Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень
In the paper we extending result of Nivena and Zukerman on the class of $Q^*_2$-representations in context of metric theory of Borel's normal numbers
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/415 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552915749568512 |
|---|---|
| author | Працьовитий, М.В. Кривошия, Р.В. Макарчук, О.П. |
| author_facet | Працьовитий, М.В. Кривошия, Р.В. Макарчук, О.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "М.В. Працьовитий",
"institution": "НПУ імені М.П. Драгоманова"
},
{
"author": "Р.В. Кривошия",
"institution": "Інститут математики НАН України, Київ"
},
{
"author": "О.П. Макарчук",
"institution": " ЦДПУ імені Володимира Винниченка, Кропивницький"
}
] |
| author_sort | Працьовитий, М.В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T06:16:24Z |
| description | In the paper we extending result of Nivena and Zukerman on the class of $Q^*_2$-representations in context of metric theory of Borel's normal numbers |
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, т. 14, № 4, 188–200
УДК 517.5
М.В. Працьовитий1, Р. В. Кривошия2,
О.П. Макарчук3
1 НПУ iменi М.П. Драгоманова, IМ НАН України Київ;
prats4444@gmail.com
2 Iнститут математики НАН України, Київ;
mostik19@gmail.com
3 ЦДПУ iменi Володимира Винниченка, Київ;
makolpet@gmail.com
Рiвномiрно розподiленi
послiдовностi, продукованi
перетворенням зсуву в класi
Q∗2-представлень
In the paper we extending result of Nivena and Zukerman on the class
of Q∗
2-representations in context of metric theory of Borel’s normal
numbers
Key words: Q∗
2-representation of real numbers, uniformly distributi-
on sequence, shift operator, normal number.
У роботi поглиблюється на клас Q∗
2-представлень, результат I. Нi-
вена та Г. Цукермана в контекстi метричної теорiї нормальних
чисел Е. Бореля.
Ключовi слова: Q∗
2-зображення дiйсних чисел, рiвномiрно роз-
подiлена послiдовнiсть, оператор зсуву, нормальне число.
c© М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия, О.П. Макарчук, 2017
Рiвномiрно розподiленi послiдовностi 189
Вступ
Нехай (p0n; p1n) — послiдовнiсть стохастичних векторiв iз дода-
тними координатами, така, що
∞∏
n=1
max{p0n; p1n} = 0.
Вiдомо [1], що для довiльного дiйсного числа x ∈ [0; 1] iснує
двiйковий вектор (α1;α2; . . . ;αn; . . . ), такий, що
x =βα11 + βα22pα11 + βα33pα22pα11 + . . .+
+ βα(n+1)(n+1)pαnnpαn−1(n−1) . . . pα11 + . . . ,
(1)
де {
β0n = 0
β1n = p0n ∀n ∈ N.
Ряд (1) називається Q∗2-представленням числа x i має таке
зображення:
x = ∆
Q∗
2
α1α2α3...αn....
Якщо p0n = 1
2 для кожного натурального n, то отримаємо
класичне двiйкове зображення з вiдповiдним представленням:
x = ∆2
α1α2α3...αn... =
+∞∑
j=1
αj
2j
.
Iснує злiченна множина чисел виду ∆
Q∗
2
γ1γ2...γk1(0)
, якi мають 2
зображення (i вiдповiдно представлення):
∆
Q∗
2
γ1γ2...γk1(0)
= ∆
Q∗
2
γ1...γk0(1)
,
для всiх iнших чисел iз вiдрiзка [0; 1] вiдповiдне представлення
однозначне.
190 М. В. Працьовитий, Р. В. Кривошия, О. П. Макарчук
Означення 1. Послiдовнiсть (xn) називається рiвномiрно роз-
подiленою за модулем 1, якщо для довiльних дiйсних a < b:
Nn([a; b])
n
→ b− a (n→∞),
де Nn([a; b]) — кiлькiсть чисел серед x1, x2, . . . , xn, якi належать
вiдрiзку [a; b].
Одним iз найважливiших критерiїв рiвномiрної розподiлено-
стi є наступний критерiй Вейля.
Теорема 1. Послiдовнiсть (xn) є рiвномiрно розподiленою лише
тодi, коли
n∑
k=1
eih{xk}
n
→ 0 (n→∞)
для кожного h ∈ Z \ {0}, де i =
√
−1 i {t} — дробова частина
числа t.
