ
Dθ̂.
Зупинимося детальнiше на алгоритмах модифiкованих мето-
дiв мiнiмальної вiдстанi й максимальної правдоподiбностi.
1.1. Модифiкацiя методу мiнiмальної вiдстанi
1. Розбити вiдрiзок [0; 1] на 2m двiйкових вiдрiзкiв рангу m:
∆α1α2...αm =
[
m∑
i=1
αi2
−i;
m∑
i=1
αi2
−i + 2−m
]
, αi ∈ {0; 1}.
2. Знайти вiдноснi частоти ν(∆α1α2...αm) попадання вибiрко-
вих значень xi, i = 1, n, у двiйковi вiдрiзки рангу m.
Алгоритм побудови послiдовностi значень випадкової величини 11
3. Знайти значення ймовiрностей для кожного з двiйкових
вiдрiзкiв:
P{x ∈ ∆α1α2...αm} = %
m∑
j=1
αj
(1− %)
m−
m∑
j=1
αj
.
4. Для всiх ∆α1α2...αm знайти найбiльшi значення функцiй
|ϕ∆α1α2...αm
(%)| =
∣∣∣∣∣∣%
m∑
j=1
αj
(1− %)
m−
m∑
j=1
αj
− ν(∆α1α2...αm)
∣∣∣∣∣∣ , % ∈ [0; 1].
5. Знайти двiйковий вiдрiзок ∆∗α1α2...αm рангу m, для яко-
го max
∆α1α2...αm
|ϕ∆α1α2...αm
(%)| набуває найменшого значення при
% ∈ (0; 1).
6. На ∆∗α1α2...αm обчислити значення оцiнки
%̂ =
n∑
i=1
αj
m
. (3)
Зауваження 1. Метод мiнiмальної вiдстанi може використо-
вуватися при достатньо великих m i дає незмiщену оцiнку при
m→∞.
1.2. Модифiкацiя методу максимальної правдопо-
дiбностi
1. Розбити вiдрiзок [0; 1] на 2m двiйкових вiдрiзкiв рангу m:
∆α1α2...αm =
[
m∑
i=1
αi2
−i;
m∑
i=1
αi2
−i + 2−m
]
, αi ∈ {0; 1}.
2. Знайти двiйковий розклад кожного елемента вибiрки xi до
m-ї двiйкової цифри включно, тобто для будь-якого i = 1, n зна-
йти послiдовнiсть (αij), j = 1,m:
xi =
αi1
2
+
αi2
22
+ ...+
αin
2n
+ ...+
αim
2m
.
12 Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
3. Обчислити значення оцiнки:
%̂ =
n∑
i=1
m∑
j=1
αij
mn
. (4)
У статтi [2] було доведено, що незмiщеними i конзистентними
оцiнками параметра ρ розподiлу (1) є:
1. Вибiрковий момент першого порядку:
%̂ =
1
n
n∑
i=1
xi. (5)
2. Оцiнка (3), отримана за допомогою модифiкацiї методу мi-
нiмальної вiдстанi.
3. Оцiнка (4), отримана за допомогою модифiкацiї методу ма-
ксимальної правдоподiбностi.
Для оцiнки (4) була також доведена її ефективнiсть.
2. Моделювання значень випадкової вели-
чини, що має сингулярний розподiл
Найзагальнiшим способом отримання послiдовностi випадкових
чисел, що є послiдовнiстю реалiзацiй випадкової величини, яка
розподiлена за довiльним законом, є спосiб, оснований на проце-
сi формування їх iз вихiдної послiдовностi псевдовипадкових чи-
сел. Псевдовипадковi числа — це числа, отриманi за деяким пра-
вилом (формулою), що iмiтує значення випадкової величини, яка
має рiвномiрний на [0, 1] розподiл. На сьогоднi розроблено низку
алгоритмiв для отримання псевдовипадкових чисел, зокрема да-
тчики псевдовипадкових чисел, якi входять до складу бiльшостi
програмних комплексiв.
Алгоритм побудови послiдовностi значень випадкової величини 13
Для перетворення послiдовностi випадкових чисел, що є реа-
лiзацiями випадкової величини з рiвномiрним законом розподiлу
на промiжку [0; 1], у послiдовнiсть випадкових чисел, що є реа-
лiзацiями випадкової величини iз заданою функцiєю розподiлу
F (x), треба iз сукупностi випадкових чисел iз рiвномiрним зако-
ном розподiлу обрати випадкове число ξ i розв’язати вiдносно x
рiвняння: F (x) = ξ.
