Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness
Наведено варiацiйне формулювання задачi про власнi коливання до- вiльних оболонок обертання зi змiнною товщиною. Запропоновано ал- горитм її розв’язування, який базується на основi методу Рiтца. Як приклад розглянуто розрахунок власних коливань зрiзаної конiчної оболонки з жорстко закрiплен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2020 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/431 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552930867937280 |
|---|---|
| author | Trotsenko, Yu.V. Троценко, Ю.В. Троценко, Ю.В. |
| author_facet | Trotsenko, Yu.V. Троценко, Ю.В. Троценко, Ю.В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю.В. Троценко",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Trotsenko, Yu.V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-10T19:26:13Z |
| description |
Наведено варiацiйне формулювання задачi про власнi коливання до- вiльних оболонок обертання зi змiнною товщиною. Запропоновано ал- горитм її розв’язування, який базується на основi методу Рiтца. Як приклад розглянуто розрахунок власних коливань зрiзаної конiчної оболонки з жорстко закрiпленими торцями.
|
| first_indexed | 2026-08-04T01:07:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2018, т. 15, № 1, 217–231
УДК 539.3
Свободные колебания произвольных
оболочек вращения переменной
толщины ⇤
Ю.В. Троценко
Институт математики НАН Украины, Киев; trots@imath.kiev.ua
A variational formulation of the problem on the free oscillations of arbi-
trary shells of revolution with variable thickness is given. An algorithm
for solving the is proposed based on the Ritz method. As an example,
free oscillations of the truncated conical shell with the clamped ends are
considered.
Наведено варiацiйне формулювання задачi про власнi коливання до-
вiльних оболонок обертання зi змiнною товщиною. Запропоновано ал-
горитм її розв’язування, який базується на основi методу Рiтца. Як
приклад розглянуто розрахунок власних коливань зрiзаної конiчної
оболонки з жорстко закрiпленими торцями.
Введение
В современном машиностроении и строительстве широко применяют-
ся конструкции, при моделировании и расчёте которых используются
различного рода оболочечные элементы. Особое место здесь занима-
ют тонкие упругие оболочки вращения. Определение частот и форм
свободных колебаний как основных характеристик оболочек являет-
ся первым этапом их динамического расчёта.
Разработке численных методов решения задач о колебаниях обо-
лочек различного вида посвящены монографии Я.М. Григоренко,
Е.И. Беспаловой, А.Б. Китайгородского, А.И. Шинкаря [1], А.В. Кар-
мишина, В.А. Лясковца, В.И. Мяченкова, А.Н. Фролова [2], В.И. Мя-
ченкова, В.И. Григорьева [3].
⇤Работа выполнена при частичной поддержке НИР № 0117U004077.
c� Троценко Ю. В., 2018
218 Троценко Ю. В.
В работе [4] рассматривается задача о собственных колебаниях
цилиндрической оболочки с переменной толщиной h(s) по образу-
ющей. Для её решения предлагается разбить интервал интегриро-
вания исходных уравнений на конечное число подинтервалов. При
этом зависимость h = h(s) заменяется кусочно-постоянной функци-
ей. Решение исходной задачи сводится к построению общих решений
уравнений для каждого участка с постоянной толщиной оболочки и
подстановкой этих решений в граничные условия на торцах оболочки
и в условия сопряжения решений на смежных границах введённых
подобластей. Условия сопряжения обеспечивают непрерывность гео-
метрических и силовых факторов. В результате этого решение спек-
тральной задачи сводится к решению системы алгебраических урав-
нений, порядок которой зависит от числа разбиений интервала ин-
тегрирования исходных уравнений. Основной трудностью при таком
подходе является построение общих интегралов в подобластях, струк-
тура которых зависит от корней соответствующего характеристиче-
ского уравнения, меняющихся при изменении параметров оболочки
и частоты собственных колебаний.
Эффективность использования вариационного метода к решению
спектральных задач теории оболочек постоянной толщины продемон-
стрирована в работах [5], [6].
