Частоти та збіжність додатних числових рядів
In this acrticle we propose another way to generete convergence tests of a series of positive terms, a new divergence test, which is based on the concept of the frequency of an element of a numerical sequence. Also we show exaplmes of appling a new convergence tests, in partikular for generalised Fl...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/406 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552904456404992 |
|---|---|
| author | Осауленко, Р.Ю. |
| author_facet | Осауленко, Р.Ю. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Р.Ю. Осауленко",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Осауленко, Р.Ю. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | In this acrticle we propose another way to generete convergence tests of a series of positive terms, a new divergence test, which is based on the concept of the frequency of an element of a numerical sequence. Also we show exaplmes of appling a new convergence tests, in partikular for generalised Flint Hills series and as a consequence, it was obtained that the irrationality measure of the number $ \pi $ is equal $ 2 $. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 65–81
УДК 517.927
Р.Ю. Осауленко
Iнститут математики НАН України, Київ;
romanosaulenko@gmail.com
Частоти та збiжнiсть додатних
числових рядiв
In this article we propose another way to generete convergence tests of
a series of positive terms, a new divergence test, which is based on the
concept of the frequency of an element of a numerical sequence. Also
we show exaplmes of appling a new convergence tests, in partikular
for generalised Flint Hills series and as a consequence, it was obtained
that the irrationality measure of the number π is equal 2.
Key words: figure frequency, serieses, convergence test, irrationality
measure of the real number.
У роботi представлено ще один спосiб отримання ознак збiжно-
стi додатних рядiв. Описано ознаку розбiжнаостi, яка базується
на поняттi частоти елемента числової послiдовностi. Розглянуто
приклади застосування отриманих ознак, зокрема для визначен-
ня умов збiжностi-розбiжностi узагальненого ряду Флiнт Гiлла i,
як наслiдок отримано, що мiра iррацiональностi числа π дорiв-
нює 2.
Ключовi слова: частоти цифр, ряди, однаки збiжностi рядiв,
мiра iррацiональностi дiйсного числа.
c© Р. Ю. Осауленко, 2017
66 Р.Ю. Осауленко
1. Збiжнiсть числових рядiв з додатними
членами
Лема 1. Нехай маємо додатний числовий ряд:
∞∑
n=1
un. (1)
Якщо iснує послiдовнiсть строго спадних функцiй gn(x), така,
що iснує lim
n→∞
gn(un) = µ, а також iснує таке ε0 > 0, що
• ряд
∞∑
n=a
fn
(
µ− ε0
)
збiжний, то ряд (1) збiжний;
• ряд
∞∑
n=a
fn
(
µ+ ε0
)
розбiжний, то ряд (1) розбiжний,
де fn(x) – оберненi до gn(x).
Доведення. Добре вiдомо, що збiжнiсть ряду не змiниться, якщо
вiдкинути скiнченну кiлькiсть перших членiв ряду. Згiдно з
означенням границi й умовою леми, для ε0 > 0 iснує номер
n′0 = n0(ε0) такий, що для довiльного натурального n > n′0 ви-
конується нерiвнiсть: |gn(un)− µ| < ε0. Виконаємо тотожнi пере-
творення:
−ε0 < gn(un)− µ < ε0 ⇒ µ− ε0 < gn(un) < µ+ ε0.
Якщо ряд
∞∑
n=a
fn
(
µ − ε0
)
є збiжним, то покажемо збiжнiсть
ряду (1), використавши нерiвнiсть µ− ε0 < gn(un):
fn
(
gn
(
un
))
< fn(µ− ε0)⇒ un < fn (µ− ε0)⇒
∞∑
n=n0(ε0)
un <
∞∑
n=n0(ε0)
fn (µ− ε0) .
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 67
Отже, згiдно з ознакою порiвняння, маємо збiжнiсть ряду (1).
Якщо ряд
∞∑
n=a
fn
(
µ + ε0
)
є розбiжним, то для того, щоб по-
казати розбiжнiсть ряду (1), достатньо використати нерiвнiсть
gn(un) < µ + ε0 i виконати аналогiчнi дiї, як у попередньому
випадку. �
Лема 2. Нехай маємо додатний числовий ряд:
∞∑
n=1
un. (2)
Якщо iснує послiдовнiсть строго зростаючих функцiй gn(x) та-
ка, що iснує lim
n→∞
gn(un) = µ, а також iснує таке ε0 > 0, що
• ряд
∞∑
n=a
fn
(
µ+ ε0
)
збiжний, тодi ряд (2) збiжний;
• ряд
∞∑
n=a
fn
(
µ− ε0
)
розбiжний, тодi ряд (2) розбiжний,
де fn(x) – оберненi до gn(x).
