Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint
We analytically construct an optimal control (here, acting external force), which ensures a reservoir with a liquid to move according with a given law. For this purpose, Gauss’ variational principle of the least constraint was employed that makes it possible to minimise the energy providing the p...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/425 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552925259104256 |
|---|---|
| author | Konstantinov, O.V. Novitskiy, V.V. Константинов, А.В. Новицкий, В.В. Константінов, О.В. Новицький, В.В. |
| author_facet | Konstantinov, O.V. Novitskiy, V.V. Константинов, А.В. Новицкий, В.В. Константінов, О.В. Новицький, В.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О.В. Константінов",
"institution": "Institute of Mathematics"
},
{
"author": "В.В. Новицький",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Konstantinov, O.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:12Z |
| description |
We analytically construct an optimal control (here, acting external force), which ensures a reservoir with a liquid to move according with a given law. For this purpose, Gauss’ variational principle of the least constraint was employed that makes it possible to minimise the energy providing the programming motion of the mechanical system. The proposed approach was applied to solve the racing problem for the originally unmoving tank, which should reach the given translatory velocity at the end.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 33–46
УДК 517.983.27
Програмне керування рухом
резервуару з рiдиною на основi
принципу найменшого примусу
Гаусса
О.В. Константiнов , В.В. Новицький
Iнститут математики НАН України, Київ;
akonst.im@ukr.net, v.novytskyy@gmail.com
We analytically construct an optimal control (here, acting external force),
which ensures a reservoir with a liquid to move according with a given
law. For this purpose, Gauss’ variational principle of the least constraint
was employed that makes it possible to minimise the energy providing the
programming motion of the mechanical system. The proposed approach
was applied to solve the racing problem for the originally unmoving tank,
which should reach the given translatory velocity at the end.
В аналiтичному виглядi побудовано програмне керування (закон змiни
активної зовнiшньої сили) для забезпечення руху резервуару за зада-
ним законом. Для цього використано варiацiйний принцип найменшо-
го примусу Гаусса, який дозволяє мiнiмiзувати енергетичнi витрати на
забезпечення програмного руху механiчної системи. Запропонований
пiдхiд застосовано для розв’язування задачi про розгiн нерухомого ре-
зервуару до заданої швидкостi та подальшого його рiвномiрного руху.
Вступ
Iнженернi конструкцiї, якi мають у своєму складi резервуари, час-
тково заповненi рiдиною, широко використовують у рiзних галузях
технiки [3–8]. Баки з рiдиною є невiд’ємною частиною космiчних апа-
ратiв з рiдинним ракетним двигуном, лiтакiв, гелiкоптерiв та iнших
транспортних засобiв. Резервуари постiйно використовують для пе-
ревезень i зберiгання рiдинних вантажiв на вiдповiдних етапах виро-
бничих або технологiчних процесiв. У всiх наведених прикладах пре-
дметом теоретичного й експериментального дослiдження є поведiнка
c� Константiнов О. В., Новицький В. В., 2018
34 Константiнов О. В., Новицький В. В.
конструкцiй iз рiдиною в умовах дiї вiбрацiйних, iмпульсних, сейсмi-
чних i керiвних навантажень iз урахуванням наявностi збурення, яке
постiйно дiє, – коливань вiльної поверхнi рiдини. Однiєю з важли-
вих задач при практичному використаннi резервуарiв є забезпечення
руху за заданою програмою при найменших силових (енергетичних)
витратах. Така задача може бути розв’язана, серед того, на основi
диференцiального варiацiйного принципу Гаусса – принципу наймен-
шого примусу [9]. В роботах [10–14] принцип найменшого примусу
Гаусса використовується для керування рухом довiльної конфiгура-
цiї твердих тiл або роботами-манiпуляторами.
У данiй роботi побудова керування з використанням принципу
найменшого примусу Гаусса проводилася на основi спрощеної лiнiй-
ної моделi iз двома ступенями вiльностi. Це дозволило отримати фун-
кцiю керування в аналiтичному виглядi для рiзних програмних за-
конiв (серед них i нелiнiйних) руху резервуару й вiльної поверхнi
рiдини. А от дослiдження динамiки системи “резервуар – рiдина з
вiльною поверхнею“ пiд дiєю обчисленого керування проводилося на
основi нелiнiйної багатомодової (до 12 форм коливань) дискретної
моделi, яка побудована на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-
Остроградського [3]. Дослiдження проводилося на основi методу мо-
дальної декомпозицiї з урахуванням коливань на власних частотах
усiх форм.