В настоящей работе применяется метод Ритца к решению задачи
о собственных колебаниях тонкостенной произвольной оболочки вра-
щения с толщиной h(s), непрерывно изменяющейся по образующей.
Изменения толщины оболочки в окружном направлении не происхо-
дят.
1 Постановка задачи
Рассмотрим тонкостенную упругую оболочку, срединная поверхность
которой является поверхностью вращения (рис. 1).
У такой оболочки линиями главных кривизн будут её меридианы
и параллели. В соответствии с этим срединную поверхность оболочки
отнесём к ортогональной системе криволинейных координат s и ', где
' � полярный угол, отсчитываемый от оси Ox по часовой стрелке,
если смотреть в сторону увеличения координаты z, s � длина дуги
меридиана, отсчитываемая от некоторой начальной параллели (или
полюса для замкнутой оболочки).
Проекции перемещения точек срединной поверхности на положи-
Свободные колебания произвольных оболочек вращения пере . . . 219
Рис 1. Оболочка вращения.
тельные направления меридиана и параллели, а также на внешнюю
нормаль к поверхности оболочки обозначим через u, v и w соответ-
ственно.
Предположим в дальнейшем, что перемещения настолько малы,
что можно пренебречь членами второго и более высокого порядка
малости по сравнению с линейными. Будем считать также, что для
оболочки справедливы гипотезы Кирхгоффа–Лява.
Уравнения равновесного состояния оболочки, находящейся под
действием сил инерции, можно получить с использованием какого-
либо вариационного принципа механики. Такой подход позволит сфор-
мулировать вариационную постановку задачи, которая будет исполь-
зована в дальнейшем при построении её приближённого решения.
Воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно ко-
торому
�⇧ = �A, (1)
где �⇧ � вариация потенциальной энергии упругой деформации обо-
лочки, �A � работа сил инерции на возможных перемещениях, кото-
220 Троценко Ю. В.
рая может быть представлена в следующем виде:
�A = �
ZZ
⌃
⇢h
@2~U
@t2
· �~Ud⌃, (2)
где ⌃, ⇢ и h = h(s) � срединная поверхность, плотность материала и
толщина оболочки соответственно, ~U � вектор с компонентами u, v
и w.
Вариацию потенциальной энергии деформации срединной поверх-
ности оболочки можно представить в виде [8]:
�⇧ =
ZZ
⌃
(T1�"1 + T2�"2 + S�! +M1�1 +M2�2 + 2H�⌧)d⌃. (3)
Здесь:
T1 =
Eh
1� ⌫2
("1 + ⌫"2); T2 =
Eh
1� ⌫2
("2 + ⌫"1);
M1 =
Eh3
12(1� ⌫2)
(1 + ⌫2); M2 =
Eh3
12(1� ⌫2)
(2 + ⌫1);
S =
Eh
2(1 + ⌫)
!; H =
Eh3
12(1 + ⌫)
⌧ ;
(4)
E и ⌫ � модуль упругости и коэффициент Пуассона материала обо-
лочки соответственно. Компоненты тензора деформаций срединной
поверхности оболочки "1, "2, 1, 2, !, ⌧ связаны с компонентами
вектора перемещений следующими соотношениями [8]:
"1 =
@u
@s
+
w
R1
; "2 =
1
r
@v
@'
+
cos ✓
r
u+
sin ✓
r
w;
! =
1
r
@u
@'
+
@v
@s
� cos ✓
r
v; 1 = �@2w
@s2
+
@
@s
✓
u
R1
◆
;
2 = � 1
r2
@2w
@'2
+
sin ✓
r2
@v
@'
� cos ✓
r
@w
@s
+
cos ✓
r
u
R1
;
⌧ = �1
r
@2w
@'@s
+
1
r
@u
R1@'
� cos ✓ sin ✓
r2
v +
cos ✓
r2
@w
@'
+
sin ✓
r
@v
@s
,
(5)
где R1(s) � радиус кривизны меридиана оболочки; ✓(s) � угол, об-
разованный нормалью к срединной поверхности и осью вращения
Свободные колебания произвольных оболочек вращения пере . . . 221
оболочки Oz; r(s) � радиус окружности, образованной параллеля-
ми оболочки.
