Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу
Let $f$ be a continuous function defined by equality$$f\left(\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\alpha_k(x)}{5^k}\right)=\delta_{\alpha_1(x)1} +\sum^{\infty}_{k=2}\left(\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j(x)j}\right),$$ where $(\varepsilon_n)$ is a sequence of positive real numbers, $0\leq\varep...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/409 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552909453918208 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М.В. Свинчук, О.В. |
| author_facet | Працьовитий, М.В. Свинчук, О.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М.В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова, Київ"
},
{
"author": "О.В. Свинчук",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова, Київ"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М.В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | Let $f$ be a continuous function defined by equality$$f\left(\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\alpha_k(x)}{5^k}\right)=\delta_{\alpha_1(x)1} +\sum^{\infty}_{k=2}\left(\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j(x)j}\right),$$
where $(\varepsilon_n)$ is a sequence of positive real numbers, $0\leq\varepsilon_n \leq 1$,
$g_{0n}=g_{4n}=\dfrac{2+\varepsilon_n}{4}$, $g_{1n}=g_{3n}=\dfrac{-\varepsilon_n}{4}$, $g_{2n}=0$, $n =1, 2, \ldots$,
$\delta_{0n}=0$, $\delta_{1n}=\dfrac{2+\varepsilon_n}{4}$, $\delta_{2n}=\dfrac{2}{4}=\delta_{3n}$, $\delta_{4n}=\dfrac{2-\varepsilon_n}{4}$,
$\alpha_k(x)$ is a quinary digit of number $x$.
We study Lebesgue structure and spectral properties of distribution of random variable $Y=f(X)$ for a given distribution of random variable $X$ with independent quinary digits. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 111–124
УДК 517.5
М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
НПУ iменi М.П. Драгоманова, Київ;
prats4444@gmail.com, 7011990@ukr.net
Структура i спектральнi властивостi
розподiлу значень немонотонної
функцiї канторiвського типу
Let f be a continuous function defined by equality
f
( ∞∑
k=1
αk(x)
5k
)
= δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
,
where (εn) is a sequence of positive real numbers, 0 ≤ εn ≤ 1,
g0n = g4n =
2 + εn
4
, g1n = g3n =
−εn
4
, g2n = 0, n = 1, 2, . . .,
δ0n = 0, δ1n =
2 + εn
4
, δ2n =
2
4
= δ3n, δ4n =
2− εn
4
,
αk(x) is a quinary digit of number x.
We study Lebesgue structure and spectral properties of distribution
of random variable Y = f(X) for a given distribution of random
variable X with independent quinary digits.
Keywords: s-adic numeral system, continuous function of Cantor
type, discrete probability distribution, continuous probability di-
stribution, singular probability distribution, absolutely conti-
nuous probability distribution, mixture of probability distributions,
Lebesgue type of probability distribution, structure of probability di-
stribution, point spectrum of probability distribution.
c© М.В. Працьовитий, О. В. Cвинчук, 2017
112 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
Для неперервної функцiї f , означеної рiвнiстю
f
( ∞∑
k=1
αk(x)
5k
)
= δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
,
де (εn) — послiдовнiсть додатних дiйсних чисел, 0 ≤ εn ≤ 1,
g0n = g4n =
2 + εn
4
, g1n = g3n =
−εn
4
, g2n = 0, n = 1, 2, . . .,
δ0n = 0, δ1n =
2 + εn
4
, δ2n =
2
4
= δ3n, δ4n =
2− εn
4
,
αk(x) — k-та п’ятiркова цифра числа x,
дослiджується лебегiвська структура та спектральнi властивостi
розподiлу випадкової величини Y = f(X) при вiдомому розподiлi
аргументу як випадкової величини з незалежними п’ятiрковими
цифрами.
