Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies
Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find sucient conditions for the boundedness (unboundedness) of the manifold of symmetric motions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/429 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552928887177216 |
|---|---|
| author | Sosnitskii, S.P. Сосницкий, С.П. Сосницький, С.П. |
| author_facet | Sosnitskii, S.P. Сосницкий, С.П. Сосницький, С.П. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "С.П. Сосницький",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Sosnitskii, S.P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description |
Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find sucient conditions for the boundedness (unboundedness) of the manifold of symmetric motions.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 206–216
УДК 531.36;531.01
Про симетричнi рухи в елiптичнiй
обмеженiй задачi трьох тiл ⇤
C.П. Сосницький
Iнститут математики НАН України, Київ; sosn@imath.kiev.ua
Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find
su�cient conditions for the boundedness (unboundedness) of the manifold
of symmetric motions.
У рамках елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми знаходимо достатнi
умови обмеженостi (необмеженостi) многовиду симетричних рухiв.
Вступ
Вiдомо, що обмежена задача трьох тiл (матерiальних точок) є дово-
лi спрощеною моделлю руху трьох тiл [1, 2]. Разом з тим ця модель,
особливо якщо взяти до уваги її елiптичний варiант, зберiгає свою
актуальнiсть i нинi, про що свiдчить велика кiлькiсть практичних
застосувань обмеженої задачi [1, 3–6]. Надалi зупинимось на симе-
тричних рухах елiптичної обмеженої задачi. Це досить вузький, але
дуже важливий клас рухiв у рамках обмеженої задачi, оскiльки са-
ме цi рухи пов’язують з питанням iснування осцилюючих фiнальних
еволюцiй, що знайшло своє вiдображення у вiдомiй роботi Сiтнiко-
ва [7]. Сiтнiков якраз у рамках елiптичної обмеженої задачi трьох тiл
у випадку, коли два з них мають рiвнi маси, довiв iснування осцилю-
ючих рухiв, що стало поштовхом для подальших дослiджень у цьому
напрямку в загальному випадку задачi трьох тiл [8–10].
Нижче, на вiдмiну вiд робiт автора [11–13], де розглядалися симе-
тричнi рухи лише у загальному випадку задачi трьох тiл, зосередимо
нашу увагу на елiптичнiй обмеженiй задачi, дослiджуючи, зокрема,
умови обмеженостi (необмеженостi) симетричних рухiв.
Отже, розглянемо випадок обмеженої задачi трьох тiл, коли век-
тори r1 i r2, як розв’язки задачi двох тiл, можуть вiдповiдати як
⇤Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0117U004077.
c� Сосницький C.П., 2018
Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 207
круговим, так i елiптичним орбiтам матерiальних точок з масами m1
i m2. Переходячи далi до вiдносних довжин векторiв i розглядаючи
рiвняння обмеженої задачi як частинний випадок загальної задачi
трьох тiл [16], отримуємо
⇢1
00 = µ
⇢12
|⇢12|3
,
⇢2
00 = �(1� µ)
⇢12
|⇢12|3
,
⇢3
00 = �(1� µ)
⇢13
|⇢13|3
� µ
⇢23
|⇢23|3
.
(1)
Тут ⇢
ij
= ⇢
j
� ⇢
i
(i, j = 1, 2, 3), ⇢
i
= ri/r0 (r0 – сталий параметр, що
має розмiрнiсть одиницi довжини), штрих означає диференцiювання
за безрозмiрним часом
⌧ =
p
G(m1 +m2)
|r12|03/2
t,
де G > 0 – гравiтацiйна стала, а
µ =
m2
m1 +m2
, 0 < µ 1
2
.
Системi (1) також можна надати форми
⇢12
00 = � ⇢12
|⇢12|3
,
⇢3
00 = �(1� µ)
⇢13
|⇢13|3
� µ
⇢23
|⇢23|3
.
