Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа
We consider a $Q_2$-representation of a fractional part of a realnumber. This is a one-parameter generalization of a classic binaryrepresentation. For a given $Q_2$-expansion and correspondingrepresentation, induced four-symbol $Q_4$-representation isintroduced. The conditions when the four-symbol $...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/411 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552909411975168 |
|---|---|
| author | Ратушняк, С.П. |
| author_facet | Ратушняк, С.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С.П. Ратушняк",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Ратушняк, С.П. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We consider a $Q_2$-representation of a fractional part of a realnumber. This is a one-parameter generalization of a classic binaryrepresentation. For a given $Q_2$-expansion and correspondingrepresentation, induced four-symbol $Q_4$-representation isintroduced. The conditions when the four-symbol $Q_4$-representation isinduced by a two-symbol representation as well as the conditions forthe two-symbol conversion of the four-symbol $Q_4$-representation to bea $Q_2$-representation are found. A class of singular functions isconstructed by simple conversion of a four-symbol $Q_4$-representationto a two-symbol $Q_2$-representation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 137–146
УДК 517.5
С.П. Ратушняк
Iнститут математики НАН України, Київ;
ratush404@gmail.com
Взаємозв’язки двосимвольного та
чотирисимвольного Q-зображень
дробової частини дiйсного числа
We consider a Q2-representation of a fractional part of a real number.
This is a one-parameter generalization of a classic binary representati-
on. For a given Q2-expansion and corresponding representation,
induced four-symbol Q4-representation is introduced. The conditions
when the four-symbol Q4-representation is induced by a two-symbol
representation as well as the conditions for the two-symbol conversi-
on of the four-symbol Q4-representation to be a Q2-representation
are found. A class of singular functions is constructed by simple
conversion of a four-symbol Q4-representation to a two-symbol Q2-
representation.
Key words: Qs-representation of a real number, classic binary
representation, quaternary representation, singular function.
c© С. П. Ратушняк, 2017
138 С. П. Ратушняк
Для заданого Q2-представлення (i до нього вiдповiдного зображе-
ння) дробової частини дiйсного числа, що є однопараметричним
узагальненням класичного двiйкового представлення, вводиться
iндуковане чотирисимвольне Q4-зображення. Знайдено умови,
за яких чоторисимвольне Q4-зображення є iндукованим двосим-
вольним, а також умови, коли двосимвольне перекодування чоти-
рисимвольного Q4-зображення є Q2-зображенням. Виявлено клас
сингулярних функцiй, якi отримуються завдяки простому пере-
кодуванню чотирисимвольного Q4-зображення на двосимвольне
Q2-зображення.
Ключовi слова: Qs-зображення, двiйкове зображення чисел, че-
твiркове зображення чисел, сингулярна функцiя.
Вступ
Нагадаємо, що кодуванням дiйсних чисел множини D = 〈a; b〉
засобами алфавiту A називається вiдповiднiсть мiж множина-
ми D i L = A × A × A × . . ., при якiй кожному числу x ∈ D
вiдповiдає принаймнi один елемент множини L. Iнакше кажучи,
кодуванням чисел множини D засобами алфавiту A називається
сюр’єктивне вiдображення f : L→ D. При цьому множина
∆L
c1c2...cm = {(a1, a2, . . . , an, . . .) : ai = ci ∈ A, i = m}
називається цилiндром рангу m iз основою c1c2 . . . cm у просторi
L послiдовностей алфавiту.
Образ цилiндра ∆L
c1c2...cm при вiдображеннi f
∆f
c1c2...cm = f
(
∆L
c1c2...cm
)
називається цилiндром ∆f
c1c2...cm рангу m iз основою c1c2 . . . cm.
Сама послiдовнiсть (αn) = (α1, α2, . . . , αn, . . .) ∈ L, яка вiдпо-
вiдає числу x, називається його f -зображенням (або f -кодом), а
αn — n-ою цифрою (або символом) цього зображення.
Якщо кожен цилiндр є промiжком, то кодування називається
неперервним.