Ключовi слова: s-кова система числення, неперервна функцiя
канторiвського типу, дискретний розподiл, неперервний розподiл,
сингулярний розподiл, абсолютно неперервний розподiл, сумiш
розподiлiв, лебегiвський тип розподiлу, структура розподiлу,
точковий спектр розподiлу.
Вступ
Неперервнi функцiї з фрактальними властивостями i складною
локальною тополого-метричною структурою [1, 2, 6, 8 – 10] при-
роднiм чином породжують розподiли своїх значень, якщо напе-
ред є вiдомим розподiл випадкового аргументу [3, 11]. У випадку,
коли функцiя є функцiєю канторiвського типу [4, 5, 7, 14], випад-
кова величина, що є значенням функцiї, має загалом нетривiаль-
ну дискретну компоненту, тобто її розподiл має атоми. В такiй
ситуацiї природним чином виникають сумiшi дискретних та не-
перервних розподiлiв, а їх неперервнi складовi часто є сумiшшю
абсолютно неперервного та сингулярного розподiлiв (це виникає
переважно тодi, коли функцiя є немонотонною, а точнiше, коли
Структура i спектральнi властивостi розподiлу 113
вона не має промiжкiв монотонностi, крiм промiжкiв сталостi).
Саме такiй функцiї i розподiлу її значень присвячена ця робота.
1. Основний об’єкт
Нехай A5 ≡ {0, 1, 2, 3, 4}— алфавiт п’ятiркової системи числення,
L ≡ A5 ×A5 × . . .×A5 × . . . — простiр послiдовностей алфавiту,
x =
∞∑
k=1
αk(x)
5k
≡ ∆5
α1...αk...
— п’ятiркове зображення числа x ∈ [0, 1],
(αk) ∈ L.
Нехай (εn) — задана послiдовнiсть додатних дiйсних чисел,
причому 0 ≤ εn ≤ 1; (gn) = (g0n, g1n, g2n, g3n, g4n) — послiдовнiсть
векторiв, така, що: g0n = g4n =
2 + εn
4
, g1n = g3n =
−εn
4
, g2n = 0,
n = 1, 2, . . ..
Розглядається функцiя f , означена рiвнiстю
f(x) = δα1(x)1 +
∞∑
k=2
δαk(x)k
k−1∏
j=1
gαj(x)j
≡ ∆G
α1α2...αk...
, (1)
де δ0n = 0, δ1n =
2 + εn
4
, δ2n =
2
4
= δ3n, δ4n =
2− εn
4
, тобто
δ[i+1]n = δin + gin =
i∑
j=0
gjn, n ∈ N.
Функцiя f належить до класу функцiй, якi вивчались у робо-
тах [12], [13], [14], де обґрунтовано коректнiсть даного означення
функцiї, доведено її неперервнiсть на [0; 1] i описано деякi iншi
властивостi.
Теорема 1. [13] Функцiя f(x) є:
1) сталою на кожному цилiндрi виду ∆5
c1c2...cm2 i крiм цього
на цилiндрах ∆5
c1c2...cn−11
i ∆5
c1c2...cn−13
, якщо εn = 0 для будь-
якого n ∈ N ;
114 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
2) монотонною — тодi i тiльки тодi, коли εn = 0 для будь-
якого n ∈ N ;
3) сингулярною функцiєю канторiвського типу, якщо εn = 1,
множиною несталостi якої є множина канторiвського типу
C[5; {0, 1, 3, 4}] = {x : x ∈ [0, 1], αn(x) ∈ {0, 1, 3, 4}} з фракталь-
ною розмiрнiстю Гаусдорфа-Безиковича log5 4.
Вона набуває всiх значень iз вiдрiзка [0, 1], не має промiж-
кiв монотонностi, крiм промiжкiв сталостi, якщо нерiвнiсть
εn 6= 0 виконується для нескiнченної множини значень n, i має
графiк, симетричнй вiдносно точки C
(
1
2 ,
1
2
)
.
Зауваження. Далi ми розглядаємо випадок, коли εn = 1.
