Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії
We study a geometry of representation of numbers in terms of continued $A_3$-fractions, that is continued fractions, elements of which are acquire from a set $A_3\equiv\{s_0,s_1,s_2\}$, де $0<s_0<s_1<s_2, s_i\in\mathbb{R}$. We prove that if $s_0s_2=\frac{4}{3}$ and $...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/408 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552909006176256 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. Кюрчев, Д.В. |
| author_facet | Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. Кюрчев, Д.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М.В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М. П. Драгоманова"
},
{
"author": "А.С. Чуйков",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
},
{
"author": "Д.В. Кюрчев",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М.В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We study a geometry of representation of numbers in terms of continued $A_3$-fractions, that is continued fractions, elements of which are acquire from a set $A_3\equiv\{s_0,s_1,s_2\}$, де $0<s_0<s_1<s_2, s_i\in\mathbb{R}$. We prove that if $s_0s_2=\frac{4}{3}$ and $s_1=(s_0+s_2)/2$ then each point of a certain interval has no more than two $A_3$-representation, and the set of points having two representations is countable, consequently, the encoding numbers system by means of a three-character alphabet, which is based on a decomposition of numbers in such continued fractions, has zero redundancy. The emphasis in the work is given to the topological-metric aspect of this representation (geometric sense of a figures, properties of the cylindrical and tail sets and so on). |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 97–110
УДК 511.72+517.5
М.В. Працьовитий 1, А.С. Чуйков 2, Д. В.
Кюрчев
1 НПУ iм. М. П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com
2 Iнститут математики НАН України, Київ;
chyikov.artem@gmail.com
Ланцюговi A3-дроби: основи
метричної теорiї
We study a geometry of representation of numbers in terms of conti-
nued A3-fractions, that is continued fractions, elements of which are
acquire from a set A3 ≡ {s0, s1, s2}, де 0 < s0 < s1 < s2, si ∈ R.
We prove that if s0s2 = 4
3 and s1 = (s0 + s2)/2 then each point of a
certain interval has no more than two A3-representation, and the set
of points having two representations is countable, consequently, the
encoding numbers system by means of a three-character alphabet,
which is based on a decomposition of numbers in such continued
fractions, has zero redundancy. The emphasis in the work is given to
the topological-metric aspect of this representation (geometric sense
of a figures, properties of the cylindrical and tail sets and so on).
Key words: continued fraction, convergents, geometry of continued
fraction representation, metric ratios, cylindrical sets of continued
fraction representation.
c© М.В. Працьовитий, А. С. Чуйков, Д.В. Кюрчев, 2017
98 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
Вивчається геометрiя представлення чисел ланцюговими A3-
дробами, тобто ланцюговими дробами, елементи яких набувають
значення з множини A3 ≡ {s0, s1, s2}, де 0 < s0 < s1 < s2, si ∈ R.
Доведено, що при s0s2 = 4
3 i s1 = (s0 + s2)/2 кожна точка певного
iнтервалу має не бiльш, нiж два A3-представлення, причому мно-
жина точок, що мають два представлення, є злiченною, а отже,
система кодування чисел засобами трисимвольного алфавiту, що
ґрунтується на розкладах чисел у такi ланцюговi дроби, має ну-
льову надлишковiсть. Основна увага у роботi придiлена тополого-
метричному аспекту вказаного зображення (геометричному змi-
сту цифр зображення, властивостям цилiндричних i хвостових
множин тощо).
Ключовi слова: ланцюговий дрiб, пiдхiднi дроби, геометрiя
ланцюгового зображення, метричнi спiввiдношення, цилiндричнi
множини ланцюгового зображення чисел.
Вступ
Ланцюговi дроби є ефективним засобом дослiдження математи-
чних об’єктiв, зокрема моделей реальних процесiв i явищ. Се-
ред них елементарнi дроби, дроби Данжуа та iншi класи дробiв,
теорiя яких розвивається й удосконалюється [1, 11]. На окрему
увагу заслуговують дроби, елементи яких належать скiнченним
множинам. Якщо сукупнiсть таких дробiв забезпечує систему зо-
браження (кодування) чисел цiлого промiжка з нульовою надли-
шковiстю (кожне число має не бiльш, нiж два зображення), то
перспективи застосувань таких для розвитку метричної та ймо-
вiрнiсної теорiй чисел, ергодичної теорiї i фрактального аналiзу
достатньо високi [2, 4 – 6, 8, 10].
