Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems
An unideal, after Sommerfeld–Kononenko, dynamic system “piezo ceramic transducer – LC–generator” is considered. Hidden and rare attractors of the system are constructed. A untypical regularity of alternation of scenarios of transition to chaos in such systems is described.
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/421 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552922761396224 |
|---|---|
| author | Shvets, O.Yu. Donetskii, S.V. Швец, О.Ю. Донецкий, С.В. Швець, О.Ю. Донецький, С.В. |
| author_facet | Shvets, O.Yu. Donetskii, S.V. Швец, О.Ю. Донецкий, С.В. Швець, О.Ю. Донецький, С.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О.Ю. Швець",
"institution": "IM Department 04"
},
{
"author": "С.В. Донецький",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Shvets, O.Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-09T15:01:39Z |
| description |
An unideal, after Sommerfeld–Kononenko, dynamic system “piezo ceramic transducer – LC–generator” is considered. Hidden and rare attractors of the system are constructed. A untypical regularity of alternation of scenarios of transition to chaos in such systems is described.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2019, т. 16, № 2, 177–187
УДК 517.9:534.1
Прихованi й рiдкiснi атрактори в
неiдеальних електропружних
системах
О.Ю. Швець 1 С.В. Донецький 2
Нацiональний технiчний унiверситет України “Київський
полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського”, Київ;
1
aleksandrshvetskpi@gmail.com
2
dsvshka@gmail.com
An unideal, after Sommerfeld–Kononenko, dynamic system “piezo ceramic
transducer – LC–generator” is considered. Hidden and rare attractors
of the system are constructed. A untypical regularity of alternation of
scenarios of transition to chaos in such systems is described.
Розглянута неiдеальна (за Зоммерфельдом–Кононенком) динамiчна
система “п’єзокерамiчний випромiнювач – LC–генератор”. Побудованi
прихованi й рiдкiснi атрактори цiєї системи. Описана нетипова зако-
номiрнiсть чергування сценарiїв переходу до хаосу в таких системах.
Вступ
Одним iз найважливiших елементiв сучасного навiгацiйного обладна-
ння є п’єзокерамiчнi випромiнювачi. Рiзнi види таких випромiнюва-
чiв широко використовуються у глибиномiрах, далекомiрах, прила-
дах для сканування пiдводного середовища, системах прийому й пе-
редачi iнформацiї пiд водою. Останнiм часом, в якостi джерела енер-
гiї збудження коливань п’єзокерамiчних випромiнювачiв стали вико-
ристовуватися, створенi за сучасними технологiями, електроламповi
LC – генератори. Це пов’язано з тим, що електроламповi генерато-
ри є аналоговими пристроями i мають кращi метрологiчнi характе-
ристики вихiдних сигналiв порiвняно з цифровими збуджувальними
пристроями.
В роботi дослiджується детермiнована динамiчна система “еле-
ктроламповий генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач”. Причому
c� Швець О. Ю., Донецький С. В., 2019
178 Швець О.Ю., Донецький С. В.
принципово припускається, що джерело збудження (електролампо-
вий LG–генератор) має потужнiсть, порiвнянну з потужнiстю, яка
споживається коливальним навантаженням (п’єзокерамiчним випро-
мiнювачем). Така система неiдеальна за класифiкацiєю Зоммерфель-
да-Кононенка [1, 2]. Головна увага придiляється вивченню прихова-
них й рiдкiсних атракторiв такої системи.
1 Прихованi й рiдкiснi атрактори
Зазвичай дослiдження динамiчних систем починається з визначення
положень рiвноваги, якi можуть бути знайденi завдяки аналiтичним
й комп’ютерним методам. Подальшi дослiдження поведiнки динамi-
чних систем спупроводжуються вивченням околу цих положень рiв-
новаги, а тому природними є означення, запропонованi в [3, 4]:
Атрактор називається самозбуджуваним, якщо iснує положення
рiвноваги таке, що будь-який його окiл перетинається з басейном при-
тягання атрактора. Атрактор називається прихованим, якщо вiн не
є самозбуджуваним.
