The bonded motions in elliptic problem of three bodies
Within the framework of the spatial elliptic restricted three-body problem, we find sucient conditions for the boundedness of motion of an infinites- imally small particle.
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/419 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552916506640384 |
|---|---|
| author | Sosnitskii, S.P. Сосницький, С.П. Сосницький, С.П. |
| author_facet | Sosnitskii, S.P. Сосницький, С.П. Сосницький, С.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С.П. Сосницький",
"institution": "IM Department 04"
}
] |
| author_sort | Sosnitskii, S.P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T15:01:39Z |
| description |
Within the framework of the spatial elliptic restricted three-body problem, we find sucient conditions for the boundedness of motion of an infinites- imally small particle.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 156–166
УДК 531.36;531.01
Про обмеженiсть руху в елiптичнiй
обмеженiй задачi трьох тiл ⇤
C.П. Сосницький
Iнститут математики НАН України, Київ; sosn@imath.kiev.ua
Within the framework of the spatial elliptic restricted three-body problem,
we find su�cient conditions for the boundedness of motion of an infinites-
imally small particle.
У рамках моделi просторової елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми
знаходимо достатнi умови обмеженостi руху нескiнченно малої частки.
Вступ
Вiдомо, що хоча обмежена задача трьох тiл (матерiальних точок) i
є доволi спрощеною моделлю руху трьох тiл [1–3], однак i надалi во-
на зберiгає свою актуальнiсть. Особливо це стосується елiптичного
випадку обмеженої задачi, що пiдтверджується важливими практи-
чними застосуваннями [4–7].
Коли обмежена задача колова, то, як показав Якобi, iснує перший
iнтеграл. У цьому випадку Хiллу [3] вдалося довести iснування обме-
жених рухiв малої частки за умови (умови Хiлла), що стала рiвня
h iнтеграла Якобi негативна i |h| перевищує деяку критичну вели-
чину h⇤ > 0. Якщо виконується умова Хiлла, то область можливих
рухiв нескiнченно малої частки можна вважати об’єднанням обла-
стi !H обмежених рухiв за координатами (областi Хiлла) й областi
!nc обмежених рухiв за швидкостями, тобто ⌦ = !H
S
!nc, причо-
му !H
T
!nc = Ø. Рухи, якi належать областi Хiлла !H , зазвичай
називають стiйкими за Хiллом. Нещодавно автору [13] вдалося дове-
сти обмеженiсть руху i в областi !nc, якщо тiльки виконується умова
Хiлла.
Проте все значно ускладнюється при переходi до моделi елiпти-
чної обмеженої задачi трьох тiл, коли два масивнi тiла рухаються
⇤Робота виконана за часткової пiдтримки НДР № 0117U004077.
c� Сосницький C.П., 2019
Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 157
по елiптичних орбiтах. Iнтеграл Якобi за цих умов перестає iснувати
i постає питання пошуку нових пiдходiв для успiшного розв’язання
якiсних проблем руху. Нижче ми зосередимо увагу на знаходжен-
нi умов обмеженостi руху у цьому складнiшому випадку обмеженої
задачi.
1 Рiвняння руху для обмеженої задачi трьох тiл
Розглянемо випадок обмеженої задачi трьох тiл, коли вектори r1 i r2,
як розв’язки задачi двох тiл, можуть вiдповiдати як коловим, так i
елiптичним орбiтам матерiальних точок з масами m1 i m2. Переходя-
чи далi до вiдносних довжин векторiв i розглядаючи рiвняння обме-
женої задачi як частинний випадок загальної задачi трьох тiл [10],
отримуємо
⇢1
00 = µ
⇢12
|⇢12|
3
,
⇢2
00 = �(1� µ)
⇢12
|⇢12|
3
,
⇢3
00 = �(1� µ)
⇢13
|⇢13|
3
� µ
⇢23
|⇢23|
3
.
(1)
Тут ⇢ij = ⇢j � ⇢i (i, j = 1, 2, 3), ⇢i = ri/r0 (r0 – сталий параметр, що
має розмiрнiсть одиницi довжини), штрих означає диференцiювання
за безрозмiрним часом
⌧ =
p
G(m1 +m2)
|r12|0
3/2
t,
де G > 0 – гравiтацiйна стала, а
µ =
m2
m1 +m2
, 0 < µ
1
2
.
