Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body
The problem of determining the orientation of a solid body in the determi- nation of Some estimates of the values of the Rodriguez-Hamilton parameter vector in The given moment of time and measurements at this moment of projection on tiscooping the coordinate system of a vector whose orien- tatio...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/424 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552922613547008 |
|---|---|
| author | Kolomiychuk, O.P. Naumenko, K.I. Коломийчук, О.П. Науменко, К.И. Коломійчук, О.П. Науменко, К.І. |
| author_facet | Kolomiychuk, O.P. Naumenko, K.I. Коломийчук, О.П. Науменко, К.И. Коломійчук, О.П. Науменко, К.І. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О.П. Коломійчук",
"institution": "Institute of Mathematics"
},
{
"author": "К.І. Науменко",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Kolomiychuk, O.P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:12Z |
| description |
The problem of determining the orientation of a solid body in the determi- nation of Some estimates of the values of the Rodriguez-Hamilton parameter vector in The given moment of time and measurements at this moment of projection on tiscooping the coordinate system of a vector whose orien- tation is known to be dual coordinate system. Obtain accurate solutions to the problem of estimation the orientation that provides the minimum of a given functionality of quality.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 27–32
УДК 513.7
Корекцiя результату iнтегрування
кiнематичних рiвнянь обертового
руху твердого тiла
О.П. Коломiйчук, К. I. Науменко
Iнститут математики НАН України, Київ;
kolomithyk@rambler.ru, naumenkoki@ukr.net
The problem of determining the orientation of a solid body in the determi-
nation of Some estimates of the values of the Rodriguez-Hamilton parame-
ter vector in The given moment of time and measurements at this moment
of projection on tiscooping the coordinate system of a vector whose orien-
tation is known to be dual coordinate system. Obtain accurate solutions
to the problem of estimation the orientation that provides the minimum
of a given functionality of quality.
Розглядається задача визначення орiєнтацiї твердого тiла при визна-
ченнi деякої оцiнки значень вектора параметрiв Родрига-Гамiльтона в
заданий момент часу й вимiрiв у цей момент проекцiї на зв’язану з тi-
лом систему координат вектора, орiєнтацiя якого вiдома в навiгацiйнiй
системi координат. Отриманi точнi розв’язки задачi визначення оцiнки
орiєнтацiї, що забезпечує мiнiмум заданого функцiоналу якостi.
Розглядається задача корекцiї в заданий момент часу результа-
ту iнтегрування кiнематичних рiвнянь обертового руху твердого тi-
ла. Корекцiя здiйснюється з урахуванням iнформацiї про координати
вектора k (результат вимiрювання) у зв’язанiй iз тiлом системi коор-
динат B i цей вектор заданий у наваiгацiйнiй системi координат N
вектором m.
При вiдомiй матрицi перетворення координат A, яка задає орiєн-
тацiю зв’язаної з тiлом системи координат щодо навiгацiйної, i при
точних вимiрюваннях компонент вектора k справедлива рiвнiсть
k = Am. (1)
c� Коломiйчук О. П., Науменко К. I., 2018
28 Коломiйчук О.П., Науменко К. I.
Взаємна орiєнтацiя двох декартових систем координат N i B по-
ряд iз описом за допомогою матрицi перетворення координат A мо-
же бути задана кватернiоном (чотиривимiрним вектором параметрiв
Родрiга-Гамiльтона)
q =
c
n
�
=
cos'2
sin'2 e
�
, (2)
який визначає плаский поворот системи координат N до сумiщення
з системою B на кут ' навколо заданої нормованим вектором e ейле-
рової вiсi обертання. Перша компонента c кватернiона q називається
його скалярною частиною, а три iншi, якi представленi тривимiрним
вектором n � векторною. Матриця перетворення координат A як
функцiя кватернiона q має вигляд
A(q) = (c2 � nTn)I+ 2[nnT �V(n)], (3)
де “T” � знак операцiї транспонування, I � одинична матриця тре-
тього порядку, оператор векторного добутку V(n) = nx � тривимiр-
на квадратна матриця, яка як функцiя вектора n = [n1 n2 n3]T має
вигляд
V(n) =
2
4
0 �n3 n2
n3 0 �n1
�n2 n1 0
3
5 .
