Natural sloshing in coaxial conical tanks
Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної рiдини в резервуарах у виглядi зрiзаних коаксiальних конусiв. В яко- стi координатного базису виступають побудованi в спецiальнiй криволiнiйнiй системi координ...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/428 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552928614547456 |
|---|---|
| author | Солодун, О.В. Солодун, А.В. Solodun, O.V. |
| author_facet | Солодун, О.В. Солодун, А.В. Solodun, O.V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А.В. Солодун",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Солодун, О.В. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description |
Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної рiдини в резервуарах у виглядi зрiзаних коаксiальних конусiв. В яко- стi координатного базису виступають побудованi в спецiальнiй криволiнiйнiй системi координат гармонiчнi функцiї, якi точно задовольняють граничнi умови на твердих стiнках резервуара. Пораховано власнi частоти i форми коливань в розглядуванiй порожнинi в широкому дiапазонi геометричних параметрiв.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 180–205
УДК УДК 534-141:532.595
Собственные колебания жидкости в
усечённых соосных конических
баках
А.В. Солодун ⇤
Институт математики НАН Украины, Киев;
solodun@imath.kiev.ua
A variational Ritz-Tre↵ts method for constructing an approximate solution
of a spectral problem describing free oscillations of an ideal fluid in co-axial
conical tanks is developed. The method employs the harmonic functional
basis (in curvilinear coordinates), which exactly satisfies boundary condi-
tions on the solid walls of the reservoir. Natural frequencies and modes are
illustrated for a wide range of the input geometric parameters.
Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного
розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної
рiдини в резервуарах у виглядi зрiзаних коаксiальних конусiв. В яко-
стi координатного базису виступають побудованi в спецiальнiй криво-
лiнiйнiй системi координат гармонiчнi функцiї, якi точно задовольня-
ють граничнi умови на твердих стiнках резервуара. Пораховано власнi
частоти i форми коливань в розглядуванiй порожнинi в широкому дi-
апазонi геометричних параметрiв.
Введение
При проектировании конструкций, имеющих в своем составе значи-
тельные массы жидких грузов, возникает целый комплекс проблем,
связанных с их прочностью и устойчивостью. Основными здесь ста-
новятся проблемы определения частот и форм свободных колеба-
ний жидкости, а также сил взаимодействия между стенками баков
и жидкостью. Эти силы играют важную роль при составлении урав-
нений движения механической системы в целом и прогнозировании
на их основе динамического поведения конструкций при воздействии
⇤Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0117U004077
c� Солодун А. В., 2018
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 181
на неё различных внешних возмущающих факторов (вибрационного,
сейсмического и прочего характера). Традиционно эти проблемы со-
провождают развитие авиационной и ракетно-космической техники.
С ними приходится сталкиваться при создании танкеров для транс-
портировки нефтепродуктов и сжиженных газов, а также при ис-
следовании прочности и устойчивости железнодорожных цистерн. В
последние годы исследования по динамике твёрдых тел с жидкостью
пополнились новыми постановками задач в связи с проектировани-
ем новых наземных жидкостно-наполненных механических объектов
в виде водонапорных башен, состоящих из цилиндрических резерву-
аров с коническим дном. Эти исследования направлены на обеспе-
чение их надёжного функционирования в экстремальных условиях,
и в первую очередь при возникновении воздействий сейсмического
происхождения.
В общем случае не существует точных методов решения задачи о
колебаниях жидкости в конических баках. Исключение составляют
только отдельные случаи баков в форме “перевёрнутого” кругового
конуса с некоторыми значениями угла полураствора ✓0. На первый
такой случай (✓0 = 45o, m = 1) указал Левин [27] (здесь m обозна-
чает число волн в окружном направлении). Позже в работе [2] были
приведены другие случаи, для которых существуют точные реше-
ния этой задачи по определению, как и в работе [27], только основ-
ной частоты и формы собственных колебаний жидкости. Как оказа-
лось, эти случаи относятся к семейству баков с углом полураствора
✓0 = arctan(
p
m). В книгах [15, 18] упомянутые решения широко ис-
пользуются для независимого контроля численных результатов при
определении частот и присоединённых масс жидкости приближённы-
ми методами для конических баков, разбитых глухими радиальными
перегородками на независимые отсеки.
Следует отметить, что в некоторых случаях удаётся использовать
метод разделения переменных для решения задач о колебаниях жид-
кости в конических баках, оставаясь при этом в рамках гипотез ли-
нейной теории. Ограничиваясь малыми значениями угла конусности,
в сферической системе координат соответствующие краевые задачи
гидродинамики можно сформулировать при отождествлении плоской
невозмущённой поверхности жидкости с мало отличающейся от неё
сферической поверхностью как в случае “перевёрнутого” кругового
конуса, так и в случае прямого кругового конуса со сферическим дни-
щем. Методом разделения переменных точные решения задачи удаёт-
182 Солодун А. В.
ся представить через степенные функции и присоединённые функции
Лежандра первого и второго рода. Впервые это было сделано Доку-
чаевым [1], а позже Бауэром [20]. Об особенностях применения этих
результатов в теории движения тел с жидкостью речь идёт в рабо-
тах [1,2,15,18–20] и др. Соответствующие экспериментальные данные
приведены в статьях Микишева и Дорожкина [14], Бауэра [20] и др.
В конце двадцатого столетия снова активизировались исследова-
ния по теории колебаний жидкости в конических баках в связи с рас-
смотрением аналогичных задач в нелинейной постановке [3, 6, 8, 21,
24, 29] и др. Для развития модальных методов решения нелинейных
задач требовались качественно новые приближённые решения кра-
евых задач линейной теории. Одним из существенных требований,
предъявляемым к этим решениям, является необходимость точного
выполнения условия неперетекания (@'
@⌫
= 0) всюду на твёрдой стен-
ке бака. Другим важным требованием является необходимость пред-
ставления форм колебаний жидкости и производных от них в анали-
тическом виде. Решения с такими свойствами удаётся построить ва-
риационными методами с использованием специальных неконформ-
ных отображений, переводящих конические области в цилиндриче-
ские в подходящей криволинейной системе координат [3,4,6,12,26,29].
Опыт использования таких решений в задаче о колебаниях жидкости
в неусечённых конических баках подтверждает высокую эффектив-
ность упомянутых численно-аналитических методов [4, 24].
Целый ряд исследований, относящихся к линейной теории колеба-
ний жидкости в конических баках, выполнен в последние годы в свя-
зи с проектированием новых типов водонапорных башен [22,23,30,31]
и др. Предложенные здесь приближённые алгоритмы определения
собственных частот и форм колебаний опираются, главным образом,
на методы конечных и граничных элементов. Они оказались эффек-
тивными в этом классе линеаризованных задач, однако их использо-
вание в таком виде для решения нелинейных проблем о резонансных
взаимодействиях в системе “твёрдое тело-жидкость” нам представля-
ется проблематичным.
В настоящей работе обсуждается численно-аналитический метод
определения частот и форм собственных колебаний жидкости в усе-
чённых соосных конических резервуарах, основанных на вариаци-
онных формулировках соответствующих краевых задач. В качестве
координатных функций в вариационном методе Ритца-Трефтца ис-
пользуются специальные гармонические функции, найденные мето-
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 183
дом разделения переменных в специальной криволинейной системе
координат. Метод численно реализован в широком диапазоне гео-
метрических параметров конических полостей. Результаты вычисли-
тельных экспериментов поданы в виде таблиц и графических зависи-
мостей. Они доставляют полное представление о практической схо-
димости предложенного метода и границах его применимости. При-
ближённые решения найдены в аналитическом виде, пригодном для
их использования при построении малоразмерных нелинейных мо-
дальных систем методами работ [6, 11,16,17,24,26,28,29], включая и
случай соосных конических баков, разбитых сплошными радиальны-
ми перегородками на независимые отсеки.
1 Постановка задачи
Oy
z
x
Q
0
g
r
01
S
1
S
2
!
0 r
00
!
" !
#
r
10
r
11
S
3
h
1
h
0
Рис 1. Гидростатическое положение жидкости в вертикальных круговых
срезанных соосных конических баках.