Системi (1) також можна надати форми
⇢12
00 = �
⇢12
|⇢12|
3
,
⇢3
00 = �(1� µ)
⇢13
|⇢13|
3
� µ
⇢23
|⇢23|
3
.
(2)
158 Сосницький C.П.
Характерною ознакою систем рiвнянь (1) i (2) є те, що вони на-
лежать до iнерцiйної системи вiдлiку з початком у центрi мас двох
масивних тiл. Зокрема, осi O⇠ i O⌘ цiєї системи зручно помiстити у
площинi руху двох масивних тiл, а вiсь O⇣ – перпендикулярно до цiєї
площини.
Вiдповiдно до вибору системи вiдлiку третє векторне рiвняння си-
стеми (1) можемо записати у формi
⇠00 = �(1� µ)
⇠ � ⇠1
⇢313
� µ
⇠ � ⇠2
⇢323
,
⌘00 = �(1� µ)
⌘ � ⌘1
⇢313
� µ
⌘ � ⌘2
⇢323
, (3)
⇣ 00 = �(1� µ)
⇣
⇢313
� µ
⇣
⇢323
,
де
⇢213 = (⇠ � ⇠1)
2 + (⌘ � ⌘1)
2 + ⇣2,
⇢223 = (⇠ � ⇠2)
2 + (⌘ � ⌘2)
2 + ⇣2.
(4)
Тут (⇠1, ⌘1, 0) i (⇠2, ⌘2, 0) – вiдповiдно координати тiл з масами (1�µ)
i µ, а ⇠, ⌘, ⇣ – координати малої частки.
Надалi поряд iз системами рiвнянь (1) i (2) використовуватимемо
також рiвняння руху обмеженої задачi у формi рiвнянь вiдстаней [8]:
⇢212
00
= 2
✓
v212 �
1
⇢12
◆
,
⇢213
00
= 2v213 � 2
(1� µ)
⇢13
+
µ
⇢12
✓
⇢223 � ⇢213
⇢212
� 1
◆
+
µ
⇢23
✓
⇢212 � ⇢213
⇢223
� 1
◆
,
⇢223
00
= 2v223�2
µ
⇢23
+
(1� µ)
⇢12
✓
⇢213 � ⇢223
⇢212
� 1
◆
+
(1� µ)
⇢13
✓
⇢212 � ⇢223
⇢213
� 1
◆
,
v213
0
+
⇢213
0
⇢313
= �µ
"✓
2
⇢13
�
2
⇢23
◆0
+ 2y
✓
1
⇢312
�
1
⇢323
◆
+
(⇢213 � ⇢223)
0
⇢312
�2(1� µ)
✓
1
⇢12
◆0
� (1� µ)
(⇢212)
0
⇢323
#
, (5)
Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 159
v223
0
+
⇢223
0
⇢313
= (1� µ)
"✓
2
⇢13
�
2
⇢23
◆0
+ 2y
✓
1
⇢312
�
1
⇢313
◆
+
(⇢213 � ⇢223)
0
⇢312
+2µ
✓
1
⇢12
◆0
+ µ
(⇢212)
0
⇢313
#
,
y0 = �
x
⇢312
+
1
2
⇥
�(1� 2µ)v212 + (v223 � v213)
⇤
,
де ⇢ij = |⇢ij |, vij = |⇢0
ij |.
Рiвняння у формi (5) дещо вiдрiзняються вiд тих, що наведенi у
роботi [8], оскiльки ми скористалися ранiше отриманими рiвностями
[8, 9]:
x = �⇢3⇢12, y = �⇢3⇢
0
12, (6)
⇢23⇢
0
13 = �y +
1
2
⇢2
23
0
�
1� µ
2
⇢2
12
0
, ⇢13⇢
0
23 = y +
1
2
⇢2
13
0
�
µ
2
⇢2
12
0
, (7)
⇢12⇢3 =
1
2
⇥
(1� 2µ)⇢2
12 + ⇢2
13 � ⇢2
23
⇤
, (8)
що дало змогу останнi три рiвняння, наведенi у [8], переписати у новiй
формi.
У системi (5), як i системах (1) i (2), штрих означає диференцiюва-
ння за безрозмiрним часом ⌧ . Хоч система рiвнянь (5), аналогiчно до
випадку колової обмеженої задачi [11], є системою з надлишковими
координатами, це не створює однак проблем при дослiдженнi руху
малої частки, оскiльки нижче йтиметься про обмеженi рухи. Систе-
ма рiвнянь (5), як i системи (1) i (2), належить до iнерцiйної системи
вiдлiку з початком у центрi мас двох масивних тiл.
