Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел
We consider a polybase $Q_s$-representation $\Delta^{Q_s}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x)\ldots}$ of number $x$ that is a generalizing of classic $s$-adic representation: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} s^{-k}\alpha_k(x)=\Delta^{s}_{\alpha_1(x)\alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots}$, where...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/412 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552910749958144 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М.В. Василенко, Н.А. Замрій, І.В. |
| author_facet | Працьовитий, М.В. Василенко, Н.А. Замрій, І.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М.В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "Н.А. Василенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "І.В. Замрій",
"institution": "Державний університет телекомунікацій, Київ"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М.В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | We consider a polybase $Q_s$-representation $\Delta^{Q_s}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x)\ldots}$ of number $x$ that is a generalizing of classic $s$-adic representation: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} s^{-k}\alpha_k(x)=\Delta^{s}_{\alpha_1(x)\alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots}$, where$\alpha_k(x)\in A_s\equiv\{0,1,\ldots,s-1\}$.In the paper, we study continuum class of functions defined on $[0;1]$ and preserving one of the digits of $Q_s$-representation, namely:\[f(\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k \ldots})=\Delta^{Q_s}_{\delta_1 \delta_2 \ldots \delta_k \ldots}, \:\: \text{where } \alpha_k, \delta_k\in A_s,\]\[\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k\ldots}=\beta_{\alpha_1(x)}+\sum\limits_{k=2}^{\infty} \Bigl(\beta_{\alpha_k(x)}\prod\limits_{j=1}^k q_{\alpha_j(x)}\Bigr)\]and$\delta_k = \varphi_k(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_k(x))$ but $\delta_k=m$ if and only if $\alpha_k(x)=m$, where $m$ is a fixed digit of alphabet $A_s$.
For some representatives of various subclasses of the family of functions preserving digit $m$ of alphabet $A_s$, self-similar and fractal properties are studied in details. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:06:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 147–166
УДК 517.51
М.В. Працьовитий1, Н.А. Василенко2,
I. В. Замрiй3
1НПУ iменi М.П. Драгоманова, Iнститут математики НАН
України, Київ; prats4444@gmail.com
2Iнститут математики НАН України, Київ;
vasylenkonnn@gmail.com
3Державний унiверситет телекомунiкацiй, Київ;
irinafraktal@gmail.com
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру
Qs-зображення чисел
We consider a polybase Qs-representation ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
of
number x that is a generalizing of classic s-adic representation:
x =
∞∑
k=1
s−kαk(x) = ∆s
α1(x)α2(x)...αk(x)...
, where αk(x) ∈ As ≡
{0, 1, . . . , s− 1}. In the paper, we study continuum class of functions
defined on [0; 1] and preserving one of the digits of Qs-representation,
namely:
f(∆Qs
α1α2...αk...
) = ∆Qs
δ1δ2...δk...
, where αk, δk ∈ As,
∆Qs
α1α2...αk...
= βα1(x) +
∞∑
k=2
(
βαk(x)
k∏
j=1
qαj(x)
)
and δk = ϕk(α1(x), α2(x), . . . , αk(x)) but δk = m if and only if
αk(x) = m, where m is a fixed digit of alphabet As.
For some representatives of various subclasses of the family of
functions preserving digit m of alphabet As, self-similar and fractal
properties are studied in details.
c© М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй, 2017
148 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
Key words: Qs-representation of real numbers; function preserving
digit in Qs-representation of number; level sets of function; inversor
of digits of Qs-representation of number; self-similarity of function
(graph of function).
Робота присвячена вивченню континуального класу визначених
на вiдрiзку [0; 1] функцiй, якi зберiгають одну з цифр полiоснов-
ного Qs-зображення ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
числа x, що є узагаль-
ненням класичного s-кового зображення: x =
∞∑
k=1
s−kαk(x) =
∆s
α1(x)α2(x)...αk(x)...
, де αk(x) ∈ As ≡ {0, 1, . . . , s− 1}. А саме, фун-
кцiям наступного виду:
f(∆Qs
α1α2...αk...
) = ∆Qs
δ1δ2...δk...
, де αk, δk ∈ As,
∆Qs
α1α2...αk...
= βα1(x) +
∞∑
k=2
(
βαk(x)
k∏
j=1
qαj(x)
)
i при цьому δk = ϕk(α1(x), α2(x), . . . , αk(x)), але δk = m тодi i
тiльки тодi, коли αk(x) = m, деm – фiксована цифра алфавiтуAs.
Для окремих представникiв рiзних пiдкласiв сiм’ї функцiй, що
зберiгають цифру m алфавiту As, дослiджено автомодельнi й
фрактальнi властивостi.
Ключовi слова: Qs-зображення дiйсних чисел; функцiя, яка
зберiгає цифру Qs-зображення числа; рiвень функцiї; iнверсор
цифр Qs-зображення числа; автомодельнiсть функцiї (графiка
функцiї).
Вступ
Багато неперервних на вiдрiзку [0; 1] функцiй мають фрактальнi
властивостi. Для одних – це фрактальнiсть графiка [2,3,16] (гра-
фiк є фрактальною кривою простору R2), для других – це наяв-
нiсть фрактальних рiвнiв [1,3,11,14,15,16], а для третiх – це вла-
стивiсть функцiї зберiгати розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича
всiх борелiвських множин [6,10] тощо. Нiде не диференцiйовнi
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 149
функцiї утворюють потужний клас потенцiально фрактальних
функцiй у першому сенсi. Останнiм часом окремi класи функцiй
з фрактальними властивостями видiлялись системою iнварiан-
тiв зображення аргумента в тiй чи iншiй системi кодування. На-
приклад, у роботi [13] вивчався клас функцiй, якi «зберiгають»
цифру 1 трисимвольного Q3-зображення аргумента, що є уза-
гальненням класичного трiйкового. Як виявилось, такi функцiї
не мають континуальних рiвнiв, їхнi графiки не є фрактальним
кривими у традицiйному розумiннi, хоча «слабо» фрактальни-
ми властивостями вони володiють (фрагменти графiка є афiнно-
еквiвалентними до цiлого [6,13,14]).
