Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел
$Q_3$-representation is a ternary self-similar encoding of numberswith zero redundancy. In the paper, we propose a ternary analogue ofRademacher functions and its generalization based on$Q_3$-representation of real numbers belonging to $[0;1]$. Somerelations for this function are proved.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/407 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552910542340096 |
|---|---|
| author | Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. |
| author_facet | Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю.П. Маслова",
"institution": "НПУ імені М. П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "М.В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М. П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Маслова, Ю.П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | $Q_3$-representation is a ternary self-similar encoding of numberswith zero redundancy. In the paper, we propose a ternary analogue ofRademacher functions and its generalization based on$Q_3$-representation of real numbers belonging to $[0;1]$. Somerelations for this function are proved. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 82–96
УДК 517.927
Ю.П. Маслова1, М.В. Працьовитий2
1 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ; julia0609mas@gmail.com
2 НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com
Узагальнення та аналоги функцiй
Радемахера, пов’язанi з симетричним
Q3-зображенням дiйсних чисел
Q3-representation is a ternary self-similar encoding of numbers wi-
th zero redundancy. In the paper, we propose a ternary analogue
of Rademacher functions and its generalization based on Q3-
representation of real numbers belonging to [0; 1]. Some relations for
this function are proved.
Keywords: classic binary representation of real numbers,Q2-
representation of fractional part of real number, cyli-
nders,Rademacher functions, Walsh functions.
У роботi запропоновано трiйковий аналог функцiй Радемахера i
його узагальнення на основi Q3-зображення дiйсних чисел вiд-
рiзка [0; 1], що є трисимвольним самоподiбним кодуванням чисел
з нульовою надлишковiстю. Доведено кiлька спiввiдношень, якi
стосуються нового поняття.
Ключовi слова: класичне двiйкове зображення дiйсних чисел,
Q2-зображення дробової частини дiйсного числа, цилiндри, фун-
кцiї Радемахера, функцiї Уолша.
c© Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий, 2017
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 83
Вступ
Функцiї Радемахера вiдiграють важливу роль у математицi й у
її застосуваннях, зокрема у теорiї рядiв Уолша, теорiї розкладiв
функцiй в ряди за ортонормованою системою, що є аналогом роз-
кладiв функцiй за синусоїдальними гармонiками, теорiї кодува-
ння й передачi сигналiв тощо. Вони тiсно пов’язанi з класичним
двiйковим зображенням дробової частини дiйсного числа.
Нагадаємо: для числа x ∈ [0; 1) iснує така послiдовнiсть (αk),
αk = αk(x) ∈ A2 = {0; 1}, що
x =
α1
2
+
α2
22
+ . . .+
αk
2k
+ . . . ≡ ∆2
α1α2...αk...
.
Останнiй символiчний запис ∆2
α1α2...αk...
називається класичним
двiйковим зображенням числа x, а число αk – k-тою його ци-
фрою. Кожне iррацiональне число має єдине двiйкове зобра-
ження, але деякi рацiональнi мають їх два (це числа виду
∆2
c1...ck−11(0) = ∆2
c1...ck−10(1)). Домовившись використовувати ли-
ше те з двох зображень рацiонального числа, яке мiстить перiод
(0), ми маємо єдинiсть двiйкового зображення числа. При цьому
числа αk = αk(x) є функцiями вiд x.
Нагадаємо також, що функцiями Радемахера rk(x) називаю-
ться функцiї з перiодом 1, визначенi на пiввiдрiзку [0; 1) таким
чином
r∗0(x) =
1 при x ∈
[
0,
1
2
)
≡ ∆2
0 ⇔ α1(x) = 0;
−1 при x ∈
[
1
2
, 1
)
≡ ∆2
1 ⇔ α1(x) = 1,
r∗k(x) ≡ r∗0
(
{2kx}
)
= r∗0
(
2kx
)
, k = 1, 2, . . . ,
де {2kx} – дробова частина числа 2kx.
Використовуючи узагальнення класичного двiйкового зобра-
ження чисел, а саме Q2-зображення, у статтi [6] ми ввели уза-
гальнення функцiї Радемахера зi збереженням бiльшостi ва-
жливих властивостей. У данiй роботi ми пропонуємо трiйковий
84 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
аналог функцiї Радемахера i його узагальнення на основi Q3-
зображення чисел. Пояснимо далi його суть.