Далее рассматрим незамкнутую оболочку вращения, ограничен-
ную контурами L1 и L2, как показано на (рис. 1).
Воспользовавшись формулами интегрирования по частям для двой-
ных интегралов, после ряда преобразований с учётом соотношений
(2) – (5) вариационное уравнение (1) можно представить в следую-
щей форме:
ZZ
⌃
✓
�@T1
@s
+
cos ✓
r
(T2 � T1)�
1
r
@S
@'
� 1
rR1
@
@s
(M1r) +
+M2
cos ✓
rR1
� 2
rR1
@H
@'
◆
�u+
✓
�1
r
@T2
@'
� @S
@s
� 2 cos ✓
r
S �
� sin ✓
r2
@M2
@'
� 2H
sin ✓ cos ✓
r2
� 2
r
@
@s
(H sin ✓)
◆
�v +
+
✓
T1
R1
+ T2
sin ✓
r
� 1
r
@2
@s2
(M1r)�
1
r2
@2M2
@'2
+
+
1
r
@
@s
(M2 cos ✓)�
2
r
@2H
@s@'
� 2 cos ✓
r2
@H
@'
◆
�w
�
d⌃+
+
I
L2
✓
T1 +
M1
R1
◆
�u+
✓
S + 2H
sin ✓
r
◆
�v +
+
✓
1
r
@
@s
(M1r)�M2
cos ✓
r
+
2
r
@H
@'
◆
�w �M1
@�w
@s
�
dL2 �
�
I
L1
✓
T1 +
M1
R1
◆
�u+
✓
S + 2H
sin ✓
r
◆
�v +
+
✓
1
r
@
@s
(M1r)�M2
cos ✓
r
+
2
r
@H
@'
◆
�w �M1
@�w
@s
�
dL1 =
= �
ZZ
⌃
✓
@2u
@t2
�u+
@2v
@t2
�v +
@2w
@t2
�w
◆
⇢hrdsd'. (6)
Учитывая независимость вариаций �u, �v и �w в области ⌃, из
вариационного уравнения (6) получим три уравнения, которые опи-
сывают движение оболочки под воздействием её инерционных сил.
Если в этих уравнениях перейти от усилий к перемещениям согласно
222 Троценко Ю. В.
формулам (4) и (5), то получим уравнения относительно перемеще-
ний u, v и w, которые ввиду их достаточной громоздкости здесь не
приводятся. Из уравнения (6) следуют также и граничные условия
задачи. Так, в случае жёсткого крепления края оболочки будем иметь
u = v = w =
@w
@s
= 0. (7)
Соответственно на свободном краю оболочки должны выполнять-
ся граничные условия
T1 = 0, M1 = 0, S + 2H
sin ✓
r
= 0,
1
r
@
@s
�
M1r
�
�M2
cos ✓
r
+
2
r
@H
@'
= 0.
(8)
В других случаях крепления края оболочки используются линей-
ные комбинации условий (7) и (8).
Следует особо отметить, что наиболее сложные силовые гранич-
ные условия (8) являются естественными граничными условиями для
соответствующего функционала. Следовательно, поиск его миниму-
ма можно осуществлять на классе функций, удовлетворяющих лишь
кинематические граничные условия.
2 Построение решений
Малость параметров движения оболочки и её симметрия позволяют
общее движение разложить на независимые составляющие в направ-
лении и вокруг продольной оси, а также в двух взаимно перпендику-
лярных плоскостях Oxz и Oyz. В дальнейшем будем рассматривать
поперечные колебания оболочки в одной из плоскостей симметрии, в
качестве которой, в частности, примем плоскость Oxz. В этом случае
перемещения срединной поверхности оболочки будем искать в виде:
u(s,', t) = ei!tUn(s) cosn',
v(s,', t) = ei!tVn(s) sinn',
w(s,', t) = ei!tWn(s) cosn',
(9)
где n � число волн в окружном направлении оболочки.