У цiй роботi, розширюючи алфавiт (As ≡ {0, 1, . . . , s − 1},
s > 3), ми дослiджуємо властивостi скiнченнопараметричного
класу P (m) функцiй, якi зберiгають цифру m ∈ As. При цьо-
му зосереджуємо увагу передусiм на неперервних функцiях з
класу P (m). Усi функцiї будуються з використанням перетворю-
вача символiв полiосновного Qs-зображення дiйсних чисел [10].
Останнi зображення визначаються ймовiрнiсним вектором Qs з
додатними координатами (q0, q1, . . . , qs−1) i розкладом
[0; 1] 3 x = βα1(x) +
∞∑
k=2
βαk(x)
k−1∏
j=1
qαj(x)
≡ ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
,
де αk(x) ∈ As, β0 = 0, βi =
i−1∑
j=0
qj .
Корисним для подальших мiркувань є таке поняття [10].
Означення 1. Нехай (c1, c2, . . . , cn) – упорядкований набiр еле-
ментiв алфавiту As. Цилiндром рангу n iз основою c1c2 . . . cn
називається множина ∆Qs
c1c2...cn усiх чисел x ∈ [0, 1], якi мають
таке Qs-зображення: x = ∆Qs
c1c2...cnαn+1...αn+k..., αn+k ∈ As.
Цилiндри мають властивостi:
1) ∆Qs
c1c2...cn =
s−1⋃
j=0
∆Qs
c1...cnj
;
150 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
2) [0, 1] =
s−1⋃
i1=0
s−1⋃
i2=0
. . .
s−1⋃
in=0
∆Qs
i1i2...in
;
3) max∆Qs
c1c2...cni
= min∆Qs
c1c2...cn[i+1];
4) |∆Qs
c1c2...cn | =
n∏
i=1
qci → 0 (n→∞);
5)
∞⋂
n=1
∆Qs
c1...cn = x ≡ ∆Qs
c1...cn... для довiльної послiдовностi (cn),
де cn ∈ As.
Зауваження 1. Злiченна множина точок має два формально
рiзних зображення, якi визначають одне i те саме число. Це
числа виду:
∆Qs
α1(x)α2(x)...αk−1(x)αk(x)(0)
≡ ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk−1(x)[αk(x)−1](s−1).
Щоб надалi уникнути неоднозначностi в зображеннi числа, до-
мовимось не використовувати зображення з перiодом s−1 (пе-
рiод символiзують круглi дужки).
Окрему увагу в цiй роботi ми придiляємо модельним при-
кладам неперервних функцiй указаного класу, рiвнi яких є
континуальними фрактальними множинами.
1. Постановка задачi
Нехай m — фiксована цифра алфавiту As, (ϕn) — послiдовнiсть
функцiй, причому ϕn є функцiєю n змiнних, визначеною на Ans .
Розглядається сiм’я функцiй, якi задовольняють умови:
y = f(x) = f(∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
) = ∆Qs
δ1δ2...δk...
, де (1)
δk =
{
ϕk(α1(x), α2(x), . . . , αk(x)), якщо αk(x) ∈ As \ {m},
m, якщо αk(x) = m,
(2)
i послiдовнiсть функцiй ϕn є наперед заданою.
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 151
Означення 2. Будемо говорити, що функцiя f , означена рiвнi-
стю (1), де (ϕk) – задана послiдовнiсть функцiй, зберiгає цифру
m ∈ As (без примноження), якщо для будь-якого n ∈ N викону-
ється:
δn = δn(f(x)) = m⇐⇒ αn = αn(x) = m. (3)
Теорема 1. Множина P (m) усiх функцiй f , якi визначенi на
[0; 1] i зберiгають цифру m Qs-зображення чисел, є контину-
альною.
Доведення. Нехай {i,m, j} ⊂ As, причому i 6= m 6= j 6= i. На
множинi As означимо двi дискретнi функцiї:
ρ(d) =
{
m, якщо d = m,
i, якщо d 6= m;
τ(d) =
{
m, якщо d = m,
j, якщо d 6= m.
Нехай B = {ρ, τ}, L ≡ B×B× . . .×B× . . .. Очевидно, що простiр
L послiдовностей функцiй ρ i τ є континуальним.
Визначимо сiм’ю F функцiй f з P (m) рiвнiстю:
f(∆Qs
α1α2...αk...
) = ∆Qs
δ1(α1)δ2(α2)...δk(αk)...
,
де (δn) ∈ L.
Покажемо, що довiльнi двi функцiї f1 i f2 з сiм’ї F не є тото-
жно рiвними, тобто що для довiльних двох рiзних послiдовностей
(δn), (φn) ∈ L рiзними є вiдповiднi функцiї f1 i f2:
f1(∆
Qs
α1α2...αk...
) = ∆Qs
δ1(α1)δ2(α2)...δk(αk)...
,
f2(∆
Qs
α1α2...αk...
) = ∆Qs
φ1(α1)φ2(α2)...φk(αk)...
.
Розглянемо точку x0 = ∆Qs
(ij). Оскiльки послiдовностi (δn) i
(φn) рiзнi, то iснує такий номер k ∈ N, що δk(f1(x0)) 6= φk(f2(x0)).
Тодi у випадку, коли |i− j| > 1, маємо
|δk(αk(x0))− φk(αk(x0))| > 1.
