Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems
The existence criteria of static and dynamic regulators that provide the desired estimation of the weighted damping level of external and initial disturbances and the asymptotic stability of linear descriptor systems are established. The algorithms of constructing such regulators in the robust st...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/426 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552929888567296 |
|---|---|
| author | Mazko, A.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О. |
| author_facet | Mazko, A.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О.Г. Мазко",
"institution": "Institute of Mathematics"
},
{
"author": "Т.О. Котов",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Mazko, A.G. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:12Z |
| description |
The existence criteria of static and dynamic regulators that provide the desired estimation of the weighted damping level of external and initial disturbances and the asymptotic stability of linear descriptor systems are established. The algorithms of constructing such regulators in the robust stabilization and H1-optimization problems of the controlled descriptor systems are proposed. The main computational procedures of algorithms reduce to solving the linear matrix inequalities with additional rank re- strictions. An illustrative example of a non-impulsive descriptor control system with bounded disturbances is given.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 65–87
УДК 517.935;681.5
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених
збурень у дескрипторних системах
керування ⇤
О.Г. Мазко, Т.О. Котов
Iнститут математики НАН України, Київ;
mazkoag@gmail.com, taras.kotov@gmail.com
The existence criteria of static and dynamic regulators that provide the
desired estimation of the weighted damping level of external and initial
disturbances and the asymptotic stability of linear descriptor systems are
established. The algorithms of constructing such regulators in the robust
stabilization and H1-optimization problems of the controlled descriptor
systems are proposed. The main computational procedures of algorithms
reduce to solving the linear matrix inequalities with additional rank re-
strictions. An illustrative example of a non-impulsive descriptor control
system with bounded disturbances is given.
Встановлено критерiї iснування статичних i динамiчних регуляторiв,
що забезпечують бажану оцiнку зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i
початкових збурень та асимптотичну стiйкiсть лiнiйних дескриптор-
них систем. Запропоновано алгоритми побудови таких регуляторiв у
задачах робастної стабiлiзацiї й H1-оптимiзацiї керованих дескриптор-
них систем. Основнi обчислювальнi процедури алгоритмiв зводяться до
розв’язування лiнiйних матричних нерiвностей при додаткових ран-
гових обмеженнях. Наведено iлюстративний приклад неiмпульсивної
дескрипторної системи стабiлiзацiї при наявностi обмежених збурень.
1 Вступ
Динамiка багатьох фiзичних об’єктiв описується у виглядi дескри-
пторних (диференцiально-алгебраїчних) систем рiвнянь, нерозв’яза-
них стосовно старших похiдних. Такi системи часто виникають при
⇤Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077.
c� Мазко О. Г., Котов Т. О., 2018
66 Мазко О. Г., Котов Т.О.
дослiдженнi динамiки складних керованих об’єктiв механiки, еле-
ктротехнiки, економiки тощо (див., наприклад, [1–5]).
Сучаснi напрямки дослiджень лiнiйних i нелiнiйних (серед то-
го дескрипторних) систем керування складають методи теорiї H1-
оптимiзацiї, якi забезпечують робастну стiйкiсть станiв рiвноваги й
мiнiмiзують негативний вплив зовнiшнiх збурень на динамiку керо-
ваних об’єктiв (див., наприклад, [6–11]). Типовим критерiєм якостi у
задачах H1-оптимiзацiї неперервних i дискретних систем керування
з нульовим початковим станом є рiвень гасiння зовнiшнiх збурень,
якому вiдповiдає максимальне значення вiдношення L2-норм векто-
рiв керованого виходу об’єкта i збурень. У [12–16] застосовувалися
загальнiшi критерiї якостi, якi характеризують зважений рiвень гасi-
ння як зовнiшнiх, так i початкових збурень, що обумовленi невiдоми-
ми ненульовими значеннями початкового вектора. Введення вагових
коефiцiєнтiв в узагальнених критерiях якостi дає можливiсть встано-
вити прiоритети мiж компонентами виходу, зовнiшнiх i початкових
збурень [16–18]. Вiдомi методи синтезу H1-керування базуються на
використаннi верхнiх оцiнок для вiдповiдних критерiїв якостi, вста-
новлених у термiнах матричних рiвнянь i нерiвностей (твердження
на взiрець “Bounded Real Lemmas” [10, 19, 20]). Для класу лiнiйних
дескрипторних систем аналогiчнi умови встановлено у [21–24].
Варто зазначити, що практичне застосування багатьох методiв
синтезу неперервних та дискретних систем керування базується на
розв’язуваннi лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН). Для цього ство-
ренi достатньо ефективнi засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи
Matlab [25].
Дана робота присвячена задачам синтезу стабiлiзуючих статичних
i динамiчних регуляторiв для лiнiйних дескрипторних систем, якi за-
безпечують бажаний рiвень впливу зовнiшнiх i початкових збурень
на якiсть перехiдних процесiв. Розглядаються зваженi критерiї якостi
таких систем щодо вектора виходу i проводиться їхня оцiнка методом
квадратичних функцiй Ляпунова. Отриманi умови виконання зада-
них верхнiх оцiнок для даних критерiїв якостi подаються у виглядi
ЛМН при додаткових рангових обмеженнях, якi застосовуються в
запропонованих алгоритмах обчислення матричних коефiцiєнтiв.
Використовуватимемо такi позначення: In � одинична матриця
порядку n; 0n⇥m � нульова n⇥m-матриця; X = X> > 0 (� 0) � симе-
трична додатно (невiд’ємно) визначена матриця X; i(X) = {i+, i�, i0}
� iнерцiя симетричної матрицi X, яку утворюють кiлькостi її дода-
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 67
тних, вiд’ємних i нульових власних значень, враховуючи кратностi;
�(·) � спектр матрицi (пучка матриць); WA � матриця, стовпцi якої
утворюють базис ядра KerA матрицi A; kxk � евклiдова норма векто-
ра x; kwkP =
⇣ 1R
0
w>Pw dt
⌘ 1
2
� зважена L2-норма векторної функцiї
w(t); C� � вiдкрита напiвплощина Re� < 0 (� 2 C).
2 Зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових
збурень
Розглянемо дескрипторну систему зi збуреннями
Eẋ = Ax+Bw, z = Cx+Dw, x(0) = x0, (1)
де x 2 Rn
, w 2 Rs
i z 2 Rl
� вiдповiдно вектори стану, зовнiшнiх
збурень i виходу, E, A, B, C i D � сталi матрицi вiдповiдних роз-
мiрiв, а пучок матриць F (�) = A � �E регулярний i стiйкий, тобто
detF (�) 6⌘ 0 (� 2 C) i �(F ) ⇢ C� = {� : Re� < 0}. У випадку
⇢ = rankE < n дану систему можна подати у виглядi
ẋ1 = A1x1 +B1w, Nẋ2 = x2 +B2w, z = C1x1 + C2x2 +Dw, (2)
де x1 2 Rr
, x2 2 Rn�r
,
x = R
x1
x2
�
, x0 = R
x01
x02
�
, LB =
B1
B2
�
, CR =
⇥
C1, C2
⇤
,
L i R � невиродженi матрицi перетворення пучка F (�) до канонiчної
форми Веєрштрасса [26]
LF (�)R =
A1 � �Ir 0
0 In�r � �N
�
. (3)
Власнi значення матрицi A1 в (2) утворюють спектр пучка �(F ), а N
� деяка нiльпотентна матриця iндексу ⌫ (N⌫ = 0). При цьому пучок
F (�) (або вiдповiдна система (1)) має r скiнченних динамiчних мод,
n� ⇢ нединамiчних мод i ⇢� r iмпульсивних мод [3].