Цiкавлячись розподiлом значень функцiї f при вiдомому роз-
подiлi аргументу як випадкової величини X = ∆5
τ1τ2...τn... з неза-
лежними п’ятiрковими цифрами, нагадаємо його властивостi.
Теорема 2. [6] Якщо (τn) — послiдовнiсть незалежних ви-
падкових величин, якi набувають значень 0, 1, 2, 3, 4 з ймовiр-
ностями p0n, p1n, p2n, p3n, p4n, n ∈ N вiдповiдно, то випадкова
величина X має чистий лебегiвський тип розподiлу, причому:
1. чисто дискретний — тодi i тiльки тодi, коли
M ≡
∞∏
k=1
max
i
{pik} > 0;
2. чисто абсолютно неперервний — тодi i тiльки тодi, коли
L ≡
∞∑
k=1
4∑
i=0
(1− 5pik)
2 <∞;
3. чисто сингулярно неперервний — тодi i тiльки, коли
M = 0 i L =∞.
Структура i спектральнi властивостi розподiлу 115
2. Сумiшi розподiлiв
Лема 3. Має мiсце рiвнiсть f(∆5
c1c2...cm2) = ∆G
c1c2...cm2(0) = y0.
Доведення. Справдi, якщо x ∈ ∆5
c1...cm2, тобто x =
∆5
c1...cm2αm+2...
, то
f(x) = δc1 + . . .+ δcm
m−1∏
i=1
gci + δ2
m∏
i=1
gci + 0 = ∆G2
c1c2...cm2(0) = y0,
причому значення функцiї не залежить вiд цифр αm+2, αm+3 . . ..
Якщо G-зображення числа y ∈ E(f) використовує лише ци-
фри 0 i 1, то його називатимемо G2-зображенням.
Теорема 4. Образом множини C1 ≡ C[5; {0, 1}] при вiдобра-
женнi f є вiдрiзок
[
0, 34
]
, злiченна множина точок якого має
рiвно два G2-зображення, а саме:
∆G2
c1c2...cm01(0) = ∆G2
c1c2...cm11(0), (2)
а решта точок мають єдине G2-зображення.
Доведення. Спочатку доведемо рiвнiсть (2).
Нехай ϕm ≡ δc1 +
m∑
k=2
(
δck
k−1∏
j=1
gcj
)
. Розглянемо рiзницю:
∆G2
c1c2...cm01(0) −∆G2
c1c2...cm11(0) =
= ϕm + δ1g0
m∏
j=1
gcj − ϕm − δ1
m∏
j=1
gcj − δ1g1
m∏
j=1
gcj =
= [δ1g0 − δ1 − δ1g1]
m∏
j=1
gcj
= δ1[g0 − 1− g1]
m∏
j=1
gcj
= 0.
Отже, рiвнiсть (2) є правильною.
Нехай E = f(C[5; {0, 1}]). Доведемо, що E =
[
0, 34
]
. Якщо
x ∈ C1, тобто x = ∆5
α1α2...αn..., де αn ∈ {0, 1}, то
116 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
0 < f(x) = δα1(x) +
∞∑
k=2
δαk(x)
k−1∏
j=1
gαj(x)
≤ g0 =
3
4
.
Отже, E ⊂
[
0, 34
]
.
Означимо цилiндричний вiдрiзок рангу m iз основою
c1c2 . . . cm рiвнiстю
∆∗c1c2...cm =
[
inf ∆G2
c1c2...cm ; sup ∆G2
c1c2...cm
]
, де ci ∈ {0, 1}.
Якщо
m∏
i=1
gci ≡ D, то легко помiтити, що
inf ∆∗c1c2...cm =
{
∆∗c1c2...cm(0), якщо D > 0,
∆∗c1c2...cm1(0), якщо D < 0,
sup ∆∗c1c2...cm =
{
∆∗c1c2...cm1(0), якщо D > 0,
∆∗c1c2...cm(0), якщо D < 0.
