Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення
In the paper we study function $f$ that takes each argument $x$ having alternating Ostrogradsky--Sierpi\'nski--Pierce series representation to a sum of Engel series with the same elements, i.e.,$$f\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{q_1q_2\ldots q_n}\right)=\sum_{n=1}^\infty...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/404 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552903682555904 |
|---|---|
| author | Мороз, М.П. |
| author_facet | Мороз, М.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М.П. Мороз",
"institution": "Національний педагогічний університет імені М.П. Драгоманова"
}
] |
| author_sort | Мороз, М.П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | In the paper we study function $f$ that takes each argument $x$ having alternating Ostrogradsky--Sierpi\'nski--Pierce series representation to a sum of Engel series with the same elements, i.e.,$$f\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{q_1q_2\ldots q_n}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(q_1+1\right)\cdot\ldots\cdot \left(q_n+1\right)}, \,\, q_{n+1}>q_n\in\mathbb{N}.$$We prove that set of values for function $f$ is nowhere dense set of positive Lebesgue measure. We analyze function $f$ in terms of monotonicity, continuity and differentiability on the set of irrational numbers. We prove that function $f$ is nowhere monotonic, continuous at any irrational point and non-differentiable in almost all points (in the sense of Lebesgue measure). |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 49–64
УДК 517.5
М.П. Мороз
Нацiональний педагогiчний унiверситет iменi
М.П. Драгоманова, Київ; nicmoroz@ukr.net
Проектор ∆O-зображення чисел в
∆E-зображення
In the paper we study function f that takes each argument x having
alternating Ostrogradsky–Sierpiński–Pierce series representation to a
sum of Engel series with the same elements, i.e.,
f
( ∞∑
n=1
(−1)
n−1
q1q2 . . . qn
)
=
∞∑
n=1
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
, qn+1 > qn ∈ N.
We prove that set of values for function f is nowhere dense set of posi-
tive Lebesgue measure. We analyze function f in terms of monotoni-
city, continuity and differentiability on the set of irrational numbers.
We prove that function f is nowhere monotonic, continuous at any
irrational point and non-differentiable in almost all points (in the
sense of Lebesgue measure).
Key words: Ostrogradsky–Sierpiński–Pierce series, Engel series,
continuity of function on the set of irrational numbers, non-
differentiability of function, nowhere monotonicity of function,
representation of real numbers, cylindrical sets.
c© М.П. Мороз, 2017
50 М.П. Мороз
Робота присвячена функцiї f , яка представленню аргумента
x знакозмiнним рядом Остроградського-Серпiнського-Пiрса ста-
вить у вiдповiднiсть суму ряду Енгеля з тими самими елементами,
тобто
f
( ∞∑
n=1
(−1)
n−1
q1q2 . . . qn
)
=
∞∑
n=1
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
, де qn+1 > qn ∈ N.
Доведено, що множиною значень функцiї f є нiде не щiльна мно-
жина додатної мiри Лебега. Функцiя f дослiджується на предмет
її монотонностi, неперервностi й диференцiйовностi по множинi
iррацiональних чисел. Доведено, що функцiя є нiде не монотон-
ною, неперервною в кожнiй iррацiональнiй точцi i майже в усiх
точках (у розумiннi мiри Лебега) є недиференцiйовною.
Ключовi слова: ряд Остроградського-Серпiнського-Пiрса, ряд
Енгеля, неперервнiсть функцiї по множинi iррацiональних чисел,
недиференцiйовнiсть функцiї, нiде не монотоннiсть функцiї, зо-
браження дiйсних чисел, цилiндричнi множини.
Вступ
Модель дiйсного числа у формi ряду є основою для рiзних змi-
стовних теорiй дiйсних чисел, побудови метричної та ймовiрнi-
сної теорiй чисел. Останнiм часом зрiс iнтерес до представлень
чисел рядами, членами яких є числа, оберненi до накопичуваль-
них добуткiв натуральних чисел. До таких належать ряди Люро-
та, Остроградського, Сiльвестера та iншi. Потреба у використан-
нi цих форм дiйсного числа продиктована потребами фракталь-
ної геометрiї, фрактального аналiзу, теорiї функцiй i множин зi
складною локальною структурою, теорiї сингулярних розподiлiв
ймовiрностей тощо.