Змiна орiєнтацiї твердого тiла описується вiдповiдним кiнематичним
рiвнянням для матриць перетворення координат A, так само, як i
для кватернiона q.
Для кватернiона q це рiвняння має вигляд
dq
dt
=
1
2
�(!)q, (4)
де
�(!) =
0 �!T
! V(!)
�
,
! = [!1 !2 !3]T � вектор кутової швидкостi тiла у проекцiях на
вiсi зв’язаної з тiлом системи координат B.
Вiдзначимо, що результат iнтегрування кiнематичного рiвняння
(4)
q0 =
c0
n0
�
(5)
Корекцiя результату iнтегрування кiнематичних рiвнянь обер . . . 29
не гарантує точностi визначення орiєнтацiї тiла цим кватернiоном,
що може бути обумовлено як похибками вимiрювання компонент ве-
ктора кутової швидкостi !, так i можливими похибками чисельно-
го iнтегрування цього рiвняння. Водночас додаткова iнформацiя про
орiєнтацiю тiла, яку отримуємо при вимiровi в системi координат B
компонент заданного в системi N вектора m, також супроводжується
похибками вимiрювань.
Тому розв’язок задачi визначення орiєнтацiї тiла треба проводи-
ти за допомогою метода найменших квадратiв. Так, вважаючи, що
похибки вимiрювань компонентiв вектора k як випадковi величини
мають однакову дисперсiю, для розв’язання задачi використовувати-
мемо процедуру мiнiмiзацiї функцiоналу
J(q) = ↵sin2'
2
+ �(k�A(q)m)T(k�A(q)m), (6)
де ↵ i � � додатнi ваговi множники, ' � кут скiнченного поворо-
ту iз заданою апрiорною оцiнкою орiєнтацiї тiла кватернiоном q0 в
розташуваннi, яке задане кватернiоном q.
Розв’язком задачi мiнiмiзацiї функцiонала (6) згiдно з [1] є ква-
тернiон q⇤, який визначається як нормований власний вектор, що
вiдповiдає максимальному власному значенню симетричної матрицi
S = 2↵q0q0
T + �(K(m,k), (7)
де
K(m,k) =
mTk (m⇥ k)T
m⇥ k mkT + kmT � (mTk)I
�
. (8)
У роботi [2] запропонований обчислювальний алгоритм для вiдшу-
кування цього власного вектора за допомогою iтерацiйної процедури,
яка базується на використаннi градiєнтних методiв.
Розглянемо процедуру визначення кватернiона q⇤ як деяку коре-
кцiю кватернiона q0 шляхом введення додаткового повороту тiла зi
стану, заданого цим кватернiоном, у стан, заданий кватернiоном q⇤
згiдно з формулою додавання скiнченних поворотiв
q⇤ = �(q̂)q0, (9)
де
�(q) =
c �nT
n cI�V(n)
�
, (10)
30 Коломiйчук О.П., Науменко К. I.
q̂ � кватернiон, що вiдповiдає додатковому повороту, i для нього
справедлива формула вiднiмання скiнченних поворотiв
q̂ = (q0)q⇤, (11)
де
(q) =
c nT
�n cI�V(n)
�
, (12)
i, як неважко впевнитися, матрицi �(q) i (q) є ортогональними.
Згiдно з (9-12) наведемо деякi важливi властивостi, якi з них ви-
пливають
�(q⇤) = �(q̂)�(q̂0), (13)
(q̂) = (q0) (q̂⇤), (14)
�(q) (q0) = (q0)�(q), (15)
�T(q0)�(q) = �(q')�
T(q0), (16)
(q) T(q0) =
T(q0) (q ), (17)
де q' = [c nTA(q0)]T, q = [c nTAT(q0)]T.
Вiдзначимо, що рiвностi (13) i (14) випливають iз (9) й (11). Вла-
стивостi комутативностi (15) перевiряються безпосередньою пiдста-
новкою згiдно з (10) i (12), а властивостi (16) й (17) є матричним
вiдображенням теореми про переставнi скiнченнi повороти [3].