Доведемо, що для будь-якого m ∈ N[
0,
3
4
]
= ∆∗0 ∪∆∗1 = (∆∗00 ∪∆∗01) ∪ (∆∗11 ∪∆∗10) = . . . =
=
1⋃
c1=0
1⋃
c2=0
. . .
1⋃
cm=0
∆∗c1c2...cm ,
причому цi формально рiзнi цилiндричнi вiдрiзки, якi входять до
об’єднання, не перекриваються (в цьому легко пересвiдчитись,
наприклад, ∆∗0 = [0; g20], ∆∗1 = [g20; g0], ∆∗00 = [0; g30], ∆∗01 = [g30; g20],
∆∗10 = [g0(1 + g0g1); g0], ∆∗11 = [g20; g0(1 + g0g1)], . . .). Проведемо
загальнi мiркування для цилiндра ∆∗c1c2...cm , де
∆∗c1c2...cm = ∆∗c1c2...cm0 ∪∆∗c1c2...cm1.
Структура i спектральнi властивостi розподiлу 117
Справдi, нехай D > 0. Тодi
inf ∆∗c1c2...cm = ∆∗c1c2...cm(0) = inf ∆∗c1c2...cm0(0),
sup ∆∗c1c2...cm0 = ∆∗c1c2...cm01(0) = ∆∗c1c2...cm11(0) = inf ∆∗c1c2...cm1,
sup ∆∗c1c2...cm1 = ∆∗c1c2...cm1(0) = sup ∆∗c1c2...cm .
Тодi при D < 0 маємо
inf ∆∗c1c2...cm = ∆∗c1c2...cm1(0) = inf ∆∗c1c2...cm1,
sup ∆∗c1c2...cm1 = ∆∗c1c2...cm11(0) = ∆∗c1c2...cm01(0) = inf ∆∗c1c2...cm0,
sup ∆∗c1c2...cm0 = ∆∗c1c2...cm0(0) = sup ∆∗c1c2...cm .
Таким чином, згiдно з аксiомою Кантора для будь-якої послi-
довностi (αn) ∈ L2 = A2 ×A2 × . . .×A2 × . . .
∅ 6=
∞⋂
m=1
∆∗α1α2...αm
= x ∈
[
0;
3
4
]
.
I навпаки, для будь-якого x ∈
[
0; 3
4
]
iснує (αn) ∈ L2 така, що
x ∈ ∆∗α1α2...αm
∀ m ∈ N.
Тому E =
[
0, 34
]
.
Враховуючи те, що цилiндричнi вiдрiзки не перекриваються,
доходимо висновку, що точки, якi не є кiнцями цилiндричних
вiдрiзкiв, мають єдине G2-зображення, а кiнцi цилiндрiв, окрiм
точки 0, мають два G2-зображення. Теорему доведено.
Теорема 5. Нехай X = ∆5
τ1τ2...τn... — неперервна випадкова ве-
личина, цифри (τn) п’ятiркового зображення якої є незалежни-
ми i мають розподiли P{τn = i} = pin, i = 0, 4, причому
p3n = 0 = p4n для будь-якого n ∈ N . Тодi розподiл випадкової
величини Y = f(X) є чисто дискретним, якщо
B ≡
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(1− p2k)
]
= 1,
118 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
i є нетривiальною сумiшшю дискретного та неперервного роз-
подiлiв, коли 0 < B < 1, причому:
1. сумiшшю дискретного i сингулярного, якщо
W =
∞∑
n=1
[(
1− 4
3
p′0n
)2
+ (1− 4p′1n)2
]
=∞,
де
p′0n =
p0n
p0n + p1n
i p′1n =
p1n
p0n + p1n
;
2. сумiшшю дискретного i абсолютно неперервного, якщо
W <∞.
Доведення. Завдяки незалежностi цифр випадкової величини
X маємо
P{Y = f(∆5
c1...cm2(0))} = P{X ∈ ∆5
c1...cm2} ≡
(
m∏
i=1
pcii
)
p2,m+1.