Для бiльшостi динамiчних систем головну увагу придiляють ви-
вченню самозбуджуваних атракторiв. Це пов’язано з тим, що нара-
зi встановлення iснування прихованих атракторiв є, взагалi кажучи,
надзвичайно складною задачею. Проте атрактори динамiчних систем
не вичерпуються лише самозбуджуваними. Виникнення у конкретної
динамiчної системи (пристрою, приладу, елементу конструкцiї) при-
хованого атрактора може повнiстю змiнити очiкувану поведiнку си-
стеми й унеможливити виконання нею передбачуваних експлуатацiй-
них функцiй. Понад те, розробники конкретної системи можуть i не
здогадуватися, що функцiонування системи вiдбувається в режимi
прихованого атрактора.
Крiм зазначеної класифiкацiї атракторiв, iснує ще одна, а саме
подiл атракторiв на рiдкiснi й такi, що не є рiдкiсними. Це понят-
тя доволi нове i було запропоноване в роботi [5]. Атрактор називає-
ться рiдкiсним, якщо вiн розташований у фазовому просторi поруч
iз iншим атрактором i фазовий об’єм (мiра) його басейну притягання
є значно менший порiвняно з басейном притягання атрактора, бiля
якого якого вiн розташований. У загальному випадку пiд рiдкiсним
атрактором розумiється атрактор, який має надзвичайно малий ба-
сейн притягання. Зрозумiло, що ймовiрнiсть траєкторiї потрапити на
цей атрактор мала.
Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропру . . . 179
2 Система “генератор – п’єзокерамiчний випромi-
нювач”
Розглянемо цилiндричний стрижневий п’єзокерамiчний випромiню-
вач, до електродiв якого подається електрична напруга, збуджува-
на електроламповим LC–генератором. Припустимо, що потужнiсть
джерела збудження (генератора) порiвнянна з потужнiстю, яку спо-
живає коливальне навантаження (випромiнювач). Тодi, як встанов-
лено у роботах [6–8], математичну модель динамiчної поведiнки си-
стеми �генератор-п’єзокерамiчний випромiнювач� можна зобразити
за допомогою такої системи звичайних диференцiальних рiвнянь:
�̈+ !2
0� = a1�̇+ a2�̇2
� a3�̇3
� a4V (t),
V̈ (t) + !2
1V (t) = a5�+ a6�̇� a7V̇ (t),
(1)
де через �(t) позначена фазова змiнна, яка пропорцiйна електричнiй
напрузi на сiтцi лампи генератора, а фазова змiнна V (t) – електри-
чна рiзниця потенцiалiв на електродах випромiнювача. Параметри
a1, . . . , a7,!0,!1, якi визначаються через електромагнiтнi, геометри-
чнi й деформацiйнi властивостi генератора та випромiнювача. Цi па-
раметри визначаються за достатньо громiздкими формулами у [6–8].
Система (1) є типовою неiдеальною системою (системою з обмеженим
збудженням) за Зоммерфельдом–Кононенком [1]. У нiй врахована не-
лiнiйна взаємодiя мiж генератором i випромiнювачем.
Використовуючи замiну змiнної
⇠ =
�!0
Eg
,
d⇠
d⌧
= ⇣, � =
V
Eg
,
d�
d⌧
= �, ⌧ = !0t, (2)
де !0 – власна частота генератора, Eg – сiткова напруга, ми можемо
звести систему рiвнянь(1) до такої системи:
d⇠
d⌧
= ⇣,
d⇣
d⌧
= �⇠ + ↵1⇣ + ↵2⇣2 � ↵3⇣3 + ↵4�,
d�
d⌧
= �,
d�
d⌧
= �↵0� + ↵5⇠ + ↵6⇣ � ↵7�,
(3)
180 Швець О.Ю., Донецький С. В.
де
↵0 =
!2
1
!2
0
, ↵1 =
a0
!0
, ↵2 =
a2Eg
!0
, ↵3 =
a3E2
g
!0
,
↵4 = �
a4
!0
, ↵5 =
a5
!3
0
, ↵6 =
a6
!2
0
, ↵7 =
a7
!0
.
У роботах [6–8] знайденi положення рiвноваги системи (3) й до-
слiджена їхня стiйкiсть за Ляпуновим. Показано, що система (3) при
виконаннi умови ↵0 = �↵4↵5 має нескiнчену кiлькiсть положень рiв-
новаги. Якщо ж ↵0 6= �↵4↵5, то єдиним положенням рiвноваги буде
початок координат фазового простору. За певних спiввiдношень мiж
параметрами системи таке єдине положення рiвноваги стає нестiй-
ким. У цих випадках усi траєкторiї системи, якi стартують iз околу
початку координат фазового простору, зi плином часу залишають цей
окiл i прямуватимуть до певних граничних множин, якi можуть бути
як регулярними, так i хаотичними.
