Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею
We consider Markov representations of real numbers from $[0,1]$ defined by doubly-stochastic matrices.These representation are enco\-dings of reals via binary alphabet.Topological, metric and fractal properties of real number sets with restrictions on usages of symbols in the Markov representation a...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/403 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552903829356544 |
|---|---|
| author | Маркітан, В. П. |
| author_facet | Маркітан, В. П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. П. Маркітан",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Маркітан, В. П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We consider Markov representations of real numbers from $[0,1]$ defined by doubly-stochastic matrices.These representation are enco\-dings of reals via binary alphabet.Topological, metric and fractal properties of real number sets with restrictions on usages of symbols in the Markov representation are described.Properties of a function associated to a real number $x$ with a Markov representation $\Delta^{M}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots}$ the number $MD(x)$ having binary representation $(\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots)$ are investigated. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 34–48
УДК 511.7+517.5
В.П. Маркiтан
Iнститут математики НАН України, Київ;
v.p.markitan@npu.edu.ua
Фрактальнi властивостi множин та
функцiй, пов’язаних з марковським
зображенням дiйсних чисел,
визначеним двiчi стохастичною
матрицею
We consider Markov representations of real numbers from [0, 1] defi-
ned by doubly-stochastic matrices. These representation are enco-
dings of reals via binary alphabet. Topological, metric and fractal
properties of real number sets with restrictions on usages of symbols
in the Markov representation are described. Properties of a functi-
on associated to a real number x with a Markov representati-
on ∆M
α1α2...αn... the number MD(x) having binary representation
(α1α2 . . . αn . . .) are investigated.
Keywords: Markov representation, doubly-stochastic matrix,
Lebesgue measure, Hausdorff–Besikovich dimension, singular functi-
on.
c© В.П. Маркiтан, 2017
Марковське зображення чисел 35
У статтi дослiджується марковське зображення дробової частини
дiйсного числа, що є кодуванням дiйсних чисел з двосимвольним
алфавiтом за умови визначення його двiчi стохастичною матри-
цею. Дослiджуються тополого-метричнi та фрактальнi властиво-
стi множин дiйсних чисел з обмеженнями на використання сим-
волiв у марковському зображеннi числа. Дослiджуються власти-
востi функцiї, яка числу, заданому своїм марковським зображен-
ням, ставить у вiдповiднiсть число з такими самими цифрами у
звичайному двiйковому зображеннi.
Ключовi слова: марковське зображення, двiчi стохастична ма-
триця, мiра Лебега, розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича, сингу-
лярна функцiя.
Вступ
На сьогоднi рiзнi моделi дiйсного числа (рiзнi системи представ-
лення й зображення дiйсних чисел) використовуються в матема-
тицi та її застосуваннях. Це є особливо ефективним при дослi-
дженнi рiзних математичних об’єктiв зi складними локальними
властивостями i багатими множинами «особливостей».
Марковське зображення дробової частини дiйсного числа, по-
роджене двiчi стохастичною матрицею, має додатковi «симетрiї»,
що спрощує розв’язання деяких задач метричної та ймовiрнiсної
теорiї чисел i допускає бiльш тонкий аналiз об’єктiв, визначених
у його термiнах.
У данiй роботi ми, використовуючи марковське двосимволь-
не зображення дробової частини дiйсного числа, визначене двiчi
стохастичною матрицею, вивчаємо множини канторiвського ти-
пу, означенi обмеженнями на вживання символiв у зображеннi
числа; сингулярну функцiю, яка встановлює зв’язок мiж числа-
ми вiдрiзка [0; 1] через «однаковi» за формою зображення: мар-
ковське i двiйкове.
36 В.П. Маркiтан
1. Марковське двосимвольне зображення
дiйсних чисел одиничного вiдрiзка, ви-
значене двiчi стохастичною матрицею
Нехай A = {0, 1} — алфавiт системи числення; q = (q0, q1) —
упорядкований набiр додатних чисел, причому q0 + q1 = 1; L =
A×A× . . . — простiр послiдовностей алфавiту;
Q = ||qik|| =
(
q00 q01
q10 q11
)
−
стохастична матриця (сума елементiв у кожному стовпчику до-
рiвнює одиницi,) причому вона не мiстить нулiв.