Свободные колебания произвольных оболочек вращения пере . . . 223
Перейдём к безразмерным величинам, которые связаны с соответ-
ствующими размерными величинами следующими соотношениями:
{Un, Vn,Wn} = R0{Ūn, V̄n, W̄n}; {r, s, R1} = R0{r̄, s̄, R̄1};
c2(s) =
h2(s)
12R2
0
; h̃(s) =
h(s)
h0
; !̄2 =
R2⇢(1� ⌫2)
E
!2,
(10)
где R0 � радиус ограничивающего оболочку контура L1, h0 � неко-
торая толщина оболочки (например, на контуре L1).
Далее, для сокращения записи, чёрточку над безразмерными ве-
личинами начнём опускать. Предположим также, что края оболочки
жёстко закреплены.
Тогда вариационное уравнение задачи об установившихся свобод-
ных колебаниях незамкнутой оболочки вращения можно представить
в следующем виде:
�I =
lsZ
0
h̃
h
11(Un, �Un) + 12(Vn, �Un) + 13(Wn, �Un) +
+ 12(�Vn, Un) + 22(Vn, �Vn) + 23(Wn, �Vn) +
+ 13(�Wn, Un) + 23(�Wn, Vn) + 33(Wn, �Wn)
i
rds�
�!2
lsZ
0
h̃(Un�Un + Vn�Vn +Wn�Wn)rds = 0, (11)
где ls � длина оболочки по координате s. Введённые здесь диффе-
ренциальные операторы ij(p, q), где p и q � произвольные функции,
имеют следующий вид:
11(p, q) =
✓
cos2 ✓
r2
+
⌫1n2
r2
+
c2 cos2 ✓
r2R2
1
+
2(1� ⌫)c2n2
r2R2
1
◆
pq +
+
✓
dp
ds
+
⌫ cos ✓
r
p
◆
dq
ds
+
⌫ cos ✓
r
dp
ds
+
c2
R1
d
ds
✓
p
R1
◆�
q +
+c2
d
ds
✓
p
R1
◆
+
⌫ cos ✓
rR1
p
�
d
ds
✓
q
R1
◆
,
224 Троценко Ю. В.
12(p, q) =
n cos ✓
r2
✓
1 +
c2 sin ✓
rR1
◆
pq +
⌫n
r
dq
ds
+
c2 sin ✓
r
d
ds
✓
q
R1
◆�
p+
+
✓
⌫1n
r
+
2(1� ⌫)c2n sin ✓
r2R1
◆✓
cos ✓
r
p� dp
ds
◆�
q,
13(p, q) =
✓
1
R1
+
⌫ sin ✓
r
◆
p
dq
ds
+
cos ✓
r
✓
sin ✓
r
+
⌫
R1
+
c2n2
r2R1
◆
pq �
�c2
✓
d2p
ds2
� ⌫n2
r2
p+
⌫ cos ✓
r
dp
ds
◆
d
ds
✓
q
R1
◆
� c2 cos ✓
rR1
✓
cos ✓
r
dp
ds
+ ⌫
d2p
ds2
◆
q +
+
2(1� ⌫)c2n2
r2R1
✓
cos ✓
r
p� dp
ds
◆
q,
22(p, q) =
1
r2
✓
n2 + ⌫1 cos
2 ✓ +
c2n2 sin2 ✓
r2
◆
pq � ⌫1 cos ✓
r
✓
dp
ds
q + p
dq
ds
◆
+
+⌫1
dp
ds
dq
ds
+
2(1� ⌫)c2 sin2 ✓
r2
✓
cos ✓
r
q � dq
ds
◆✓
cos ✓
r
p� dp
ds
◆�
,
23(p, q) =
✓
n sin ✓
r2
+
⌫n
rR1
+
c2n3 sin ✓
r4
◆
pq � c2n sin ✓
r2
✓
⌫
d2p
ds2
+
+
cos ✓
r
dp
ds
◆
q + 2(1� ⌫)c2
n sin ✓
r2
✓
dp
ds
� cos ✓
r
p
◆✓
dq
ds
� cos ✓
r
q
◆�
,
33(p, q) = c2
d2p
ds2
d2q
ds2
+
⌫ cos ✓
r
✓
d2p
ds2
dq
ds
+
d2q
ds2
dp
ds
◆
� ⌫n2
r2
✓
d2p
ds2
q +
+
d2q
ds2
p
◆
+
cos2 ✓ + 2(1� ⌫)n2
r2
dp
ds
dq
ds
� n2 cos ✓(3� 2⌫)
r3
✓
dq
ds
p+
dp
ds
q
◆�
+
+
✓
1
R2
1
+
sin2 ✓
r2
+
2⌫ sin ✓
rR1
+
c2n4 + 2(1� ⌫)c2n2 cos2 ✓
r4
◆
pq,
где ⌫1 = (1� ⌫)/2.