Система (3) унiкальна стосовно розмаїття динамiчної поведiнки,
яке можливе в цiй системi. Вона може послуговувати прикладом ма-
лої ”бiблiотеки” нелiнiйної динамiки в цiлому. Як встановлено у ро-
ботах [6–10], у системi (3) iснують усi можливi регулярнi атрактори
динамiчних систем, такi як положення рiвноваги, граничнi цикли й
iнварiантнi тори. Крiм того у цiєї детермiнованої системи iснує розма-
їття хаотичних i гiперхаотичних атракторiв. Також реалiзуються всi
основнi сценарiї переходу вiд регулярних атракторiв до хаотичних,
такi як каскад бiфуркацiй подвоєння перiоду (сценарiй Фейгенбау-
ма) [11, 12], перемiжнiсть за Манневiллем–Помо [13, 14] й сценарiї,
пов’язанi з руйнуванням iнварiантного тора [15–17].
3 Прихованi й рiдкiснi атрактори системи
”генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач”
Незважаючи на вищезазначене рiзноманiття “класичної” регулярної
й хаотичної динамiки системи “генератор–випромiнювач” , зазначи-
мо, що вивчення атракторiв цiєї системи щодо їхньої “рiдкосностi” i
“прихованостi” ранiше не проводилось. Це пов’язано з тим, що по-
няття прихованого й рiдкiсного атракторiв з’явилися тiльки кiлька
рокiв тому.
Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропру . . . 181
Оскiльки система (3) є нелiнiйною системою диференцiальних рiв-
нянь, то майже всi подальшi результати отриманi за допомогою ком-
плексу чисельних комп’ютерних розрахункiв. Детальна методика та-
ких розрахункiв викладена у роботах [6, 7, 9, 18–20]. Проведення та-
ких розрахункiв для цiєї роботи забезпечувалось новим оригiнальним
програмним пакетом для знаходження основних характеристик атра-
кторiв динамiчних систем.
Нехай ↵0 = 0.995, ↵1 = 0.0535, ↵3 = 9.95, ↵4 = �0.103, ↵5 =
�0.0604, ↵6 = �0.12, ↵7 = 0.01, а параметр ↵2 оберемо за бiфур-
кацiйний. При таких значеннях параметрiв, система (3) має єдине
положення рiвноваги (⇠ = 0; ⇣ = 0; � = 0; � = 0;) [6, 7].
Покладемо ↵2 = 8.623 й дослiдимо еволюцiю iснуючих атракторiв
при збiльшеннi цього параметра. При таких значеннях параметрiв у
системi (3) iснує єдиний атрактор (граничний цикл). Оскiльки цей
атрактор єдиний в околi нульового нестiйкого положення рiвнова-
ги, то вiн є самозбуджуваним i не є рiдкiсним (згiдно зi введеними
означеннями). При ↵2 = 8.624, крiм уже iснуючого граничного ци-
клу в системi виникає ще один граничний цикл. Проєкцiї фазових
портретiв цих граничних циклiв, побудованi при ↵2 = 8.625, зобра-
женi на рис. 1а. (ранiше iснуючий граничний цикл) та рис. 1б. (но-
вий виниклий граничний цикл). Причому на рис. 1 ранiше iснуючий
граничний цикл позначений чорним кольором, а щойно виниклий –
червоним.
Зауважимо, що при вивченнi подальших бiфуркацiй цих циклiв
ми умовно називаємо їх чорним атрактором (цикл iз рис. 1а.) – i
червоним атрактором (цикл iз рис. 1б.)
Область локалiзацiї новонародженого граничного циклу майже
втричi бiльша нiж уже iснуючого. Незважаючи на це, чисельнi екс-
перименти показують, що новоутворений атрактор має надзвичайно
малий басейн притягання. Крiм того, при будь-якiй початковiй умовi
з околу нульового положення рiвноваги усталена траєкторiя притя-
гається саме до чорного граничного циклу, що свiдчить про те, що
червоний граничний цикл є ще й прихованим атрактором.
При ↵2 > 8.625 ситуацiя вже кардинально змiнюється. Значно
розширюється басейн притягання червоного атрактора. Тепер майже
всi траєкторiї, якi стартують з околу початку координат притягую-
ться до червоного атрактора. Цей атрактор перестає бути рiдкiсним i
стає самозбуджуваним атрактором. Навпаки, чорний атрактор (гра-
ничний цикл) перестає (вiдповiдно до означень, наведених у частинi
182 Швець О.Ю., Донецький С. В.