У теоремi 1 достатньо розглядати лише натуральнi h. Справ-
дi,
n∑
k=1
eih{xk}
n
→ 0 (n→∞)⇔
n∑
k=1
cos(h{xk}) + i
n∑
k=1
sin(h{xk})
n
→ 0 (n→∞)⇔
n∑
k=1
e−ih{xk}
n
→ 0 (n→∞).
Уперше поняття рiвномiрно розподiленої послiдовностi ввiв
Вейль у 1919-му роцi в роботi [5], де вiн обґрунтував рiвномiр-
ну розподiленiсть послiдовностi {nγ}(γ /∈ Q), що є актуальним
фактом для питань астрономiї. Вiн також першим довiв наведе-
ний щойно критерiй рiвномiрної розподiленостi послiдовностей
(теорема 1).
Рiвномiрно розподiленi послiдовностi 191
Означення 2. Число
x = ∆2
α1α2α3...αn... =
+∞∑
j=1
αj
2j
називається слабонормальним за основою 2, якщо
wk
k
→ 1
2
(k →∞),
де wk — кiлькiсть одиниць серед чисел α1, α2, ..., αk, тобто ωk =
k∑
i=1
αi.
Означення 3. Число
x = ∆2
α1α2α3...αn... =
+∞∑
j=1
αj
2j
називається нормальним за основою 2, якщо для довiльного
двiйкового вектора (c1; c2; ...; cr) виконується умова:
wk
k
→ 1
2r
(k →∞),
де wk — кiлькiсть блокiв цифр [c1; c2; ...; cr], якi не перетинаю-
ться, серед набору цифр α1, α2, ..., αk.
Останнi два означення ввiв Емiль Борель у роботi [3].
У роботi [8] I. Нiвена й Г. Цукермана показано, що число x є
нормальним за основою 2 тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть
{2nx} рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1].
Оскiльки правильною є така теорема [6]:
Теорема 2. Для довiльної послiдовностi (dn) попарно рiзних
цiлих чисел послiдовнiсть (dnx) рiвномiрно розподiлена за мо-
дулем 1 для майже всiх дiйсних x.
192 М. В. Працьовитий, Р. В. Кривошия, О. П. Макарчук
Тим самим було показано, що множина нормальних за осно-
вою 2 чисел має мiру Лебега 1.
Доведення останнього факту на основi iндивiдуальної ергоди-
чної теореми (теорема Бiркхофа-Хiнчина) вперше вказав Ф. Рiсc
у роботi [9], адже перетворення
x→ {2x}
є ергодичним по вiдношенню до мiри Лебега.
1. Ергодичнi властивостi оператора зсуву
й рiвномiрно розподiленi послiдовностi,
ним продукованi
За послiдовнiстю стохастичних векторiв (p0n; p1n) побудуємо такi
послiдовностi стохастичних векторiв:
(p
(l)
0n; p
(l)
1n) = (p0(n+l); p1(n+l)) ∀n ∈ N
i
(p
(−l)
0n ; p
(−l)
1n ) =
{
(12 ; 1
2) ∀n ≤ l
(p0(n−l); p1(n−l)) ∀n > l
при кожному натуральному l.
Для того, щоб пiдкреслити, що Q̃2-представлення породжене
послiдовнiстю стохастичних векторiв (p0n; p1n), будем використо-
вувати запис:
∆
Q̃(p0n;p1n)
α1,α2,α3...αn....
Розглянемо послiдовнiсть перетворень
T l(∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn...) = ∆
Q̃(p
(l)
0n;p
(l)
1n)
α2α3...αn...,
для яких оберненими є вiдповiдно
T−l(∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn...) = ∆
Q̃(p
(l)
0n;p
(l)
1n)
α2α3...αn...
Рiвномiрно розподiленi послiдовностi 193
при кожному натуральному l.
Оскiльки iснує лише зчисленна множина чисел iз вiдрiз-
ку [0; 1], якi мають 2 вiдповiднi Q∗2-представлення, то ергодичнi
властивостi послiдовностi перетворень T k(x) можливо розгляда-
ти при домовленостi використовувати зображення з перiодом (0).
Лема 3. Перетворення T (x) є ергодичним вiдносно мiри Лебега.
Доведення. Зрозумiло, що
T−1([∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn(1)
]) =
= [∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
0α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
0α1α2...αn(1)
] ∪ [∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
1α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
1α1α2...αn(1)
].