1 Математична модель механiчної системи “резер-
вуар – рiдина з вiльною поверхнею“
Розглянемо цилiндричний резервуар, частково заповнений рiдиною.
Резервуар вважаємо абсолютно твердим тiлом, яке може рухатися по-
ступально пiд дiєю активних зовнiшнiх сил. Рiдину вважаємо iдеаль-
ною, нестисливою, однорiдною, а її початковий рух безвихровим. Вiд-
повiдно до методики роботи О.С. Лимарченко [3], математична мо-
дель механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“ бу-
дується на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-Остроградського
�I = 0, где I =
t2Z
t1
Ldt,
при цьому функцiя Лагранжа задається у класичному виглядi Га-
мiльтона - Остроградського як рiзниця мiж кiнетичною й потенцi-
Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi . . . 35
альною енергiєю системи
L =
1
2
⇢
Z
⌧
(~r'+ ~̇")2d⌧ +
1
2
MT (~̇")
2 � (MT +MF )g"z�
�1
2
⇢g
Z
S
(⇠2 �H2)dS + ~F · ~",
де ⇢ – щiльнiсть рiдини; ⌧ – область, яку займає рiдина; d⌧ = rdrd✓dz
– цилiндричнi координати, при цьому вiсь Oz має напрямок, про-
тилежний до напрямку вектора прискорення вiльного падiння ~g, а
система координат пов’язана з нерухомим резервуаром; ~r = ~i1
@
@r
+
~i2
1
r
@
@✓
+~i3
@
@z
; ' – потенцiал швидкостей рiдини; ⇠ – збурення вiльної
поверхнi рiдини; S – поперечний перерiз цилiндричного резервуару;
MT i MF – маса резервуару й рiдини вiдповiдно; ~" = ("x, "y, "z) –
вектор перемiщення резервуару в поступальному русi; ~F – головний
вектор зовнiшнiх сил, якi дiють на резервуар щодо точки O.
Для ефективного застосування варiацiйного принципу Гамiльтона-
Остроградського поставлено задачу ввести в розгляд мiнiмальну кiль-
кiсть незалежних змiнних, що описують рух резервуару з рiдиною,
тобто фактично будуються розклади шуканих змiнних, якi задоволь-
няють наперед усi кiнематичнi граничнi умови. Оскiльки безвихровий
рух iдеальної однорiдної нестисливої рiдини вiдповiдно до теореми
Лагранжа повнiстю визначається рухом її границь, то збурення вiль-
ної поверхнi рiдини ⇠ йрадiус-вектор ~"(t) повнiстю характеризують
рух самої рiдини, тому потенцiал швидкостей ' потрiбно вважати
залежною змiнною.
Вiдповiдно до методики роботи [3], розклади шуканих змiнних пе-
редамо як
⇠(r, ✓, t) =
X
i
ai(t) i(r, ✓),' =
X
i
bi(t)'i(r, ✓, z),
де ai(t) – амплiтуди форм коливань збуреної вiльної поверхнi рiди-
ни ⇠. Системи функцiй i i 'i = i
coshi(z+H)
i sinhiH
є розв’язком лiнiйної
спектральної задачi [3] й мають вигляд
n(r, ✓) = Jn
✓
(m)
n
R
r
◆
sin(n✓)
cos(n✓)
, n = 0, 1, 2, ...; m = 1, 2, ...
36 Константiнов О. В., Новицький В. В.
У роботi [3] розроблено метод виключення кiнематичних грани-
чних умов на вiльнiй поверхнi рiдини, який дозволяє отримати дис-
кретну модель механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною по-
верхнею“ мiнiмальної розмiрностi. На основi розробленого методу,
варiацiйних методiв математичної фiзики i асимптотичних методiв
нелiнiйної механiки у роботi [3] побудована математична модель, яка
дозволяє дослiдити поступальнi й кутовi рухи механiчної системи “ре-
зервуар – рiдина з вiльною поверхнею“ при рiзних видах кiнемати-
чного збурення i динамiчного (силового й моментного) збудження.