Тому y = f(∆5
c1...cm2(0)) є атомом розподiлу Y тодi i тiльки тодi,
коли
pcii 6= 0 ∀ i = 1,m i p2,m+1 6= 0.
Оскiльки розподiл випадкової величини X є неперервним, то
∞∏
k=1
max
i
{pik} = 0 i жодна з точок y, G-зображення яких викори-
стовує лише цифри 0 та 1, не є атомом розподiлу, а тому сумарна
маса атомiв розподiлу Y обчислюється за формулою
B =
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(p0k + p1k)
]
=
∞∑
n=1
[
p2n
n−1∏
k=1
(1− p2k)
]
.
Очевидно, що остання сума є скiнченним числом, причому
вона мiстить скiнченну кiлькiсть доданкiв, якщо iснує p2k = 1
або p2n = 0, i нескiнченну — у протилежному випадку.
Структура i спектральнi властивостi розподiлу 119
Якщо p0n = p1n = p2n для всiх n ∈ N , то B = 1 i розподiл є
чисто атомарним (дискретним). Якщо 0 < B < 1, то, врахову-
ючи теорему Лебега про структуру ймовiрнiсної мiри, доходимо
висновку, що розподiл Y , маючи атоми, має й нетривiальну не-
перервну компоненту, а саме:
PY (·) = Bµd(·) + (1−B)µc(·),
де µd — чистo дискретна, µc — неперервна ймовiрнiснi мiри. По-
над те, µc — це розподiл випадкової величини ν = ∆∗ν1...νn..., де
(νn) — послiдовнiсть незалежних випадкових величин, якi набу-
вають значень 0 i 1 з ймовiрностями
p′0n =
p0n
p0n + p1n
i p′0n =
p1n
p0n + p1n
вiдповiдно. Тому згiдно з теоремою Джессена-Вiнтнера [6] роз-
подiл ν є або чисто сингулярним, або чисто абсолютно неперерв-
ним, причому абсолютно неперервним, якщо W < ∞, i сингу-
лярним, якщо W =∞.
Обґрунтування останнього висновку можна провести анало-
гiчно до того, як це зроблено в роботi [6] для Q2-зображення,
оскiльки G2-зображення є аналiтичним самоподiбним, як i Q2-
зображення (бiєкцiя мiж цими зображеннями, яка зберiгає мiру
Лебега i Гаусдорфа-Безиковича, легко встановлюється).
Наслiдок. Якщо p0n = p1n = 0 для будь-якого n ∈ N , то
розподiл випадкової величини Y = f(X) має чисто дискретний
розподiл, якщо B = 1, i є сумiшшю дискретного й неперервного
розподiлiв, якщо 0 < B < 1.
3. Випадок чистої сингулярностi
Теорема 6. При вiдображеннi f образом множини канторiв-
ського типу C[5;Vn], де
Vn =
{
{0, 4}, якщо n = 1(mod 3),
{1, 3}, якщо n 6= 1(mod 3),
120 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
є множина канторiвського типу нульової мiри Лебега, фра-
ктальна розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича якої дорiвнює
α0 =
3
6− log2 3
.
Доведення. Здiйснимо перекодування чисел множини C[5;Vn]
засобами вiсiмкового алфавiту A8 = {0, 1, . . . , 7} замiною трiйок
послiдовних цифр α3k−2α3k−1α3k: 031 → 0, 033 → 1, 011 → 2,
013→ 3, 431→ 4, 433→ 5, 411→ 6, 413→ 7. Це перекодування
рiвносильне до такого перетворення виразу (1) функцiї f :
y = ρa1 +
∞∑
k=2
(
ρak(g0g
2
1)k−1
)
= ∆a1a2...an...,
де ρi = δα3k−2
+δα3k−1
gα3k−2
+δα3k
gα3k−2
gα3k−1
, α3k−2α3k−1α3k → i,
i ∈ A8, а саме:
ρ0 = g30 + g0g1, ρ4 = g0 + 2g1 + g30 + g0g1,
ρ1 = g30 + g20g1, ρ5 = g0 + 2g1 + g30 + g20g1,
ρ2 = g30, ρ6 = g0 + 2g1 + g30,
ρ3 = g30 + g0g
2
1, ρ7 = g0 + 2g1 + g30 + g0g
2
1.