Доведення аналогiчне до доведення леми 1.
Лема 3. Нехай маємо додатний числовий ряд
∞∑
n=a
un, якщо
iснує послiдовнiсть сторого монотонних функцiй gn(x), така,
що iснує lim
n→∞
gn(un) = µ, а також iснує таке ε0 > 0, що ряди
∞∑
n=a
fn
(
µ − ε0
)
i
∞∑
n=a
fn
(
µ + ε0
)
є збiжними, то ряд
∞∑
n=a
un буде
збiжним, де fn(x) – оберненi функцiї до gn(x).
Доведення леми 3 базується на iдеї доведення леми 1.
Приклади вiдомих ознак, якi утворюються на основi лем,
якщо замiсть fn(x) узяти конкретну функцiональну послiдов-
нiсть:
68 Р.Ю. Осауленко
fn(x) gn(x) Назва ознаки (у граничнiй формi)
xn n
√
x Ознака Кошi
nx lnx
lnn Логарифмiчна ознака(
1− x lnn
n
)n n
lnn (1− n
√
x) Ознака Жаме
Табл. 1: Приклади генерацiї вiдомих ознак
Розглянемо застосування вище описаного для формування
ознак збiжностi додатних числових рядiв. Для того, щоб роз-
рiзняти функцiональнi послiдовностi, ми використовуватимемо
додатковий верхнiй iндекс.
Наприклад, для побудови ознаки збiжностi оберемо
f1n(x) = nx – послiдовнiсть функцiй, тодi обернена до неї
буде g1n(x) = lnx
lnn . Використовуючи iнтегральну ознаку збiжно-
стi, легко встановити, що ряд
∑∞
n=1 f
1
n(x) буде збiжним при
x ∈ (−∞;−1) i розбiжним при x ∈ [−1; +∞).
Покажемо, що ознака на основi g1n(x) є чутливiшою,
нiж ознака Кошi у граничному випадку. Припустимо, що
lim
n→∞
n
√
un = q 6= 1 i виконаємо перетворення:
lim
n→∞
g1n(un) = lim
n→∞
lnun
lnn
= lim
n→∞
n ln
(
n
√
un
)
lnn
= lim
n→∞
n ln q
lnn
= ±∞.
У таблицi 2 наведено приклади функцiональних послiдовно-
стей, на основi яких можна побудувати ознаки збiжностi дода-
тних рядiв, причому при x ∈ (−∞;−1) усi ряди
∞∑
n=[e↑↑j]+1
f jn(x),
j ∈ N є збiжними, а при x ∈ (−1; +∞) – розбiжними (ви-
пливає з iнтегральної ознаки збiжностi додатних числових ря-
дiв), де [e ↑↑ j] — це цiла частина вiд e ↑↑ j, а e ↑↑ 1 = e,
e ↑↑ 2 = ee, e ↑↑ 3 = ee
e , . . . ; також у таблицi фiгурують функцiї
Lk(x) = ln ln . . . lnx︸ ︷︷ ︸
k
= lnLk−1(x), L0(x) = x i Lj(x) =
j−1∏
k=0
Lk(x) =
= Lj−1(x) · Lj−1(x), L0(x) = 1.
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 69
j f jn(x) gjn(x)
1 nx lnx
lnn
2 lnx n
n
ln(xn)
ln lnn
3 (ln lnn)x
n lnn
ln(xn lnn)
ln ln lnn
. . . . . . . . .
k
(Lk−1(n))
x
Lk−1(n)
ln(τLk−1(n))
Lk(n)
Табл. 2: Приклади функцiй для генерацiї ознак збiжностi
1.1. Чутливiсть ознак збiжностi на основi gjn (x)
Покажемо, що чутливiсть ознак на основi функцiй gjn(x) покра-
щується при зростаннi iндексу j. Нехай lim
n→∞
gjn(un) = µ 6= −1,
тодi
lim
n→∞
gj+1
n
(
un
)
= lim
n→∞
ln (unLj(n))
Lj+1(n)
= lim
n→∞
ln (unLj−1(n)Lj−1(n))
Lj+1(n)
=
lim
n→∞
Lj(n) ·
(
ln(unLj−1(n))
Lj(n) + 1
)
Lj+1(n)
= lim
n→∞
Lj(n) · (µ+ 1)
Lj+1(n)
= ±∞,
Оскiльки зi зростанням iндексу j кожна наступна ознака збi-
жностi на основi gjn(x) є чутливiшою, то при дослiдженнi дода-
тного ряду на збiжнiсть ми можемо починати з ознаки на основi
g1n(x), а далi, за необхiдностi, збiльшувати iндекс функцiональної
послiдовностi, на основi якої можна побудувати ознаки збiжностi
рядiв.