Рассмотрим безвихревые волновые движения идеальной несжима-
емой жидкости, частично заполняющей покоящийся абсолютно жёст-
кий бак, образованный двумя срезанными соосными коническими по-
лостями с общей вершиной, как показано на рис. 1. Здесь через угол
✓0 обозначен угол полураствора внешнего конуса, а через ✓1 – внут-
реннего. r00 – радиус невозмущённой свободной поверхности внеш-
184 Солодун А. В.
него, а r01 – внутреннего конуса, r10, r11 – радиус дна внешнего и
внутреннего конуса соответственно. Вектор ускорения сил гравита-
ции ~g направлен вниз вдоль оси конуса.
Гидростатическое положение жидкости под действием сил тяже-
сти совпадает с областью Q0, изображённой на рисунке. Смачивае-
мые стенки сосуда S (S = S1[S2[S3) обозначены: через S1 – боковые
внешние и через S3 – внутренние, а дно – через S2, при этом невоз-
мущённая (гидростатическая) свободная поверхность жидкости обо-
значена через ⌃0. Начало декартовой системы координат Oxyz раз-
мещено в вершине конуса O, причём ось Ox направлена вертикально
вверх.
В качестве характерного линейного размера выбран радиус внеш-
него конуса r00. Пара соотношений �r,�h становится геометрической
характеристикой бака. Соотношение �r между радиусом внутреннего
и внешнего конуса (�r = r01/r00 = r11/r10 = tan ✓1
�
tan ✓0), а соотно-
шение �h между радиусом дна и невозмущённой свободной поверх-
ностью конуса (�h = r10/r00 = r11/r01 = h1
�
h0). Исходя из введённой
геометрии рассматриваемой конической полости вытекает очевидное
соотношение для радиусов полости r11r00 = r01r10.
В частности, синхронные (одновременные двухсторонние) преде-
лы r01 ! r00 и r10 ! r00 влекут к нулевому объёму бака, а при r01 ! 0
и r10 ! 0 бак стремится к простой конической полости. При этом в
случае асинхронных (односторонних) пределов при r01 ! 0 и фикси-
рованном r10 бак стремится к срезанной конической полости, а при
r10 ! 0 и фиксированном r01 бак стремится к соосной конической
полости.
Как известно [5, 7], линеаризованная задача о малых свободных
колебаниях жидкости в покоящемся сосуде имеет следующий вид:
�� = 0 в Q0,
@�
@⌫
= 0 на S,
@�
@x
=
@f
@t
,
@�
@t
+ gf = 0 на ⌃0, (1)
при дополнительном условии
Z
⌃0
@�
@x
dS = 0, где �(x, y, z, t) – потен-
циал скоростей, x = f(y, z, t) – уравнение возмущённой свободной
поверхности, ~⌫ – орт внешней нормали к границе S, и g – ускорение
сил тяжести. Кроме этого, общая постановка эволюционной краевой
задачи (1) предполагает подчинения её решений начальным условиям
f(y, z, t0) = F0(y, z),
@f
@t
(y, z, t0) = F1(y, z), (2)
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 185
где некоторые известные функции F0 и F1 задают начальное откло-
нение свободной поверхности жидкости и распределение скоростей
на ней в начальный момент времени t = t0.
Путём дифференцирования последнего условия по t два условия
на ⌃0 задачи (1) обычно заменяют одним и сводят задачу (1) к рас-
смотрению следующей краевой задачи:
�� = 0 в Q0,
@2�
@t2
+ g
@�
@x
= 0 на ⌃0,
@�
@⌫
= 0 на S. (3)
2 Задача о собственных колебаниях и соответству-
ющая ей спектральная задача
Практический интерес представляет задача о собственных гармони-
ческих колебаниях жидкости.
Собственные колебания жидкости (стоячие волны) описываются
в этом случае решениями задачи (1) вида
�(x, y, z, t) = '(x, y, z) exp(i�t), i
2 = �1, (4)
причём частота собственных колебаний � и соответствующая ей фор-
ма (мода) '(x, y, z) определяется как решения следующей спектраль-
ной задачи:
�' = 0 в Q0,
@'
@x
= {' на ⌃0,
@'
@⌫
= 0 на S,
Z
⌃0
@'
@x
dS = 0, (5)
где параметр {, именуемый в этом классе задач частотным парамет-
ром, определяется соотношением
{ = �2/g. (6)
Для задачи на собственные значения (5) существует бесконечная
последовательность собственных значений {n
0 < {1 {2 . . . {n . . . ,
сходящаяся на бесконечности ({n ! 1, n ! 1), и каждому соб-
ственному значению {n соответствует конечное число собственных
функций 'n(x, y, z) [7, 18].
186 Солодун А. В.
Система собственных функций 'n задачи (5) образует на невоз-
мущённой свободной поверхности ⌃0 вместе с константой полную си-
стему функций. Это свойство играет в теории колебаний жидкости
фундаментальную роль.
Задача на собственные значения с параметром в граничном усло-
вии (5) допускает соответствующую эквивалентную ей вариационную
формулировку, связанную с функционалом
K(') =
R
Q0
(r')2dQ
R
⌃0
'2dS
, (7)
определённом на классе функций ' 2 W 1
2 (Q0) при дополнительном
условии
R
⌃0
'dS = 0.
В соответствии с общей схемой, изложенной в работах [7,18], вари-
ационная задача на минимум для функционала (7) позволяет после-
довательно определить все собственные числа и собственные функ-
ции задачи (5), обладающие свойствами обобщённых решений в смыс-
ле интегрального соотношения
Z
Q0
(r'n,r⌘)dQ� {n
Z
⌃0
'n⌘d⌃0 = 0 (8)
при любой функции ⌘ 2 W 1
2 (Q).
В соответствии с общей схемой Ритца-Трефтца для первого соб-
ственного значения {1 и собственной функции 1
{1 = minF ('), ' 2 W 1
2 (Q),
при условии
Z
⌃0
'2d⌃0 = 1; для последующих собственных значений
{n = minF ('), ' 2 W 1
2 (Q),
при условии
Z
⌃0
'2d⌃0 = 1 и дополнительных условиях ортогональ-
ности
Z
⌃0
''kd⌃0 = 0 (k = 1, . . . , n� 1).
К решению вариационной задачи применим метод Ритца. Систему
координатных функций выбираем в пространстве W 1
2 (Q) при усло-
вии полноты и линейной независимости её элементов. Приближённые
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 187
решения ищем в виде линейной комбинации
'n =
qX
k=1
akwk, wk 2 W 1
2 (Q). (9)
Для определения коэффициентов ak из условия минимума функцио-
нала K(') (7) получаем систему Ритца
qX
k=1
ak(↵ik � {�ik) = 0, i, k = 1, . . . , q, (10)
где
↵ik =
Z
Q0
(rwi,rwk)dQ, �ik =
Z
⌃0
wiwkd⌃0. (11)
Приближённые значения собственных чисел {n определяем из урав-
нения
det|↵ik � {�ik| = 0, (12)
которое представляет собой необходимое условие разрешимости си-
стемы линейных алгебраических уравнений (10).
Модальные методы нелинейной теории требуют от аналитическо-
го приближённого решения задачи (5) типа (9) точного удовлетворе-
ния уравнения Лапласа и условий Неймана на стенках сосуда. Кроме
того, это решение должно удовлетворять эти свойства и за пределами
невозмущённой области Q0.
Эффективное построение такого типа решений предложено в ра-
ботах [4,7,12,18] и частично реализовано в [9,10,24,25]. В другой рабо-
те [9] при помощи вариационного метода были определены основные
собственные частоты и собственные функции �(1)
i
( 1n) колебания
жидкости в срезанных конических баках, а в работе [10] � в соос-
ных конических баках. Другие типы систем координатных функций
и их применение при решении краевых задач (5) вариационным ме-
тодом в случае полостей конической формы подробно представлены
в работах [1, 4].