У роботах [1, 3, 4], присвячених ланцюговим A2-дробам, бу-
ли викладенi основи тополого-метричної теорiї дiйсних чисел у
представленнях їх ланцюговими дробами з двоелементним алфа-
вiтом. Ця система представлення чисел має несамоподiбну геоме-
трiю, але її двосимвольнiсть i позитивнi переваги «ланцюговостi»
дозволяють сподiватися на її технiчну зручнiсть [3, 7].
Ланцюговi A3-дроби: основи метричної теорiї 99
Ця робота присвячена розвитковi тих самих iдей на трисим-
вольному алфавiтi, що має принципову вiдмiннiсть. Ми пропо-
нуємо основи теорiї ланцюгових A3-дробiв, акцентуючи увагу на
геометрiї представлення дiйсних чисел такими виразами.
1. Ланцюговi A3-дроби
Нехай A3 ≡ {s0, s1, s2} – задана множина додатних дiйсних чисел
(s0 < s1 < s2). Розглядаються всеможливi вирази виду
1
a1 +
1
a2 +
. . .
≡ [0; a1, a2, . . . , an, . . .], де ai ∈ A3, (1)
якi ми називаємо ланцюговими A3-дробами. Кожен ланцюговий
A3-дрiб є збiжним, оскiльки ряд
∞∑
n=1
an для довiльної послiдов-
ностi (an) ∈ V ≡ A3 ×A3 × . . .×A3 × . . . розбiгається.
Легко помiтити, що значення виразу (1) не перевищує числа
β2 = [0; (s0, s2)] =
√
s20s
2
2 + 4s0s2 − s0s2
2s0
(де круглi дужки означають перiод) i є не меншим за число
β1 = [0; (s2, s0)] =
√
s20s
2
2 + 4s0s2 − s0s2
2s2
.
Оскiльки β1 =
1
s2 + β2
, β2 =
1
s0 + β1
, то очевидною є рiвнiсть
β2
β1
=
s2
s0
.
Позначимо через LA3 множину всiх ланцюгових A3-дробiв,
тобто
LA3 = {x|x = [0; a1, a2, . . . , an, . . .], (an) ∈ V }.
Тодi очевидно, що LA3 ⊆ [β1, β2].
100 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
Зауваження 1. Якщо A2 є двоелементною пiдмножиною A3,
то множина LA2 = {x|x = [0; a1, . . . , an, . . .], an ∈ A2} є пiдмно-
жиною LA3. Тому ланцюговi A2-дроби утворюють пiдмножину
ланцюгових A3-дробiв.
Лема 1. Якщо s0s2 ≤ 1
2 , то LA3 = [β1;β2].
Справдi, дане твердження є наслiдком щойно доведеного фа-
кту LA3 ⊆ [β1, β2] i вiдомого твердження: якщо A2 = {s0, s2} i
s0s2 ≤ 1
2 , то LA2 = [β1, β2].
Понад те, можна довести, що при s0s2 ≤ 1
2 кожне число iн-
тервалу (β1, β2) має континуальну множину рiзних розвинень у
ланцюговий A3-дрiб.
Нагадаємо, що пiдхiдним дробом порядку n ланцюгового дро-
бу [0; a1, a2, . . . , an, . . .] називається число
pn
qn
, що є значенням
скiнченного ланцюгового дробу [0; a1, a2, . . . , an].
Оскiльки pn i qn залежать вiд перших n елементiв ланцю-
гового дробу (1), то позначатимемо їх також p(a1, a2, . . . , an) i
q(a1, a2, . . . , an).
Добре вiдомий [9] закон утворення пiдхiдних дробiв: для до-
вiльного натурального n ≥ 2{
pn = anpn−1 + pn−2,
qn = anqn−1 + qn−2;
де p0 = 0, q0 = 1, p1 = 1, q1 = a1.
2. Ланцюгове A3-зображення: метричнi
властивостi
Означення 1. Цилiндром рангу n з основою c1c2 . . . cn називає-
ться множина ∆A3
c1c2...cn усiх x, якi зображаються ланцюговим
A3-дробом з першими n елементами, що дорiвнюють вiдповiдно
c1, c2, . . . , cn, тобто
∆A3
c1c2...cn = {x|x = [0; a1, ..., an, an+1, ...], ai(x) = ci, ai ∈ A3, i = 1, n}.