2. Додатковi твердження для встановлення
збiжностi додатних рядiв
Теорема 4. Нехай маємо додатний числовий ряд
∞∑
n=1
un, iснує
функцiональний ряд
∞∑
n=a
fn(x), де fn(x) – строго зростаюча фун-
70 Р.Ю. Осауленко
кцiя, для всiх n ∈ N, D є областю збiжностi.
Нехай (nk) i (hk) – двi послiдовностi натуральних чисел, при-
чому об’єднання множин {nk|k ∈ N} i {hk|k ∈ N} є множиною
натуральних чисел, а їхнiй перерiз є порожньою множиною,
при цьому послiдовностi (nk) i (hk) задовольняють умови:
1. Якщо supD ∈ D, то gnk (unk) ∈ D i ghk (uhk) 6∈ D;
2. Якщо supD 6∈ D, то lim
k→∞
gnk (unk) ∈ D 3 lim
k→∞
gnk (unk),
де gn(x) — обернена функцiя до fn(x).
Тодi ряди
∞∑
n=1
un i
∞∑
k=1
uhk збiгаються або розбiгаються одно-
часно.
Доведення. Оскiльки члени додатних числових рядiв ми можемо
переставляти довiльним чином пiд час пiдсумовування, то оче-
видна рiвнiсть:
∞∑
n=a
un =
∞∑
k=1
unk +
∞∑
k=1
uhk . (3)
Для того щоб показати, що ряди
∞∑
n=a
un i
∞∑
k=1
uhk збiгаються
або розбiгаються одночасно, достатньо показати збiжнiсть ряду
∞∑
k=1
unk .
Побудуємо додаткову числову послiдовнiсть (vn), таку, щоб
vnk = unk i vhk = 0, тодi справедлива рiвнiсть
∞∑
k=1
unk =
∞∑
n=1
vn.
Розглянемо перший випадок, коли supD ∈ D i gn (unk) ∈ D,
всi члени ряду
∞∑
n=1
vn задовольняють умову gn (vn) ∈ D, тодi:
∞∑
k=1
unk =
∞∑
n=1
vn =
∞∑
n=1
fn
(
gn (vn)
)
≤
∞∑
n=1
fn (supD) . (4)
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 71
Отже, згiдно з ознакою порiвняння ряд
∞∑
k=1
unk – збiжний.
Розглянемо другий випадок, коли supD 6∈ D i lim
k→∞
gnk (unk) =
µ1 ∈ D 3 µ2 = lim
k→∞
gnk (unk). Тодi iснує таке додатне ε0 > 0, що
(µ1 + ε0) ∈ D, i виконується нерiвнiсть:
∞∑
k=1
unk =
∞∑
k=1
fn
(
gnk (unk)
)
≤
∞∑
n=1
fn (µ1 + ε0) . (5)
Отже, й у цьому випадку ряд
∞∑
k=1
unk – збiжний. �
Зауважимо, що для строго спадних функцiй fn(x) у теоремi
4 достатньо supD замiнити на inf D, щоб отримати справедливе
твердження.
Для наслiдкiв 1–3: якщо функцiї gn(x) є сторого спадними, то
d = inf D1; якщо ж gn(x) є сторого зростаючими, то d = supD1,
де D1 i D2 – вiдповiдно областi збiжностi i розбiжностi ряду
∞∑
n=a
fn(x) , а fn(x) – функцiї, оберненi до gn(x).
Наслiдок 1. Якщо lim
n→∞
gn (un) ∈ D1\{d} 3 lim
n→∞
gn (un), то ряд
∞∑
n=a
un – збiжний.
Наслiдок 2. Якщо lim
n→∞
gn (un) ∈ D2\{d} 3 lim
n→∞
gn (un), то ряд
∞∑
n=a
un – розбiжний.
Наслiдок 3. Якщо d ∈ D2 i починаючи з деякого номера n0
виконується умова: gn (un) ∈ D2, то ряд
∞∑
n=a
un – розбiжний.
Наслiдок 4. Якщо iснує така пiдпослiдовнiсть чисел (ηk), що
ряд
∞∑
k=1
uηk розбiжний, то ряд
∞∑
n=a
un також буде розбiжним.