152 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
Звiдки отримуємо f1(x0) 6= f2(x0). Зрозумiло, що якщо s > 3, то
вибiр цифр i, j можна здiйснити таким чином, що умова |i−j| > 1
гарантується.
Розглянемо випадок, коли числаm i s визначили єдиноможли-
вий вибiр цифр i, j i при цьому |i − j| = 1. Це могло трапитися
лише коли s = 3 i (а) i, j ∈ {0, 1} або (б) i, j ∈ {1, 2}. Тодi, врахо-
вуючи, що послiдовностi (δn) i (φn) в кожному з випадкiв можуть
використовувати лише один з перiодiв: (0) або (2), то отримаємо
|δk(αk(x0))− φk(αk(x0))| = 1,
тобто функцiї f1(x0) та f2(x0) не збiгаються.
Оскiльки F i L мають однаковi потужностi i F ⊂ P (m), то
множина P (m) є континуальною. �
2. Фрактальнi функцiї з класу P (m)
Пiдклас «простих» функцiй сiм’ї P (m) утворюють функцiї f ,
для яких δn = ϕ(αn(x)), де ϕ – задана функцiя, названi в ро-
ботi [16] канторiвськими проекторами. Їхнi графiки є самоподi-
бними фракталами, а бiльшiсть їхнiх рiвнiв мають фрактальнi
властивостi (дробову розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича [10]).
П р и к л а д 1. Нехай s = 5, m = 3,
δn = ϕ(αn) =
0, якщо αn < 3,
3, якщо αn = 3,
4, якщо αn > 3.
Розглядається вiдображення f(∆Q5
α1α2...αk...) = ∆Q5
δ1δ2...δk...
.
Якщо не використовувати такого зображення числа
x = ∆Q5
α1α2...αk−1[αk−1](4), то легко впевнитися, що вiдображе-
ння f є функцiєю. Дослiдимо властивостi функцiї f .
Лема 2. (1) Множиною значень Ef функцiї f є самоподi-
бна множина канторiвського типу C[Q5, {0, 3, 4}] = {y : y =
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 153
∆Q5
δ1δ2...δn...
, δn ∈ {0, 3, 4}}, розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича
якої є розв’язком рiвняння
qx0 + qx3 + qx4 = 1.
(2) Якщо рiвень y0 функцiї f у своєму Q5-зображеннi мiстить
скiнченну кiлькiть нулiв, то вiн скiнченний, а якщо нескiнчен-
ну – то континуальний, причому коли
αnk
(y0) = 0, k ∈ N, а αi(y0) 6= 0 при i /∈ (nk),
то розмiрнiсть Гаусдорфа-Безиковича α0 множини f−1(y0) за-
довольняє нерiвнiсть
0 ≤ α0(f
−1(y0)) < α∗0 = α0(f
−1(0)),
де α∗0 є розв’язком рiвняння
qx0 + qx1 + qx2 = 1. (4)
Доведення. Правильнiсть твердження (1) обґрунтовано в робо-
тi [16].
Доведемо твердження (2). Розглянемо рiвень y0 =
∆Q5
δ1δ2...δn...
= f(x0), де x0 = ∆Q5
α1α2...αn.... Висновок про по-
тужнiсть рiвня y0 є наслiдком того, що при δn = 0 виконується:{
∆Q5
α1...αn−10αn+1...
,∆Q5
α1...αn−11αn+1...
,∆Q5
α1...αn−12αn+1...
}
∈ f−1(y0).
Маючи альтернативи лише на скiнченнiй кiлькостi мiсць
цифр Q5-зображення точки x0, маємо скiнченну кiлькiсть про-
образiв y0.
Якщо ж таких мiсць нескiнченна множина, то континуаль-
нiсть множини прообразiв y0 очевидна.
Рiвень
f−1(0) = {x : x=∆Q5
α1α2...αn..., αn∈{0, 1, 2}, n ∈ N}=C[Q5; {0, 1, 2}]
вочевидь є наймасивнiшим i його розмiрнiсть (як вiдомо з [16])
є розв’язком рiвняння (4). �
154 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
Лема 3. Якщо Q5-зображення числа y0 ∈ Ef мiстить нескiн-
ченну кiлькiсть 0 i нескiнченну кiлькiсть цифр 3 (або 4), причо-
му частота ν0(y0) цифри 0 дорiвнює 0, то f−1(y0) є аномально
фрактальною множиною.
Доведення. Оскiльки f−1(y0) = C[Q5, Vn], де
Vn =
{
{0, 1, 2}, якщо αn(y0) = 0,
3, якщо αn(y0) = 3,
то кожен прообраз y0 має частоти цифр 0, 1, 2, якi дорiвнюють
0. А тому згiдно з теоремою [10, C. 99] розмiрнiсть Гаусдорфа-
Безиковича цiєї множини обчислюється за формулою
α0 =
ln νν00 ν
ν1
1 ν
ν2
2 ν
ν3
3 ν
ν4
4
ln qν00 q
ν1
1 q
ν2
2 q
ν3
3 q
ν4
4
=
ln 1
ln q3
= 0.
�
П р и к л а д 2. Розглянемо вiдображення g(∆Qs
α1α2...αk...) =
∆Qs
δ1δ2...δk...
, де αn ∈ As, δn = ϕ(αn), причому
ϕ(αn) =
{
m, якщо αn = m,
j ∈ A∗ck , якщо αn 6= m,
(5)
де A∗ck ≡ {c1, c2, . . . , ck}, 1 ≤ k ≤ s − 2, ci ∈ As\{m}, ci 6= cj при
i 6= j.
Зрозумiло, що вiдображення g буде функцiєю, якщо не вико-
ристовувати зображень точок x, якi мiстять перiод (s− 1).
Лема 4. Якщо множина A∗ck така що 1 ≤ k ≤ s−2, то функцiя
g вiдображає вiдрiзок [0; 1] на множину канторiвського типу C.