(2)
Надалi поряд з рiвняннями (1) i (2) використовуватимемо також
рiвняння руху обмеженої задачi у формi рiвнянь вiдстаней [14]:
⇢212
00
= 2
✓
v212 �
1
⇢12
◆
,
⇢213
00
= 2v213 � 2
(1� µ)
⇢13
+
µ
⇢12
✓
⇢223 � ⇢213
⇢212
� 1
◆
+
µ
⇢23
✓
⇢212 � ⇢213
⇢223
� 1
◆
,
208 Сосницький C.П.
⇢223
00
= 2v223�2
µ
⇢23
+
(1� µ)
⇢12
✓
⇢213 � ⇢223
⇢212
� 1
◆
+
(1� µ)
⇢13
✓
⇢212 � ⇢223
⇢213
� 1
◆
,
v213
0
+
⇢213
0
⇢313
= �µ
⇢213
0
✓
1
⇢312
� 1
⇢313
◆
+ 2⇢23⇢
0
13
✓
1
⇢323
� 1
⇢312
◆�
, (3)
v223
0
+
⇢223
0
⇢323
= (1� µ)
⇢223
0
✓
1
⇢323
� 1
⇢312
◆
+ 2⇢13⇢
0
23
✓
1
⇢312
� 1
⇢313
◆�
,
(⇢23⇢
0
13)
0 =
1
2
(�v212 + v213 + v223)�
(1� µ)
2⇢13
✓
1 +
⇢223 � ⇢212
⇢213
◆
+
µ
2⇢12
✓
1 +
⇢223 � ⇢213
⇢212
◆
� µ
⇢23
,
де ⇢ij = |⇢
ij
|, vij = |⇢0
ij
|.
Якщо взяти до уваги отриманi автором ранiше [14, 15] рiвностi
x = �⇢3⇢12, y = �⇢3⇢
0
12, (4)
⇢23⇢
0
13 = �y +
1
2
⇢2
23
0 � 1� µ
2
⇢2
12
0
, ⇢13⇢
0
23 = y +
1
2
⇢2
13
0 � µ
2
⇢2
12
0
, (5)
⇢12⇢3 =
1
2
⇥
(1� 2µ)⇢2
12 + ⇢2
13 � ⇢2
23
⇤
, (6)
то останнi три рiвняння системи (3) можна замiнити на рiвняння
v213
0
+
⇢213
0
⇢313
= �µ
"✓
2
⇢13
� 2
⇢23
◆0
+ 2y
✓
1
⇢312
� 1
⇢323
◆
+
(⇢213 � ⇢223)
0
⇢312
�2(1� µ)
✓
1
⇢12
◆0
� (1� µ)
(⇢212)
0
⇢323
#
, (7)
v223
0
+
⇢223
0
⇢313
= (1� µ)
"✓
2
⇢13
� 2
⇢23
◆0
+ 2y
✓
1
⇢312
� 1
⇢313
◆
+
(⇢213 � ⇢223)
0
⇢312
+2µ
✓
1
⇢12
◆0
+ µ
(⇢212)
0
⇢313
#
,
y0 = � x
⇢312
+
1
2
⇥
�(1� 2µ)v212 + (v223 � v213)
⇤
.
В подальшому залежно вiд обставин використовуватимемо будь-
яку з систем (1)–(3).
Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 209
1 Про многовид сииметричниих рухiв для обме-
женої задачi трьох тiл
За умови, що m1 = m2 й, вiдповiдно, µ = 1/2, приходимо до много-
виду симетричних рухiв:
⇢00
12 = � ⇢12
|⇢12|3
,
⇢00
3 = � ⇢3
|⇢13|3
,
(8)
на якому |⇢13| = |⇢23| й виконується рiвнiсть
⇢2
3 =
1
4
�
�⇢2
12 + 4⇢2
13
�
. (9)
Вiдповiдно до структури системи (8), справедливi рiвностi
⇢12 ⇥ ⇢0
12 = C1, ⇢3 ⇥ ⇢0
3 = C2, (10)
де C1,C2 – сталi вектори, й, отже, маємо змогу якiсне дослiдження
системи (8) звести до системи з двома ступенями вiльностi:
⇢212
00
= 2v212 �
4µ
⇢12
,
⇢23
00
= 2v23 � 2
⇢23
⇢313
,
(11)
де |⇢12| = ⇢12, |⇢13| = ⇢13, v212 = ⇢02
12, v
2
3 = ⇢02
3 i, в свою чергу,
⇢02
12 = ⇢0212 +
|⇢12 ⇥ ⇢0
12|
2
⇢212
, (12)
⇢02
3 = ⇢023 +
|⇢3 ⇥ ⇢0
3|
2
⇢23
. (13)
Якщо C2 = 0, то рух системи (11) зводиться до коливань малої
частки вздовж осi, яка проходить через центр мас пари масивних
тiл i перпендикулярна до площини, в якiй рухається ця пара. Саме
на цьому випадку ми зосередимо свою увагу далi. Зазначимо, що
210 Сосницький C.П.
якраз при C2 = 0 Сiтнiкову вдалося виявити осцилюючi фiнальнi
еволюцiї [7].
До системи (11) ми прийшли на пiдставi рiвнянь (2). Якщо взя-
ти за основу рiвняння (3) i врахувати (7), то многовид симетричних
рухiв отримаємо у виглядi
⇢212
00
= 2E12 +
2
⇢12
,
⇢213
00
= 2E13 +
2
⇢13
+ µ
✓
� 1
⇢12
+
⇢212
⇢313
◆
, (14)
E0
12 = 0,
E0
13 = �µ
2
⇢212
0
✓
1
⇢312
� 1
⇢313
◆
,
де
⇢ij = |⇢
ij
|, vij = |⇢0
ij
|, E12 = v212 �
2
⇢12
, E13 = v213 �
2
⇢13
.
З урахуванням рiвностей (10), (12) i (13) бачимо, що це також система
з двома ступенями вiльностi.
Оперуючи рiзними формами многовиду симетричних рухiв нескiн-
ченно малої частки, сподiватимемося, що зможемо повнiше охопити
їх характернi властивостi.
2 Про умови обмеженостi (необмеженостi) много-
виду симетричних рухiв
Означення 1. Многовид симетричних рухiв назвемо обмеженим,
якщо рухи, якi його формують, є обмеженими.
Означення 2. Многовид симетричних рухiв назвемо необмеженим,
якщо вiн мiстить хоча б один необмежений рух.
Розглянемо многовид симетричних рухiв у формi (8). Помножив-
ши обидвi частини другого рiвняння системи (8) на 2⇢0
3, отримаємо
(⇢02
3 )
0 =
1
4
⇢212
0
⇢313
+
✓
2
⇢13
◆0
. (15)
Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 211
Введемо позначення
E3 = v23 �
2
⇢13
(16)
i проiнтегруємо рiвнiсть (15). В результатi приходимо до рiвностi
E3
����
⌧2
⌧1
=
1
4
⌧2Z
⌧1
⇢212
0
⇢313
d⌧ =
1
4
2
4⇢212
⇢313
����
⌧2
⌧1
�
⌧2Z
⌧1
⇢212
d
d⌧
✓
1
⇢313
◆
d⌧
3
5 . (17)
Припустимо тепер, що в межах сегмента [⌧1, ⌧2] функцiя ⇢2
13 мо-
нотонно зростає. Тодi, застосовуючи теорему про середнє [17], на пiд-
ставi рiвностi (17) маємо
E3
����
⌧2
⌧1
=
1
4
"
⇢212
⇢313
����
⌧2
⌧1
�⇢212(⌧⇤)
✓
1
⇢313
◆ ����
⌧2
⌧1
#
, (18)
де ⌧⇤ 2 [⌧1, ⌧2]. Надалi рiвнiсть (18) зручно зобразити у виглядi
E3
����
⌧2
⌧1
=
1
4
⇢212(⌧2)� ⇢212(⌧⇤)
⇢313(⌧2)
+
⇢212(⌧⇤)� ⇢212(⌧1)
⇢313(⌧1)
�
. (19)
У розглядуваному випадку мала частка може здiйснювати коливний
рух навколо центра мас масивних тiл. При цьому амплiтуда коли-
вань може бути як обмеженою, так i необмеженою. Можливе також
монотонне вiддалення малої частки вiд центра мас на нескiнченну
вiдстань. В пiдсумку, оскiльки C2 = 0, то ⇢02
3 (⌧) = ⇢023 (⌧) i, таким
чином, v23 = ⇢023 .