72 Р.Ю. Осауленко
Доведення. Оскiльки ряд
∞∑
k=1
uηk є пiдрядом ряду
∞∑
n=a
un, то спра-
ведлива нерiвнiсть:
∞∑
n=a
un ≥
∞∑
k=1
uηk , а тому згiдно з ознакою по-
рiвняння ми отримуємо, що ряд
∞∑
n=a
un є розбiжним.
3. Одночасна збiжнiсть-розбiжнiсть рядiв
Нагадаємо важливi поняття i твердження.
Означення 1. Якщо iснує границя
νj(x) = νQsj (x) = lim
n→∞
n−1NQs
j (x, n),
то її значення називається частотою цифри j у Qs-зображеннi
числа x, де NQs
j (x, n) – це кiлькiсть цифр j серед перших n цифр
Qs-зображення числа [0; 1] 3 x = 4Qs
α1α2...αn....
У роботi [1] наведено критерiй iснування частоти цифри двiй-
кового зображення дiйсного числа, який базується на врахуваннi
серiй одиниць i нулiв у записi числа. Нижче наведено загальнiшi
твердження.
Для початку, в зображенi числа x iдучи по послiдовностi αn
ми маркуємо тi αn, якi дорiвнюють цифрi i, тим самим утво-
рюючи пiдпослiдовнiсть (nm), таку, що αnm = i, m ∈ N. На-
приклад, для дiйсного трiйкового запису числа [0; 1] 3 x =
= ∆3
1023012101002410..., у записi якого зустрiчається нескiнчена
кiлькiсть цифр 1, тодi при m = 1, 2, 3, 4, 5 вiдповiдними значе-
ннями nm будуть числа 1, 6, 8, 10, 15.
Теорема 5. Якщо в зображеннi числа x використовується не-
скiнченна кiлькiсть цифр i, то справедлива рiвнiсть:
νi(x) = lim
n→∞
n−1NQs
i (x, n) = lim
m→∞
m
nm
, (6)
де m – порядковий номер цифри i.
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 73
Доведення. Якщо iснує границя lim
n→∞
n−1NQs
i (x, n), то очевидно,
що границя lim
m→∞
m
nm
також iснуватиме.
Розглянемо iнший випадок. Нехай iснує границя lim
m→∞
m
nm
=
m0. Покажемо, що вона спiвпадає з границею lim
n→∞
n−1NQs
i (x, n).
Для скорочення запису далi в доведеннi замiсть NQs
i (x, n) ви-
користовуватимемо Ni(n). Для членiв послiдовностi (nm) вико-
нується рiвнiсть Ni(nm) = m i для довiльного n ∈ [nm;nm+1)
справедлива нерiвнiсть: Ni(nm) = Ni(n) < Ni(nm+1).
Ni(n)
nNi(n)
≥ Ni(n)
n
=
Ni(n)
nNi(n) +
(
n− nNi(n)
) > Ni(n)
nNi(n)+1
. (7)
Перейдемо до границi:
lim
n→∞
Ni(n)
nNi(n)
≥ lim
n→∞
Ni(n)
n
≥ lim
n→∞
Ni(n)
nNi(n)+1
. (8)
Враховуючи рiвнiсть:
lim
n→∞
Ni(n)
nNi(n)+1
= lim
n→∞
Ni(n) + 1
nNi(n)+1
, (9)
а також використавши тотожностi lim
m→∞
m
nm
= lim
n→∞
Ni(n)
nNi(n)
, отри-
маємо:
lim
m→∞
m
nm
≥ lim
n→∞
Ni(n)
n
≥ lim
m→∞
m+ 1
nm+1
, (10)
тобто
m0 ≥ lim
n→∞
Ni(n)
n
≥ m0 ⇒ lim
m→∞
m
nm
= lim
n→∞
Ni(n)
n
. (11)
Нехай границя lim
m→∞
m
nm
не iснує, тодi iснують хоча б двi пiд-
послiдовностi (nmk) i
(
n′mk
)
, такi, що iснують границi lim
k→∞
mk
nmk
6=
6= lim
k→∞
mk
n′mk
. Враховуючи те, що пiдпослiдовностi (nmk) i
(
n′mk
)
74 Р.Ю. Осауленко
також є пiдпослiдовностями послiдовностi (n), отримуємо, що
границi lim
n→∞
Ni(n)
n також не iснує. �
Означення 2. Якщо iснує границя
νj(x) = νQsj (x) = lim
n→∞
n−1NQs
j (x, n),
то її значення називається нижньою частотою цифри j у Qs-
зображеннi числа x, де NQs
j (x, n) – це кiлькiсть цифр j серед
перших n цифр Qs-зображення числа [0; 1] 3 x = 4Qs
α1α2...αn....