Ця модель є системою нелiнiйних звичайних диференцiальних рiв-
нянь другого порядку щодо незалежних параметрiв ai – коефiцiєнтiв
розкладу в ряд збурення вiльної поверхнi рiдини ⇠ за формами коли-
вань вiльної поверхнi i i "i – компонент вектора перемiщень центру
незбуреної вiльної поверхнi рiдини щодо деякої нерухомої системи
вiдлiку:
X
i
äi ·
⇢
�q
ri
+
X
j
aj�
q
ij
+
X
i,j
aiaj�
q
rijk
�
+ (1)
+~̈" ·
⇢
~B1
r
+
X
i
ai ~B
2
ri
+
X
i,j
aiaj ~B
3
rij
+
X
i,j,k
aiajak ~B
4
rijk
�
=
=
1
2
X
i,j
ȧiȧj(�
q
ijr
� �q
rij
) +
X
i,j,k
ȧiȧjak(�
q
ijkr
� 2�q
rijk
)�
�1
2
g↵s
r
� ↵p
r
ȧr � gNrar + ~̇" ·
⇢
~B1
r
+
X
i
ai( ~B
2
ir
� ~B2
ri
)+
+
X
i,j
ȧiaj2( ~B
3
ijr
� ~B3
rij
) +
X
i,j,k
ȧiajak3( ~B
4
ijkr
� ~B4
rijk
)
�
,
⇢
⇢X
i
äi[ ~B
1
i
+
X
i,j
aj ~B
2
i,j
+
X
i,j,k
ajak ~B
3
ijk
]
�
+ (MT +MF )~̈" = (2)
= ~F � (MT +MF )g~k � ⇢
⇢X
i,j
ȧiȧj ~B
2
ij
+
X
i,j,k
ȧiȧjak ~B
3
ijk
�
.
Система (1) – (2) мiстить N + 3 рiвнянь (N – кiлькiсть форм
коливань рiдини, що розглядаються) i описує динамiку сумiсного ру-
ху резервуару й рiдини при рiзних видах кiнематичного збурення i
Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi . . . 37
динамiчного (силового) збудження. Рiвняння (1) описують динамiку
амплiтуд форм коливань вiльної поверхнi рiдини, а рiвняння (2) – ди-
намiку резервуару, однак цi рiвняння взаємопов’язанi i мiстять сили
взаємодiї мiж компонентами механiчної системи.
Сукупнiсть коефiцiєнтiв, якi входять до системи рiвнянь (1) – (2),
у рамках прийнятої моделi визначає властивостi механiчної систе-
ми, яка розглядається, й особливостi прояву в нiй внутрiшнiх лi-
нiйних та нелiнiйних механiзмiв взаємодiї. Цi коефiцiєнти визнача-
ються через квадратури вiд розв’язку крайової задачi з визначен-
ня форм коливань вiльної поверхнi рiдини. При цьому коефiцiєнти
�q
ir
, �q
ijr
, �q
ijkr
,↵s
r
, Nr вiдповiдають випадковi коливань рiдини у не-
рухомому резервуарi, а коефiцiєнти ~B1
r
, ~B2
ri
, ~B3
rij
, ~B4
rijk
вiдображають
взаємозв’язок коливань рiдини i поступального руху резервуару.
2 Побудова програмного керування на основi прин-
ципу найменшого примусу Гаусса
Якщо зовнiшня сила ~F = (Fx, Fy, Fz), яка дiє на систему “резервуар
– рiдина з вiльною поверхнею“, мусить здiйснити необхiдний закон
руху або мiнiмiзувати заданий функцiонал, то таку силу прийнято
називати керуванням. У данiй роботi поставлено задачу побудови ке-
рування Fy, мiнiмального на основi функцiоналу якостi J =
R
F 2
y
(t)dt,
яке б забезпечувало програмний рух резервуару з рiдиною в напрям-
ку Oy за заданим законом "̇y = f(t), "y =
R
f(t)dt. Iншими словами,
необхiдно побудувати таке керування, яке б забезпечило рух систе-
ми за заданою програмою з найменшими силовими (енергетичними)
витратами.
Доцiльнiсть такої постановки задачi можна пояснити так [1, 2].
Рух механiчної системи, яка складається з N матерiальних точок,
вiдповiдно до другого закону Ньютона, описується системою дифе-
ренцiальних рiвнянь
mir̈i = �i � ui,
де mi, ri – радiус-вектор i маса i-ої точки вiдповiдно, �i – рiвнодiйна
активних сил, якi впливають на цю точку, ui – керiвна сила. Керiв-
нi сили u1, . . . , uN повиннi бути обчисленi з умови здiйснення руху
системи за заданою програмою
�i(r1, ..., rN , ṙ1, ..., ṙN , t) = 0, i = 1, ..., N.
38 Константiнов О. В., Новицький В. В.