Регулярний пучок матриць F (�) при вiдсутностi iмпульсивних
мод (⇢ = r) називатимемо неiмпульсивним. У цьому випадку у (2)
N = 0 i ⌫ = 1. Пучок матриць F (�) називається допустимим, якщо
вiн регулярний, стiйкий i неiмпульсивний.
68 Мазко О. Г., Котов Т.О.
Iз (3) випливають такi вирази
E = L�1
Ir 0
0 N
�
R�1, A = L�1
A1 0
0 In�r
�
R�1. (4)
Враховуючи (4), позначимо матрицi
Z = � 1
2⇡i
I
!
F�1(�) d� = R
Ir 0
0 0
�
L, (5)
E1 =
⇢
E, ⌫ 1,
EZE, ⌫ > 1,
E2 =
⇢
E, ⌫ 2,
EZE, ⌫ > 2,
(6)
де ! � замкнутий контур, що охоплює спектр �(F ), i ⌫ = 0, якщо
⇢ = n. Матриця Z є єдиним розв’язком максимального рангу r алге-
браїчної системи [16]
AZE = EZA, Z = ZEZ. (7)
Iз (4) i (5) випливає, що критерiєм неiмпульсивностi пучка F (�) є
рiвнiсть EZE = E.
Якщо пучок матриць F (�) = A � �E неiмпульсивний, то у (2)
x2 = �B2w i для кожної кусково-неперервної вектор-функцiї w(t)
система (1) має єдиний неперервний розв’язок. Якщо
rank
⇥
E2, B
⇤
= rankE2, (8)
тобто NB2 = 0, i x є розв’язком системи (1), то в (2) Nx2 = 0 i
x2 = �B2w.
Нехай невiдомий вектор збурень w(t) обмежений за зваженою L2-
нормою kwkP . Введемо критерiй якостi системи (1) у виглядi
J = sup
(w,x0)2W
kzkQq
kwk2
P
+ x>
0 X0x0
, (9)
де W � множина пар (w, x0), для яких дана система має розв’язок
i виконується нерiвнiсть 0 < kwk2
P
+ x>
0 X0x0 < 1, а P = P> > 0,
Q = Q> > 0 i X0 = X>
0 � 0 � деякi ваговi матрицi. Значення J ха-
рактеризує зважений рiвень впливу зовнiшнiх i початкових збурень
на вихiд системи (1). Для даного критерiю якостi використовуємо
позначення J0 або J1, якщо вiдповiдно x>
0 X0x0 = 0 або w ⌘ 0. Оче-
видно, що J0 J i J1 J , причому J1 є характеристикою першої
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 69
пiдсистеми у (2), оскiльки при вiдсутностi зовнiшнiх збурень x2 ⌘ 0.
Початковий i збурювальний вектори, при яких досягається супремум
у (9), є найгiршими стосовно критерiю якостi J .
Якщо вагова матриця X0 в (9) подана у виглядi
X0 = E>HE, H = L>
H1 H2
H>
2 H3
�
L (10)
або
X0 = E>
1 HE1 = R�1>
H1 0
0 0
�
R�1, (11)
де H = H> > 0 � задана матриця, то x>
0 X0x0 = x>
01H1x01 i значення
J не залежить вiд x02. У випадку ⌫ 1 матрицi (10) i (11) збiгаються.
Лема 2.1. Якщо для деякої матрицi X = X>
виконується система
ЛМН
A>XE + E>XA+ C>QC 0, (12)
0 E>XE �2X0, (13)
то J1 �. Навпаки, якщо J1 � i виконуються умови (11) i
rank
E2
C
�
= rankE2, (14)
то лiнiйне матричне рiвняння
A>XE + E>XA+ C>QC = 0 (15)
має розв’язок X = X>
, що задовольняє спiввiдношення (13).
Лема 2.2. Нехай вагова матриця X0 задана у виглядi (11). Тодi
виконується строга оцiнка J1 < �, якщо сумiсна щодо X = X>
система спiввiдношень (12), (13) i
rankY = r, Y = E>XE � �2X0. (16)
Навпаки, якщо J1 < � i виконується умова (14), то матричне рiв-
няння (15) має розв’язок X = X>
, що задовольняє спiввiдношення
(13) i (16).
70 Мазко О. Г., Котов Т.О.
Зауваження 2.1. Якщо в лемах 2.1 i 2.2 замiсть (14) використати
умову
rank
E1
C
�
= rankE1, (17)
яка еквiвалентна рiвностi C2 = 0, то матрицю X у вiдповiдних твер-
дженнях можна побудувати у виглядi
X = Z> eXZ = L>
X1 0
0 0
�
L, (18)
де eX i X1 � невiдомi матрицi. Зокрема, за умов (11) i (17) оцiнка
J1 < � виконується тодi i лише тодi, коли iснує матриця (18), що
задовольняє спiввiдношення (13), (15) i (16).
Для виконання строгої оцiнки J1 < � критерiю якостi J1 iз ваго-
вими матрицями (10) або (11) достатньо, щоб була сумiсною система
ЛМН (12) i
E>XE � 0, X < �2H.
Зауваження 2.2. Якщо система (1) спостережувана, тобто
rank
A� �E
C
�
⌘ n, � 2 �(F ),
то в лемах 2.1 i 2.2 розв’язок матричного рiвняння (15) задовольняє
умови
E>XE � 0, rank (E>XE) = r, i+(X) � r.
При цьому �(F ) ⇢ C�, тобто система (1) асимптотично стiйка.
Лема 2.3. Якщо для деякої матрицi X = X>
виконується система
ЛМН (13) i
�(X) =
A>XE + E>XA+ C>QC E>XB + C>QD
B>XE +D>QC D>QD � �2P
�
0, (19)
то J �. Навпаки, якщо J � i виконуються умови (11), а також
(17) або (8), (14) i
rank
E1
D>QC
�
= rankE1, (20)
то система ЛМН (13) i (19) сумiсна.
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 71
Лема 2.4. Нехай вагова матриця X0 задана у виглядi (11). Тодi,
якщо пучок матриць F (�) неiмпульсивний, то строга оцiнка J < �
є наслiдком системи спiввiдношень (13), (19) i
rank�(X) = r + s, rank (E>XE � �2X0) = r. (21)
Навпаки, якщо J < � i виконуються умови (17) або (8), (14) i (20),
то iснує матриця X = X>
, що задовольняє систему спiввiдношень
(13), (19) i (21).