Очевидно, що ρi < ρi+1, i = 0, 7.
Якщо f(C[5;Vn]) = E, то легко довести, що
minE = ∆G
(031) = ∆(0) =
ρ0
1− g0g21
,
maxE = ∆G
(413) = ∆(7) =
ρ7
1− g0g21
.
Тодi дiаметр
d(E) = maxE −minE =
ρ7 − ρ0
1− g0g21
=
g0 + g1 + g30
1− g0g21
= D.
Якщо x ∈ C[5;Vn], то
y = f(x) = ρa1(x) + y1(x) = ρa1(x) + g0g
2
1 ·D,
Структура i спектральнi властивостi розподiлу 121
де
g0g
2
1 · ρ0
1− g0g21
≤ y1 ≤
g0g
2
1 · ρ7
1− g0g21
.
Якщо
∆c1c2...cm = {x : x = ∆c1c2...cmam+1am+2 . . .}
— цилiндр рангу m iз основою c1c2 . . . cm, що вiдповiдає переко-
дованому зображенню, то
∆i =
[
ρi + g0g
2
1 ·
ρ0
1− g0g21
; ρi + g0g
2
1 ·
ρ7
1− g0g21
]
, i = 0, 7;
∆c1...cm =
[
Am + (g0g
2
1)m · ρ0
1− g0g21
;Am + (g0g
2
1)m · ρ7
1− g0g21
]
,
де Am = ρc1 + ρc2g0g
2
1 + . . .+ ρcm(g0g
2
1)m−1.
При цьому
d(∆c1...cm) = (g0g
2
1)m ·D.
Цилiндри 1-го рангу мають однаковий дiаметр g0g
2
1D i є по-
дiбними до множини E з коефiцiєнтом k1 = (g0g
2
1)−1, причо-
му цилiндричнi вiдрiзки ∆0, ∆1, ∆2, ∆5, ∆6, ∆7 не перетина-
ються. Цилiндричнi вiдрiзки ∆3 i ∆4 перекриваються, але ци-
лiндричнi вiдрiзки 2-го рангу, що належать спiльнiй частинi, не
перекриваються, причому: sup ∆41 < inf ∆36, inf ∆36 > inf ∆4,
sup ∆35 < inf ∆4, sup ∆41 < sup ∆3, inf ∆42 > sup ∆3. Тодi
E = Q0 ∪Q1 ∪Q2 ∪Q5 ∪Q6 ∪Q7 ∪ [Q3 ∪Q4] =
= Q0 ∪Q1 ∪Q2 ∪Q5 ∪Q6 ∪Q7∪
∪ (Q30 ∪Q31 ∪Q32 ∪Q35 ∪Q36 ∪Q37 ∪ [Q33 ∪Q34])∪
∪ (Q40 ∪Q41 ∪Q42 ∪Q45 ∪Q46 ∪Q47 ∪ [Q43 ∪Q44]) = . . . ,
звiдки маємо таку структуру N -самоподiбної множини E:
1. E =
∞⋃
m=0
[ ⋃
36=i 6=4
4⋃
am=3
. . .
4⋃
a2=3
4⋃
a1=3
∆a1a2...ami
]
,
122 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
2. E ki∼ ∆a1a2...ami, ki = (g0g
2
1)m+1,
причому вiдстань мiж цилiндрами, якi беруть участь у об’єднан-
нi, є додатною.