Ланцюговi A3-дроби: основи метричної теорiї 101
Очевидно, що
x′ ≡ min ∆A3
c1c2...cn =
{
[0; c1, c2, . . . , cn + β2] при непарному n,
[0; c1, c2, . . . , cn + β1] при парному n;
x′′ ≡ max ∆A3
c1c2...cn =
{
[0; c1, c2, . . . , cn + β1] при непарному n,
[0; c1, c2, . . . , cn + β2] при парному n;
тобто ∆A3
c1c2...cn ⊂ [x′;x′′].
Наприклад, цилiндри першого рангу належать таким вiдрiз-
кам:
∆s0 ⊂
[
1
s0 + β2
,
1
s0 + β1
]
, ∆s1 ⊂
[
1
s1 + β2
,
1
s1 + β1
]
,
∆s2 ⊂
[
1
s2 + β2
,
1
s2 + β1
]
,
якi ми називаємо цилiндричними.
Цилiндри мають такi властивостi:
1) ∆A3
c1c2...cnc ⊂ ∆A3
c1c2...cn .
2) ∆A3
c1c2...cn = ∆A3
c1c2...cns0 ∪∆A3
c1c2...cns1 ∪∆A3
c1c2...cns2 .
3) Дiаметр цилiндра обчислюється за формулою
∣∣∆A3
c1c2...cn
∣∣ =
β2 − β1
(qn + β1qn−1)(qn + β2qn−1)
. (2)
Доведення. Справдi,∣∣∆A3
c1c2...cn
∣∣ = max ∆A3
c1c2...cn −min ∆A3
c1c2...cn =
=| [c1, c2, . . . , cn, β−12 ]− [c1, c2, . . . , cn, β
−1
1 ] |=
=
∣∣∣∣∣β−12 pn + pn−1
β−12 qn + qn−1
−
β−11 pn + pn−1
β−11 qn + qn−1
∣∣∣∣∣ =
102 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
=
∣∣∣∣∣pn + β2pn−1
qn + β2qn−1
−
pn + β1pn−1
qn + β1qn−1
∣∣∣∣∣ =
=
(β2 − β1)|pn−1qn − qn−1pn|
(qn + β1qn−1)(qn + β2qn−1)
.
Враховуючи, що за властивостями пiдхiдних дробiв
pn−1qn − qn−1pn = (−1)n, отримуємо формулу (2). 2
Наслiдок 1. |∆A3
c1...ck
| → 0 при k →∞.
4) Основне метричне вiдношення має вигляд
|∆A3
c1c2...cnc|
|∆A3
c1c2...cn |
=
(
1 + β1
qn−1
qn
)(
1 + β2
qn−1
qn
)
(
c+ β1 + qn−1
qn
)(
c+ β2 + qn−1
qn
).
Доведення. Це вiдношення виводиться з використанням
закону утворення знаменникiв пiдхiдних дробiв i форму-
ли (2). 2
Наслiдок 2. При s0 =
2
3
, s1 =
4
3
, s2 = 2 вiдрiзок [β1, β2] = [1/3; 1],
причому мають мiсце вiдношення:
|∆A3
c1c2...cn2
|
|∆A3
c1c2...cn
4
3
|
=
5 + 3
qn−1
qn
3
(
3 +
qn−1
qn
), |∆A3
c1c2...cn
2
3
|
|∆A3
c1c2...cn
4
3
|
=
7 + 3
qn−1
qn
3
(
1 +
qn−1
qn
). (3)
Доведення. Використовуючи властивiсть 3 отримуємо:
|∆A3
c1c2...cn2
|
|∆A3
c1c2...cn |
=
1 +
qn−1
qn
7 + 3
qn−1
qn
,
|∆A3
c1c2...cn
2
3
|
|∆A3
c1c2...cn |
=
3 +
qn−1
qn
5 + 3
qn−1
qn
,
Ланцюговi A3-дроби: основи метричної теорiї 103
|∆A3
c1c2...cn
4
3
|
|∆A3
c1c2...cn |
=
3
(
3 +
qn−1
qn
)(
1 +
qn−1
qn
)
(
5 + 3
qn−1
qn
)(
7 + 3
qn−1
qn
),
а звiдси й рiвностi (3). 2
Лема 2. Умови
1
s2 + β1
=
1
s1 + β2
,
1
s1 + β1
=
1
s0 + β2
;
(4)
рiвносильнi до умов
s0s2 =
4
3
,
s1 =
s0 + s2
2
.