В случае применения технической теории оболочек [7] вместо при-
ведённых выше формул следует воспользоваться следующими выра-
жениями для ij(p, q):
11(p, q) =
✓
cos2 ✓
r2
+
⌫1n2
r2
◆
pq +
✓
dp
ds
+
⌫ cos ✓
r
p
◆
dq
ds
+
⌫ cos ✓
r
dp
ds
q,
Свободные колебания произвольных оболочек вращения пере . . . 225
12(p, q) =
✓
n cos ✓
r2
+
⌫1n cos ✓
r2
◆
pq +
⌫n
r
p
dq
ds
� ⌫1n
r
q
dp
ds
,
13(p, q) =
✓
1
R1
+
⌫ sin ✓
r
◆
p
dq
ds
+
✓
cos ✓ sin ✓
r2
+
⌫ cos ✓
rR1
◆
pq,
22(p, q) =
✓
n2
r2
+
⌫1 cos2 ✓
r2
◆
pq +
✓
⌫1
dp
ds
� ⌫1 cos ✓
r
p
◆
dq
ds
� ⌫1 cos ✓
r
dp
ds
q,
23(p, q) =
✓
n sin ✓
r2
+
⌫n
rR1
◆
pq.
Выражение для 33(p, q) остаётся без изменений.
Решения, удовлетворяющие уравнение (11), должны быть подчи-
нены следующим граничным условиям:
Un(0) = Vn(0) = Wn(0) =
dWn
ds
����
s=0
= 0;
Un(ls) = Vn(ls) = Wn(ls) =
dWn
ds
����
s=ls
= 0.
(12)
Поиск минимума функционала, вариация которого представлена в
форме (11), на классе функций, удовлетворяющих граничным усло-
виям (12), будем осуществлять с помощью метода Ритца, согласно
которому компоненты перемещений оболочки представим в виде ко-
нечных рядов следующего вида:
Un(s) =
NX
j=1
ajuj(s); Vn(s) =
NX
j=1
bjvj(s); Wn(s) =
NX
j=1
cjwj(s), (13)
где aj , bj , cj � подлежащие определению постоянные.
Координатные функции uj(s), vj(s) и wj(s) выберем в форме:
uj(s) = vj(s) = s(ls � s)Pj
✓
2s
ls
� 1
◆
;
wj(s) = s2(ls � s)2Pj
✓
2s
ls
� 1
◆
,
j = 1, 2, . . . , N.
(14)
226 Троценко Ю. В.
Здесь Pj(s) � смещённые на единицу по индексу j многочлены Ле-
жандра, вычисление которых и их первых двух производных можно
проводить с помощью рекуррентных соотношений:
Pj+2(s) =
1
j + 1
⇥
(2j + 1)sPj+1(s)� jPj(s)
⇤
,
P
0
j+2(s) = sP
0
j+1(s) + (j + 1)Pj+1(s),
P
00
j+2(s) = sP
00
j+1(s) + (j + 2)P
0
j+1(s),
P1(s) = 1; P2(s) = s, (j = 1, 2, . . . , N � 2).
(15)
При таком представлении разложения (13) удовлетворяют гранич-
ным условиям (12) при любых значениях вектора
~X =
⇥
a1, a2, . . . , aN , b1, b2, . . . , bN , c1, c2, . . . , cN
⇤
.