Зауваження 2.3. Якщо у лемах 2.3 i 2.4 використати умову (17), то
матрицю X у вiдповiдних твердженнях можна побудувати у виглядi
(18). Зокрема, за умов (11) i (17) строга оцiнка J < � виконується тодi
i лише тодi, коли iснує матриця (18), що задовольняє спiввiдношення
(13), (19) i (21). Друге спiввiдношення у (21) завжди виконується,
якщо X < �2H. Якщо використати критерiй якостi (9) iз довiльною
ваговою матрицею X0 = X>
0 > 0, то для виконання оцiнки J < � у
випадку неiмпульсивного пучка матриць F (�) достатньо сумiсностi
системи спiввiдношень (19) i
rank�(X) = ⇢+ s, 0 E>XE < �2X0.
Наслiдок 2.1. Якщо пучок матриць F (�) неiмпульсивний i
rank
E
C
�
= ⇢, (22)
то J0 < � тодi i лише тодi, коли сумiсна система спiввiдношень
�(X) 0, rank�(X) = ⇢+ s, E>XE � 0. (23)
Зауваження 2.4. Якщо S = �2P � D>QD > 0, то ЛМН (19) еквi-
валентна матричнiй нерiвностi типу Рiккатi
A>
0 XE + E>XA0 + E>XBS�1B>XE +Q0 0, (24)
де A0 = A+BS�1D>QC i Q0 = C>(Q+QDS�1D>Q)C.
Зауваження 2.5. Числа r i ⌫ для пучка матриць F (�) можна
визначити як
r = rank�⌫
↵
, ⌫ = min
�
k 2 N : rank�k
↵
= rank�k+1
↵
,
72 Мазко О. Г., Котов Т.О.
де �↵ = F�1(↵)E, ↵ 62 �(F ) i N = {0, 1, 2, . . . }. Неважко встановити,
що всi твердження лем 2.1 – 2.4 не порушуються, якщо в умовах (8),
(14), (17) i (20) замiсть E1 i E2 використати вiдповiднi матрицi
E1 =
⇢
E, ⌫ 1,
E�⌫�1
↵
, ⌫ > 1,
E2 =
⇢
E, ⌫ 2,
E�⌫�2
↵
, ⌫ > 2.
Наведемо необхiднi й достатнi умови виконання верхнiх оцiнок
для критерiїв якостi J0 i J класу систем (1) з допустимим матричним
пучком F (�), використовуючи несиметричнi розв’язки матричних не-
рiвностей. Вiдомо, що пучок матриць F (�) допустимий тодi i лише
тодi, коли для деякої матрицi X виконується система ЛМН [23]
A>X +X>A < 0, E>X = X>E � 0.
Останнє спiввiдношення можна подати у виглядi ЛМН для двох ма-
триць X i S = S> � 0:
S S � E>X
S �X>E 0
�
� 0. (25)
Тут S = E>X = X>E, оскiльки усi елементи стрiчок i стовпцiв не-
вiд’ємно визначеної матрицi, якi вiдповiдають нульовим дiагональ-
ним елементам, також повиннi бути нульовими.
Лема 2.5. Якщо iснують матрицi X i S = S> � 0, що задовольня-
ють систему ЛМН (25) i
(X) =
A>X +X>A+ C>QC X>B + C>QD
B>X +D>QC D>QD � �2P
�
< 0, (26)
то пучок матриць F (�) допустимий i J0 < �. Зворотне твердже-
ння виконується за умови
rank
E
D>QC
�
= ⇢. (27)
Лема 2.6. Нехай вагова матриця X0 задана у виглядi (10). Якщо
сумiсна система спiввiдношень (25), (26) i
S �2X0, rank (S � �2X0) = ⇢, (28)
то пучок матриць F (�) допустимий i J < �. Зворотне твердження
виконується за умови (27).
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 73
Лема 2.7. Нехай вагова матриця X0 = X>
0 > 0. Якщо сумiсна
система спiввiдношень (25), (26) i
S < �2X0, (29)
то пучок матриць F (�) допустимий i J < �. Зворотне твердження
виконується за умов (27) i
X0 = E>Z>HZE + (In � E>Z>)H(In � ZE) > 0, (30)
де H = H> > 0 � деяка матриця.
Матрицi H i X0 в (30) мають таку структуру:
H =
H1 H2
H>
2 H3
�
, X0 = R�1>
H1 0
0 H3
�
R�1.
Доведення основних тверджень наведених лем i їхнiх наслiдкiв
викладено у [24]. Iз даних тверджень випливають також алгоритми
обчислення критерiїв якостi J0 i J системи (1) на основi розв’язува-
ння вiдповiдних оптимiзацiйних задач. Зокрема, при виконаннi необ-
хiдних i достатнiх умов лем 2.3 i 2.6 вiдповiдно маємо:
J = inf
�
� : �(X) 0, 0 E>XE �2X0
,
J = inf
�
� : (X) < 0, 0 E>X = X>E �2X0
.
(31)
Зауваження 2.6. При виконаннi умов, що забезпечують строгi оцiн-
ки J0 < � i J < � у лемах 2.4–2.7, нульовий стан системи (22) зi
структурованою невизначенiстю вектора збурень
w =
1
�
⇥z, ⇥>P⇥ Q (32)
робастно стiйкий. Це твердження доводиться за допомогою узагаль-
неної леми про матричну невизначенiсть [27, лема 2]. Так, за умов
леми 2.4 (2.5) квадратична форма v(x) = x>E>XEx (v(x) = x>Sx)
є спiльною функцiєю Ляпунова сiм’ї систем (22), (32).
3 Дескрипторна система з керованими i спостере-
жуваними виходами
Розглянемо систему керування
Eẋ = Ax+B1w +B2u, x(0) = x0,
z = C1x+D11w +D12u,
y = C2x+D21w +D22u,
(33)
74 Мазко О. Г., Котов Т.О.
де x 2 Rn
, u 2 Rm
, w 2 Rs
, z 2 Rk
i y 2 Rl
� вектори вiдповiдно
стану, керування, зовнiшнiх збурень, керованого i спостережувано-
го виходiв, а всi матричнi коефiцiєнти вiдповiдних розмiрiв сталi й
rankE = ⇢ n. Керування системою шукаємо у виглядi статично-
го або динамiчного зворотного зв’язку за спостережуваним виходом,
а якiсть вiдповiдної замкненої системи оцiнюємо за допомогою зва-
жених критерiїв J0 i J типу (9) стосовно керованого виходу. Основнi
твердження сформулюємо для критерiю якостi J , вагова матриця X0
якого подається у виглядi (10). Розглянемо також випадок довiльної
додатно визначеної матрицi X0.