Теорема 1. Для будь-якого числа x ∈ [0; 1] iснує послiдовнiсть
(αn) з нулiв i одиниць така, що
x = βα1 + qα1
∞∑
k=1
(
βαkαk+1
k−1∏
j=1
qαjαj+1
)
≡ ∆M
α1α2...αk...
, (1)
де βα1 = α1q1−α1 , βαkαk+1
= (αk+1)qαk,1−αk+1
.
Доведення. Доведемо iснування розкладу (1). Зазначимо, що
1 = ∆M
(1). Оскiльки
[0; 1) =
1⋃
i=0
[
βi;β(i+1)
)
,
то iснує α1 ∈ {0; 1}, таке, що
βα1 ≤ x < βα1+1, або 0 ≤ x− βα1 ≡ x1 < qα1 ,
звiдки отримуємо x = βα1 +x1. Якщо x1 = 0, то x = βα1 = ∆M
α1(0).
Тобто αk = 0 для всiх k > 1.
Марковське зображення чисел 37
Нехай x1 > 0. Аналогiчно, оскiльки
x1 ∈ [0; qα1) =
1⋃
i=0
[
βα1i;βα1(i+1)
)
,
то iснує α2 ∈ {0; 1}, таке, що
βα1α2qα1 ≤ x1 < βα1(α2+1)qα1 , або
0 ≤ x1 − βα1α2qα1 ≡ x2 < qα1qα1α2 ,
звiдки отримуємо x1 = βα1α2qα1 + x2 i x = βα1 + βα1α2qα1 + x2.
Якщо x2 = 0, то x = βα1 + βα1α2qα1 = ∆M
α1α2(0). Тобто αk = 0
для всiх k > 2.
Продовжуючи цей процес, знайдемо числа α3, α4, . . . , αk i
x3, x4, . . . xk, такi, що
0 ≤ xk−1−βαk−1αk
qα1qα1α2 . . . qαk−2αk−1
≡ xk < qα1qα1α2 . . . qαk−1αk
i x = βα1 + βα1α2qα1 + . . .+ βαk−1αk
qα1qα1α2 . . . qαk−2αk−1
+ xk.
Аналогiчно, оскiльки
xk ∈
[
0; qα1
k−1∏
n=1
qαnαn+1
)
=
1⋃
i=0
[
βαki;βαk(i+1)
)
,
то iснує αk+1 ∈ {0; 1}, таке, що
0 ≤ xk − βαkαk+1
qα1qα1α2 . . . qαk−1αk
≡ xk+1 <
< qα1qα1α2 . . . qαk−1αk
qαkαk+1
= qα1
k∏
n=1
qαnαn+1 .
Цей процес є нескiнченним, але збiжним, оскiльки
xk+1 < (max {q00, q01, q10, q11, })n → 0 (n→∞).
Отже, можливий розклад (1). �
38 В.П. Маркiтан
Означення 1. Формальний (скорочений) запис ∆M
α1α2...αn... ряду
(1) i його суми х називають марковським зображенням числа
х, яке є його кодуванням засобами двосимвольного алфавiту A.
При цьому αn = αn(x) називається n-ою цифрою (символом)
цього зображення. Вираз функцiї розподiлу випадкової величини
заданим своїм Q2-зображенням «природним» чином призводить
до поняття марковського зображення числа.
Зауваження 1. Злiченна множина чисел має два зображення.
Це числа виду:
∆M
α1α2...αk0(1) = ∆M
α1α2...αk1(0).
Їх називатимемо M -рацiональними та використовуватимемо
їхнi зображення з перiодом 0. Решту ж чисел назвемо M -
iррацiональними, вони мають одне зображення.
Означення 2. Нехай (c1, c2, . . . , cm) – впорядкований набiр ну-
лiв та одиниць. Цилiндром рангу m з основою c1c2 . . . cm нази-
вається множина ∆M
c1c2...cm чисел x ∈ [0; 1], першi m цифр у
зображеннi яких є c1, c2, . . . , cm вiдповiдно, тобто
∆M
c1c2...cm =
{
x : x = ∆M
c1c2...cmαm+1αm+2..., αm+i ∈ A, i ∈ N
}
.