Вважаючи, що мала частка здiйснює коливний рух навколо цен-
тра мас пари масивних тiл, розглянемо послiдовнiсть {(v23)n} значень
функцiї v23 у точцi ⇢23 = 0. Зв’яжемо з кожним номером n промiжок
часу Tn, упродовж якого функцiя ⇢23(⌧) монотонно зростає до мо-
менту її максимуму, коли ⇢23
0
(⌧) = 0. Послiдовнiсть таких промiжкiв
позначимо через {Tn}.
Згiдно з рiвнiстю (9) маємо
(⇢213)
0 = (⇢23)
0 +
1
4
(⇢212)
0, (20)
а отже, за достатньо малого ексцентриситету елiпса, який стосує-
ться пари масивних тiл, у вiдповiднiсть послiдовностi{Tn} можна по-
ставити таку послiдовнiсть {T ⇤
n
}(n = 1, 2, 3, . . . ), на елементах якої
212 Сосницький C.П.
монотонно зростає функцiя ⇢2
13(⌧), ⇢213 2 [⇢212/4,1). Зрозумiло, що
оскiльки в точцi максимуму функцiї ⇢23(⌧) її похiдна дорiвнює нулю,
то промiжки часу {T ⇤
n
} можуть бути коротшими, нiж Tn. Це безпо-
середньо випливає з рiвностi (20). Тому надалi зручно вважати, що
T ⇤
n
✓ Tn.
Твердження 1. Нехай
lim
n!1
(v23)n = ṽ2 (21)
i, крiм того, виконується нерiвнiсть
ṽ2 � 4
⇢12
��, 0 < � = const. (22)
Тодi, якщо ексцентриситет елiпсiв, зумовлених рухом пари масив-
них тiл, є достатньо малим, то многовид симетричних рухiв є
обмеженим.
Доведення. Замiнимо у рiвностi (19) ⌧1 на ⌧1n i ⌧2 на ⌧2n, де ⌧1n
i ⌧2n є вiдповiдно початком i кiнцем промiжку часу {T ⇤
n
}. Початок
сегмента [⌧1n, ⌧2n] пов’яжемо з точкою ⇢23 = 0. Тодi на пiдставi (19)
прийдемо до рiвностi
E3
����
⌧2n
= E3
����
⌧1n
+
1
4
⇢212(⌧2n)� ⇢212(⌧⇤)
⇢313(⌧2n)
+
⇢212(⌧⇤)� ⇢212(⌧1n)
⇢313(⌧1n)
�
. (23)
У вiдповiдностi з задачею двох тiл [2] маємо
⇢212(⌧) =
p2
[1 + e cos'(⌧)]2
, (24)
де p i e – вiдповiдно параметр i ексцентриситет елiптичної орбiти, '
– iстинна аномалiя. З урахуванням (24) рiвнiсть (23) перепишемо у
виглядi
E3
����
⌧2n
= E3
����
⌧1n
+
+
1
4
p2e
⇢
2[cos'(⌧⇤)� cos'(⌧2n)] + e[cos2 '(⌧⇤)� cos2 '(⌧2n)]
⇢313(⌧2n)[1 + e cos'(⌧2n)]2[1 + e cos'(⌧⇤)]2 +
+
2[cos'(⌧1n)� cos'(⌧⇤)] + e[cos2 '(⌧1n)� cos2 '(⌧⇤)]
⇢313(⌧1n)[1 + e cos'(⌧1n)]2[1 + e cos'(⌧⇤)]2
�
. (25)
Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 213
Якщо припустити тепер, що многовид симетричних рухiв є нео-
бмеженим, то вiн мiстить хоча б один необмежений рух. Отже, згiдно
з твердженням 2 [15] промiжки часу Tn(n = 1, 2, 3, . . . ) i, як наслi-
док, T ⇤
n
, якi вiдповiдають цьому руховi, є необмежено зростаючими.