Взаємозв’язки дво- та чотирисимвольного Q-зображень 139
Кажуть, що зображення (кодування) має нульову надлишко-
вiсть, якщо кожне число має не бiльш, анiж два зображення,
причому множина чисел, що мають два зображення, є не бiльш,
як злiченною.
Системою числення (яка обслуговує множину дiйсних чисел)
називається сукупнiсть засобiв для представлення=подання (ма-
тематичного вираження), зображення (кодування, скороченого,
формального запису), найменування дiйсних чисел, їх iденти-
фiкацiї та порiвняння, а також побудови арифметики. Ця суку-
пнiсть мiстить: модель числа у формi математичного виразу (ря-
ду, нескiнченного добутку, ланцюгового дробу тощо); алфавiт —
набiр цифр (символiв, знакiв) для формального (скороченого)
запису представлень числа математичним виразом.
1. Постановка задачi
Так зване Q2-зображення дробової частини дiйсного числа ви-
значається одним параметром q0 ∈ (0; 1). Воно є двосимвольним
самоподiбним кодуванням чисел з нульовою надлишковiстю, що
узагальнює класичну двiйкову систему i збiгається з нею при
q0 = 1
2 . В технiчному сенсi двосимвольнi системи кодування чи-
сел мають суттєвi переваги. Такий органiчний зв’язок двiйкової
системи з системою числення з основою 2k легко переноситься на
Q2 i Qs-зображення при s = 2k. Цьому взаємозв’язу присвячена
наша робота.
Нехай 2 ≤ s — задане натуральне число, As ≡ {0, 1, ..., s− 1},
q = (q0, q1, ..., qs−1) — стохастичний вектор з додатними коор-
динатами. Означення Qs–зображення числа x ∈ [0; 1] породжує
таке твердження.
Теорема 1. [4] Для будь-якого дiйсного числа x ∈ [0; 1] iснує
140 С. П. Ратушняк
послiдовнiсть (αn) ∈ L = As ×As × ...×As × ..., така, що
x = βα1 +
∞∑
k=2
βαk
k−1∏
j=1
qαj
= ∆Qs
α1α2...αk...
, (1)
де β0 ≡ 0, βαk
≡
αk−1∑
i=0
qi.
Теорема 2. Якщо ∆Q2
α1α2...αn... — Q2-зображення числа x (яке
визначається одним параметром q0 ∈ (0; 1)),то число x має
Q′4-зображенням ∆
Q′4
a1a2...an..., де q′0 = q20, q
′
1 = q0q1, q′2 = q0q1,
q′3 = q21 i
an = ϕ(α2n−1, α2n) =
0, якщо α2n−1, α2n = 00,
1, якщо α2n−1, α2n = 01,
2, якщо α2n−1, α2n = 10,
3, якщо α2n−1, α2n = 11.
(2)
Доведення. Справдi, для довiльного x ∈ [0; 1]
x = ∆Q2
α1α2...αn... =
= βα1 + βα2qα1 + βα3qα1qα2 + βα4qα1qα2qα3 + ... =
= (βα1 + βα2qα1) + (βα3qα1qα2 + βα4qα1qα2qα3) + ... =
= (βα1 + βα2qα1) + qα1qα2 (βα3 + βα4qα3) + ... =
= β′a1 + β′a2qα1qα2 + β′a3qα1qα2qα3qα4 + ... =
= β′a1 + β′a2q
′
a1 + β′a3q
′
a1q
′
a2 + ... = ∆
Q′4
a1a2...an...,
де q′an = qα2n−1qα2n =
q20, якщо α2n−1α2n = 00,
q0q1, якщо α2n−1α2n = 01,
q0q1, якщо α2n−1α2n = 10,
q21, якщо α2n−1α2n = 11,
Взаємозв’язки дво- та чотирисимвольного Q-зображень 141
β′an = βα2n−1 + βα2nqα2n−1
β′an =
β0 + q0β0 = 0 при α2n−1α2n = 00,
β0 + q0β1 = q20 при α2n−1α2n = 01,
β1 + q1β0 = q0 при α2n−1α2n = 10,
β1 + q1β1 = q0 + q0q1 при α2n−1α2n = 11.