Поставимо за мету визначити керування ui таким чином, щоб ке-
рований рух не входив у протирiччя з чинними принципами руху
механiчних систем. Одним iз найзагальнiших принципiв механiки є
принцип найменшого примусу Гаусса [1, 2]. Суть його полягає в то-
му, що справжнiй рух системи вiдрiзняється вiд усiх можливих рухiв
тим, що для справжнього руху примусу (за Гауссом)
L =
NX
i=1
kr̈i �
1
mi
�ik2
має мiнiмальне значення. Але для шуканої керованої системи мате-
рiальних точок
L⇤ =
NX
i=1
1
mi
kuik2.
Отже розв’язок поставленої задачi для L = L⇤
дозволяє визначити
керування таким чином, щоб рух шуканої системи задовольняв кла-
сичнi принципи механiчних систем. При цьому отримане керування
має вигляд [1, 2]
u(x, t) = u0(x, t) +R(�, x, t),
де u0(x, t) – розв’язок задачi оптимiзацiї, а R(�, x, t) – довiльна фун-
кцiя вiд збурень, поточних координат i часу (фактично, зворотний
зв’язок), на яку накладено тiльки одну умову R(0, x, t) = 0.
Для побудови керування на основi принципу найменшого примусу
Гаусса використовуватимемо систему рiвнянь руху (1) – (2), в якiй
буде враховано коливання вiльної поверхнi рiдини ⇠(t) за першою
антисиметричною формою 1 з можливiстю горизонтального пере-
мiщення резервуару по горизонтальнiй координатi "y. Введемо по-
значення для фазових змiнних x1 = a1, x2 = ȧ1, x3 = "y, x4 = "̇y й
керування u = Fy i запишемо систему (1) – (2) в нормальнiй формi
Кошi в узагальненому виглядi
ẋ1 = x2, ẋ2 = f1(x1, x2) + b1(x1, x2)u, (3)
ẋ3 = x4, ẋ4 = f2(x1, x2) + b2(x1, x2)u, (4)
де вигляд функцiй f1, f2, b1, b2 залежить вiд вибору обраної для керу-
вання моделi (лiнiйна або нелiнiйна до величин вiдповiдного порядку
малостi).
Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi . . . 39
Розглянемо побудову керування для системи в узагальненому ви-
глядi (3) – (4), яке забезпечить реалiзацiю програмного руху резер-
вуару з заданим законом змiни швидкостi �(x4, t) = 0. Отримаємо
похiдну за часом вiд програмного закону �(x4, t), щоб можна було
зв’язати цей програмний закон з рiвняннями руху резервуару (3) –
(4), тобто
d�
dt
=
@�
@t
+
@�
@x4
ẋ4 =
@�
@t
+
@�
@x4
(f2 + b2u) ⌘ R(�, x, t), (5)
де R(�, x, t) – довiльна функцiя вiд збурення �, поточних коорди-
нат x1, x2, x3, x4 i часу, на яку накладено умову R(0, x, t) = 0. Задачу
мiнiмiзацiї функцiоналу за наявностi умови (5) зводимо до задачi без-
умовної мiнiмiзацiї функцiоналу
L = u2 + �
⇣d�
dt
�R(�, x, t)
⌘
= �
⇣@�
@t
+
@�
@x4
(f2 + b2u)�R(�, x, t)
⌘
,
де � – множник Лагранжа. Використовуючи вiдому процедуру мiнi-
мiзацiї, отримаємо два рiвняння щодо шуканих змiнних u й �
@L
@u
= 2u+ �
@�
@x4
b2 = 0,
@�
@x4
b2u = R(�, x, t)� @�
@t
� @�
@x4
f2. (6)
За допомогою позначень
p =
@�
@x4
b2, c = R(�, x, t)� @�
@t
� @�
@x4
f2,
запишемо систему (6) у матричному виглядi
2 p
p 0
�
·
u
�
�
=
0
c
�
й отримаємо її розв’язок для керування
u =
c
p
=
R(�, x, t)� @�
@t
� @�
@x4
f2
@�
@x4
b2
.
Розглянемо тепер побудову керування, яке забезпечить реалiзацiю
програмного руху резервуару, якщо швидкiсть повинна змiнюватися
за законом �2(x4, t) = 0, а амплiтуда вiльної поверхнi рiдини обме-
жена законом руху �1(x1, x2, t) = 0. Отримаємо вiдповiднi похiднi за
40 Константiнов О. В., Новицький В. В.