Справджуються такi властивостi цилiндрiв:
1. ∆M
c1c2...cm = ∆M
c1c2...cm0 ∪∆M
c1c2...cm1;
2. min∆M
c1c2...cm(i+1) = sup∆M
c1c2...cmi
, i = {0, 1};
3.
|∆M
c1...cmij |
|∆M
c1...cmi|
= qij ;
4. Довжина цилiндра ∆M
c1c2...cm обчислюється за формулою
|∆M
c1...cm | = qc1
∏m−1
i=1 qcici+1 .
5.
1⋃
c1=0
1⋃
c2=0
. . .
1⋃
cm=0
∆c1c2...cm = [0; 1] ;
6. Цилiндри одного рангу не перетинаються або спiвпадають,
причому ∆M
c1c2...cm = ∆M
c
′
1c
′
2...c
′
m
⇔ ci = c
′
i i = 1,m;
Марковське зображення чисел 39
7.
∆M
c1c2...cm ∩∆M
c
′
1c
′
2...c
′
mc
′
m+1...c
′
m+k
=
=
∅, якщо ∃ i 6 m, ci 6= c
′
i,
∆M
c
′
1c
′
2...c
′
mc
′
m+1...c
′
m+k
, якщо ci = c
′
i i = 1,m.
8. Для довiльної послiдовностi (cm) ∈ L перерiз
∞⋂
m=1
∆M
c1c2...cm = x ≡ ∆M
c1c2...cm... є точкою з [0; 1].
9. ∆M
c1...cm =
[
∆M
c1...cm−1[cm+1](0); ∆M
c1...cm−1cm(1)
)
.
10. Якщо матриця Q не мiстить нулiв i є двiчi стохастичною
(сума елементiв у кожному рядку i стовпцi дорiвнює одиницi),
то
|∆M
c1...cm01|
|∆M
c1...cm0|
=
|∆M
c1...cm10|
|∆M
c1...cm1|
та
|∆M
c1...cm00|
|∆M
c1...cm0|
=
|∆M
c1...cm11|
|∆M
c1...cm1|
.
2. Множини чисел iз обмеженнями на вжи-
вання символiв у марковському зобра-
женнi чисел
Нехай x ∈ [0; 1] задане своїм марковським зображенням
∆M
α1α2...αk...
, яке визначене двiчi стохастичною матрицею
Q = ||qik|| =
(
q00 q01
q10 q11
)
=
(
a 1− a
1− a a
)
,
причому 0 < a < 1.
Теорема 2. Множина
C = {x : x = ∆c1c2...cn..., c2k−1c2k ∈ {00, 11} ∀k ∈ N} є
нуль-множиною Лебега, розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича якої
є коренем рiвняння ax(ax + (1− a)x) = 1.
40 В.П. Маркiтан
Доведення. Нехай ∆
M
c1c2...cm = ∆M
c1c2...cm
⋂
C. Знайдемо мiру Ле-
бега λ(C).
Очевидно, що C = ∆
M
00 ∪∆
M
11 , причому ∆
M
00
⋂
∆
M
11 = ∅ . Тому
λ(C) = λ(∆
M
00) + λ(∆
M
11).
Множини ∆
M
00 i ∆
M
11 є самоподiбними, оскiльки
∆
M
ii = ∆
M
ii00 ∪∆
M
ii11, i = {0, 1} ,
∆
M
00
k1∼ ∆
M
0000 , ∆
M
00
k2∼ ∆
M
0011 ,
k1 = a2, k2 = a(1− a).
Тодi
λ(∆
M
ii ) = λ(∆
M
ii00 ∪∆
M
ii11) =
= k1λ(∆
M
ii ) + k2λ(∆
M
ii ) = (k1 + k2)λ(∆
M
ii ).
Оскiльки 0 < k1 + k2 < 1, то λ(∆
M
ii ) = 0, а тому λ(C) = 0.
Оскiльки кожна з множин ∆
M
ii , бувши самоподiбною, задо-
вольняє умову вiдкритої множини, то її розмiрнiсть Гаусдорфа-
Безиковича збiгається з самодiбною розмiрнiстю, яка є розв’яз-
ком рiвняння
kx1 + kx2 = 1, тобто ax(ax + (1− a)x) = 1.