3 Гармонический базис в специальной криволиней-
ной системе координат
Воспользуемся вариационным методом для решения спектральной
задачи, связанной со свободными колебаниями жидкости в покоя-
188 Солодун А. В.
щемся баке в форме срезанных осесимметрических соосных кону-
сов. Метод базируется на специальной системе координатных функ-
ций, полученной в специальной криволинейной системе координат
x1, x2, x3. Вводя неконформное преобразование [3,6,9,12,24], связыва-
x
y!
!
!
"
h0
O O
x11h1
x10
x2
x1
x20x21
L0
L2
L1L3
Q
0
L0
*
L2
*
L3
*
L1
*
Q
0
*
r11r10
r00 r01
Рис 2. Исходная и трансформированная область меридионального сечения
срезанной коаксиальной конической полости.
ющее декартовы переменные x, y, z с новыми переменными x1, x2, x3
формулами
x = x1, y = x1x2 cosx3, z = x1x2 sinx3, (13)
удаётся исходную область Q0, занятую жидкостью, преобразовать
в системе (x1, x2, x3) в область Q⇤
0 в форме прямого кругового ци-
линдра (x11 x1 x10, x21 x2 x20, 0 x3 2⇡), а область G⇤
в
плоскости меридионального сечения Ox1x2 (рис. 2) представляет со-
бой при этом прямоугольник со сторонами h = x10�x11, d = x20�x21,
(здесь внешний радиус невозмущённой свободной поверхности равен
единице, а x21 = tan ✓1 и x20 = tan ✓0).
Осевая симметрия полости позволяет сформулировать основные
краевые задачи (5) в плоскости меридионального сечения. Предвари-
тельно представив искомые решения в разделённом виде '(x1, x2, x3)
'(x1, x2, x3) = m(x1, x2)
sinmx3
cosmx3
, m = 0, 1, 2, . . . , (14)
перейдём, следуя работам [3, 6, 7, 13, 18], от трёхмерной задачи (5)
к m-параметрическому семейству спектральных задач относительно
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 189
m(x1, x2) в области G⇤
p
@2 m
@x2
1
+ 2q
@2 m
@x1@x2
+ s
@2 m
@x2
2
+ d
@ m
@x2
�m2c m = 0 в G⇤, (15a)
p
@ m
@x1
+ q
@ m
@x2
= {mp m на L⇤
0, (15b)
s
@ m
@ x2
+ q
@ m
@ x1
= 0 на L⇤
1 + L⇤
3, (15c)
p
@ m
@x1
+ q
@ m
@x2
= 0 на L⇤
2, (15d)
| m(x1, 0)| < 1, m = 0, 1, 2, . . . , (15e)
x20Z
x21
0x2dx2 = 0, (15f)
где G⇤ = {(x1, x2) : x11 x1 x10, x21 x2 x20}, p = x2
1x2, q =
�x1x2
2, s = x2(x2
2 + 1), d = 1 + 2x2
2, c = 1/x2, а L
⇤
0,L
⇤
1,L
⇤
2,L
⇤
3 – части
границы области G⇤
.
Можно показать, что решения спектральной задачи (15a)–(15f)
совпадают с экстремальными точками функционала
J ( m) =
Z
G⇤
"
p
✓
@ m
@x1
◆2
+ 2q
@ m
@x1
@ m
@x2
+
+s
✓
@ m
@x2
◆2
+
m2
x2
2
m
#
dx1dx2
.Z
L
⇤
0
p 2
m
dx2 (16)
на пробных функциях, удовлетворяющих (15e).
Рассмотрим вопрос о выборе координатных функций, связанных с
решением спектральных задач типа (15a)-(15f) вариационным мето-
дом в зависимости от геометрии рассматриваемой здесь области G⇤
.
В отличие от областей конической формы, не подверженных разбие-
нию на подобласти, для области G⇤
, изображённой на рис. 2, решение
краевой задачи (15a)-(15f) может иметь особенность на всей оси сим-
метрии за исключением точки O. Поэтому в координатную систему
кроме wm
n
включаются также функции w⇤m
n
, которые имеют особен-
ности, допускаемые областью.
190 Солодун А. В.
Для рассматриваемого здесь типа конических областей установле-
ны [6, 7, 13, 18] четыре типа частных решений уравнения (15a), пред-
ставленных в пространстве параметров x1, x2 в разделённом виде
wm(x1, x2)=V (m)
⌫
(x1)T
(m)
⌫
(x2), ŵm(x1, x2)=V (m)
⌫
(x1)T̂
(m)
⌫
(x2),
̄w(x1, x2)= V̄ (m)
⌫
(x1)T̄
(m)
⌫
(x2), w̃m(x1, x2)= V̄ (m)
⌫
(x1)T̃
(m)
⌫
(x2), (17)
причем ⌫mk � m, а функции V (m)
⌫ , V̄ (m)
⌫ имеют вид
V (m)
⌫
(x1) = x⌫
1 , V̄ (m)
⌫
(x1) = x�1�⌫
1 .
Первый тип решений (17), регулярный в вершине конуса, возни-
кает в случае конических областей, включающих и вершину конуса.
Как было показано в работе [4], функция T (m)
⌫ определяется как ре-
шение краевой задачи с параметром ⌫ в уравнении и в граничном
условии
x2
2(1 + x2
2)T
00(m)
⌫
+ x2(1 + 2x2
2 � 2⌫x2
2)T
0(m)
⌫
+
+
⇥
⌫(⌫ � 1)x2
2 �m2
⇤
T (m)
⌫
= 0, (18)
T 0(m)
⌫
(x20) = ⌫
x20
1 + x2
20
T (m)
⌫
(x20) (19)
при выполнении условия ограниченности решения |T (m)
⌫ (0)| < 1. Эта
задача имеет нетривиальное решение лишь для счётного числа ⌫ =
⌫mn > 0 (m = 0, 1, 2, . . . , n = 1, 2, . . .).
Второе, сингулярное при x1 = 0 семейство частных решений, свя-
занное с T̂ (m)
⌫ , возникает лишь в случае x11 = 0, т.е. в случае коакси-
альных конусов с общей вершиной. Оно приводит к той же краевой
задаче с параметром ⌫ (18).
Третье, сингулярне при x1 ! 0 семейство частных решений, свя-
занное с T̄ (m)
⌫ , возникает лишь в случае x11 6= 0, т.е. в случае срезан-
ного конического бака. Оно приводит к следующей краевой задаче с
параметром ⌫:
x2
2(1 + x2
2)T̄
00(m) + x2(1 + 4x2
2 + 2⌫x2
2)T̄
0(m)+
+
⇥
(⌫ + 1)(⌫ + 2)x2
2 �m2
⇤
T̄ (m) = 0, (20)
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 191
T̄ 0(m)(x20) + (⌫ + 1)
x20
1 + x2
20
T̄ (m)(x20) = 0, (21)
которая также имеет нетривиальные решения лишь для счётного чис-
ла неотрицательных действительных чисел ⌫.
Четвёртое семейство частных решений, связанное с T̃ (m)
⌫ , возника-
ет в случае тороидальных областей (x11 6= 0 и x21 6= 0 ), т.е. в случае
усечённого конического бака. Оно также приводит к краевой задаче
с параметром ⌫ (20).
Как следует из работ [4, 9, 10, 12, 25, 28, 29], решения уравнений
(18) и (20) тесно связаны с функциями Лежандра первого и второго
рода, а набор ⌫ = ⌫mn (m = 0, 1, . . . , n = 1, 2, . . .) является общим
для всех семейств решений (17). Действительно, произведя сначала
замену переменных
µ = (1 + x2
2)
� 1
2 , (22)
а затем используя подстановки y(µ) = µ⌫T (µ) (y(µ) = µ⌫ T̂ (µ)) и
y(µ) = µ�1�⌫ T̄ (µ) (y(µ) = µ�1�⌫ T̃ (µ)), вместо (18) и (20) получим
известное дифференциальное уравнение:
(1� µ2)y00(µ)� 2µy0(µ) +
⌫(⌫ + 1)� m2
1� µ2
�
y(µ) = 0, (23)
решениями которого действительно являются присоединённые функ-
ции Лежандра первого y(µ) = P (m)
⌫ (µ) и второго y(µ) = Q(m)
⌫ (µ) рода.