Зрозумiло, що
λ([∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn(1)
]) = pα11 · pα22 ·... ·pαnn
i
λ([∆
Q̃(p
(1)
0n ;p
(1)
1n )
0α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
0α1α2...αn(1)
]∪ [∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
1α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
1α1α2...αn(−1)]) =
1
2
· pα11 ·... ·pαnn +
1
2
· pα11 ·... ·pαnn = pα11 ·... ·pαnn.
Отже,
λ(T−1([∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αn(1)
])) =
= λ([∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
α1α2...αn(0)
; ∆
Q̃(p
(−1)
0n ;p
(−1)
1n )
α1α2...αn(−1) ]).
Оскiльки сукупнiсть вiдрiзкiв [∆
Q∗
2
α1α2...αn(0)
; ∆
Q∗
2
α1α2...αn(1)
] поро-
джує B(R) ∩ [0; 1], то для кожного [a; b] ⊆ [0; 1] :
λ(T−1([a; b])) = λ([a; b]).
Для довiльної вимiрної за Лебегом множини E i довiльного
ε > 0 iснують набори вiдрiзкiв [an; bn] й [a∗n; b∗n], такi, що
E ⊇
⋃
n
[an; bn], E ⊆
⋃
n
[a∗n; b∗n],
194 М. В. Працьовитий, Р. В. Кривошия, О. П. Макарчук∑
n
(bn − an)− ε < λ(E) <
∑
n
(b∗n − a∗n) + ε.
Маємо:∑
n
(bn − an)− ε < λ(T−1(E)) <
∑
n
(b∗n − a∗n) + ε⇒
λ(T−1(E)) = λ(T (E)).
Отже, T (x) зберiгає мiру Лебега.
Покажемо, що T (x) метрично транзитивне вiдносно мiри Ле-
бега.
Припустимо протилежне, що iснують множини U , W , такi,
що
U ∪W = [0; 1];
U ∩W = ∅;
T−1(U) = U ;
T−1(W ) = W.
Нехай u = λ(U) ∈ (0; 1) i X(t) — характеристична функцiя
множини U :
X(t) =
{
1, якщо t ∈ U
0, якщо t /∈ U.
Оскiльки для кожного
x = ∆
Q̃(p0n;p1n)
α1α2...αk... ∈ U
i кожного l ∈ N число
x(l) = ∆
Q̃(p
(l)
0n;p
(l)
1n)
q1,q2,...,ql,α1α2...αk...
є прообразом x порядку l для перетворення T , то
X(∆
Q̃(p
(l)
0n;p
(l)
1n)
γ1γ2...γk... ) = X(∆
Q̃(p0n;p1n)
γ1γ2...γk... ).
Рiвномiрно розподiленi послiдовностi 195
за всiма нескiнченними двiйковими векторами
(γ1; γ2; . . . ; γk; . . . ).
Зрозумiло, що, позначивши
Bl = [∆2
a1a2...al(0)
; ∆2
a1a2...al(1)
],
матимемо:
λ(U ∩Bl) =
∫
Bl
X(t)dλ =
1
2n
∫
R
X(t)dλ =
u
2n
.
Розглянемо число ε > 0, таке, що 1−u > ε. Оскiльки множина
U i ї ї доповнення W до множини [0; 1] має додатнi мiри Лебега,
то за теоремою про точки щiльностi [2] iснує точка щiльностi z,
тобто для довiльного ε > 0 iснує δ > 0, таке, що
λ(U ∩∆)
λ(∆)
> 1− ε
для довiльного вiдрiзка ∆, який мiстить точку z i мiра Лебега
якого строго менша за δ.
Розглянемо число n0 = [log2
1
δ ] + 1. Тодi 1
2n0 < δ.
Позначимо:
z = ∆
Q̃(p
(n0)
0n ;p
(n0)
1n )
b1,b2,...,bk,...
i розглянемо вiдрiзок
∆ = Bn0 = [∆2
b1,b2,...,bn0 ,(0)
; ∆2
b1,b2,...,bn0 ,(1)
].
Маємо:
λ(U ∩∆) =
u
2n0
,
а також
λ(U ∩∆) > (1− ε)λ(∆) =
1− ε
2n0
,
звiдки
u
2n0
>
1− ε
2n0
196 М. В. Працьовитий, Р. В. Кривошия, О. П. Макарчук
i
1− u < ε
ми отримали суперечнiсть.
Теорема 4. Для майже всiх чисел x = ∆
Q∗
2
α1α2...αn... послiдов-
нiсть
x, T (x), T 2(x), . . . , T k(x), . . .