�
Теорема 3. Множина
D = {x : x = ∆c1c2...cn..., ck + ck+1 + ck+2 6= 1 ∀k ∈ N} є
нуль-множиною Лебега, розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича якої
є коренем рiвняння (a(1− a)2)x + ax = 1.
Марковське зображення чисел 41
Доведення. Нехай ∆
M
c1c2...cm = ∆M
c1c2...cm
⋂
D. Знайдемо мiру Ле-
бега λ(D).
Очевидно, що D = ∆
M
11 ∪ ∆
M
011 ∪ ∆
M
1011 ∪ ∆
M
(0), причому
∆
M
11
⋂
∆
M
011 = ∅, ∆
M
11 ∩∆
M
1011 = ∅, ∆
M
011 ∩∆
M
1011 = ∅. Тому
λ(D) = λ(∆
M
11) + λ(∆
M
011) + λ(∆
M
1011).
Множинa ∆
M
11 є самоподiбною, оскiльки
∆
M
11 = ∆
M
111 ∪∆
M
11011,
∆
M
11
k1∼ ∆
M
111 , ∆
M
11
k2∼ ∆
M
11011 ,
k1 = a, k2 = a(1− a)2.
Тодi
λ(∆
M
11) = λ(∆
M
111 ∪∆
M
11011) =
= k1λ(∆
M
11) + k2λ(∆
M
11) = (k1 + k2)λ(∆
M
11).
Оскiльки 0 < k1 + k2 < 1, то λ(∆
M
11) = 0, а тому враховуючи
∆
M
11∼∆
M
011 i ∆
M
11∼∆
M
1011 , маємо λ(D) = 0.
Оскiльки множина ∆
M
11 , бувши самоподiбною, задоволь-
няє умову вiдкритої множини, то її розмiрнiсть Гаусдорфа-
Безиковича збiгається з самодiбною розмiрнiстю, яка є розв’яз-
ком рiвняння
kx1 + kx2 = 1, тобто ax + (a(1− a)2)x = 1.
Теорему доведено. �
3. Сингулярна функцiя, пов’язана з мар-
ковським i двiйковим зображення дiй-
сних чисел
Надалi розглядатимемо марковське зображення дiйсних чисел,
визначене впорядкованим набором додатних чисел q = (q0, q1),
42 В.П. Маркiтан
причому q0 + q1 = 1, i стохастичною матрицею з додатними еле-
ментами
Q = ||qik|| =
(
q00 q01
q10 q11
)
.
Для пари ij ∈ {00, 01, 10, 11} через Nij(x, n) позначимо кiль-
кiсть появ цiєї пари до n мiсця включно у марковському зобра-
женнi числа x = ∆M
α1α2...αn..., тобто
Nij(x, n) = # {k(k + 1) : αkαk+1 = ij, k 6 n− 1} .
Означення 3. Якщо iснує границя lim
n→∞
Nij(x,n)
n = νij(x), то її
значення νij(x) називають частотою пари цифр ij у марков-
ському зображеннi числа x ∈ [0; 1].
Означення 4. [8] Число x ∈ [0; 1] називається нормальним
за Марковим, якщо для кожної пари цифр ij ∈ {00, 01, 10, 11}
частота пари iснує i дорiвнює:
ν00(x) = q0q00, ν01(x) = q0q01, ν10(x) = q1q10, ν11(x) = q1q11. (2)
Теорема 4. [8, Теорема 2] Мiра Лебега множини нормальних
за Марковим чисел дорiвнює 1.
А тепер, використовуючи марковське та двiйкове представле-
ння чисел, розглянемо функцiю MD.
Означення 5. Функцiю MD визначимо таким чином:
MD(x) = MD(∆M
α1α2...αn...) := ∆2
α1α2...αn...,
яка для кожного числа x = ∆M
α1α2...αn... iз вiдрiзка [0; 1] (задано-
го своїм марковським зображенням) ставить у вiдповiднiсть
двiйкове зображення деякого числа з вiдрiзка [0; 1], записане ти-
ми самими символами (∆2
α1α2...αn... =
∑∞
i=1
αi
2i
).