На цих промiжках вiдповiдно монотонно зростають функцiї ⇢2
3 i ⇢2
13.
Спрямуємо у рiвностi (25) n до нескiнченностi, беручи до уваги той
факт, що T ⇤
n
✓ Tn. Тодi на пiдставi рiвностей (16) i (22) доходимо ви-
сновку, що за виконання умов теореми граничним значенням правої
частини рiвностi (25) є вираз
ṽ2 � 4
⇢12
+O(e) (26)
й, отже, за достатньо малого e маємо оцiнку
ṽ2 � 4
⇢12
+O(e) < �" 0 < " = const. (27)
Враховуючи рiвнiсть (16), отримуємо суперечнiсть, оскiльки згi-
дно з нашим припущенням на елементах послiдовностi T ⇤
n
вiдстань
⇢13 необмежено зростає. Отримана суперечнiсть робить припущен-
ня про iснування необмеженого руху помилковим, звiдки доходимо
висновку про справедливiсть твердження 1. 2
Зауваження 1. Оскiльки послiдовнiсть {(v23)n} обмежена, то во-
на мiстить збiжну пiдпослiдовнiсть i, таким чином, многовид симе-
тричних рухiв може мiстити обмеженi рухи навiть у тому випадку,
коли послiдовнiсть {(v23)n} не є збiжною.
На практицi дуже важко розраховувати на збiжнiсть послiдов-
ностi {(v23)n}, а от визначити sup(v23), використовуючи комп’ютерне
моделювання, цiлком реально. Отже, надалi логiчно отримати такi
достатнi умови обмеженостi многовиду симетричних рухiв, якi спи-
ралися б на цей факт.
Твердження 2. Нехай
sup(v23) = ↵ 0 < ↵ = const.
Тодi, якщо виконується нерiвнiсть
↵� 4
⇢12
��, 0 < � = const
214 Сосницький C.П.
i ексцентриситет елiпсiв, зумовлених рухом пари масивних тiл, є
достатньо малим, то многовид симетричних рухiв є обмеженим.
Для доведення твердження 2 достатньо скористатися схемою, яку
ми використовували при доведеннi твердження 1.
Твердження 3. Нехай в початковий момент часу енергiя малої
частки, яку вiдносимо до точки ⇢23(⌧1) = 0, задовольняє нерiвнiсть
E3
����
⌧=⌧1
=
✓
v23 �
2
⇢13
◆ ����
⌧=⌧1
= v03
2 � 4
⇢012
� �, 0 < � = const. (28)
Тодi, якщо ексцентриситет елiпсiв, зумовлених рухом пари масив-
них тiл, є достатньо малим, то многовид симетричних рухiв є
необмеженим.