є рiвномiрно розподiленою на [0; 1].
Доведення. Оскiльки перетворення T (x) є ергодичним вiд-
носно мiри Лебега, то для заданого h ∈ N за теоремою Бiргкофа-
Хiнчина
n∑
k=1
cos(2πhT k(x))
n
→
1∫
0
cos(2πhx)dx = 0 (n→ +∞) (2)
для майже всiх x ∈ [0; 1].
Позначимо через Ah множину тих x ∈ [0; 1], для яких викону-
ється умова (2), тодi λ(Ah) = 1. Зрозумiло, що
λ(A1 ∩A2) = λ(A1) + λ(A2)− λ(A1 ∪A2) = 2− 1 = 1,
тому за iндукцiєю
λ(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩Ak) = 1
i вiдповiдно
λ(A1)− λ(
+∞⋂
k=1
Ak) =
+∞∑
j=1
λ(A1 ∩ . . . ∩Aj\A1 ∩ . . . ∩Aj+1) = 0,
звiдки для A∗ =
+∞⋂
k=1
Ak, маємо λ(A∗) = 1.
Рiвномiрно розподiленi послiдовностi 197
Отже, для довiльного x ∈ A∗ :
n∑
k=1
cos(2πhT k(x))
n
→ 0 ∀h ∈ N(n→∞).
Аналогiчно показуємо, що iснує множина B∗, така, що
λ(B∗) = 1 i для довiльного x ∈ B∗ :
n∑
k=1
sin(2πhT k(x))
n
→
1∫
0
sinπhxdx = 0 (n→ +∞) ∀h ∈ N.
Отже, для кожного x ∈ A∗ ∩B∗
n∑
k=1
e2πihT
k(x)
n
=
=
n∑
k=1
cos(2πhT k(x)) + i
n∑
k=1
sin(2πhT k(x))
n
→ 0 (n→ +∞) ∀h ∈ N,
тобто послiдовнiсть Tn(x) є рiвномiрно розподiленою на [0; 1].
Зрозумiло, що
{T (x)} = T (x) ∀x ∈ [0; 1).
Оскiльки λ(A∗∩B∗) = 1, то маємо потрiбне. Теорему доведено.
Оскiльки скiнченний перетин пiдмножин [0; 1] мiри Лебега 1
є множиною мiри Лебега 1, то маємо такий наслiдок.
Припущення 5. Нехай (q
(l)
0n; q
(l)
1n)(l ∈ N) — послiдовнiсть сто-
хастичних векторiв таких, що
+∞∏
j=1
max(q
(l)
0j ; q
(l)
1j ) = 0 ∀l ∈ N,
198 М. В. Працьовитий, Р. В. Кривошия, О. П. Макарчук
тодi множина чисел x ∈ [0; 1], таких, що послiдовнiсть
∆
Q̃(q
(l)
0n;q
(l)
1n)
α1α2...αk...,∆
Q̃(q
(l)
0n;q
(l)
1n)
α2...αk... , . . . ,∆
Q̃(q
(l)
0n;q
(l)
1n)
αrαr+1...αk..., . . .
рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1], для кожного l ∈ N , де
x = ∆
Q̃(q
(l)
0n;q
(l)
1n)
α1α2...αk...
має мiру Лебега 1.
Теорема 6. Якщо число
x = ∆2
α1α2...αn...
нормальне за основою 2 i для послiдовностi стохастичних ве-
кторiв (q0n; q1n) виконується умова
lim
n→∞
q0n =
1
2
,
то послiдовнiсть
x̃, T (x̃), . . . , Tn(x̃), . . .
рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1], де
x̃ = ∆Q2(q0n;q1n)
α1α2...αn... .
Доведення. Нехай
q0n =
1
2
+ Sn
для кожного натурального n, тодi
lim
n→∞
Sn = 0.
Нехай ε ∈ (0; 0, 1) — достатньо мале дiйсне число, тодi iснує
k0 ∈ N , таке, що
|Sn| < ε ∀n ∈ N,n ≥ k0.
Рiвномiрно розподiленi послiдовностi 199
Для довiльних натуральних m ≥ k0 i l та довiльного двiйко-
вого вектора (j1; j2; . . . ; jl) маємо:
1
2
− ε =
l
√
(
1
2
− ε)l < l
√
qj1(m+1) · qj2(m+2) · . . . · qjl(m+l) <
<
l
√
(
1
2
+ ε)l =
1
2
+ ε,
тобто
| l
√
qj1(m+1) · . . . · qjl(m+l) −
1
2
| < ε.