У нашому випадку необхiдно знайти розв’язок рiвняння
βα1 +
∞∑
k=1
βαk+1
ρ
k∑
j=1
αj
(1− ρ)
k−
k∑
j=1
αj
= ξ. (6)
Припустимо, що ρ набуває деякого фiксованого значення
ρ0 ∈ (0; 1). Представимо випадкове число ξ за допомогою його
Q-зображення [1] з матрицею Q = (q0, q1), де q0 = 1−ρ0, q1 = ρ0.
Тобто розкладемо ξ у ряд виду:
ξ = βγ1 +
∞∑
k=2
βγk+1
k−1∏
j=1
qγj , (7)
де γk ∈ {0, 1}, β0 = 0, β1 = q0 = 1− ρ0.
Вираз (7) можна переписати у формi:
ξ = βγ1 +
∞∑
k=1
βγk+1
ρ
k∑
j=1
γj
0 (1− ρ0)
k−
k∑
j=1
γj
. (8)
Виникає питання: як, маючи довiльне фiксоване значення
ξ ∈ [0, 1], знайти послiдовнiсть γk його цифр у Q-розкладi?
Для цього можна використоти процедуру, алгоритм якої пред-
ставлено на рис. 1.
14 Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
Рис. 1
Нехай β0 = 0 i β1 = 1 − ρ0. Якщо справедлива нерiвнiсть
ξ < 1 − ρ0, то перша цифра γ1 = 0, iнакше γ1 = 1. Позначимо
ξ1 = ξ− βγ1 . Якщо ξ1 = 0, то вважатимемо γj = 0 для всiх j ≥ 2.
Якщо 0 < ξ1 < (1− ρ0)(1− ρ0)1−γ1ργ10 , то γ2 = 0, iнакше γ2 = 1.
Позначимо ξ2 = ξ1 − βγ2(1 − ρ0)1−γ1ργ10 . Якщо ξ2 = 0, то вва-
жатимемо γj = 0 для всiх j ≥ 3. Якщо
0 < ξ2 < (1− ρ0)(1− ρ0)2−(γ1+γ2)ργ1+γ2
0 ,
то γ3 = 0, iнакше γ3 = 1.
Продовжуючи подiбнi мiркування, на k-тому кроцi запишемо
ξk = ξk−1 − βγk(1− ρ0)
k−1−
k−1∑
j=1
γj
ρ
k−1∑
j=1
γj
0 .
Алгоритм побудови послiдовностi значень випадкової величини 15
Якщо ξk = 0, то кожна наступна цифра γj , починаючи
з (k + 1)-ї, дорiвнюватиме нулю. Якщо
0 < ξk < (1− ρ0)(1− ρ0)
k−
k∑
j=1
γj
ρ
k∑
j=1
γj
0 ,
то k-та цифра γk = 0, iнакше k-та цифра γk = 1.
Таким чином, рiвнiсть (6) запишемо як:
βα1+
∞∑
k=1
βαk+1ρ
k∑
j=1
αj
0 (1−ρ0)
k−
k∑
j=1
αj
=βγ1+
∞∑
k=1
βγk+1ρ
k∑
j=1
γj
0 (1−ρ0)
k−
k∑
j=1
γj
.
(9)
Очевидно, що рiвняння (9) перетворюється на правильну рiв-
нiсть за умови αi = γi для будь-якого i = 1, 2, ....
3. Приклад
За даним алгоритмом ми згенерували вибiрку обсягом n = 250
iз розподiлу виду (2).
Для вибiркових значень xi, i = 1, 250 були знайденi всi мо-
жливi двiйковi вiдрiзки 5-го рангу виду ∆α1α2α3α4α5 , αi ∈ {0; 1}
(дивись табл. 1).
Вiдноснi частоти νk = ν(∆α1α2α3α4α5), k = 1, 32 визнача-
лись як вiдносна частота потрапляння вибiркового значення xi,
i = 1, 250 у кожен iз цилiндрiв ∆α1α2α3α4α5 .