Произведя аналогичные операции в однородных краевых услови-
ях (19) и (21), а также введя замену µ = cos ✓, приходим к уравнению
@P (m)
⌫ (cos ✓)
@✓
�����
✓=✓1
@Q(m)
⌫ (cos ✓)
@✓
�����
✓=✓0
� @Q(m)
⌫ (cos ✓)
@✓
�����
✓=✓1
@P (m)
⌫ (cos ✓)
@✓
�����
✓=✓0
= 0, (24)
являющемуся общим трансцендентным уравнением для определения
параметров ⌫mn (m�0, n�1).
В табл. 1 приведены первых три значения ⌫mn (m = 0, 1, 2, 3,
n = 1, 2, 3) для нескольких типичных углов ✓0 при шаге внутрен-
него угла конуса, равного одной шестой внешнего. Здесь первая ко-
лонка соответствует решениям трансцендентного уравнения (24) в
192 Солодун А. В.
случае (✓1 = 0), что полностью соответствует представленным ра-
нее решениям трансцендентного уравнения
⇣
@P (m)
⌫ (cos ✓)
�
@✓
⌘
✓=✓0
= 0
работ [8, 9, 18,24,25].
Подытожив предыдущее, получаем с точностью до множителя
следующие нетривиальные решения задачи (15a)–(15f):
T (m)
⌫mk
(x2) =
2mm!(⌫mk �m)!
(⌫mk +m)!
q
1 + x2
2
⌫mk
Pm
⌫mk
1p
1 + x2
2
!
, (25a)
T̂ (m)
⌫mk
(x2) =
2mm!(⌫mk �m)!
(⌫mk +m)!
q
1 + x2
2
⌫mk
Q(m)
⌫mk
1p
1 + x2
2
!
, (25b)
T̄ (m)
⌫mk
(x2) =
2mm!(⌫mk �m)!
(⌫mk +m)!
q
1 + x2
2
�1�⌫mk
P (m)
⌫mk
1p
1 + x2
2
!
, (25c)
T̃ (m)
⌫mk
(x2) =
2mm!(⌫mk �m)!
(⌫mk +m)!
q
1 + x2
2
�1�⌫mk
Q(m)
⌫mk
1p
1 + x2
2
!
, (25d)
которые будут использованы ниже.
Для этих наборов функций установлены следующие рекуррент-
ные соотношения [4, 10,12,29]:
(⌫ +m+ 1)T (m)
⌫+1 = (2⌫ + 1)T (m)
⌫
� (⌫ �m)T (m)
⌫�1(1 + x2
2),
x2
dT (m)
⌫
dx2
= ⌫T (m)
⌫
� (⌫ �m)T (m)
⌫�1,
(⌫ +m+ 1)x2T
(m+1)
⌫
= 2(m+ 1)
h�
1 + x2
2
�
T (m)
⌫�1 � T (m)
⌫
i
. (26)
Для базиса T̂ (m)
⌫mk (x2) можно использовать те же рекуррентные форму-
лы (26), нужно только вместо T (m)
⌫mk (x2) поставить функции T̂ (m)
⌫mk (x2).
Для другой пары наборов функций установлены следующие ре-
куррентные соотношения [4, 9, 25]:
(⌫ +m+ 1)
�
1 + x2
2
�
T̄ (m)
⌫+1 = (2⌫ + 1)T̄ (m)
⌫
� (⌫ �m)T̄ (m)
⌫�1,
x2
�
1 + x2
2
� dT̄ (m)
⌫
dx2
=
�
⌫ � (⌫ + 1)x2
2
�
T̄ (m)
⌫
� (⌫ �m)T̄ (m)
⌫�1,
(⌫ +m+ 1)x2T̄
(m+1)
⌫
= 2(m+ 1)
⇣
T̄ (m)
⌫�1 � T̄ (m)
⌫
⌘
. (27)
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 193
Для базиса T̃ (m)
⌫mk (x2) можно использовать те же рекуррентные форму-
лы (27), нужно только вместо T̄ (m)
⌫mk (x2) поставить функции T̃ (m)
⌫mk (x2).
Это очевидно вытекает из представления самих функций (25).
Таблица 1. Значения ⌫mk для нескольких значений полууглов ✓0.
✓0 = ⇡/6
m\✓1 0 ⇡/36 ⇡/18 ⇡/12 ⇡/9 5⇡/36
⌫01 6.8356480 7.3821399 8.8850638 11.720592 17.618002 35.548970
⌫02 12.909109 14.363996 17.720461 23.616752 35.560182 71.524583
⌫11 3.1195157 2.9323569 2.5518628 2.2046122 1.9342746 1.7257674
⌫12 9.7115789 9.0476500 9.5993685 12.061503 17.783792 35.614958
⌫22 5.4928250 5.4744304 5.2614253 4.7872018 4.2850716 3.8662638
⌫23 12.372043 12.138166 11.539455 13.046839 18.273510 35.812222
⌫33 7.7524423 7.7510444 7.6819751 7.2917338 6.6413213 6.0249486
⌫34 14.918042 14.880735 14.176650 14.581158 19.066045 36.138704
✓0 = ⇡/4
m\✓1 0 ⇡/24 ⇡/12 ⇡/8 ⇡/6 5⇡/24
⌫01 4.4054031 4.7688889 5.7687669 7.6565098 11.585192 23.536013
⌫02 8.4473570 9.4168517 11.653207 15.582634 23.543403 47.518074
⌫11 1.9999760 1.8758952 1.6255844 1.4006335 1.2288398 1.0993008
⌫12 6.3337445 5.8906854 6.2576877 7.8952623 11.704151 23.584467
⌫22 3.6332387 3.6209929 3.4795270 3.1679924 2.8438296 2.5789990
⌫23 8.1372938 7.9812458 7.5823019 8.5831851 12.055007 23.729258
⌫33 5.2014271 5.2004954 5.1545429 4.8971035 4.4754272 4.0842084
⌫34 9.8746685 9.8497965 9.3809733 9.6494439 12.621249 23.968718
✓0 = ⇡/3
m\✓1 0 ⇡/18 ⇡/9 ⇡/6 2⇡/9 5⇡/18
⌫01 3.1957222 3.4674443 4.2152511 5.6283104 8.5716126 17.531097
⌫02 6.2196322 6.9460922 8.6220159 11.567548 17.536443 35.515604
⌫11 1.4679773 1.3752776 1.1904450 1.0282683 0.90823933 0.82133212
⌫12 4.6541273 4.3215634 4.5964068 5.8206993 8.6708326 17.572858
⌫22 2.7525882 2.7433527 2.6372535 2.4083317 2.1776379 1.9966508
⌫23 6.0404223 5.9230999 5.6246683 6.3723023 8.9627678 17.697575
⌫33 4.0000000 3.9992921 3.9645575 3.7735679 3.4713838 3.2028114
⌫34 7.3884014 7.3696801 7.0184339 7.2210712 9.4318842 17.903586
4 Вариационный метод решения спектральной за-
дачи (15)
Основной сложностью методов, построенных на схеме Ритца-Трефтца,
является выбор эффективного функционального базиса. Полнота из-
вестных наборов гармонических функций существенно зависит от
геометрии области Q0. Универсальным полным семейством функций
194 Солодун А. В.
для любой звёздной области Q0 являются, как известно, лишь част-
ные решения полиномиального типа (Луковский и др. [7]).