(5)
Доведення. Справдi,
1
s2 + β1
=
1
s1 + β2
,
1
s1 + β1
=
1
s0 + β2
;
⇔
{
s2 + β1 = s1 + β2,
s1 + β1 = s0 + β2.
Виражаючи з другого рiвняння s2 i пiдставляючи у перше, отри-
муємо:
s2 − s0 = 2(β2 − β1);
s2 − s0 = 2
(√
s20s
2
2 + 4s0s2 − s0s2
2s0
−
√
s20s
2
2 + 4s0s2 − s0s2
2s2
)
;
s2 − s0 =
(s2 − s0)(
√
s20s
2
2 + 4s0s2 − s0s2)
s0s2
;
2s0s2 =
√
s20s
2
2 + 4s0s2;
104 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
s0s2 =
4
3
.
З системи {
s2 + β1 = s1 + β2,
s1 + β1 = s0 + β2;
випливає, що s2 − s1 = β2 − β1 = s1 − s0, а отже, s0 + s2 = 2s1. 2
Теорема 1. За умов 5 цилiндри однакового рангу не перекрива-
ються.
Доведення. За лемою 1
s0s2 =
4
3
,
s1 =
s0 + s2
2
;
⇔
{
s2 + β1 = s1 + β2,
s1 + β1 = s0 + β2.
Тодi, при парному n
max ∆A3
c1c2...cns2 = [c1, . . . , cn, s2 + β1] =
= [c1, . . . , cn, s1 + β2] = min ∆A3
c1c2...cns1 ,
max ∆A3
c1c2...cns1 = [c1, . . . , cn, s1 + β1] =
= [c1, . . . , cn, s0 + β2] = min ∆A3
c1c2...cns0 ,
при непарному n
max ∆A3
c1c2...cns0 = [c1, . . . , cn, s0 + β2] =
[c1, . . . , cn, s1 + β1] = min ∆A3
c1c2...cns1 ,
max ∆A3
c1c2...cns1 = [c1, . . . , cn, s1 + β2] =
[c1, . . . , cn, s2 + β1] = min ∆A3
c1c2...cns2 .
Тобто
∆A3
c1c2...cns0 ∩∆A3
c1c2...cns1 = [c1, . . . , cn, s1 + β1] = [c1, . . . , cn, s0 + β2],
∆A3
c1c2...cns1∩∆A3
c1c2...cns2 = [c1, . . . , cn, s2+β1] = [c1, . . . , cn, s1+β2].2
Ланцюговi A3-дроби: основи метричної теорiї 105
Теорема 2. Якщо s0s2 =
4
3
i s1 =
s0 + s2
2
, то LA3 = [β1, β2].
Доведення. Оскiльки очевидно, що LA3 ⊆ [β1, β2], то зали-
шається довести, що [β1, β2] ⊆ LA3 . Нехай x — довiльна точка
вiдрiзка [β1, β2]. З теореми 1 випливає, що
[β1, β2] = ∆A3
s0 ∪∆A3
s1 ∪∆A3
s2 .
Тому iснує c1 ∈ A3, таке, що x ∈ ∆A3
c1 . Аналогiчно,
∆A3
c1 = ∆A3
c1s0 ∪∆A3
c1s1 ∪∆A3
c1s2 .
Тому iснує c2 ∈ A3, таке, що x ∈ ∆A3
c1c2 i т. д.
Якщо x ∈ ∆A3
c1...ck
то з того, що
∆A3
c1...ck
= ∆A3
c1...cks0
∪∆A3
c1...cks1
∪∆A3
c1...cks2
,
випливає iснування ck+1 ∈ A2 такого, що x ∈ ∆A3
c1...ckck+1
i т. д.
Отже, iснує нескiнченна послiдовнiсть (ck), ck ∈ A3 така, що x
належить усiм цилiндричним вiдрiзкам
∆A3
c1 ,∆
A3
c1c2 , . . . ,∆
A3
c1c2...ck
, . . . .