При этом обеспечивается полнота и линейная независимость функ-
ций, входящих в разложения (13).
Компоненты вектора ~X в дальнейшем определяются из условия
стационарности соответствующего функционала I. При этом исход-
ная задача сводится к решению однородной алгебраической системы
(A� !2B) ~XT = 0, (16)
где ~XT
� транспонированный вектор ~X, A и B � симметричные
матрицы порядка 3N .
Элементы матриц A и B, которые расположены на главной диа-
гонали и выше её, сможем вычислить по следующим формулам:
ai,j =
lsZ
0
h̃ 11(uj , ui)rds, ai,j+N =
lsZ
0
h̃ 12(vj , ui)rds,
ai,j+2N =
lsZ
0
h̃ 13(wj , ui)rds, ai+N,j+N =
lsZ
0
h̃ 22(vj , vi)rds,
ai+N,j+2N =
lsZ
0
h̃ 23(wj , vi)rds, ai+2N,j+2N =
lsZ
0
h̃ 33(wj , wi)rds,
Свободные колебания произвольных оболочек вращения пере . . . 227
bi,j =
lsZ
0
h̃ujuirds, bi,j+N = bi,j+2N = bi+N,j+2N = 0,
bi+N,j+N =
lsZ
0
h̃vjvirds, bi+2N,j+2N =
lsZ
0
h̃wjwirds.
При выводе этих выражений было использовано представление
для вариации функционала �I в форме (11), что обеспечило просто-
ту их получения и значительные удобства при программировании
предлагаемого алгоритма решения рассматриваемой задачи.
3 Некоторые результаты расчётов
В качестве примера использования предложенного подхода к реше-
нию задачи об определении собственных колебаний оболочек враще-
ния c переменной толщиной ниже приведены некоторые результаты
расчётов для усечённой конической оболочки с жёстко закреплённы-
ми торцами. В этом случае получим:
s =
l � z
cos↵
; r(s) = 1 + s sin↵; ✓ =
⇡
2
� ↵,
1
R1
= 0, (17)
где l и ↵ � высота и угол полураствора усечённого конуса соответ-
ственно. Если в формулах (17) принять, что ↵ = 0, то получим ци-
линдрическую оболочку единичного радиуса.
В расчётах были использованы выражения для ij(p, q), получен-
ные на основе технической теории оболочек. Кроме того, считалось,
что толщина оболочки изменяется вдоль образующей по следующему
закону
h(s) = h0 · 10
✓
�as
l
◆
,
где a � безразмерный параметр изменения толщины оболочки, h0 �
толщина оболочки при s = 0. Все вычисления проводились при ⌫ =
0.3 и Ro/h0 = 100.
В таблице 1 представлены значения первых пяти частот колебаний
оболочки !i, полученных при l/R0 = 1.0, n = 11, a = 1.0 в зависимо-
сти от числа членов N в разложениях (13). Приведённые результаты
228 Троценко Ю. В.
N !1 !2 !3 !4 !5
↵ = 0�
6 .18436 .33959 .50507 .71254 .91233
7 .18384 .33869 .50168 .65204 .85254
8 .18350 .33821 .50067 .64619 .78346
9 .18332 .33788 .50027 .64484 .76729
10 .18322 .33772 .50005 .64389 .76637
11 .18317 .33765 .49998 .64378 .76333
13 .18314 .33762 .49995 .64374 .76303
14 .18314 .33762 .49994 .64374 .76301
15 .18314 .33762 .49994 .64374 .76301
↵ = 30�
6 .13495 .24979 .37008 .51534 .64650
7 .13455 .24899 .36785 .47564 .61769
8 .13429 .24858 .36711 .47311 .57096
9 .13414 .24832 .36681 .47149 .56376
10 .13406 .24818 .36664 .47097 .56157
11 .13401 .24811 .36655 .47085 .55950
12 .13399 .24808 .36652 .47081 .55939
13 .13398 .24806 .36651 .47080 .55927
14 .13398 .24806 .36651 .47080 .55926
15 .13398 .24806 .36651 .47080 .55926
Таблица 1. Значения первых пяти частот колебаний оболочки !i, полу-
ченных при l/R0 = 1, n = 11, a = 1.0 в зависимости от числа членов N в
разложениях (13).