Оскiльки шуканий кватернiон q⇤ має задовiльнити рiвнiсть
Sq⇤ = �⇤q⇤, (18)
у якiй �⇤ � максимальне власне значення заданої виразом (7) симе-
тричної матрицi S, то пiсля пiдстановки в цю рiвнiсть отриманого з
(11) кватернiона
q⇤ = T(q0)q̂
маємо
S0q̂ = �⇤q̂, (19)
де
S0 = (q0)S
T(q0). (20)
Розглянємо добуток матриць у правiй частинi цiєї рiвностi. Не-
важко впевнитися, що матриця K(m,k) у другому доданку рiвностi
(7) може бути записана у виглядi
K(m,k) = �(k) (m), (21)
Корекцiя результату iнтегрування кiнематичних рiвнянь обер . . . 31
де �(k) i (m) � це матрицi, якi визначають спiввiдношення (10) i
(12), у яких скалярнi частини кватернiона дорiвнюють нулю (c = 0),
а векторнi дорiвнюють k або m вiдповiдно.
Тодi для добутку матриць справедливi представлення
(q0)K(m,k) T(q0) = �(k) (q0) (m) T(q0),
(q0)K(m,k) T(q0) = �(k) (A(q0)m)), (22)
де перша рiвнiсть випливає з урахування властивостi (15), а друга з
першої з урахуванням (17). Тобто, згiдно з (21),
(q0)K(m,k) T(q0) = K(m,k0), (23)
де
k0 = A(q0)m � (24)
апрiорна оцiнка вимiрюваного вектора.
Тепер для заданої спiввiдношенням (20) матрицi S0 iз урахуван-
ням (7), рiвностi
(q0)q0 =
⇥
1 0 0 0
⇤T
i рiвностi (23) отримуємо
S0 =
2↵+ �k0
Tk �(k⇥ k0)T
�(k⇥ k0) �(k0kT + kk0
T � (k0
Tk)I)
�
.
При вiдображеннi рiвняння (19) у блоковiй формi легко помiтити,
що власний вектор q̂ матрицi S0 може бути заданий як
q̂ =
1
⇢
�
�(k⇥ k0)
�
, (25)
де � � невизначена величина, а множник
1
⇢
забезпечує нормування.
Запишемо рiвняння (19) у блоковому виглядi
2↵+ �k0
Tk �(k⇥ k0)T
�(k⇥ k0) �(k0kT + kk0
T � (k0
Tk)I)
�
�
�(k⇥ k0)
�
=
= �⇤
�
�(k⇥ k0)
�
.
32 Коломiйчук О.П., Науменко К. I.
Тодi зi другої стрiчки цього рiвняння маємо
� = �⇤ + �(kTk0), (26)
а з першої з урахуванням (26) отримуємо таке рiвняння для визна-
чення власного значення �⇤:
�2
⇤ � 2↵�⇤ � 2↵�(kT
0 k)� �2 = 0,
тобто
�⇤ = ↵+ (↵2 + 2↵�(kT
0 k) + �2)
1
2 . (27)
Так, розв’язок сформульованої задачi визначення оцiнки орiєнта-
цiї твердого тiла задається спiввiдношенням (9), у якому кватернiон
корекцiї q̂ задається згiдно з рiвностями (25)-(27).
Треба вiдзначити, що структура коректованого повороту вiдобра-
жає фiзичну iнтерпретацiю корекцiї й вона полягає в поворотi зада-
ного кватернiоном q0 базису навколо вiсi, ортогональної до векторiв
k i k0 на такий кут, щоб завдяки цьому повороту вектор оцiнки вимi-
рювань k⇤ = A(q⇤)m був мiж k i k0, а кут мiж векторами k⇤ i k та k⇤
i k0 були певним чином пропорцiйними до “достовiрностi” iнформацiї
кожного з вимiрювальних каналiв.
[1] Науменко К. И. Локальный метод определения ориентации твёрдого
тела: Навигация и управление. Институт математики АН УССР. �
Киев, 1982. � С. 121–128.