а. б.
в.
Рис 1. Проєкцiї фазових портретiв граничних циклiв при ↵2 = 8.625: ра-
нiше iснуючий граничний цикл (a); виниклий граничний цикл (б); обидва
цикли одночасно (в).
2) бути самозбудним i перетворюється на рiдкiсний граничний цикл.
Описана ситуацiя має мiсце аж до значення ↵2 = 8.659, при якому
червоний атрактор припиняє своє iснування. I знову єдиним атракто-
ром у системi є чорний граничний цикл, який втрачає ознаки як рiд-
кiсностi, так i прихованостi й перетворюється на самозбуджуваний
атрактор.
Ця пара атракторiв цiкава ще й тим, що при змiнi параметра ↵2
Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропру . . . 183
червоний атрактор за свiй перiод iснування неоднаразово переходить
до хаосу, а тому розглянемо еволюцiю цiєї пари.
4 Еволюцiя атракторiв, якi спiвiснують у системi
“генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач”
Як вiдомо, основними сценарiями переходу до хаосу в детермiно-
ваних динамiчних системах є сценарiї Фейгенбаума [11, 12] i Помо–
Манневiлля [13, 14]. За першим сценарiєм перехiд до хаосу вiдбуває-
ться через нескiнчений каскад бiфуркацiй подвоєння перiоду грани-
чного циклу, а за другим – через перемiжнiсть, яка вiдбувається за
одну жорстку бiфуркацiю. Причому при перемiжностi рух по трає-
кторiї, належної хаотичному атрактору, складається зi двох фаз, ла-
мiнарної й турбулентної з непередбачуваними переходами вiд однiєї
фази до другої. Найтиповiйшою для динамiчних систем є ситуацiя,
коли при збiльшеннi (зменшеннi) деякого бiфуркацiйного параметра
вiдбуваються послiдовнi переходи до хаосу за сценарiєм Фейгенба-
ума, а у зворотному напрямi при зменшеннi (збiльшеннi) значення
параметра послiдовнi переходи до хаосу вiдбуваються за сценарiєм
Помо-Манневiлля [17].
На рис. 2 побудованi фазо-параметричнi характеристики спiвiсну-
ючих атракторiв системи (3), а на рис. 3 – збiльшений фрагмент цен-
тральної частини цих характеристик. Цi характеристики (бiфурка-
цiйнi дерева) побудованi стосовно фазової змiнної �. Зазначимо, що
бiфуркацiйнi дерева побудованi вiдносно iнших фазових змiнних си-
стеми (3), якiсно подiбнi до наведених на рис. 2.
Фазо-параметрична характеристика, яка вiдповiдає чорному атра-
кторовi, зображена окремою прямою чорного кольору в нижнiй ча-
стинi рис. 2. Нiяких бiфуркацiй iз цим атрактором не вiдбувається.
Вiн постiйно залишається прихованим граничним циклом.
Що стосується червоного самозбуджуваного атрактора, то в роз-
глянутому iнтервалi змiни параметра ↵2 вiдбуваються численнi пе-
реходи вiд граничних циклiв до хаотичних атракторiв, а також руй-
нування хаотичних атракторiв i виникнення граничних циклiв. Усi
такi переходи добре виднi на побудованому червоному бiфуркацiй-
ному деревi. Окремi “гiлки” цього дерева вiдповiдають граничним
циклам, а жирно затемненi дiлянки – хаотичним атракторам. Добре
помiтнi (особливо на рис. 3) точки розщеплення гiлок бiфуркацiйно-
го дерева, при проходженнi яких вiдбуваються бiфуркацiї подвоєння
184 Швець О.Ю., Донецький С. В.
Рис 2. Фазо-параметрична характеристика системи.
перiоду граничного циклу. Також добре виднi пороговi точки, при
проходженнi яких нескiнчений каскад бiфуркацiй подвоєння перiоду
завершується виникненням хаотичного атрактора, тобто реалiзується
перехiд до хаосу за сценарiєм Фейгенбаума.