За теоремою Лагранжа iснує
z ∈
(
min(
1
2
; l
√
qj1(m+1) · . . . · qjl(m+l)) ;
max(
1
2
; l
√
qj1(m+1) · . . . · qjl(m+l))
)
,
таке, що
qj1(m+1) · . . . · qjl(m+l)− (
1
2
)l = l · zl−1( l
√
qj1(m+1) · . . . · qjl(m+l)−
1
2
).
Оскiльки
l · zl−1 < l · 0, 51l−1,
то
|qj1(m+1) · . . . · qjl(m+l) − (
1
2
)l| < l · 0, 51l−1 · ε.
Нехай
x = ∆Q2(p̃0k;p̃1k)
α1α2α3...αn...,
де (p̃0k; p̃1k) = (12 ; 1
2) для кожного k ∈ N .
При m ≥ k0 маємо:
|Tm(x̃)− Tm(x)| ≤ βαm+1(m+1)|qαmm −
1
2
|+
+βαm+2(m+2)|qαmm · qαm+1(m+1) −
1
22
|+ · · · < ε · C,
200 М. В. Працьовитий, Р. В. Кривошия, О. П. Макарчук
де
C =
+∞∑
j=1
j · 0, 51j−1.
Отже,
lim
n→∞
(Tn(x)− Tn(x̃)) = 0,
звiдки випливає потрiбне. Теорему доведено.
Лiтература
[1] Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, фун-
кции, распределения. – Киев: Наук.думка. – 1992. – 208 с.
[2] Титчмарш Е. Теория функций. – Москва: Наука. – 1980. – 464 с.
[3] Borel E. Les probabilies denombrables et leurs applications arithmeti-
ques. – Rend. Circ. Mat. Palermo. – 1909, p. 247-271.
[4] Borel E. Lecons sur la theorie des fonctions, 2nd ed. – Paris: Gauthi-
er. – Villars. – 1914.
[5] Weil H. Uber die Gibbssche Erscheinung und verwandte
Konvergenzphanomene. – Rend. Circ. Math.Palermo. – 1910. –
30. – P. 377-407.
[6] Weil H. Uber ein Problem aus dem Gebiete der diophantischen
Approximationen. — Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Kl. –
1914. – P. 234-244.
[7] Weil H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. – Math.
Ann. – 1916. – 77. – P. 313-352.
[8] Niven I., Zuckerman H.S. On the definition of normal numbers. –
Pacific J. Math. – 1951. – P. 103-109.
[9] Ries F. Sur la theorie ergodique. – Comment. Math. Helv. – 1944/45. –
17. – P. 221-239.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-415 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:01Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/df/451165f247e1f4818cccd32998d9f9df.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4152020-08-10T06:16:24Z Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень Працьовитий, М.В. Кривошия, Р.В. Макарчук, О.П. In the paper we extending result of Nivena and Zukerman on the class of $Q^*_2$-representations in context of metric theory of Borel's normal numbers У роботі поглиблюється на клас $Q^*_2$-представлень, результат І.~Нівена та Г.~Цукермана в контексті метричної теорії нормальних чисел Е.~Бореля. Інститут математики НАН України 2017-12-26 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/415 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 188-200 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 188-200 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 4 (2017): Фрактальний аналіз та суміжні питання; 188-200 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/415/411 Авторське право (c) 2017 М.В. Працьовитий, Р.В. Кривошия http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Працьовитий, М.В. Кривошия, Р.В. Макарчук, О.П. Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень |
| title | Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень |
| title_full | Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень |
| title_fullStr | Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень |
| title_full_unstemmed | Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень |
| title_short | Рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $Q^*_2$-представлень |
| title_sort | рівномірно розподілені послідовності, продуковані перетворенням зсуву в класі $q^*_2$-представлень |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/415 |
| work_keys_str_mv | AT pracʹovitijmv rívnomírnorozpodíleníposlídovnostíprodukovaníperetvorennâmzsuvuvklasíq2predstavlenʹ AT krivošiârv rívnomírnorozpodíleníposlídovnostíprodukovaníperetvorennâmzsuvuvklasíq2predstavlenʹ AT makarčukop rívnomírnorozpodíleníposlídovnostíprodukovaníperetvorennâmzsuvuvklasíq2predstavlenʹ |