Доведення. Нехай задано A∗ck , таку що 1 ≤ k ≤ s−2. Тодi, згiдно
з заданням функцiї g, принаймнi двi Qs-цифри аргументу мають
один образ, тобто iснує нескiнченна кiлькiсть y0, таких, що мно-
жина g−1(y0) прообразiв точки y0 є порожньою. Тому функцiя g,
Qs-цифри якої визначенi системою (5), вiдображає вiдрiзок [0; 1]
на множину канторiвського типу C. �
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 155
3. Неперервнi функцiї з класу P (m)
Позначимо через Pc(m) множину неперервних функцiй з класу
P (m). Наведемо деякi приклади функцiй з множини Pc(m).
П р и к л а д 1. Тотожне перетворення вiдрiзка [0; 1], тобто
функцiя вигляду:
e(x) = e(∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
) = ∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
= x, (6)
належить до класу Pc(m) за будь-якого значення m ∈ As.
П р и к л а д 2. Функцiя
I(x) = I(∆Qs
α1(x)α2(x)...αk(x)...
) = ∆Qs
[s−1−α1(x)][s−1−α2(x)]...[s−1−αk(x)]...
,
(7)
за умови, що s – непарне число, є прикладом неперервної функцiї
з класу P (
[
s−1
2
]
) i називається iнверсором цифр Qs-зображення
чисел.
Лема 5. Якщо s = 4, то множина Pc(m) складається з однiєї
функцiї — тотожного перетворення вiдрiзка [0; 1].
Доведення. Припустимо, що Pc(m) ⊃ {e, f}, причому принаймнi
для однiєї точки x1 ∈ [0; 1] виконується f(x1) 6= e(x1).
Нехай 2
j
i ≡ ∆Q4
i ×∆Q4
j – цилiндричний прямокутник першого
рангу, його внутрiшнiсть позначатимемо через �j
i . Тодi одини-
чний квадрат 2 є таким об’єднанням:
2 ≡ [0; 1]× [0; 1] = ∪3j=0 ∪3i=0 2
j
i .
Нехай функцiя f зберiгає цифру m = 2. Оскiльки кожна
пряма, паралельна осi OY , перетинає графiк не бiльше, нiж в
однiй точцi i графiк проходить через точку M(∆Q4
(m); ∆Q4
(m)), то
�j
2 ∩ Γf = ∅, j ∈ {0, 1, 3}.
Оскiльки функцiя f зберiгає цифру m, то серед внутрiшнiх
точок прямокутникiв �2
0, �2
1, �2
3 точок графiка функцiї f немає.
156 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
Крiм цього, враховуючи неперервнiсть функцiї f можна
стверджувати, що серед внутрiшнiх точок прямокутникiв �0
3 i
�0
1 точок графiка Γf немає. Таким чином, графiк Γf функцiї f
належить об’єднанню: 20
0 ∪21
0 ∪22
0 ∪21
1 ∪23
1 ∪22
2 ∪21
3 ∪23
3 ≡ G
(див. рис. 1 а))
Рис. 1: а) б) в)
Оскiльки фiгура G не має симетрiй, а функцiя f зберiгає ци-
фру 2, доходимо висновку, що в кожному з прямокутникiв об’єд-
нання G, серед внутрiшнiх точок яких є точки графiка, частина
графiка 2
j
i ∩ Γf є афiнно подiбною до всього графiка, причо-
му отримується з нього за допомогою паралельного перенесен-
ня. Додатково врахувавши неперервнiсть функцiї f , отримаємо:
23
2 ∩Γf = ∅, але тодi 23
0 ∩Γf = ∅. Таким чином, графiк функцiї
f належить такому об’єднанню (див. рис. 1 б)).
Далi, врахувавши попереднi мiркування, отримаємо:
21
3 ∩ Γf = ∅, та 21
0 ∩ Γf = ∅, тобто графiк функцiї нале-
жить такому об’єднанню: 20
0 ∪21
1 ∪22
2 ∪23
3 (див. рис. 1 в)), який
вiдповiдає функцiї e(x). Отримали протирiччя, що й доводить
твердження.
Випадки, коли m = 0, m = 1, m = 3, розглядають за допомо-
гою аналогiчних мiркувань, як i для випадку m = 0. �
Лема 6. Якщо функцiя f належить множинi Pc(m), то для
довiльних x ∈ [0; 1] i n ∈ N має мiсце нерiвнiсть:
|m− δn(f(x))| ≤ |m− αn(x)|, (8)
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 157
де f(x) = f(∆Qs
α1(x)α2(x)...αn(x)...
) = ∆Qs
δ1δ2...δn...
.
Доведення. Нехай f ∈ Pc(m). Iз неперервностi функцiї f на вiд-
рiзку [0; 1] випливає її неперервнiсть на кожному цилiндрi до-
вiльного рангу. Зафiксуємо n ∈ N, довiльно його обравши, i
знайдемо можливi значення цифри δn функцiї f на цилiндрi
∆Qs
c1c2...cn−1αn при кожному обраному αn.
Нехай αn = m. Тодi з формул (1)-(2) отримаємо
δn = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m) = m, звiдки випливає, що формула (8)
виконується.
Розглянемо тепер (два або один – залежно вiд значення цифри
m) сумiжнi з ∆Qs
c1c2...cn−1m цилiндри, тобто нехай As 3 αn = m± 1.
Iз формули (3) випливає, що δn = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m ± 1) 6=
m, а враховуючи неперервнiсть функцiї f для сумiжних iз
∆Qs
c1c2...cn−1m цилiндрiв, отримаємо:
δn = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+1) = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m)±1 = m±1,
δn = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m−1) = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m)±1 = m±1,
тобто δn ∈ {m−1,m+1} при αn = m±1. Звiдки легко помiтити,
що нерiвнiсть (8) виконується.