�
Означення 1. Q′4-зображення числа, утвореного внаслiдок пе-
рекодування Q2-зображення за схемою (2), називатимемо Q4-
зображенням, iндукованим Q2-зображенням.
Зауваження 1. Якщо Q2-зображення є звичайним двiйковим
зображенням, то Q4-зображенням, ним iндукованим, є тради-
цiйне четвiркове зображення. Справдi,
x =
α1
2
+
α2
22
+
α3
23
+
α4
24
+ ...+
α2k−1
22k−1
+
α2k
22k
+ ...
=
2α1 + α2
4
+
2α3 + α4
42
+ ...+
2α2k−1 + α2k
4k
+ ... .
Геометричний зв’язок цих зображень є добре вiдомим [4].
2. Сингулярнi функцiї, породженi пе-
рекодуванням чотирисимвольного Q-
зображення числа
Нехай x = ∆
Q′4
a1a2...an... — Q4-зображення числа x ∈ [0; 1]. Викона-
ємо його перекодування за допомогою двосимвольного алфавiту
замiною цифри 0 на пару цифр 00, цифри 1 — на пару 01, цифри
2 — на пару 10, цифри 3 — на пару 11. Отримали двосимвольне
зображення ∆b1b2...bn... того самого числа x. Природним є запи-
тання: чи є це зображення деяким Q2-зображенням? Зрозумiло,
що коли Q4-зображення є iндукованим деяким Q2-зображенням,
то це буде так. У загальнiй постановцi, суть задачi полягає ось у
142 С. П. Ратушняк
чому: за яких умов на стохастичний вектор q матимемо ствердну
вiдповiдь?
Нехай Q4 = (q0, q1, q3, q4) = q, Q2 = (g0, g1) = g — заданi
додатнi стохастичнi вектори. Розглядається функцiя
f(x) = f(∆Q4
a1(x)a2(x)...an(x)...
) = ∆Q2
ϕ(a1)ϕ(a2)...ϕ(an)...
= (3)
= ∆Q2
α1α2...α2n−1α2n..., (4)
де ϕ(an) =
00, при an = 0,
01, при an = 1,
10, при an = 2,
11, при an = 3.
Теорема 3. Функцiя f є коректно означеною рiвнiстю (3), не-
перервною i строго зростаючою.
Доведення. 1. Коректнiсть означення могла би порушитись у Q4–
рацiональних точках, тобто в точках виду
∆Q4
c1c2...cm−1cm(0) = ∆Q4
c1c2...cm−1[cm−1](3),
а саме: коли «значення» функцiї вiд двох рiзних зображень одно-
го й того самого аргументу не збiгались би.
Розглянемо рiзницю
f(∆Q4
c1c2...cm−1cm(0))− f(∆Q4
c1c2...cm−1[cm−1](3)) =
= ∆Q2
α1α2...α2m−3α2m−2α2m−1α2m(0) −∆Q2
α1α2...α2m−3α2m−2α′2m−1α
′
2m(1)
=
= (
2m−2∏
i=1
gαi)(βα2m−1 + βα2mgα2m−1 + β0gα2m−1gα2m + ...
− βα′2m−1
− βα′2mgα′2m−1
− gα′2m−1
gα′2m [β1 + β1g1 + ...]) =
= A
2m−2∏
i=1
gαi ,
Взаємозв’язки дво- та чотирисимвольного Q-зображень 143
A = βα2m−1 + βα2mgα2m−1 − βα′2m−1
− βα′2mgα′2m−1
− gα′2m−1
gα′2m .
Оскiльки cm 6= 0, то можливi такi випадки.
Якщо cm = 1, то A = β1g0 − g0g0 = 0.
Якщо cm = 2, то A = β1 − β1g0 − g0g1 = 0.
Якщо cm = 3, то A = β1 + β1g0 − β1 − g0g1 = 0.
Таким чином,
f(∆Q4
c1c2...cm−1cm(0)) = f(∆Q4
c1c2...cm−1[cm−1](3)).