У цiй роботi ми акцентуємо увагу на функцiї з нетривiальними
локальними властивостями, визначеної в термiнах представлен-
ня чисел знакозмiнними рядами Остроградського-Серпiнського-
Пiрса й додатними рядами Енгеля, яка певним чином висвiтлює
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 51
зв’язок мiж зображеннями чисел, що ґрунтуються на їхнiх роз-
кладах в ряди вказаного виду, з однаковими кодами. Зауважи-
мо, що метричнi теорiї таких зображень, а вони використову-
ють нескiнченний алфавiт, мають багато спiльного. Разом iз цим
отриманi результати висвiтлюють i їх вiдмiнностi. Як доведено
нижче, множини чисел з одними i тими ж умовами на цифри
зображень мають вiдмiннi тополого-метричнi властивостi.
1. Основнi вiдомостi про ряди Остро-
градського-Серпiнського-Пiрса та ряди
Енгеля. Постановка задачi
Означення 1. Рядом Остроградського-Серпiнського-Пiрса на-
зивається знакозмiнний ряд виду
1
q1
− 1
q1q2
+ . . .+
(−1)n−1
q1q2 . . . qn
+ . . . =
∞∑
n=1
(−1)n−1
q1q2 . . . qn
,
де (qn) — строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел.
Теорема 1 ( [2]). Сума кожного ряду Остроградського-
Серпiнського-Пiрса є iррацiональним числом iз iнтервалу (0; 1).
Будь-яке iррацiональне число x ∈ (0; 1) можна єдиним чи-
ном розкласти в ряд Остроградського-Серпiнського-Пiрса, тоб-
то iснує єдина строго зростаюча послiдовнiсть натуральних
чисел (qn), така, що
x =
∞∑
n=1
(−1)n−1
q1q2 . . . qn
≡ ∆O
q1(x)...qn(x)...
.
Скорочений (символiчний) запис ∆O
q1(x)...qn(x)...
називається
∆O-зображенням числа x i вiдповiдного до нього ряду
Остроградського-Серпiнського-Пiрса, при цьому натуральне чи-
сло qn (x) є n-ною цифрою даного зображення. Кожна цифра є
коректно означеною функцiєю зображеного числа.
52 М.П. Мороз
Означення 2. Рядом Енгеля називається ряд виду
1
p1 + 1
+
1
(p1 + 1) (p2 + 1)
+ . . .+
+
1
(p1 + 1) · . . . · (pn + 1)
+ . . . =
∞∑
n=1
1
(p1 + 1) · . . . · (pn + 1)
,
де (pn) — неспадна послiдовнiсть натуральних чисел.
Теорема 2 ( [8]). Сума кожного ряду Енгеля є числом iз (0; 1],
причому вона є iррацiональним числом тодi i тiльки тодi, коли
pn → ∞ при n → ∞. Будь-яке число x ∈ (0; 1] можна єдиним
чином розкласти в ряд Енгеля, тобто iснує єдина неспадна по-
слiдовнiсть натуральних чисел (pn), така, що
x =
∞∑
n=1
1
(p1 + 1) · . . . · (pn + 1)
≡ ∆E
p1(x)...pn(x)...
.
Скорочений (символiчний) запис ∆E
p1(x)...pn(x)...
називається
∆E-зображенням числа x й вiдповiдного до нього ряду Енгеля,
при цьому натуральне число pn (x) є n-ною цифрою даного зо-
браження. Кожна цифра є коректно означеною функцiєю зобра-
женого числа.
Цi двi теореми дозволяють установити взаємно однозначну
вiдповiднiсть мiж множиною iррацiональних чисел iнтервалу
(0; 1), сiм’єю рядiв Остроградського-Серпiнського-Пiрса i сiм’-
єю рядiв Енгеля. Тому можна ототожнювати iррацiональнi чи-
сла з (0; 1) iз вiдповiдними до них рядами Остроградського-
Серпiнського-Пiрса й Енгеля, а точнiше, з послiдовностями на-
туральних чисел, якi цi ряди задають. Таким чином отримуємо
двi системи представлення (зображення) iррацiональних чисел
iз (0; 1).