Вiдповiдно, для As 3 αn = m± 2 отримаємо:
δn = ϕn(α1, α2, . . . , αn,m+ 2) =
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+ 1),
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+ 1)− 1,
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+ 1) + 1,
δn = ϕn(α1, α2, . . . , αn,m− 2) =
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m− 1),
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m− 1)− 1,
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m− 1) + 1,
при цьому врахувавши умову (3) маємо, що
δn = ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m± 2) ∈ {m− 2,m− 1,m+ 1,m+ 2}.
Звiдки можна впевнитися, що нерiвнiсть (8) має сенс.
158 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
Аналогiчними мiркуваннями за скiнченну кiлькiсть коркiв
можна показати, що для всiх значень j ∈ As i всiх цифр
As \ {m} 3 αn = m± j виконується:
δn=ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+j)=
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+ j − 1),
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+ j − 1)− 1,
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m+ j − 1) + 1;
δn=ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m−j)=
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m−j + 1),
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m−j + 1)− 1,
ϕn(c1, c2, . . . , cn−1,m−j + 1) + 1;
тобто
δn ∈ {m−j,m− [j−1], . . . ,m−1,m+1, . . . ,m+j,m+j−1,m+j}.
Звiдки |m− αn| = j, а |m− δn| ∈ {1, 2, . . . , j}.
Отже, маємо, що формула (8) виконується для всiх значень
αn ∈ As. �
Лема 7. При m 6= s−1
2 множина Pc(m) складається з однiєї
функцiї — тотожного перетворення вiдрiзка [0; 1].
Доведення. Припустимо, що Pc(m) ⊃ {e, f}. Тодi iснуватиме при-
наймнi одна точка x1 ∈ [0; 1] така, що f(x1) 6= e(x1). Це озна-
чає, що для функцiї f iснує мiнiмальне число d ∈ As i цилiндр
∆Qs
c1c2...cn−1d
мiнiмального рангу n ∈ N, на якому δn(f(x1)) =
ϕn(c1, . . . , cn−1, d) 6= d. Причому або ϕn(c1, . . . , cn−1, d−1) = d−1
або ϕn(c1, . . . , cn−1, d + 1) = d + 1. Враховуючи неперервнiсть
функцiї f , отримаємо, що
1) на цилiндрi ∆Qs
c1...cn−1d
, сумiжному до ∆Qs
c1...cn−1[d−1] викону-
ється:
δn(f(x1))=ϕn(c1, . . ., cn−1, d)=
{
ϕn(c1, . . ., cn−1, d− 1)−1 = d− 2,
ϕn(c1, . . ., cn−1, d− 1)+1 = d;
(9)
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 159
2) або на цилiндрi ∆Qs
c1...cn−1d
, сумiжному до ∆Qs
c1...cn−1[d+1], ви-
конується:
δn(f(x1)) = ϕn(c1, . . ., cn−1, d) =
{
ϕn(c1, . . ., cn−1, d+1)−1 = d,
ϕn(c1, . . ., cn−1, d+1)+1 = d+2.
(10)
Розглянемо випадок 1). Зазначивши, що згiдно iз припуще-
нням друга рiвнiсть системи (9) неможлива, отримаємо, що
δn(f(x1)) = d− 2.
Не порушуючи загальностi, можна вважати, що точка x1 є
Qs-рацiональною точкою i має таке Qs-зображення:
∆Qs
c1...cn−1d(0)
= x1 = ∆Qs
c1...cn−1[d−1](s−1).
Оскiльки ϕn(c1, . . . , cn−1, d) = d−2, а ϕn(c1, . . . , cn−1, d−1) = d−1,
то рiвнiсть f(∆Qs
c1...cn−1d(0)
) = f(∆Qs
c1...cn−1[d−1](s−1)) можлива лише
у випадку, коли для всiх j ∈ N виконується:
ϕn+j(c1, . . . , cn−1, d, 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
j
) = s− 1,
ϕn+j(c1, . . . , cn−1, d, s− 1 . . . s− 1︸ ︷︷ ︸
j
) = 0.
(11)
Але цифра m вибрана так, що As 3 m 6= s−1
2 , тому, ско-
риставшись лемою 8, легко впевнитися, що система (11) є не-
сумiсною за будь-якого допустимого значення цифри m. Тому
f(∆Qs
c1...cn−1d(0)
) 6= f(∆Qs
c1c2...cn−1[d−1](s−1)). Але останнє суперечить
припущенню, що f ∈ Pc(m). Отримане протирiччя доводить
твердження.
У випадку 2) доведення проводиться аналогiчно до 1), тiльки
для Qs-зображення точки x1 треба розглянути таке:
∆Qs
c1...cn−1d(s−1) = x1 = ∆Qs
c1...cn−1[d+1](0). �
160 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
4. Модельний приклад функцiї з класу
Pc(m), рiвень якої є континуальною мно-
жиною
Нехай s = 7, A7 = {0, 1, . . . , 6}. Визначимо на A7 дискретну фун-
кцiю τ(α):
τ(α) =
{
6− α, якщо α ≤ 3,
2, якщо α > 3.
(12)
На вiдрiзку [0; 1] розглядається вiдображення:
f(x) = f(∆Q7
α1(x)α2(x)...αk(x)...
) = ∆Q7
δ1δ2...δk...
, (13)
де δ1 = τ(α1), а всi iншi цифри визначаються з таких умов:
а) якщо δk−1 = 2, то
δk =
{
τ(αk) при αk−1 ∈ {1, 4, 6},
τ(6− αk), при αk−1 ∈ {0, 2, 5};
(14)
б) якщо ж δk−1 ≥ 3, то всi наступнi цифри, починаючи з δk,
визначаються з системи:
δk+j =
{
6− αk+j при αk−1 ∈ {0, 1, 2, 3},
αk+j при αk−1 ∈ {4, 5, 6}.