Також при уважному вивченнi рис. 2 (особливо добре це видно на
рис. 3) можна помiтити чисельнi “прорiзи” в густо червоних дiлянках
бiфуркацiйного дерева. Це, так званi, вiкна перiодичностi в хаосi. При
виходi з вiкна перiодичностi в один бiк змiни параметра вiдбувається
перехiд до хаосу за сценарiєм Фейгенбаума, а у протилежний – хаос
виникає за одну бiфуркацiю за сценарiєм Помо–Манневiлля. Проте з
рис. 2 чiтко видно порушення закономiрностi послiдовних переходiв
до хаосу за одним сценарiєм при збiльшеннi (зменшеннi) значення па-
раметра. Ми можемо спостерiгати деяку симетрiю сценарiїв переходу
до хаосу, тобто перехiд до хаосу вiдбувається за сценарiєм Фейген-
баума в обидва боки як зi збiльшенням значення параметру так i
зi зменшенням. Аналогiчне твердження виконується й для сценарiю
Помо–Манневiлля. Така симетрiя вкрай нетипова для динамiчних си-
стем. Зазначимо, що подiбний ефект симетрiї сценарiїв переходу до
хаосу був встановлений для деякої неiдеальної маятникової систе-
Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропру . . . 185
Рис 3. Збiльшений фрагмент фазо-параметричної характеристики
ми [21].
Нарештi, на рис. 4 побудована ще одна пара атракторiв, якi iсну-
ють водночас: прихованого й рiдкого граничного циклу (чорний) i
самозбуджуваного хаотичного атрактора (червоний) при ↵2 = 8.647.
5 Висновки
Таким чином у роботi для неiдеальної динамiчної системи вперше по-
будованi прихованi й рiдкiснi атрактори, якi можуть бути як регуляр-
ними, так i хаотичними. Також описана нетипова симетрiя сценарiїв
переходу вiд регулярних атракторiв до хаотичних
[1] Kononenko V.O. Vibrating system with a limited power-supply // Lon-
don: Ili↵e, 1969.— 236 p.
186 Швець О. Ю., Донецький С. В.
Рис 4. Проєкцiя фазових портретiв граничного циклу (чорним) i хаоти-
чного атрактора (червоним) разом при ↵2 = 8.647.
[2] Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Регулярная и хаотическая динамика
систем с ограниченным возбуждением // Москва–Ижевск: Институт
компьютерных исследований; R&C Dynamics, 2008. � 288 с.
[3] Leonov G., Kuznetsov N. et al. Localization of hidden Chua’s attractors //
Physics Letters A.— 2011.— 375, 23.— P. 2230–2233.
[4] Leonov G., Kuznetsov N. Hidden attractors in dynamical systems // In-
ternational journal of bifurcation and chaos.— 2013.— 23, 1. — 1330002.
[5] Chudzik A., Perlikowski P. et al. Multistability and rare attractors in
van der Pol–Du�ng oscillator // International Journal of Bifurcation and
Chaos.— 2011.— 21, 7.— P. 1907—1912.
[6] Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Детерминированный хаос в системе
генератор–пьезокерамический излучатель // Нелинейная динамика. �
2006. � 2, 1 � С. 55–74.
[7] Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Deterministic chaos in a system gen-
erator — piezoceramic transducer // Nonlinear Dynamics and System
Theory.— 2006.— 6, 4— P. 367–387.
[8] Balthazar J.M., Palacios Felix J.L. et al. Nonlinear interactions in a
piezoceramic bar transducer powered by a vacuum tube generated by a
Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропру . . . 187
nonideal source // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics.—
2009.— 4, 1— 011013.
[9] Швец А.Ю., Печерный В.А. Разнообразие хаотической динамики од-
ной неидеальной электроупругой системы // Збiрник праць Iнституту
математики НАН України. � 2008. � 5, 2. � С. 367–395.
[10] Shvets A., Donetskyi S. Transition to Deterministic Chaos in Some Elec-
troelastic Systems // 11th Chaotic Modeling and Simulation International
Conference. CHAOS 2018. Springer Proceedings in Complexity. Springer,
Cham.— 2019.— P. 257–264.
[11] Feigenbaum M. J. Quantative universality for a class of nonlinear trans-
formations // J. Stat. Phys.— 1976.— 19, 1. — P. 25–52.
[12] Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transfor-
mations // J. Stat. Phys.— 1979.— 21, 6. — P. 669–706.
[13] Manneville P., Pomeau Y. Di↵erent ways to turbulence in dissipative dy-
namical systems // Phys. D.— 1980.— 1, 2. — P. 219–226.
[14] Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissi-
pative dynamical systems // Comm. Math. Phys.— 1980.— 74, 2. —
P. 189–197.
[15] Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах // М: Наука,
1990. � 312 с.