Означення 3. Цилiндром ∆O
c1c2...cm
(
∆E
c1c2...cm
)
рангу m
iз основою (c1c2 . . . cm) , породженим представленням чи-
сел рядами Остроградського-Серпiнського-Пiрса (Енгеля),
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 53
називається множина всiх чисел виду ∆O
c1c2...cmαm+1αm+2...(
∆E
c1c2...cmαm+1αm+2...
)
.
Вiдомо [2, 8], що цилiндри однакового рангу й зображення
не перетинаються, причому ∆E-цилiндри є пiвiнтервалами. Для
мiри Лебега таких цилiндрiв виконуються формули
λ
(
∆O
c1c2...cm
)
=
1
c1 . . . cm (cm + 1)
,
λ
(
∆E
c1c2...cm
)
=
∣∣∆E
c1c2...cm
∣∣ =
1
(c1 + 1) . . . (cm + 1) cm
.
Нехай маємо два рiзнi числа, представленi рядами Енге-
ля: x1 = ∆E
a1...an... i x2 = ∆E
b1...bn...
. Тодi x1 > x2 ⇔ iснує
i ∈ N таке, що ai < bi, а для всiх натуральних k <
i виконується рiвнiсть ak = bk.
Вiзьмемо два рiзнi числа, представленi рядами
Остроградського-Серпiнського-Пiрса: x1 = ∆O
a1...an... i
x2 = ∆O
b1...bn...
. Нехай i — найменше натуральне число, та-
ке, що ai 6= bi. Тут можливi два випадки. Якщо i – парне, то
x1 > x2 ⇔ ai > bi. Якщо i – непарне, то x1 > x2 ⇔ ai < bi.
Детальнiше про ряди Остроградського-Серпiнського-Пiрса
(далi — ряди Остроградського) й ряди Енгеля можна дiзнати-
ся з робiт [1 – 4, 7, 8, 10 – 15]
Основний об’єкт дослiдження
Функцiю f на множинi I0 iррацiональних чисел з iнтервалу
(0; 1) означимо рiвнiстю:
f (x) = f
(
∆O
q1(x)...qn(x)...
)
= ∆E
q1(x)...qn(x)...
.
Коректнiсть означення цiєї функцiї є наслiдком вище наведених
фактiв. Її ми називатимемо проектором (∆O-зображення в ∆E-
зображення), оскiльки цифри вiдповiдних зображень значення
функцiї й аргумента збiгаються.
54 М.П. Мороз
2. Множина значень проектора. Задача
Альфреда Реньї
Задача про мiру Лебега множини значень функцiї (проектора) f
вiдома пiд назвою задачi Альфреда Реньї [2, 12, 15], початково
сформульованої i розв’язаної у ймовiрнiсних термiнах [12]. Ми
пропонуємо iнший метод її розв’язання.
Теорема 3. Множиною значень Ef проектора f є множина
канторiвського типу
C
[
∆E
q1(x)...qn(x)...
, (ii)
]
= {x : x = ∆E
q1(x)...qn(x)...
, qj+1 > qj , j ∈ N},
яка є нiде не щiльною множиною з мiрою Лебега
1
2
.
Доведення. Оскiльки для довiльної строго зростаючої послiдов-
ностi натуральних чисел (qn) число x = ∆O
q1...qn... ∈ Df , то
y = f (x) = ∆E
q1...qn... ∈ Ef , а тому виконується рiвнiсть Ef = C.
Покажемо, що Ef є нiде не щiльною множиною. Для цього
розглянемо довiльний iнтервал
(
∆E
q1...qna1a2...; ∆E
q1...qnb1b2...
)
. Згi-
дно з ознаками порiвняння чисел за їхнiми ∆E-зображеннями
маємо, що цьому iнтервалу повнiстю належить пiвiнтервал
∆E
q1...qnb1(b2+1)(b2+1), який не мiстить жодної точки множини Ef .
Отже, Ef є нiде не щiльною множиною згiдно з означенням.