(15)
Теорема 8. Вiдображення f є неперервною на вiдрiзку [0; 1]
функцiєю.
Доведення. Спочатку покажемо, що вiдображення f є функцiєю.
Тобто, що для кожного числа x ∈ [0; 1] iснує, причому єдине,
значення y ∈ [0; 1], таке, що y = f(x).
Оскiльки злiченна множина точок x ∈ [0; 1] (тобто множи-
на Q7-рацiональних чисел) має два (формально рiзнi) зображе-
ння, а всi решта — єдине, то порушення вимоги єдиностi значе-
ння y при вiдображеннi f може вiдбуватися лише в точках виду
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 161
x1 ≡ ∆Q7
α1α2...αk−1αk(0)
= ∆Q7
α1α2...αk−1[αk−1](6) ≡ x2. Знайдемо значе-
ння функцiї f у цих точках.
Скориставшись формулами (12)-(15), для значень функцiї f
маємо такi можливi випадки:
1) δk−1 ≥ 3 i αk−1 ≤ 3 ;
2) δk−1 ≥ 3 i αk−1 ≥ 3;
3) δk−1 = 2 i αk−1 ∈ {1, 4, 6};
4) δk−1 = 2 i αk−1 ∈ {0, 2, 5}.
Випадки 2) й 4) розглядаються аналогiчно до вiдповiдних для
них випадкiв 1) i 3). Тому проведемо мiркування для випадкiв
1) та 3).
1) Нехай δk−1 ≥ 3 i αk−1 ≤ 3. Тодi з вище зазначених формул
(12)-(15) отримаємо, що цифра αk(x1) = αk при вiдображеннi
f переходить у вiдповiдну цифру δk(f(x1)) = 6 − αk, а цифра
αk(x2) = [αk − 1] — у цифру δk(f(x2)) = 6− [αk − 1] = 7− αk.
Таким чином, f(x1) = ∆Q7
δ1δ2...δk−1[6−αk](6)
, f(x2) =
∆Q7
δ1δ2...δk−1[7−αk](0)
. Звiдки отримаємо рiвнiсть f(x1) = f(x2).
3) Нехай δk−1 = 2 i αk−1 ∈ {1, 4, 6}. Тодi з формул (12)-(15)
маємо, що цифра αk(x1) = αk при вiдображеннi f переходить у
цифру δk(f(x1)) = τ(αk), а для значень δk(f(x2)), де αk(x2) =
[αk − 1] ∈ {0, 3, 5}, можливi такi випадки:
3а) δk(f(x2)) = τ(6− αk(x2));
3б) δk(f(x2)) = 3.
Розглянемо кожен випадок окремо.
3а) Нехай δk(f(x2)) = τ(6−αk(x2)) = τ(7−αk). Таким чином,
f(x1) = f(∆Q7
δ1δ2...δk−1[τ(αk)](6)
) i f(x2) = ∆Q7
δ1δ2...δk−1[τ(7−αk)](0)
.
Враховуючи, що αk 6= 0, безпосередньою перевiркою можна
впевнитися у збiганнi значень f(x1) i f(x2).
3б) Нехай δk(f(x2)) = 3. Такий варiант можливий лише коли
αk(x1) = 4. Таким чином, δk(f(x1)) = 2, цифри αk+j(x2) = 6 при
вiдображеннi f переходять у цифри δk+j(f(x2)) = 0, а цифри
162 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
αk+j(x1) = 0 — у цифри δk+j(f(x1)) = 6. Тобто маємо такi два
зображення функцiї:
f(x1) = ∆Q7
δ1δ2...δk−12(6)
, f(x2) = ∆Q7
δ1δ2...δk−13(0)
,
значення яких вочевидь збiгаються.
Так, iз наведених мiркувань випливає, що вiдображення f є
функцiєю.
Для доведення неперервностi функцiї f у довiльнiй точцi
x0 ∈ [0; 1] доcтатньо показати, що lim
x→x0
|f(x)− f(x0)| = 0.
Неперервнiсть функцiї f уQ7-рацiональних точках випливає з
попереднiх мiркувань (доведення коректностi зображення фун-
кцiї у Q7-рацiональних точках). Тому залишається розглянути
випадок, коли x0 — Q7-iррацiональне число.
Нехай x0 = ∆Q7
α1α2...αk.... Для довiльного числа x iснує номер
n = n(x) такий, що:{
αi(x) = αi(x0), i = 1, n− 1
αn(x) 6= αn(x0).
Умова x→ x0 рiвносильна умовi n→∞. Отож:
|f(x)−f(x0)|=
∣∣∣∣∣∣
∞∑
i=1
βδi(f(x))
i−1∏
j=1
qαj(f(x))−
∞∑
i=1
βδi(f(x0))
i−1∏
j=1
qαj(f(x0))
∣∣∣∣∣∣ =
=
n−1∏
j=1
qαj(f(x))
∣∣∣∣∣∣
∞∑
i=n
βδi(f(x))
i−1∏
j=n
qαj(f(x)) −
∞∑
i=n
βδi(f(x0))
i−1∏
j=n
qαj(f(x0))
∣∣∣∣∣∣ ≤
n−1∏
j=1
qαj(f(x)) ≤
(
max
qi∈Q7
{qi}
)n
→ 0 при n→∞.
Отже, функцiя f неперервна в кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1]. �
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 163
Лема 9. Якщо:
(1) у Q7-зображеннi точки y0 = ∆Q7
δ1δ2...δk...
всi цифри δj ∈
{0, 1}, то множина f−1(y0) є порожньою;
(2) у Q7-зображеннi точки y0 = ∆Q7
δ1δ2...δk...