У подальшому залежно вiд обставин використовуватимемо будь-
яку з систем (1),(2),(5).
Поряд iз iнерцiйною системою координат розглянемо допомiжну
рухому систему координат з початком у центрi мас пари (1�µ, µ), двi
осi Ox,Oy якої зорiєнтуємо вздовж напрямiв векторiв �⇢12 i �⇢0
12,
що належать площинi обертання масивних тiл. Третю вiсь Oz вибе-
ремо перпендикулярною до цiєї площини, i, таким чином, осi O⇣ i Oz
збiгаються.
Розглянемо рiвностi (6), у яких величини ⇢12 i ⇢3, що входять
у їхнi правi частини, є розв’язками системи (2). Як було показано
в роботi [8], змiннi x i y можемо розглядати як проекцiї у деякому
160 Сосницький C.П.
узагальненому сенсi вектора ⇢3 на пару осей Ox i Oy рухомої системи
вiдлiку, яку ми обрали.
Диференцiюючи рiвностi (6), приходимо до пари рiвнянь
x0 = y � ⇢12⇢
0
3,
y0 = �
x
⇢312
� ⇢0
12⇢
0
3.
(9)
Диференцiюючи перше рiвняння цiєї пари, отримуємо
x00 = y0 � ⇢0
12⇢
0
3 � ⇢12⇢
00
3 = 2y0 +
x
⇢312
� ⇢12⇢
00
3 . (10)
Далi рiвняння (10) зручно переписати у формi
x00
� y0 = y0 +
x
⇢312
� ⇢12⇢
00
3 . (11)
Пара рiвнянь (9) i рiвняння (11) нам знадобляться в подальшому.
2 Твердження про обмеженiсть руху
Надалi, скориставшись рiвностями, отриманими в [9], маємо
v23 = �µ(1� µ)v212 + (1� µ)v213 + µv223. (12)
�2⇢0
12⇢
0
3 = �(1� 2µ)v212 + (v223 � v213). (13)
Iнтеграл енергiї для задачi двох тiл, який нам знадобиться нижче,
запишемо як
µ(1� µ)
✓
⇢02
12 �
2
⇢12
◆
= 2h = const. (14)
Далi зобразимо його у формi
⇢0212 +
|⇢12 ⇥ ⇢0
12|
2
⇢212
!
�
2
⇢12
=
2h
µ(1� µ)
, (15)
а оскiльки
|⇢12 ⇥ ⇢0
12|
2
= c2, c = const, (16)
Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 161
то на пiдставi (15) маємо
✓
⇢0212 +
c2
⇢212
◆
�
2
⇢12
=
2h
µ(1� µ)
. (17)
Лема 1. Якщо в обмеженiй елiптичнiй задачi трьох тiл рух
системи, який визначається рiвняннями (1), задовольняє умову ди-
стальностi:
⇢i3(⌧) � c 8⌧ 2 R =]�1,1[, 8i = 1, 2; 0 < c = const, (18)
то вiн обмежений стосовно координат x i y, що визначаються рiв-
ностями (6).
Доведення таке ж саме, як i у випадку теорем 1 i 2 в роботi [8],
що випливає з самого визначення проекцiї вектора на напрям.
Наслiдком леми 1 є обмеженiсть руху малої частки щодо коорди-
нат ⇠ i ⌘ в iнерцiйнiй системi вiдлiку.
Лема 2. Мають мiсце рiвностi
v212 =
1
1� 2µ
(
�µc2
✓
1
⇢12
�
1� µ
µc2
◆2
� µ⇢0212 +
1
µc2
⇥
(1� µ)2 + 2hc2
⇤
)
,
(19)
v223�v213 = �µc2
✓
1
⇢12
�
1� µ
µc2
◆2
�µ⇢0212+
1
µc2
⇥
(1� µ)2 + 2hc2
⇤
�2⇢0
12⇢
0
3.