Знайдемо мiру Лебега для доповнення Ef = (0; 1] \Ef . Оскiль-
ки множина сум усiх рядiв Енгеля спiвпадає з (0; 1], то Ef — це
множина усiх таких чисел, у ∆E-зображеннi яких присутня хоча
б одна пара однакових цифр. Тому Ef є об’єднанням усiх цилiн-
дрiв виду ∆E
ii й ∆E
q1q2...qnii
, де q1, q2, . . . , qn, i — довiльна скiнченна
строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел, тобто
Ef =
⋃
q1<q2<...<qn<i
∆E
q1q2...qnii.
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 55
Цилiндри, якi входять у об’єднання, не перетинаються, тому
мiра Лебега їхнього об’єднання дорiвнюватиме сумi довжин ци-
лiндрiв:
λ
(
Ef
)
=
∞∑
i=1
∣∣∆E
ii
∣∣+
∞∑
qn=1
∑
q1<q2<...<qn
∞∑
i=qn+1
∣∣∆E
q1q2...qnii
∣∣ .
Для фiксованого набору q1, q2, . . . , qn зростаючих натуральних
чисел:
∞∑
i=qn+1
∣∣∆E
q1q2...qnii
∣∣ =
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
∞∑
i=qn+1
1
(i+ 1)2 i
,
оскiльки
∣∣∣∆E
q1q2...qnii
∣∣∣ = 1
(q1+1)·...·(qn+1)(i+1)2i
.
При фiксованому qn отримуємо:
S (qn) =
∑
q1<q2<...<qn
∞∑
i=qn+1
∣∣∆E
q1q2...qnii
∣∣ =
=
∑
q1<q2<...<qn
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
·
∞∑
i=qn+1
1
(i+ 1)2 i
=
=
∞∑
i=qn+1
1
(i+ 1)2 i
· ∑
q1<q2<...<qn
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
.
Нехай M (qn) =
∑
q1<q2<...<qn
1
(q1+1)·...·(qn+1) при qn = const. До-
ведемо, що M (qn) =
1
2
при довiльному натуральному qn. Для
цього скористаємося методом математичної iндукцiї.
При qn = 1 сума складається з одного доданка, який дорiвнює
1
2
, тобто M (1) =
1
2
. При qn = 2 маємо: M (2) =
1
3
+
1
2 · 3
=
1
2
.
56 М.П. Мороз
База iндукцiї виконується. Припустимо, що M (qn) =
1
2
для
всiх натуральних qn ≤ k. Тодi при qn = k + 1 маємо
M (k + 1) =
1
k + 2
+
1
k + 2
· (M (1) +M (2) + . . .+M (k)) =
=
1
k + 2
+
1
k + 2
· k
2
=
1
2
.
Таким чином твердження має мiсце i при qn = k + 1. В силу
принципу математичної iндукцiї
M (qn) =
∑
q1<q2<...<qn
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
=
1
2
для довiльного фiксованого значення qn. Звiдси
S (qn) =
1
2
∞∑
i=qn+1
1
(i+ 1)2 i
.
Тому мiра Лебега множини Ef дорiвнює
λ
(
Ef
)
=
∞∑
i=1
∣∣∆E
ii
∣∣+
∞∑
qn=1
S (qn) =
∞∑
i=1
1
(i+ 1)2 i
+
∞∑
m=1
S (m) =
=
∞∑
i=1
1
(i+ 1)2 i
+
1
2
∞∑
m=1
∞∑
i=m+1
1
(i+ 1)2 i
=
=
∞∑
i=1
1
(i+ 1)2 i
+
1
2
·
(
1
32 · 2
+
2
42 · 3
+
3
52 · 4
+ . . .
)
=
=
1
4
+
∞∑
i=2
1
(i+ 1)2 i
+
1
2
·
∞∑
i=2
i− 1
(i+ 1)2 i
=
=
1
4
+
1
2
·
∞∑
i=2
i+ 1
(i+ 1)2 i
=
1
4
+
1
2
·
∞∑
i=2
1
(i+ 1) i
=
=
1
4
+
1
2
· 1
2
=
1
2
.
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 57
А оскiльки множина Ef є доповненням множини Ef , то
λ (Ef ) = 1− λ
(
Ef
)
= 1
2 . �
3. Властивостi проектора
Теорема 4. Проектор f є нiде не монотонною функцiєю на всiй
областi визначення.