Сформулируем теперь вариационный алгоритм Ритца-Трефтца
решения спектральной задачи (15a)–(15d), исходя из вариационной
формулировки задачи для квадратичного функционала (16). Тогда
решение краевой задачи будем искать в виде
m(x1, x2) =
qX
k=1
a(m)
k
w(m)
k
(x1, x2) +
qX
k=1
â(m)
k
ŵ(m)
k
(x1, x2)+
+
qX
k=1
ā(m)
k
w̄(m)
k
(x1, x2) +
qX
k=1
ã(m)
k
w̃(m)
k
(x1, x2), (28)
Мы можем таким образом подобрать коэффициенты a(m)
k
, â(m)
k
,
ā(m)
k
, и ã(m)
k
, чтобы каждое из них удовлетворяло краевое условие на
боковых стенках полости (15d). Для этого необходимо подчинить их
двум условиям Det(dTi) = 0 (i = 1, 2), где dTi определяется выраже-
нием
dTi=
✓
T 0
i
(x20) + di(x20)Ti(x20) T 0
i
(x21) + di(x21)Ti(x21)
F 0
i
(x20) + di(x20)Fi(x20) F 0
i
(x21) + di(x21)Fi(x21)
◆
,
а функции Ti и Fi выбираются из условий
Ti(x2) =
(
T (m)
⌫ (x2), i = 1,
T̄ (m)
⌫ (x2), i = 2,
Fi(x2) =
(
T̂ (m)
⌫ (x2), i = 1,
T̃ (m)
⌫ (x2), i = 2
при d1(x2) = � ⌫x2
1 + x2
2
, d2(x2) =
(1 + ⌫)x2
1 + x2
2
; здесь штрих в T 0
⌫
– обозна-
чает производную по x2. Тогда решение (28) краевой задачи можно
представить в виде
m(x1, x2) =
q1X
k=1
a(m)
k
V (m)
⌫mk
(x1)U
(m)
⌫mk
(x2)+
q2X
l=1
ā(m)
l
V̄ (m)
⌫ml
(x1)Ū
(m)
⌫ml
(x2),
(29)
где
U (m)
⌫mk
(x2) = T (m)
⌫mk
(x2)� µmkT̂
(m)
⌫mk
(x2), (30)
Ū (m)
⌫mk
(x2) = T̄ (m)
⌫mk
(x2)� µ̄mkT̃
(m)
⌫mk
(x2). (31)
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 195
Легко показать справедливость равенства µmk = µ̄mk, при этом
µmk =
(⌫mk + 1)P (m)
⌫mk (µ(x20))� (⌫mk �m+ 1)µ�1(x20)P
(m)
⌫mk+1(µ(x20))
(⌫mk + 1)Q(m)
⌫mk(µ(x20))� (⌫mk �m+ 1)µ�1(x20)Q
(m)
⌫mk+1(µ(x20))
.
Представим искомые частные решения (29) краевой задачи в нор-
мированном виде
W (m)
k
(x1, x2) = N (m)
k
V (m)
⌫mk
(x1)U
(m)
⌫mk
(x2), (32a)
W̄ (m)
k
(x1, x2) = N̄ (m)
k
V̄ (m)
⌫mk
(x1) Ū
(m)
⌫mk
(x2), (32b)
вводя нормировку
||W (m)
k
||2
L
⇤
2+L
⇤
0
= ||W̄ (m)
k
||2
L
⇤
2+L
⇤
0
= 1. (33)
Явные формулы для подсчёта нормирующих множителей N (m)
k
при-
обретают тогда вид
N (m)
k
=
1s
�
x2⌫mk+2
10 + x2⌫mk+2
11
� x20R
x21
x2
h
U (m)
k
(x2)
i2
dx2
, (34a)
N̄ (m)
k
=
1s
�
x�2⌫mk
10 + x�2⌫mk
11
� x20R
x21
x2
h
Ū (m)
k
(x2)
i2
dx2
. (34b)
Заметим, что в случае m = 0 систему частных решений (32) необ-
ходимо, к тому же, переопределить по схеме
U (0)
k
= U (0)
k
� c(0)
k
, Ū (0)
k
= Ū (0)
k
� c̄(0)
k
, (35)
где
c(0)
k
=
2
x2
20 � x2
21
x20Z
x21
x2 U
(0)
k
(x10, x2) d x2, (36a)
c̄(0)
k
=
2
x2
20 � x2
21
x20Z
x21
x2 Ū
(0)
k
(x10, x2) d x2, (36b)
196 Солодун А. В.
чтобы условие сохранения объёма (15f) выполнялось автоматически.
Для определения неизвестных постоянных a(m)
k
, ā(m)
l
, входящих в
приближённое решение вариационной задачи, воспользуемся необхо-
димым условием экстремума функционала (16)
@ Jm
@ a(m)
k
= 0,
@ Jm
@ ā(m)
l
= 0, k = 1, 2, . . . , q1, l = 1, 2, . . . , q2, (37)
приводящим к системе линейных однородных уравнений. Для опре-
деления частотных параметров {m, как и выше, получаем матричное
уравнение
det
⇣
{↵(m)
ij
}� {m {�(m)
ij
}
⌘
= 0, i, j = 1, 2, ..., q1+ q2. (38)
Поскольку представления (29) состоят из двух типов функций W (m)
k
и W̄ (m)
k
, то мы имеем четыре типа составляющих матриц {↵̃(m)
ij
} и
{�̃(m)
ij
}, а именно:
↵̃(m)
ij
=
↵(m)
ij1 ↵(m)
ij2
↵(m)
ij3 ↵(m)
ij4
!
, �̃(m)
ij
=
�(m)
ij1 �(m)
ij2
�(m)
ij3 �(m)
ij4
!
, (39)
где элементы матриц {↵(m)
ijk
} и {�(m)
ijk
} (k = 1, 4) имеют следующий
вид:
↵(m)
ijk
=
x20Z
x21
x2
1x2
@W(m)
i+m�1
@x1
� x1x
2
2
@W(m)
i+m�1
@x2
!
x1=x10
V(m)
j+m�1dx2
�
x20Z
x21
x2
1x2
@W(m)
i+m�1
@x1
� x1x
2
2
@W(m)
i+m�1
@x2
!
x1=x11
V(m)
j+m�1dx2, (40)
�(m)
ijk
= x2
10
x20Z
x21
x2
⇣
W(m)
i+m�1V
(m)
j+m�1
⌘
x1=x10
dx2, (41)
где для каждого индекса k в матрицах ↵(m)
ijk
в качестве набора пары
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 197
функций (W,V) фигурируют указанные ниже
↵(m)
ijk
(W,V) = �(m)
ijk
(W,V) =
8
>>><
>>>:
(W,W ), при k = 1,
(W, W̄ ), при k = 2,
(W̄ ,W ), при k = 3,
(W̄ , W̄ ), при k = 4.
Матричная спектральная задача (38) имеет q = q1 + q2 собствен-
ных значений, что соответствует количеству членов в разложении
(29). Как обычно, для каждого фиксированного m собственные зна-
чения упорядочены в порядке возрастания.
5 Сходимость
В табл. 2 показана типичная сходимость метода в случае _-образных
срезанных соосных конических полостей с внешними углами полу-
раствора 5� ✓0 85� при шаге внутреннего угла полураствора,
равного одной шестой от внешнего. В общем случае бралось 20 базис-
ных функций (29) (т.е. попарно сгруппированных базисных функций
(32)). Как видно из таблицы, пять-семь значащих цифр {11 стаби-
лизируются уже при q = 8 ÷ 12 базисных функций почти для всех
собственных значений.
Следует обратить внимание, что в первой колонке таблицы приве-
дены для контроля собственные значения {11 при стремлении внут-
реннего конуса к нолевому объёму (усеяённая коническая полость),
что будет в точности соответствовать результатам работ [12, 24], а в
первой строке те же значения при условии нолевого отсечения (со-
осная коническая полость), и, наконец, в левой верхней ячейке при-
ведены те же значения соответствующие полному неусечённому объ-
ёму (чистая коническая полость). Общей является тенденция ухуд-
шения точности определения собственных значений {m1 при стрем-
лении объёма жидкости к нолю (✓1 стремится к ✓0 или h1 стремится
к h0). Метод устойчиво сходится при всех конфигурациях соосных
конических полостей единственным моментом является замедление
сходимости при стремлении объёма полости к нолю, что является ти-
пичной ситуацией при использовании такого приближённого метода.
При этом количество стабилизируемых значащих цифр соответству-
ет приведённым в работе [24] для неусечённых конусов. Гаврилюк и
198 Солодун А. В.