Поняття частоти цифри легко розширюється на поняття ча-
стоти елемента послiдовностi.
Нехай задано послiдовнiсть (τn); утворимо пiдпослiдовнiсть
(τnk) на основi бiнарної послiдовностi (θn), де (nk) — зростаюча
послiдовнiсть; θn = 1, якщо τn обрано елементом пiдпослiдовно-
стi (τnk) i θn = 0 в другому випадку; тодi пiд висловом "нижня
частота пiдпослiдовностi (τnk) послiдовностi (τn)"матимемо на
увазi нижню частоту числа 1 у послiдовностi (θn) i позначатиме-
мо ν (τnk).
Означення 3. Якщо iснує границя Aϕn = lim
n→∞
ϕn
n , то її значе-
ння називається верхньою асимптотою числової послiдовностi
(ϕn). Аналогiчним чином означається поняття нижньої асим-
птоти числової послiдовностi, як Aϕn = lim
n→∞
ϕn
n .
Лема 6. Нехай функцiя u(x) ≥ 0 є неперервною, строго спадною
при x ≥ 0, u(0) 6= 0, ряд
∞∑
n=0
u(n) – розбiжний. Тодi для довiльної
послiдовностi (ϕn), де R 3 ϕn ≥ 0, i Aϕn < ∞, ряд
∞∑
n=0
u(ϕn)
розбiгається.
Доведення. Спочатку покажемо, що для довiльного невiд’ємного
дiйсного числа x ряд
∞∑
n=0
u(xn) розбiгається. З того, що функцiя
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 75
u(x) є строго спадною i невiд’ємною, розбiжнiсть ряду при x = 0
стає очевидною, адже u(0) 6= 0.
Нехай, x ∈ N. Покажемо розбiжнiсть ряду
∞∑
n=0
u(xn):
∞ <
∞∑
n=0
u(n) =
(
x−1∑
k=0
u(k)
)
+
(
2x−1∑
k=x
u(k)
)
+
(
3x−1∑
k=2x
u(k)
)
+ · · · ≤
≤ x
(
u(x · 0) + u(x · 1) + u(x · 2) + . . .
)
= x
∞∑
n=0
u(xn).
Нехай R 3 x ≥ 0, тодi для цiлої частини вiд цього числа x
можлива нерiвнiсть: u([x]n) ≥ u(xn) > u
(
([x]+1)n
)
, а тому згiдно
з ознакою порiвняння отримуємо, що ряд
∞∑
n=0
u(xn) – розбiжний.
Легко показати, що функцiя fn(x) = u(xn) є монотонною, тодi
gn(x) = v(x)
n – вiдповiдно обернена, де v(x) – обернена до u(x). На
основi наслiдку 2 маємо: якщо 0 ≤ lim
n→∞
v(an)
n ≤ lim
n→∞
v(an)
n <∞, то
ряд
∞∑
n=1
an розбiгається. Застосуємо утворену ознаку до
∞∑
k=1
u(ϕn):
∞ > lim
n→∞
v
(
u (ϕn)
)
n
= lim
n→∞
ϕn
n
= Aϕn.
Отже, якщо
∞∑
n=1
u(n) розбiжний, то ряд
∞∑
k=1
u(nk) – розбiжний. �
Наслiдок 5. Для довiльної строго спадної неперервної функцiї
u(x), при x ≥ 0 i натурального ξ справедлива нерiвнiсть:
ξ
∞∑
n=0
u
(
ξ(n+ 1)− 1
)
≤
∞∑
n=0
u(n) ≤ ξ
∞∑
n=0
u (ξn) . (12)
Теорема 7. Нехай маємо послiдовнiсть дiйсних чисел (ϕn), та-
ку, що 0 < Aϕn ≤ Aϕn < ∞; тодi для довiльної строго спадної
76 Р.Ю. Осауленко
неперервної функцiї u(x) при x ≥ 0 ряди
∞∑
k=1
u(k) i
∞∑
k=1
u(ϕk) збi-
гаються(розбiгаються) одночасно.
Доведення. Спочатку покажемо одночасну розбiжнiсть рядiв.
Якщо
∞∑
k=1
u(k) – розбiжний, то згiдно з лемою 6 i ряд
∞∑
k=1
u(ϕk)
також розбiжний.