Отже, рiвняння для визначення СП-розмiрностi має вигляд:
6 · kx1 + 2 · 6 · kx2 + 22 · 6 · kx3 + . . .+ 2n−1 · 6 · kxn + . . . = 1,
6 ·
(
3
43
)x
+ 6 · 2 ·
(
3
43
)2x
+ 6 · 22 ·
(
3
43
)3x
+ . . . = 1.
Розв’язок рiвняння — це число x = α0(E) = 3
6−log2 3
≈ 2
3 , що є
не лише N -самоподiбною розмiрнiстю множини E, а й розмiрнi-
стю Гаусдорфа-Безиковича.
Оскiльки 0 < α0 < 1, то мiра Лебега даної множини C[5;Vn]
дорiвню нулю.
Теорема 7. Якщо розподiл випадкової величини X є неперерв-
ним i для будь-якого натурального n мають мiсце рiвностi{
p1n = p2n = p3n = 0, p0n + p4n = 1, якщо n = 1(mod 3),
p0n = p4n = 0, p1n + p2n + p3n = 1, якщо n 6= 1(mod 3),
то випадкова величина Y = f(X) має сингулярний розподiл кан-
торiвського типу.
Доведення. Згiдно з теоремою 6 спектром випадкової вели-
чини Y , тобто множиною точок росту її функцiї розподiлу, є
множина канторiвського типу E = f(C[5;Vn]) з нульовою мiрою
Лебега. Оскiльки розподiл випадкової величини X неперервний,
то
∞∏
k=1
max
i
{pik} = 0 i жодна з точок y не є атомом розподiлу, тому
випадкова величина Y має сингулярний розподiл канторiвського
типу.
Структура i спектральнi властивостi розподiлу 123
Лiтература
[1] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions
defined in terms of Q-representation // International Journal of
Math. Analysis. – 2013. – Vol.7. – № 61-67. – P. 3155-3169.
[2] Pratsiovytyi M., Isaieva T. Transformations of (0; 1] preserving
tails of ∆µ-representation of numbers // Algebra and Discrete
Mathematics. – 2016. – Vol. 22, № 1. – P. 102-115.
[3] Працевитый Н. В. Случайные величины с независимыми
Q2-символами // Асимптотические методы в исследовании
стохастических моделей. — Киев: Институт математики АН
УССР. – 1987. – С. 92-102.
[4] Працевитый Н. В. Непрерывные канторовские проекторы
// Методы исследования алгебраических и топологических
структур. — Киев: КГПИ. – 1989. – С. 95-105.
[5] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества,
функции, распределения. – Киев: Наук. думка. – 1992. – 208 с.
[6] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях син-
гулярних розподiлiв. – К.: Видавництво НПУ iменi М. П. Дра-
гоманова, 1998. – 296 с.
[7] Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi однiєї неперерв-
ної нiде не диференцiйовної функцiї // Науковi записки НПУ
iменi М. П. Драгоманова. Фiзико-математичнi науки. – 2002. –
№3. – С. 327-338.
[8] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї //
Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1.
Фiзико-математичнi науки. – 2011. – № 12. – С. 24-36.
[9] Працьовитий М. В., Жабровець О. В. Сiм’я неперервних
функцiй зi складною локальною будовою, якi є або сингуляр-
ними, або нiде не монотонними // Науковий часопис НПУ
124 М.В. Працьовитий, О.В. Cвинчук
iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi нау-
ки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2014. – № 16 (1). –
С. 228-242.
[10] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Самоафiннi син-
гулярнi та нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-
зображенням чисел. // Укр. мат. журнал. – 2013. – Т. 65,
№ 3. – С. 381-93.
[11] Працьовитий М. В., Ратушняк С. П. Розподiл значень однi-
єї фрактальної функцiї вiд випадкового аргумента // Науко-
вий часопис НПУ iменi М.П.Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. –
2014. – № 16 (2). – С. 150-160.