Нехай 1 < s — задане натуральне число, As = {0, 1, . . . , s− 1}
— алфавiт s–символьної системи кодування (зображення) дiй-
сних чисел, а Ls ≡ As × As × . . . — простiр послiдовностей
елементiв алфавiту, Qs = (q0, q1, . . . , qs−1) — фiксований упо-
рядкований набiр додатних чисел, сума яких рiвна 1; β0 = 0,
βj = q0 + q1 + . . .+ qj−1, j = 1, s.
Теорема 1. [3] Для будь-якого числа x ∈ [0; 1) iснує послiдов-
нiсть (αk) ∈ L, така, що
x = βα1 +
∞∑
k=2
βαk k−1∏
j=1
qαj
≡ ∆Qs
α1α2...αn.... (1)
Останнi символiчний запис ∆Qs
α1α2...αn... називається Qs–
зображенням ряду (1) i його суми x. Iснує злiчена множина
числел, якi мають два рiзнi Qs–зображення: ∆Qs
α1...αn−1αn(0) =
∆Q3
α1...αn−1[αn−1](s−1). (Круглi дужки символiзують перiод). Такi
числа називаються Q3–рацiональними. Решта чисел мають єдине
Q3–зображення i називаються Q3–iррацiональними. Зауважимо,
що при qi =
1
s
Qs–зображення є звичайним s–ковим зображен-
ням числа.
Множина точок вiдрiзка [0; 1], першi k цифр Q3–зображення
яких збiгаються з c1, c2, ..., ck вiдповiдно, називається цилiндром
рангу k з основою c1c2 . . . ck. Вона позначається через ∆Q3
c1c2...ck .
Цилiндр ∆Q3
c1c2...ck є вiдрiзком з кiнцями
a = βc1 +
k∑
i=2
βci i−1∏
j=1
qcj
, b = a+
k∏
j=1
qcj .
Тому
|∆Qs
c1...ck
| =
k∏
j=1
qcj i |∆Qs
c1...cki
| = qi|∆Qs
c1...ck
|.
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 85
Властивостi цилiндрiв вiдiграють важливу роль у метричних
задачах, пов’язаних з Qs–зображеннями чисел.
1. Трiйковий аналог функцiї Радемахера
Лема 2. Для довiльного дiйсного x має мiсце рiвнiсть
sinx
x
=
∞∏
k=1
1 + 2 cos 2x
3k
3
. (2)
Доведення. Враховуючи, що sin 3α = (1 + 2 cos 2α) sinα, маємо
sinx =
(
1 + 2 cos
2x
3
)
sin
x
3
=
(
1 + 2 cos
2x
3
)(
1 + 2 cos
2x
32
)
sin
x
32
=
= . . . =
(
1 + 2 cos
2x
3
)(
1 + 2 cos
2x
32
)
. . .
(
1 + 2 cos
2x
3k
)
sin
x
3k
,
тобто
sinx = sin
x
3k
n∏
k=1
(
1 + 2 cos
2x
3k
)
=
x
3k
·
sin x
3k
x
3k
n∏
k=1
(
1 + 2 cos
2x
3k
)
=
= x ·
sin x
3k
x
3k
n∏
k=1
1 + 2 cos 2x
3k
3
.
Враховуючи вiдому границю
1 = lim
k→∞
sin x
3k
x
3k
,
отримуємо
sinx = x
∞∏
k=1
1 + 2 cos 2x
3k
3
,
що рiвносильна до рiвностi (2). �
86 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
Лема 3. Для будь–якого дiйсного числа x можна записати рiв-
нiсть
1∫
0
eix(
1
2
−t)dt =
sinx2
x
2
.
Доведення. Перетворюючи, обчислюємо
1∫
0
eix(
1
2
−t)dt = e
ix
2
1∫
0
e−ixtdt =
= e
ix
2
1
−ix
e−ixt
∣∣∣∣1
0
= e
ix
2
1
−ix
(
e−ix − e0
)
=
=
e
ix
2
ix
(
1− e−ix
)
=
1
ix
(
e
ix
2 − e−
ix
2
)
=
=
1
ix
(
cos
x
2
+ i sin
x
2
− cos
−x
2
− i sin
−x
2
)
=
=
2
x
sin
x
2
=
sinx2
x
2
.