А тому функцiя f коректно означена i в разi потреби ми можемо
використовувати «зручне» для себе зображення аргументу.
2. Для доведення неперервностi функцiї в будь–якiй точцi
x0 ∈ [0; 1] покажемо, що lim
x→x0
|f(x)− f(x0)| = 0. Для цього окре-
мо розглянемо випадки, коли x0 є Q4–iррацiональним числом i
коли воно є Q4–рацiональним числом.
У першому випадку умова x→ x0 рiвносильна m→∞, де m
таке натуральне число, що am(x0) 6= am(x), але aj(x0) = aj(x)
при j < m.
Нехай x = ∆Q4
a1a2...am−1a′m...
i x0 = ∆Q4
a1a2...am−1am....
Розглянемо модуль рiзницi
ρ ≡ |f(x)− f(x0)| =
= |f(∆Q4
a1a2...am−1a′m...
)− f(∆Q4
a1a2...am−1am...)| =
= |∆Q2
α1α2...α′2m−1α
′
2m...
−∆Q2
α1α2...α2m−1α2m...| =
=
2m−2∏
i=1
gαi · |∆
Q2
α2m−1(x)α2m(x)... −∆Q2
α2m−1(x0)α2m(x0)...
| =
= |A|
2m−2∏
i=1
gαi ≤
2m−2∏
i=1
gαi ≤
≤
2m−2∏
i=1
max{g0, g1} → 0(m→∞),
оскiльки
144 С. П. Ратушняк
|A| = |(βα′2m−1
+βα′2mgα′2m−1
+...−βα2m−1−βα2mgα2m−1−...)| ≤ 1.
Якщо x0 є Q4-рацiональною точкою, а саме: x0 =
∆Q4
a1a2...ak(0)
= ∆Q4
a1a2...[ak−1](3), то для доведення неперервностi
функцiї f в цiй точцi достатньо довести її неперервнiсть злiва i
справа в точцi x0. У першому випадку можна скористатись попе-
редньою схемою мiркувань для зображення x0 = ∆Q4
a1a2...[ak−1](3),
а в другому — для зображення x0 = ∆Q4
a1a2...ak(0)
.
3. Щоб довести, що функцiя f є строго зростаючою, скори-
стаємося означенням, тобто покажемо, що з x1 < x2 випливає
нерiвнiсть f(x2)− f(x1) > 0.
Нехай x1 = ∆Q4
a1a2...am..., x2 = ∆Q4
a1a2...a′m...
. Оскiльки x1 < x2, то
iснує m ∈ N , таке, що am(x1) < am(x2), але aj(x1) = aj(x2) при
j < m. Тодi αj(y1) = αj(y2), j = 1, 2m− 2, i
α2m−1(y1)α2m(y1) 6= α2m−1(y2)α2m(y2),
а отже, можливi лише два випадки:
{
α2m−1(y1) = 0,
α2m−1(y2) = 1,
або
α2m−1(y1) = α2m−1(y2),
α2m(y1) = 0,
α2m(y2) = 1.
Тодi
f(x2)− f(x1) = A
2m−2∏
i=1
gαi ,
A = ∆Q2
α2m−1(y2)α2m(y2)...
−∆Q2
α2m−1(y1)α2m(y1)...
.
Зауважимо, що при x1 6= x2 ситуацiя, коли виконується си-
стема рiвностей
a′m = c 6= 0,
am = c− 1,
a′m+j = 0,
am+j = 3,
Взаємозв’язки дво- та чотирисимвольного Q-зображень 145
неможлива. Тому в першому випадку
A > g0 − (q20 + q20q1 + q20q
2
1 + ...) = 0, у другому випадку A >
gα2m−1(y2)(g0 − (g20 + g20g1 + g20g
2
1 + ...)) = 0.
Отже, f(x2)− f(x1) > 0, тобто f строго зростає. �
Теорема 4. Функцiя f є лiнiйною, а саме: f(x) = x, якщо
q0 = g20,
q1 = g0g1 = q2,
q3 = q21,
(5)
i сингулярною в рештi випадкiв.