Оскiльки, за властивiстю 1: ∆A3
c1...ckck+1
⊂ ∆A3
c1...ck
, а згiдно з на-
слiдком (1):
|∆A3
c1...ck
| → 0 при k →∞,
то за аксiомою Кантора iснує єдина точка, яка належить всiм
цим вiдрiзкам, а такою є точка x. Тому
x =
∞⋂
k=1
∆A3
c1...ck
= [c1, . . . , ck, . . .] ∈ LA3 ,
що й потрiбно було довести.2
Отже, якщо
x =
1
a1 +
1
a2 +
. . .
, ai ∈ A3, n = 1, 2, . . . , (6)
106 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
то вираз (6) називатимемо ланцюговим A3-представленням чи-
сла x, а формальний запис
x = ∆A3
γ1γ2...γn...,
де
γi =
0, якщо ai = s0,
1, якщо ai = s1,
2, якщо ai = s2,
називатимемо A3-зображенням числа x.
Теорема 3. Якщо s0s2 =
4
3
i s1 =
s0 + s2
2
, то зчисленна мно-
жина точок x ∈ [β1, β2] має два ланцюгових A3-зображення
∆A3
a1a2...an−1si(s2s0)
= ∆A3
a1a2...an−1si−1(s0s2)
, i ∈ {1, 2},
решта ж точок має єдине зображення.
Доведення. Якщо x = ∆A3
c1c2...cnsi ∩∆A3
c1c2...cnsi+1
, i ∈ {0, 1}, то з
теореми (1) випливає, що x має два ланцюгових A3-зображення,
а саме:
x = ∆A3
a1a2...an−1si(s2s0)
= ∆A3
a1a2...an−1si−1(s0s2)
, i ∈ {1, 2}.
Таких точок є зчисленна множина. Точки, що мають два лан-
цюгових A3-зображення, а також точки β1, β2 називатимемо A3-
рацiональними.
Нехай x не є спiльною точкою цилiндрiв
∆A3
c1c2...cns0 i ∆A3
c1c2...cns1 .
Тодi числа ak визначаються однозначно, тобто для точки x iснує
єдина послiдовнiсть (ak), така, що x = [a1, a2, . . . , an, . . .]. Справ-
дi, припустимо, що
x = [a1, a2, . . . , an, . . .] = [b1, b2, . . . , bn, . . .].
Ланцюговi A3-дроби: основи метричної теорiї 107
Якщо s0 = a1 6= b1 = s1, то x ∈ ∆A3
s0 i x ∈ ∆A3
s1 , що суперечить
тому, що цилiндричнi iнтервали ∇s0 i ∇s1 (тобто iнтервали, кiнцi
яких спiвпадають з кiнцями цилiндрiв) не мають спiльних точок
i x 6= ∆A3
s0 ∩∆A3
s1 . Отже, a1 = b1.
Нехай тепер ai = bi, i = 1, . . . ,m i am+1 6= bm+1. Тодi x ∈
∆A3
c1c2...cms0 i x ∈ ∆A3
c1c2...cms1 , тобто x = ∆A3
c1c2...cms0 ∩∆A3
c1c2...cms1 , що
суперечить умовi
∇c1...cms0 ∩∇c1...cms1 = ∅, x 6= ∆A3
c1...cms0 ∩∆A3
c1...cms1 .
Отже, для довiльного натурального m am 6= bm, що й потрiбно
було довести.
Аналогiчно для цилiндрiв ∆A3
c1c2...cns1 i ∆A3
c1c2...cns2 . 2
Якщо точка x не є кiнцем жодного цилiндра ∆A3
c1c2...cn , то таку
називатимемо A3-iррацiональною.
3. Хвостовi множини
Казатимемо, що два ланцюговi A3-зображення
∆A3
a1a2...an... i ∆A3
b1b2...bn...
мають однаковий хвiст (або перебувають у вiдношеннi ∼), якщо
iснують натуральнi числа m та k такi, що am+j = bk+j для будь-
якого j ∈ N .
Лема 3. Бiнарне вiдношення «мати однаковий хвiст» «∼» на
множинi LA3 є вiдношенням еквiвалентностi (тобто володiє
властивостями рефлексивностi, симетричностi i транзитив-
ностi).