�
Лема 4. Якщо αk(t) – k–та трiйкова цифра числа t ∈ [0; 1),
тобто
t =
α1(t)
3
+
α2(t)
32
+ · · ·+ αk(t)
3k
+ · · · , де αk ∈ {0; 1; 2}, а
vk(t) ≡ 1− αk(t) =
1, якщо αk(t) = 0,
0, якщо αk(t) = 1,
−1, якщо αk(t) = 2,
(3)
то
1∫
0
exp
(
ix
vk(t)
3k
)
dt =
1 + 2 cos x
3k
3
.
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 87
Доведення. Вiдомо [4], що
[0; 1] =
2⋃
c1=0
2⋃
c2=0
...
2⋃
ck−1=0
[∆3
c1...ck−10 ∪∆3
c1...ck−11 ∪∆3
c1...ck−12],
причому
∇3
a1...ak−1ak
∩∇3
b1...bk1bk
=
{
∇3
a1...ak−1ak
, якщо aj = bj , j = 1, k;
∅, якщо iснує aj 6= bj ,
|∆3
c1...ck−1ck
| = 1
3
|∆3
c1...ck−1ck
| = 1
3k
.
Тому згiдно з адитивною властивiстю iнтеграла
I =
1∫
0
exp
(
ix
vk(t)
3k
)
dt =
=
2∑
c1=0
...
2∑
ck−1=0
(
∫
∆3
c1...ck−10
e
ix·1
3k
dx
+
∫
∆3
c1...ck−11
e
ix·0
3k
dx
+
+
∫
∆3
c1...ck−12
e
ix·(−1)
3k
dx
) =
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
(
e
ix
3k |∆3
c1...ck−10|+ |∆3
c1...ck−11|+ e
−ix
3k |∆3
c1...ck−12|
)
=
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
|∆3
c1...ck−10|
(
e
ix
3k + 1 + e
−ix
3k
)
=
=
(
e
ix
3k + 1 + e
−ix
3k
) 1
3
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1
|∆3
c1...ck−1
| =
88 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
=
1
3
(
cos
x
3k
+ i sin
x
3k
+ 1 + cos
−x
3k
+ i sin
−x
3k
)
· 1 =
=
1
3
(
1 + 2 cos
x
3k
)
.
Що й треба було довести. �
Означення 1. Функцiї vk(x), k = 0, 1, 2, . . . , визначенi рiвнiстю
(3), називаються R3–функцiями, вони є трiйковими аналогами
функцiй Радемахера.
Теорема 5. Якщо αk(t) – k–та трiйкова цифра числа t ∈ [0; 1),
а
vk(t) = 1− αk(t) =
1, якщо αk(t) = 0,
0, якщо αk(t) = 1,
−1, якщо αk(t) = 2,
то
1∫
0
∞∏
k=1
exp
(
ix
vk(t)
3k
)
dt =
∞∏
k=1
1∫
0
exp
(
ix
vk(t)
3k
)
dt. (4)
Доведення. Враховуючи, що
∞∑
k=1
vk(t)
3k
=
∞∑
k=1
1− αk(t)
3k
=
∞∑
k=1
1
3k
−
∞∑
k=1
αk(t)
3k
=
1
2
− t,
згiдно з лемою 3 маємо
1∫
0
∞∏
k=1
exp
(
ix
vk(t)
3k
)
dt =
1∫
0
exp
(
ix
∞∑
k=1
vk(t)
3k
)
dt =
=
1∫
0
eix(
1
2
−t)dt =
sin x
2
x
2
.
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 89
А за лемами 2 та 7
sin
x
2
x
2
=
∞∏
k=1
1 + 2 cos 2x
3k
3k
=
∞∏
k=1
1∫
0
exp
(
ix
vk(t)
3k
)
dt.
Звiдси й отримуємо рiвнiсть (4). �
Теорема 6. R3–функцiї мають властивостi
∫
x∈∆3
c1...cm
vk(x)dx =
0, якщо k > m,
1− ck
3m
, якщо k ≤ m.