Розвя’яжемо задачу оцiнки значення невiдомого параметра ρ
трьома рiзними методами.
1. Метод моментiв.
%̂1 =
32∑
k=1
xkνk,
де xk =
5∑
j=1
αkj2
−j + 1
26
, αkj – j-та двiйкова цифра xk.
Отримаємо %̂1 = 0, 623875.
16 Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
2. Метод мiнiмальної вiдстанi.
Запишемо вiдхилення ймовiрностей попадання вибiркових
значень xi, i = 1, 250 у двiйковi вiдрiзки ∆α1α2...α5 вiд емпi-
ричних частот ν(∆α1α2...α5)(дивись табл.1):
ϕ(%) = %
m∑
j=1
αj
(1− %)
m−
m∑
j=1
αj
− ν(∆α1α2...αm).
Найменше значення
min{ max
∆α1α2α3α4α5
|ϕ(%)|} = 0, 002332275,
яке досягається на вiдрiзку ∆01011, є значенням функцiї
|ϕ(%)| в точцi % = 0, 6.
Таким чином, ми отримали оцiнку за допомогою методу
мiнiмальної вiдстанi
%̂2 = 0, 6.
3. Метод максимальної правдоподiбностi.
Використавши формулу (4), отримаємо оцiнку
%̂3 = 0, 6264.
Для порiвняння точностi отриманих оцiнок застосуємо сере-
дньоквадратичнi оцiнки вiдхилень теоретичних значень вiд ем-
пiричних, тобто розрахуємо величини:
σ2
e(%̂s) =
∑
∆α1α2...αm
(P%̂s{x ∈ ∆α1α2...αm} − P%{x ∈ ∆α1α2...αm})2,
s = 1, 2, 3.
Ми маємо σ1 = 0, 00612, σ2 = 0, 02882, σ3 = 0, 00361, тобто
найточнiшою є оцiнка, отримана за допомогою методу макси-
мальної правдоподiбностi.
Алгоритм побудови послiдовностi значень випадкової величини 17
Табл. 1: Обчислення оцiнки параметра за методом мiнiмальної
вiдстанi
∆α1...α5 νk ϕ(%) F (x, %̂1) F (x, %̂2) F (x, %̂3)
∆00000 0,008 (1−%)5−0, 008 0 0 0
∆00001 0,012 %(1−%)4−0, 012 0,00753 0,01024 0,00728
∆00010 0,008 %(1−%)4−0, 008 0,02001 0,02560 0,01948
∆00011 0,020 %2(1−%)3−0, 020 0,03250 0,04096 0,03169
∆00100 0,012 %(1−%)4−0, 012 0,05321 0,06400 0,05215
∆00101 0,020 %2(1−%)3−0, 020 0,06570 0,07936 0,06435
∆00110 0,024 %2(1−%)3−0, 024 0,08641 0,10240 0,08481
∆00111 0,036 %3(1−%)2−0, 036 0,10712 0,12544 0,10527
∆01000 0,012 %(1−%)4−0, 012 0,14147 0,16000 0,13958
∆01001 0,020 %2(1−%)3−0, 020 0,15396 0,17536 0,15178
∆01010 0,024 %2(1−%)3−0, 024 0,17467 0,19840 0,17224
∆01011 0,032 %3(1−%)2−0, 032 0,19538 0,22144 0,19270
∆01100 0,020 %2(1−%)3−0, 020 0,22973 0,25600 0,22701
∆01101 0,032 %3(1−%)2−0, 032 0,25044 0,27904 0,24747
∆01110 0,036 %3(1−%)2−0, 036 0,28479 0,31360 0,28177
∆01111 0,056 %4(1−%)−0, 056 0,31914 0,34816 0,31608
∆10000 0,012 %(1−%)4−0, 012 0,37612 0,40000 0,37360
∆10001 0,020 %2(1−%)3−0, 020 0,38861 0,41536 0,38580
∆10010 0,024 %2(1−%)3−0, 024 0,40932 0,43840 0,40626
∆10011 0,028 %3(1−%)2−0, 028 0,43003 0,46144 0,42673
∆10100 0,020 %2(1−%)3−0, 020 0,46438 0,49600 0,46103
∆10101 0,036 %3(1−%)2−0, 036 0,48510 0,51904 0,48149
∆10110 0,032 %3(1−%)2−0, 032 0,51945 0,55360 0,51580
∆10111 0,060 %4(1−%)−0, 060 0,55380 0,58816 0,55010
∆11000 0,024 %2(1−%)3−0, 024 0,61078 0,64000 0,60762
∆11001 0,032 %3(1−%)2−0, 032 0,63149 0,66304 0,62808
∆11010 0,036 %3(1−%)2−0, 036 0,66584 0,69760 0,66239
∆11011 0,060 %4(1−%)−0, 060 0,70020 0,73216 0,69670
∆11100 0,032 %3(1−%)2−0, 032 0,75718 0,78400 0,75422
∆11101 0,056 %4(1−%)−0, 056 0,79153 0,81856 0,78852
∆11110 0,060 %4(1−%)−0, 060 0,84851 0,87040 0,84604
∆11111 0,096 %5−0, 096 0,096 0,92224 0,90356
18 Я.В. Гончаренко, Н.В. Дивляш
Лiтература
[1] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiджен-
нях сингулярних розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iменi
М. П. Драгоманова. – 1998. – 296 с.