Доведення. Рефлексивнiть i транзитивнiсть вочевидь викону-
ються:
∆A3
a1a2...an... ∼ ∆A3
a1a2...an...,
∆A3
a1a2...an... ∼ ∆A3
a′1a
′
2...a
′
n...
⇒ ∆A3
a′1a
′
2...a
′
n...
∼ ∆A3
a1a2...an....
108 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
Покажемо, що вiдношення «мати однаковий хвiст» володiє вла-
стивiстю транзитивностi, тобто з
∆A3
a1a2...an... ∼ ∆A3
a′1a
′
2...a
′
n...
∼ ∆A3
a′′1a
′′
2 ...a
′′
n...
випливає
∆A3
a1a2...an... ∼ ∆A3
a′′1a
′′
2 ...a
′′
n...
.
Згiдно з означенням вiдношення «∼» умова ∆A3
a1a2...an... ∼
∆A3
a′1a
′
2...a
′
n...
рiвносильна iснуванню цiлих чисел k1 i m1 таких, що
ak1+j = a′m1+j , ∀j ∈ N ;
а умова ∆A3
a1a2...an... ∼ ∆A3
a′′1a
′′
2 ...a
′′
n...
– iснуванню k2 i m2, таких, що
a′k2+j = a′′m2+j , ∀j ∈ N.
Нехай k = k1 + k2,m = m2 +m1. Тодi
ak+j = a′′m+j , ∀j ∈ N,
оскiльки
ak+j = ak1+k2+j = a′m1+k2+j = a′k2+m1+j = a′′m2+m1+j = a′′m+j .2
Вiдношення ∼, бувши вiдношенням еквiвалентностi, розбиває
множину, на якiй воно задане, на класи еквiвалентностi. Кожен
iз класiв еквiвалентностi називатимемо хвостовою множиною.
Кожна хвостова множина однозначно визначається будь-яким iз
своїх елементiв (представникiв).
Будемо казати, що два числа x i y мають однаковий хвiст
ланцюгового A3-зображення (або перебувають у вiдношеннi ∼),
якщо вони мають A3-зображення, якi перебувають у вiдношеннi
∼. Символiчно: x ∼ y.
Теорема 4. Кожна хвостова множина є злiченною i щiльною
в [β1, β2] множиною, а фактор-множина G ≡ [β1, β2]/ ∼ є кон-
тинуальною.
Ланцюговi A3-дроби: основи метричної теорiї 109
Доведення. Нехай H – довiльний клас еквiвалентностi, x0 =
∆A3
c1...ck...
– його представник. Тодi очевидно, що для довiльного
m ∈ Z0 iснує множина
Hm = {x : x = ∆A3
a1...akcm+1cm+2..., ai ∈ N, k = 0, 1, 2, ...}
таких чисел x, для яких при деякому k ∈ Z0
ak+j(x) = cm+j для довiльного j ∈ N
i H =
⋃
m∈Z0
Hm.
Множина H, бувши злiченним об’єднанням злiченних мно-
жин, є множиною злiченною.
Доведемо тепер, що множина H – щiльна в [β1, β2]. Оскiльки
належнiсть числа x до множини H не залежить вiд довiльної
скiнченної кiлькостi перших елементiв його A3-зображення, то в
кожному з цилiндрiв довiльного рангу m iснує точка множини
H. Отже, H є всюди щiльною в [β1, β2] множиною.
Для доведення континуальностi фактор-множини G скориста-
ємося методом вiд супротивного. Припустимо, що G є злiчен-
ною. Тодi множина [β1, β2] є злiченним об’єднанням злiченних
множин. Але добре вiдомо, що остання множина є злiченною, а
пiвiнтервал [β1, β2] є континуальною множиною. Отримана супе-
речнiсть доводить теорему.
Лiтература
[1] Дмитренко С. О., Кюрчев Д. В., Працьовитий М. В. Лан-
цюгове A2-зображення дiйсних чисел та його геометрiя //
Укр.мат.журнал. – 2009. – Т. 61, № 4. – С. 452-463.
[2] Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел. – М.: 1963. – 156 с.
[3] Працьовитий М. В. Двосимвольнi системи зображення (кодува-
ння) дiйсних чисел // Студентськi фiзико-математичнi етюди. —
К.: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2010. – №9 – С. 6-26.