Доведення. 1. При виконанi умов (5) iндуковане Q′4-зображення
Q2-зображенням збiгається з заданимQ4-зображенням (оскiльки
q′0 = g20 = q0, q′1 = g0g1 = q1, q′2 = g0g1 = q2, q′3 = g21 = q3), тому
f(x) = f(∆Q4
a1(x)a2(x)...an(x)...
) = ∆Q2
(α1α2)(α3α4)...(α2k−1α2k)...
=
= ∆
Q′4
a1a2...an... = x.
2. Припустимо, що умова (5) не виконується. Оскiльки
f(∆Q4
a1a2...an...) = ∆
Q′2
(α1α2)(α3α4)...(α2k−1α2k)...
= ∆
Q′4
a1a2...an...,
то f є функцiя розподiлу випадкової величини ξ = ∆Q4
τ1τ2...τn ци-
фри τn, Q4–зображення якої є незалежними однаково розподiле-
ними випадковими величинами, причому P{τn = i} = pi = q′i,
i = 0, 1, 2, 3.
Добре вiдомо, що розподiл випадкової величини ξ є рiвномiр-
ним, якщо pi = qi, i = 0, 1, 2, 3 i сингулярним коли iснує pi 6= qi.
Тому у випадку коли умови (5) не виконуються, Fξ(x) = f(x) є
сингулярною. [4] �
146 С. П. Ратушняк
Лiтература
[1] Працьовитий М. В. Геометрiя класичного двiйкового зображення
дiйсних чисел. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2012. –
68 с.
[2] Працьовитий М. В. Двосимвольнi системи зображення (кодува-
ння) дiйсних чисел // Студентськi фiзико–математичнi етюди. –
Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2010. – № 9. –
С. 6-26.
[3] Працевитый Н. В. Случайные величины с независимыми Q2-
символами // Асимптотические методы в исследовании стохасти-
ческих моделей. — Киев: Ин-т математики АН УССР. – 1987. –
С. 92–102.
[4] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. – 1998. – 296 с.
[5] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Київ: Наукова думка. – 1992. – 208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-411 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:55Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/fb/b8e6e405461514824e65f3d20a0c29fb.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4112020-08-10T06:16:24Z Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа Ратушняк, С.П. We consider a $Q_2$-representation of a fractional part of a realnumber. This is a one-parameter generalization of a classic binaryrepresentation. For a given $Q_2$-expansion and correspondingrepresentation, induced four-symbol $Q_4$-representation isintroduced. The conditions when the four-symbol $Q_4$-representation isinduced by a two-symbol representation as well as the conditions forthe two-symbol conversion of the four-symbol $Q_4$-representation to bea $Q_2$-representation are found. A class of singular functions isconstructed by simple conversion of a four-symbol $Q_4$-representationto a two-symbol $Q_2$-representation. Для заданого $Q_2$-представлення (і до нього відповідного зображення) дробової частини дійсного числа, що є однопараметричним узагальненням класичного двійкового представлення, вводиться індуковане чотирисимвольне $Q_4$-зображення. Знайдено умови, за яких чоторисимвольне $Q_4$-зображення є індукованим двосимвольним, а також умови, коли двосимвольне перекодування чотирисимвольного $Q_4$-зображення є $Q_2$-зображенням. Виявлено клас сингулярних функцій, які отримуються завдяки простому перекодуванню чотирисимвольного $Q_4$-зображення на двосимвольне $Q_2$-зображення. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/411 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 137-146 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 137-146 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 137-146 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/411/407 Авторське право (c) 2017 С.П. Ратушняк http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Ратушняк, С.П. Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| title | Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| title_full | Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| title_fullStr | Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| title_full_unstemmed | Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| title_short | Взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $Q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| title_sort | взаємозв'язки двосимвольного та чотирисимвольного $q$-зображень дробової частини дійсного числа |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/411 |
| work_keys_str_mv | AT ratušnâksp vzaêmozv039âzkidvosimvolʹnogotačotirisimvolʹnogoqzobraženʹdrobovoíčastinidíjsnogočisla |