Доведення. Покажемо, що проектор f не має жодного, хай як
завгодно малого, промiжку монотонностi. Для цього скористає-
мося методом доведення вiд супротивного. Припустимо, що в iн-
тервалi (0; 1) iснує вiдрiзок
[
∆O
q1...qnan+1an+2...; ∆O
q1...qnbn+1bn+2...
]
=
[x1;x2], на якому функцiя f є монотонною (an+1 6= bn+1).
Якщо n парне, то an+1 > bn+1. Тодi число x∗ =
∆O
q1...qnan+1(an+2+1)(an+2+2)... є бiльшим за x1 i меншим за x2, тобто
x∗ ∈ (x1;x2).
Оскiльки число f (x∗) = ∆E
q1...qnan+1(an+2+1)(an+2+2)... менше за
f (x1) = ∆E
q1...qnan+1an+2... i f (x2) = ∆E
q1...qnbn+1bn+2...
, то це супере-
чить тому, що функцiя f є монотонною на обраному вiдрiзку.
Аналогiчно отримується протирiччя у випадку, коли n непар-
не. Отримана суперечнiсть доводить теорему. �
Зауважимо, що функцiя f , бувши неозначеною в рацiональ-
них точках, має в цих точках розриви. Тому дослiдимо її на непе-
рервнiсть i диференцiйовнiсть по множинi iррацiональних чисел.
Теорема 5. Функцiя f є неперервною в кожнiй точцi областi
визначення по множинi iррацiональних чисел, а в кожнiй ра-
цiональнiй точцi iнтервалу (0; 1) має неусувнi розриви першого
роду.
Доведення. Нехай x0 = ∆O
c1...cn... – довiльне фiксоване iррацiо-
нальне число з (0; 1) i аргумент проектора x → x0 по множинi
iррацiональних чисел. Нехай x = ∆O
a1...an.... Умова x → x0 рiв-
носильна до умови n → ∞, де n – таке натуральне число, що
58 М.П. Мороз
an+1 6= cn+1, але ai = ci при i ≤ n [2]. Звiдси
|f (x0)− f (x)| =
∣∣∣∆E
c1...cncn+1... −∆E
c1...cnan+1...
∣∣∣ < ∣∣∆E
c1...cn
∣∣→ 0
при n → ∞. Отже, функцiя f є неперервною по множинi iрра-
цiональних чисел в кожнiй точцi областi визначення.
У роботi [2] показано, що кожне рацiональне число з (0; 1) має
два представлення у виглядi неповних сум ряду Остроградсько-
го:
xr =
1
q1
− 1
q1q2
+ . . .+
(−1)n−1
q1 · . . . · qn
=
=
1
q1
− . . .+ (−1)n−1
q1 · . . . · qn−1 (qn − 1)
+
(−1)n
q1 · . . . · qn−1 (qn − 1) qn
.
Iз того, що x = ∆O
a1...an... → xr, випливає, що в достатньо мало-
му околi точки xr всi iррацiональнi числа з одного якогось боку
вiд xr мають ∆O-зображення виду x = ∆O
q1...qnan+1..., а з другого
боку мають ∆O-зображення виду x = ∆O
q1...qn−1(qn−1)qnbn+2...
зале-
жно вiд парностi n. Причому, з x→ xr випливає, що an+1 → +∞
i bn+2 → +∞.
Тодi значення проектора в цьому околi з одного якогось боку
вiд xr мають вiдповiдно вигляд f (x) = ∆E
q1...qnan+1..., а з друго-
го боку мають вигляд f (x) = ∆E
q1...qn−1(qn−1)qnbn+2...
. При цьому
an+1 → +∞ i bn+2 → +∞ при x → xr. Але тодi значення прое-
ктора f з одного боку прямують до числа
1
q1 + 1
+
1
(q1 + 1) (q2 + 1)
+ . . .+
1
(q1 + 1) · . . . · (qn + 1)
,
а з другого боку до числа
1
q1 + 1
+ . . .+
1
(q1 + 1) · . . . · (qn−1 + 1) qn
+
+
1
(q1 + 1) · . . . · (qn − 1) qn (qn + 1)
.