часом вiд програм руху, щоб можна було їх зв’язати з рiвняннями
руху резервуару
d�1
dt
=
@�1
@t
+
@�1
@x1
ẋ1+
@�1
@x2
ẋ2 =
@�
@t
+
@�
@x1
x2+
@�
@x2
(f1+b1u) ⌘ R1(�1, x, t),
d�2
dt
=
@�2
@t
+
@�2
@x4
ẋ4 =
@�2
@t
+
@�2
@x4
(f2 + b2u) ⌘ R2(�2, x, t).
Як i в попередньому випадку, отримаємо задачу безумовної мiнiмiза-
цiї при наявностi двох множникiв Лагранжа �1 i �2 для функцiоналу
якостi
L = u2 + �1
⇣d�1
dt
�R1(�1, x, t)
⌘
+ �2
⇣d�2
dt
�R2(�2, x, t)
⌘
.
Пiсля виконання процедури мiнiмiзацiї отримуємо систему лiнiйних
алгебраїчних рiвнянь
@L
@u
= 2u+ �1
@�1
@x2
b1 + �2
@�2
@x4
b2 = 0,
@�1
@x2
b1u = R1(�1, x, t)�
@�1
@t
� @�1
@x1
x2 �
@�1
@x2
f1,
@�2
@x4
b2u = R2(�2, x, t)�
@�2
@t
� @�2
@x4
f2,
яку за допомогою позначень
p1 =
@�1
@x2
b1, p2 =
@�2
@x4
b2,
c1 = R1(�1, x, t)�
@�1
@t
� @�1
@x1
x2�
@�1
@x2
f1, c2 = R2(�2, x, t)�
@�2
@t
� @�2
@x4
f2,
можна записати у матричнiй формi
2
4
2 p1 p2
p1 0 0
p2 0 0
3
5 ·
2
4
u
�1
�2
3
5 =
2
4
0
c1
c2
3
5 .
Програмне керування як розв’язок цiєї системи має вигляд
u =
p1c1 + p2c2
p21 + p22
.
Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi . . . 41
Оберемо для побудови керування лiнiйну модель i конкретизує-
мо вигляд системи рiвнянь (3) – (4). Лiнеаризована система рiвнянь
(1) – (2) для першої антисиметричної форми 1 i горизонтального
перемiщення резервуару "y має вигляд
ä1�
q
11 +B1y
1 "̈y + gN1a1 = 0,
⇢B1y
1
MT +MF
ä1 + "̈y = 0,
або, з урахуванням позначень, ⌫1 = B
1y
1
�
q
11
, ⌫2 = ⇢B1y
1 , !2
1 = gN1
�
q
11
, пред-
ставлена як
ä1 + ⌫1"̈y + !2
1a1 = 0, ⌫2ä1 +M "̈y = Fy,
i, нарештi, приведена до нормальної форми Кошi
ẋ1 = x2, ẋ2 = �1x1 + �1u, ẋ3 = x4, ẋ4 = �2x1 + �2u (7)
з позначеннями
�1 = � M!2
1
M � ⌫1⌫2
, �2 =
⌫2!2
1
M � ⌫1⌫2
, �1 = � ⌫1
M � ⌫1⌫2
, �2 =
1
M � ⌫1⌫2
.
Для лiнiйної моделi (7) обчислимо керування для обраних про-
грамних законiв руху резервуару:
A) швидкiсть резервуару змiнюється за заданим законом �(x4, t) ⌘
x4 � V (t) = 0, тодi програмне керування має вигляд
u =
1
�2
⇣
V̇ (t)� �2x1 +R1(�, x, t)
⌘
;
Б) амплiтуда коливань вiльної поверхнi рiдини змiнюється за за-
даним законом �1(x1, t) ⌘ x1 � l(t) = 0 (для “iдеального“ випадку ке-
рування рiдина взагалi нерухома, “затвердiла“, тобто �1(x1, t) ⌘ x1 =
0), швидкiсть резервуару змiнюється за заданим законом �2(x4, t) ⌘
x4 � V (t) = 0, тодi програмне керування має вигляд
u =
1
�2
1 + �2
2
⇣
�2V̇ (t) + �1 l̈(t)� (�1�1 + �2�2)x1+
+�1R1(�1, x, t) + �2R2(�2, x, t)
⌘
;
В) амплiтуда коливань вiльної поверхнi рiдини обмежена |x1|
A, тобто iснує залежнiсть �1(x1, x2) ⌘ x1 + A tanh(µx2), швидкiсть
42 Константiнов О. В., Новицький В. В.