(5)
1∫
0
vk(x)dx = 0 (6)
1∫
0
vk(x)vmdx =
{
0, якщо k 6= m,
2
3 , якщо k = m.
(7)
Доведення. Доведемо рiвнiсть 5. Справдi, якщо k = m, то∫
x∈∆3
c1...cm
vk(x)dx =
∫
x∈∆3
c1...ck
(1− ck)dx = (1− ck)|∆3
c1...ck
| = 1− ck
3k
.
Якщо k < m, то x ∈ ∆3c1...cm ⊂ ∆3
c1...ck
i vk(x) = 1− ck.
Отже,∫
x∈∆3
c1...cm
vk(x)dx =
∫
x∈∆3
c1...cm
(1−ck)dx = (1−ck)|∆3
c1...cm | =
1− ck
3m
.
Нехай тепер k > m. Оскiльки∫
x∈∆3
c1...cmαm+1...αk−1
vk(x)dx =
2∑
i=0
∫
x∈∆3
c1...cmαm+1...αk−1i
(1− i)dx =
90 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
= |∆3
c1...cmαm+1...αk−10|+ 0− |∆3
c1...cmαm+1...αk−12| = 0,
то ∫
x∈∆3
c1...cm
vk(x)dx =
2∑
αm+1=0
...
2∑
αk=0
∫
x∈∆3
c1...cmαm+1...αk
vk(x)dx = 0.
Рiвнiсть (6) для k = 1 є очевидною. Для k > 1, враховуючи
рiвнiсть (5), матимемо
1∫
0
vk(x)dx =
2∑
i=0
∫
x∈∆3
i
vk(x)dx = 0.
При доведеннi рiвностi (7) розглянемо випадок k = m, маємо
1∫
0
v2
k(x)dx =
2∑
α1=0
...
2∑
αk=0
∫
∆α1...αk
v2
k(x)dx =
2∑
α1 6=1
...
2∑
αk 6=1
∫
∆α1...αk
dx =
= 2 · 3k−1 · 1
3k
=
2
3
.
Нехай тепер k < m. Враховуючи (5), дiстаємо∫
∆3
a1...ak−1
vk(x)vm(x)dx =
∫
∆a1...ak−10
vm(x)dx+0−
∫
∆a1...ak−12
vmdx = 0.
Тодi
1∫
0
vk(x)vm(x)dx =
2∑
a1=0
...
2∑
ak−1=0
∫
∆a1...ak−1
vk(x)vm(x)dx = 0.
�
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 91
2. Узагальнення на основi Q3-зображення
чисел
Нехай Q3 = (q0, q1, q2) — заданий упорядкований набiр додатних
чисел, сума яких дорiвнює 1, β0 = 0, β1 = q0, β2 = q0 + q1,
β3 = q0 + q1 + q2 = 1.
Якщо q0 = q2, то Q3 – зображення називається симетричним.
Очевидно, що класичне трiйкове зображення є симетричним Q3-
зображенням.
Лема 7. Якщо αk(t) — k-та цифра симетричного Q3-
зображення числа t ∈ [0; 1), тобто
t = βα1(t) +
∞∑
k=2
βαk(t)
k−1∏
j=1
qαj(t)
= βα1(t)+
+
∞∑
k=1
βαk(t)q
N0(t,k)
0 q
N1(t,k)
1 q
N2(t,k)
2 ≡
≡ ∆Q3
α1α2...αk...
,
uk(t) = 1− αk(t) =
1, якщо αk(t) = 0,
0, якщо αk(t) = 1,
−1, якщо αk(t) = 2,
(8)
то для будь-якого дiйсного числа x можлива рiвнiсть
1∫
0
exp (ixAuk(t)) dt = q1 + 2q0 cosAx.
Доведення. Вiдомо, що
[0; 1] =
2⋃
c1=0
2⋃
c2=0
...
2⋃
ck−1=0
[∆Q3
c1...ck−10 ∪∆Q3
c1...ck−11 ∪∆Q3
c1...ck−12],
92 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
причому
∇3
a1...ak−1ak
∩∇3
b1...bk−1bk
=
{
∇Q3
a1...ak−1ak , якщо aj = bj , j = 1, k;
∅, якщо iснує aj 6= bj ,
|∆Q3
c1...ck−1j
| = qj |∆Q3
c1...ck−1ck
|, j ∈ A3,
а отже,
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
|∆Q3
c1...ck−1
| = 1.