[2] Науменко К. I. Застосування градiєнтного методу при визначеннi
локальної орiєнтацiї твердого тiла // Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. � 2010. � 7, 3.� С. 370–378.
[3] Лурье А. И. Аналитическая механика. � М.: Физматгиз, 1961. � 824 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-424 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:08Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/5a/466d79b63100be9c9ec0f3a7a446295a.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4242020-08-10T19:26:12Z Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body Корекцiя результату iнтегрування кiнематичних рiвнянь обертового руху твердого тiла Корекцiя результату iнтегрування кiнематичних рiвнянь обертового руху твердого тiла Kolomiychuk, O.P. Naumenko, K.I. Коломийчук, О.П. Науменко, К.И. Коломійчук, О.П. Науменко, К.І. The problem of determining the orientation of a solid body in the determi- nation of Some estimates of the values of the Rodriguez-Hamilton parameter vector in The given moment of time and measurements at this moment of projection on tiscooping the coordinate system of a vector whose orien- tation is known to be dual coordinate system. Obtain accurate solutions to the problem of estimation the orientation that provides the minimum of a given functionality of quality. Розглядається задача визначення орiєнтацiї твердого тiла при визначеннi деякої оцiнки значень вектора параметрiв Родрига-Гамiльтона в заданий момент часу й вимiрiв у цей момент проекцiї на зв’язану з тiлом систему координат вектора, орiєнтацiя якого вiдома в навiгацiйнiй системi координат. Отриманi точнi розв’язки задачi визначення оцiнки орiєнтацiї, що забезпечує мiнiмум заданого функцiоналу якостi. Розглядається задача визначення орiєнтацiї твердого тiла при визначеннi деякої оцiнки значень вектора параметрiв Родрига-Гамiльтона в заданий момент часу й вимiрiв у цей момент проекцiї на зв’язану з тiлом систему координат вектора, орiєнтацiя якого вiдома в навiгацiйнiй системi координат. Отриманi точнi розв’язки задачi визначення оцiнки орiєнтацiї, що забезпечує мiнiмум заданого функцiоналу якостi. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/424 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 27-32 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 27-32 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 27-32 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/424/423 Авторське право (c) 2020 О.П. Коломійчук, К.І. Науменко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Kolomiychuk, O.P. Naumenko, K.I. Коломийчук, О.П. Науменко, К.И. Коломійчук, О.П. Науменко, К.І. Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| title | Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| title_alt | Корекцiя результату iнтегрування кiнематичних рiвнянь обертового руху твердого тiла Корекцiя результату iнтегрування кiнематичних рiвнянь обертового руху твердого тiла |
| title_full | Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| title_fullStr | Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| title_full_unstemmed | Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| title_short | Correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| title_sort | correction of integration of the kinematic equations of rotational motion of a rigid body |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/424 |
| work_keys_str_mv | AT kolomiychukop correctionofintegrationofthekinematicequationsofrotationalmotionofarigidbody AT naumenkoki correctionofintegrationofthekinematicequationsofrotationalmotionofarigidbody AT kolomijčukop correctionofintegrationofthekinematicequationsofrotationalmotionofarigidbody AT naumenkoki correctionofintegrationofthekinematicequationsofrotationalmotionofarigidbody AT kolomíjčukop correctionofintegrationofthekinematicequationsofrotationalmotionofarigidbody AT naumenkokí correctionofintegrationofthekinematicequationsofrotationalmotionofarigidbody AT kolomiychukop korekciârezulʹtatuintegruvannâkinematičnihrivnânʹobertovogoruhutverdogotila AT naumenkoki korekciârezulʹtatuintegruvannâkinematičnihrivnânʹobertovogoruhutverdogotila AT kolomijčukop korekciârezulʹtatuintegruvannâkinematičnihrivnânʹobertovogoruhutverdogotila AT naumenkoki korekciârezulʹtatuintegruvannâkinematičnihrivnânʹobertovogoruhutverdogotila AT kolomíjčukop korekciârezulʹtatuintegruvannâkinematičnihrivnânʹobertovogoruhutverdogotila AT naumenkokí korekciârezulʹtatuintegruvannâkinematičnihrivnânʹobertovogoruhutverdogotila |