Статичнi й динамiчнi регулятори, якi мiнiмiзують критерiй яко-
стi J , називатимемо J-оптимальними. J0-оптимальне керування у
випадку одиничних вагових матриць P i Q є H1-оптимальним.
3.1 Статичний регулятор
u = Ky, det(Im �KD22) 6= 0, (34)
де K � шукана матриця коефiцiєнтiв пiдсилення. Замкнена система
має вигляд
Eẋ = A⇤x+B⇤w, z = C⇤x+D⇤w, (35)
де A⇤ = A + B2K⇤C2, B⇤ = B1 + B2K⇤D21, C⇤ = C1 + D12K⇤C2,
D⇤ = D11 +D12K⇤D21, K⇤ = (Im �KD22)�1K.
Теорема 3.1. Нехай для деяких матриць X, Y i S = ST � 0 вико-
нується система спiввiдношень (25), (28) i
WT
R
ATX +XTA+ CT
1 QC1 XTB1 + CT
1 QD11
BT
1 X +DT
11QC1 DT
11QD11 � �2P
�
WR < 0, (36)
WT
L
AY + Y TAT +B1P�1BT
1 Y TCT
1 +B1P�1DT
11
C1Y +D11P�1BT
1 D11P�1DT
11��2Q�1
�
WL < 0, (37)
XY = �2In, (38)
де R =
⇥
C2, D21
⇤
, L =
⇥
BT
2 , D
T
12
⇤
i � > 0. Тодi iснує статичний регу-
лятор (34), при якому для критерiю якостi (9) замкненої системи
(35) виконується оцiнка J < �, а пучок матриць F⇤(�) = A⇤ � �E є
допустимим. Навпаки, якщо для деякої матрицi K регулятора (34)
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 75
замкнена система (35) має критерiй якостi J < �, пучок матриць
F⇤(�) допустимий i виконується рiвнiсть
rank
E
D>
⇤ QC⇤
�
= ⇢, (39)
то система спiввiдношень (25), (28), (36)–(38) сумiсна.
Доведення. Враховуючи лему Шура, перепишемо матричну нерiв-
нiсть (26) у лемi 2.6 для замкненої системи (35) у виглядi ЛМН сто-
совно K⇤:
2
4
AT
⇤ X +X>A⇤ X>B⇤ C>
⇤
B>
⇤ X ��2P D>
⇤
C⇤ D⇤ �Q�1
3
5 = bL>K⇤ bR+ bR>K>
⇤
bL+⌦ < 0, (40)
де bR =
⇥
R, 0l⇥k
⇤
, R =
⇥
C2, D21
⇤
, bL =
⇥
L, 0m⇥s
⇤ eX, L =
⇥
B>
2 , D>
12
⇤
,
eX =
2
4
X 0 0
0 0 Ik
0 Is 0
3
5 , ⌦ =
2
4
A>X +X>A X>B1 C>
1
B>
1 X ��2P D>
11
C1 D11 �Q�1
3
5 .
Далi застосуємо вiдомий критерiй сумiсностi ЛМН (40) [10], пода-
ний у виглядi спiввiдношень
W>
bR⌦W bR < 0, W>
bL ⌦WbL < 0. (41)
Оскiльки
W bR =
WR 0
0 Ik
�
, WbL = eX�1
WL 0
0 Is
�
,
то данi спiввiдношення набувають вигляду (36) i (37), де Y = �2X�1
.
Якщо матрична нерiвнiсть (40) сумiсна, то завжди можна обрати
такий його розв’язок K⇤, щоб det(Im �KD22) 6= 0, де
K = K⇤(Il +D22K⇤)
�1. (42)
Отже спiввiдношення (25), (28) i (36) – (38) на основi леми 2.6
забезпечують iснування регулятора (34), при якому виконується за-
дана оцiнка J < � i пучок матриць F⇤(�) = A⇤ � �E є допустимим.
Зворотне твердження виконується за додатковою умовою (39).
Теорему доведено.
76 Мазко О. Г., Котов Т.О.
Наведемо наслiдки теореми 3.1 у таких двох випадках:
B2 = In, D12 = 0, D11P
�1D>
11 < �2Q�1; (43)
C2 = In, D21 = 0, D>
11QD11 < �2P. (44)
За умов (43) WL =
⇥
0k⇥n, Ik
⇤T
i матрична нерiвнiсть (37) у теоремi
3.1 не залежить вiд Y , а за умов (44) WR =
⇥
0s⇥n, Is
⇤T
i матрична
нерiвнiсть (36) не залежить вiд X. У цьому випадку, враховуючи
рiвнiсть (38), спiввiдношення (25) i (28) можна переписати у виглядi
G G� EY
G� Y >E> 0
�
� 0, (45)
0 G Y >X0Y, rank (G� Y >X0Y ) = ⇢, (46)
де G � деяка невiдома матриця. Якщо у системi (33) виконуються
умови (44), причому D22 = 0, то y = x i шуканий регулятор (34) є
статичним зворотним зв’язком за станом.
Наслiдок 3.1. Для системи (33) за умов (43) iснує статичний ре-
гулятор (34), що забезпечує оцiнку J0 < � (J < �), якщо для деяких
матриць X i S = S> � 0 виконується система спiввiдношень (25)
i (36)
�
(25), (28) i (36)
�
. При цьому пучок матриць F⇤(�) = A⇤ � �E
є допустимим.
Наслiдок 3.2. Для системи (33) за умов (44) iснує статичний ре-
гулятор (34), що забезпечує оцiнку J0 < � (J < �), якщо для деяких
матриць Y i G = G> � 0 виконується система спiввiдношень (37)
i (45)
�
(37), (45) i (46)
�
. При цьому пучок матриць F⇤(�) = A⇤ � �E
є допустимим.
Якщо у спiввiдношеннях (28) i (46) не враховувати рангових обме-
жень, то у вiдповiдних твердженнях наслiдкiв 3.1 i 3.1 повиннi вико-
нуватись нестрогi оцiнки J �.
Наведемо алгоритми побудови матриць статичного регулятора (34),
що забезпечує строгу оцiнку критерiю якостi J0 < � замкненої систе-
ми (35) за вiдповiдних обмежень (43) i (44).
Алгоритм 3.1.
1) Обчислення матрицi WR, де R =
⇥
C2, D21
⇤
.
2) Розв’язування системи ЛМН (25) i (36) щодо X i S = S> � 0.
3) Розв’язування ЛМН (40) щодо K⇤.
4) Обчислення матрицi регулятора K за формулою (42).
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 77
Алгоритм 3.2.
1) Обчислення матрицi WL, де L =
⇥
BT
2 , D
T
12
⇤
.
2) Розв’язування системи ЛМН (37) i (45) щодо Y i G = G> � 0.
3) Розв’язування ЛМН (40) щодо K⇤, де X = �2Y �1
.
4) Обчислення матрицi регулятора K за формулою (42).