Тому згiдно з адитивною властивiстю iнтеграла
I =
1∫
0
exp (ixAuk(t)) dt =
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
(
∫
t∈∆
Q3
c1...ck−10
eixA·1dx+
+
∫
t∈∆
Q3
c1...ck−11
eixA·0dx+
∫
t∈∆
Q3
c1...ck−12
eixA·(−1)dx) =
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
(
eixA|∆Q3
c1...ck−10|+ |∆
Q3
c1...ck−11|+
+e−ixA|∆Q3
c1...ck−12|
)
=
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
(
eixAq0|∆Q3
c1...ck−1
|+ q1|∆Q3
c1...ck−1
|+
+e−ixAq2|∆Q3
c1...ck−1
|
)
=
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
|∆Q3
c1...ck−1
|
(
q0e
ixA + q1 + q2e
−ixA) =
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 93
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
ck−1=0
|∆Q3
c1...ck−1
|
[
q0
(
eixA + e−ixA
)
+ q1
]
=
= [2q0 cosAx+ q1] · 1 = q1 + 2q0 cosAx.
�
Зауваження 1. Функцiї uk(x), k = 1, 2, . . . , визначенi рiвнi-
стю (8), називаються R∗3-функцiями, вони є узагальненням R3-
функцiй на основi симетричного Q3-зображення чисел.
Теорема 8. Для R∗3-функцiй мають мiсце рiвностi:∫
x∈∆
Q3
c1...ck−1
uk(x)dx = 0, (9)
∫
x∈∆
Q3
c1...cm
uk(x)dx =
0 при k > m,
(1− ck)
m∏
j=1
qcj при k ≤ m, (10)
1∫
0
uk(x)dx = 0, (11)
1∫
0
uk(x)um(x)dx =
{
0, якщо k 6= m,
2q0, якщо k = m.
(12)
Доведення. Для першої рiвностi маємо:∫
x∈∆
Q3
c1...ck−1
uk(x)dx =
∫
x∈∆
Q3
c1...ck−10
uk(x)dx+
+
∫
x∈∆
Q3
c1...ck−11
uk(x)dx+
∫
x∈∆
Q3
c1...ck−12
uk(x)dx =
= |∆Q3
c1...ck−10|+ 0− |∆Q3
c1...ck−12| = 0.
94 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
Доведемо рiвнiсть (11). Якщо k = m, то∫
∆
Q3
c1...cm
vk(x)dx =
∫
∆
Q3
c1...ck
(1−ck)dx = (1−ck)|∆Q3
c1...ck
| = (1−ck)
k∏
j=1
qcj .
Якщо k < m, то x ∈ ∆Q3
c1...cm ⊂ ∆Q3
c1...ck i vk(x) = 1− ck. Отже,∫
∆
Q3
c1...cm
vk(x)dx =
∫
x∈∆
Q3
c1...cm
(1−ck)dx = (1−ck)|∆Q3
c1...cm | = (1−ck)
m∏
j=1
qcj .
Нехай тепер k > m. Оскiльки∫
∆
Q3
c1...cmαm+1...αk−1
vk(x)dx =
2∑
i=0
∫
∆
Q3
c1...cmαm+1...αk−1i
(1− i)dx =
= |∆Q3
c1...cmαm+1...αk−10|+ 0− |∆Q3
c1...cmαm+1...αk−12| = 0,
то ∫
∆
Q3
c1...cm
vk(x)dx =
2∑
αm+1=0
...
2∑
αk=0
∫
∆
Q3
c1...cmαm+1...αk
vk(x)dx = 0.
Для третьої рiвностi —
1∫
0
uk(x)dx =
2∑
c1=0
...
2∑
ck−1=0
∫
∆c1...ck−1
uk(x)dx.
Тодi згiдно з рiвнiстю (9) маємо
1∫
0
uk(x)dx = 0.