Лема 5. Для довiльного набору (α1, α2, . . . , αn) ∈ An виконує-
ться рiвнiсть:
MD
(
∆M
α1α2...αn1(0)
)
= MD
(
∆M
α1α2...αn0(1)
)
.
Марковське зображення чисел 43
Доведення. Справдi, перетворимо лiву частину рiвностi:
MD
(
∆M
α1α2...αn1(0)
)
= ∆2
α1α2...αn1(0) =
n∑
i=1
αi
2i
+
1
2n+1
;
тепер перетворимо праву частину:
MD
(
∆M
α1α2...αn0(1)
)
=
n∑
i=1
αi
2i
+
∞∑
j=n+2
1
2j
=
n∑
i=1
αi
2i
+
1
2n+2
1− 1
2
=
=
n∑
i=1
αi
2i
+
1
2n+1
.
Таким чином, права й лiва частини рiвностi однаковi. Лему до-
ведено. �
Лема 2 дає змогу стверджувати, що функцiяMD(x) коректно
визначена для всiх точок x ∈ [0; 1], якi мають по два марковськi
зображення.
Теорема 6. Функцiя MD(x) є неперервною, строго зростаю-
чою;
- лiнiйною, якщо q0 = q00 = q01 =
1
2
,
- кусково лiнiйною, якщо q00 = q01 =
1
2
,
- сингулярною в рештi випадкiв.
Доведення. 1. Доведемо, що функцiя MD(x) є неперервною в
кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1].
Нехай x0 – довiльна точка [0; 1]. Для доведення неперервностi
MD(x) в точцi x0 достатньо показати, що
lim
x→x0
|MD(x)−MD(x0)| = 0. (3)
Спочатку розглянемо випадок, коли точка x0 є M -
iррацiональною. Для довiльного x ∈ [0; 1] iснує m = m(x),
44 В.П. Маркiтан
таке, що
{
αi(x) = αi(x0), якщо 0 6 i 6 m− 1,
αm(x) 6= αm(x0);
причому умова x→ x0 рiвносильна до умови m→∞. Тодi
|MD(x)−MD(x0)| =
=
∣∣∣∆2
α1(x)α2(x)...αn(x)... −∆2
α1(x0)α2(x0)...αn(x0)...
∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
∞∑
i=m
(
αi(x)
2i
− αi(x0)
2i
)∣∣∣∣∣ 6
6
1
2m
+
1
2m+1
+ . . . =
1
2m−1
→ 0 при m→∞.
Отже, функцiя MD(x) є неперервною в точцi x0.
Нехай x0 – M -рацiональне число. Доведемо, що MD(x) непе-
рервна злiва i неперервна справа в точцi x0.
Для доведення неперервностi злiва достатньо використати
марковське зображення точки x0, що мiстить перiод (1), а непе-
рервностi справа – марковське зображення точки x0, що мiстить
перiод (0), i повторити попереднi мiркування, якi проводилися
для M -iррацiональної точки.
Таким чином, функцiя MD(x) є неперервною в кожнiй точцi
вiдрiзка [0; 1].
2. Покажемо, що функцiя MD(x) є строго зростаючою.
Нехай x1 = ∆M
α
(1)
1 α
(1)
2 ...α
(1)
n ...
, x2 = ∆M
α
(2)
1 α
(2)
2 ...α
(2)
n ...
i x1 < x2.
Це означає, що iснує m ∈ N, таке, що:
α
(1)
n = α
(2)
n = αn, α
(1)
2 = α
(2)
2 = α2, ..., α
(1)
m−1 = α
(2)
m−1 = αm−1,
але α(1)
m < α
(2)
m .
Марковське зображення чисел 45
Розглянемо рiзницю значень функцiї у заданих точках:
MD(x2)−MD(x1) = ∆2
α
(2)
1 α
(2)
2 ...α
(2)
n ...
−∆2
α
(1)
1 α
(1)
2 ...α
(1)
n ...
=
= ∆2
α1α2...αm−1α
(2)
m α
(2)
m+1...