Нехай ряд
∞∑
k=1
u(ϕk) – розбiжний. Враховуючи, що 0 < Aϕn ≤
≤ Aϕn < ∞ нескладно показати, що для довiльного ε > 0 iснує
номер n0, що для всiх натуральних n ≥ n0 виконується нерiв-
нiсть:
nAϕn − ε ≤ ϕn ≤ nAϕn + ε.
Для скорочення запису виконаємо замiну: Aϕn = a > 0, а отже,
iснують взаємно простi натуральнi числа p, q, такi, що p
q ≤ a.
Далi виконаємо тотожнi перетворення на основi iдеї доведення
першої частини леми 6 i її наслiдку:
∞∑
n=q
u(ϕn) ≤
∞∑
n=q
u(an− ε) ≤
∞∑
n=q
u
(
[an− ε]
)
≤
∞∑
n=q
u
[
n
p
q
− ε
]
=
=
(
2q−1∑
n=q
u
[
n
p
q
− ε
])
+
3q−1∑
n=2q
u
[
n
p
q
− ε
]+ · · · ≤
≤ q
∞∑
k=1
u
[
pk − ε
]
≤ q
∞∑
k=1
u(pk − 1) ≤ q
p
∞∑
k=0
u(k),
де [x] – цiла частина вiд числа x, а ϕ[t] = ϕ
(
[t]
)
.
Збiжнiсть доводиться методом вiд супротивного. �
Наслiдок 6. Нехай маємо строго зростаючу пiдпослiдовнiсть
(nk) послiдовностi натуральних чисел, таку, що ν (nk) > 0, то-
дi для довiльної строго спадної функцiї u(x) при x ≥ 0 ряди
∞∑
k=1
u(k) i
∞∑
k=1
u(nk) збiгаються(розбiгаються) одночасно.
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 77
Для доведення наслiдку 6 достатньо вiдзначити, що для зада-
ної послiдовностi (nk) справедлива рiвнiсть: Ank =
(
ν (nk)
)−1
.
Використовуючи наслiдок 6, можна частково дослiдити на збi-
жнiсть ряд
∞∑
n=1
nξ+cosn при ξ ∈ [−2; 0]. Для цього розглянемо
нерiвнiсть:
nξ+cosn ≥ n−1 ⇒ cosn ≥ −1− ξ.
Розв’язком нерiвностi cosx ≥ a є вiдрiзок [− arccos a +
2πn; arccos a + 2πn] довжина якого складає l = 2 arccos a, тодi,
якщо l ≥ 1, тобто при a ≤ cos 0.5, хоча б одне цiле число мi-
ститиметься у кожному з вiдрiзкiв розв’язку нерiвностi; так ми
можемо оцiнити нижню частоту nk всiх цiлих розв’язкiв нерiв-
ностi cosx ≥ a: ν(nk) ≥ (2π)−1 > 0, а отже ряд
∞∑
k=0
n−1k буде
розбiжним. Оскiльки cos 0.5 ≥ a = −1 − ξ то маємо, що при
ξ ≥ −1− cos 0.5 ряд
∞∑
n=1
nξ+cosn є також розбiжним.
4. Узагальнений ряд Флiнт Гiлла та мiра
iррацiональностi числа π
У роботi [2] було наведено приклад рядiв, збiжнiсть яких не вста-
новлена. Спробуємо їх дослiдити. Нехай маємо узагальнений ряд
Флiнт Гiлла (Flint Hills series):
∞∑
n=1
n−u |sinn|−v , u > 0, v > 0. (13)
Узагальнений ряд Флiнт Гiлла пов’язаний iз питанням iсну-
вання мiри iррацiональностi числа π, це число позначають µ(π)
i µ(π) ≥ 2. Згiдно з наслiдком означення мiри iррацiональностi
числа α [3] має виконуватись нерiвнiсть:∣∣∣∣pq − α
∣∣∣∣ > q−µ(α)−ε (14)
78 Р.Ю. Осауленко
для будь-якого ε > 0 i всiх достатньо великих цiлих p i q.
Лема 8. Справедлива рiвнiсть:
lim
n→∞
−v ln | sinn|
lnn
= lim
k→∞
−v ln | sinPk|
lnPk
, (15)
де v > 0, а Pk – це чисельник k-го пiдхiдного дробу до числа π.