Основною обчислювальною процедурою в наведених алгоритмах
є розв’язування системи ЛМН. Якщо систему ЛМН (25) i (36) у п. 2
алгоритму 3.1 доповнити умовою S �2X0, то регулятор (34), побу-
дований за даним алгоритмом, забезпечує замкненiй системi критерiй
якостi J �. Алгоритм 3.2 також забезпечить оцiнку J �, якщо
його п. 2 доповнити умовою G Y >X0Y (див. лему 2.7).
3.2 Динамiчний регулятор
⇠̇ = Z⇠ + V y, u = U⇠ +Ky, ⇠(0) = 0, (47)
де ⇠ 2 Rp
, p � порядок регулятора, матрицi Z, V , U i K пiдляга-
ють визначенню. Якщо матриця K задовольняє обмеження у (34), то
замкнена система має вигляд
bE ḃx = bA⇤bx+ bB⇤w, z = bC⇤bx+ bD⇤w, bx(0) = bx0, (48)
де
bx =
x
⇠
�
, bx0 =
x0
0
�
, bE =
E 0
0 Ip
�
,
bA⇤ =
A+B2K⇤C2 B2U⇤
V⇤C2 Z⇤
�
= bA+ bB2
bK⇤ bC2,
bB⇤ =
B1 +B2K⇤D21
V⇤D21
�
= bB1 + bB2
bK⇤ bD21,
bC⇤ =
⇥
C1 +D12K⇤C2, D12U⇤
⇤
= bC1 + bD12
bK⇤ bC2,
bD⇤ = D11 +D12K⇤D21 = bD11 + bD12
bK⇤ bD21,
bK⇤ =
K⇤ U⇤
V⇤ Z⇤
�
= (Im+p � bK bD22)
�1 bK,
bK =
K U
V Z
�
= (Im+p + bK⇤ bD22)
�1 bK⇤,
78 Мазко О. Г., Котов Т.О.
bA =
A 0n⇥p
0p⇥n 0p⇥p
�
, bB1 =
B1
0p⇥s
�
, bB2 =
B2 0n⇥p
0p⇥m Ip
�
,
bC1 =
⇥
C1, 0k⇥p
⇤
, bC2 =
C2 0l⇥p
0p⇥n Ip
�
, bD11 = D11,
bD12 =
⇥
D12, 0k⇥p
⇤
, bD21 =
D21
0p⇥s
�
, bD22 =
D22 0l⇥p
0p⇥m 0p⇥p
�
.
Тут невiдомими є блоки матрицi bK⇤
K⇤ = (Im �KD22)
�1K, U⇤ = (Im �KD22)
�1U,
V⇤ = V (Il �D22K)�1, Z⇤ = Z + V D22(Im �KD22)
�1U,
якi однозначно визначають шуканi матрицi динамiчного регулятора
(47):
K = (Im +K⇤D22)�1K⇤, U = (Im +K⇤D22)�1U⇤,
V = V⇤(Il +D22K⇤)�1, Z = Z⇤ � V⇤D22(Im +K⇤D22)�1U⇤.
(49)
Iз наведених формул для матричних коефiцiєнтiв у (48) випливає,
що система (33) з динамiчним регулятором (47) еквiвалентна анало-
гiчнiй системi зi статичним регулятором bu = bK⇤by:
bE ḃx = bAbx+ bB1w + bB2bu, bx(0) = bx0,
z = bC1bx+ bD11w + bD12bu,
by = bC2bx+ bD21w,
(50)
де
bx =
x
⇠
�
, by =
y �D22u
⇠
�
, bu =
u
⇠̇
�
.
Нехай bJ � критерiй якостi типу (9) для системи (50) iз початковим
вектором bx0 i ваговою матрицею
bX0 = bE> bH bE, bH =
H H>
1
H1 H2
�
> 0.
Оскiльки ⇠0 = 0, то його значення збiгається з J , причому X0 =
E>HE є першим дiагональним блоком матрицi bX0.
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 79
Отже, до розширеної системи (50) можна застосувати теорему 3.1
i методику її доведення (див. також доведення теореми 3.2 [17]). По-
значимо блочнi матрицi
bX =
X X3
X1 X2
�
, bY =
Y Y3
Y1 Y2
�
, (51)
i розглянемо умови теореми 3.1 для системи (50):
0 bE> bX = bX> bE = bS �2 bX0, rank (bS � �2 bX0) = ⇢+ p, (52)
W>
bR
"
bA> bX + bX> bA+ bC>
1 Q bC1
bX> bB1 + bC>
1 QD11
bB>
1
bX +D>
11Q bC1 D>
11QD11 � �2P
#
W bR < 0, (53)
W>
bL
"
bAbY + bY > bA> + bB1P�1 bB>
1
bY > bC>
1 + bB1P�1D>
11
bC1
bY +D11P�1 bB>
1 D11P�1D>
11 � �2Q�1
#
WbL < 0,
(54)
bX bY = �2In+p, (55)
де bR =
⇥ bC2, bD21
⇤
i bL =
⇥ bBT
2 , bDT
12
⇤
. Використовуючи блокову структу-
ру матричних коефiцiєнтiв системи (50) i вирази
W bR =
2
4
In 0 0
0 0 Ip
0 Is 0
3
5
WR
0p⇥ s1
�
=
2
4
In 0
0 0
0 Is
3
5WR, R =
⇥
C2, D21
⇤
,
WbL =
2
4
In 0 0
0 0 Ip
0 Ik 0
3
5
WL
0p⇥ k1
�
=
2
4
In 0
0 0
0 Ik
3
5WL, L =
⇥
BT
2 , D
T
12
⇤
,
де s1 = n+ s� rankR i k1 = n+ k� rankL, спiввiдношення (53) i (54)
зводяться до вiдповiдних матричних нерiвностей (36) i (37) стосовно
перших дiагональних блокiв X,Y 2 Rn⇥n
матриць bX i bY . При цьо-
му матрицi X i Y можна шукати невиродженими, а доповнювальнi
блоки X1, Y1 2 Rp⇥n
, X2, Y2 2 Rp⇥p
i X3, Y3 2 Rn⇥p
повиннi бути та-
кими, щоб виконувалися спiввiдношення (52) i (55). Причому, рангове
обмеження у (52) за умов (25) i (28) можна задовольнити шляхом ви-
бору доповнювальних блокiв H1 i H2 матрицi bH, якi не впливають
на значення критерiю якостi bJ . Для критерiю якостi bJ0 = J0 дане
обмеження не використовується.
80 Мазко О. Г., Котов Т.О.
Якщо вдається задовольнити всi наведенi умови (52) – (55), то
матрицю bK⇤ знаходимо як розв’язок ЛМН
2
64
bA>
⇤
bX + bX> bA⇤ bX> bB⇤ bC>
⇤
bB>
⇤
bX ��2P bD>
⇤
bC⇤ bD⇤ �Q�1
3
75 = bL>
⇤
bK⇤ bR⇤ + bR>
⇤
bK>
⇤
bL⇤ + b⌦ < 0,
(56)
де bR⇤ =
⇥ bR, 0(l+p)⇥k
⇤
, bL⇤ =
⇥ bL, 0(m+p)⇥s
⇤ eX,
eX =
2
4
bX 0 0
0 0 Ik
0 Is 0
3
5 , b⌦ =
2
64
bA> bX + bX> bA bX> bB1
bC>
1
bB>
1
bX ��2P bD>
11
bC1
bD11 �Q�1
3
75 .