расчётов свидетельствуют о достаточно быстрой сходимости последо-
вательностей Ритца (13). Изменение угла полураствора конуса ↵ не
влияет на скорость сходимости вычислительного процесса. Увеличе-
ние высоты l приводит к необходимости наращивания числа членов в
разложениях (13) для сохранения заданной точности.Так, при l = 10
определение первых пяти частот с точностью до пяти значащих цифр
обеспечивается при N = 35. При этом устойчивость вычислительного
процесса сохраняется при удержании в разложениях до шестидеся-
ти координатных функций без потери точности решения алгебраи-
ческой системы (16). Это обстоятельство позволяет проводить расчё-
ты частот и форм собственных колебаний с высокой точностью для
Свободные колебания произвольных оболочек вращения пере . . . 229
достаточно широкого диапазона входных параметров оболочки. Ис-
пользуемая подпрограмма для решения обобщённой алгебраической
задачи (16) обеспечивает контроль за точностью её решения и по-
лучение всех её собственных значений и собственных векторов без
каких-либо существенных затрат машинного времени.
n/S 4 6 7 8 ⇤
10 .1923 .1893 .1886 .1882 .1871
11 .1908 .1864 .1855 .1850 .1831
12 .1940 .1885 .1874 .1867 .1843
Таблица 2. Значения частот !1 первого тона колебаний оболочки для
различных значений чисел n, полученных при l/R0 = 1, a = 1.0, ↵ = 0�.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s/l
s
W
a=0.0
0.5
1.0
Рис 2. Поведение формы собственных колебаний W в зависимости
от параметра a при n = 11, l/R0 = 1 и ↵ = 30�.
В таблице 2 сравниваются частоты, полученные с использованием
численного метода [4] (Ю.Ю. Швейко) и в настоящей работе (обозна-
чены звёздочкой). Здесь через S обозначено число равных по длине
участков, на которые разбивался интервал (0, ls). Толщина оболочки
на каждом из участков считалась постоянной и равной полусумме
значений толщин на границах соответствующего участка [4]. При
этом считалось, что l/R0 = 1.0, a = 1.0, ↵ = 0�, а число волн в
окружном направлении n варьировалось. Из таблицы 2 следует, что
при принятых параметрах оболочки число n, отвечающее её мини-
230 Троценко Ю. В.
мальной частоте, равно 11. Различие между приведенными данными
составляет немногим более 1% и обусловлено, по-видимому, недоста-
точным количеством участков разбиения.
Поведение формы собственных колебаний W в зависимости от па-
раметра a при n = 11, l/R0 = 1.0 и ↵ = 30� показано на рис. 2.
Значение a = 0 соответствует оболочке с постоянной толщиной по
её образующей. Как и следовало ожидать, при увеличении парамет-
ра a наблюдается смещение координаты точки максимума формы в
сторону уменьшения толщины оболочки. Аналогичная картина на-
блюдается и для форм колебаний U и V .
Таким образом, из приведенных результатов следует, что пред-
ложенный в настоящей работе метод расчёта собственных частот и
форм колебаний произвольной оболочки вращения с переменной тол-
щиной по её образующей обеспечивает необходимую для практиче-
ских расчётов точность вычислительного процесса. Сопоставление
полученных расчётных данных с данными, приведенными в рабо-
те [4], свидетельствует о достоверности получаемых результатов.
[1] Григоренко Я. М., Беспалова Е. И., Китайгородский А. Б., Шин-
карь А. И. Свободные колебания элементов оболочечных конструк-
ций. � Киев, Наукова думка, 1986. � 172 с.
[2] Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика
и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. � М.: Машино-
строение, 1975. � 376 с.