Якщо k = m, то
uk(x)um(x) = u2
k(x) =
{
1, якщо αk(x) ∈ {0, 2},
0, якщо αk(x) = 1,
Узагальнення та аналоги функцiй Радемахера 95
i
1∫
0
uk(x)um(x)dx =
2∑
c1=0
...
2∑
ck=0
∫
x∈∆c1...ck−1
u2
k(x)dx =
=
∑
c1 6=1
...
∑
ck 6=1
∫
x∈∆c1...ck−10
dx+
∫
x∈∆c1...ck−12
dx
=
= 1− q1 = 2q0.
Якщо ж k 6= m, причому k > m, то
uk(x)um(x) =
1, якщо αk = 0 = αm або αk = 2 = αm,
0, якщо αk = 1 або αm = 1,
−1, якщо αk = 0 i αm = 2 або αk = 2 i αm = 0,
i
1∫
0
uk(x)um(x)dx =
=
2∑
c1=0
. . .
2∑
cn−1=0
∑
cm 6=1
2∑
cm+1=0
. . .
2∑
ck−1=0
1∫
x∈∆c1...ck−10
uk(x)um(x)dx,
1∫
x∈∆c1...ck−1
uk(x)um(x)dx =
=
1∫
x∈∆c1...ck−10
uk(x)um(x)dx+
1∫
x∈∆c1...ck−12
uk(x)um(x)dx = 0.
Рiвнiсть (12) доведено. �
96 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий
Лiтература
[1] Балашов Л. А., Рубинштейн А. И. Ряды по системе Уолша и их
обобщения // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. – 1970,
197. – С. 147-202.
[2] Голубов В.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразова-
ния Уолша: теория и применение. – М.: Наука. – 1987. – 344 с.
[3] Працевитый Н.В. Случайные величины с независимыми Q2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохасти-
ческих моделей. – Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1987. –
С. 92-102.
[4] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – К.: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. –
1998. – 296 с.
[5] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зображення
дiйсних чисел. – К.: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2012.
– 68 с.
[6] Працьовитий М. В., Маслова Ю. П. Про одне узагальнення си-
стеми функцiй Радемахера та Уолша // Збiрник праць Iнституту
математики НАН України. – 2016, т. 13, № 3. – С. 85-96.
[7] Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел // М.: Изд-во иностранной литературы. –
1963. – 156 с.
[8] Chrestenson H. E. A class of generalized walsh functions // Pacific
Journal of Mathematics. – 1955. – Vol. 5, № 1 – P. 17-31.
[9] Fine N. J. On the Walsh Functions // Transactions of the American
Mathematical Society. – Vol. 65, № 3 (May, 1949). – P. 372-414.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-407 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:56Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f9/f64e3ad249aecc483b01453463f343f9.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4072020-08-10T06:16:24Z Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. $Q_3$-representation is a ternary self-similar encoding of numberswith zero redundancy. In the paper, we propose a ternary analogue ofRademacher functions and its generalization based on$Q_3$-representation of real numbers belonging to $[0;1]$. Somerelations for this function are proved. У роботі запропоновано трійковий аналог функцій Радемахера і його узагальнення на основі $Q_3$-зображення дійсних чисел відрізка $[0;1]$, що є трисимвольним самоподібним кодуванням чисел з нульовою надлишковістю. Доведено кілька співвідношень, які стосуються нового поняття. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/407 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 82-96 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 82-96 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 82-96 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/407/403 Авторське право (c) 2017 Ю.П. Маслова, М.В. Працьовитий http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Маслова, Ю.П. Працьовитий, М.В. Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел |
| title | Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел |
| title_full | Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел |
| title_fullStr | Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел |
| title_full_unstemmed | Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел |
| title_short | Узагальнення та аналоги функцій Радемахера, пов'язані з симетричним $Q_3$-зображенням дійсних чисел |
| title_sort | узагальнення та аналоги функцій радемахера, пов'язані з симетричним $q_3$-зображенням дійсних чисел |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/407 |
| work_keys_str_mv | AT maslovaûp uzagalʹnennâtaanalogifunkcíjrademaherapov039âzanízsimetričnimq3zobražennâmdíjsnihčisel AT pracʹovitijmv uzagalʹnennâtaanalogifunkcíjrademaherapov039âzanízsimetričnimq3zobražennâmdíjsnihčisel |