−∆2
α1α2...αm−1α
(1)
m α
(1)
m+1...
=
=
1
2m
+
α
(2)
m+1
2m+1
+
α
(2)
m+1
2m+2
+ . . .− (
0
2m
+
α
(1)
m+1
2m+1
+
α
(1)
m+2
2m+2
+ . . .) =
=
1
2m
+
α
(2)
m+1 − α
(1)
m+1
2m+1
+
α
(2)
m+1 − α
(1)
m+1
2m+2
+ . . . > 0.
Оскiльки x2 6= x1, то{
α
(2)
j (x) 6= 1, для всiх j > m+ 1,
α
(1)
i (x) 6= 0, для всiх i > m+ 1,
тому MD(x2)−MD(x1) > 0 при x2 > x1, тобто функцiя MD(x)
є строго зростаючою.
3. Якщо q0 = q00 = q01 =
1
2
, то марковське зображення є
звичайним двiйковим зображенням i MD(x) = x.
Нехай q00 = q01 =
1
2
. Тодi
x = ∆M
α1α2...αn... = βα1 + qα1u, a y = ∆2
α1α2...αn... =
α1
2
+
1
2
u,
де u = α2
2 + α3
22
+ . . . = ∆2
α2α3...αn.... Звiдки
y =
1
2qα1
x+
(
α1
2
− βα1
2qα1
)
.
Якщо α1 = 0, то y = 1
2q0
x. Якщо α1 = 1, то y = 1
2q1
x. Це означає,
що MD(x) – кусково лiнiйна на цилiндрах першого рангу.
Доведемо сингулярнiсть функцiї MD(x) для решти випадкiв.
Нехай x – нормальне за Марковим число iMD
′
(x) iснує. Оскiль-
ки функцiя MD(x) є монотоною, то згiдно з вiдомою теоремою
46 В.П. Маркiтан
Лебега в майже кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1] iснує скiнченна похi-
дна. Тому множина чисел x ∈ [0; 1], якi є нормальними за Мар-
ковим i в яких iснує скiнченна похiдна, є множиною повної мi-
ри. Нехай x – одне з такких чисел. Обчислимо похiдну функцiї
MD(x):
MD
′
(x) =
= lim
x→x0
MD(x)−MD(x0)
x− x0
= lim
n→∞
∣∣∣MD(∆M
α1(x)α2(x)...αn+1(x))
∣∣∣∣∣∣∆M
α1(x)α2(x)...αn+1(x)
∣∣∣ =
= lim
n→∞
1
2n+1
qα1
∏n
j=1 qαjαj+1
=
1
2qα1
lim
n→∞
1
2q
N00
n
00 q
N01
n
01 q
N10
n
10 q
N11
n
11
n
=
=
1
2qα1
lim
n→∞
[
1
2
(
1
q00
)q0q00
·
(
1
(1− q00)
)q0q01
·
(
1
(1− q11)
)q1q10
·
·
(
1
q11
)q1q11]n
=
1
2qα1
lim
n→∞
[
1
2
((
1
q00
)q00
·
(
1
1− q00
)1−q00
)q0
·
·
((
1
q11
)q11
·
(
1
1− q11
)1−q11
)q1]n
.
Доведемо, що
((
1
q00
)q00
·
(
1
1− q00
)1−q00
)q0
·
((
1
q11
)q11
·
(
1
1− q11
)1−q11
)q1
< 2
(4)
Показавши, що
(
1
x
)x
·
(
1
1− x
)1−x
< 2 при x ∈ (0; 1) , (5)
Марковське зображення чисел 47
матимемо((
1
q00
)q00
·
(
1
1− q00
)1−q00
)q0
·
((
1
q11
)q11
·
(
1
1− q11
)1−q11
)q1
<
< 2q0 · 21−q0 = 2.
Нерiвнiсть (5) рiвносильна до нерiвностi
f(x) ≡ −x · lnx− (1− x) · ln(1− x) < ln 2.
Для її доведення зазначимо, що
f(x) = f(1− x) ∀ x ∈ (0; 1) , (6)
тому розглядатимемо функцiю f для x : 0 < x < 1
2 .