Таблица 2. Сходимость собственных значений {11 для срезанных коакси-
альных конических полостей с внешним углом полураствора ✓0 = ⇡/4.
�h��r q 0.0 0.132 0.268 0.414 0.577 0.767
0.0 10 0.9999951 0.9740773 0.9069470 0.8163904 0.7148940 0.6083448
12 0.9999951 0.9740703 0.9069324 0.8163749 0.7148763 0.6080899
14 0.9999951 0.9740669 0.9069250 0.8163665 0.7148674 0.6080881
16 0.9999951 0.9740650 0.9069208 0.8163615 0.7147820 0.6080741
18 0.9999951 0.9740640 0.9069183 0.8154193 0.7147804 0.6080560
20 0.9999951 0.9740633 0.9069167 0.8094915 0.7147148 0.6080284
0.1 10 0.9999813 0.9740538 0.9068777 0.8162070 0.7145262 0.6077662
12 0.9999812 0.9740468 0.9068630 0.8161915 0.7145085 0.6075118
14 0.9999812 0.9740434 0.9068556 0.8161831 0.7144996 0.6075103
16 0.9999812 0.9740415 0.9068515 0.8161781 0.7144143 0.6074962
18 0.9999812 0.9740405 0.9068489 0.8152364 0.7144128 0.6074783
20 0.9999812 0.9740398 0.9068473 0.8093120 0.7143472 0.6074508
0.3 10 0.9966267 0.9697431 0.8995552 0.8044919 0.6985799 0.5890989
12 0.9966209 0.9697304 0.8995369 0.8044754 0.6985630 0.5888701
14 0.9966168 0.9697230 0.8995270 0.8044662 0.6985543 0.5888628
16 0.9966139 0.9697184 0.8995211 0.8044605 0.6984759 0.5888527
18 0.9966117 0.9697153 0.8995173 0.8035431 0.6984739 0.5888408
20 0.9966099 0.9697131 0.8995147 0.7978369 0.6984141 0.5888151
0.5 10 0.9568788 0.9251526 0.8426956 0.7352145 0.6226320 0.5138391
12 0.9568060 0.9250809 0.8426484 0.7351908 0.6226169 0.5137160
14 0.9567554 0.9250324 0.8426184 0.7351761 0.6226086 0.5137087
16 0.9567184 0.9249996 0.8425983 0.7351662 0.6225689 0.5136974
18 0.9566904 0.9249751 0.8425838 0.7343810 0.6225505 0.5136838
20 0.9566685 0.9249568 0.8425731 0.7298898 0.6225243 0.5136751
0.7 10 0.7761549 0.7397900 0.6496077 0.5433516 0.4437551 0.3564644
12 0.7758394 0.7395186 0.6494709 0.5433030 0.4437321 0.3564627
14 0.7756205 0.7393302 0.6493798 0.5432709 0.4437303 0.3564145
16 0.7754610 0.7392015 0.6493171 0.5432486 0.4437206 0.3564095
18 0.7753401 0.7391041 0.6492706 0.5426485 0.4437100 0.3563977
20 0.7752458 0.7390312 0.6492357 0.5403350 0.4436805 0.3563657
0.9 10 0.3218547 0.3015588 0.2543646 0.2044685 0.1621533 0.1279678
12 0.3214913 0.3012669 0.2542337 0.2044252 0.1621464 0.1278326
14 0.3212421 0.3010630 0.2541465 0.2043967 0.1621096 0.1277778
16 0.3210623 0.3009267 0.2540872 0.2043770 0.1620906 0.1276993
18 0.3209273 0.3008229 0.2540430 0.2039257 0.1620792 0.1276783
20 0.3208227 0.3007467 0.2540101 0.2029383 0.1615500 0.1274326
др. [24] связывали замедление сходимости для малых углов полурас-
твора с несоответствием асимптотического поведения базиса вдоль
вертикальной оси точному решению задачи, которое для цилиндри-
ческой полости (предельное положение) должно экспоненциально за-
тухать.
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 199
6 Анализ
Величины собственных значений {mn зависят от геометрических па-
раметров бака – радиуса свободной поверхности r00, радиуса внеш-
него дна r10 и внутреннего радиуса свободной поверхности r01 кони-
ческой полости.
Таблица 3. Собственные значения {m1 для срезанных коаксиальных ко-
нических полостей с внешним углом полураствора ✓0 = ⇡/6.
�h��r 0.0 0.152 0.305 0.466 0.630 0.808
{11
0.0 1.304374 1.256009 1.142502 1.012990 0.890033 0.778102
0.1 1.304374 1.256009 1.142500 1.012984 0.890013 0.778057
0.3 1.304036 1.255501 1.141337 1.010568 0.885919 0.772171
0.5 1.290784 1.239135 1.116369 0.975095 0.841505 0.721904
0.7 1.154348 1.092334 0.948884 0.794592 0.660154 0.548873
0.9 0.542357 0.499647 0.409323 0.324527 0.258921 0.209264
{21
0.0 2.263150 2.260262 2.223329 2.111504 1.936729 1.735771
0.1 2.263150 2.260262 2.223329 2.111504 1.936729 1.735771
0.3 2.263148 2.260259 2.223326 2.111494 1.936696 1.735687
0.5 2.262230 2.259321 2.222105 2.109228 1.932354 1.728558
0.7 2.211617 2.208200 2.164492 2.032415 1.829477 1.603792
0.9 1.361473 1.357026 1.302027 1.153830 0.967179 0.797411
{31
0.0 3.180249 3.180110 3.172544 3.114501 2.949897 2.693323
0.1 3.180249 3.180110 3.172544 3.114501 2.949897 2.693323
0.3 3.180249 3.180109 3.172544 3.114500 2.949897 2.693322
0.5 3.180191 3.180052 3.172481 3.114397 2.949644 2.692747
0.7 3.165358 3.165203 3.157067 3.094855 2.919042 2.647193
0.9 2.328438 2.327992 2.313095 2.209143 1.963762 1.665436
Большинство численных экспериментов фокусировалось на расчё-
те наиболее важных с практической точки зрения наименьших соб-
ственных значений {m1, m � 0.
Расчёты по определению собственных значений {mn, проиллю-
стрированные на рис. 3, показывают, что при стремлении r11 к r10
собственные значения стремятся к нолю. Причем к нолю они стре-
мятся резко для очень больших r11, почти равных r10 (подобно ре-
зультатам работы [9]), т.е. объём жидкости почти нолевой, что являет
собой типичную физическую картину. При стремлении же r11 к r01,
как видно из рисунка, кривые собственных значений {mn приближа-
ются к оси абсцисс сохраняя свою тенденцию. На рисунке 3 отобра-
жено графически несколько зависимостей наименьших собственных
200 Солодун А. В.
Таблица 4. Собственные значения {m1 для срезанных коаксиальных ко-
нических полостей с внешним углом полураствора ✓0 = ⇡/4.
�h��r 0.0 0.132 0.268 0.414 0.577 0.767
{11
0.0 0.999995 0.974063 0.906917 0.809492 0.714715 0.608028
0.1 0.999981 0.974040 0.906847 0.809312 0.714347 0.607451
0.3 0.996610 0.969713 0.899515 0.797837 0.698414 0.588815
0.5 0.956669 0.924957 0.842573 0.729890 0.622524 0.513675
0.7 0.775246 0.739031 0.649236 0.540335 0.443681 0.356366
0.9 0.320823 0.300747 0.254010 0.202938 0.161550 0.127433
{21
0.0 1.767377 1.766371 1.752355 1.697233 1.586595 1.411337
0.1 1.767377 1.766371 1.752355 1.697233 1.586594 1.411335
0.3 1.767254 1.766246 1.752188 1.696893 1.585829 1.409929
0.5 1.759020 1.757911 1.742590 1.682773 1.563350 1.378909
0.7 1.633001 1.631229 1.608580 1.525116 1.372365 1.168678
0.9 0.834799 0.832654 0.808901 0.731151 0.617839 0.497584
{31
0.0 2.504928 2.504896 2.502980 2.479973 2.405184 2.210200
0.1 2.504928 2.504896 2.502980 2.479973 2.405184 2.210200
0.3 2.504924 2.504892 2.502976 2.479966 2.405162 2.210140
0.5 2.503552 2.503516 2.501540 2.478249 2.401680 2.203772
0.7 2.441007 2.440841 2.437663 2.411032 2.304989 2.072664
0.9 1.487584 1.486575 1.478661 1.433121 1.289970 1.073612
значений {m1 относительно r01 и r10 для усечённых соосных полостей
с несколькими типичными исследуемыми (см. табл. 3-5) внешними
углами полураствора ✓0. Установлено, что с увеличением величины
угла полураствора ✓0 собственные значения для _-конуса уменьша-
ются (рис. 3). Величины собственных значений {m1 соотносятся как
{31 > {21 > {11.