Лема 3.1. Для заданих невироджених n⇥n-матриць X, Y i числа
� > 0 iснують матрицi X1, X2 = X>
2 > 0, X3, Y1, Y2 = Y >
2 > 0
i Y3, при яких блочнi матрицi bE, bX i bY , визначенi в (48) i (51),
задовольняють спiввiдношення
bE> bX = bX> bE � 0, bE bY = bY > bE> � 0, bX bY = �2In+p, (57)
тодi i лише тодi, коли
W = W> � 0, rankW = ⇢+ �, � = rank� p, (58)
де
W =
E>X �E>
�E EY
�
, � = �2In �XY.
Доведення. Необхiднiсть. Блочнi матрицi bX i bY у спiввiдношеннях
(57) повиннi бути невиродженими. Перепишемо данi спiввiдношення
у виглядi
E>X E>X3
X1 X2
�
=
X>E X>
1
X>
3 E X>
2
�
� 0,
EY EY3
Y1 Y2
�
=
Y >E> Y >
1
Y >
3 E> Y >
2
�
� 0,
XY +X3Y1 = �2In, XY3 +X3Y2 = 0,
X1Y +X2Y1 = 0, X1Y3 +X2Y2 = �2Ip.
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 81
Використовуючи розклад невiд’ємно визначеної матрицi
bE> bX = L>L � 0, маємо
⇥
X1, X2
⇤
= L>
2 L, rank
⇥
X1, X2
⇤
= p rankL2 = rankX2,
де L =
⇥
L1, L2
⇤
i X2 = L>
2 L2. Як наслiдок, X2 = X>
2 > 0 i rankY =
n, оскiльки (X � X3X
�1
2 X1)Y = �2In. Аналогiчно, Y2 = Y >
2 > 0 i
rankX = n.
Отже, всi дiагональнi блоки матриць bX i bY в (57) є невироджени-
ми. За формулою Фробенiуса для оберненої матрицi bY �1
маємо
X X3
X1 X2
�
= �2
H�1 �H�1Y3Y
�1
2
�Y �1
2 Y1H�1 Y �1
2 + Y �1
2 Y1H�1Y3Y
�1
2
�
,
де H = Y � Y3Y
�1
2 Y1. Далi застосуємо конгруентне перетворення
блочної матрицi (58):
In 0
��X�1> In
�
E>X �E>
�E EY
�
In ��X�1
0 In
�
=
E>X 0
0 ⌅
�
,
де E>X = X>E � 0 i ⌅ = E(Y � �2X�1) = Y >
1 Y �1
2 Y1 � 0. Звiдси
W = W> � 0. Крiм того, виконуються ранговi обмеження у (58),
оскiльки ⌅ = �EX�1�, � = �XY3Y
�1
2 Y1 i
rankE>X = ⇢, rankY1 p, rank� rankY1 = rank⌅ rank�.
Достатнiсть. Нехай виконуються спiввiдношення (58). Якщо � =
0, то у (57) можна, наприклад, взяти X1 = 0, X2 = �2Ip, X3 = 0,
Y1 = 0, Y2 = Ip i Y3 = 0.
Нехай � 6= 0. Вiзьмемо Y2 = Ip i Y >
1 =
⇥
V >, 0n⇥(p��)
⇤
2 Rn⇥p
,
де V 2 R�⇥n
� множник повного рангу � p у розкладi невiд’ємно
визначеної матрицi ⌅ = V >V . Тодi iснує така матриця U 2 Rn⇥�
, що
� = UV , оскiльки
rankV rank
V
�
�
= rank (V >V +�>�) = rank
⇥
(�EX�1 +�>)�
⇤
rank� = rank⌅ = rankV = �, rank
V
�
�
= rankV.
При цьому �EX�1UV = ⌅ = V >V i V T = �EX�1U .
82 Мазко О. Г., Котов Т.О.
Нехай тепер Y3 = �
⇥
X�1U, 0n⇥(p��)
⇤
, тодi Y3Y1 = Y � �2X�1
,
EY � EY3Y1 = �2EX�1 � 0 i за лемою Шура виконується друга
матрична нерiвнiсть у (57). Причому, перша матрична нерiвнiсть у
(57) є наслiдком другої.
Для того, щоб виконувалась матрична рiвнiсть у (57), блоки ма-
трицi bX можна взяти такими:
X1 = �Y1X, X2 = �2Ip + Y1XY3, X3 = �XY3. (59)
При цьому H = �2X�1
.
Лему доведено.
Зауваження 3.1. За умов (58) повинно бути � ⇢, оскiльки
W =
E> 0
0 E
�
X �In
�In Y
�
, rankW 2⇢.
Тому нерiвнiсть � p у (58) завжди виконується, якщо p � ⇢. У
випадку � = 0 умови (58) зводяться до спiввiдношень (25) i (38) у
теоремi 3.1.
Перепишемо матричну нерiвнiсть (58) у виглядi
W =
S �E>
�E G
�
� 0, (60)
де S = E>X i G = EY � розв’язки вiдповiдних ЛМН (25) i (45). Iз
леми 3.1 i наведених вище спiввiдношень випливає такий результат.
Теорема 3.2. Нехай для деяких матриць X, Y , S i G виконується
система ЛМН (25), (28), (36), (37), (45), (60) i умови
rankW = ⇢+ �, � = rank� p, (61)
де � = �2In �XY. Тодi iснує динамiчний регулятор (47), при якому
критерiй якостi (9) замкненої системи (48) J < �, а пучок матриць
bF⇤(�) = bA⇤ � � bE є допустимим. Навпаки, якщо для деякого регу-
лятора (47) замкнена система має критерiй якостi J < �, пучок
матриць bF⇤(�) допустимий i виконується рiвнiсть
rank
"
bE
bD>
⇤ Q bC⇤
#
= ⇢+ p, (62)
то система ЛМН (25), (28), (36), (37), (45) i (60) за умов (61) сумi-
сна.
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 83
Зауважимо, що ранговi обмеження (61) у теоремi 3.2 еквiвалентнi
умовам
rank
X �⇥E �In
�In Y
�
= n, rank⇥ p. (63)
Дiйсно, рiвнiсть в (63) означає, що � = �⇥EY , при цьому
T>WT =
EY 0
0 �
�
, T =
0 In
In ��Y �1
�
, detT 6= 0.
де � = E>(X � �2Y �1) = E>⇥E � 0, i rank� = � rank⇥ p.