[2] Гончаренко Я. В., Дивляш Н. В. Статистичнi методи оцiн-
ки параметра для одного однопараметричного класусингу-
лярних розподiлiв салемiвського типу. // Науковий часопис
НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi
науки. — К.: Вид-во НПУ iм. М. П. Драгоманова. – 2014,
16(1). – C. 81-94.
[3] Гончаренко Я. В., Дивляш Н. В. Перевiрка статистичної гi-
потези про параметр розподiлу салемiвського типу. // На-
уковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1.
Фiзико-математичнi науки. – К.: Вид-во НПУ iм. М. П. Дра-
гоманова. – 2014, 16(2). – C. 100-108.
[4] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества,
функции, распределения. – Киев: Наук. думка. – 1992. –
208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-401 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:48Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b6/2dc6bc4cc8de63f3d2f1011eb9aa1db6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4012020-08-10T06:16:24Z Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу Гончаренко, Я. В. Дивляш, Н. В. In the paper we describe algorithm to obtain a sequence of values ofrandom variable $\xi$ with independent identically distributed binarydigits having a singular distribution of Salem type. Some examples ofapplication of this algorithm are also given. We consider distributionof $\xi$ as one-parameter distribution that depends on parameter$\rho= \mathbb{P} \{ \alpha_i =1 \}$, where $\alpha_i$ is a $i$thbinary digit of $\xi$. For samples obtained by simulation modeling, wedemonstrate three methods for estimation of unknown parameter $\rho$:method of moments, modified minimum distance estimation andmaximum-likelihood estimation methods. We also compare accuracy ofobtained estimators. У роботі наведені опис і приклади застосування алгоритму отримання послідовності значень випадкової величини $\xi$ з незалежними однаково розподіленими двійковими цифрами, що має сингулярний розподіл салемівського типу. При цьому розподіл $\xi$ розглядається як однопараметричний розподіл, що залежить від параметра $\rho= \mathbb{P} \{ \alpha_i =1 \}$, де $\alpha_i$ --- $i$-та двійкова цифра $\xi$. Для отриманих за допомогою імітаційного моделювання вибірок продемонстровано три методи оцінювання невідомого параметра $\rho$: метод моментів і модифікації методів мінімальної відстані та максимальної правдоподібності, і здійснено порівняння точності отриманих оцінок. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/401 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 7-18 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 7-18 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 7-18 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/401/398 Авторське право (c) 2017 Я. В. Гончаренко, Н. В. Дивляш http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Гончаренко, Я. В. Дивляш, Н. В. Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| title | Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| title_full | Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| title_fullStr | Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| title_full_unstemmed | Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| title_short | Алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| title_sort | алгоритм побудови послідовності значень випадкової величини, що має сингулярний розподіл салемівського типу |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/401 |
| work_keys_str_mv | AT gončarenkoâv algoritmpobudoviposlídovnostíznačenʹvipadkovoíveličiniŝomaêsingulârnijrozpodílsalemívsʹkogotipu AT divlâšnv algoritmpobudoviposlídovnostíznačenʹvipadkovoíveličiniŝomaêsingulârnijrozpodílsalemívsʹkogotipu |