Оскiльки
f
′
(x) = ln(1− x)− lnx = ln
1− x
x
> 0, (7)
то f зростає на
(
0; 1
2
)
. А отже, f(x) < f
(
1
2
)
= ln 2, що й треба
було довести.
Тому
MD
′
(x) =
1
2qα1
lim
n→∞
[
1
2
((
1
q00
)q00
·
(
1
1− q00
)1−q00
)q0
·
·
((
1
q11
)q11
·
(
1
1− q11
)1−q11
)q1]n
= 0.
Оскiльки згiдно з теоремою 4 множина нормальнних за Мар-
ковом чисел є множиною мiри 1, то похiдна функцiї MD(x) до-
рiвнює нулю майже скрiзь у розумiннi мiри Лебега, тому за озна-
ченням ця функцiя є сингулярною. Теорему доведено. �
48 В.П. Маркiтан
Лiтература
[1] Працьовитий М. В. Сингулярнi i фрактальнi властивостi розпо-
дiлiв випадкових величин, цифри полiосновного зображення яких
утворюють однорiдний ланцюг Маркова // Укр. мат. журн. – 52
(2000). – № 3. – С. 368-374.
[2] Працьовитий М. В. Канторовiсть i фрактальнi властивостi розпо-
дiлiв випадкових величин, Q-знаки яких утворюють однорiдний
ланцюг Маркова // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 58
(1998). – C. 139-148.
[3] Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi розподiлiв випадко-
вих величин, Q-знаки яких утворюють однорiдний ланцюг Мар-
кова // Асимптотичний аналiз випадкових еволюцiй. – Київ: Iн-т
математики АН України, 1994. – C. 245-254.
[4] Луцак В. В. Цилiндричне марковське зображення дiйсних чисел з
нескiнченним алфавiтом та його застосування // Науковий часо-
пис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1 : Фiзико-математичнi
науки. — 15 (2013). – C. 188-194.
[5] Працьовитий О. М. Про один специфiчний спосiб кодуван-
ня дiйсних чисел та його застосування // Студентськi фiзико-
математичнi етюди. – №3 (2008). – C. 57-67.
[6] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Киев: Наук. думка. – 1992. – 208 с.
[7] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ iм. М. П. Драгоманова. –
1998. – 296 с.
[8] Постников А. Г., Пятецкий И. И. Нормальная по Маркову по-
следовательность знаков и нормальная цепная дробь, Изв. АН
СССР. Сер. матем. – 1957. – том 21, выпуск 6. – С. 729-746.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-403 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:50Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/5e/a20c5dcb5a1d539e64d3ffa3771e9c5e.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4032020-08-10T06:16:24Z Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею Маркітан, В. П. We consider Markov representations of real numbers from $[0,1]$ defined by doubly-stochastic matrices.These representation are enco\-dings of reals via binary alphabet.Topological, metric and fractal properties of real number sets with restrictions on usages of symbols in the Markov representation are described.Properties of a function associated to a real number $x$ with a Markov representation $\Delta^{M}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots}$ the number $MD(x)$ having binary representation $(\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \ldots)$ are investigated. У статті досліджується марковське зображення дробової частини дійсного числа, що є кодуванням дійсних чисел з двосимвольним алфавітом за умови визначення його двічі стохастичною матрицею.Досліджуються тополого-метричні та фрактальні властивості множин дійсних чисел з обмеженнями на використання символів у марковському зображенні числа.Досліджуються властивості функції, яка числу, заданому своїм марковським зображенням, ставить у відповідність число з такими самими цифрами у звичайному двійковому зображенні. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/403 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 34-48 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 34-48 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 34-48 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/403/400 Авторське право (c) 2017 В. П. Маркітан http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Маркітан, В. П. Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| title | Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| title_full | Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| title_fullStr | Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| title_full_unstemmed | Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| title_short | Фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| title_sort | фрактальні властивості множин та функцій, пов'язаних з марковським зображенням дійсних чисел, визначеним двічі стохастичною матрицею |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/403 |
| work_keys_str_mv | AT markítanvp fraktalʹnívlastivostímnožintafunkcíjpov039âzanihzmarkovsʹkimzobražennâmdíjsnihčiselviznačenimdvíčístohastičnoûmatriceû |