Значения низших собственных частотных параметров {11 для _-
образных соосных конусов являются актуальными для расчёта реаль-
ных водонапорных башен. Реальную размерную величину собствен-
ной частоты �mn можно получить, воспользовавшись формулой
�2
mn
=
g {mn(�r, �h)
r00
(42)
и данными из приведённых таблиц, где g, r00, r01 и r10 размерные.
Также производилось сравнение величин собственных значений в
некоторых предельных случаях. Сравнение производилось с резуль-
татами работ [6] по соосным цилиндрическим полостям при стремле-
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 201
Таблица 5. Собственные значения {m1 для срезанных коаксиальных ко-
нических полостей с внешним углом полураствора ✓0 = ⇡/3.
�h��r 0.0 0.102 0.210 0.333 0.484 0.688
{11
0.0 0.677679 0.667985 0.640242 0.594427 0.528507 0.440013
0.1 0.677586 0.667852 0.639953 0.593817 0.527463 0.438616
0.3 0.670635 0.659747 0.628288 0.576871 0.505609 0.414858
0.5 0.624299 0.610592 0.571360 0.510749 0.434419 0.347199
0.7 0.477781 0.463024 0.422173 0.364173 0.298780 0.231864
0.9 0.188155 0.180594 0.160512 0.134184 0.106982 0.081376
{21
0.0 1.214432 1.214236 1.211245 1.197059 1.151897 1.036716
0.1 1.214431 1.214236 1.211244 1.197057 1.151891 1.036701
0.3 1.213856 1.213652 1.210562 1.195961 1.149779 1.032932
0.5 1.198223 1.197903 1.193760 1.174848 1.118312 0.988772
0.7 1.064072 1.063187 1.055618 1.024567 0.942942 0.793287
0.9 0.500004 0.498752 0.490870 0.463168 0.403263 0.318357
{31
0.0 1.732051 1.732048 1.731828 1.729055 1.709961 1.614685
0.1 1.732051 1.732048 1.731828 1.729055 1.709961 1.614685
0.3 1.732010 1.732007 1.731786 1.728998 1.709838 1.614373
0.5 1.728012 1.727992 1.727674 1.724351 1.702731 1.601016
0.7 1.644733 1.644401 1.642769 1.635242 1.596180 1.451416
0.9 0.911444 0.909961 0.904118 0.888233 0.830982 0.690849
нии в нашем случае глубины жидкости конической полости к беско-
нечности. Геометрическая характеристика соосных цилиндров � вы-
ражается через соотношение радиусов цилиндров выражением � =
R0
R1
. Тут радиус внутреннего цилиндра обозначался через R0, а внеш-
него – через R1. В нашем случае такое соотношение � примет вид
�r = r01/r00 = tan ✓1
�
tan ✓0. Тогда взаимосвязь “цилиндрическая–
коническая” полость можно представить в виде � ! �r. К примеру,
для геометрии соосных цилиндров � = 0.4 и � = 0.6 соответствую-
щая приближённая геометрия соосных конусов для случая m = 1 и
✓0 = 45� будет ✓1 = 21�480500 и ✓1 = 30�5705000. Сравнивая посчитан-
ные наинизшие собственные значения для обоих полостей, получаем
в первом случае cyl11 = 0.70201, и con11 = 0.70138, и соответственно во
втором cyl11 = 0.82648, и con11 = 0.82539, что представляет достаточ-
но хорошее совпадение и подтверждение достоверности настоящей
методики.
202 Солодун А. В.
а) 0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Κ11
r01!0.808
r01!0.630
r01!0.466
r01!0.305
r01!0.152
r01!0.000
0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.5
1.0
1.5
2.0
Κ21
r01!0.808
r01!0.630
r01!0.466
r01!0.305
r01!0.152
r01!0.000
0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Κ31
r01!0.808
r01!0.630
r01!0.466
r01!0.305
r01!0.152
r01!0.000
б) 0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.2
0.4
0.6
0.8
Κ11
r01!0.767
r01!0.577
r01!0.414
r01!0.268
r01!0.132
r01!0.000
0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.5
1.0
1.5
Κ21
r01!0.767
r01!0.577
r01!0.414
r01!0.268
r01!0.132
r01!0.000
0.2 0.4 0.6 0.8 r10
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
Κ31
r01!0.767
r01!0.577
r01!0.414
r01!0.268
r01!0.132
r01!0.000
в) 0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Κ11
r01!0.688
r01!0.484
r01!0.333
r01!0.210
r01!0.102
r01!0.000
0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Κ21
r01!0.688
r01!0.484
r01!0.333
r01!0.210
r01!0.102
r01!0.000
0.2 0.4 0.6 0.8 r10
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Κ31
r01!0.688
r01!0.484
r01!0.333
r01!0.210
r01!0.102
r01!0.000
Рис 3. Значения {m1 для нескольких типичных коаксиальных конических
полостей (а) – ✓0 = 30�, б) – ✓0 = 45�, в) – ✓0 = 60�) относительно величины
угла полураствора внутреннего конуса ✓1 и величины среза h в терминах
радиусов.
7 ВЫВОДЫ
Рассмотрен численно-аналитический метод расчёта собственных ча-
стот и форм для усечённых соосных конических баков, основанный
на вариационном алгоритме Ритца-Трефтца. Метод базируется на
неконформном преобразовании области, приводящем к частичному
разделению переменных задачи, что позволяет построить эффектив-
ную координатную систему функций, восходящую к функциям Ле-
жандра первого и второго рода.
Численные данные этой работы сравниваются с результатами ра-
бот [1, 20], полученными для конических полостей с малым углом
раствора. Удовлетворительное согласование результатов наблюдает-
ся для широкого диапазона полостей, за исключением лишь случая
малого объёма жидкости Q0.
Результаты работы предполагается использовать для развития не-
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 203
линейной модальной теории для усечённых соосных конических ба-
ков.
[1] Докучаев Л. В.� К решению краевой задачи о колебаниях жидкости
в конических полостях // Прикл. математика и механика. � 1964. �
28, вып. 1. � С. 151–154.
[2] Докучаев Л. В., Луковский И. А. Методы определения гидродинами-
ческих характеристик подвижного сосуда с перегородками. Изв. АН
СССР: МЖГ, � 1968. � No. 6. � С. 205–213.
[3] Луковский И. А. Нелинейные колебания жидкости в полостях слож-
ной геометрии. Киев: Наукова думка, � 1975. � 232 с.
[4] Луковский I. О. До розв’язування спектральних задач лiнiйної теорiї
коливань рiдини в конiчних баках // Доповiдi НАН України. Механi-
ка. � 2002. � № 5. � С. 53–58.
[5] Луковский И. А. Об одной математической модели волновых движе-
ний жидкости в резервуарах с наклонными стенками // Збiрник праць
Iнституту математики НАН України. � 2005. � 2, 1. � С. 227–253.
[6] Луковский И.А. Математические модели нелинейной динамики твер-
дых тел с жидкостью. Киев: Наук. думка. � 2010. � 408 с.
[7] Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н. Приближенные ме-
тоды решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев:
Наукова думка, � 1984. � 212 с.
[8] Луковский И. А., Билык А. Н. Вынужденные нелинейные колебания
жидкости в подвижных осесимметричных конических полостях. В кн.:
“Численно-аналитические методы исследования динамики и устойчи-
вости многомерных систем”. � Киев: Институт математики АН
УССР, � 1985. � С. 12–26.