Доведення. Оскiльки послiдовнiсть Pk є чисельниками найкра-
щих наближень до числа π, то нескладно довести нерiвнiсть
| sinn| ≥ | sinPk|, де Pk−1 < n ≤ Pk:
lim
n→∞
−v ln | sinn|
lnn
≤ lim
n→∞
−v ln | sinPk|
lnn
≤ lim
k→∞
−v ln | sinPk|
lnPk
.
З другого боку верхня границя завжди не менша за верхню
границю по довiльнiй пiдпослiдовностi, тобто
lim
n→∞
−v ln | sinn|
lnn
≥ lim
k→∞
−v ln | sinPk|
lnPk
.
Отже, виконується рiвнiсть (15). �
Теорема 9. Узагальнений ряд Флiнт Гiлла при v ≥ u, а також
при 0 < u ≤ 1 – розбiжний, i збiжний при v < u− 1.
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть пiдхiдних дробiв Pk
Qk
до чи-
сла π, та виконаємо ряд перетворень над оцiнкою точностi на-
ближення:∣∣∣∣PkQk − π
∣∣∣∣ < 1
QkQk+1
⇒ |Pk − πQk| <
1
Qk+1
<
1
Qk
. (16)
Враховуючи i те, що |sinPk| = |sin (Pk − πQk)|, i |sinx| < |x|,
отримуємо нерiвнiсть:
|sinPk| ≤
1
Qk+1
. (17)
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 79
Перейшовши до границi, спрямувавши k до нескiнченностi, ми
встановили iснування пiдпослiдовностi натуральних чисел, синус
яких прямує до нуля.
Використаємо наслiдки 4 i 2, взявши за пiдпослiдовнiсть (Pk)
послiдовнiсть чисельникiв пiдхiдних дробiв до числа π, а за осно-
ву функцiю g1k(x):
lim
k→∞
ln
(
P−uk |sinPk|−v
)
ln k
≥ lim
k→∞
ln
P−uk
Q−vk
ln k
= lim
k→∞
ln
((
Qk
Pk
)u
·Qv−uk
)
ln k
=
lim
k→∞
ln
(
π−u ·Qv−uk
)
ln k
= lim
k→∞
lnQv−uk
ln k
≥ 0,
якщо v ≥ u то пiдряд розбiжний, а тому узагальнений ряд Флiнт
Гiлла розбiжний при v ≥ u.
Побудуємо пiдряд, який задовольняє наслiдок 3:
ln (n−u| sinn|v)
lnn
≥ −1⇒ | sinn|−v ≥ nu−1 ⇒ | sinn| ≤ n−
u−1
v .
Отже, при 0 < u ≤ 1 остання нерiвнiсть виконується, а тому
в цьому випадку узагальнений ряд Флiнт Гiлла є розбiжним.
Враховуючи наслiдок з означення мiри iррацiональностi чи-
сла, для нашої пiдпослiдовностi натуральних чисел отримаємо:∣∣∣∣PkQk − π
∣∣∣∣ > Q
−µ(π)−ε
k ⇒ |Pk − πQk| > Q
1−µ(π)−ε
k . (18)
Використаємо наслiдок 1.
lim
n→∞
ln
(
n−u |sinn|−v
)
lnn
= −u+ lim
k→∞
−v ln |sinPk|
lnPk
=
= −u+ lim
k→∞
−v ln |sin (Pk − πQk)|
lnPk
≤ −u+ lim
k→∞
−v lnQ
1−µ(π)−ε
k
lnPk
=
80 Р.Ю. Осауленко
= −u+ (µ(π) + ε− 1) v lim
k→∞
lnQk
lnPk
= −u+ (µ(π) + ε− 1) v < −1.
Виконаємо тотожнi перетворення над останньою нерiвнiстю:
(µ(π) + ε− 1) v < u−1⇒ u−1 > (µ(π) + ε− 1) v ≥ (2+ε−1)v ≥ v.
Отже, при v < u− 1 узагальнений ряд Флiнт Гiлла є збiжним. �
Лема 10. Якщо справедливий наслiдок теореми 2 у [2], то мiра
iррацiональностi числа π дорiвнює 2.
Доведення. Нехай виконується умова v < u− 1, тодi ми можемо
записати рiвнiсть v + δ = u − 1, де δ > 0. Згiдно з теоремою 2
в роботi [2], а також iз урахуванням необхiдної умови збiжностi
рядiв отримуємо, що
µ (π) ≤ 1 +
u
v
= 1 +
v + δ + 1
v
= 2 +
δ + 1
v
.