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 59
Зрозумiло, що цi числа нерiвнозначнi, а тому в рацiональнiй то-
чцi xr маємо неусувний розрив першого роду. �
Теорема 6. Функцiя f є недиференцiйовною майже скрiзь (у
розумiннi мiри Лебега) по множинi iррацiональних чисел.
Доведення. Нехай x0 = ∆O
c1...cncn+1... – деяке фiксоване iррацiо-
нальне число, а x = ∆O
c1...cnan+1... – деяке число, ∆O-зображення
якого вiдрiзняється вiд ∆O-зображення числа x0 починаючи з
деякого (n+ 1)-го елемента, тобто an+1 6= cn+1.
Розглянемо вiдношення
f (x0)− f (x)
x0 − x
=
∆E
c1...cncn+1... −∆E
c1...cnan+1...
∆O
c1...cncn+1... −∆O
c1...cnan+1...
=
=
1
(c1+1)·...·(cn+1)
(
∆E
cn+1... −∆E
an+1...
)
(−1)n
c1·...·cn
(
∆O
cn+1... −∆O
an+1...
) =
=
(−1)n c1 · . . . · cn
(c1 + 1) · . . . · (cn + 1)
·
∆E
cn+1... −∆E
an+1...
∆O
cn+1... −∆O
an+1...
.
Згiдно з ознаками порiвняння чисел за їхнiми зображеннями
чисельник i знаменник дробу
∆E
cn+1... −∆E
an+1...
∆O
cn+1... −∆O
an+1...
одночасно або
додатнi, або вiд’ємнi, а тому сам дрiб завжди є додатним. Тому
знак вiдношення
f (x0)− f (x)
x0 − x
залежить винятково вiд парностi
числа n. Оскiльки в довiльному, хай як завгодно малому, околi
точки x0 iснують числа, ∆O-зображення яких вiдрiзняються вiд
∆O-зображеня числа x0, починаючи як з парних, так i з непарних
мiсць, то знак цього вiдношення в довiльному околi точки x0 не
є фiксованим. Тому, якщо границя
lim
x→x0,x∈I0
f (x0)− f (x)
x0 − x
iснує, то вона може дорiвнювати лише 0.
60 М.П. Мороз
Покажемо, що майже скрiзь (у розумiннi мiри Лебега), цiєї
границi не iснує. Для цього спочатку покажемо, що в довiльному
околi iррацiональної точки x0 ∈ (0; 1) iснує така точка x∗, що∣∣∣∣f (x0)− f (x∗)
x0 − x∗
∣∣∣∣ > d = d (x0) ≥ 0,
а потiм доведемо, що для множини точок мiри Лебега 1 число
d (x0) > 0, тобто, що майже скрiзь границi lim
x→x0,x∈I0
f (x0)− f (x)
x0 − x
не iснує.
Отож маємо, що∣∣∣∣f (x0)− f (x)
x0 − x
∣∣∣∣ =
c1 · . . . · cn
(c1 + 1) . . . (cn + 1)
·
∆E
cn+1... −∆E
an+1...
∆O
cn+1... −∆O
an+1...
.
В околi точки x0 вiзьмемо таку точку x = x∗ = ∆O
c1...cnan+1..., що
an+1 = (cn+1 + 1) (cn+2 + 1) .
Iснування такої точки випливає з геометрiї ∆O-зображення [2].
Вiдомо [7], що ∆E
an+1an+2... <
1
an+1
, а отже,
∆E
an+1... <
1
(cn+1 + 1) (cn+2 + 1)
.
Звiдси отримуємо оцiнку
∆E
cn+1... −∆E
an+1... >
(
1
cn+1 + 1
+
1
(cn+1 + 1) (cn+2 + 1)
+ . . .
)
−
− 1
(cn+1 + 1) (cn+2 + 1)
>
1
cn+1 + 1
.
Також вiдомо [2], що ∆O
cn+1cn+2... <
1
cn+1
, а тому маємо оцiнку
0 < ∆O
cn+1... −∆O
an+1... < ∆O
cn+1... <
1
cn+1
.
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 61
Таким чином, отримуємо оцiнку для дробу:
∆E
cn+1... −∆E
an+1...
∆O
cn+1... −∆O
an+1...
>
1
cn+1 + 1
1
cn+1
=
cn+1
cn+1 + 1
.