Доведення. Припустимо супротивне, що за умов твердження
многовид (8) є обмеженим. Тодi мала частка, стартуючи з точки
⇢23(⌧1) = 0 в момент часу ⌧1, досягає максимуму в момент часу ⌧2 i
здiйснює рух у зворотному напрямi. Таким чином, на сегментi [⌧1, ⌧2]
функцiя ⇢2
3 монотонно зростає. В момент часу ⌧2, коли v23 = 0, енергiя
малої частки E3(⌧2) стає вiд’ємною. Отже, в межах сегмента [⌧1, ⌧2]
iснує такий момент часу ⌧̃ , коли E3(⌧̃) перетворюється в нуль. У цей
момент згiдно з (16)
v23(⌧̃) =
2
⇢13(⌧̃)
� ↵, 0 < ↵ = const (29)
i, таким чином, вiдповiдно до рiвностi (20), яку перепишемо у виглядi
(⇢213)
0 = (⇢23)
0 +
1
4
✓
p2
[1 + e cos'(⌧)]2
◆0
, (30)
за достатньо малого ексцентриситету e функцiя ⇢213 зростає.
Дещо адаптуючи рiвнiсть (17) до випадку, що розглядається, пе-
репишемо її у виглядi
E3
����
⌧̃
= E3
����
⌧1
+
1
4
2
4⇢212
⇢313
����
⌧̃
⌧1
�
⌧̃Z
⌧1
⇢212
d
d⌧
✓
1
⇢313
◆
d⌧
3
5 . (31)
З урахуванням того факту, шо на сегментi [⌧1, ⌧̃ ] за достатньо малого
e функцiя ⇢213 зростає, на пiдставi (31), використовуючи теорему про
Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл 215
середнє, маємо
E3
����
⌧̃
= E3
����
⌧1
+
+
1
4
p2e
⇢
2[cos'(⌧⇤)� cos'(⌧̃)] + e[cos2 '(⌧⇤)� cos2 '(⌧̃)]
⇢313(⌧̃)[1 + e cos'(⌧̃)]2[1 + e cos'(⌧⇤)]2 +
+
2[cos'(⌧1)� cos'(⌧⇤)] + e[cos2 '(⌧1)� cos2 '(⌧⇤)]
⇢313(⌧1)[1 + e cos'(⌧1)]2[1 + e cos'(⌧⇤)]2
�
. (32)
Припустивши, що за умов твердження многовид (8) є обмеженим,
приходимо до суперечностi, оскiльки лiва частина рiвностi (32) до-
рiвнює нулю, права ж при достатньо малому ексцентриситетовi e є
додатною. На пiдставi отриманої суперечностi робимо висновок про
справедливiсть твердження 3. 2
Зауваження 2. Беручи до уваги останнє рiвняння системи (14) i
рiвностi (15) i (16), маємо
E0
13 = �µ
2
(⇢212)
0
⇢313
+ E0
3
i, таким чином,
E13 � E3 �
µ
⇢12
= const.
На перший погляд може видатися, що ми отримали новий iнтеграл
руху. Однак, враховуючи структуру E13 i E3, легко бачити, що це
лише iнша форма запису iнтеграла енергiї для задачi двох тiл.
3 Висновок
Твердженнями 1–3 в рамках обмеженої елiптичної задачi трьох тiл
ми вказали достатнi умови обмеженостi (необмеженостi) многовиду
симетричних рухiв. Отриманi умови дають пiдстави стверджувати,
що коли ексцентриситет елiптичних орбiт масивних тiл є достатньо
малим, то характер симетричних рухiв досить близький до тих, що
реалiзуються в рамках обмеженої кругової задачi. Особливо вира-
зним у цьому сенсi є твердження 3.
216 Сосницький C.П.
[1] Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел.� М.: Наука,
1982.� 656 с.
[2] Рой А.Е. Движение по орбитам.� М.: Наука, 1981.� 544 с.
[3] Hill G.W. Researches in the Lunar Theory // Am. J. Math. –– 1878. ––
1. –– P. 5–26.
[4] Georgakarakos N. Stability criteria for hierarchical triple systems // Ce-
lestial Mech. Dyn. Astron. –– 2008. –– 100. –– P. 151–168.