(20)
Доведення. Вiдповiдно до рiвностi (12) маємо
µ(1� µ)v212 = �v23 + v213 + µ(v223 � v213). (21)
Пiдставляючи значення µ(1�µ)v212, що визначається рiвнiстю (21), у
вираз iнтеграла енергiї (14) задачi двох тiл, отримуємо рiвнiсть
�v23 + v213 + µ(v223 � v213)�
2(1� µ)µ
⇢12
= 2h, (22)
яку з урахуванням рiвностi (24) з роботи автора [9] переписуємо у
виглядi
2µ⇢0
12⇢
0
3 + µ2v212 + µ(v223 � v213)�
2(1� µ)µ
⇢12
= 2h. (23)
162 Сосницький C.П.
Зауважуючи, що
v212 = ⇢0212 +
c2
⇢212
, (24)
рiвнiсть (23) представимо у формi
1
⇢212
�
2(1� µ)
c2µ
1
⇢12
=
1
µ2c2
⇥
2h� µ2⇢0212 � 2µ⇢0
12⇢
0
3 � µ(v223 � v213)
⇤
.
(25)
Далi, переписуючи її як
✓
1
⇢12
�
(1� µ)
c2µ
◆2
=
(1� µ)2
c4µ2
+
+
1
c2µ2
⇥
2h� µ2⇢0212 � 2µ⇢0
12⇢
0
3 � µ(v223 � v213)
⇤
(26)
i визначаючи з неї рiзницю v223�v213, приходимо до рiвностi (20). Пiд-
ставляючи далi значення рiзницi v223�v213 , що визначається рiвнiстю
(26), у рiвнiсть (13), отримуємо (19). 2
Якщо зауважити, що [2]:
1
⇢12
=
1
c2
(1 + e cos f), (27)
⇢0212 =
e2
c2
sin2 f, (28)
де e – ексцентриситет елiптичної орбiти, що вiдповiдає задачi двох
тiл, у рамках якої рухаються масивнi тiла, f – iстинна аномалiя, то
для v212 можна отримати уже вiдомий вираз
v212 =
1
c2
⇥
1 + e2 + 2e cos f
⇤
. (29)
Твердження 1. Нехай у просторовiй обмеженiй елiптичнiй за-
дачi трьох тiл рух ⇢(⌧) = (⇢1,⇢2,⇢3)
T
малої частки, що визнача-
ється рiвняннями (1), дистальний. Тодi, якщо виконується нерiв-
нiсть
⇢223 � ⇢213 0, (30)
то вiн обмежений.
Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 163
Доведення. Переписавши друге рiвняння системи (9) у формi
2y0 =
(1� 2µ)
⇢12
�
(⇢223 � ⇢213)
⇢312
� (1� 2µ)v212 + (v223 � v213), (31)
додамо до нього перше рiвняння системи (5), помножене на (1�2µ)/2.
У результатi отримаємо
2y0 +
1
2
(1� 2µ)⇢212
00
= �
(⇢223 � ⇢213)
⇢312
+ (v223 � v213). (32)
Оскiльки згiдно з [9] справедливi рiвностi
v213 = �2µ
✓
y0 +
x
⇢312
◆
+ µ2v212 + v23 , (33)
v223 = 2(1� µ)
✓
y0 +
x
⇢312
◆
+ (1� µ)2v212 + v23 , (34)
то (32) можемо переписати у виглядi
2y0 +
1
2
(1� 2µ)⇢212
00
= �
(⇢223 � ⇢213)
⇢312
+
2
✓
y0 +
x
⇢312
◆
+ (1� 2µ)v212
�
.
(35)
Беручи до уваги рiвняння (11), на пiдставi (35) отримуємо
4y0 +
1
2
(1� 2µ)⇢212
00
� 2x00 = �
(⇢223 � ⇢213)
⇢312
+ (1� 2µ)v212�
�2⇢12
(1� µ)
⇢13
|⇢13|
3
+ µ
⇢23
|⇢23|
3
�
. (36)
Провiвши всi необхiднi перетворення, перейдемо тепер безпосере-
дньо до доведення обмеженостi руху за умов виконання нерiвностi
(30). Отже, виходячи з того, що згiдно з лемою 1 рух малої частки
обмежений за координатами x i y, потрiбно довести його обмеже-
нiсть у просторовому випадку, тобто за координатою z. Припустимо
супротивне, а саме, що координата z необмежена. Тодi, враховуючи
рiвностi (4), доходимо висновку, що необмеженими є обидвi вiдстанi
⇢13 i ⇢23, тобто iснує така послiдовнiсть {⌧k} (k = 1, 2, 3, . . . ), що
lim
k!1
⌧k = 1, lim
k!1
⇢13(⌧k) = 1, lim
k!1
⇢23(⌧k) = 1. (37)
164 Сосницький C.П.