За умов (61) невiдому матрицю ⇥ в (63) можна знайти у виглядi
⇥ = X3X
�1
2 X>
3 , причому X1 = X>
3 E, X2 = X>
2 > 0 i X3 є доповню-
вальними блоками матрицi bX у спiввiдношеннях (57).
На основi теореми 3.2 наведемо алгоритм синтезу динамiчного ре-
гулятора (47) для системи (33).
Алгоритм 3.3.
1) Обчислення матриць WL i WR, де L =
⇥
BT
2 , D
T
12
⇤
, R =
⇥
C2, D21
⇤
.
2) Знаходження матриць X, Y , S = S> � 0 i G = G> � 0, що
задовольняють систему ЛМН (25), (28), (36), (37), (45) i (60) за
умов (61).
3) Формування доповнювальних блокiв X1, X2 = X>
2 > 0 i X3 ма-
трицi bX у виглядi (59) (див. доведення леми 3.1).
4) Розв’язування ЛМН (56) стосовно bK⇤.
5) Обчислення матриць регулятора (47) за формулами (49).
Реалiзацiя даного алгоритму забезпечує оцiнку критерiю якостi
J < �, а також регулярнiсть, неiмпульсивнiсть i асимптотичну стiй-
кiсть замкненої системи (48). Якщо в п. 2 алгоритму замiсть ран-
гових обмежень (61) використати спiввiдношення (63), то при фор-
муваннi матриць X1, X2 i X3 в п. 3 можна покласти X1 = X>
3 E i
⇥ = X3X
�1
2 X>
3 . Тодi стовпцями матрицi X3 можуть бути ортонормо-
ванi власнi вектори матрицi ⇥, що вiдповiдають її q = rank⇥ нену-
льовим власним значенням ✓i > 0, при цьому X2 = diag{✓1, . . . , ✓q}�1
.
У випадку X0 > 0 замiсть рангової умови (28) доцiльно викори-
стати ЛМН (29) (див. лему 2.7). Якщо у п. 2 � = 0 (або ⇥ = 0)
i замiсть (56) використати ЛМН (40) стосовно K⇤, то алгоритм 3.3
дає можливiсть побудувати статичний регулятор (34), що задоволь-
няє твердження теореми 3.1. Для досягнення оцiнки J0 < � можна
використати спрощений варiант алгоритму 3.3, у якому не викори-
стовуються спiввiдношення з ваговою матрицею X0.
84 Мазко О. Г., Котов Т.О.
4 Приклад
Розглянемо дескрипторну систему керування (33) з такими коефiцi-
єнтами (див. [28, Приклад 4.17]):
E =
2
664
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3
775 , A =
2
664
0 1 0 0
1 0 0 0
�1 0 0 1
0 1 1 1
3
775 ,
B1 =
2
664
1 0
0 0
0 1
0 1
3
775 , B2 =
2
664
0
0
0
�1
3
775 , C1 =
1 0 1 0
0 1 0 1
�
, C2 = I4,
D11 = 02⇥2, D12 =
1
0
�
, D21 = 04⇥2, D22 = 04⇥1.
У даному випадку ⇢ = 2 i виконуються умови (44) наслiдку 3.2.
Пучок матриць F (�) = A��E має спектр �(F ) =
�
�0, 5±0, 86603i
i є допустимим, оскiльки
EZE = E, Z =
2
664
1 0 1 �1
�1 �1 �1 1
0 1 0 0
1 0 1 �1
3
775 ,
де Z � отриманий єдиний розв’язок максимального рангу алгебраї-
чної системи (7), знайдений за допомогою системи Mathcad.
Нехай критерiї якостi J0 i J для даної системи визначають матрицi
P =
1 0
0 5
�
, Q =
3 0
0 1
�
, X0 = E>HE, H = I4.
Для системи без керування на основi леми 2.6 отримано такi значення
J0 = 2, 78413 i J = 2, 82383.
Застосовуючи алгоритм 3.2 при � = 2, отримано матрицi
Y =
2
664
15, 64226 �10, 58153 0 0
�21, 15212 �2, 78667 19, 12753 0, 79646
�10, 58153 9, 02720 0 0
19, 60824 2, 68715 �21, 45475 �4, 75586
3
775 ,
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 85
G =
2
664
15, 64226 �10, 58153 0 0
�10, 58153 9, 02720 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3
775 ,
якi задовольняють систему ЛМН (37) i (45), а також спiввiдношення
(46). При цьому статичний регулятор (34) з матрицею
K =
⇥
�0, 40598 0, 22073 �0, 11817 0, 02629
⇤
забезпечує замкненiй системi (35) критерiї якостi J0 = 1, 26684 i
J = 1, 67739. Вiдповiдний пучок матриць F⇤(�) має спектр
�(F⇤) =
�
� 0, 88525± 0, 80699i
i є допустимим.
Отримано також матрицю J0-оптимального регулятора
K =
⇥
�0, 91414 0, 25619 �0, 35685 0, 19649
⇤
,
при якому замкнена система є допустимою, має спектр
�(F⇤) =
�
� 1, 15462± 0, 70073i
та критерiї якостi J0 = 1, 10245 i
J = 1, 61076.
5 Висновок
Розроблено методи побудови статичних i динамiчних регуляторiв, що
забезпечують бажану оцiнку зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i по-
чаткових збурень i асимптотичну стiйкiсть лiнiйних дескрипторних
систем з керованими i спостережуваними виходами. Основнi твер-
дження сформульовано у виглядi узагальнення багатьох вiдомих ре-
зультатiв iз теорiї H1-керування. Запропонованi алгоритми синтезу
вказаного класу систем базуються на розв’язуваннi лiнiйних матри-
чних нерiвностей за додаткових рангових обмежень. Вони можуть
бути застосованi в задачах робастної стабiлiзацiї i H1-оптимiзацiї
керованих дескрипторних систем з невизначеними коефiцiєнтами.
[1] Dai L. Singular Control Systems. Lecture Notes in Control and Informati-
on Sciences. � New York: Springer-Verlag, 1989. � 340 p.
[2] Riaza R. Differential-Algebraic Systems. Analytical Aspects and Circuit
Applications. � Singapore: World Scientific, 2008. � 330 p.
[3] Bender D. J., Laub A. J. The Linear-Quadratic Optimal Regulator for
Descriptor Systems // IEEE Trans. Autom. Control. � 1987. �AC-32,
8. � P. 672 – 688.
86 Мазко О. Г., Котов Т.О.
[4] Самойленко A.M., Шкiль М. I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи дифе-
ренцiальних рiвнянь з виродженнями. � Київ: Вища школа, 2000. �
294 с.
[5] Boichuk A.A., Pokutnyi A.A., Chistyakov V. F. Application of perturbati-
on theory to the solvability analysis of differential algebraic equations //
Computational Mathematics and Mathematical Physics. � 2013. � 53,
6. � P. 777–788.
[6] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. �
М.: Наука, 2002. � 303 с.
[7] Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными
системами при внешних возмущениях. Техника линейных матричных
неравенств. � М.: Ленанд, 2014. � 560 с.