Оскiльки параметри v i δ можна дiбрати таким чином, щоб дрiб
δ+1
v був як завгодно малим, то очевидно, що буде справедливою
нерiвнiсть µ(π)≤2, а оскiльки µ(π)≥2, то µ(π)=2. �
Застосуємо теорему 9 для визначення збiжностi ряду
a(ξ) =
∞∑
n=1
nξ−| sinn| при ξ ∈ [−1; 0). Знайдемо умови виконання
нерiвностi для всiх n ∈ N:
nξ−| sinn| ≥ n−u| sinn|−v ⇒ | sinn| ≤ n
−u−ξ+| sinn|
v ⇒ u ≤ −ξ+| sinn|.
Довiльне u ∈ (0; ξ] задовольняє нерiвнiсть u < −ξ + | sinn|,
а тому
∞∑
n=1
n−ζ−| sinn| ≥
∞∑
n=1
n−u| sinn|−v > ∞. Отже, ряд a(ξ)
збiжний при ξ < −1 i розбiжний при ξ ≥ −1.
Автор висловлює вдячнiсть Працьовитому М. В., Бiлоцько-
му М. М. i Деканову С. Я. за допомогу в написаннi статтi.
Частоти та збiжнiсть додатних числових рядiв 81
Лiтература
[1] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зобра-
ження дiйсних чисел. — Київ. Вид-во НПУ iменi М. П. Дра-
гоманова. – 2012. – 698 с.
[2] Alekseyev Max A. On convergence of the Flint Hills series //ре-
жим доступу: https://arxiv.org/pdf/1104.5100v1.pdf. – 5 с.
[3] Fischler S., Rivoal T. Irrationality exponent and rational
approximations with prescribed growth // American
mathematical society. – 2010, march. – Vol. 138, № 3. –
P. 799-808.
[4] Працевитый Н. В. Случайные величины с независимыми
Q2-символами // Асимптотические методы в исследовании
стохастических моделей. – Киев: Ин-т математики АН УС-
СР. – 1987. – С. 92-102.
[5] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях
сингулярних розподiлiв. – Вид-но НПУ iменi М.П. Драго-
манова. – 1998. – 296 с.
[6] Працьовитий М. В., Климчук С. О., Макарчук О. П.
Перетворення i функцiї, якi зберiгають середнє значен-
ня цифр трiйкового зображення числа // Науковий ча-
сопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1 : Фiзико-
математичнi науки. – 2013. – № 15. – С. 87-99, Режим до-
ступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/Nchnpu_01_2013_15_9.
[7] Працьовитий М. В., Климчук С. О., Макарчук О. П. Часто-
та цифри у зображеннi числа i його асимптотичне середнє
значення цифр // Укр. мат. журн. – 2014, № 3. – С. 302-310.
[8] Терещенко И. В. История развития теории бесконечных по-
ложительных рядов с монотонно убывающими членами //
Научные труды КубГТУ. – 2016, № 8. – С. 440-453.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-406 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:51Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a6/4fc81bf6e7f004a588a61aeeef27faa6.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4062020-08-10T06:16:24Z Частоти та збіжність додатних числових рядів Осауленко, Р.Ю. In this acrticle we propose another way to generete convergence tests of a series of positive terms, a new divergence test, which is based on the concept of the frequency of an element of a numerical sequence. Also we show exaplmes of appling a new convergence tests, in partikular for generalised Flint Hills series and as a consequence, it was obtained that the irrationality measure of the number $ \pi $ is equal $ 2 $. У роботі представлено ще один спосіб отримання ознак збіжності додатних рядів. Описано ознаку розбіжнаості, яка базується на понятті частоти елемента числової послідовності. Розглянуто приклади застосування отриманих ознак, зокрема для визначення умов збіжності-розбіжності узагальненого ряду Флінт Гілла і, як наслідок отримано, що міра ірраціональності числа $\pi $ дорівнює~$2$. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/406 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 65-81 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 65-81 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 65-81 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/406/402 Авторське право (c) 2017 Р.Ю. Осауленко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Осауленко, Р.Ю. Частоти та збіжність додатних числових рядів |
| title | Частоти та збіжність додатних числових рядів |
| title_full | Частоти та збіжність додатних числових рядів |
| title_fullStr | Частоти та збіжність додатних числових рядів |
| title_full_unstemmed | Частоти та збіжність додатних числових рядів |
| title_short | Частоти та збіжність додатних числових рядів |
| title_sort | частоти та збіжність додатних числових рядів |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/406 |
| work_keys_str_mv | AT osaulenkorû častotitazbížnístʹdodatnihčislovihrâdív |