резервуару змiнюється за заданим законом �2(x4, t) ⌘ x4 � V (t) = 0,
тодi програмне керування має вигляд
u =
1
A2µ2�2
1 + �2
2 cosh
4(µx2)
⇣
�2V̇ (t) cosh4(µx2)�
�(A2µ2�1�1 + �2�2 cosh
4(µx2))x1 �Aµ�1 cosh
2(µx2)x2+
+Aµ�1 cosh
2(µx2)R1(�1, x, t) + �2 cosh
4(µx2)R2(�2, x, t)
⌘
.
На функцiї R1(�1, x, t) i R2(�2, x, t) накладається тiльки одне обме-
ження, а саме, Ri(0, x, t) = 0, i = 1, 2. Отже цi функцiї описують
керування зi зворотним зв’язком, яке зникає, коли програмнi закони
руху виконуються точно, тобто коли �i(x, t) = 0. Структура функцiй
R1 i R2 обирається окремо для кожної конкретної задачi для забезпе-
чення заданих характеристик руху системи, зокрема, асимптотичної
стiйкостi, якостi перехiдного процесу, величини вiдхилень програм-
ного руху вiд заданих значень, часу перехiдних процесiв тощо.
3 Результати чисельного моделювання
Розглядається круговий цилiндричний резервуар iз вертикальною пов-
здовжньою вiссю Oz, який здiйснює поступальнi рухи у площинi xOy.
Резервуар радiусу R = 1 м частково заповнений водою до глиби-
ни H = R, спiввiдношення мас резервуару T й рiдини F дорiвнює
T = 0, 1F .
Система рiвнянь (1) – (2) лiнiйна щодо других похiдних, що дає
можливiсть при практичнiй реалiзацiї на кожному кроцi чисельно-
го iнтегрування спочатку перетворити систему за допомогою ЕОМ
до нормальної форми Кошi, а потiм чисельно iнтегрувати за часом
за допомогою стандартного методу Рунге-Кутта. При цьому на етапi
перетворення до нормальної форми Кошi порядок похiдних знижу-
вався шляхом введення узагальнених швидкостей ȧi як рiвноправних
незалежних змiнних (разом з ai). При дослiдженнi динамiки системи
“резервуар – рiдина“ в розкладах утримувалося n1 = n2 = 12 ко-
ординатних функцiй за лiнiйною i квадратичною теорiєю та n3 = 6
координатних функцiй за кубiчною теорiєю. Координатнi функцiї i
розмiщено в порядку зростання вiдповiдних їм власних частот за ви-
нятком 3 – першої осесиметричної форми. Крок чисельного iнтегру-
вання обирався �t = 0, 1⇡!12 с, де !12 – найвища власна частота у си-
стемi. Розглянемо випадок, коли необхiдно за допомогою керування
Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi . . . 43
Рис 1. Графiк швидкостi резервуару для випадку “комфортного“ руху.
u = Fy забезпечити резервуару з рiдиною спочатку набiр швидкостi
вiд 0 до 5 м/с за 10 сек, а потiм рiвномiрний рух з досягнутою швид-
кiстю 5 м/с (“комфортний“ рух). На рис. 1 показанi результати мо-
делювання, коли керування рухом забезпечується на основi заданих
програм руху А, Б й В вiдповiдно. Для моделi В в законi програмного
руху вiльної поверхнi рiдини �1(x1, x2) ⌘ x1 +A tanh(µx2) = 0 обранi
значення параметрiв A = 0, 1R,µ = 2. Прямокутником на основному
графiку вiдмiчений iнтервал часу вiд 120 до 200 секунд i окремо пока-
заний у збiльшеному масштабi. Як видно iз графiкiв, “комфортний“
рух резервуару може бути забезпечений при використаннi будь-якого
керування (програма А, Б та В), однак найменша похибка виконання
програмного руху досягається у випадку нелiнiйного керування (про-
грама В). Нелiнiйнiсть керування обумовлена нелiнiйнiстю програми
руху вiльної поверхнi рiдини. При цьому нелiнiйний закон керування
забезпечує як рiвномiрний рух резервуару з заданою швидкiстю, так
i обмеження на амплiтуду коливань вiльної поверхнi рiдини. Лiнiйнi
керування, побудованi на основi програм А i Б, дають бiльшу похиб-
ку, нiж у випадку В, при цьому величина цiєї похибки тим вища, чим
44 Константiнов О. В., Новицький В. В.
бiльшу кiлькiсть програм руху треба задовольнити.
Рис 2. Графiк швидкостi резервуару для випадку високоiнтенсивних на-
вантажень.
Розглянемо тепер випадок руху резервуару за наявностi високо-
iнтенсивних навантажень, коли необхiдно за допомогою керування
забезпечити набiр швидкостi вiд 0 до 2 м/с за 1 сек, а потiм рiвномiр-
ний рух iз досягнутою швидкiстю 2 м/с. Як показують обчислювальнi
експерименти, лiнiйне керування, побудоване на основi програм ру-
ху А й Б, взагалi непридатне для реалiзацiї програмного закону при
високоiнтенсивних навантаженнях на резервуар. Тому на рис. 2 пока-
заний результат моделювання, коли керування рухом забезпечується
на основi нелiнiйної моделi В. Для програмного руху вiльної поверхнi
рiдини �1(x1, x2) ⌘ x1 + A tanh(µx2) = 0 обранi значення параметрiв
A = 0, 3R,µ = 1. Як видно зi графiкiв, отримане керування дозволяє
забезпечити рух резервуару за заданим законом iз похибкою, прийня-
тною для практичних застосувань ( 1%).
Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi . . . 45
Висновки
Розглянуто задачу побудови керування для забезпечення руху за за-
даним законом механiчної системи “резервуар – рiдина з вiльною по-
верхнею“ за наявностi постiйних збурень – коливань вiльної поверхнi
рiдини. Для побудови керування використовувався принцип наймен-
шого примусу Гаусса, який дозволяє мiнiмiзувати керуюче наванта-
ження i реалiзувати заданi закони програмного руху. Обчислення ке-
рування проводилося на основi спрощеної лiнiйної моделi зi двома
ступенями вiльностi, що дозволило отримати функцiю керування в
аналiтичному виглядi для рiзних програмних законiв (серед того, й
нелiнiйних) руху резервуару i вiльної поверхнi рiдини. Дослiджен-
ня динамiки системи “резервуар – рiдина з вiльною поверхнею“ пiд
дiєю обчисленого керування проводилося на основi нелiнiйної бага-
томодової (до 12 форм коливань) дискретної моделi, яка побудована
на основi варiацiйного принципу Гамiльтона-Остроградського. Керу-
вання, побудоване на основi лiнiйної моделi для реалiзацiї лiнiйних
програмних законiв руху, може бути використане тiльки для забезпе-
чення “комфортних“ рухiв резервуару, тобто за вiдсутностi великих
збурень вiльної поверхнi рiдини. Для забезпечення руху резервуа-
ру за наявностi високоiнтенсивних навантажень необхiдне введення
нелiнiйних програмних законiв руху для отримання i використання
нелiнiйного закону керування.
[1] Галиуллин А.С. Построение систем программного движения. � М.:
Наука, 1971. � 352 с.
[2] Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Ли-
нейные модели. � М.: Наука, 1987. � 304 с.
[3] Лимарченко О.С., Ясинский В.В. Нелинейная динамика конструкций
с жидкостью. � Киев: НТТУ КПИ, 1997. � 338 с.
[4] Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с по-
лостями, содержащими жидкость. � К.: Наукова думка, 1990. � 295 с.
[5] Луковский И.А. Математические модели нелинейной динамики твёр-
дых тел с жидкостью. � К.: Наукова думка, 2010. � 408 с.
[6] Lukovsky I.A. Nonlinear Dynamics. Mathematical Models for Rigid Bod-
ies with a Liquid. –– De Gruyter, 2015. –– 410 p.
[7] Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических
аппаратов. � М.: Машиностроение, 1978. � 247 с.
46 Константiнов О. В., Новицький В. В.
[8] Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная ди-
намика летательного аппарата с жидкостью. � М.: Машинострое-
ние, 1977. � 208 с.
[9] Суслов Г.Л. Теоретическая механика. � М.: ГИТТЛ, 1946. � 654 с.
[10] Bruyninckx H., Khatib O. Gauss’ principle and the dynamics of redun-
dant and constrained manipulators // Proceedings 2000 ICRA. Millen-
nium Conference. IEEE International Conference on Robotics and Au-
tomation. Symposia Proceedings. . –– 2010. –– P. 2563–2568.
[11] Lewis A. The geometry of the Gibbs-Appell equations and Gauss’ princi-
ple of least constraint // Reports on Mathematical Physics. . –– 1996. ––
Vol. 38, no. 1. –– P. 11–28.
[12] Lilov L., Lorer M. Dynamic Analysis of Multirigid-Body System Based on
the Gauss Principle // Journal of Applied Mathematics and Mechanics.
. –– 1982. –– Vol. 62, no. 10. –– P. 539–545.
[13] Redon S., Kheddar A., Coquillart S. Gauss’ least constraints principle and
rigid body simulations // Proceedings 2000 ICRA. Millennium Conference.
IEEE International Conference on Robotics and Automation. Symposia
Proceedings. . –– 2002. –– P. 517–522.
[14] Udwadia F., Kalaba R. A New Perspective on Constrained Motion //
Proceedings: Mathematical and Physical Sciences. . –– 1992. –– Vol. 439,
no. 1906. –– P. 407–410.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-425 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:10Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/99/42cfb1636136318be84b111fccdcd299.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4252020-08-10T19:26:12Z Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi принципу найменшого примусу Гаусса Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi принципу найменшого примусу Гаусса Konstantinov, O.V. Novitskiy, V.V. Константинов, А.В. Новицкий, В.В. Константінов, О.В. Новицький, В.В. We analytically construct an optimal control (here, acting external force), which ensures a reservoir with a liquid to move according with a given law. For this purpose, Gauss’ variational principle of the least constraint was employed that makes it possible to minimise the energy providing the programming motion of the mechanical system. The proposed approach was applied to solve the racing problem for the originally unmoving tank, which should reach the given translatory velocity at the end. В аналiтичному виглядi побудовано програмне керування (закон змiни активної зовнiшньої сили) для забезпечення руху резервуару за зада- ним законом. Для цього використано варiацiйний принцип найменшого примусу Гаусса, який дозволяє мiнiмiзувати енергетичнi витрати на забезпечення програмного руху механiчної системи. Запропонований пiдхiд застосовано для розв’язування задачi про розгiн нерухомого резервуару до заданої швидкостi та подальшого його рiвномiрного руху. В аналiтичному виглядi побудовано програмне керування (закон змiни активної зовнiшньої сили) для забезпечення руху резервуару за заданим законом. Для цього використано варiацiйний принцип найменшо- го примусу Гаусса, який дозволяє мiнiмiзувати енергетичнi витрати на забезпечення програмного руху механiчної системи. Запропонований пiдхiд застосовано для розв’язування задачi про розгiн нерухомого ре- зервуару до заданої швидкостi та подальшого його рiвномiрного руху. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/425 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 33-46 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 33-46 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 33-46 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/425/424 Авторське право (c) 2020 О.В. Константінов, В.В. Новицький http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Konstantinov, O.V. Novitskiy, V.V. Константинов, А.В. Новицкий, В.В. Константінов, О.В. Новицький, В.В. Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint |
| title | Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint |
| title_alt | Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi принципу найменшого примусу Гаусса Програмне керування рухом резервуару з рiдиною на основi принципу найменшого примусу Гаусса |
| title_full | Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint |
| title_fullStr | Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint |
| title_full_unstemmed | Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint |
| title_short | Program control of a reservoir with liquid by using the Gauss principle of the least constraint |
| title_sort | program control of a reservoir with liquid by using the gauss principle of the least constraint |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/425 |
| work_keys_str_mv | AT konstantinovov programcontrolofareservoirwithliquidbyusingthegaussprincipleoftheleastconstraint AT novitskiyvv programcontrolofareservoirwithliquidbyusingthegaussprincipleoftheleastconstraint AT konstantinovav programcontrolofareservoirwithliquidbyusingthegaussprincipleoftheleastconstraint AT novickijvv programcontrolofareservoirwithliquidbyusingthegaussprincipleoftheleastconstraint AT konstantínovov programcontrolofareservoirwithliquidbyusingthegaussprincipleoftheleastconstraint AT novicʹkijvv programcontrolofareservoirwithliquidbyusingthegaussprincipleoftheleastconstraint AT konstantinovov programnekeruvannâruhomrezervuaruzridinoûnaosnoviprincipunajmenšogoprimusugaussa AT novitskiyvv programnekeruvannâruhomrezervuaruzridinoûnaosnoviprincipunajmenšogoprimusugaussa AT konstantinovav programnekeruvannâruhomrezervuaruzridinoûnaosnoviprincipunajmenšogoprimusugaussa AT novickijvv programnekeruvannâruhomrezervuaruzridinoûnaosnoviprincipunajmenšogoprimusugaussa AT konstantínovov programnekeruvannâruhomrezervuaruzridinoûnaosnoviprincipunajmenšogoprimusugaussa AT novicʹkijvv programnekeruvannâruhomrezervuaruzridinoûnaosnoviprincipunajmenšogoprimusugaussa |