Звiдси маємо, що∣∣∣∣f (x0)− f (x∗)
x0 − x∗
∣∣∣∣ > c1 · . . . · cn · cn+1
(c1 + 1) . . . (cn + 1) (cn+1 + 1)
.
Але водночас,
c1 · . . . · cn · cn+1
(c1 + 1) . . . (cn + 1) (cn+1 + 1)
>
∞∏
i=1
ci
ci + 1
= d (x0) .
Остаточно отримуємо, що∣∣∣∣f (x0)− f (x∗)
x0 − x∗
∣∣∣∣ > d (x0) =
∞∏
i=1
ci (x0)
ci (x0) + 1
.
Покажемо, що d (x0) > 0 майже скрiзь на iнтервалi (0; 1) у
розумiннi мiри Лебега.
За критерiєм рiвностi нескiнченного добутку нулю,
∞∏
i=1
ci
ci + 1
= 0⇐⇒
∞∑
i=1
ln
(
ci
ci + 1
)
= −∞.
Розглянемо допомiжний ряд
∞∑
i=1
1
ci
. Покажемо, що цей
ряд одночасно збiжний або одночасно розбiжний iз рядом
∞∑
i=1
ln
(
ci
ci + 1
)
. Для цього покажемо, що iснує скiнченна i не рiв-
62 М.П. Мороз
на нулю границя вiдношення вiдповiдних елементiв цих рядiв:
lim
i→∞
ln
(
ci
ci + 1
)
1
ci
= lim
i→∞
(
ci ln
(
ci
ci + 1
))
.
Оскiльки ci → +∞ при i → ∞, то достатньо показати, що
iснує ненульова границя вiдповiдної функцiї:
lim
x→+∞
(
x ln
(
x
x+ 1
))
= − lim
x→+∞
ln
(
x+ 1
x
)x
=
= − ln
(
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x)
= − ln e = −1.
Отже, ряди
∞∑
i=1
1
ci
та
∞∑
i=1
ln
(
ci
ci + 1
)
одночасно збiгаються чи
розбiгаються.
Як вiдомо з класичних результатiв Дж. Шаллiта [14], ряд
∞∑
i=1
1
ci (x0)
є збiжним для майже всiх x0 ∈ I0 (у розумiннi мi-
ри Лебега). Тому майже для всiх x0 ∈ I0 буде збiжним ряд
∞∑
i=1
ln
(
ci (x0)
ci (x0) + 1
)
i
d (x0) =
∞∏
i=1
ci (x0)
ci (x0) + 1
> 0.
Отож, майже для всiх x0 ∈ I0 у довiльному околi точки x0
iснує точка x∗, така, що
∣∣∣∣f (x0)− f (x∗)
x0 − x∗
∣∣∣∣ > d (x0) > 0, а тому
функцiя f є майже скрiзь недиференцiйовною по множинi I0. �
Наразi лишається вiдкритим питання про те, чи є функцiя f
усюди недиференцiйовною.
Проектор ∆O-зображення чисел в ∆E-зображення 63
Лiтература
[1] Барановський О. М., Працьовитий М. В., Гетьман Б. I. По-
рiвняльний аналiз метричних теорiй представлень чисел рядами
Енгеля i Остроградського та ланцюговими дробами // Науковий
часопис НПУ iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiз.-мат. науки.
– 2011. – №12. – С. 130-138.
[2] Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Ряди
Остроградського-Серпiнського-Пiрса. – Київ: Наукова думка. –
2013. – 488 с.
[3] Мороз М. П. Зв’язки мiж рядами Енгеля та рядами
Остроградського-Серпiнського-Пiрса // Студентськi фiзико-
математичнi етюди, – Київ: Вид-во НПУ iменi М.П. Драгомано-
ва. – 2016. – № 15, Т. 1. – С. 44-55.
[4] Працьовита I. М. Про розклади чисел у знакозмiннi s-адичнi ряди
i ряди Остроградського 1- та 2-го видiв // Укр. мат. журн. —
2009. – Т. 61, №7. – С. 958-968.
[5] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнi сингуляр-
них розподiлiв. – Київ: НПУ iменi М.П. Драгоманова. – 1998. –
296 с.