[12] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Один клас неперервних
нiде не монотонних функцiй з автомодельними властивостя-
ми // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя
1. Фiзико-математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Дра-
гоманова. – 2014. – № 16 (2). – С. 81-93.
[13] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Про одну сiм’ю непе-
рервних немонотонних сингулярних функцiй канторiвського
типу з фрактальними властивостями // Науковий часопис
НПУ iменi М П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi
науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2015. – № 17. –
С. 37-48.
[14] Працьовитий М. В., Свинчук О. В. Розподiл значень однi-
єї сингулярної немонотонної функцiї канторiвського типу //
Математичнi проблеми механiки та обчислювальної матема-
тики: Збiрник праць Iнституту математики НАН України. –
2017. – Т. 14, № 2. – С. 110-121.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-409 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:55Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/1c/c713e38e65315701d8b15db4a54da21c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4092020-08-10T06:16:24Z Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу Працьовитий, М.В. Свинчук, О.В. Let $f$ be a continuous function defined by equality$$f\left(\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\alpha_k(x)}{5^k}\right)=\delta_{\alpha_1(x)1} +\sum^{\infty}_{k=2}\left(\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j(x)j}\right),$$ where $(\varepsilon_n)$ is a sequence of positive real numbers, $0\leq\varepsilon_n \leq 1$, $g_{0n}=g_{4n}=\dfrac{2+\varepsilon_n}{4}$, $g_{1n}=g_{3n}=\dfrac{-\varepsilon_n}{4}$, $g_{2n}=0$, $n =1, 2, \ldots$, $\delta_{0n}=0$, $\delta_{1n}=\dfrac{2+\varepsilon_n}{4}$, $\delta_{2n}=\dfrac{2}{4}=\delta_{3n}$, $\delta_{4n}=\dfrac{2-\varepsilon_n}{4}$, $\alpha_k(x)$ is a quinary digit of number $x$. We study Lebesgue structure and spectral properties of distribution of random variable $Y=f(X)$ for a given distribution of random variable $X$ with independent quinary digits. Для неперервної функції $f$, означеної рівністю$$f\left(\sum^{\infty}_{k=1} \frac{\alpha_k(x)}{5^k}\right)=\delta_{\alpha_1(x)1} +\sum^{\infty}_{k=2}\left(\delta_{\alpha_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{\alpha_j(x)j}\right),$$ де $(\varepsilon_n)$ --- послідовність додатних дійсних чисел, $0\leq \varepsilon_n \leq 1$, $g_{0n}=g_{4n}=\dfrac{2+\varepsilon_n}{4}$, $g_{1n}=g_{3n}=\dfrac{-\varepsilon_n}{4}$, $g_{2n}=0$, $n =1, 2, \ldots$, $\delta_{0n}=0$, $\delta_{1n}=\dfrac{2+\varepsilon_n}{4}$, $\delta_{2n}=\dfrac{2}{4}=\delta_{3n}$, $\delta_{4n}=\dfrac{2-\varepsilon_n}{4}$, $\alpha_k(x)$ --- $k$-та п'ятіркова цифра числа $x$, досліджується лебегівська структура та спектральні властивості розподілу випадкової величини $Y=f(X)$ при відомому розподілі аргументу як випадкової величини з незалежними п'ятірковими цифрами. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/409 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 111-124 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 111-124 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 111-124 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/409/405 Авторське право (c) 2017 М.В. Працьовитий, О.В. Свинчук http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М.В. Свинчук, О.В. Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| title | Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| title_full | Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| title_fullStr | Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| title_full_unstemmed | Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| title_short | Структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| title_sort | структура і спектральні властивості розподілу значень немонотонної функції канторівського типу |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/409 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv strukturaíspektralʹnívlastivostírozpodíluznačenʹnemonotonnoífunkcííkantorívsʹkogotipu AT svinčukov strukturaíspektralʹnívlastivostírozpodíluznačenʹnemonotonnoífunkcííkantorívsʹkogotipu |