[5] Makó Z. and Szenkovits F. Capture in the circular and elliptic restricted
three-body problem // Celestial Mech. Dyn. Astron. –– 2014. –– 90. ––
P. 51–58.
[6] Gong S. and Li J. Analytical criteria of Hill stability in the ellip-
tic restricted three-body problem // Astrophys. Space Sci. –– 2015. ––
358,(37). –– P. 1–10.
[7] Ситников K.A.Существование осциллирующих движений в задаче
трех тел // ДАН СССР. � 1960. � 133. � С. 303–306.
[8] Алексеев В.M. Лекции по небесной механике.� Москва-Ижевск: НИЦ
РХД, 2001.� 156 с.
[9] Moser J. Stable and Random Motion in Dynamical System.–– Princeton
University Press, 1973. 190 p.
[10] Маршал К. Задача трех тел.� Москва-Ижевск: Ин-т компьют. иссл.,
2004. 639 с.
[11] Сосницький С.П. Про деякi особливостi симетричних рухiв у задачi
трьох тiл // Проблеми динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем. �
Зб. праць Iн-ту матем. НАН України, Київ.� 2013. � 10, № 3. � C. 178–
190.
[12] Sosnitskii S.P. On the bounded symmetrical motions in the three-body
problem // Intern. J. Non-Linear Mech. –– 2014. –– 67. –– P. 34–38.
[13] Sosnitskii S.P. On the Hill stable motions in the three-body problem //
Adv. Space Research.–– 2015.–– 56.–– P. 859–864.
[14] Sosnitskii S.P. On the Lagrange stability of motion in the planar restricted
three-body problem // Adv. Space Res. –– 2017. –– 59. –– P. 2459–2465.
[15] Сосницький С.П. Про деякi якiснi аспекти руху в елiптичнiй обмеже-
нiй задачi трьох тiл // Математичнi проблеми механiки та обчислю-
вальної математики. � Зб. праць Iн-ту матем. НАН України, Київ.�
2017. � 14, № 2. � C. 150–162.
[16] Sosnitskii S.P. On the orbital stability of triangular Lagrangian motions
in the three-body problem // Astron. J. –– 2008. –– 136. –– P. 2533–2540.
[17] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчи-
сления // М.: Наука, 1970.� Т. 1, 607 с., Т. 2, 800 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-429 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:14Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2c/59fea6d05db32a619572287772079c2c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4292020-08-10T19:26:13Z Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Sosnitskii, S.P. Сосницкий, С.П. Сосницький, С.П. Within the framework of the elliptic restricted three-body problem, we find sucient conditions for the boundedness (unboundedness) of the manifold of symmetric motions. У рамках елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми знаходимо достатнi умови обмеженостi (необмеженостi) многовиду симетричних рухiв. У рамках елiптичної обмеженої задачi трьох тiл ми знаходимо достатнi умови обмеженостi (необмеженостi) многовиду симетричних рухiв. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/429 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 206-216 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 206-216 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 206-216 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/429/428 Авторське право (c) 2020 С.П. Сосницький http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Sosnitskii, S.P. Сосницкий, С.П. Сосницький, С.П. Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| title | Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| title_alt | Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл Про симетричнi рухи в елiптичнiй обмеженiй задачi трьох тiл |
| title_full | Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| title_fullStr | Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| title_full_unstemmed | Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| title_short | Symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| title_sort | symmetric motions in elliptic bounded problem of three bodies |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/429 |
| work_keys_str_mv | AT sosnitskiisp symmetricmotionsinellipticboundedproblemofthreebodies AT sosnickijsp symmetricmotionsinellipticboundedproblemofthreebodies AT sosnicʹkijsp symmetricmotionsinellipticboundedproblemofthreebodies AT sosnitskiisp prosimetričniruhiveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnickijsp prosimetričniruhiveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil AT sosnicʹkijsp prosimetričniruhiveliptičnijobmeženijzadačitrʹohtil |