[16] Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New methods for chaotic dynamics // New
Jersey – London: World Scientific, 2006.— 382 p.
[17] Кузнецов С.П. Динамический хаос // М: Физматлит � 2006 � 356 с.
[18] Shvets A.Yu., Sirenko V.O. Peculiarities of Transition to Chaos in Non-
ideal Hydrodynamics Systems // Chaotic Modeling and Simulation (CM-
SIM) Journal— 2012— 2.— P. 303–310.
[19] Shvets A.Yu. Sirenko V.O. New ways of transitions to deterministic chaos
in non ideal oscillating systems // Research Bulletin of National Technical
University of Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute”.— 2015.— 1(99).—
P. 45–51.
[20] Shvets A. Yu. Deterministic chaos of a spherical pendulum under limited
excitation // Ukr Math J— 2007— 59, 4. — P. 602–614.
[21] Швец А.Ю., Макасеев .А.М. Влияние запаздывания на регулярные и
хаотические колебания плоского маятника // Збiрник праць Iнституту
математики НАН України � 2012. � 9, 1. � С. 365–377.
[22] Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaos in dynamics of machines with
a limited power-supply // 8-th World Congr. on the Theory of Machines
and Mechanisms. Eds. M. Okrolnick, L. Pust. Prague: Czechoslovak
Acad. Sci. — 1991.— 1. — P. 181–184.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-421 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:08Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/41/a6d360f92db9440d48595770901d7241.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4212020-08-09T15:01:39Z Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропружних системах Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропружних системах Shvets, O.Yu. Donetskii, S.V. Швец, О.Ю. Донецкий, С.В. Швець, О.Ю. Донецький, С.В. An unideal, after Sommerfeld–Kononenko, dynamic system “piezo ceramic transducer – LC–generator” is considered. Hidden and rare attractors of the system are constructed. A untypical regularity of alternation of scenarios of transition to chaos in such systems is described. Розглянута неiдеальна (за Зоммерфельдом–Кононенком) динамiчна система “п’єзокерамiчний випромiнювач – LC–генератор”. Побудованi прихованi й рiдкiснi атрактори цiєї системи. Описана нетипова зако- номiрнiсть чергування сценарiїв переходу до хаосу в таких системах. Розглянута неiдеальна (за Зоммерфельдом–Кононенком) динамiчна система “п’єзокерамiчний випромiнювач – LC–генератор”. Побудованi прихованi й рiдкiснi атрактори цiєї системи. Описана нетипова зако- номiрнiсть чергування сценарiїв переходу до хаосу в таких системах. Інститут математики НАН України 2020-08-09 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/421 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 16 No. 2 (2019): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 177-187 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 16 № 2 (2019): Математические проблеми механики и вычислительной математики; 177-187 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 16 № 2 (2019): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 177-187 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/421/416 Авторське право (c) 2020 О.Ю.Швець, С.В. Донецький http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Shvets, O.Yu. Donetskii, S.V. Швец, О.Ю. Донецкий, С.В. Швець, О.Ю. Донецький, С.В. Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| title | Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| title_alt | Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропружних системах Прихованi й рiдкiснi атрактори в неiдеальних електропружних системах |
| title_full | Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| title_fullStr | Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| title_full_unstemmed | Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| title_short | Hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| title_sort | hidden and rare attractors in unideal electro-elastic systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/421 |
| work_keys_str_mv | AT shvetsoyu hiddenandrareattractorsinunidealelectroelasticsystems AT donetskiisv hiddenandrareattractorsinunidealelectroelasticsystems AT švecoû hiddenandrareattractorsinunidealelectroelasticsystems AT doneckijsv hiddenandrareattractorsinunidealelectroelasticsystems AT švecʹoû hiddenandrareattractorsinunidealelectroelasticsystems AT donecʹkijsv hiddenandrareattractorsinunidealelectroelasticsystems AT shvetsoyu prihovanijridkisniatraktorivneidealʹnihelektropružnihsistemah AT donetskiisv prihovanijridkisniatraktorivneidealʹnihelektropružnihsistemah AT švecoû prihovanijridkisniatraktorivneidealʹnihelektropružnihsistemah AT doneckijsv prihovanijridkisniatraktorivneidealʹnihelektropružnihsistemah AT švecʹoû prihovanijridkisniatraktorivneidealʹnihelektropružnihsistemah AT donecʹkijsv prihovanijridkisniatraktorivneidealʹnihelektropružnihsistemah |