цифра δ1 6= 2, то
множина f−1(y0) складається з однiєї точки x = ∆Q7
α1α2...αk..., де
αj(x) = 6− δj(y0);
(3) y0 = ∆Q7
2....2
m
...δ1δ2...δk....
, то множина f−1(y0) складається з
3m точок;
(4) y0 = ∆Q7
(2), то множина f−1(y0) є континуальною.
Доведення. Доведення твердження (1) є очевидним i спирається
на формули (12)-(15) — означення функцiї f .
Твердження (2) доведемо методом вiд супротивного.
Нехай у Q7-зображеннi точки y0 = ∆Q7
δ1δ2...δk...
цифра
δ1(y0) 6= 2. Припустимо, що множина f−1(y0) мiстить принайм-
нi двi рiзнi точки: x = ∆Q7
α1α2...αk... й x′ = ∆Q7
α′1α
′
2...α
′
k...
. Тодi iснує
номер m, такий, що{
αi(x) = α′i(x
′) при i < m,
αm(x) 6= α′m(x′).
Оскiльки δ1(y0) 6= 2, то згiдно з формулою (12) маємо, що
δ1(y0) ≥ 3. Тодi з формули (15) випливає, що для довiльного
k ∈ N виконується: δk(y0) = 6−αk(x), звiдки αk(x) = 6−δk(y0). А
отже, остання рiвнiсть виконується i для k = m, тобто αm(x) =
6 − δm(y0), α′m(x′) = 6 − δm(y0). Звiдки випливає, що αm(x) =
α′m(x′). Отримали протирiччя, що й доводить твердження.
Доведемо твердження (3). Нехай y0 = ∆Q7
2...2
m
...δm+1δm+2...δm+k...
.
З формул (12)-(15) легко помiтити, що для n ≤ m кожна Q7-
цифра δn(y0) = 2 має 3 альтернативи для Q7-цифр αn(x) зобра-
ження числа x ∈ f−1(y0). При цьому, оскiльки δm+1(y0) 6= 2, то
всi цифри αm+j(x) мають одну фiксовану Q7-цифру, яка одно-
значно визначається з формули (15). Тому множина f−1(y0) мi-
стить 3m точок.
164 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
Доведемо твердження (4). Нехай y0 = ∆Q7
(2). Згiдно з формула-
ми (12)-(15) маємо, що множина f−1(y0) є злiченним об’єднанням
множин виду:
f−1(y0) = E0
⋃
E1
0
⋃
E,
де E0 = C[Q7, V0] = {x : αj(x) ∈ V0 = {4, 6}}, E1
0 = C[Q7, V1] =
{x : x = ∆Q7
5α1α2...αk...
, αj(x) ∈ V1 = {0, 2}}, а множина E скла-
дається зi злiченного об’єднання множин, подiбних до E0 i E1
0 .
Такими множинами можуть, наприклад, бути:
E(1)
2k
= C[Q7, V0] = {x : x = ∆Q7
51...51
2k
α1α2...αk...
, αj ∈ V0 = {4, 6}},
E(1)
2k+1
= C[Q7, V1] = {x : x = ∆Q7
51...15
2k+1
α1α2...αk...
, αj ∈ V1 = {0, 2}},
причому E(1)
2k
n1∼E0, E(1)
2k+1
n1∼E1
0 з коефiцiєнтом подiбностi
n1 = qk5q
k
1 .
Оскiльки кожна цифра Q7-зображення точок, що входять до
множин E0 або E1
0 , має по 2 альтернативи, то E0 i E1
0 мають
потужнiсть континууму, а отже, таку потужнiсть має i множина
f−1(y0). �
Наслiдок 10. Якщо y0 = ∆Q7
2....2
m1
...δm1+1...δm1+k 2...2
m2
...δm1+m2+k+1...
,
то множина f−1(y0) складається з 3m1 точок.
Лiтература
[1] Albeverio S., Baranovskyi O., Kondratiev Yu., Pratsiovytyi M. On
one class of functions related to Ostrogradsky series and containi-
ng singular and nowhere monotonic functions // Науковий часопис
НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi на-
уки. — Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2013. – № 15. –
С. 35-55.
[2] Peter R. Massopust. Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets.
– Academic Press; 1 edition (January 18, 1995), 383 p.
Сiм’я функцiй, якi зберiгають цифру Qs-зображення чисел 165
[3] Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined
in terms of Q-representation // Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 7,
2013. – № 64. – P. 3155-3169.
[4] Pratsovytyi M., Makarchuk O., Skrypnyk S. Rational and algebraic
Q2-representation of real numbers // Šiauliai Math. Semin. – 2015. –
Vol. 10 (18). – P. 199-211.
[5] Schweiger F. Ergodic theory of fibred systems and metric number
theory. – Oxford: Clarendon Press. – 1995. – 320 p.
[6] Замрiй I. В., Працьовитий М. В. Сингулярнiсть iнверсора цифр
Q3 – зображення дробової частини дiйсного числа, його фракталь-
нi та iнтегральнi властивостi // Нелiнiйнi коливання. Том 18, № 1.
– Iнститут математики НАН України. – 2015 р. – C. 55-70.
[7] Калашнiков А. В., Працьовитий М. В. Сингулярнiсть функцiй
однопараметричного класу, який мiстить функцiю Мiнковсько-
го // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1.
Фiзико-математичнi науки. — К.: НПУ iм. М. П. Драгоманова. –
2011. – №12. – P. 59-65.
[8] Кац M. Статистическая независимость в теории вероятностей,
анализе и теории чисел. – М.: Изд. иностр. лит. – 1963. – 156 с.