На пiдставi неперервностi правої частини рiвняння (36), беручи до
уваги дистальнiсть руху й обмеженiсть вiдстанi ⇢12, можемо ствер-
джувати, що в послiдовностi {⌧k} iснує такий достатньо великий но-
мер s, що при k � s справедлива нерiвнiсть
4y0 +
1
2
(1� 2µ)⇢212
00
� 2x00
� ���
⌧2{⌧k}
� �, 8k � s, 0 < � = const.
(38)
Вiдповiдно до умов твердження 1 розглядуваний рух є дистальним,
що зумовлює обмеженiсть швидкостi малої частки. Це дає нам пiд-
стави прийти до висновку, що iснує послiдовнiсть промiжкiв часу зро-
стаючої довжини
{Tj} = [⌧s+j � ⌧nj ], ⌧s+j 2 {⌧k}, j = 1, 2, 3, . . . ,
⌧nj < ⌧s+j , n1 < n2 < n3 . . . ,
на яких виконується нерiвнiсть
4y0 +
1
2
(1� 2µ)⇢212
00
� 2x00
�
� �, 8⌧ 2 {Tj}. (39)
Далi iстотно зауважити, що лiва частина нерiвностi (39) є похiдною
вiд обмеженої функцiї, а тому для завершення доведення тверджен-
ня 1 достатньо скористатися схемою, якою ми вже користувалися у
роботах [12], [8], [13]. З цього приводу лише зазначимо, що в основi
iснування послiдовностi промiжкiв часу {Tj} лежить той факт, що в
умовах твердження 1 розв’язок системи (1) є продовжуваним, тоб-
то мала частка не може досягти нескiнченностi за скiнченний про-
мiжок часу. Таким чином, якщо припустити нескiнченне зростання
вiдстанi, яку проходить мала частка, то їй неодмiнно вiдповiдати-
ме i нескiнченно зростаючий час, необхiдний для проходження цiєї
вiдстанi, оскiльки швидкiсть малої частки обмежена. Саме обмеже-
нiсть швидкостi малої частки дає нам можливiсть вiд нерiвностi (38),
справедливої для послiдовностi точок, перейти до нерiвностi (39), яка
виконується для послiдовностi вiдрiзкiв часу, довжина яких зростає.
Твердження 2. Нехай у просторовiй обмеженiй елiптичнiй за-
дачi трьох тiл рух ⇢(⌧) = (⇢1,⇢2,⇢3)
T
малої частки, що визначає-
ться рiвняннями (1), дистальний. Тодi, якщо змiнна x задовольняє
нерiвнiсть
|x| � c⇤ > 0, c⇤ = const, (40)
Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 165
то розглядуваний рух обмежений.
Доведення. Розглянемо рiвняння (10), яке перепишемо у формi
x00
� 2y0 =
x
⇢312
+ ⇢12
(1� µ)
⇢13
|⇢13|
3
+ µ
⇢23
|⇢23|
3
�
. (41)
Припустимо супротивне, що розглядуваний просторовий рух необме-
жений. Тодi виконуються рiвностi (37) i залежно вiд того, який знак
має змiнна x, отримаємо нерiвностi, якi за своїм змiстом аналогiчнi
тим, якi ми отримували при доведеннi твердження 1. Зокрема,
(x00
� 2y0) ��1, 8⌧ 2 {Tj}, 0 < �1 = const, (42)
якщо x вiд’ємне, i
(x00
� 2y0) � �2, 8⌧ 2 {Tj}, 0 < �2 = const, (43)
якщо x додатне. А далi, беручи до уваги той факт, що лiва части-
на нерiвностей (42) i (43) є похiдною вiд обмеженої функцiї, дiємо
вiдповiдно до схеми доведення твердження 1. 2
У межах Сонячної системи не становить труднощiв привести при-
клади такого вибору системи трьох небесних тiл, що цю систему мо-
жна iнтерпретувати як обмежену елiптичну задачу. Зокрема, якщо
в ролi масивних тiл розглядати Сонце i Землю, то система Сонце,
Земля i Мiсяць задовольняє твердження 1. Сонце i будь-яка плане-
та Сонячної системи зi своїм супутником задовольняють твердження
2. У цьому сенсi отриманi твердження 1 i 2 становлять принаймнi
певний iнтерес, якщо небеснi об’єкти є спостережуваними.