[3] Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных кон-
струкций на ЭВМ. � М.: Машиностроение, 1981. � 214 с.
[4] Швейко Ю. Ю., Брусиловский А. Д. О собственных колебаниях ци-
линдрических оболочек, подкрепленных поперечными ребрами жест-
кости // Расчеты на прочность. � 1971. � Вып. 15. � С. 312–327.
[5] Троценко В. А., Троценко Ю. В. Решение задачи о собственных коле-
баниях незамкнутой оболочки вращения в условиях ее сингулярного
возмущения // Нелiнiйнi коливання. � 2005. � Том. 8, № 3. � С. 415–
432.
[6] Троценко В. А., Троценко Ю. В. Равномерно сходящийся метод Ритца
в задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в форме
купола // Акустичний вiсник. � 2008. � Том. 11, № 2. � С. 45–57.
[7] Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. �
Москва, Ленинград, Гостехиздат, 1949. � 784 с.
[8] Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. � Ленинград, Судострое-
ние, 1962. � 431 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-431 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:07:16Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/ee/d59cd1401837f54bc34814824f24b5ee.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-4312020-08-10T19:26:13Z Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness Свободные колебания произвольных оболочек вращения переменной толщины Вільні коливання довільної оболонки обертання змінної товщини Trotsenko, Yu.V. Троценко, Ю.В. Троценко, Ю.В. Наведено варiацiйне формулювання задачi про власнi коливання до- вiльних оболонок обертання зi змiнною товщиною. Запропоновано ал- горитм її розв’язування, який базується на основi методу Рiтца. Як приклад розглянуто розрахунок власних коливань зрiзаної конiчної оболонки з жорстко закрiпленими торцями. Наведено варiацiйне формулювання задачi про власнi коливання до- вiльних оболонок обертання зi змiнною товщиною. Запропоновано ал- горитм її розв’язування, який базується на основi методу Рiтца. Як приклад розглянуто розрахунок власних коливань зрiзаної конiчної оболонки з жорстко закрiпленими торцями. A variational formulation of the problem on the free oscillations of arbi- trary shells of revolution with variable thickness is given. An algorithm for solving the is proposed based on the Ritz method. As an example, free oscillations of the truncated conical shell with the clamped ends are considered. Інститут математики НАН України 2020-08-10 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/431 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 15 No. 1 (2018): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics ; 217-231 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 15 № 1 (2018): Математические проблемы механики и вычислительной математики ; 217-231 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 15 № 1 (2018): Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики; 217-231 3083-7529 1815-2910 uk ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/431/430 Авторське право (c) 2020 Ю.В. Троценко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | Trotsenko, Yu.V. Троценко, Ю.В. Троценко, Ю.В. Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| title | Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| title_alt | Свободные колебания произвольных оболочек вращения переменной толщины Вільні коливання довільної оболонки обертання змінної товщини |
| title_full | Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| title_fullStr | Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| title_full_unstemmed | Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| title_short | Free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| title_sort | free oscillations of arbitrary shell of revolution with varying thickness |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/431 |
| work_keys_str_mv | AT trotsenkoyuv freeoscillationsofarbitraryshellofrevolutionwithvaryingthickness AT trocenkoûv freeoscillationsofarbitraryshellofrevolutionwithvaryingthickness AT trocenkoûv freeoscillationsofarbitraryshellofrevolutionwithvaryingthickness AT trotsenkoyuv svobodnyekolebaniâproizvolʹnyhoboločekvraŝeniâperemennojtolŝiny AT trocenkoûv svobodnyekolebaniâproizvolʹnyhoboločekvraŝeniâperemennojtolŝiny AT trocenkoûv svobodnyekolebaniâproizvolʹnyhoboločekvraŝeniâperemennojtolŝiny AT trotsenkoyuv vílʹníkolivannâdovílʹnoíobolonkiobertannâzmínnoítovŝini AT trocenkoûv vílʹníkolivannâdovílʹnoíobolonkiobertannâzmínnoítovŝini AT trocenkoûv vílʹníkolivannâdovílʹnoíobolonkiobertannâzmínnoítovŝini |