[6] Працьовитий М. В., Барановський О. М. Використання рядiв
Остроградського для аналiтичного задання розподiлiв випадко-
вих величин i вiдображень // Динамiчнi системи: Працi Україн-
ського математичного конгресу. – 2001. – Київ: Iн-т математики
НАН України, 2003. – С. 77-93.
[7] Працьовитий М. В., Барановський О. М., Гетьман Б. I. Ряди
Енгеля й Остроградського та їх застосування. – Київ: Вид-во НПУ
iменi М. П. Драгомановаю. – 2014. – 320 с.
[8] Працьовитий М. В., Гетьман Б. I. Ряди Енгеля та їх застосува-
ння // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Cерiя 1.
Фiзико-математичнi науки. – 2006. – № 7. – С. 105-116.
[9] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Киев: Наукова думка. – 1992. – 208 с.
[10] Erdos P., Renyi A., Szusz P. On Engel’s and Sylvester’s series //
Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. – 1958. – № 1. – P. 7-12.
64 М.П. Мороз
[11] Pierce T.A. On an algorithm and its use in approximating roots
of algebraic equations // Amer. Math. Monthly. – 1929. – Vol. 36,
№ 10. – P. 523-525.
[12] Renyi A. A new approach to the theory of Engel’s series // Ann.
Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. – 1962. – № 5. – P. 25-32.
[13] Sierpinski W.O. O kilku algorytmach dla rozwijania liczb
rzeczywistych na szeregi // Sprawozdania z posiedzen Towarzystwa
Naukowego Warszawskiego, Wydzial III. – 1911. – Vol. 4. – P. 56-77.
[14] Shallit J.O. Metric theory of Pierce expansions // Fibonacci Quart. –
1986. – Vol. 24, № 1. – P. 22-40.
[15] Viader P., Bibiloni Ll., Paradis J. On a problem of Alfred Renyi //
Acta Arith. – 1999. – Vol. 91, № 2. – P. 107-115.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-404 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:50Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/75/655ef6b76bcb42880582944c49e22375.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4042020-08-10T06:16:24Z Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення Мороз, М.П. In the paper we study function $f$ that takes each argument $x$ having alternating Ostrogradsky--Sierpi\'nski--Pierce series representation to a sum of Engel series with the same elements, i.e.,$$f\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{q_1q_2\ldots q_n}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(q_1+1\right)\cdot\ldots\cdot \left(q_n+1\right)}, \,\, q_{n+1}&gt;q_n\in\mathbb{N}.$$We prove that set of values for function $f$ is nowhere dense set of positive Lebesgue measure. We analyze function $f$ in terms of monotonicity, continuity and differentiability on the set of irrational numbers. We prove that function $f$ is nowhere monotonic, continuous at any irrational point and non-differentiable in almost all points (in the sense of Lebesgue measure). Робота присвячена функції $f$, яка представленню аргумента $x$ знакозмінним рядом Остроградського-Серпінського-Пірса ставить у відповідність суму ряду Енгеля з тими самими елементами, тобто$$f\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{q_1q_2\ldots q_n}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(q_1+1\right)\cdot\ldots\cdot \left(q_n+1\right)}, \text{ де } q_{n+1}&gt;q_n\in\mathbb{N}.$$ Доведено, що множиною значень функції $f$ є ніде не щільна множина додатної міри Лебега. Функція $f$ досліджується на предмет її монотонності, неперервності й диференційовності по множині ірраціональних чисел. Доведено, що функція є ніде не монотонною, неперервною в кожній ірраціональній точці і майже в усіх точках (у розумінні міри Лебега) є недиференційовною. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/404 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 49-64 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 49-64 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 49-64 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/404/401 Авторське право (c) 2017 М.П. Мороз http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Мороз, М.П. Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення |
| title | Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення |
| title_full | Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення |
| title_fullStr | Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення |
| title_full_unstemmed | Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення |
| title_short | Проектор $\Delta^O$-зображення чисел в $\Delta^E$-зображення |
| title_sort | проектор $\delta^o$-зображення чисел в $\delta^e$-зображення |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/404 |
| work_keys_str_mv | AT morozmp proektordeltaozobražennâčiselvdeltaezobražennâ |