[1] Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел.� М.: Наука,
1982.� 656 с.
[2] Рой А.Е. Движение по орбитам.� М.: Наука, 1981.� 544 с.
[3] Hill G.W. Researches in the Lunar Theory // Am. J. Math.— 1878.—
1. — P. 5–26.
[4] Georgakarakos N. Stability criteria for hierarchical triple systems // Ce-
lestial Mech. Dyn. Astron.— 2008.— 100. — P. 151–168.
[5] Makó Z. and Szenkovits F. Capture in the circular and elliptic restricted
three-body problem // Celestial Mech. Dyn. Astron.— 2014.— 90. —
P. 51–58.
166 Сосницький C.П.
[6] Qi Y., Xu S.J. Lunar capture in the planar restricted three-body prob-
lem // Celestial Mech. Dyn. Astron.— 2014.— 120. — P. 401–422.
[7] Gong S. and Li J. Analytical criteria of Hill stability in the elliptic
restricted three-body problem // Astrophys. Space Sci. — 2015.—
358,(37).— P. 1–10.
[8] Sosnitskii S.P. On the Lagrange stability of motion in the planar restricted
three-body problem // Adv. Space Res.— 2017.— 59. — P. 2459–2465.
[9] Сосницький С.П. Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеже-
нiй задачi трьох тiл // Математичнi проблеми механiки та обчислю-
вальної математики. � Зб. праць Iн-ту матем. НАН України, Київ.�
2017. � 14, № 2. � C. 150–162.
[10] Sosnitskii S.P. On the orbital stability of triangular Lagrangian motions
in the three-body problem // Astron. J.— 2008.— 136. — P. 2533–2540.
[11] Sosnitskii S.P. On the stability of triangular Lagrangian points in the
restricted three-body problem // Astron. J.— 2008.— 135. — P. 187–
195.
[12] Сосницький С.П. Про стiйкiсть руху за Лагранжем в обмеженiй задачi
трьох тiл // Аналiтична механiка та її застосування. � Зб. праць Iн-ту
матем. НАН України, Київ.� 2014. � 11, № 5. � C. 221–230.
[13] Sosnitskii S.P. On the boundedness of motion in the spatial circular re-
stricted three-body problem // Intern. J. Non-Linear Mech.— 2018.—
104. — P. 116–120.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-419 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:02Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/a7/fbd092730cc0dbfc9d5f2bef38fb45a7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4192020-08-09T15:01:39Z The bonded motions in elliptic problem of three bodies Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Sosnitskii, S.P. Сосницький, С.П. Сосницький, С.П. Within the framework of the spatial elliptic restricted three-body problem, we find sucient conditions for the boundedness of motion of an infinites- imally small particle. У рамках моделi просторової елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми знаходимо достатнi умови обмеженостi руху нескiнченно малої частки. У рамках моделi просторової елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми знаходимо достатнi умови обмеженостi руху нескiнченно малої частки. Інститут математики НАН України 2020-08-09 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/419 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 156-166 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 156-166 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 156-166 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/419/418 Авторське право (c) 2020 С.П. Сосницький http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Sosnitskii, S.P. Сосницький, С.П. Сосницький, С.П. The bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| title | The bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| title_alt | Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Про обмеженiсть руху в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл |
| title_full | The bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| title_fullStr | The bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| title_full_unstemmed | The bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| title_short | The bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| title_sort | bonded motions in elliptic problem of three bodies |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/419 |
| work_keys_str_mv | AT sosnitskiisp thebondedmotionsinellipticproblemofthreebodies AT sosnicʹkijsp thebondedmotionsinellipticproblemofthreebodies AT sosnicʹkijsp thebondedmotionsinellipticproblemofthreebodies AT sosnitskiisp proobmeženistʹruhuveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnicʹkijsp proobmeženistʹruhuveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnicʹkijsp proobmeženistʹruhuveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnitskiisp bondedmotionsinellipticproblemofthreebodies AT sosnicʹkijsp bondedmotionsinellipticproblemofthreebodies AT sosnicʹkijsp bondedmotionsinellipticproblemofthreebodies |