110 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев
[4] Працьовитий М. В., Кюрчев Д. В. Сингулярнiсть розподiлу ви-
падкової величини, зображеної ланцюговим A2-дробом з незале-
жними елементами // Теор. ймов. та мат. стат. – 2009. – 81. –
С. 139-154.
[5] Працьовитий М. В. Сингулярнiсть розподiлiв випадкових вели-
чин, заданих розподiлами елементiв свого ланцюгового зображе-
ння // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 8. – С. 1086-1095.
[6] Працьовитий М. В., Лещинський О. Л. Фрактальнi властивостi
розподiлiв випадкових величин, заданих розподiлами елементiв
свого ланцюгового зображення // Фрактальний аналiз та сумiжнi
питання. – Київ: IМ НАН України – НПУ iменi М. П. Драгома-
нова. – 1998. – № 1. – С. 73-75.
[7] Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – К.: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 1998. –
296 с.
[8] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Киев: Наук.думка. – 1992. – 208 с.
[9] Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Наука. – 1978. – 112 с.
[10] Albeverio S., Kulyba Y., Pratsiovytyi M. and Torbin G. On singularity
and fine spectral structure of random continued fractions // Math.
Nachr., 288: 1803-1813. doi:10.1002/mana.201500045
[11] Iosifescu M., Kraaikamp C. On Denjoy’s canonical continued fraction
expansion, Osaka J.Math., 40 (2003), 1, 235-244.
[12] Pratsiovytyi M., Kyurchev D. On As-continued fraction expansion //
Book of abstracts of the Inernational Conference on Algebra dedicated
to 100th anniversary of S.M.Chernikov. – Kyiv. – 2012. – P. 119.
[13] Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the
random variable defined by A2-continued fraction with independent
elements // Radom Operators and Stochastic Equations. – 2009. –
Vol. 17, № 1. – P. 91-101.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-408 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:55Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/be/1f716ad8d8ae8c272609993398ba1bbe.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4082020-08-10T06:16:24Z Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. Кюрчев, Д.В. We study a geometry of representation of numbers in terms of continued $A_3$-fractions, that is continued fractions, elements of which are acquire from a set $A_3\equiv\{s_0,s_1,s_2\}$, де $0&lt;s_0&lt;s_1&lt;s_2, s_i\in\mathbb{R}$. We prove that if $s_0s_2=\frac{4}{3}$ and $s_1=(s_0+s_2)/2$ then each point of a certain interval has no more than two $A_3$-representation, and the set of points having two representations is countable, consequently, the encoding numbers system by means of a three-character alphabet, which is based on a decomposition of numbers in such continued fractions, has zero redundancy. The emphasis in the work is given to the topological-metric aspect of this representation (geometric sense of a figures, properties of the cylindrical and tail sets and so on). Вивчається геометрія представлення чисел ланцюговими $A_3$-дробами, тобто ланцюговими дробами, елементи яких набувають значення з множини $A_3\equiv\{s_0,s_1,s_2\}$, де $0&lt;s_0&lt;s_1&lt;s_2, s_i\in\mathbb{R}$. Доведено, що при $s_0s_2=\frac{4}{3}$ і $s_1=(s_0+s_2)/2$ кожна точка певного інтервалу має не більш, ніж два $A_3$-представлення, причому множина точок, що мають два представлення, є зліченною, а отже, система кодування чисел засобами трисимвольного алфавіту, що ґрунтується на розкладах чисел у такі ланцюгові дроби, має нульову надлишковість. Основна увага у роботі приділена тополого-метричному аспекту вказаного зображення (геометричному змісту цифр зображення, властивостям циліндричних і хвостових множин тощо). Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/408 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 97-110 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 97-110 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 97-110 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/408/404 Авторське право (c) 2017 М.В. Працьовитий, А.С. Чуйков, Д.В. Кюрчев http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М.В. Чуйков, А.С. Кюрчев, Д.В. Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії |
| title | Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії |
| title_full | Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії |
| title_fullStr | Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії |
| title_full_unstemmed | Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії |
| title_short | Ланцюгові $A_3$-дроби: основи метричної теорії |
| title_sort | ланцюгові $a_3$-дроби: основи метричної теорії |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/408 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv lancûgovía3drobiosnovimetričnoíteoríí AT čujkovas lancûgovía3drobiosnovimetričnoíteoríí AT kûrčevdv lancûgovía3drobiosnovimetričnoíteoríí |