[9] Климчук С. О., Макарчук О. П., Працьовитий М. В. Частота
цифри у зображеннi числа i його асимптотичне середнє значення
цифр // Укр. мат. журн. – 2014. – №3. – С. 302-310.
[10] Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингу-
лярних розподiлiв. —Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгомано-
ва. – 1998. – 296 с.
[11] Працьовитий М. В. Нiде не монотоннi сингулярнi функцiї // На-
уковий часопис НПУ iменi М. П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-
математичнi науки. – Київ: НПУ iменi М. П. Драгоманова. – 2011.
– № 12. – С. 24-36.
[12] Працьовитий М. В., Замрiй I. В. Iнверсор цифр Q3 – зображення
дробової частини дiйсного числа як розв’язок системи трьох фун-
кцiональних рiвнянь // Науковий часопис НПУ iменi М. П. Дра-
гоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. Київ: НПУ iменi
М. П. Драгоманова. – 2013, № 15. – С. 156-167.
166 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, I. В. Замрiй
[13] Працьовитий М. В., Замрiй I. В. Неперервнi функцiї, якi зберi-
гають цифру 1 Q3-зображення числа // Буковинський математи-
чний журнал. – Т. 3, № 3-4. – Чернiвцi: Чернiвецький нацiональ-
ний унiверситет. – 2015. – С. 142-159.
[14] Працьовитий М. В., Калашнiков А. B. Самоафiннi сингулярнi
та нiде не монотоннi функцiї, пов’язанi з Q-зображенням дiйсних
чисел // Укр. Мат. Жур. – 2013. – Т. 65, № 3. – С. 405-417.
[15] Працьовитий М. В., Калашнiков А. В. Про один клас неперерв-
них функцiй зi складною локальною будовою, бiльшiсть з яких
сингулярнi або недиференцiйовнi // Труды ИПММ НАН Украи-
ны. – 2011. – Том 23. – С. 180-191.
[16] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – К.: Наукова думка. – 1992. – 208 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-412 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:06:57Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/23/72b4d9f841c0a7d5bdcf60d692e4ea23.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4122020-08-10T06:16:24Z Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел Працьовитий, М.В. Василенко, Н.А. Замрій, І.В. We consider a polybase $Q_s$-representation $\Delta^{Q_s}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x)\ldots}$ of number $x$ that is a generalizing of classic $s$-adic representation: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} s^{-k}\alpha_k(x)=\Delta^{s}_{\alpha_1(x)\alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots}$, where$\alpha_k(x)\in A_s\equiv\{0,1,\ldots,s-1\}$.In the paper, we study continuum class of functions defined on $[0;1]$ and preserving one of the digits of $Q_s$-representation, namely:\[f(\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k \ldots})=\Delta^{Q_s}_{\delta_1 \delta_2 \ldots \delta_k \ldots}, \:\: \text{where } \alpha_k, \delta_k\in A_s,\]\[\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k\ldots}=\beta_{\alpha_1(x)}+\sum\limits_{k=2}^{\infty} \Bigl(\beta_{\alpha_k(x)}\prod\limits_{j=1}^k q_{\alpha_j(x)}\Bigr)\]and$\delta_k = \varphi_k(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_k(x))$ but $\delta_k=m$ if and only if $\alpha_k(x)=m$, where $m$ is a fixed digit of alphabet $A_s$. For some representatives of various subclasses of the family of functions preserving digit $m$ of alphabet $A_s$, self-similar and fractal properties are studied in details. Робота присвячена вивченню континуального класу визначених на відрізку $[0;1]$ функцій, які зберігають одну з цифр поліосновного $Q_s$-зображення $\Delta^{Q_s}_{\alpha_1(x) \alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x)\ldots}$ числа $x$, що є узагальненням класичного $s$-кового зображення: $x=\sum\limits_{k=1}^{\infty} s^{-k}\alpha_k(x)=\Delta^{s}_{\alpha_1(x)\alpha_2(x) \ldots \alpha_k(x) \ldots}$, де$\alpha_k(x)\in A_s\equiv\{0,1,\ldots,s-1\}$. А саме, функціям наступного виду:\[f(\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k \ldots})=\Delta^{Q_s}_{\delta_1 \delta_2 \ldots \delta_k \ldots}, \:\: \text{де } \alpha_k, \delta_k\in A_s,\]\[\Delta^{Q_s}_{\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_k\ldots}=\beta_{\alpha_1(x)}+\sum\limits_{k=2}^{\infty} \Bigl(\beta_{\alpha_k(x)}\prod\limits_{j=1}^k q_{\alpha_j(x)}\Bigr)\]і при цьому$\delta_k = \varphi_k(\alpha_1(x), \alpha_2(x), \ldots, \alpha_k(x))$, але $\delta_k=m$ тоді і тільки тоді, коли $\alpha_k(x)=m$, де $m$ -- фіксована цифра алфавіту~$A_s$. Для окремих представників різних підкласів сім'ї функцій, що зберігають цифру $m$ алфавіту $A_s$, досліджено автомодельні й фрактальні властивості. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/412 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 147-166 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 147-166 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 147-166 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/412/408 Авторське право (c) 2017 М.В. Працьовитий, Н.А. Василенко, І.В. Замрій http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М.В. Василенко, Н.А. Замрій, І.В. Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел |
| title | Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел |
| title_full | Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел |
| title_fullStr | Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел |
| title_full_unstemmed | Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел |
| title_short | Сім'я функцій, які зберігають цифру $Q_s$-зображення чисел |
| title_sort | сім'я функцій, які зберігають цифру $q_s$-зображення чисел |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/412 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv sím039âfunkcíjâkízberígaûtʹcifruqszobražennâčisel AT vasilenkona sím039âfunkcíjâkízberígaûtʹcifruqszobražennâčisel AT zamríjív sím039âfunkcíjâkízberígaûtʹcifruqszobražennâčisel |