[9] Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н. Собственные частоты
колебаний жидкости в усечённых конических баках// Акустический
вестник. Ин-т гидромеханики НАН Украины. � 2006. � 9, 3. � С. 18–
34.
[10] Луковский И. А., Солодун А. В. Вариационный метод исследования
спектральной задачи о собственных колебаниях жидкости в соосных
конических резервуарах// Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї-
ни. � 2013. � 10, 3. � С. 88-112.
[11] Луковский И. А., Тимоxа А. Н. Вариационные методы в нелинейной
динамике ограниченного объёма жидкости. Киев: Институт матема-
тики НАНУ, � 1995. � 400 с.
204 Солодун А.В.
[12] Луковский И.А., Тимоxа А.Н. Модальное моделироание нелинейных
плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика
неконформных отображений// Прикладная гидромеханика. � 2000. �
2 (74), 4. � С. 32–47.
[13] Луковский И. А., Троценко В. А., Фещенко С. Ф. Расчет динамиче-
ских характеристик жидкости в подвижных полостях. Киев: Акаде-
мия наук Украинской ССР. � 1968. � 265 с.
[14] Микишев Г. Н., Дорожкин Н. Я. Экспериментальные исследования
свободных колебаний жидкости в контейнерах// Известия Академии
Наук СССР. Отделение Технических наук, Механики и Машиностро-
ения, � 1961. � № 4. � С. 48–53.
[15] Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостя-
ми, частично заполненного жидкостью. Москва: Машиностроение, �
1968. � 532 с.
[16] Солодун А. В. Нелинейные модальные модели третьего порядка ма-
лости, описывающие колебание жидкости усечённых конических ре-
зервуарах// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. � 2014. � 11,
4. � С. 280–307.
[17] Солодун А. В. Общая нелинейная математическая модальная модель
третьего порядка малости колебаний жидкости в соосных конических
резервуарах// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. � 2017. �
14, № 2. � С. 33-149.
[18] Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В.
Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных
полостях. Киев: Наукова думка, � 1969. � 250 с.
[19] Abramson H. N. NASA Space Vehicle Design Criteria (Structures). NASA
SP-8009: Propellant slosh loads. August, –– 1968. –– 48 p.
[20] Bauer H. F. Sloshing in conical tanks// Acta Mechanica, –– 1982. –– 43,
(3-4). –– P. 185–200.
[21] Bauer H. F., Eidel W. Non–linear liquid motion in conical container//
Acta Mechanica, –– 1988. –– 73, (1-4). –– P. 11–31.
[22] El Damatty A., Korol R. M., Tang L. M. Analytcial and experimental in-
vestigation of the dynamic response of liquid-filled conical tanks. Proceed-
ings of the World Conference of Earthquake Engineering, New Zeland, ––
2000. –– Paper No. 966, Topic No. 7, –– 8.
[23] Dutta S., Laha M. K. Analysis of the small amplitude sloshing of a liquid
in a rigid container of arbitrary shape using a low-order boundary element
method // International Journal for Numerical Methods in Engineering ––
2000. –– 47, 9. –– P. 1633–1648.
Собственные колебания жидкости в усечённых соосных кони . . . 205
[24] Gavrilyuk I., Lukovsky I. A., Timokha A. N. Linear and nonlinear sloshing
in a circular conical tank// Fluid Dynamics Research. –– 2005. –– 37. ––
P. 399–429.
[25] Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O., Timokha A. Natural
Sloshing Frequencies in Truncated Conical Tanks// Engineering Compu-
tations EC 1224. –– 2008. –– 25, 6. –– P. 518-540.
[26] Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O., Timokha A. Weakly
nonlinear sloshing in a truncated circular conical tank// Fluid Dynamics
Research. –– 2013. –– 45, 055512. –– P. 1-30.
[27] Levin O. Oscillation of a Fluid in Rectlinear Conical Container// AIAA
Journ. –– 2, 6. –– 1963. –– P. 1447–1448.
[28] Lukovsky I. A. Variational methods of solving dynamic problems for fluid-
containing bodies // International Applied Mechanics, –– 2004. –– 40,
10. –– P. 1092–1128.
[29] Lukovsky I. A., Timokha A. N. Modal modeling of nonlinear fluid sloshing
in tanks with non-vertical walls. Non-conformal mapping technique //
International Journal of Fluid Mechanics Research. –– 2002. –– 29, 2. ––
P. 216–242.
[30] Shrimali M.K., Jangid R.S. Earthquake response of isolated elevated liq-
uid storage steel tanks // Journal of Constructional Steel Research. ––
2003. –– 59. –– P. 1267–1288.
[31] Tang L. M. Dynamic behavior of liquid-filled circular and conical tanks.
Master Thesis, McMaster University –– Hamilton, Ontario, Canada, ––
1999. –– 180 p.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-428 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:14Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b2/f296f7878be97bebc72f745f71f1dab2.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4282020-08-10T19:26:13Z Natural sloshing in coaxial conical tanks Собственные колебания жидкости в усечённых соосных конических баках Власні коливання рідини у соосних конічних резервуарах Солодун, О.В. Солодун, А.В. Solodun, O.V. Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної рiдини в резервуарах у виглядi зрiзаних коаксiальних конусiв. В яко- стi координатного базису виступають побудованi в спецiальнiй криволiнiйнiй системi координат гармонiчнi функцiї, якi точно задовольняють граничнi умови на твердих стiнках резервуара. Пораховано власнi частоти i форми коливань в розглядуванiй порожнинi в широкому дiапазонi геометричних параметрiв. Розвинуто варiацiйний метод Рiтца-Трефтца побудови наближеного розв’язку спектральної задачi, що описує вiльнi коливання iдеальної рiдини в резервуарах у виглядi зрiзаних коаксiальних конусiв. В яко- стi координатного базису виступають побудованi в спецiальнiй криволiнiйнiй системi координат гармонiчнi функцiї, якi точно задовольня- ють граничнi умови на твердих стiнках резервуара. Пораховано власнi частоти i форми коливань в розглядуванiй порожнинi в широкому дiапазонi геометричних параметрiв. A variational Ritz-Tre↵ts method for constructing an approximate solution of a spectral problem describing free oscillations of an ideal fluid in co-axial conical tanks is developed. The method employs the harmonic functional basis (in curvilinear coordinates), which exactly satisfies boundary conditions on the solid walls of the reservoir. Natural frequencies and modes are illustrated for a wide range of the input geometric parameters. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/428 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 180-205 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 180-205 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 180-205 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/428/438 Авторське право (c) 2020 О.В. Солодун http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Солодун, О.В. Солодун, А.В. Solodun, O.V. Natural sloshing in coaxial conical tanks |
| title | Natural sloshing in coaxial conical tanks |
| title_alt | Собственные колебания жидкости в усечённых соосных конических баках Власні коливання рідини у соосних конічних резервуарах |
| title_full | Natural sloshing in coaxial conical tanks |
| title_fullStr | Natural sloshing in coaxial conical tanks |
| title_full_unstemmed | Natural sloshing in coaxial conical tanks |
| title_short | Natural sloshing in coaxial conical tanks |
| title_sort | natural sloshing in coaxial conical tanks |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/428 |
| work_keys_str_mv | AT solodunov naturalsloshingincoaxialconicaltanks AT solodunav naturalsloshingincoaxialconicaltanks AT solodunov naturalsloshingincoaxialconicaltanks AT solodunov sobstvennyekolebaniâžidkostivusečënnyhsoosnyhkoničeskihbakah AT solodunav sobstvennyekolebaniâžidkostivusečënnyhsoosnyhkoničeskihbakah AT solodunov sobstvennyekolebaniâžidkostivusečënnyhsoosnyhkoničeskihbakah AT solodunov vlasníkolivannârídiniusoosnihkoníčnihrezervuarah AT solodunav vlasníkolivannârídiniusoosnihkoníčnihrezervuarah AT solodunov vlasníkolivannârídiniusoosnihkoníčnihrezervuarah |