[8] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе
линейных матричных неравенств. � М.: Физматлит, 2007. � 280 с.
[9] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A
Convex Approach. � Berlin: Springer-Verlag, 2000. � 419 p.
[10] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to H1
Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. � 1994. � 4. �
P. 421 – 448.
[11] Inoue IM., Wada T., Ikeda M., Uezato E. State-space H1 controller design
for descriptor systems // Automatica. � 2015. � 59. � P. 164 – 170.
[12] Khargonekar P.P., Nagpal K.M., Poolla K.R. H1 control with transients
// SIAM J. Control and Optimization. � 1991. � 29, 6. � P. 1373–1393.
[13] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H1-оптимальное управ-
ление как компромисс между H1-оптимальным и �-оптимальным
управлениями // Автоматика и телемеханика. � 2010. � №6. � С.
20–38.
[14] Баландин Д.В., Коган М.М, Кривдина Л.Н., Федюков А.А. Синтез
обобщенного H1-оптимального управления в дискретном времени на
конечном и бесконечном интервалах // Автоматика и телемеханика.
� 2014. � №1. � С. 3–22.
[15] Бирюков Р.С. Обобщенный H1-оптимальный фильтр для непрерыв-
ного объекта по дискретным по времени наблюдениям // Информа-
тика и системы управления. � 2014. � №4 (42). � С. 89–101.
[16] Мазко А.Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических си-
стем. Методы матричных и конусных неравенств // Працi Iнституту
математики НАН України, 2016. � 102. � 332 с.
[17] Мазко О.Г., Кусiй С.М. Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх
збурень у системах з керованими i спостережуваними виходами // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. � 2016. � 13, 3. � С. 129–145.
Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних си . . . 87
[18] Мазко А.Г., Кусий С.Н. Стабилизация по выходу и взвешенное подав-
ление возмущений в дискретных системах управления // Проблемы
управления и информатики. � 2017. � № 6. � С. 78–93.
[19] Boyd S., Ghaoui L. El, Feron E., Balakrishman V. Linear matrix inequali-
ties in system and control theory. SIAM Studies in Applied Mathematics,
15. � Philadelphia: PA, 1994. � 193 p.
[20] Xu S., Lam J., Zou Y. New Versions of Bounded Real Lemmas for Conti-
nuous and Discrete Uncertain Systems // Circuits, Systems and Signal
Process. � 2007. � 26. � P. 829–838.
[21] Chadli M., Shi P., Feng Z., Lam J. New bounded real lemma formulation
and H1 control for continuous-time descriptor systems // Asian Journal
of Control. � 2018. � 20, 1. � P. 1–7.
[22] Gao F., Liu W.Q., Sreeram V., Teo K. L. Bounded real lemma for descri-
ptor systems and its application. IFAC 14th Triennial World Congress,
Beijing, P. R., China, 1999. � P. 1631–1636.
[23] Masubushi I., Kamitane Y., Ohara A., Suda N. H1 Control for Descriptor
Systems: A Matrix Inequalities Approach // Automatica. � 1997. � 33,
4. � P. 669 – 673.
[24] Мазко О.Г. Оцiнка зваженого рiвня гасiння обмежених збурень у де-
скрипторних системах // Укр. мат. журн. � 2018. � № 11. � С. 1541 –
1552.
[25] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control
Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. � Natick, MA: The
MathWorks, Inc., 1995. � 138 p.
[26] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. � М.: Наука, 1988. � 552 с.
[27] Мазко А.Г. Робастная устойчивость и оценка функционала качества
нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. �
2015. � № 2. � С. 73–88.
[28] Losse P. The H1 Optimal Control Problem for Descriptor Systems //
Dissertation Dr. Rer. Nat. Technische Universität Chemnitz (Germany). �
2011, 104 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-426 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:15Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/03/35bc1f20244e93ad786d12ca8f1ebb03.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4262020-08-10T19:26:12Z Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах керування Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах керування Mazko, A.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О. The existence criteria of static and dynamic regulators that provide the desired estimation of the weighted damping level of external and initial disturbances and the asymptotic stability of linear descriptor systems are established. The algorithms of constructing such regulators in the robust stabilization and H1-optimization problems of the controlled descriptor systems are proposed. The main computational procedures of algorithms reduce to solving the linear matrix inequalities with additional rank re- strictions. An illustrative example of a non-impulsive descriptor control system with bounded disturbances is given. Встановлено критерiї iснування статичних i динамiчних регуляторiв, що забезпечують бажану оцiнку зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i початкових збурень та асимптотичну стiйкiсть лiнiйних дескриптор- них систем. Запропоновано алгоритми побудови таких регуляторiв у задачах робастної стабiлiзацiї й H1-оптимiзацiї керованих дескрипторних систем. Основнi обчислювальнi процедури алгоритмiв зводяться до розв’язування лiнiйних матричних нерiвностей при додаткових рангових обмеженнях. Наведено iлюстративний приклад неiмпульсивної дескрипторної системи стабiлiзацiї при наявностi обмежених збурень. Встановлено критерiї iснування статичних i динамiчних регуляторiв, що забезпечують бажану оцiнку зваженого рiвня гасiння зовнiшнiх i початкових збурень та асимптотичну стiйкiсть лiнiйних дескриптор- них систем. Запропоновано алгоритми побудови таких регуляторiв у задачах робастної стабiлiзацiї й H1-оптимiзацiї керованих дескрипторних систем. Основнi обчислювальнi процедури алгоритмiв зводяться до розв’язування лiнiйних матричних нерiвностей при додаткових рангових обмеженнях. Наведено iлюстративний приклад неiмпульсивної дескрипторної системи стабiлiзацiї при наявностi обмежених збурень. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/426 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 65-87 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 65-87 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 65-87 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/426/425 Авторське право (c) 2020 О.Г. Мазко, Т.О. Котов http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Mazko, A.G. Kotov, T.O. Мазко, А.Г. Котов, Т.О. Мазко, О.Г. Котов, Т.О. Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| title | Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| title_alt | Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах керування Стабiлiзацiя i гасiння обмежених збурень у дескрипторних системах керування |
| title_full | Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| title_fullStr | Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| title_full_unstemmed | Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| title_short | Stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| title_sort | stabilisation and damping of perturbations in descriptor systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/426 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoag stabilisationanddampingofperturbationsindescriptorsystems AT kotovto stabilisationanddampingofperturbationsindescriptorsystems AT mazkoag stabilisationanddampingofperturbationsindescriptorsystems AT kotovto stabilisationanddampingofperturbationsindescriptorsystems AT mazkoog stabilisationanddampingofperturbationsindescriptorsystems AT kotovto stabilisationanddampingofperturbationsindescriptorsystems AT mazkoag stabilizaciâigasinnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT kotovto stabilizaciâigasinnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoag stabilizaciâigasinnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT kotovto stabilizaciâigasinnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT mazkoog stabilizaciâigasinnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ AT kotovto stabilizaciâigasinnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemahkeruvannâ |